Метод координат и его изучение в школьном курсе геометрии
Описание метода координат и способов его применения на примере конкретных математических задач. Выделение умений, необходимых для успешного овладения методом координат и подбор задач, формирующих данные умения. Этапы решения задач методом координат.
| Рубрика | Математика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 09.02.2023 |
| Размер файла | 2,2 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Кафедра математики и информационных технологий
выпускная квалификационная работа
по специальности 050201.65 «Математика»
МЕТОД КООРДИНАТ И ЕГО ИЗУЧЕНИЕ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ
Содержание
Введение
1. Теоретические основы темы: Метод координат и его изучение в школьном курсе геометрии
1.1 Основные положения изучения метода координат в школе
1.2 Суть метода координат
1.3 Метод координат на плоскости
1.4 Метод координат в пространстве
1.5 Уравнения геометрических мест точек
1.6 Применение и значение метода координат
2. Методические основы темы: Метод координат и его изучение в школьном курсе геометрии
2.1 Анализ школьных учебников
2.2 Этапы решения задач методом координат
2.3 Задачи, обучающие координатному методу
2.4 Опытное преподавание
3. Использование ЭВМ при изучении темы: Метод координат и его изучение в школьном курсе геометрии
3.1 Роль и место компьютера в учебном процессе
3.2 Применение УМК «Живая математика»
3.3 Применение программы «GeoGebra»
Заключение
Библиографический список
Приложение
ВВЕДЕНИЕ
координата метод математический задача
В геометрии применяются различные методы решения задач - это синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований, векторный, метод координат и другие. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический, а из других наиболее высокое положение занимает метод координат потому, что он тесно связан с алгеброй. Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок, дополнительных построений. Координатный метод этого не требует: решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи.
Можно с уверенностью говорить о том, что изучение данного метода является неотъемлемой частью школьного курса геометрии. Но нельзя забывать, что при решении задач координатным методом необходим навык алгебраических вычислений и не нужна высокая степень сообразительности, а это в свою очередь негативно сказывается на творческих способностях учащихся. Поэтому необходима методика изучения метода координат, позволяющая учащимся научиться решать разнообразные задачи координатным методом, однако не показывающая этот метод как основной для решения геометрических задач. Этим и определяется актуальность выбранной темы: «Изучение метода координат в школьном курсе геометрии основной школы».
Объект исследования данной работы - это процесс изучения учащимися геометрии.
Предметом исследования является изучение метода координат в курсе геометрии основной школы.
Цель работы - разработать методику изучения и использования метода координат в школьном курсе геометрии.
Гипотеза: изучение метода координат в школе будет более эффективно, если:
§ в 5-6 классе проведена пропедевтическая работа по формированию основных умений и навыков;
§ в системном курсе планиметрии учащиеся знакомятся со структурой этого метода;
§ используется продуманная система задач для формирования отдельных компонентов метода.
§ используется компьютеризация процесса обучения в целом.
Предмет, цель и гипотеза исследования определяют следующие задачи:
1. Анализ вариантов изучения метода координат в некоторых из действующих учебников, а также содержание программы по математике по данной теме.
2. Описание метода координат и способов его применения на примере конкретных математических задач.
3. Выделение умений, необходимых для успешного овладения методом координат и подбор задач, формирующих данные умения.
4. Опытная проверка.
5. Применение ЭВМ при изучении темы.
Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения поставленных выше задач были использованы следующие методы:
· анализ программы по математики, учебных пособий, методических материалов, касающихся метода координат;
· наблюдение за ходом образовательного процесса, за деятельностью учащихся при использовании в обучении новых компьютерных технологий.
Основной опытной базой являлась средняя общеобразовательная школа п.Обор.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕМЫ: МЕТОД КООРДИНАТ И ЕГО ИЗУЧЕНИЕ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ
1.1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ИЗУЧЕНИЯ МЕТОДА КООРДИНАТ В ШКОЛЕ
Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры -- единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат.
Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений.
Можно выделить следующие цели изучения метода координат в школьном курсе геометрии:
§ дать учащимся эффективный метод решения задач и доказательства ряда теорем;
§ показать на основе этого метода тесную связь алгебры и геометрии;
§ способствовать развитию вычислительной и графической культуры учащихся.
В школе изучение координатного метода и обучение его применению для решения различных математических задач происходит в несколько этапов. На первом этапе вводится основной понятийный аппарат, который хорошо отрабатывается в 5-6 классах и систематизируется в курсе геометрии. В 5 классе учащиеся знакомятся с координатным лучом, который в последствии, при изучении отрицательных чисел, дополняется до координатной прямой. И уже после введения рациональных чисел в 6 классе учащиеся изучают координатную плоскость. На втором этапе ученики знакомятся с уравнениями прямой и окружности. Данные понятия изучаются ими как в алгебре, так и в геометрии с разной содержательной целью, поэтому учащиеся часто не видят связи между ними, а, значит, и плохо усваивают суть метода. Так, в курсе алгебры VII класса графики основных функций вводятся путем построения ряда точек, координаты которых вычисляются по аналитическому заданию функции. В курсе геометрии уравнение прямой и окружности вводится на основе геометрических характеристических свойств, как множество точек, обладающих определенным свойством (равноудаленности от 2 точек - для прямой, от одной точки - для окружности). Обучение применению самого метода координат для решения задач происходит в курсе геометрии 9 класса. Для этого сначала раскрываются основные этапы применения метода, а затем на примере ряда задач показывается непосредственное применение метода координат.
