Метод координат и его изучение в школьном курсе геометрии

Пример 3. Диаметры AB и CD окружности перпендикулярны. Хорда ЕА пересекает диаметр СD в точке К, хорда ЕС пересекает диаметр АВ в точке L. Докажите, что если СК:KD так же как 2:1, то AL:LB так же как 3:1.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат, направив оси по данным диаметрам AB и CD (рис. 30).

Радиус окружности будем считать равным 1. Тогда точки А, В, С, D будут иметь координаты (-1,0), (1,0), (0,-1), (0,1) соответственно. Так как СК:KD=2:1, то точка К имеет координаты (0,). Найдем координаты точки Е как точки пересечения прямой АК, имеющей уравнение и окружности, заданной уравнением . Получаем, что точка Е имеет координаты (). Точка L - это точка пересечения прямых СЕ и оси абсцисс, значит ординаты точки L равна 0.

Найдем абсциссу точки L. Прямая СЕ задана уравнением . Она пересекает ось Ох в точке (,0). Отсюда координаты точки L(,0). Найдем отношение AL:LB. Оно равно трем, что и требовалось доказать.

Задачи

1. Доказать, что если в треугольнике две медианы конгруэнтны, то треугольник равнобедренный.

2. Найти множество таких точек Р, что отношение расстояний от каждой из них до двух данных точек равно а.

3. Докажите, что уравнение окружности с центром в точке С (а,с) и радиусом r имеет вид: (х-а)²+(у-с)²=r²

4. Найти угол между прямыми Зх-4у+6=0 и 12х+5у+8=0

5. Определите расстояние от точки А(-3,4) до прямой у=х+2.

6. Вычислите площадь треугольника, вершины которого имеют следующие координаты: А (0,-2), В(6,2) и С(2,4).

7. На прямой с даны три точки А, В, С так, что точка В лежит между точками А и С. В одной полуплоскости с границей а построены равносторонние треугольники АМВ и ВРС. Доказать, что середина отрезка РА, середина отрезка МС и точка В являются вершинами равностороннего треугольника.

8. Доказать, что для любой точки Р лежащей между вершинами В и треугольника ABC, справедливо равенство:

АВ²*РС+АС*ВР-АР²*ВС=ВС*ВР*РС.

9. Дан прямоугольник. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки, принадлежащей плоскости этого прямоугольника до его вершин, в два раза больше суммы квадратов расстояний от этой точки до сторон прямоугольника.

10. Доказать, что если через некоторую точку М провести прямую, пересекающую окружность в точках А и В, то произведение МА*МВ постоянно и не зависит от положения прямой.

11. Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек М, для которых MA²+MC²=MB²+MD². (ответ: множество точек М есть плоскость)

12. Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек М, для которых MA+MC=MB+MD. (Ответ: пара прямых)

13. Дан прямоугольный треугольник ABC (C=90°). Найти множество точек Р, для которых 2РС²=РА²+РВ². (ответ: множество точек Р есть прямая, содержащая середину М гипотенузы АВ и перпендикулярная к медиане СМ).

Задачи, решаемые методом координат

Задача 1. Даны уравнения одной из сторон ромба х-3у + 10 = 0 и одной из его

Размещено на http://www.allbest.ru/

диагоналей х + 4у - 4 = 0; диагонали ромба пересекаются в точке (0; 1). Найти уравнение остальных сторон ромба.

Решение:

Найдем т. пересечения и :

=> A(-4;2)

Т.к P - середина отрезка AC, то

=> C(4;0).

Через точку C направим прямую, параллельную (т.е. найдем ). => По свойству ромба:

=> ; =>

; ; ; =>

;

По формуле прямой, проходящей через две точки, найдем

;

Задача 2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти длины медианы, высоты, биссектрисы, проведенных из вершины А. Вычислить внутренний угол при вершине В.

А (8;0), В(-4; -5); С(-8;-2).

Решение:

1) ={-12; -5}, ||=13

= {-4; 3}, ||=5

= {-16; -2}, ||==

2) =0.5(+)=0.5{-12-16;-5-2}={-28;-7}

|| =

3) Имеем уравнение прямой ВС:

3x + 4y + 32 = 0.

|| = с(A, BC) =	|3•8+4•0+32|	=

4) Найдем уравнение прямой AL:

; ;

Значит,

.

