Методика обучения школьников основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы

23. Сколько различных двухзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, если цифры в числе могут повторяться?

24. Сколько различных предсказаний о распределении 3 трудовых мест можно сделать, если в соревновании принимают участие 10 человек?

25. Сколькими способами можно выбрать 4 числа из 10?

26. В турнире по шахматам каждый участник сыграл с каждым по одной партии, всего было сыграно 36 партий. Определите число участников турнира.

27. В классе имеется 6 сильных математиков. Сколькими способами из них можно составить команду на районную олимпиаду по математике, если от класса можно послать команду от 2 до 4 человек?

28. Сколько различных направлений задают на плоскости вершины треугольника?

29. Из колоды в 36 карт наугад выбирают 2 карты. Сколько возможно случаев, в которых обе карты окажутся тузами?

Комбинаторика вокруг нас

К данному итоговому занятию каждый из учащихся должен подготовить проект на тему «Приложения комбинаторики» (в химии, астрономии, геометрии, физике, биологии, теории вероятности, логике, программировании). Это могут быть доклады, сообщения, сопровождающиеся наглядностью, презентации и прочие. Учащиеся могут пользоваться любыми ресурсами, в том числе электронными. Можно им порекомендовать книгу [33].

Раздел 2. Элементы теории вероятности

Этот раздел элективного курса представляет собой чрезвычайно яркую, интересную и своеобразную область математики.

Изучение материала сопровождается рассмотрением разнообразных игровых и жизненно интересных примеров с непредсказуемым однозначным результатом. Рассмотрение случайных событий, некоторые трудности психологического характера, вызываемые необычностью объектов изучения, делают курс непростым для усвоения.

Предмет теории вероятностей. События

На вводном занятии учащимся всех профилей надо рассказать о возникновении теории вероятности, об ученых, стоящих у ее истоков. Причем, по мере рассказа учителя, учащиеся могут делать доклады по биографии упомянутых ученых. Темы докладов нужно распределить заранее.

В обыденной жизни, давая какие-либо прогнозы, мы нередко употребляем выражения «вероятность», «вероятно». Например, мы говорим: «Вероятно, сегодня вечером будет дождь». Причём мы отдаём себе отчёт, в каких событиях «мало» вероятности, в каких - «много».

Французский естествоиспытатель Ж.Л.Л. Бюффон в XVIII столетии подбрасывал монету 4040 раз - герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в нале прошлого века подбрасывал её 24000 раз - герб выпал 12012 раз. В 70-х г.г. XX века американские естествоиспытатели повторили опыт. При 10000 подбрасываниях герб выпал 4979 раз. Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них и является случайным событием, при неоднократном повторении подвластны объективному закону.

Теория вероятностей и изучает закономерности, управляющие массовыми случайными событиями.

С случайными событиями (или явлениями), то есть с такими, которые могут либо произойти, либо не произойти в результате какого-то испытания, мы встречаемся в жизни очень часто.

Ученик извлекает билет - это испытание. Появление при этом билета №13 - случайное событие, билета №5 - другое случайное событие. Выбор наугад какой-то страницы в книге - это испытание. То, что первой буквой на этой странице окажется «м» - это случайное событие.

Например, рассмотрим следующие события:

№№	Условие	Исход
А1	При нагревании проволоки	её длина увеличится
А2	При бросании игральной кости	выпадут 4 очка
А3	При бросании монеты	выпадет герб
А4	При осмотре почтового ящика	найдены три письма
А5	При низкой температуре	вода превратилась в лёд

События А₁, А₅ произойдут закономерно, А₂, А₃, А₄ - случайные.

Событие, которое в данном испытании неизбежно наступит, называется достоверным, а событие, которое в данном испытании никогда не появится - невозможным.

Какие из следующих событий достоверны:

А	Два попадания при трёх выстрелах	+
В	Выплата рубля семью монетами	+
С	Наугад выбранное случайное число не больше 1000	+
D	Наугад выбранное число, составленное из цифр 1,2,3 без повторений, меньше 400	+
E	Выпадение семи очков при бросании игральной кости	-
F	Получение пятёрки на экзамене	+

Назовите невозможные события:

А	Вода в реке замерзла при температуре +25С	+
В	Появление слова «мама» при случайном наборе букв м, м, а, а	-
С	Появление сразу трёх лайнеров над аэропортом	+
D	Составление трёхзначного числа, состоящего из цифр 1,2,3 и кратного 5	+
E	Появление 17 очков при бросании трёх игральных костей	-

Упражнения:

Для каждого из этих событий определить, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

1. Из 26 учащихся класса двое справляют свой день рождения: 1) 25 января; 2) 31 июня.

