Абстрактно-дедуктивный метод введения и формирования математических понятий в 7-9 классах

6

Абстрактно-дедуктивный метод введения и формирования математических понятий в 7-9 классах

Введение

Специфика предмета математики такова, что ее изучение существенно влияет на развитие мышления школьников. Развитие мышления школьников тесно связано с формированием приемов мышления в процессе их учебной деятельности. Эти приемы мышления (анализ, синтез, абстракция, дедукция, обобщение и др.) выступают также как специфические методы научного исследования, особенно ярко проявляющиеся при обучении математике, как одного из базовых школьных предметов.

Особенности математики наиболее полно раскрываются в единстве двух ее сторон: математика как определенная научная деятельность и математика как теория, являющаяся результатом этой деятельности.

Понятия являются одной из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе и предметов математического цикла. Полноценное изучение математических понятий систематизирует знания учащихся, способствует более глубокому освоению предмета. Первостепенная задача учителя математики пи изучении любой темы - формирование понятийного аппарата темы.

Понятие - форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения. Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие объекты.

Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и объему. Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий.

Содержание понятия - это множество всех существенных признаков данного понятия.

Объем понятия - множество объектов, к которым применимо данное понятие.

Существенные свойства (характеристические) - это такие свойства, каждое из которых необходимо, а все вместе достаточны для характеристики объектов, принадлежащих понятию. Мы имеем понятие о некоторой вещи, если знаем и можем словесно выразить, какие условия необходимы и вместе с тем достаточны для ее однозначного определения. Однако, не каждое необходимое условие является достаточным и не каждое достаточное условие является необходимым. Например, равенство двух углов является необходимым условием для того, чтобы эти углы были вертикальные, но не является достаточным. Процесс конструирования понятий заключается в поиске такого числа необходимых условий, которое было бы достаточно для однозначного определения требуемого класса вещей. Совокупность этих условий и принимают за содержание понятия.

Например, понятие «треугольник» соединяет в себе класс всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свойство - наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия); понятие «уравнение» соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство - равенство, содержащее одну или несколько переменных (содержание понятия).

Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Так, содержанием понятия квадрата является совокупность условий «быть четырехугольником», «иметь равные стороны», «иметь равные углы». Квадрат можно определить как четырехугольник с равными сторонами и равными углами.

Например, для понятия “параллелограмм” содержание будет представлено следующими свойствами:

а) противоположные стороны равны и параллельны;

б) противоположные углы равны;

в) диагонали в точке пересечения делятся пополам и др.

Объем понятия “параллелограмм” представлен множествами следующих четырехугольников:

1) собственно параллелограммы;

2) ромбы;

3) прямоугольники;

4) квадраты (рис. 1).

Рис. 1. Объем понятия “параллелограмм”

Содержание понятия четко определяет его объем, и наоборот, объем понятия вполне определяет его содержание. Таким образом, изменение в содержании понятия влечет за собой изменение в его объеме, и наоборот. Между содержанием и объемом понятия существует в некотором смысле обратная связь: с увеличением содержания понятия “параллелограмм” (диагонали взаимно перпендикулярны) сразу уменьшается его объем (остаются лишь ромб и квадрат); если уменьшить содержание этого понятия (потребовать параллельности только двух противоположных сторон), увеличится его объем (к названным четырехугольникам добавится трапеция).

Если объем одного понятия содержится в объеме другого понятия, то второе понятие называется родовым по отношению к первому понятию, а первое называется видовым по отношению ко второму. Например, понятие “ромб” является родовым по отношению к понятию “квадрат”. Введение понятия через ближайший род и видовые заключается в следующем:

1)указывается род, в который входит определяемое понятие;

2)указываются видовые отличия и связь между ними.

Например, «Ромб - это параллелограмм, две смежные стороны которого равны». Родовым понятием выступает понятие параллелограм-ма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одно-го видового отличия (равенство смежных сторон).

По отношению объемов различают следующие виды понятий: равнозначные, объемы которых полностью совпадают; пересекающиеся, объемы которых частично пересекаются; находящие-ся в отношении включения, объем одного понятия содержится в объеме другого понятия.