Тогда, или

Найдем точку L - точку пересечения прямых AL и BC:

;

Тогда

и .

Итак,

и

5)

Ответ: ; ;;

Задача 3. Найти точки пересечения кривой второго порядка с прямой (а):

Решаем систему:

; ;

Подставляем в первое уравнение и получаем:

D<0 => нет точек пересечения

Ответ: нет точек пересечений

Задача 4. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны полярные координаты точек . Определить декартовы прямоугольные координаты этих точек.

M(x_M; y_M), где

x_M=с₁Cos (ц₁+р/4) = Cos(25р/12) = Cos(р/12),

y_M=с₁Sin (ц₁+р/4) = Sin(25р/12) = Sin(р/12).

N(x_N; y_N), где

x_N=с₂Cos (ц₂+р/4) = 2Cos(р +р/4) =-2Cos(р/4)=,

y_N=с₂Sin (ц₂+р/4) = 2Sin(р +р/2) = -2Sin(р/4)= .

Ответ:

Задача 5. Для векторов , заданных в ортонормированном базисе найдите:

направляющие косинусы вектора ;

площадь параллелограмма, построенного на векторах и , имеющих общее начало;

объем пирамиды, построенной на векторах , и , имеющих общее начало.



1) ; ;

2) ; ;

3)

Ответ: ; ; ;; 82.

Задача 6. С помощью преобразования поворота прямоугольной декартовой системы привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка

29x² + 144xy + 71y² - 40x + 30y - 50 = 0.

Написать формулы преобразования и изобразить данную кривую на чертеже.

Решение:

При повороте системы координат на угол ц наблюдается следующая зависимость между старыми и новыми координатами:

.

Тогда общее уравнение кривой второго порядка

Ax² + 2Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

преобразуется следующим образом:

+

+

Раскроем скобки. Получим

Или

, где

.

Для того, чтобы избавиться от перекрестного члена необходимо повернуть систему координат на такой угол ц, чтобы , т.е.

Найдем :

где .

Тогда

и ; .

Имеем:

.

Получили:

, где .

Канонический вид уравнения заданной кривой:

Это гипербола с вершинами в точках и ; асимптотами и фокусами

и

Ответ:

Задача 7. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую на плоскости:

Решение:

Имеем: a₁₁ = 4, a₂₂ = 9, a₁₂ = 0, a₁ = ?16, a₂ = 9, a₀ = 37. Тогда

,

то есть уравнение задает кривую эллиптического типа. Так как , то выделяем "полный квадрат":

? ;

;

? ;

? .

Сделаем замену:

.

В системе координат уравнение имеет вид:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Таким образом, данное уравнение определяет эллипс с полуосями и , с центром в точке . Строим чертеж.



Ответ:

Ответ:

Задача 10. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую на плоскости:

Решение:

Имеем:

a₁₁ = 9, a₁₂ = ?6, a₂₂ = 0, a₁ = ?21, a₂ = 6, a₀ = 81. Тогда

то есть уравнение (1) задает кривую гиперболического типа. Далее находим:

Найдем собственные значения:

.

Тогда угол поворота равен

Далее найдем координаты б, в нового центра О₁ системы координат .

.

Уравнение (1) в системе примет вид:

.

Уравнение (2) задает гиперболу, у которой и , фокусы гиперболы лежат на оси О₁х₁.

Строим гиперболу на плоскости по плану:

T поворачиваем ось на угол против часовой стрелки, для этого строим прямую (так как ); в результате получаем систему координат ;

T

на плоскости отмечаем точку , через эту точку проводим две прямые, параллельные осям и ; получаем систему координат ;

T в системе строим гиперболу, согласно уравнению (2).

Задача 11. Уравнение прямой x + 3y - 4 = 0 привести к нормальному виду.

Решение.

Нормирующий множитель определяется по формуле

Здесь A = 1; B = 3. Перед корнем надо выбрать знак, противоположный знаку свободного члена в заданном уравнении, т. е. знак плюс. Тогда нормирующий множитель

после умножения обеих частей уравнения на N уравнение примет вид

Задача 12. Общее уравнение прямой 4x - 3y + 12 = 0 представить в виде: 1) с угловым коэффициентом; 2) в отрезках на осях и 3) в нормальном виде. Построить эту прямую.