Но не следует принимать координатный метод за основной метод решения задач и доказательства теорем. Шарыгин И. Ф. в своей статье [19] говорит о вреде метода координат, как для сильных, так и для слабых учеников. Что касается слабых учеников, то «большей частью в этой группе находятся дети, которые плохо считают, с трудом понимают и запоминают формулы. Для этих детей Геометрия могла бы стать предметом, за счет которого они могли бы компенсировать недостатки общематематического развития. А вместо этого она ложится на них дополнительным грузом… Координатный метод оставляет в стороне геометрическую суть изучаемой геометрической ситуации. Воспитывается исполнитель, решающий заданную конкретную задачу. Не меньше, но и не больше. Не развивается геометрическая, и даже математическая интуиция, столь необходимая математику-исследователю», что в свою очередь составляет опасность для сильных учеников.
1.2 СУТЬ МЕТОДА КООРДИНАТ
Немного из истории координатного метода.
В настоящее время уже очень большое число специалистов из разных областей науки имеют представление о прямоугольных декартовых координатах на плоскости, так как эти координаты дают возможность наглядно при помощи графика изобразить зависимость одной величины от другой. Название «декартовы координаты» наводит на ложную мысль о том, что эти координаты были открыты Декартом. В действительности прямоугольные координаты использовались в геометрии еще до нашей эры. Древний математик александрийской школы Аполлоний Пергский (живший в III-II веке до н. э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами. Он определял и изучал с их помощью хорошо известные в то время кривые: параболу, гиперболу и эллипс.
Аполлоний задавал их уравнениями: у2 =рх (парабола)
(гипербола)
(эллипс, где р и q положительны)
Он, конечно, не выписывал уравнения в этой геометрической форме, так как в те времена не существовало еще алгебраической символики, а описывал уравнения, пользуясь геометрическими понятиями; у2 в его терминологии есть площадь квадрата со стороной у; рх - площадь прямоугольника со сторонами р и х и т.д. С этими уравнениями связаны названия кривых. Парабола по-гречески обозначает равенство: квадрат имеет площадь у2 равную площади рх прямоугольника. Гипербола по-гречески обозначает избыток: площадь квадрата у2 превосходит площадь рх прямоугольника. Эллипс по-гречески обозначает недостаток: площадь квадрата меньше площади прямоугольника.
Декарт внес в прямоугольные координаты очень важное усовершенствование, введя правила выбора знаков. Но главное, пользуясь прямоугольными координатами, он построил аналитическую геометрию на плоскости, связав этим геометрию и алгебру. Нужно сказать, однако, что одновременно с Декартом построил аналитическую геометрию и другой французский математик, Ферма.
Значение аналитической геометрии состоит, прежде всего, в том, что она установила тесную связь между геометрией и алгеброй. Эти две ветви математики ко времени Декарта достигли уже высокой степени совершенства. Но развитие их в течение тысячелетий шло независимо друг от друга, и ко времени появления аналитической геометрии между ними намечалась лишь довольно слабая связь.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Координаты позволяют определять с помощью чисел положение любой точки пространства или плоскости. Это дает возможность «шифровать» различного рода фигуры, записывая их при помощи чисел. Соотношения между координатами чаще всего определяет не одну точку, а некоторое множество (совокупность) точек. Например, если отметить все точки, у которых абсцисса равна ординате, т. е. точки, координаты которых удовлетворяют уравнению х=у, то получится прямая линия - биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Иногда, вместо «множество точек», говорят «геометрическое место точек». Например, геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют соотношению х=у - это, как было сказано выше, биссектрисы первого и третьего координатного угла. Установление связей между алгеброй, с одной стороны, и геометрией - с другой, было по существу, революцией в математике. Оно восстановило математику как единую науку, в которой нет «китайской стены» между отдельными ее частями.
Суть метода координат
Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.
Метод координат - это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными.
В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Метод координат связан, правда, с одной геометрической сложностью. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. И только достаточный опыт позволяет выбирать систему координат наиболее целесообразно.
1.3 МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
1. Аффинная система координат на плоскости.
Определение. Аффинная система координат (или аффинным репером) на плоскости называется упорядоченная тройка точек этой плоскости не лежащих на одной прямой: R={О, Е1, Е2}.
Рассмотрим тогда векторы: 1= 1 и 2 = 2 (рис. 2). Поскольку точки О, Е1, Е2, не лежат на одной прямой, поэтому векторы 1 и 2 не коллинеарны, следовательно, они образуют базис совокупности V2 всех векторов плоскости. Таким образом, мы приходим к упорядоченной тройке R={О, 1, 2}, состоящей из точки О и двух неколлинеарных векторов 1 и 2.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Обратно если дана упорядоченная тройка R={О, 1, 2}, состоящая из точки О и двух неколлинеарных векторов 1 и 2, то от неё легко перейти к тройке R={О, Е1, Е2}, отложив векторы 1 и 2 от точки О и взяв соответственно концы этих векторов Е1 и Е2: 1= 1 и 2 = 2. Ясно, что точки О, Е1, Е2, не будут лежать на одной прямой, так как векторы 1 и 2 не коллинеарны.
Таким образом, мы приходим к выводу, что задание на плоскости системы координат как упорядоченной тройки точек R={О, Е1, Е2}, не лежащих на одной прямой, равносильно заданию её как упорядоченной тройки R={О, 1, 2}, состоящей из точки О и двух неколлинеарных векторов 1 и 2. В результате в геометрическую картину, составленную из точек, вводятся векторы.
