Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Дипломная работа

АРИФМЕТИКА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Факультативный курс для старших классов средней школы/

Гаврилова Евгения Валентиновна

Москва 2001

Содержание

Введение

Глава 1. Психолого-педагогические и исторические основы построения факультативных занятий в средней школе

1.1 Факультативные занятия в средней школе

1.2 Психолого-педагогические особенности построения факультативов для учащихся старших классов

Глава 2. Методические особенности изучения курса «Арифметика комплексных чисел»

2.1 Анализ содержания учебной литературы по теме «комплексные числа»

2.2 Содержание факультативного курса «Арифметика комплексных чисел»

2.3 Методические рекомендации по проведению занятий

2.4 Экспериментальная проверка

Заключение

Литература

Введение

Цель современной школы развитие личности учащегося, формирование его ценностного сознания. Ее невозможно достичь без ориентации подростков на значимые для него ценности, без развития духовного мира школьника, его нравственной и эстетической воспитанности.

Полноценная познавательная деятельность школьника выступает в обучении главным условием развития у них инициативы, активной жизненной позиции, находчивости.

Дополнительное образование в школе, а значит и наличие факультативных курсов позволяет, во-первых, создать широкий общекультурный, эмоционально значимый для ученика фон усвоения различных направлений стандарта общего образования и, во-вторых, предметно ориентировать его в таких областях деятельности, которые будут содействовать определению его жизненных планов.

Интеллектуальное и эмоциональное удовлетворение, которое получает ученик в самой деятельности, и есть залог формирования у учащихся увлеченности наукой, техникой, искусством, трудом, без чего невозможно всестороннее развитие личности.

Важно не только то, что изучают учащиеся, но и то, как они это делают, какими методами самостоятельного приобретения знаний и применения их на практике они овладевают.

При знакомстве с новыми объектами ранее приобретенные знания, умения и навыки обязательно найдут себе применение в процессе выявления взаимосвязи этих объектов с другими математическими понятиями.

В 5-6 классах средней школы изучается курс арифметики, содержащей основы науки о числах. Это название происходит от греческих слов "арифмос"-число и "техне"-искусство.

От сознательного и прочного усвоения арифметики целиком зависит успешность усвоения многих других предметов, в частности алгебры, геометрии, тригонометрии, физики, химии, астрономии.

В старших классах средней школы уже заложена определенная база знаний для изучения понятия комплексного числа, представления его в различных формах записи. А тот фундамент, который был заложен в 5-6 классах дает возможность построить на факультативных занятиях арифметику новых объектов и познакомиться с их многочисленными свойствами.

Говоря о значении комплексных чисел в математическом образовании учащихся, прежде всего следует иметь ввиду большое идейное богатство этого понятия.

Понятие комплексных чисел обогащает и завершает одну из основных идей школьной математики - идею обобщения понятия числа. Знание комплексных чисел позволяет учащимся глубже осмыслить такие разделы школьной программы, как решение уравнений и неравенств, тригонометрические функции. Открытие комплексных чисел не только обогатило математику новыми числами более общего вида, но и вооружило ученых более общими методами исследования.

Многие теоремы алгебры, которые раньше приходилось разбивать на ряд частных случаев, после введения комплексных чисел приобрели общность, стала в итоге развиваться одна из важнейших ветвей математического анализа - теория функций комплексного переменного.

Весь этот разнообразный материал не может быть доведен до сведения учащихся, однако, некоторые вопросы могут быть изучены в школе на факультативных занятиях, а это расширит представления учащихся и об аппарате комплексных чисел и о методах математических исследований.

Существуют пособия для школьников, где кратко изложена теория делимости в кольце комплексных чисел. Возможно неоднократно поднимался вопрос о включении этой темы в школьную программу, но на данный момент эта проблема осталась нерешенной.

Школьники уже знакомы с различными видами чисел, правилами выполнения возможных операций над ними, о существовании не всегда выполнимых математических действий в определенных числовых множествах. Знакомство с арифметикой гауссова кольца расширит понятие о числе и покажет, что наряду с "привычной" арифметикой есть еще и другая, где тоже имеет место теорема об однозначности разложения на простые множители. Все вышесказанное обусловило объект, предмет, цели и научную проблему исследования.

Объектом исследования является процесс обучения математике в старших классах.

Предметом исследования является процесс систематизации знаний по математике в старших классах.

Цель исследования заключается в разработке методики организации и проведения занятий по теме "Арифметика комплексных чисел".

В ходе исследования была выдвинута гипотеза, согласно которой разработанный факультативный курс будет способствовать повышению уровня знаний, умений и навыков во многих других разделах школьного курса и упорядочит те разрозненные знания, которые были изучены старшеклассниками ранее.

