Арифметика комплексных чисел

Занятие №6

ТЕМА: Целые гауссовы числа. Расположение целых гауссовых чисел на комплексной плоскости.

Определение 1: целым гауссовым числом называется комплексное число, действительная и мнимая части которого являются целыми рациональными числами, т.е. это комплексные z вида z = a+bi, где a и b - целые рациональные числа.

Определение 2: нормой целого гауссого числа z = a+bi называется неотрицательное целое рациональное число N (z) = a²+b².

Теперь рассмотрим как расположены целые гауссовы числа на комплексной плоскости (т.е. где определены действительная и мнимая оси).

Т.о. видим все точки с целочисленными координатами, лежащие в вершинах квадратов со стороной, равной 1 и будут являться изображением целых гауссовых чисел. Т.е. в отличие от целых рациональных чисел, которые располагаются на одной прямой, целые гауссовы числа создают решетку при нанесении их на комплексную плоскость.

Задания.

1) Среди комплексных чисел найдите целые и вычислите их нормы:

a. 147,3+(3/2)i

b. 2,5+7i

c. 3i

d. 5i+2

e. 147.3+(3/2)i

2)Доказать теорему 1: норма комплексных чисел мультипликативна, т.е. N (бв) = N (б)N(в)

Задача 2:

Норма целого комплексного числа 1+ i равна 2, а целого комплексного числа 2+ i равна 5. Будет ли норма произведения этих чисел равна 10?

3) Доказать теорему 2: положительное целое рациональное число C является нормой некоторого целого гауссова числа тогда и только тогда, когда число С представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел.

Задача 3:

Будет ли 9 являться нормой некоторого целого гауссова числа?

Решение: рассмотрим алгоритм, позволяющий представить целое рациональное число в виде суммы двух квадратов.

9=3, рассмотрим натуральные числа n 3. В данном примере такие числа 1, 2, 3. Возводим каждое такое число в квадрат и вычитаем этот результат из 9. Если находится такая разность, которая есть квадрат какого-либо натурального числа, то мы подобрали ту пару чисел, сумма квадратов которых и будет являться исходным числом.

9-1=8- не квадрат, 9-2=5- не квадрат.

Вывод- следуя алгоритму мы выяснили, что 9 не является нормой некоторого целого гауссова числа.

4)Выберите те положительные целые рациональные числа, которые являются нормой некоторых целых гауссовых чисел: 26; 16; 10; 13; 18; 7; 17; 61; 24; 29; 50

Замечание: норма целого гауссова числа всегда является натуральным числом.

Занятие №7

ТЕМА: Отношение делимости на множестве целых гауссовых чисел. Простые гауссовы числа.

Определение 1: будем говорить, что целое гауссово число б?0 делит целое гауссово число в и записывать этот факт через б¦в - если найдется целое гауссово число г такое, что имеет место равенство: в=бг

Замечание: так как норма мультипликативна, то N(в)=N(б) N(г), и так как б?0, то N(б) ?0, то необходимым условием для б¦в является делимость N(б)¦N(в), где N(б), N(в) - целые рациональные числа.

Известно, что в случае целых рациональных чисел имеются только два числа, которые делят все целые числа: +1 и -1.

В случае целых гауссовых чисел таких числа четыре.

Опр: числа +1, -1, +i, -i называются делителями единицы.

Действительно:б=б1б=(-iб)I

б=(-б)(-1)б=(iб)(-i)

Определение 2: целое гауссово число р не являющееся делителем единицы называется простым, если в любом его разложении р=фг в произведение двух целых гауссовых чисел один из сомножителей является делителем единицы.

Теорема 1: Если р- норма целого гауссова числа г является простым рациональным числом, то г будет простым гауссовым числом.

Доказательство: пусть г=a+bi - целое гауссово число и N(г)=p - простое рациональное число. Тогда если г=бв, то N(г)=p=N(б)N(в). Следовательно возможны два случая:

1. N(б)=p, N(в)=1, а значит в - делитель единицы

2. N(б)=1, N(в)=p, а значит б - делитель единицы

Таким образом, по определению 2, г - простое гауссово число.

Теорема доказана.

Задания.

1. Выяснить, является ли б делителем в:

a. б=5-7i; в=5+7i

b. б=1+i; в=3i+1

c. б=2+i; в=3i+1

d. б=3+7i; в=19+25i

e. б=4-i; в=19+25i

f. б=-5+i; в=11i-3

2. Проверить для тех случаев, когда б¦в из задания 1, выполняется ли условие, что если б¦в, то N(б)¦N(в).