Первая точка О в системе координат R называется началом системы координат, а векторы 1 и 2 - её базисными или координатными векторами. Прямая ОЕ1 с направляющим вектором 1 называется координатной осью Ох, или осью абсцисс, а прямая ОЕ2 с направляющим вектором 2 называется координатной осью Оу, или осью ординат.
Пусть на плоскости задана система координат R={О, 1, 2} и произвольная точка М. Вектор = м называется радиус-вектором точки М относительно точки О (или системы координат R).
Определение. Координатами точки М в системе координат R={О, 1, 2} называются координаты её радиус-вектора в базисе 1, 2, то есть коэффициенты х, у в его разложении в линейную комбинацию векторов базиса: М(х, у)R = х1+ у2.
Итак, понятие координат точки тесно связывается с понятием координат вектора, а понятие системы координат для точек - с понятием базиса векторов. «Привязывая» векторный базис к фиксированной точке плоскости (началу координат), мы приходим к системе координат для точек. Если тот же векторный базис «привязать» к другому началу, мы получим другую систему координат для точек.
Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.
Каждой точке М плоскости поставим в соответствие вектор . Координаты вектора называются координатами точки М в данной аффинной системе координат. При этом если = (х, у), то пишут: М (х, у).
Пусть прямые, проведенные через точку М параллельно осям координат, пересекают оси координат соответственно в точках М1 и М2 (рис. 3).
Тогда имеем = 1 + 2.
С другой стороны, = х1+ у2.
Следовательно, х =1 / , у = 2 / 2.
Точки Е1 и Е2 имеют координаты: Е1 (1; 0), Е2 (0;1).
Если на плоскости даны две точки А (х1, у1) и В (х2, у2), то координаты вектора вычисляются так: = - = (х2 - х1, у2 - у1).
Пусть точка С делит отрезок АВ в данном отношении:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Тогда . Из правил действии над векторами в координатах следует, что координаты точки С определяются формулами:
,
В частности, если С - середина отрезка АВ, то
,
Рассмотрим различные способы задания прямой на плоскости.
Пусть требуется написать уравнение прямой l, заданной в некоторой аффинной системе координат точкой М1 (х1, у1) и ненулевым вектором , параллельным прямой l (рис. 2).
Вектор будет называться направляющим вектором прямой l.
Пусть М (х, у) - произвольная точка прямой l. Тогда, согласно условию, векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство , или = 1 + t,
где t - некоторое число (параметр). Это соотношение в координатах запишется так:
Полученные уравнения называют параметрическими уравнениями прямой. При и эти уравнения равносильны следующему уравнению первой степени:
Если прямая задана двумя различными точками: А (х1, у1) и В (х2, у2), то вектор = (х2 - х1, у2 - у1) является направляющим вектором прямой l. Следовательно, при х1х2 и у1у2 получаем уравнение
Размещено на http://www.allbest.ru/
,
которое называется уравнением прямой, проходящей через две точки.
В частности, если прямая l проходит через точки А (а, 0) и В (0, b), отличные от начала координат, то уравнение прямой принимает вид
Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках.
Исключая из параметрических уравнений прямой параметр t. При получим уравнение: у - у1 = k (х - х1),
где . Число k называют угловым коэффициентом прямой. В частном случае, при х1 = 0 и у1 = b, уравнение принимает вид
Если же , то прямая l параллельна оси Оy, а её уравнение запишется так: х = х1.
Таким образом, всякую прямую на плоскости можно задать уравнение первой степени Ах + Ву + С = 0, где хотя бы одно из чисел А и В отлично от нуля. Верно и обратное предложение: всякое уравнение первой степени Ах + Ву + С = 0 есть уравнение некоторой прямой в аффинной системе координат на плоскости.
При уравнение Ах + Ву + С = 0 приводится к виду у = kх + b, где
,
Если же В = 0 и , то оно принимает вид х = а, где .
2. Декартова система координат на плоскости. Прямая и окружность.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Определение. Декартовой (или ортонормированной, или прямоугольной) системой координат на плоскости называется такая аффинная система координат, базисные векторы которой ортонормированны, то есть имеют единичные длины и ортогональны (перпендикулярны). Обозначение R = {O, , }; так что || = || = 1, перпендикулярен .
При решении задач, в которых существенную роль играет понятие расстояния между двумя точками, применяется, декартова или прямоугольная система координат.
Пусть даны две точки: А (х1, у1) и В (х2, у2). Тогда, как известно,
.
Пользуясь формулой, запишем уравнение окружности с центром в точке С (a, b) и радиусом r:
.
Вышеизложенная теория прямой справедлива и для прямоугольной системы координат. В частности, при решении задач пользуются уравнением прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку А (х1, у1):
.
Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой, заданной двумя точками А (х1, у1) и В (х2, у2), вычисляется по формуле
Угловой коэффициент в прямоугольной системе координат имеет следующий геометрический смысл: , где - величина угла от оси абсцисс до прямой l.
Пусть прямые l1 и l2 заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами: у = k1х + b1 и у = k2х + b2.
Если l1 || l2, то , поэтому k1 = k2, и обратно, т.е. условие k1 = k2 выражает признак параллельности прямых l1 и l2.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Введем формулу для вычисления угла между пересекающимися прямыми l1 и l2 (рис. 6).
Так как и , , то
или
Полученную формулу для вычисления угла от прямой l1 до прямой l2 можно записать и так:
Отсюда следует, что тогда и только тогда, когда k1k2 = - 1, т.е. условие k1k2 = - 1 выражает признак перпендикулярности прямых l1 и l2.