Научная проблема исследования состоит в обосновании и разработке наиболее эффективных методов организации повторения и углубления знаний старшеклассников.

Для решения проблемы были сформулированы следующие задачи:

выявление психолого-педагогических и методических особенностей преподавания математики в старших классах с целью повышения эффективности изучения курса "Арифметика комплексных чисел".

разработка содержания и методики изучения факультативного курса "Арифметика комплексных чисел".

используя педагогический эксперимент проверить правильность выдвинутой гипотезы.

Основные методы исследования анализ содержания психолого-педагогической, математической и методической литературы, а также содержания школьных учебников и учебных пособий по теме "комплексные числа", анализ работ по методике преподавания математики.

Глава 1. Психолого-педагогические и исторические основы построения факультативных занятий в средней школе

1.1 Факультативные занятия в средней школе

С 1967/1968 учебного года в 7-10 классах средней школы введены факультативные занятия по выбору учащихся. Цель таких занятий- расширение, углубления знаний, развитие интересов и способностей учащихся в избранных ими областях знаний и воспитание у них определенных навыков самостоятельной работы.

Применительно к математике эта цель заключается в ознакомлении школьников с важнейшими современными понятиями и идеями математики, и отдельными вопросами, связанными с ее приложениями. Факультативный курс включает в себя такое содержание, которое предстоит осваивать школьникам за пределами общеобразовательного государственного стандарта. По сравнению с другими формами повышенной подготовки учащихся (специальными школами и классами с углубленным изучением отдельных предметов) факультативные занятия являются самой массовой формой, доступной для учащихся.

Специфика факультативных занятий разрешает определенную автономность содержания факультативного курса, что позволяет преподавателю проявлять самостоятельность в отборе материала для изучения и выборе форм его изложения. Одной из важнейших задач обучения математике в общеобразовательной школе является формирование и развитие средствами математики интеллектуальных качеств личности. Специфика факультативных курсов позволяет решать сложные проблемы: повышение интереса к наукам, обеспечение высокого теоретического уровня знаний, ориентация учащихся в отношении выбора жизненного пути.

Учитывая то, что учащийся вправе сам выбирать вид деятельности, занятия в соответствии со своими интересами, склонностями и способностями, и то, что индивидуальные различия учащихся в характере мыслительной деятельности, степени подготовки тоже присутствуют, особую значимость в ходе факультативных занятий обретает индивидуальный подход и самостоятельность в процессе изучения содержания курса. Отсутствие обязательного минимума знаний и умений, которыми должны овладеть учащиеся дает учителю возможность применять индивидуальный подход к каждому ученику с учетом его способностей. С другой стороны, заинтересованность и добровольное посещение учащимися факультативов создает благоприятную почву для получения, понимания и усвоения новых знаний.

В работах И.М. Смирновой рассмотрена концепция разделения учащихся по отношению к школьному курсу математики на три группы.

Первую группу должны составлять школьники, для которых математика является лишь элементом общего развития и в их дальнейшей деятельности будет использоваться лишь в незначительном объеме. Для этой категории существенно овладение общей математической культурой, а вовсе не ремесленными навыками решения стандартных задач.

Во вторую группу могут входить учащиеся, для которых математика будет важным инструментом в их профессиональной деятельности. Для этой категории существенны не только знания о математических фактах, навыки логического мышления, пространственного представления, но и прочные навыки решения математических задач. Наконец, в третью группу нужно отнести тех учащихся, которые выберут математику (или близкие к ней области знания) в качестве основы своей будущей деятельности. Учащиеся этой группы проявляют повышенный интерес к изучению математики и должны творчески овладеть ее основами. Таким образом получаем, что современная трактовка дифференциации делится на уровневую и профильную.

Уровневая дифференциация вытекает из того, что обучаясь в одном классе, по одной программе и учебнику, школьники по-разному усваивают материал. Определяющим здесь является уровень обязательной подготовки и достижение его свидетельствует об усвоении.

Профильная дифференциация предполагает обучение различных групп школьников по программам, отличающимися глубиной изложения материала, объемом, формами и методами преподавания.

Этот вид дифференциации предполагает наличие достаточно единого базового образования и утверждения школьников в своих склонностях. Таким образом, наличие в современной школе классов с различной специализацией, а также всевозможных типов учебных заведений (гимназий, лицеев и др.), наложило отпечаток на организацию и проведение факультативных занятий, особенно в старших классах.

При разработке факультативного курса надо учитывать:

в каких классах (с какой специализацией) будут проводиться факультативные занятия;

в каком объеме в них изучается выбранная для факультативна тема;

в каком порядке целесообразно рассматривать программный и факультативный материал;

В старших классах современной школы факультативные занятия способствуют: учету индивидуальных способностей и склонностей учащихся при обучении, стимуляции интереса к наукам, достижению высокого уровня знаний, возможности профессионально ориентировать школьников, ликвидации перегрузки учебных планов и программ.