Заключительным этапом формирования понятия является его определение. Определить понятие - это значит перечислить его существенные свойства. Определение понятия - это предложение, в котором раскрывается содержание понятия, т. е. совокупность условий, необходимых и достаточных для выделения класса объектов, принадлежащих определяемому понятию.

1. Основные понятия

1.1 Явные и неявные определения

Явные и неявные определения различаются в зависимости от своей структуры. Явные определения содержат прямое указание на существенные признаки определяемого понятия; определяемое и определяюще в них выражено четко и однозначно. Например, «Углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки»; «Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом».

Явное определение объектов, обозначение выражений, дескрипция («Выражение a + a + ... + a (n слагаемых) ввиду его важности кратко обозначают na . Символ na обозначает сумму n слагаемых, каждое из которых равно a »).

Дескрипциями называются определения математических объектов путем указания их свойств (“То число, которое будучи умножено на длину диаметра, дает длину его окружности” - дескрипция числа p).

Неявные определения объектов не содержат четкого и однозначного определяющего элемента, в них содержание определяемого может быть установлено через некоторый контекст.

1.2 Номинальные и реальные определения

Все определения, которые применяются в математике и других науках, делятся на номинальные и реальные, в зависимости от того, что определяется - знаковое выражение (термин, символ) или реальный объект, обозначаемый им . С помощью номинального определения вводится новый термин, символ или выражение как сокращения для более сложных выражений из ранее введенных терминов или символов, или уточняется значение уже введенного термина или символа. Номинальные определения являются средством обогащения языка науки и уточнения семантики его выражений (“Квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число х, что х² = а”).

С помощью реальных определений фиксируются характеристические свойства самих определяемых объектов. Деление определений на номинальные и реальные не связано с их формальной структурой. Одно и то же определение можно представить и как номинальное, и как реальное. Например, пусть дано реальное определение: «Пятиугольник - есть плоская геометрическая фигура, ограниченная пятью сторонами». Это же определение можно переформулировать как номинальное: «Пятиугольником называется плоская геометрическая фигура, ограниченная пятью сторонами».

1.3 Контекстуальные и индуктивные определения

В математике начальных классов часто применяются контекстуальные определения, в которых определение нового неизвестного термина, понятия выясняется из смысла прочитанного, сводится к указанию содержащих его контекстов («больше», «меньше», «равно»).

Индуктивными называются определения, которые позволяют из сходных объектов (теории) путем применения к ним конкретных операций получать новые объекты. Например, по индукции вводит c я определение натурального числа в математике.

1.4 Аксиоматические определения

Если определения исходных понятий даются посредством исходных понятий некоторой теории через ее аксиомы, то это аксиоматические определения. При аксиоматическом построении математической теории некоторые понятия остаются неопределенными (например, точка, плоскость и расстояние в аксиоматике А.Н. Колмогорова). Определением этих понятий можно считать систему аксиом, описывающих их свойства.

1.5 Определения через род и видовые отличия

Классическими определениями называются определения через род и видовое отличие. Их можно рассматривать как частный вид номинальных определений. В них определяемое выделяется из предметов некоторой области, которая при этом явно упоминается в определении (род), путем указания характеристического свойства определяемого (видовое отличие). Например:

«Квадрат - прямоугольник с равными сторонами».

«Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны».

«Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны».

«Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом».

Общая схема определения “через ближайший род и видовое отличие” может быть записана на языке множеств (классов):

B = { x / x € A и P (x) }

(класс B состоит из объектов x, принадлежащих A - ближайшему роду и обладающих свойством P - видовое отличие) или на языке свойств:

x € B <=> x € A и P (x) , или B (x) <=> A (x) и P(x)

(объект x обладает свойством В тогда и только тогда, когда он обладает свойством А и свойством Р).

В школьном курсе математике определения через род и видовое отличие: Длина ломаной. Периметр многоугольника (прямоугольника, квадрата). Квадрат. Куб. Круг. Радиус окружности (круга). Биссектриса угла. Развернутый угол. Прямой угол. Градус. Острый угол. Тупой угол. Виды треугольников по величине углов. Фигуры, симметричные относительно точки (центр симметрии). Перпендикулярные и параллельные прямые.

1.6 Генетические определения

Широкое распространение в школьном курсе математики получили генетические (конструктивные) определения, т.е. такие определения, в которых описывается или указывается способ его происхождения, образования, возникновения, построения. Генетические определения представляют собой разновидность определения через род и видовые отличия.