Приступая к решению геометрической задачи, следует рационально выбрать систему координат, присоединить её к данной фигуре наиболее естественным образом. Желательно, чтобы данные точки располагались на осях координат, тогда среди координат будут нули. Это позволит упростить вычисления.
3. Полярная система координат на плоскости
Уравнения многих кривых удобно задавать не в декартовой системе, а в других системах координат. Координатами называются числа, при помощи которых можно определить положение точки. Например, положение точки на поверхности земного шара определяются ее географическими координатами - шириной и долготой. Одной из важных систем координат на плоскости является полярная система координат.
Полярная система координат задается точкой О и лучом ОА с началом в этой точке. Точка О называется полюсом, ось ОА - полярной осью. Полярными координатами точки М называются ее расстояние r от полюса и угол , который направленный отрезок ОМ образует с полярной осью.
Координата r называется полярным радиусом, а координата - полярным углом точки М. При этом употребляют запись М(r, ). Из определения полярных координат следует, что r0. Координата определяется неоднозначно, так как координатам (r, ) и (r, ), соответствует одна и та же точка. Если наложить на условие 0 или , то координата становится однозначной. При точка совпадает с полюсом, а координата не определена. Кривые могут задаваться уравнениями в полярных координатах так же, как они задаются уравнениями в декартовых координатах [24].
1.4 МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Декартова прямоугольная система координат в пространстве
Координаты точек и векторов.
Декартова прямоугольная система координат в пространстве задается тремя попарно перпендикулярными осями координат с общим началом:
Ох - ось абсцисс, Оу - ось ординат, Оz - ось аппликат.
Плоскости Оху, Оуz, Ozx называются плоскостями координат. Система координат Охуz называется правой, если для наблюдателя, стоящего на плоскости Оху и расположенного так, что ось Оz направлена от ног к голове, кратчайший поворот, совмещающий положительное направление оси Ох с положительным направлением оси Оу, происходит против часовой стрелки. Если же такой поворот происходит по часовой стрелке, то система называется левой. Названия "правая система" и "левая система" объясняются тем, что оси координат правой системы направлены как большой, указательный, средний палец правой руки, расположенные попарно перпендикулярно друг другу, а оси левой системы - как пальцы левой руки [31].
Радиус-вектором точки М относительно декартовой прямоугольной системы координат Охуz называется вектор . Координатами точки М относительно декартовой прямоугольной системы координат называются проекции ее радиус-вектора на оси координат:
х=Прх , у=Пру , z=Прz ,
т.е. скалярные величины направленных отрезков на осях Ох, Оу, Оz: х=(ОР)х, у=(ОQ)y, z=(OR)z,
где P, Q, R - проекции точки М на оси Ох, Оу, Оz соответственно. При этом пишут
Существует определения координат вектора.
Определение. Координатами вектора относительно декартовой прямоугольной системы координат Охуz называются его проекции на оси координат: ах=Прх, ау=Пру, аz=Прz. При этом употребляется запись =( ах,ау, аz).
Координаты вектора равны разностям между координатами его конца и начала: если , то , , выражение координат вектора через координаты его начала и конца. Действительно, . Следовательно,
.
Аналогичным образом можно найти выражения для , .
2. Цилиндрическая система координат в пространстве [31].
Цилиндрические координаты -- трехмерный аналог полярных, в котором точка P представляется трехкомпонентным кортежем (r,и,h). В терминах декартовой системы координат,
· (радиус) -- расстояние от оси z к точке P,
· (азимут или долгота) -- угол между положительной («плюсовой») частью оси x и прямой линии, мысленно проведённой от полюса до точки P, спроектирован на xy-плоскость
· h (высота) -- расстояние (с учетом знака) от xy-плоскости до точки P.
Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных вокруг некой оси. Например, длинный цилиндр в декартовых координатах имеет уравнение 2x + 2y = 2c, тогда как в цилиндрических оно выглядит как r = с
Размещено на http://www.allbest.ru/
Пример: Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного сферой и параболой .
Воспользуемся формулами
,
, ,
где с - плотность тела в точке (x,y,z), а m - масса тела:. в которых положим с=1. Тело симметрично, центр тяжести лежит на оси Oz, поэтому и необходимо найти аппликату центра тяжести тела, т.е. . Т.к. тело симметричное, то в цилиндрической системе координат определяющие неравенства запишем в виде (рассмотрим первую четверть координатной системы.):
(V1): , , , а интеграл в виде
Следовательно, . Таким образом, центр тяжести данного тела находится в точке .
Замечание. Неравенства, определяющие область V1 получены следующим образом. Уравнение определяется пересечением параболоида и сферы . Откуда, , z=1 и в цилиндрической системе координат . Следовательно, ; функции , ; а .
Необходимо отметить, что при решении данной задачи не было необходимости выполнять чертеж. Достаточно записать неравенства, определяющие область V.
3. Сферическая система координат
Сферическая система координат определяется так [24]:
Для любой точки А, с прямоугольными координатами (x ; у, z) не совпадающий с началом координат, проводится радиус- вектор ОА, затем проецируется на плоскость xOy, тогда ОА1 =пр(хоу)ОА = угол отсчитывается от оси Ох, а угол в плоскости ZOA от оси Оz. Тогда три параметра (,, ) образуют сферическую систему координат.
Величину называют сферическим радиусом, - широтой, - долготой. Для 0 широта и долгота неопределенна.
При =90 сферическая система координат вырождается в полярную.