1.2 Психолого-педагогические особенности построения факультативов для учащихся старших классов

Любой факультативный курс конструируется таким образом, что несет в себе выполнение основных образовательных функций: психолого-педагогическую, познавательную и практическую.

Психолого-педагогическая функция включает воспитание математической культуры учащихся. Сюда входят знания и умения в формировании которых математика участвует наряду с другими школьными предметами, и также те знания и умения, которые составляют специфику самой математики.

Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математике. С математикой связана и компьютерная грамотность. Развитие науки и техники, высокий интеллектуальный уровень специалистов-все это приводит людей к необходимости пополнять свои знания и стремиться к повышению квалификации. Это выдвигает перед школой задачу всемерного развития у учащихся математических способностей, склонностей и интересов.

Важнейшая задача обучения математике- пробудить у школьников потребность активно мыслить, преодолевать трудности при решении разнообразных задач, искать наиболее рациональные пути решения этих задач. Научить их доказывать существование вводимых математических понятий, опровергать ложные предложения, проверять правильность обратного предложения и т.д. такими логическими умениями должен овладеть школьник.

Решение выдвинутых задач возможно на факультативных занятиях по математике, учитывая их специфику: это и малочисленность группы учащихся, и их заинтересованность в посещении таких занятий, а также присутствие интереса к "новым открытиям", которые трудно реализовать в полном объеме.

Факультативный курс должен способствовать формированию и развитию самостоятельной, творческой и мыслительной деятельности учащихся.

Психология является необходимой базой методики любого учебного предмета, в том числе и математики. Знакомство с психологическими теориями и концепциями помогает учителю глубже понять основные направления в совершенствовании учебного процесса по математике. Огромную роль здесь играет принцип единства сознания и деятельности, разработанный А.Н. Леонтьевым и С.Л. Рубинштейном. Его суть состоит в том, что человеческая психика проявляется и формируется в деятельности- трудовой, учебной, игровой.

Какими бы природными задатками ни обладал от рождения человек, они смогут получить свое развитие лишь в процессе деятельности. Важно, чтобы школьник усваивал материал в порядке активной работы над ним. Задача преподавателя заключается в том, чтобы работа эта была насыщена элементами самостоятельности, творчества, только тогда ученики смогут направлять свою интеллектуальную активность и ранее усвоенные знания на "открытие" важных существенных признаков новых понятий и применять их в своей дальнейшей познавательно-практической деятельности. Развивает не само знание, а специальное его конструирование. Факультативный курс должен не просто излагать систему знаний, а особым образом организовывать познание ее ребенком.

Здесь очень многое зависит от учителя, задача которого состоит в создании психолого-педагогических условий, стимулирующих учащихся к использованию и выбору наиболее рациональных, личностно-значимых способов.

При таком подходе в центре внимания оказывается не усредненный ученик, а каждый школьник, как личность в своей самобытности, уникальности.

При разработке факультативного курса нужно учитывать самостоятельность и индивидуальный подход в обучении.

Хорошо известно, что все люди разные. Выявляются различия в типе темперамента, в психических свойствах и в скорости протекания нервных процессов. Люди рождаются с различными задатками, которые развиваются в различные способности.

При значительном разбросе индивидуальных особенностей учеников и их численности, обычно учитель не может учесть в достаточной мере особенности каждого, и учебный процесс строится в расчете на среднего ученика, который только и чувствует себя более или менее комфортно при таком обучении. Но учитель всегда должен учитывать индивидуальные особенности учащихся.

Процесс изучения факультативного курса должен быть организован так, чтобы каждый учащийся в данный отрезок времени овладел одним и тем же объемом теоретического материала, выбрав такой уровень изложения этого материала, который соответствует его индивидуальным особенностям. При разработке курса для старшеклассников должен быть учтен и критерий самостоятельности в обучении. Сочетание индивидуализации и самостоятельности при изучении содержания факультативного курса дает возможность школьникам выполнять различное количество упражнений разного уровня.

При разработке факультативного курса нужно учитывать и возрастные особенности учащихся.

Школа занимает большое место в жизни старших подростков, но у разных детей проявляется по-разному, несмотря на осознание важности и необходимости учения. Известно, что дети различаются по некоторым важным параметрам: отношение к учению, общему развитию, способам усвоения учебного материала. Учет перечисленных различий дает более полноценное усваивание новых знаний школьниками.