Например: «Сферой называется поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг своего диаметра»; «Шар - это геометрическое тело, образованное вращением полуокружности вокруг диаметра».

Анализируя школьный курс математики, можно выделить следующие генетические определения понятий: Отрезок. Луч. Равносторонний треугольник. Координатный луч. Равные фигуры. Площадь прямоугольника. Площадь квадрата. Объем прямоугольного параллелепипеда. Окружность. Дуга окружности. Сектор. Угол и его элементы. Равные углы. Длина окружности. Площадь круга.

1.7 Определение через абстракцию

Определения, связанные с выделением такого типа объектов через установление между ними отношений равенства, равнозначности, тождества, получили название определений через абстракцию. В таком определении данное математическое понятие определяется как семейство классов эквивалентности по некоторому отношению эквивалентности. Например, натуральное число n - это характеристика класса эквивалентных конечных множеств, состоящих из n элементов.

1.8 Остенсивные определения

Остенсивные определения - определения значений слов путем непосредственного показа, демонстрации предметов. Часто применяются в начальной школе (понятия отрезка, окружности, угла и др.). Постепенно с развитием математического опыта и накоплением определенного числа понятий на смену остенсивным понятиям приходят вербальные понятия. Вербальные понятия - это понятия, когда значения неизвестных выражений определяются через выражения, значения которых известны.

Определение называется корректным , если выполняются два условия:

а) отсутствует порочный круг и связанная с ним возможность исключения нововведенных терминов (“Решение уравнения - это то число, которое является его решением”);

б) отсутствует омонимия: каждый термин встречается не более одного раза в качестве определяемого.

Формой связи понятий друг с другом является суждение. Если суждения правильно отображают объективно существующие зависимости между вещами, то такие суждения называют истинными; в противном случае суждения будут ложными. Процесс получения нового суждения-вывода из одного или нескольких данных суждений называется умозаключением. Важнейшими видами сложных суждений являются теоремы и аксиомы (постулаты).

Аксиома (греч. - авторитетное предложение “то, что приемлемо”) - предложение, принимаемое без доказательства. Аксиомы и первичные (неопределяемые) понятия составляют основной фундамент математической теории.

К системе аксиом, характеризующих некоторую научную теорию, предъявляются требования независимости, непротиворечивости, полноты.

Постулат (лат. - требование) - предложение, в котором выражается некоторое требование (условие), которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями.

При изучении свойств различных математических объектов приходится делать те или иные заключения, то есть на основе понятий и суждений того или иного раздела математики строить предложения, истинность которых необходимо обосновать.

Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), называется теоремой.

Существует два вида формулирования теоремы: условная, категорическая. Всегда можно из одного вида формулирования теоремы перейти в другому. Если теорема сформулирована в условной форме, то в ней должно быть ясно указано: при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие теоремы) и что в этом объекте утверждается (заключение теоремы) (рис. 2).

Рис. 2. Структура теоремы

Доказательство теоремы состоит в том, чтобы показать, что если выполняется условие, то из него логически следует заключение, т. е., приняв, что P истинно, в соответствии с правилами вывода показать, что G истинно, и тем самым получить возможность утвердить, что данное высказывание (теорема) истинно в целом.

Доказательство включает в себя три основных элемента:

1. Тезис (главная цель доказательства - установить истинность тезиса). Форма выражения тезиса - суждение.

2. Аргументы (основания) доказательства - положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов - суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключению, которые строятся по определенным правилам. Аргументы, на которые можно опереться при доказательстве: аксиомы, определения, ранее доказанные теоремы.

3. Демонстрация - логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.

Известно, что имея некоторую (прямую) теорему ( P => G ), можно образовать новые теоремы, и не одну:

G => P - обратная;

_ _

P => G - противоположная;

_ _

G => P - контрапозитивная (обратная противоположной или противоположнообратная).

Между этими четырьмя видами теорем существует тесная связь:

а) (P =>G) и (G => P) - одновременно истинны или ложны;

б) (G =>P) и (P => G) - одновременно истинны или ложны.

Изучая какую-либо теорему школьного курса математики, учитель должен придерживаться следующей последовательности:

1. Постановка вопроса (создание проблемной ситуации).