2. Случайным образом открывается художественное произведение и находится второе слово на левой странице. Это слово начинается: 1) с буквы М; 2) с буквы Ъ.

3. Из списка журнала 9 класса (в котором есть и мальчики, и девочки) случайным образом выбран ученик: 1) это мальчик; 2) выбран ученик, которому 15 лет; 3) выбранному ученику 15 месяцев; 4) этому ученику больше двух лет.

4. Сегодня в Кирове барометр показывает нормальное атмосферное давление. При этом: 1) вода в кастрюле закипит при температуре 70С; 2) когда температура упала до -3С, вода в луже замёрзла.

5. В нашей школе учатся 758 учеников. Событие А=в школе есть ученики с совпадающими днями рождения является случайным или достоверным. Выясните, произошло ли это событие в вашем классе?

6. Среди 150 билетов школьной благотворительной лотереи 30 выигрышных. Сколько билетов надо купить, чтобы событие А=вы ничего не выиграете было невозможным?

7. В 10 «Г» классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Какие из следующих событий являются невозможными, какие случайными, какие - достоверными:

А= в классе есть два человека, родившихся в разные месяцы;

В=в классе есть два человека, родившихся в одном месяце;

С=в классе есть два мальчика, родившихся в одном месяце;

D=в классе есть две девочки, родившиеся в одном месяце;

Е=все мальчики родились в разные месяцы;

F=все девочки родились в разные месяцы;

К=есть мальчик и девочка, родившиеся в одном месяце;

М= есть мальчик и девочка, родившиеся в разные месяцы.

8. Около школы останавливаются автобусы трёх маршрутов, идущих в сторону лесозавода: № 5, № 13 и № 23. Интервал в движении автобусов каждого маршрута колеблется от 8 до 10 минут. Когда Саша, Маша, Кристина и Катя подошли к остановке, от неё отошёл автобус № 13, а ещё через 6 минут подошёл автобус № 5. После этого каждый из ребят высказал своё мнение о том, автобус какого маршрута будет следующим:

Саша: Следующим обязательно будет № 23.

Маша: Возможно, что следующим будет № 23.

Кристина: Возможно, что следующим будет № 13.

Катя: Невозможно, что следующим будет № 5.

С кем из ребят вы согласны, а с кем нет? Объясните сделанный выбор.

9. На дорогу от дома до школы Миша тратит от 10 до 15 минут, если идёт пешком, и от 2 до 3 минут, если едет на автобусе. При каких интервалах движения автобусов событие А==по пути в школу Мишу обгонит хотя бы один автобус будет невозможным, при каких - случайным, при каких - достоверным?

После знакомства с понятием «случайное событие» учащиеся должны уметь приводить примеры таких событий из жизни и отличать их от неслучайных.

Виды случайных событий

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае события называются совместными.

Например, события «пошел дождь» и «наступило утро» являются совместными, а события «наступило утро» и «наступила ночь» - несовместными.

Задачи:

1. В сыгранной Катей и Ларисой партии в шахматы определить совместные и несовместные события, если: 1) Катя выиграла, Лариса проиграла; 2) Катя проиграла, Лариса проиграла.

2. Из событий: 1) «идёт дождь»; 2) «на небе нет ни облака»; 3) «наступило лето» - составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий.

3. Из событий: 1) «наступило утро»; 2) «сегодня по расписанию 6 уроков»; 3) «сегодня 1 января»; 4) «температура воздуха в Мариинске +30С» - составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Например, «выпадение герба» и «выпадение цифры» при бросании монеты - равновозможные события. «Изъятие из набора домино дубля» и «изъятие из набора домино костяшки с разными очками» - неравновозможные события, так как дублей в наборе домино всего 7, а остальных костяшек 21.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Например, попадание и промах при выстреле; появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости.

Если два единственно возможных события образуют полную группу, то их называют противоположными (выигрыш и не выигрыш, попадание и промах). Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать .

Задачи:

1. Ниже перечислены разные события. Укажите противоположные им события.

а) Мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня.

б) Из пяти выстрелов в цель попали хотя бы два.

в) На контрольной работе я не решил, как минимум, три задачи из пяти.