Для старших подростков обучение в 10-11 классах это период выработки жизненной позиции, сознательного отношения к выбору профессии. Таким образом при обучении старшеклассников имеется возможность использовать специфические достоинства возраста: возросшие моральные и интеллектуальные силы и их продолжающийся рост; рост произвольности психических процессов, лежащих в основе умения управлять собой; формирование обобщенных форм самосознания, отношение к себе как к реально взрослым; умение увидеть сильные и слабые стороны своего развития.

Самообразование главным образом связано с выбором будущей профессии. Кроме того, возникает потребность в само регуляции, т.е. в управлении и развитии личности.

Все большее значение мышлении старшеклассника наряду с конкретным занимает абстрактное мышление. Учащиеся стремятся к установлению причинно-следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающего мира, проявляют критичность мышления, умение аргументировать суждения, более успешно осуществляют перенос знаний и умений из одной ситуации в другую. В ходе усвоения учебного материала старшеклассники стремятся самостоятельно раскрывать отношения общего и конкретно выделять существенное, а затем формулировать определения научных понятий.

Учащиеся старших классов умеют абстрагировать и обобщать материал, происходит формирование теоретического мышления. Теоретическое мышление характерно тем, что совершается в форме абстрактных понятий и рассуждений. Поэтому при построении занятий со старшеклассниками удобно использовать такие особенности мышления, как:

умение сравнивать - сопоставлять объекты познания с целью нахождения сходства и различия между ними

умение анализировать - мысленное расчленение предмета познания на части

умение синтезировать - мысленное соединение отдельных элементов в единое целое

умение абстрагировать - мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. Это умение особенно важно для математических наук, т.к. многие математические понятия являются абстрактными объектами

умение обобщать - мысленное выделение общих свойств в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов в группы (от частного к общему); мысленное выделение в рассматриваемом объекте или нескольких объектах их свойств в виде общего понятия (от общего к частному)

умение конкретизировать - может выступать в двух формах: мысленный переход от общего к единичному или восхождение от абстрактно-общего к конкретно частному путем выявления различных свойств и признаков этого абстрактно-общего [36].

Формирование у учащихся способности к выполнению умозаключений влечет за собой развитие логического мышления. Развитие интеллекта в юношеском возрасте тесно связано с развитием творческих способностей. Старшеклассники не просто усваивают информацию, а проявляют интеллектуальную инициативу, стремятся к созданию чего-то нового, любят исследовать и экспериментировать. Все это создает благоприятную основу для развития творческого мышления. Результат такого мышления не просто применение известных представлений, понятий и операций, а создание новых образов, значений и способов решения задач. В юношеском возрасте происходит активный процесс формирования мировоззрения. Молодые люди стремятся свести все принципы в определенную целостную систему, понять окружающий мир, оценить его, определить свое отношение к нему. Поэтому старшеклассники в большей степени интересуются предметами, которые им нужны в связи с выбранной профессией. Для них на этот период времени целесообразнее сосредоточить свое внимание на избранных науках, чем изучать все подряд в ознакомительных целях. Поэтому одной из важнейших задач является формирование у старшеклассников правильных представлений о той роли, которую играет тот или иной раздел обучения в жизни общества.

Факультативный курс должен способствовать появлению у учащихся умения решать задачи.

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоят в том, что школьникам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность. У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач, поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач, что многим школьникам не под силу.

За время обучения в школе каждый ученик решает огромное число задач. При этом все учащиеся решают одни и те же задачи. Но в итоге некоторые ученики овладевают общим умением решения задач, а многие встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, теряются и не знают, как к ней подступиться.

Одной из причин является то, что одни ученики вникают в процесс решения задачи, стараются понять, в чем состоят приемы и методы решения задач, изучают задачи. Другие же, к сожалению, не задумываются над этим, стараются лишь как можно быстрее решить заданные задачи. Эти учащиеся не анализируют в должной степени решаемые задачи и не выделяют из решения общие приемы и способы. Задачи решаются лишь ради получения ответа. Не стимулируется постоянный анализ учащимися своей деятельности по решению задач и выделению в них общих подходов и методов, их теоретического осмысления и обоснования.

Все это можно реализовать на факультативе. Во-первых, время преимущественно распределяет сам преподаватель, во-вторых, он вправе выбрать тот оптимальный ход урока, который будет способствовать не только прочному усвоению новых знаний, но и выработке умения решать задачи. Главный принцип здесь- научить учащихся такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение- как объект конструирования и изобретения.

Факультативный курс должен вызывать интерес учащихся к содержанию и процессу обучения.

Только благодаря появлению эмоционального переживания возникает интерес к предмету, отдельному явлению, появляется потребность в деятельности. Без интереса ученик не учится, без потребности по той или иной причине он не решает задачи, без устойчивости этих сопровождающих деятельность потребностей невозможно формирование системы ценностей. Поэтому изучаемый материал должен вызывать интерес у учащихся.