2. Обращение к опыту учащихся.

3. Высказывание предположения.

4. Поиск возможных путей решения.

5. Доказательство найденного факта.

6. Проведение доказательства в максимально простой форме.

7. Установление зависимости доказанной теоремы от ранее известных.

Процесс изучения школьниками теоремы включает следующие этапы: мотивация изучения теоремы; ознакомление с фактом, отраженным в теореме; формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в формулировке теоремы; усвоение содержания теоремы; запоминание формулировки теоремы; ознакомление со способом доказательства; доказательство теоремы; применение теоремы; установление связей теоремы с ранее изученными теоремами.

Рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения есть доказательство. Существуют различные методы доказательства теорем. Под методом доказательства будем понимать способ связи аргументов при переходе от условия к заключению суждения. Методы доказательства, используемые в школьном курсе математики, можно выделить по двум основаниям: по пути обоснования тезиса (прямое и косвенное); по математическому аппарату, используемому в доказательстве.

К прямым приемам доказательства относятся:

1. Прием преобразования условия суждения (синтетический).

2. Прием преобразования заключения суждения: а) отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ); б) отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ).

3. Прием последовательного преобразования то условия, то заключения суждения.

К косвенным приемам поиска доказательств относятся:

1. Метод “от противного” (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения).

2. Разделительный метод или метод разделения условий (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения отвергаются, кроме одного), иначе этот метод называют методом исключения.

К методам доказательства, выделенным по второму основанию, когда способ связи аргументов согласуется с определенной математической теорией в школьном курсе математики, относятся:

1. Метод геометрических преобразований. Этот метод в школе используется как средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии. Состоит он из выполнения последовательности шагов: выбирается геометрическое преобразование, обладающее свойством, которое позволяет обосновать наличие указанного отношения между объектами евклидовой геометрии; выполняется преобразование, при котором один объект переходит в другой; обосновывается наличие указанного отношения между объектами с помощью свойств выбранного геометрического преобразования.

2. Алгебраические методы (уравнений, неравенств, тождественных преобразований).

3. Векторный метод, использующий аппарат векторной алгебры.

4. Координатный метод. Координатный метод - это способ определения положения точки на прямой, на плоскости или в пространстве с помощью чисел (например, в декартовой системы координат ли какой-либо другой). Используя координатный метод, алгебраические уравнения можно истолковать в виде геометрических образов (графиков или фигур) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических выражений (уравнений, неравенств или их систем).

При доказательстве математических утверждений используются разные абстрактно-дедуктивные математические методы.

Для того, чтобы учащиеся овладели прямым и косвенным доказательствами, необходимо сформировать у них определенную последовательность умений:

- умение искать доказательство,

- умение проводить доказательство,

- умение оформлять доказательство теоремы.

2. Формирование математических понятий в 7 классе

2.1 Системы уравнений с двумя неизвестными

Задача. Ученик задумал два числа и сказал, что сумма этих чисел равна 10, а их разность равна 4. Можно ли по этим данным узнать, какие числа задумал ученик?

Обозначим первое искомое число буквой х, второе -- буквой у.

По условию задачи

х+у=10 (1)

х-у=4 (2)

Если оба равенства (1) и (2) верные, то их можно сложить (т. е. сложить левые и правые части равенств). Получим также верное равенство

(х+у)+(х-у)=10+4,

откуда 2х =14, х = 7.

Ответ. 7 и 3.

В равенствах (1), (2) буквами х и у обозначены неизвестные числа, или, короче, неизвестные. Эти равенства называют линейными уравнениями с двумя неизвестными.

Так как в этих уравнениях неизвестные числа одни и те же, то эти уравнения рассматривают совместно и говорят, что они образуют систему двух уравнений:

(3)

Фигурная скобка, стоящая слева, показывает, что нужно найти такую пару чисел (х; у), которая обращает каждое уравнение в верное равенство.

Система уравнений (3) -- пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Рассмотрим еще один пример системы уравнений с двумя неизвестными:

(4)

Можно проверить, что два числа х = 3 и у=-5 обращают каждое из уравнений системы (4) в верное равенство:

Пару чисел (3; --5) называют решением системы (4).

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у, которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнение в верное равенство.