2. Назовите событие, для которого противоположным является такое событие:

а) на контрольной работе больше половины класса получили пятёрки;

б) все семь пулек в тире у меня попали мимо цели;

в) в нашем классе все умные и красивые;

г) в кошельке у меня есть три рубля одной монетой, или три доллара одной бумажкой.

Рассматривая события как множества, можно определить действия над событиями. (Введение понятий суммы и произведения событий позволяет подготовить действия над вероятностями).

a) Объединение событий или сумма событий - AB или А+В - событие, содержащее все элементы А и В.

Пример 1.

Испытание: бросаем игральную кость.

Событие А: выпало четное число очков.

Событие B: выпало число очков меньше, чем 4.

Событие A+B: выпало 1, 2, 3, 4 или 6 очков.

Пример 2.

Событие А: круг.

Событие B: квадрат.

Событие A+B: заштриховано.

b) Пересечение событий или произведение событий - AB или АВ - событие, содержащее только общие элементы А и В.

Пример 3.



Испытание: бросаем игральную кость.

Событие А: выпало четное число очков.

Событие B: выпало число очков меньше, чем 4.

Событие AB: выпало 2 очка.

Пример 4.

Событие А: круг.

Событие B: квадрат.

Событие AB: заштриховано.

Какими являются события C, D, E?

Задачи:

1. Событие А - «попадание в мишень первым выстрелом», событие В - «попадание в мишень вторым выстрелом». В чем состоит событие А+В?

2. Событие А - «ученик учится без троек», событие В - «ученик учится без двоек», событие С - «ученик не отличник». Сформулируйте: А+В+С.

3. Событие А - «лотерейный выигрыш 10 руб.», событие В - «лотерейный выигрыш 20 руб.», событие С - «лотерейный выигрыш 30 руб.», событие D - «лотерейный выигрыш 40 руб.». В чем состоит событие А+В+С+D?

4. Событие А - «появление нечетного числа очков при бросании игральной кости», событие В - «появление 3 очков при бросании игральной кости», событие С - «появление 5 очков при бросании игральной кости». В чем состоят события АВС, АВ, АС, ВС?

5. Проводятся две лотереи. Если событие А₁ - «выигрыш по билету первой лотереи» и событие А₂ - «выигрыш по билету второй лотереи», то что означают события: А₁А₂+А₂, А₁+А₂+А₁А₂?

6. Известно, что события А и В произошли, а событие С не наступило. Определите, наступили ли следующие события: А+ВС, (А+В)С, АВ+С, АВС.

7. Турист из пункта А в пункт В может попасть двумя дорогами. обозначим события: А₁ - «он пошел первой дорогой», А₂ - «он пошел второй дорогой».

Из пункта В в пункт С ведут три дороги. Обозначим события: В₁ - «он пошел первой дорогой», В₂ - «он пошел второй дорогой», В₃ - «он пошел третьей дорогой».

Применяя понятия суммы и произведения, а также противоположного события, постройте события, состоящие в том, что:

- от А до В он выбрал дорогу наугад, а от В до С пошел третьей дорогой;

- от А до В он пошел первой дорогой, а от В до С - дорогой, выбранной наугад;

- от А до В он пошел не первой дорогой, а от В до С - не третьей;

- он дошел от А до С.

Эксперименты и их исходы

Первый шаг на пути ознакомления учащихся с понятием вероятность состоит в длительном экспериментировании, то есть в многочисленных манипуляциях с разнородными предметами (игральными костями, волчками, монетами, шарами и прочими) [34]

Для проведения экспериментов учащихся лучше разбить на группы по 2-3 человека, один из которых будет фиксировать результаты эксперимента, а остальные проводить его.

Могут быть предложены следующие задания-эксперименты:

Задание №1. 100 раз подбросить монету и зафиксировать количество выпадений «орла» и «решки».

Задание №2. 100 раз подбросить кнопку и зафиксировать количество раз, когда кнопка упала острием вниз и количество раз, когда кнопка упала острием вверх.

Задание №3. Выберите какой-нибудь текст, содержащий 150 слов. Подсчитайте число слов, составленных из 6 букв.

Задание №4. Выберите 7 строк произвольного текста. Подсчитайте, сколько раз встречаются в тексте буквы о, е, а, ю.

Задание №5. 100 раз подбросить игральную кость и зафиксировать количество выпадений 6.

После проведения экспериментов целесообразно ввести понятия эксперимента и его исхода. Четкое определение и разграничение при проведении реальных физических экспериментов таких понятий, как исход эксперимента и событие, возможное в эксперименте, в дальнейшем поможет избежать многих трудностей при введении понятия вероятности случайного события.