Решение.

1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y = kx + b. Чтобы заданное уравнение преобразовать к этому виду, разрешим его относительно y: 3y = 4x + 12, .

Сравнивая с уравнением y = kx + b, видим, что здесь угловой коэффициент прямой , а величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат, b = 4 (если уравнение прямой дано в общем виде Ax + By + C = 0, то ее угловой коэффициент легко получить, если разделить коэффициент при x на коэффициент при y и взять полученное частное с обратным знаком ).

2) В отрезках на осях уравнение прямой имеет вид (1)

Чтобы определить величины отрезков, отсекаемых заданной прямой 4x - 3y + 12 = 0, поступим так: в уравнении прямой положим y = 0. Получаем 4x + 12 = 0, а x = -3. Значит, наша прямая пересекает ось Ox в точке с координатами (-3, 0) и в уравнении (1) величина отрезка a = -3.

Полагая в нашем уравнении x = 0, определим ординату точки пересечения прямой с осью ординат. Будем иметь -3y + 12 = 0; y = 4.

Точка пересечения прямой с осью ординат имеет координаты (0, 4), и в уравнении (1) величина отрезка b = 4.

Таким образом, наше уравнение в отрезках на осях будет иметь вид

3) Чтобы привести уравнение к нормальному виду, обе его части следует умножить на нормирующий множитель , выбрав перед корнем знак, противоположный знаку свободного члена в общем уравнении прямой. В нашем случае свободный член в общем уравнении прямой равен +12, а поэтому перед корнем в нормирующем множителе должен быть выбран противоположный знак, т. е. знак минус, и так как A = 4, B = -3, то .

Умножая на обе части уравнения 4x - 3y + 12 = 0, приведем его к нормальному виду

Запомнить: В нормальном уравнении прямой сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах должна быть равна единице, а свободный член должен быть отрицательным. Эти два требования в полученном нами последнем уравнении, как легко проверить, выполнены. В пункте 2 решения мы получили уравнение прямой в отрезках на осях: a = -3, b = 4. Зная эти отрезки, мы легко построим нашу прямую (см. рисунок).

Задача 13. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую 3x - 6y + 5 = 0, а также координаты основания этого перпендикуляра.

Решение.

Приведем данное уравнение к нормальному виду:

После умножения на нормирующий множитель уравнение примет вид

Из сравнения с заключаем, что .

Для определения координат основания этого перпендикуляра из рисунка получим формулы

(эти формулы верны при любом расположении прямой относительно координатных осей).

как видно из уравнения

и искомые координаты основания перпендикуляра равны

Задача14.Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.

Решение.

Возьмем прямоугольную систему координат, и пусть две данные точки B и C лежат на оси абсцисс и имеют координаты (x₁, 0) и (x₂, 0) (см. рисунок). Пусть точка A принадлежит искомому геометрическому месту. Обозначим ее координаты через x и y: A(x, y).

На основании формулы для определения расстояния между двумя точками , значит, так как по условию AB = AC, можем написать, что . Это и есть уравнение искомого геометрического места.

Возводя в квадрат обе части искомого равенства, будем иметь

(x - x₁)² + y² = (x - x₂)² + y².

После очевидных упрощений получим 2x(x₂ - x₁) = (x₂ - x₁)(x₂ + x₁); сокращая на , имеем 2x = x₁ + x₂, или .

Это уравнение прямой, перпендикулярной оси Ox и проходящей через середину отрезка BC.

Итак, искомым геометрическим местом является прямая, перпендикулярная к отрезку BC, соединяющему данные точки, и проходящая через его середину.

Замечание. При решении задачи нам пришлось уничтожить радикалы в уравнении искомого геометрического места

(1)

в результате чего было получено уравнение

(2)

Из алгебры известно, что возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к уравнению, которое не равносильно (не эквивалентно) исходному. Это значит, что уравнение, полученное от возведения в квадрат обеих частей исходного уравнения, может иметь решения, не удовлетворяющие исходному уравнению, т. е. иметь так называемые "посторонние" корни. Поэтому всегда в тех случаях, когда обе части уравнения приходится возводить в квадрат, следует ставить вопрос об эквивалентности полученного и исходного уравнений.