Решить систему уравнений -- это значит найти все ее решения или установить, что их нет.

В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными записывают так:

2.2 Степень с натуральным показателем

Произведение нескольких одинаковых множителей можно закисать в виде выражения, называемого степенью. Например,

5·5·5·5·5·5·5=5⁷

Повторяющийся множитель называют основанием степени, а число повторяющихся множителей -- показателем степени.

Так, в выражении 5⁷ число 5 -- основание степени, а число 7 -- показатель степени.

Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.

Степень с основанием а и показателем n записывается так: аⁿ. Читается «а в степени n», «n-я степень числа а».

По определению степени:

а¹=а, а²=аа, а³=ааа, а⁴=аааа

Вообще

Нахождение значения степени называют возведением в степень.

Вычислим значения нескольких выражений, содержащих степени.

Пример 1. Найдем значение выражения 4*10³

1) 10³ = 10*10*10 = 1000; 2) 4*1000 = 4000. Значит, 4*10³ = 4000.

Пример 2. Найдем значение выражения -- 2⁶ + (-- 3)⁴

1) 26 = 64; 3) (-3)⁴ = 81;

4) -2⁶ = - 64 4) - 64 + 81 = 17

Значит, -2⁶ + (-3)⁴ = 17.

Вы уже учились складывать, вычитать, умножать и делить числа с помощью микрокалькулятора. Рассмотрим теперь, как с помощью микрокалькулятора можно вычислять значение степени. Мы будем описывать вычисления на микрокалькуляторе «Электроника МК-57». Работа на других моделях микрокалькулятора может иметь свои особенности, но общие ее принципы сохраняются.

Пример 3. Найдем с помощью микрокалькулятора значение степени 2,7⁵.

Так как степень 2,7⁵ есть произведение пяти множителей, каждый из которых равен 2,7, то вычисления можно провести по схеме:

2,7 Х 2,7 Х 2,7 Х 2,7 Х 2,7=.

Однако микрокалькулятор позволяет вычислять значение степени проще, не набирая повторно основание степени и знак умножения. В нашем примере достаточно ввести число 2,7, нажать клавишу Х и четыре раза нажать клавишу =. Получим более удобную схему вычислений:

2,7 Х = = = =.

В результате вычислений найдем, что 2,7⁵ = 143,48907.

3. Формирование понятийного аппарата в 8 классе

Неравенства

Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном.

Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.

Определение. Число а больше числа b, если разность а -- b положительна. Число а меньше числа b, если разность а -- b отрицательна.

Если а больше b, то пишут: а>b; если а меньше b, то пишут:

Таким образом, неравенство а>b означает, что разность а-b положительна, т. е. а-b>0. Неравенство а<b означает, что а-b<0.

Задача 1. Доказать, что если а>b, то b<а.

Неравенство а>b означает, что а-b -- положительное число.

Тогда b-а = - (а-b) -- отрицательное число, т. е. b<а.

Для любых двух чисел а и b из следующих трех соотношений a>b, a = b, a<b только одно является верным.

Например, для чисел -- 5 и -- 3 неравенство -- 5< -- 3 является верным, а соотношения -- 5= -- 3 и -- 5> -- 3 не являются верными.

Сравнить числа а и b -- значит выяснить, какой из знаков >, = или < нужно поставить между этими числами, чтобы получить верное соотношение. Это можно сделать определив знак разности а -- b.

4. Математические понятия в 9 классе

Теорема 1. Если а>b и Ь>с, то а>с.

По условию а>b и b>с. Это означает, что а -- c>0 и b -- с>0. Складывая положительные числа a -- b и b -- с, получаем (а -- b)+(b -- с)>0, т. е. а -- с>0

Следовательно, а > с.

Геометрически теорема 1 означает, что если на числовой оси точка а лежит правее точки b и точка b лежит правее точки с, то точка а лежит правее точки с.

Теорема 2. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

Пусть а>b. Требуется доказать, что

а+с>b+c

для любого числа с.

Рассмотрим разность

(а+с)-(b +c)= а + с -- b -- с = а -- b.

Эта разность положительна, так как по условию а>b. Следовательно,

а + с > b + с.

Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Пусть а>b + с. Прибавляя к обеим частям этого неравенства число -- с, получаем а -- с>b+с -- с, т. е. а -- с >b.