Классическое определение вероятности

Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения.

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них - красные, 3 - синие и 1 - белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события. Таким образом, вероятность есть число, характеризующая степень возможности появления события.

Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взяты наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным исходом (элементарным событием). Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковые и тщательно перемешаны).

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.

Необходимо пояснить учащимся различие между событием и элементарным событием.

Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу, называют вероятностью события А и обозначают Р(А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р(А)=5/6.Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

,

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих А; n - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Полезно формуле вероятности события придать наглядную иллюстрацию [35].

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Доказательства данных свойств могут быть предложены учащимся математического профиля в качестве домашнего задания либо устного разбора на уроке.

Задачи:

1. Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

2. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. какова вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет: 1) однозначный номер; 2) двузначный номер?

3. Ученик при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что ученику достанется на экзамене выученный билет?

4. Женя купил 2 лотерейных билета, и один из них оказался выигрышным. Можно ли утверждать, что вероятность выигрыша в лотереи ?

5. Для школьного новогоднего вечера напечатали 125 пронумерованных пригласительных билетов, между которыми предполагается разыграть главный приз. Какова вероятность, что номер счастливчика будет оканчиваться: а) на тройку; б) на девятку? в) Вова получил пригласительный билет с номером 33, а Таня - 99. Верно ли, что у Вовы больше шансов получить главный приз?

6. Два друга живут в одном доме, а учатся в разных классах. Уроки в школе заканчиваются в интервале от 13 до 14 часов. После занятий они договариваются ждать друг друга на автобусной остановке в течение 20 минут. Сколько приблизительно раз за год им удаётся поехать домой вместе, если в году 200 учебных дней?

Решение вероятностных задач с помощью формул комбинаторики

При изучении этой темы надо, чтобы учащиеся отчетливо представляли себе роль сочетаний, размещений и перестановок в различных вероятностных задачах и научились по формулировкам задач определять, какой из видов соединений будет использован при решении той или иной задачи. Здесь можно руководствоваться следующим: если множество исходов составляют всевозможные комбинации из n элементов по k, то в задаче будут фигурировать сочетания; если же всевозможные комбинации из n элементов по n, то в задачах идет речь о перестановках; размещения будут тогда, когда речь идет о порядке элементов в рассматриваемых комбинациях.

Задачи:

1. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

2. В классе 30 учащихся. Из них 12 мальчиков, остальные девочки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девочки?

3. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, Антон забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые 4 цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. какова вероятность того, что Антон набрал верный номер?

4. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все 3 тетради окажутся в клетку?

5. Четыре билета на ёлку распределили по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками. Какова вероятность того, что билеты достанутся 2 мальчикам и 2 девочкам?

6. На полке 12 книг, из которых 4 - это учебники. С полки наугад снимают 6 книг. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся учебниками?

Статистическая вероятность

Классическое определение не требует, чтобы испытание обязательно проводилось в действительности: теоретическим способом определяются все равновозможные и благоприятствующие событию исходы. Такое определение предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно и выражается конкретным числом. Однако на практике - при изучении случайных явлений в естествознании, экономике, медицине, производстве - часто встречаются испытания, у которых число возможных исходов необозримо велико. А в ряде случаев до проведения реальных испытаний трудно или не возможно установить равновозможность исходов испытания. Поэтому, наряду с классическим, на практике используют и так называемое статистическое определение вероятности. Для знакомства с ним требуется ввести понятие относительной частоты. [16]

Относительной частотой события A называют отношение числа испытаний m, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний n.

Таким образом, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту после опыта.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа.

Например, по данным шведской статистики, относительная частота рождения девочек в 1935 г по месяцам характеризуется следующими числами: 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473. относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождения девочек

Таким образом, в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности. Назовите их.

Задачи:

1. Во время тренировки в стрельбе по цели было сделано 30 выстрелов и зарегистрировано 26 попаданий. Какова относительная частота попадания по цели в данной серии выстрелов?

2. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг.