3. Среди указанных ниже гауссовых чисел выписать порстые гауссовы числа:

1) 3i+2,4i+1,-2i+3,-4i-1,5+5i;

2) -5i+6,7i+1,1+5i,-4+i,3+2i;

3) -7-i,13+i,4-i,i-1,2+3i;

Занятие №8

ТЕМА: НОД целых гауссовых чисел.

Определение 1: два целых гауссовых числа называются ассоциированными, если они отличаются друг от друга на сомножитель, равный делителю единицы.

Пример: в, -в, iв, -iв - ассоциированные целые гауссовы числа, если в - целое гауссово число.

Определение 2: общим делителем целых гауссовых чисел б₁, …, б_n называется целое гауссово число г, такое что г¦б₁, …,г¦б_n.

Определение 3: наибольшим общим делителем целых гауссовых чисел б₁, …, б_n называется целое гауссово число г, такое что

1. г¦б₁, …, г¦б_n

2. Для любого другого о общего делителя б₁, …, б_n верно о¦г.

Утверждение: примем без доказательства факт существования НОД у целых гауссовых чисел б и в, хотя бы одно из которых не равно 0, и его представление в виде линейной комбинации этих чисел.

Т.е. г=бо+вз, г=НОД (б, в); о, з - целые гауссовы числа.

Определение 4: целые гауссовы числа б, в называются взаимно простыми, если их НОД ассоциирован с 1.

Воспользовавшись утверждением, получаем (б, в)=1 тогда и только тогда, когда существуют о, з - целые гауссовы числа, что верно бо+вз=1.

Лемма: если б взаимно просто с в₁ и б взаимно просто с в₂, то б взаимно просто с в1в2.

Доказательство: так как НОД (б, в₁) ассоциирован с 1, то по критерию взаимной простоты найдутся такие числа о и з, что 1=об+зв.

т.к. НОД (б, в₂) ассоциирован с 1, то найдутся с и ф, что 1= сб+фв

Перемножая равенства имеем:

1=(об+зв₁)(сб+фв₂)=б(осб+зсв₁+офв₂)+(зф)(в₁в₂),

положим г=осб+зсв₁+офв₂ и д=зф, тогда г и д - целые гауссовы числа и 1=гб+д(в₁в₂), а это и показывает, что б и в₁в₂ взаимно простые числа.

Лемма доказана.

Следствие: если б взаимно просто с числами в₁, в₂, …, в_k, то б взаимно просто с их произведением.

Доказательство: проведем методом математической индукции по числу сомножителей.

1. Если k=2, то утверждение совпадает с леммой

2. Допустим, утверждение доказано для числа сомножителей < k. Пусть теперь б взаимно просто с в₁, в₂, …, в_k, значит и с в₁, в2, …, в_k-1. Тогда по предположению индукции б взаимно просто с в1в2…в_k-1 и по условию б взаимно просто с в_k, тогда по лемме б взаимно просто с произведением в1в2…в_k, что и требовалось доказать.

Теорема о делении с оcтатком: пусть б, в (в?0) - два целых гауссовых числа, тогда существуют такие целые гауссовы числа г и с, причем N(с)<N(в), что б=гв+с.

Занятие №9.

ТЕМА: Основная теорема арифметики в кольце гауссовых чисел. Основное свойство простого гауссого числа.

Основная теорема: всякое целое гауссово число б, норма которого больше единицы, разложимо в произведение простых гауссовых чисел б=р₁₂…р_k (р_i - простые гауссовы числа, не обязательно все различные), причем это разложение единственно с точностью до ассоциированности и порядка следования сомножителей.

Доказательство:

Существование разложения: индукция по норме числа б

а) Если N(б)=2, то б=1+i, где 1+i - простое гауссово число

б) Пусть N(б)=n, а для всех целых гауссовых чисел с меньшей нормой утверждение уже доказано. Тогда или б - простое число и всё доказано, или б=сф, где N(с)<n и N(ф)<n.

По предположению индукции, для с и ф разложения существуют: с=р₁*р₂*…*р_k и ф=у₁*у₂*…*у_l, тогда б=р₁*…*р_k*у₁*…*у_l - разложение для б.

Однозначность: индукция по норме числа б.

а) Если N(б)=2, то б=1+i, так как если б=x+iy, то N(б)=x²+y², а это уравнение в целых числах х²+у²=2 имеет ровно 4 решения:

х=1, у=1; х=-1, у=-1; х=1, у=-1; х=-1, у=-1;

Эти решения соответствуют гауссовым числам 1+i, -1+i, 1-i, -1-i, которые являются ассоциированными.

б) Предположим, что доказанное свойство уже установлено для всех чисел в, таких что N(в)<N(б). Пусть б=р₁*р₂*…*р_s=г₁*г₂*…*г_t - это два разложения числа б в произведение простых р₁, р₂, …, р_s и г₁, г₂, …, г_t соответственно.