Если полюс и полярная ось совпадают соответственно с началом O и осью Ox прямоугольной системы координат, то при условии, что для измерения , x, y, z использованы равные единицы масштаба, декартовы и сферические координаты связаны соотношениями.
.
Стереографической проекцией называется проекция сферы из одного полюса (скажем южного) на касательную плоскость к другому полюсу (северному). Стереографическая проекция является взаимно однозначным отображением сферы с выколотой точкой на плоскость. С ее помощью можно получать плоское изображение сферы (например, земной поверхности или « небесной сферы»), и поэтому ею с давних времен пользуются астрономы и картографы.
Изобретение стереографической проекции обычно приписывают греческому астроному Гиппарху, жившему 160-125 гг. до н. э.; впоследствии, ее использовали навигаторы, кристаллографы, геологи и всесторонне изучали математики. Стереографическая проекция лежит в основе работы астролябии.
Первое свойство сферической проекции - оно сохраняет углы между линиями. Рассмотрим, например, пересечение линий Г1 и Г2 на сфере. Угол ( Г1, Г2) измеряется углом между большими окружностями сферы, касающимися кривых Г1, Г2 в точке их пересечения или углом между касательными к этим окружностям прямыми. Пусть Г1 и Г2 перешли при проекции в 1 2. Нужно доказать равенство. (Г1 ;Г2) = ( 1 ; 2).
Не нарушая общности, можно предположить, что Г1 проходит через полюсы сферы. Тогда нужно доказать равенство углов UPW и UP'W.
Для этого рассмотрим плоскость = (МSV), параллельную и проходящую через полюс S, и плоскость (MPV), касающуюся сферы в точке Р. Эти плоскости пересекаются по прямой МV и значит, они симметричны относительно плоскости МОV. Отсюда следует равенство углов UPW и TSR. Но из параллельности плоскостей и сразу следует UP'W =TSR, откуда UPW=UP'W.
Второе свойство стереографической проекции: окружности на сфере переходят в прямые или окружности на плоскости .
Сразу видно, что окружность на сфере, проходящая через полюс S, отображается на прямую. Покажем, что все другие окружности на сфере стереографическая проекция переводит в окружности на . Для этого вспомним, что плоская кривая, составляющая прямые углы со всевозможными лучами, исходящими из одной точки, является окружностью.
Пусть окружность l проектируется на кривую l', Pl и P' - образ Р. Пусть Q - точка пересечения перпендикуляра к плоскости окружности l, проходящего через ее центр I, и касательной QP к сфере в точке P. Пусть Q' - точка пересечения SQ с . Ясно, что QP l; значит, по первому свойству, QP l' и в силу замечания из предыдущего абзаца это значит, что l' - окружность.
Третье свойство стереографической проекции: при вращении сферы относительно оси, проходящей через точки S и N, стереографическая проекция произвольной точки P на сфере будет вращаться около (SN). Другими словами, параллели сферы проектируются в концентрические окружности плоскости , и проекция вращающейся по параллели точки станет вращаться по такой окружности.
Четвертое свойство стереографической проекции; если Р' - проекция точки Р, то |SP| |SP'| = d2, где d/2 - радиус сферы. Доказательство легко получить из подобия прямоугольных треугольников SP'N и SPN.
Стереографическая проекция и её свойства лежат в основе конструкции и принципа действия астролябии. Название этого прибора означает «схватывают звезды». Схватывание это состоит в измерении координат интересующего нас светила. Сам прибор - сложная металлическая конструкция; он состоит из «паука», вращающегося по криволинейной координатной сетке - «паутине».
1.5 УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ ТОЧЕК
1. Определение геометрического места точек
Геометрическое место точек - это множество всех точек, удовлетворяющих определённым заданным условиям.
Пример 1. Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от концов этого отрезка. Пусть PO AB и AO = OB:
Тогда, расстояния от любой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d. Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляра отрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.
Пример2. Окружность - это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от её центра (одна из этих точек - А).
Тогда отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом и обозначается r или R. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Часть окружности AmB, называется дугой. Прямая PQ, проходящая через точки M и N окружности, называется секущей, а её отрезок MN, лежащий внутри окружности - хордой. Хорда, проходящая через центр круга например, BC называется диаметром и обозначается d или D. Диаметр - это наибольшая хорда, равная двум радиусам (d = 2r). Предположим, дана точка А (7; 3; 5); эта запись означает, что точка А определяется координатами х = 7, у = 3, z = 5. Если масштаб для построения чертежа задан или выбран, то откладывают на оси х от некоторой точки О отрезок ОАХ, равный 7 единицам, и на перпендикуляре к этой оси, проведенном из точки Ах, отрезки АХА' = 3 ед. и АХА" = 5 ед. Получаем проекции А' и А". Для построения достаточно взять только ось х. Принимая оси проекций за оси координат, можно найти координаты точки по данным ее проекциям. Например, отрезок ОАХ - выражает абсциссу точки А, отрезок АХА' - ее ординату, отрезок АХА" - аппликату. Если задается лишь абсцисса, то этому соответствует плоскость, параллельная плоскости, определяемой осями у и z. Действительно, такая плоскость является геометрическим местом точек, у которых абсциссы равны заданной величине. Если задаются две координаты, то этим определяется прямая, параллельная соответствующей координатной оси.