Как бы ни старался учитель, к каким бы методикам не прибегал, какой бы техникой не владел - повысить эффективность обучения, не вызывая у обучающихся интереса к учебному материалу, невозможно.

При построении занятий со старшеклассниками необходимо учитывать их психолого-педагогические возможности и потребности:

развивать логическое мышление, которое учит внимательности, аккуратности, умению абстрагироваться от конкретного содержания; обращать внимание учащихся на межпредметные связи; подбирать задания, способствующие проявлению самостоятельности и творческих способностей учащихся; создавать возможности для углубления и совершенствования знаний в направлении выбранной ими профессии; подкреплять все новые понятия историческими сведениями для дальнейшего развития математической культуры.

Глава 2. Методические особенности изучения курса "Арифметика комплексных чисел"

2.1 Анализ содержания учебной литературы по теме "комплексные числа"

Существует достаточное количество пособий по комплексным числам. Рассмотрим поподробнее, как изложен в них учебный материал по комплексным числам.

В пособии для факультатива [1] А.А. Абрамова, Н.Я. Виленкина содержится глубокий традиционный курс: построение комплексных чисел в виде a+bi, далее идет знакомство с тригонометрической формой комплексных чисел. Рассматривается показательная, логарифмическая и тригонометрическая функции комплексного переменного. Большое место в пособии занимают приложения комплексных чисел: рассматривается основная теорема алгебры многочленов и ее следствия; применение комплексных чисел для описания всевозможных перемещений плоскости; затронуты и дифференциальные уравнения.

В пособии под редакцией В.А. Жарова [16] исследуется расширение понятия числа, комплексные числа представлены через вектора.

Учебник алгебры и математического анализа для учащихся 11 классов с углубленным изучением математики Н.Я. Виленкина и др. [10] также содержит тему "Комплексные числа". Первоначально комплексные числа представлены упорядоченными парами, а далее учащимся предложено перейти к алгебраическому виду. Основные сведения по комплексным числам даны обзорно и в минимальном объеме. Из приложений можно выделить лишь применение основной теоремы алгебры многочленов.

В пособии [15] А.П. Иванова и В.М. Кондакова рассматривается тригонометрическая форма записи комплексного числа и соответствие между комплексными числами и точками плоскости. Решение алгебраических уравнений n-ой степени выделены в виде приложений комплексных чисел. Объем изложенного материала с текстом упражнений занимает всего 10 страниц, что говорит о чрезмерной краткости.

В пособии [40]Лисичкина сначала вводится понятие мнимой единицы, а только потом идет определение комплексного числа. Далее рассматриваются действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах и, показательная форма комплексного числа. На этом знакомство с комплексными числами заканчивается.

В пособии Л.А. Калужнина [17] сразу вводятся только целые комплексные числа. Дальше определяются операции над ними. Потом следует определение нормы целого комплексного числа. Рассматриваются взаимосвязи между простыми гауссовыми и простыми рациональными числами. Поднимается вопрос о том, когда же положительное целое рациональное число является нормой некоторого целого гауссова числа.

Материал, содержащийся в этом издании, отличается своей неординарностью и конкретными целями изложения, но теория делимости здесь четко не выстроена, т.к. часть необходимых формулировок и доказательств отсутствует.

Именно поэтому наша задача при создании факультативного курса "Арифметика комплексных чисел" объединить "традиционную часть" (определение понятия комплексного числа, возможные формы записи комплексных чисел, правила выполнения действий над ними и т.д.) с постепенным углублением в построение арифметики комплексных чисел, показывая тем самым, что основная теорема арифметики может быть применима к "новым объектам".

2.2 Содержание факультативного курса «Арифметика комплексных чисел»

Проанализировав психолого-педагогические особенности построения факультативов для учащихся старших классов, содержание учебной литературы, содержащей тему «комплексные числа», мы подобрали оптимальное на наш взгляд содержание факультативного курса, которое приведем ниже.

Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами.

Сопряженные комплексные числа.

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

История открытия комплексных чисел. Целые гауссовы числа, как частный случай комплексных чисел.

Целые гауссовы числа и их расположение на комплексной плоскости.

Отношение делимости на множестве целых гауссовых чисел. Простые гауссовы числа.

НОД целых гауссовых чисел.

Основная теорема арифметики в кольце гауссовых чисел. Основное свойство простого числа.

Алгоритм факторизации целого гауссова числа.

Занятие №1.

ТЕМА: Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами.

Определение 1: символ -1 будем называть мнимой единицей и обозначать i: i= -1.

Следуя определению находим, что i²= -1.