3. Дано распределение дней рождения старшеклассников (учащихся 9-11 классов) по месяцам и дням недели

	пн	вт	ср	чт	пт	сб	вс
январь	0	1	3	4	0	0	1
февраль	2	4	1	2	3	0	2
март	2	2	0	2	4	2	0
апрель	3	2	5	8	0	3	2
май	4	0	2	1	1	1	2
июнь	4	2	2	1	3	2	0
июль	0	1	4	2	1	2	0
август	1	2	4	4	2	0	1
сентябрь	0	1	2	1	2	3	5
октябрь	1	2	0	0	2	1	0
ноябрь	0	2	4	1	1	5	1
декабрь	2	2	3	2	0	2	2

Найдите относительные частоты событий:

А = старшеклассник родился в майское воскресенье;

В =старшеклассник родился в зимний четверг;

С = старшеклассник родился в понедельник;

D = старшеклассник родился весной.

7*. Исследуется рождение комолого теленка в данной породе комолых и рогатых животных. За год наблюдения в данной породе было обнаружено 200 комолых телят из общего количества 80000 родившихся. Найти относительную частоту рождения от коровы данной породы комолого теленка.

Геометрическая вероятность

На рассмотрение геометрической вероятности в классах гуманитарного и естественнонаучного направлений не нужно отводить много времени, достаточно объяснить учащимся, чем она отличается от классической или статистической вероятности.

Геометрическая вероятность - это своеобразный аналог формулы классического определения вероятности события: отношение двух натуральных чисел (количество благоприятных исходов к количеству всевозможных исходов) в формуле классического определения вероятности событий заменяется отношением мер (длин, площадей, объемов) геометрических множеств, где оба множества (в общем случае) представляют собой бесконечные множества исходов. Тем самым достигается возможность найти вероятность и в случае бесконечного множества исходов. В этом - конечное и бесконечное множества исходов - и заключается основное различие между классическим определением вероятности события и геометрическим.

Рассмотрение геометрической вероятности развивает у учащихся пространство воображения и способствует формированию умений переводить исходную вероятностную ситуацию на геометрический язык.

Геометрические вероятности можно дать в ознакомительном порядке, разобрав для этого ряд задач.

Задачи:

1. На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большой отрезок, попадет и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

2. Внутри квадрата со стороной 10 см выделен круг радиусом 2 см. случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?

3. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.

4. Перед окопами вдоль прямой линии через каждые 10м установлены противотанковые мины. Перпендикулярно этой линии движется танк, ширина которого 3м. Какова вероятность того, что танк пересечет линию установки мин невредимым, то есть, что мина не взорвется?

Теорема сложения вероятностей

Из четырех теорем о сложении вероятностей (для двух несовместных событий, для n несовместных событий (обобщение), для событий, образующих полную группу и для противоположных событий) практический интерес для слушателей курса представляют лишь две теоремы: первая и третья. Обе они часто используются при решении вероятностных задач, и поэтому для учащихся математического профиля их следует подробно с доказательством рассмотреть на занятии. Теорему о противоположных событиях (как частный случай третьей теоремы) можно поручить рассказать одному ученику.

Для учащихся нематематического профиля достаточно сформулировать эти теоремы и привести примеры, которые осуществляли бы межпредметную связь математики и специализации данного профиля.

Теорема 1. Пусть события А и В - несовместные, причем вероятности этих событий известны. Тогда вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство. Введем обозначения: n - общее число возможных элементарных исходов испытания; m₁ - общее число исходов, благоприятствующих событию А; m₂ - общее число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁+m₂. Следовательно,

Р(А+В)=.

Приняв во внимание, что и , окончательно получим

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Теорема 2. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А₁+А₂+…+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n).

Теорема 3. Сумма вероятностей событий А₁, А₂, …, А_n, образующих полную группу, равна 1:

Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)=1.

Доказательство. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то

Р(А₁+А₂+…+А_n)=1. (*)

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:

Р(А₁+А₂+…+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n). (**)

Сравнивая (*) и (**), получим

Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)=1.

Теорема 4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

Р(А)+Р()=1.

Задачи:

1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

2. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете. (Решить двумя способами: с помощью 1 и 4 теорем).

3. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.

4. Круговая мишень состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. найти вероятность промаха.

5*. При подсчете числа рядов у тысячи початков первого поколения гибрида кукурузы получено, что среди них было початков с 12 рядами - 490, с 14 - 270, а остальные имели 16-18 рядов. Найти вероятность того, что случайным образом отобранный початок кукурузы будет иметь 12 или 14 рядов.

Теорема умножения вероятностей

Перед тем как излагать теорему умножения вероятностей необходимо ввести понятие условной вероятности. Привести учащихся к этому понятию поможет разбор примера.