Например, имея заданными абсциссу и ординату, получаем прямую, параллельную оси z (это прямая АВ). Она является линией пересечения двух плоскостей _ и _, где _ - геометрическое место точек с равными ординатами. Прямая АВ служит геометрическим местом точек, у которых равны между собой абсциссы и равны между собой ординаты. Если задаются все три координаты, то этим определяется точка. Точка К, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых _ есть геометрическое место точек по заданной абсциссе, _ - по заданной ординате и _ - по заданной аппликате. Точка может находиться в любом из восьми октантов. Следовательно, нужно знать не только расстояние данной точки от той или иной плоскости координат, но и направление, по которому надо это расстояние отложить; для этого координаты точек выражают относительными числами.
2. Определение уравнения геометрического места точек
Уравнением линии называется уравнение с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.
Входящие в уравнение линии переменные x и y называются текущими координатами, а буквенные постоянные - параметрами.
Чтобы составить уравнение линии как геометрического места точек, обладающих одинаковым свойством, нужно:
1) взять произвольную (текущую) точку M(x, y) линии;
2) записать равенством общее свойство всех точек M линии;
3) входящие в это равенство отрезки (и углы) выразить через текущие координаты точки M(x, y) и через данные в задаче.
В прямоугольных координатах уравнение прямой на плоскости задается в одном из следующих видов:
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом y = kx + b, (1)
где k - угловой коэффициент прямой, т. е. тангенс того угла, который прямая образует с положительным направлением оси Ox, причем этот угол отсчитывается от оси Ox к прямой против часовой стрелки, b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. При b = 0 уравнение (1) имеет вид y = kx и соответствующая ему прямая проходит через начало координат.
Уравнением (1) может быть определена любая прямая на плоскости, не перпендикулярная оси Ox.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом разрешено относительно текущей координаты y.
2. Общее уравнение прямой Ax + By + C = 0. (2)
Частные случаи общего уравнения прямой:
а) Если C = 0, уравнение (2) будет иметь вид
Ax + By = 0,
и прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат, так как координаты начала координат x = 0, y = 0 удовлетворяют этому уравнению.
б) Если в общем уравнении прямой (2) B = 0, то уравнение примет вид
Ax + С = 0, или .
Уравнение не содержит переменной y, а определяемая этим уравнением прямая параллельна оси Oy.
в) Если в общем уравнении прямой (2) A = 0, то это уравнение примет вид
By + С = 0, или ;
уравнение не содержит переменной x, а определяемая им прямая параллельна оси Ox.
Следует запомнить: если прямая параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.
г) При C = 0 и A = 0 уравнение (2) принимает вид By = 0, или y = 0.
Это уравнение оси Ox.
д) При C = 0 и B = 0 уравнение (2) запишется в виде Ax = 0 или x = 0.
Это уравнение оси Oy.
3. Уравнение прямой в отрезках на осях
(3)
где a - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox; b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.
Каждый из этих отрезков отложен от начала координат.
Особенности этого уравнения такие: в левой части уравнения между дробями сосит знак плюс, величины a и b могут быть как положительными, так и отрицательными, правая часть уравнения равна единице.
4. Нормальное уравнение прямой
(4)
ЗдесьРазмещено на http://www.allbest.ru/
p - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, измеренная в единицах масштаба, а - угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ox. Отсчитывается этот угол от оси Ox против часовой стрелки. Для приведения общего уравнения прямой (2) к нормальному виду обе его части надо умножить на нормирующий множитель:
(5)
причем перед дробью следует выбрать знак, противоположный знаку свободного члена C в общем уравнении прямой (2).
Особенности нормального уравнения прямой: сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах равна единице, свободный член отрицателен, а правая его часть равна нулю.
1.6 ПРИМЕНЕНИЕ И ЗНАЧЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ
Мысль о возможности систематического применения метода координат в научных исследованиях зародилась несколько тысяч лет тому назад. Известно, например, что астрономы древнего мира, используя специальные системы координат на воображаемой небесной сфере, определяли положение наиболее ярких звёзд, составляли карты звёздного неба, вели отличавшиеся большой точностью наблюдения за перемещением Солнца, Луны и планет относительно неподвижных звёзд. В более позднюю эпоху широко развилось использование системы географических координат для составления карт земной поверхности и определения местонахождения корабля в открытом море. Однако до XVII века применение метода координат имело односторонний характер: им пользовались, по сути, только для указания положения определённого объекта -- неподвижного (гора, мыс) или движущегося (корабль, планета).
Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов. Благодаря универсальности подхода к решению различных задач, метод аналитической геометрии стал основным методом геометрических исследований и широко применяется в других областях точного естествознания - механике, физике.
Сферическая система координат широко применяется в астрономии, в частности при расчетах траектории движения спутников и других объектов. Пример ее использования астролябия.
Стереографическая проекция является взаимно однозначным отображением сферы с выколотой точкой на плоскость. С ее помощью можно получать плоское изображение сферы (например, земной поверхности или « небесной сферы»), и поэтому ею с давних времен пользуются астрономы и картографы.
Изобретение стереографической проекции обычно приписывают греческому астроному Гиппарху, жившему 160-125 гг. до н. э.; впоследствии, ее использовали навигаторы, кристаллографы, геологи и всесторонне изучали математики. Стереографическая проекция лежит в основе работы астролябии.
Полярная система координат двумерная и поэтому может применяться только в тех случаях, когда местонахождение точки определяется на плоскости, или для случая однородности свойств системы в третьем измерении, например, при рассмотрении течения в круглой трубе. Лучшим контекстом применения полярных координат являются случаи, тесно связанные с направлением и расстоянием от некоторого центра. Например, в приведённых выше примерах видно, что простых уравнений в полярных координатах достаточно для определения таких кривых как спираль Архимеда, уравнения которых в прямоугольной системе координат гораздо сложнее. Кроме того, многие физических системы -- такие, которые содержат тела, движущиеся вокруг центра, либо явления, распространяющиеся из некоторого центра -- гораздо проще моделировать в полярных координатах. Причиной создания полярной системы координат было исследование орбитального и движения по кругу.