В интересующем нас случае вопрос ставится так: не содержит ли линия (2) точек, которых нет на линии (1), т. е. таких, координаты которых не удовлетворяют уравнению (1) и таким образом не удовлетворяют исходному условию AB = AC.

Чтобы убедиться в том, что линия (2) не содержит точек, которых нет в линии (1), надо показать, что уравнение (2) может быть преобразовано в уравнение (1).

Произведя в обратном порядке операции, с помощью которых было получено уравнение (2), мы придем к уравнению (x - x₁)² + y² = (x - x₂)² + y², откуда следует, что

 (3)

т. е. что ; отсюда видно, что или AB - AC = 0, или AB + AC = 0.

Но AB > 0 и AC > 0, а следовательно, , так как сумма двух положительных величин не может быть равна нулю, а потому остается только одно равенство AB - AC = 0, т. е. AB = AC, и знак минус перед правой частью уравнения (3) должен быть отброшен. Поскольку из уравнения (1) получается уравнение (2) и обратно - из уравнения (2) следует уравнение (1), то эти уравнения равносильны (эквивалентны). Таким образом, поставленный вопрос решен: линия (2) не содержит таких точек, которых нет на линии (1).

Задача 15. Найти уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до двух данных точек A и B есть величина постоянная, равная a². Длину AB считать равной 2a.

Решение.

Проведем вывод уравнения в прямоугольных координатах. Направим ось Ox по прямой, соединяющей A и B, как обычно, вправо, начало координат поместим в середине отрезка AB, ось Oy направим вверх по перпендикуляру к оси Ox. Длина отрезка AB по условию равна 2a (AB = 2a); тогда точки A и B будут иметь координаты: A(-a, 0); B(a, 0). Пусть точка M принадлежит кривой. Ее координаты обозначим через x и y (см. рисунок).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Из условия задачи AM * BM = a². По формуле расстояния между двумя точками

Значит,

Возведем обе части этого уравнения в квадрат:

[(x + a)² + y²][(x - a)² + y²] = a⁴,

Или [(x² + y² + a²) + 2ax][(x² + y² + a²) - 2ax] = a⁴;

(x² + y² + a²)² - 4a²x² = a⁴.

Упрощая, получаем (x² + y²)² = 2a²(x² - y²).

Это и есть искомое уравнение.

Задача 16. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и :

Как мы помним из геометрического метода решения этой задачи, расстояние между прямыми и есть расстояние от точки до плоскости :

Решение:

Рассстояние от точки до плоскости вычисляется по такой формуле:

Поместим нашу призму в систему координат. Если мы решаем задачу с кубом или прямоугольным параллелепипедом, то выбор системы координат очевиден: мы помещаем начало координат в одну из вершин куба, а оси направляем вдоль ребер. В случае призмы это не столь очевидно.

Нам надо выбрать систему координат таким образом, чтобы координаты точки и точек , и , задающих плоскость вычислялись наиболее простым способом и содержали как можно больше нулей. Поэтому удобно выбрать систему координат вот таким образом:



Запишем координаты нужных нам точек:

Чтобы найти коэффициенты , , и в уравнении плоскости , примем коэффициент , и подставим координаты точек , и в уравнение плоскости. Получим систему уравнений:

Отсюда:

,

,

Подставим значения коэффициентов и координаты точки в формулу для расстояния. Получим:

Ответ:

Задача 17. В единичном кубе найдите расстояние от точки до плоскости .

Решение:



Рассстояние от точки до плоскости вычисляется по такой формуле:

Чтобы воспользоваться этой формулой, поместим куб в систему координат:

В задаче роль точки играет точка . То есть , ,

Теперь задача найти коэффициенты , , и в уравнении плоскости .

Плоскость определяется тремя точками , и . Если координаты точек подставим в уравнение плоскости , то получим верное равенство.

Коэффициент в уравнении плоскости можно принять равным 1.



Чтобы найти коэффициенты , и , подставим координаты точек , и в уравнение плоскости . Получим систему уравнений:

Отсюда: , ,

Подставим координаты точки и значения коэффициентов в формулу для расстояния:

Ответ:

Размещено на Allbest.ru