Введение мнимой единицы позволяет извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

Пример:

-36= -36(-1)= -36 -1= 6i

Рассмотрим степени мнимой единицы:

I¹=1, i²= -1, i³= i² i=(-1)i=-i, i= i³ i= -ii=1,...... далее значения степеней начнут повторяться.

Т.е. если выписывать все значения степеней числа i подряд, то получим последовательность: i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1....... и т.д.

Определение 2: выражения вида z=a+bi, где a и b-действительные числа, i-мнимая единица, будем называть комплексными числами.

a-действительная часть числа z

bi-мнимая часть числа z, z=a+bi-алгабраическая форма комплексного числа z.

Определение 3: два комплексных числа z=a+bi, z=c+di условимся считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные и мнимые части.

Определение 4: суммой комплексных чисел z₁=a+bi, z₂=c+di называют комплексное число z= (a+c)+ (b+d)i.

Определение 5: разностью комплексных чисел a+bi, z₂=c+di называют комплексное числo z= (a-c)+ (b-d)i.

Определение 6: произведением комплексных чисел z₁=a+bi, z₂=c+di называют комплексное число z=(ac-bd)+(ad+bc)i.

Замечание: на практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножать данные числа как двучлены, а потом учитывать, что i²= -1.

Таким образом, видим, что сложение, вычитание и умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Задания.

1. Вычислите значение выражения:

I²⁸+i³³+i^135, (b) (i¹³+i¹⁴+i¹⁵)i³², (c)i⁴³+i⁴⁸+i⁴⁴+i⁴⁵,(d) -64+ -16+9

Решим (а):

Выяснив, что значения степеней числа i повторяются с периодом 4, получаем алгоритм вычисления любой степени числа i:

Показатель степени делится на 4, значение степени равно 1

Показатель степени при делении на 4 дает остаток 1, значение степени равно i

Показатель степени при делении на 4 дает остаток 2, значение степени равно -1

Показатель степени при делении на 4 дает остаток 1, значение степени равно -i

28=47, i²⁸=1

33=48+1, i³³=i

135=433+3, i¹³⁵= -i

Таким образом, получаем: i²⁸+ i³³+ i¹³⁵=1+i -i=1

2. Найти такие значения x, y при которых комплексные числа z₁, z₂ будут равны:

z₁=3y+5xi и z₂ =15-7i

z₁=7x+5i и z₂ =1-10iy

Решение (а):

По определению комплексные числа равны, если 3y=15, 5x= -7.

Отсюда находим x=(-7)/5, y=5.

3. При каких x и y справедливы равенства?

(2x+3y)+(x-y)i=7+6i

x+(3x-y)i=2-i

(3i-1)x+(2-3i)y=2-3i

4. Выполните действия:

(3+5i)+(7-2i)

Решение:

(3+5i)+(7-2i)=(3+7)+(5i-2i)=10+3i;

(-5+2i)-(5+2i);

(5-4i)+(6+2i);

5. Найдите значение выражения:

(2+3i)²

Решение:

Здесь рациональнее будет использовать формулы сокращенного умножения, а не разбивать в произведение некоторого числа скобок.

(2+3i)²=4+2*2*3i+9i²=4+12i-9=-5+12i

(3-5i)²;

(17+6i)³;

(11-7i)(11+7i);

Занятие №2.

ТЕМА: Сопряженные комплексные числа.

Определение 1: два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Пример:

25+3i и 25-3i - сопряженные комплексные числа

-6+i и -i-6 - сопряженные комплексные числа

8,2-i и -i+8,2 - не сопряженные комплексные числа

Задания.

1. Выполните деление (2+3i)/(5-7i)

Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие: умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю

((2+3i)/(5-7i))((5+7i)/(5+7i))=(10+14i+15i+21i²)/(25-49i²)=

=(-11+29i)/74=-11/74+29/74

1. 5/(3+2i);

2. (1-i)/(1+i);

3. (6-7i)/i;

2. Вычислите значение выражения:

I¹²³+(1-i)⁶-(1+i)⁸;

[(1+i)/(1-i)]¹²+[(1-i)/(1+i)]¹²;

Решение В:

[(1+i)/(1-i)]¹²+[(1-i)/(1+i)]¹² =[((1+i)(1+i))/((1-i)(1+i))]¹²+

+[((1-i)(1-i))/(1+i)(1-i))]¹²=[(1+i)²/(1-i²)]¹²+=[(1-i)²/(1-i²)]¹²=

=[(1+2i+ i²)¹²+(1-2i+ i²)¹²]/2¹²=[2¹²*i¹²+2*(-i)¹²]/ 2¹²=i¹²+(-i)¹²=1+1=2

3. Найдите число, сопряженное данному:

5-17,7i; 5-7i; 33i+12; 6i; -8-63i; 11i

4. Найдите сумму числа z и ему сопряженного: z=113,75+21i

5. Найдите число сопряженное сопряженному, если z=39+i

6. Найдите произведение z и числа ему сопряженному, если z=11-i.