Полярную систему координат часто применяют в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации, для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат.
Системы с радиальной симметрией очень хорошо подходят для описания в радиальных координатах, где полюс системы координат совпадает с центром симметрии. В качестве примера можно привести уравнение тока грунтовых вод в случае радиально симметричных колодцев. Системы с центральными силами также подходят для моделирования в полярных координатах. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняющиеся закону обратно-квадратичной зависимости, так и системы с точечными источниками энергии, такие как радиоантенны.
Фронт мощности звуковой волны промышленного громкоговорителя показан в сферических полярных координатах при шести частотах. Трёхмерное моделирование звука динамиков может использоваться для прогнозирования их эффективности. Необходимо сделать несколько диаграмм в полярных координатах для широкого диапазона частот, поскольку фронт существенно меняется в зависимости от частоты звука. Полярные диаграммы помогают увидеть, что многие громкоговорители с понижением частоты звука теряют направленность.
В инженерной деятельности при изучении свойств геометрических объектов используют прямоугольную систему координат, отличающуюся от декартовой системы координат, применяемой в математике, направлением осей.
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕМЫ: МЕТОД КООРДИНАТ И ЕГО ИЗУЧЕНИЕ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ
2.1 АНАЛИЗ ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКОВ
Хорошо известно, что, как бы ни строился школьный курс геометрии, в нем обязательно присутствуют различные методы доказательства теорем и решения задач. Среди таких методов важное место занимают такие методы, как метод геометрических преобразований, метод координат, векторный метод. Сами эти методы тесно связаны между собой. В зависимости от концепции, раскрываемой авторами учебников геометрии для средней школы, тот или иной метод может занимать доминирующее значение. Так в учебнике [23] активную роль играет метод координат, который весьма плодотворен.
В школьной программе по математике методу координат уделяется сравнительно мало внимания. В разделе «Цели изучения курса геометрии» говорится: «При доказательстве теорем и решении задач… применяются геометрические преобразования, векторы и координаты». Следовательно, программа не ставит целью изучение метода координат как метода решения задач. В программе говорится, что «в результате изучения курса геометрии учащиеся должны уметь использовать координаты для решения несложных стандартных задач». Ни слова не говориться об овладении учащимися методом координат для доказательства теорем и решении задач. Упор делается на «несложные стандартные задачи», тогда как метод координат лучше проявляет свои достоинства при решении нестандартных и довольно сложных (если не решать их другими способами) задач.
В соответствии с программой по математике для средней общеобразовательной школы координаты впервые появляются в 5 классе. При этом, ребята знакомятся с изображением чисел на прямой и координатами точек. Причем введение этих понятий в учебниках различно. Так в учебнике [3] в пятом параграфе первой главы рассматривается координатный луч, с его помощью в дальнейшем происходит сравнение натуральных и дробных чисел, а так же иллюстрация действий сложения и вычитания над натуральными числами. С понятием координатной прямой авторы учебника [4] знакомят учащихся в 6 классе. В учебнике же [6] нет определения «координатный луч». Авторы в начале 5 класса вводят понятие координатной прямой, хотя, до изучения отрицательных чисел, которое происходит в 6 классе, работа идет только с правой частью координатной прямой, представляющей собой координатный луч. Это не совсем удобно, так как могут возникнуть не нужные пока вопросы о другой части этой координатной прямой. В целом, учебники [3], [4] содержат больше заданий, связанных с определением координатного луча, (координатной прямой, а затем и координатной плоскости) и чаще обращаются к нему для введения других понятий или рассмотрения действий над числами, чем учебники [6], [7].
Согласно программе в геометрии координаты изучаются в следующем объеме: «Координатная плоскость. Формула расстояния между двумя точками плоскости с заданными координатами. Уравнение прямой и окружности».[27]
Так, в учебнике [2] координатам посвящена отдельная глава в 9 классе. Причем этот материал изучается после изучения темы «Векторы», но до изучения скалярного произведения векторов. На рассмотрение темы отводиться 18 часов. В данном учебнике метод координат выделен в отдельную главу, в которой изучаются координаты вектора, уравнение окружности и прямой, решаются простейшие задачи в координатах. В этой главе дается понятие метода координат как метода изучения геометрических фигур с помощью средств алгебры. Школьники учатся решать задачи путем введения системы координат. Автор ставит целью научить школьников владеть методом координат не только в применении к задачам на построение фигур по их уравнению, но и при решении задач на доказательство, а также для вывода геометрических формул.
В отличие от других школьных учебников по геометрии в учебнике [23] координаты заняли одно из центральных мест. Они вводятся, начиная с 8 класса после изучения тем «Четырехугольники» и «Теоремы Пифагора». На изучение темы отводится 19 часов. Сразу, после рассмотрения основных понятий, связанных с введением координат на плоскости, уравнений окружности и прямой, с учащимися изучаются такие вопросы, как пересечение двух окружностей, пересечение прямой и окружности, определение синуса, косинуса и тангенса любого угла от 0° до 180°. Это и есть первые приложения метода координат, с которыми знакомятся учащиеся.