Теорема 3. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

1) Пусть а>b и с>0. Докажем, что ас>bс.

По условию а--b>0 и с>0. Поэтому (а --b)с>0, т. е. ас -- bc>0. Следовательно, aс>bc.

2) Пусть а>b и с<0. Докажем, что ас<bc.

По условию а -- b>0 и с<0. Поэтому (а -- b)с<0, т. е. ас -- bс<0. Следовательно, ас<bс.

Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Например, разделив обе части неравенства 0,99 < 1 на 3, получим 0,33 <, а разделив обе части неравенства 0,99 < 1 на -9, получим - 0,11>-

Задача 1. Доказать, что если а>b, то -- a<c-- b. Умножая обе части неравенства а> b на отрицательное число - 1, получаем -- а< -- b.

Например, из неравенства 1,9<2,01 следует неравенство --1,9>--2,01; из неравенства 0,63>- следует неравенство

-- 0,63<--L.

При решении различных задач часто приходится складывать или умножать неравенства, т. е. складывать или умножать отдельно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются почленно.

Например, если турист прошел в первый день более 20 км, а во второй -- более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошел более 45 км.

Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см².

При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:

Теорема 1. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а>b и c>d, то a+c>b+d

По условию а -- b>0, с -- d>0, b>0, с>0. Рассмотрим разность

(а+с)-(b+d)=а+с-b-d=(a-b)+(c-d).

Так как сумма положительных числе положительна, то (а+с)-(b+d)>0, т.е. а+с>b+d.

Теорема 2. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а>b, с>d и a, b, c, d - положительные числа, то ас>bd.

Рассмотрим разность

ас-bd=ac+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)/

По условию a-b>0, с-d>0, b>0, c>0. поэтому с(а-b)+b(c-d)>0, т.е. ас-bd>0, откуда ас>bd.

Квадратное уравнение

Каждое из уравнений --х²+6х+1,4=0, 8х²--7х=0, х²--=0 имеет вид ax²+bx+c=0, где х --переменная, a, b и с -- числа. В первом уравнении а= -- 1, b=6 и с=1,4, во втором а=8, b = 1 и с=0, в третьем а = -1, b = 0 и с = . Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ax²+bx+c=0, где х --переменная, a, b и с -- числа, причем а ? 0.

Числа a, b и с -- коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, b -- вторым коэффициентом и с -- свободным членом.

Заметим, что квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Если в квадратном уравнении ax²+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2х²+7=0, Зх²- 10x=0 и -- 4х²=0 -- неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором с=0, в третьем b=0 и с=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

1) ах²+с=0, где

2) ах²+bх-0, где

3) ах²=0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Решим уравнение - Зх²+15=0. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на -3:

-3х²=-15

х²=5

Ответ:

Уравнение с одной переменной

В каждом из уравнений

2(х²+1)(х-1)=6х-(х+7) (1)

и

(2)

левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми уравнениями.

В уравнении (1) раскроем скобки, перенесем все члены в левую часть и приведем подобные члены. Получим:

2х³-2х²+2х-2=6х-х-7,

2х³-2х²+2х-2-6х+х+7=0,

2х³-2х²-3х+5=0

Проведем аналогичные преобразования в уравнении (2), умножив предварительно обе его части на 4:

х⁴-1-2(х²+1)=12х²,

х⁴-1--2х²-2=12х²,

х⁴-1-2х²-2-12х²=0,

х⁴-14х²-3=0

В каждом из рассмотренных примеров мы выполняли такие преобразования, которые приводят к уравнению, равносильному данному. В результате получали уравнение, имеющее вид Р (х) = 0, где Р (х) -- многочлен стандартного вида. Вообще всякое уравнение можно заменить равносильным ему уравнением, левая часть которого -- многочлен стандартного вида, а правая -- нуль.

Если уравнение с одной переменной записано в виде Р х=0, где Р (х) -- многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения. Например, уравнение х³ -- 2х + 1=0 является уравнением третьей степени

Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида P(х) = 0, где Р (х) -- многочлен стандартного вида. Например, для уравнения

(х³-1)²+х⁵=х⁶-2 (3)

имеем:

х⁶-2х³+1+х⁵-х⁶+2=0,

х⁵-2х³+3=0

Степень полученного уравнения равна пяти. Значит, степень равносильного ему уравнения (3) также равна пяти.