7. Найдите сумму сопряженных чисел, у одного из которых действительная часть равна -3, мнимая 17.

Занятие №3.

ТЕМА: Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексное число z=a+bi можно изобразить точкой Z плоскости с координатами (a, b).

Для этого выберем на плоскости декартову систему координат (рис.1).

точками оси абсцисс. Чисто мнимые числа, т.е. числа вида bi (b0), изображаются точками оси ординат. Заметим, что: числа, т.е. вида bi (b0), изображаются точками оси ординат.

Существует другой способ геометрической интерпретации комплексных чисел.



каждой точке плоскости с координатами (а, b) соответствует один и только один вектор с началом О(0, 0) и концом Z(a, b).

Поэтому комплексное число z=a+bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке О(0, 0) и концом в точке Z(a, b). Очевидно, что при таком изображении:

Сопряженные комплексные числа изображаются точками, симметричными относительно оси абсцисс (рис.2).

z=5+3i, z=5-3i;

z=i, z=-i ;

Задания.

Изобразите на координатной плоскости следующие числа

в виде точек плоскости;

при помощи векторов;

z1=5, z2=-3i, z3=3+2i, z4=5-2i, z5=-3+2i, z6=-4-5i

Изобразить на плоскости комплексное число z1=7+i, ему сопряженное z2. Найти площадь треугольника, заключенного между векторами ОМ1 и ОМ2,( где ОМ1 -изображение комплексного числа z1, ОМ2 - изображение z2) и отрезком M1M2.

Решение:

z=7+i, z=7-i

Построив оба вектора, соответствующие

комплексным числам, видим, что высота

треугольника OM1 M2 равна 7, основание 2.

По формуле ищем площадь треугольника:

S=(1/2) M1M2h=(1/2)27=7

Найдите площадь фигуры, заключенной между векторами, изображающими комплексные числа z1=2-2i, z2=1+3i и прямой, проходящей через точки А(2, -2), С(1, 3).

Даны четыре комплексных числа: z1=3, z2=-3, z3=3i, z4=-3i. Изобразите их точками комплексной плоскости, соединив эти точки, определите какая фигура будет изображена и найдите длины диагоналей этой фигуры.

Занятие №4

ТЕМА: Тригонометрическая форма комплексного числа. Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

С началом О(0, 0) и концом Z(a, b)( рис.1) Вектор ОZ можно задавать не только его координатами a и b, но также длиной r и углом , который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом a=rcos, b=rsin и число z принимает вид z=r(cos+isin), который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного z и обозначают z. Число называют аргументом z и обозначают Arg z.

Определение 1: модулем комплексного числа z=a+bi называется длина вектора z, которую можно можно вычислить по формуле z =a² + b².

Обозначив модуль комплексного числа буквой r=z =a² + b².

Определение 2: аргументом комплексного числа z=a+bi называется угол , который образует вектор z с положительным направлением оси абсцисс, отсчитываемый против часовой стрелки.

Т.к cos, sin - функции периодические с периодом 2, то =+2k, где k- целое число.

Назовем главным аргументом при k=0 и при составлении тригонометрической формы комплексного числа будем искать этот угол.

Из этих соотношений видим, что cos =a/r, sin =b/r, тогда z=a+bi=rcos + irsin =r(cos +isin )-тригонометрическая форма комплексного числа.

Задания

Записать каждое комплексное число в тригонометрической форме:

z=1+i; z=-2+2i3; z= -3i; z=5; z=6i

Решение: z=1+i

a=1, b=1, r= z =1²+1²=2

cos =1/2=2/2

sin =1/2=2/2

=/4

z=1+i=2(cos/4+isin/4).

z=-2+2i3

Решение:

а=-2, b=23

r=(-2)²+(23)²=16=4

cos = -1/2

sin =23/4=3/2

=2/3

z=-2+23=4(cos 2/3+isin 2/3)

Рассмотрим теперь решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом

Решить уравнение ²-6x+13=0

Решение:

D=b²-4ac=(-6)²-4113=36-52=-16

D=-16=16(-1)=4i

_1,2=(-bD)/2a

₁=(6-4i)/2=2(3-2i)/2=3-2i, 2=(6+4i)/2=2(3+2i)/2=3+2i

Таким образом получаем, что если D<0, то уравнение всегда имеет два решения в комплексных числах.