В курсе алгебры, исходя из уравнения y=f(x), где f(x) заданная функция, строили кривую, определяемую этим уравнением, т. е. строили график функции y=f(x). Таким образом, шли как бы «от алгебры к геометрии». При изучении метода координат в геометрии мы выбираем обратный путь: исходя из геометрических свойств некоторых кривых, выводим их уравнение, т. е. идем как бы «от геометрии к алгебре». В 8 классе по учебнику [23] и в 9 по учебнику [2] рассматривается уравнение прямой и окружности. При этом обращается внимание на общее понятие «уравнение фигуры»: «Уравнением фигуры на плоскости в декартовых координатах называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие данному уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры»[23]. Уравнение фигуры на плоскости в общем виде можно записывать так: F(х,у)=0, где F(х,у) функция двух переменных х и у.
Учебник [28] реализует авторскую концепцию построения школьного курса геометрии, в нем больше внимания по сравнению с традиционными учебниками уделяется методам решения геометрических задач. Метод координат по данному учебнику является предпоследней темой 9 класса. При его изучении учащиеся знакомятся с декартовыми координатами на плоскости, рассматривают два уравнения «плоских линий: прямой и окружности», которые в дальнейшем будут необходимы при решении задач. В процессе этого отрабатываются некоторые умения, необходимые для решения задач координатным методом. Следует отметить, что в учебнике сравнительно небольшой теоретический материал по данной теме. Так, например, единственной доказанной формулой (причем только для одного случая когда х1?х2 и у1?у2), если не считать уравнений линий, является формула расстояния между точками. В отличие от учебников [23] и [2] формула середины отрезка в теоретическом материале не рассматривается, хотя в практических заданиях присутствует задача «Рассмотрим на координатной прямой точки А(-2,5) и В(4,3). Найти координаты точки М, если М - середина АВ», таким образом учащимся предлагается самим вывести формулу координат середины отрезка, рассматривая данный конкретный случай и используя понятия координат и формулу расстояния между точками.
Автор не предлагает учащимся как такового понятия фигуры, но подробно рассматривает уравнения «плоских линий», которые понадобятся учащимся при решении задач. Это уравнения окружности и прямой.
А после изучения векторов рассматривается параграф «Координатный метод», в котором на примере двух разобранных задач, в одной из которых рассматривается окружность Аполлония, а в другой обращается внимание на выбор системы координат, учащимся предлагается ряд задач, решаемых данным методом. Это довольно сложные задачи, в основном связанные с нахождением геометрического места точек.
Автор данного учебника признает, что «координатный метод является одним их самых универсальных методов», но отмечает, что «метода на все случаи жизни нет».
2.2 ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕТОДОМ КООРДИНАТ
Чтобы решать задачи как алгебраические, так и геометрические методом координат необходимо выполнение 3 этапов:
1) перевод задачи на координатный (аналитический) язык;
2) преобразование аналитического выражения;
3) обратный перевод, т. е. перевод с координатного языка на язык, в терминах которого сформулирована задача.
Подобные документы
Истоки, понятие аналитической геометрии. Метод координат на плоскости. Аффинная и Декартова система координат на плоскости, прямая и окружность. Аналитическое задание геометрических фигур. Применение аналитического метода к решению планиметрических задач.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 12.05.2009Метод координат как глубокий и мощный аппарат. Основные особенности декартовых координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Понятие вектора как направленного отрезка. Рассмотрение координат вектора и важнейших в аналитической геометрии вопросов.
курсовая работа [573,7 K], добавлен 27.08.2012Специфика декартовых координат и способ их использования при вычислении двойного интеграла, сведенного к повторному интегрированию. Примеры решения задач и особенности определения тройного интеграла в системе цилиндрических и сферических координат.
презентация [69,7 K], добавлен 17.09.2013Краткая историческая сводка о системе координат. Криволинейные, полярные и сферические системы координат. Рене Декарт - французский философ, физик и математик. Декартова прямоугольная система координат (на плоскости и в трёхмерном пространстве).
презентация [640,7 K], добавлен 29.06.2010Поняття полярної системи координат, особливості завдання координат точки у ній. Формули переходу від декартової до полярної системи координат. Запис рівняння заданої кривої в декартовій системі координат з використанням вказаної формули переходу.
контрольная работа [2,4 M], добавлен 01.04.2012Вычисление скалярного и векторного произведений векторов, заданных в прямоугольной декартовой системе координат. Расчет длины ребра пирамиды по координатам ее вершин. Поиск координат симметричной точки. Определение типа линии, описываемой уравнением.
контрольная работа [892,1 K], добавлен 12.05.2016Определение положения точки в пространстве. Правая декартова (или прямоугольная) система координат. Способы измерения дуг. Определение координат точки в пространстве. Определение окружности и ее радиуса. Построение сферической системы координат.
контрольная работа [59,3 K], добавлен 13.05.2009Физическое и математическое определение центра масс. Основные свойства центров масс. Изучение закона Харди-Вайнберга. Решение геометрических задач барицентрическим методом. Применение барицентрических координат в химических и топологических задачах.
курсовая работа [903,5 K], добавлен 25.02.2015Выражение для градиентов в криволинейной системе координат. Коэффициенты Ламе в цилиндрической системе координат. Дивергенция векторного поля. Выражение для ротора в криволинейной ортогональной системе координат. Выражение для оператора Лапласа.
контрольная работа [82,8 K], добавлен 21.03.2014Общая схема применения определенного интеграла, правила и принципы реализации данного процесса. Вычисления координат центра тяжести плоских фигур. Решения задач на вычисление силы взаимодействия двух материальных тел, вращающихся вокруг неподвижной оси.
методичка [195,5 K], добавлен 15.06.2015