Пример: Из ящика, в котором 3 белых и 3 черных шаров, наугад вынимают последовательно один за другим два шара. Какова вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар?[20]

Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению равна

 (Р(А)>0).

Опираясь на определение условной вероятности, учащиеся без труда смогут сформулировать теорему о вероятности совместного появления двух событий.

Теорема 1. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предложении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ)=Р(А)Р_А(В).

Пусть вероятность события В не зависит от появления события А.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, то есть

Р_А(В)=Р(В) или Р_В(А)=Р(А).

Теорема 2. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

Задачи:

1. Среди ста лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

2. В коробке 9 одинаковых радиоламп, 3 из которых были в употреблении. В течение рабочего дня мастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять две радиолампы. Какова вероятность того, что обе взятые лампы были в употреблении?

3. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй - эллиптический?

4. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что на первом кубике выпадет четное число очков, а на втором - число, меньшее 6?

5. Имеется 3 ящика, содержащих 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

6*. Вероятность выживания одного микроорганизма в течение часа равна 0,8. В пробирку с благоприятными условиями для существования были помещены два микроорганизма. Найти вероятность того, что через час они будут еще жизнедеятельны.

Следствия теорем сложения и умножения

Возвращаясь к занятию, где теорема сложения была рассмотрена для несовместных событий, целесообразно изложить теорему сложения для совместных событий. Доказательство приводить не обязательно, надо только ее проиллюстрировать.

Теорема 1. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Пусть требуется найти вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, образующих полную группу.

Если А произошло вместе с одним из событий В₁, В₂, …, В_n, значит, произошло одно из несовместных событий В₁А, В₂А, …, В_nА.

Таким образом,

А= В₁А + В₂А + … + В_nА.

Поскольку события В₁, В₂, …, В_n взаимно несовместны, то и события В₁А, В₂А, …, В_nА обладают тем же свойством. Поэтому

Р(А)= Р(В₁А) + Р(В₂А) + … + Р(В_nА).

По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем

; ; …;

.

Поэтому

.

Теорема 2. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

.

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

С помощью этой формулы находим так называемую формулу Бейеса:

при i=1, 2, …, n.

Особенно широко она применяется при решении задач, связанных с вероятностной оценкой гипотез. Гипотезы - это события, про которых заранее не известно, какое из них наступит.

Доказать формулу Бейеса учащиеся могут самостоятельно.

Задачи:

1. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р₁=0,7; р₂=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

3. Отдел технического контроля проверяет на стандартность по двум параметрам серию изделий. Было установлено, что у 8 из 25 изделий не выдержан только первый параметр, у 6 изделий - только второй, а у 3 изделий не выдержаны оба параметра. Наудачу берется одно из изделий. Какова вероятность того, что оно не удовлетворяет стандарту?

4. В лотерее выпущено n билетов, m из которых выигрывают. Гражданин купил k билетов. Какова вероятность того, что один из купленных билетов выигрышный?

5. В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

6. Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо - хорошо, двое - удовлетворительно, а один совсем не готовился - понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся ученики могут ответить на все 20 вопросов, хорошо - на 16 вопросов, удовлетворительно - на 10, и не подготовившиеся - на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первым ученик ответил на все три вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?

7*. В аптечный пункт была поставлена партия «Интерферона» в количестве 600 коробок. При этом 150 коробок были изготовлены на первой фабрике; 210 - на второй; 240 - на третьей. На основании сотрудничества с этими фабриками известно, что вероятность поставок без брака составляет на первой фабрике 0,8; на второй - 0,85 и на третьей - 0,9. Найти вероятность того, что купленная в аптечном пункте коробка «Интерферона» оказалась доброкачественной.

8*. Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечно-сосудистых заболеваний составило в этих группах соответственно 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что человек принадлежит к контрольной группе?

Формула Бернулли. Закон больших чисел

Формула Бернулли намного упрощает путь решения задач в том случае, когда опыты повторяются независимо друг от друга и вероятность интересующего нас события не меняется.

На занятии вывод формулы Бернулли можно осуществить так, как он приводится в [35].

Для учащихся нематематического профиля изучение раздела «Элементы теории вероятностей» можно закончить на формулировке формулы Бернулли, то есть без ее вывода и последующего за ней закона больших чисел.

Вероятность того, что при п повторных испытаниях событие А наступит m раз и не наступит n-m раз находится по формуле:

.