Решить уравнение²+3x+4=0;

Найти корни x1 и x2 уравнения 4²-20x+26=0;

Занятие №5

ТЕМА: История открытия комплексных чисел. Целые гауссовы числа, как частный случай комплексных чисел.

Древнегреческие математики под числами понимали только натуральные числа.

Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел. В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного числа как 10⁸¹⁰.

Наряду с натуральными числами применяли дробные числа, составленные из целого числа с долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до нашей эры в древнем Египте и древнем Вавилоне.

Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом.»

Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основания утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел. Это было сделано китайскими математиками за два века до нашей эры. Отрицательные числа применял в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия с ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа х, чтобы х²= -9.

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида (х³+px+q=0) появились кубические корни и квадратные корни: ³(-q/2+(q²/4+p³/27))+ ³(-q/2-(q²/4-p³/27))

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (х³+3х-4=0), а если оно имеет три действительных корня (х³-7х+6=0), то под знаком квадратного корня оказываются отрицательные числа. Получилось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Вслед за тем, как были решены уравнений четвертой степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения пятой степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени (х⁵+ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0) нельзя решить алгебраически, точнее его корень нельзя выразить через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в степень, извлечение корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше, чем четыре, нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-ой степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней, среди которых могут быть и равные.

В этом математически были убеждены ещё в XVII (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Джон Кардане в 1545 году предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решение вида (х=5-15, y=5-15), нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что -а-а=-а. Кардане называл такие величины «чисто отрицательные», считая их бесполезными и старался не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа -1 (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу.

Термин «комплексные числа» так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т.д., образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами.

На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ой степени сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707 год): (cosj+isinj)ⁿ= cos(nj)+isin(nj)

С помощью этой формулы можно было вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг.

Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: eⁱ= cosx+isinx, которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что eⁱ=-1. Можно находить синус и косинус от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняет мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Ещё раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для вычисления интегралов.

В течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т.д. Однако ещё не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

«Никто ведь не сомневался в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств» - Л. Харна.

В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число (z=a+bi) точкой М(a,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что ещё удобней изображать число не самой точкой М(a,b), а ОМ - вектором, идущим в эту точку от начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствует эти же операции над векторами. Вектор ОМ можно задавать не только его координатами a и b, но также длиной r и углом , который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом a=rcos, b=rsin и число z принимает вид z=r(cos+isin), который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного z и обозначают z. Число называют аргументом z и обозначают Arg z.

Заметим, что если z=0, значение Arg z не определено, а при z0 оно определено с точностью до кратного 2.

Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде z=reⁱ (показательная форма комплексного числа).

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются на векторной плоскости. Например: при изучении течения жидкости; задачи теории упругости.

Мы не будем уделять время на изучение всех приложений комплексных чисел, рассмотрим более подробно арифметику целых комплексных чисел, с которыми мы уже знакомы. Их еще будем называть целыми гауссовыми.

Принято считать, что арифметика предшествует алгебре, что это более элементарная часть математики. Между тем, арифметика, если ее понимать как учение о свойствах целых чисел и о действиях над ними, трудный и далеко не элементарный раздел математики. Рассмотрим, например, основную теорему арифметики. Эту теорему все хорошо знают и часто пользуются ею при арифметических вычислениях(например, при нахождении общего знаменателя дробей). Первую часть основной теоремы арифметики составляет утверждение о том, что каждое целое число может быть представимо в виде произведения простых чисел. Доказательство этого утверждения довольно просто. Труднее доказывается второе утверждение теоремы, которое в школьных учебниках считают очевидным.

Его можно сформулировать так: если некоторое число n разложимо двумя способами в произведение простых сомножителей n=p₁p_2…..p_к=q₁ q_2….q_t, то эти разложения совпадают с точностью до порядка сомножителей, т.е. оба они обладают одним и тем же числом сомножителей, k=t, и каждый сомножитель, встречающийся в первом разложении, встречается столько же раз во втором разложении.

Трудность с доказательством этого утверждения не случайна, а связана с глубокими свойствами арифметики целых чисел. Оказывается, что наряду с привычной арифметикой существуют многочисленные другие “арифметики”. В одних арифметиках утверждения основной теоремы справедливы, в других нет, причем не выполняется как раз утверждение об однозначности разложения.

Рассмотрим, например, множество четных чисел 2Z и покажем на простом примере, что в нем не выполняется утверждение об однозначности разложения. Очевидно, что в нем числа 10, 50 и 2 являются простыми, но для них выполняются следующие равенства: 100=1010=502. Таким образом, число 100 из множества 2Z имеет два различных разложения в произведение простых множителей. Мы же рассмотрим еще одну арифметику, в которой основная теорема выполняется- арифметику целых комплексных чисел.