Уравнение первой степени можно привести к виду ах - b = 0. где х -- переменная, а и b -- некоторые числа, причем а = 0.

Из уравнения ax+b=0 при а ?0 получаем , что х=-. Число - -корень уравнения. Каждое уравнение первой степени имеет один корень.

Уравнение второй степени можно привести к виду ах² + bх + с = 0, где х -- переменная, а, b и с -- некоторые числа, причем а ?0. Число корней такого уравнения зависит от дискриминанта D = b² -- 4ас. Если D>0, то уравнение имеет два корня; если 1> = 0, то уравнение имеет один корень; если D<O, то уравнение не имеет корней. Любое уравнение второй степени имеет не более двух корней. Для нахождения корней при D ? 0 используется, как известно, формула корней квадратного уравнения х =

Уравнение третьей степени можно привести к виду ax³+bx²+cx+d=0, уравнение четвертой степени -- к виду ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0, где a, b, c… - -- некоторые числа, причем a ?0. Можно доказать, что уравнение третьей степени имеет не более трех корней, уравнение четвертой степени _ не более четырех корней. Вообще уравнение n-й степени имеет не более п корней.

Для уравнений третьей и четвертой степеней известны формулы корней, но эти формулы очень сложны. Для уравнений пятой и более высоких степеней общих формул корней не существует.

Заметим, что иногда удается решить уравнение третьей или более высокой степени, применяя какой-либо специальный прием. Например, некоторые уравнения нетрудно решить с помощью разложения многочлена на множители.

Пример 1. Решим уравнение

х³-8х²-х+8=0 (4)

разложим левую часть уравнения на множители:

х²(х-8)-(х-8)=0,

(х-8)(х²-1)=0,

(х-8)(х-1)(х+1)=0.

Отсюда найдем, что уравнение (4) имеет три корня:

х₁=8, х₂=1, х₃=-1

Для некоторых целых уравнений приближенные значения корней нетрудно найти, используя графический способ решения.

Графический способ не обеспечивает высокую точность результата. Поэтому если требуется найти значение корня с большей точностью, то полученное при графическом решении приближенное значение корня уточняют путем вычислений.

Для уточнения значений корней целого уравнения можно воспользоваться тем, что график функции y = f(x), где f (x) -- некоторый многочлен, представляет собой непрерывную линию. Отсюда следует, что если на концах какого-либо промежутка [а; b] функция принимает значения разных знаков, то внутри этого промежутка находится корень уравнения f (х) = 0.

Уточним найденное значение корня уравнения (5).Корень уравнения принадлежит промежутку [1; 2]. В этом можно убедиться, вычисляя значения функции f (х) = х³+х--4 при х = 1 и х = 2. Получим, что f(1)=-2<0, а f(2) = 6>0.

Разделим отрезок координатной прямой с концами 1 и 2 на 10 равных частей точками

1,0; 1,1; 1,2; ...; 1,8; 1,9; 2,0.

Будем вычислять значения функции при указанных значениях х пока не обнаружим промежуток длиной 0,1, на концах которого функция принимает значения разных знаков. При этом удобно воспользоваться микрокалькулятором, выполняя вычисления по следующей программе:

х = = = + х - 4 =

В результате найдем, что f (1,3)=-0,503<0, а f(1,4)-= 0,144 > 0. Значит, корень уравнения принадлежит промежутку [1,3; 1,4]. В качестве десятичного приближения с точностью до 0,1 можно взять любое из чисел 1,3 и 1,4.

Чтобы найти значение корня с большей точностью, разделим далее отрезок координатной прямой, ограниченный точками 1,3 и 1,4, на 10 равных частей и будем вычислять значения функции при х, равном

1,30; 1,31; 1,32; ...; 1,38; 1,39; 1,40.

Получим, что f (1,37)=-0,058647 < 0, а f(1,38) = = 0 008072 > 0. Следовательно, корень уравнения принадлежит промежутку [1,37; 1,38]. В качестве десятичного приближения с точностью до 0,01 можно взять число 1,37 или число 1,38. Аналогично можно найти десятичные приближения корня уравнения (5) с точностью до 0,001, 0,0001 и т. д.