Вычисления по формуле Бернулли при больших значениях n и m затруднительны. В математике установлены приближенные формулы, позволяющие находить приближенные значения для Р_n(m) и, что еще важнее для практики, суммы значений Р_n(m), таких, что дробь (относительная частота появления события А) лежит в данных границах.

По формуле Бернулли вероятность того, что в серии из 100 подбрасываний монеты все 100 раз выпадет герб, равна , то есть примерно 10^-30. Не столь мала, но все же ничтожна вероятность того, что цифра выпадет не более 10 раз. Наиболее вероятно, что число выпадений герба будет мало отличаться от 50.

Вообще при большом числе испытаний относительная частота появления события, как правило, мало отличается от вероятности этого события. Математическую формулировку этого качественного утверждения дает принадлежащий Я. Бернулли закон больших чисел, который в уточненной П.Л. Чебышевым гласит:

Теорема. Пусть вероятность события А в испытании s равна р, и пусть проводятся серии, состоящие из n независимых повторений этого испытания. Через m обозначим число испытаний, в которых происходило событие А. Тогда для любого положительного числа выполняется неравенство

.

Эту теорему лучше давать без доказательства по следующим причинам: во-первых, на доказательство уйдет много времени и, во-вторых, самим доказательством можно «затмить» идею закона больших чисел.

Задачи:

1. Подбрасываем монету 10 раз. Какова вероятность двукратного появления герба?

2. Вероятность того, что изделие не пройдет контроля, равна 0,125. какова вероятность того, что среди 12 изделий не будет ни одного забракованного контролером?

3. вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

4. С разных позиций по мишени выпускают 4 выстрела. Вероятность попадания первым выстрелом примерно 0,1, вторым - 0,2, третьим - 0,3 и четвертым - 0,4. Какова вероятность того, что все четыре выстрела - промахи?

5. Вы играете в шахматы с равным по силе партнером. Чего следует больше ожидать: трех побед в 4 партиях или пяти побед в 8 партиях?

6. Сколько раз придется бросать игральную кость, чтобы вероятнейшее число появления шестерки было бы 32?

7. Какова вероятность равенства с точностью до 0,1 при 100 опытах?

Самостоятельная работа

Изучение случайных событий желательно завершить самостоятельной работой, в которой одну-две задачи надо решить как можно большим числом способов. Неплохо включить в работу и теоретический вопрос (чтобы проверить, с одной стороны, понимание учащимися теоретической части пройденного материала и, с другой стороны, умение учащихся формулировать и излагать свои мысли).

Примерный состав самостоятельной работы:

Вариант 1

1. Среди облигаций займа 25% выигрышных. Найдите вероятность того, что из трех взятых облигаций хотя бы одна выигрышная.

2. Найти вероятность по данным вероятностям:

Р(А)=а, Р(В)=b, Р(А+В)=с.

3. Могут ли несовместные события быть в то же время независимыми и наоборот? Привести примеры.

Вариант 2

1. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью р. Найти вероятность того, что для ввода двигателя на работу придется включить зажигание не более двух раз.

2. Найти вероятность по данным вероятностям:

Р(А)=а, Р(В)=b, Р(А+В)=с.

3. Почему формула Бернулли применяется при независимости опытов?

Кому нужна теория вероятностей?

Форма организации данного занятия - круглый стол - представление учащимися индивидуальных творческих работ по выбору:

- небольшая подборка интересных вероятностных задач из различных областей профессиональной деятельности;

- исследовательская работа в области теории вероятности;

- индивидуальный проект, отражающий возможность применения знаний по теории вероятности в какой-либо деятельности человека или для какой-либо профессии;

- написание программ для вычисления вероятностей на каком-либо языке программирования.

Общая тема творческих работ: «Кому нужна теория вероятностей?».

В качестве источников литературы можно порекомендовать следующие книги: [27] - посвящена применению законов теории вероятностей к различным жизненным ситуациям и в разных областях науки; [17] - приложения в биологии; [31]; [34]; [35].

Раздел 3. Случайные величины.

Здесь учащиеся знакомятся еще с одним видом функции - случайной величиной. Эта специфическая числовая функция дополняет и расширяет представление школьников о функциональных зависимостях.

Методика изучения случайных величин построена по схеме блочного обучения, то есть сначала дается вся теория данного раздела, далее решаются ключевые задачи и по окончании изучения темы зачет.

Понятие случайной величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

В теории вероятностей приводились события, состоящие в появлении того или иного числа. Например, при бросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 есть возможные значения этой величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример 1. Число родившихся мальчиков среди 100 новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, …, 100.

Пример 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от силы и направления ветра, от температуры и других причин, которые могут полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а, b).

Пример 3. Концентрация лекарственного вещества в таблетке.

Пример 4. Число нераспавшихся ядер радиоактивного элемента на некоторый момент времени.

Случайные величины обозначают прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения - соответствующими строчными буквами x, y, z. Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: x₁, x₂, x₃.

Виды случайных величин

Дискретной или прерывной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины (ДСВ) может быть конечным или бесконечным (см. пример 1, 4).

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений НСВ бесконечно (см. пример 2, 3).

Закон распределения вероятностей ДСВ

На первый взгляд может показаться, что для задания ДСВ достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их - различные. Поэтому для задания ДСВ не достаточно перечислить всевозможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения ДСВ первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что событие X=x₁, X=x₂, …, X=x_n образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, то есть сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице: p₁+p₂+…+p_n=1. Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд p₁+p₂+… сходится и его сумма равна единице.

Для наглядности закон распределения ДСВ можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (x_i, p_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Математические операции над случайными величинами

Вначале введем понятие независимости случайных величин.

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми. Например, если имеются билеты двух различных денежных лотерей, то случайные величины X и Y, выражающие соответственно выигрыш по каждому билету, будут независимыми, так как при любом выигрыше по билету одной лотереи (например, при X=x_i) закон распределения выигрыша по другому билету (Y) не изменится. Если же случайные величины X и Y выражают выигрыш по билетам одной денежной лотереи, то в этом случае X и Y являются зависимыми, ибо любой выигрыш по одному билету (X=x_i) приводит к изменению вероятности выигрыша по другому билету (Y), то есть к изменению закона распределения Y.

Определим математические операции над ДСВ.

Произведением kX случайной величины Х на постоянную величину k называется случайная величина, которая принимает значения kx_i с теми же вероятностями p_i (i=1, 2, …, n).

m-й степенью случайной величины Х, то есть Х^m, называется случайная величина, которая принимает значение с теми же вероятностями p_i (i=1, 2, …, n).

Суммой (разностью или произведением) случайных величин Х и Y называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида x_i+y_j (x_i-y_j или x_i•y_j), где i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m, с вероятностями p_ij того, что случайная величина Х примет значение x_i, а Y - значение y_j: p_ij=Р[(X=x_i) (Y=y_j)].

Если случайные величины Х и Y независимы, то есть независимы любые события X=x_i, Y=y_j, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий

p_ij=Р(X=x_i)•Р(Y=y_j) = p_i•p_j.

Числовые характеристики ДСВ. Математическое ожидание

Как уже известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относятся: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и, следовательно, стреляет лучше второго. Хотя математическое ожидание дает о случайной величине значительно меньше сведений, чем закон ее распределения, но для решения задач, подобных приведенной и многих других, знание математического ожидания оказывается достаточным.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число, характеризующее среднее значение этой случайной величины и являющееся для нее центром рассеяния.

Математическое ожидание М(Х) равно сумме произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина Х может принимать только значения х₁, х₂, …, х_n, вероятности которых соответственно равны р₁, р₂, …, р_n. Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством

М(Х)=х₁р₁+х₂р₂+…+х_np_n.

То есть

.

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

.

Доказать приведенные свойства учащиеся могут самостоятельно.

Дисперсия ДСВ

Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Покажем это на примере. Пусть заданы две ДСВ X и Y своими законами распределения:

X	-2	0	2
p	0,4	0,2	0,4
X	-100	0	100
p	0,3	0,4	0,3

Несмотря на то, что математические ожидания величин X и Y одинаковы: М(Х)=М(Y)=0, возможные значения X и Y «разбросаны» или «рассеяны» около своих математических ожиданий по-разному: возможные значения величины X расположены гораздо ближе к своему математическому ожиданию, чем значения величины Y.

Укажем еще на один пример. При одинаковой средней величине годовых осадков одна местность может быть засушливой и неблагоприятной для сельскохозяйственных работ (нет дождей весной и летом), а другая - благоприятной для ведения сельского хозяйства.

Из сказанного вытекает необходимость введения новой числовой характеристики случайной числовой величины, по которой можно судить о «рассеянии» возможных значений этой случайной величины.

Пусть задана ДСВ X:

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Отклонением случайной величины X от ее математического ожидания М(X) (или просто отклонением случайной величины X) называют случайную величину X-М(X).