Заметим, что число, ассоциированное с р_s встречается среди простых чисел г: г₁, г₂, …, г_t. Если бы это было не так, т.е. р_s не ассоциировано с г_i, i=1, 2, …, t, то р_s было бы взаимно просто со всеми числами г_i, а значит и с произведением г₁*г₂*…*г_t (по лемме), т.е. с числом б.. Но это невозможно, т.к. р_s¦б.

Итак, р_s ассоциировано с каким-то из простых чисел г₁, г₂, …, г_t. Можно считать, что р_s ассоциировано с г_t.

Получаем: б=р₁*…*р_s-1*р_s=г₁*…*г_t-1*г_t, откуда

в=б¦р_s=р₁*…*р_s-1=г₁*…*г_t-1.

Но N(в)<N(б) и, по предположению индукции, для в утверждение теоремы уже доказано, т.е. s-1=t-1, и представления р₁*…*р_s-1 и г₁*…г_t-1 совпадают с точностью до порядка ассоциированности сомножителей. А так как р_s=г_t, то это же верно и для последовательностей р₁, …, р_s и г₁, …, г_t.

Основная теорема арифметики целых гауссовых чисел доказана.

Основное свойство простого гауссова числа: если простое гауссово число р делит произведение гауссовых чисел б и в, то р делит б или р делит в.

Доказательство: р¦бв, следовательно N(р)¦N(бв), а значит N(бв)>N(р)>2. Тогда по основной теореме, бв обладает каноническим разложением. Делимость р¦бв означает, что р входит в каноническое разложение бв, а каноническое разложение произведения есть произведение канонических разложений. Следовательно, р входит в каноническое разложение б или в, т.е. р¦б или р¦в, что и требовалось доказать.

Занятие №10.

ТЕМА: Алгоритм факторизации целого гауссова числа.

Лемма 1: всякое простое гауссово число является делителем простого рационального числа.

Доказательство: так как N(б)=бб, то при каждом б?0 верно б¦N(б). Пусть теперь р - простое гауссово число. Тогда р¦N(р).

N(р) - рациональное целое число, значит его можно представить как произведение простых рациональных чисел p₁*…*p_s. Тогда р¦p₁*…*p_s, по основному свойству простого числа имеем: р¦р_i

для некоторого i (i=1, 2, …, s). Следовательно, р делит некоторое простое рациональное число.

Лемма 2: норма N(р) простого гауссова числа р является или простым рациональным числом, или квадратом простого рационального числа.

Доказательство: по лемме 1 найдется простое рациональное р, такое, что р¦р, т.е. р=рг.

р²=N(p)=N(рг)=N(р)*N(г)

N(р)*N(г)=p²

N(р)?1, т.к. р - простое гауссово число.

Тогда возможны случаи:

1) N(р)=N(г)=p

2) N(р)=p², N(г)=1, что и требовалось доказать.

Утверждение: простое рациональное число р, отличное от 2, не является простым гауссовым числом тогда и только тогда, когда р имеет вид 4k+1.

1. Алгоритм для выяснения: является ли данное целое гауссово число б простым.

1. Вычислить N(б)

а) если N(б) - простое рациональное число, то б - простое гауссово число

б) если N(б)=p², где р - простое рационального вида 4k+3, то б - простое гауссово

в) во всех остальных случаях б не является простым гауссовым числом.

2. Алгоритм факторизации гауссова числа:

1. вычислить N(б)

2. разложить N(б) в произведение простых рациональных чисел р₁…р_s

3. все р_i (i=1, 2, …, s) вида 4k+3 оставляем без изменений, а все p_j вида 4k+1 раскладываем в сумму двух квадратов: p_j=x²+y² и

a. в ассоциировано с x+yi

b. в ассоциировано с y+xi

4. считаем все возможные произведения полученных в каждом из случаев гауссовых чисел до тех пор, пока не получим число, ассоциированное со сходным числом б.

Задания

1. факторизовать б=7+4i.

N(б)=7²+4²=49+16=65=513

б=вг, N(в)=5, N(г)=13

5 и 13 - числа вида 4k+1, разложимы в сумму двух квадратов: 5=2²+1² и 13=2²+3²

Возможны случаи: в ассоциировано с 2+i или с 1+2i; г ассоциировано с 3+2i или 3i+2.

а) в'=1+2i, г'=3+2i

Тогда в'г'=(1+2i)(3+2i)=-1+8i - это число не ассоциировано с 7+4i

б) в'=1+2i, г'=2+3i

Тогда в'г'=(1+2i)(2+3i)=-4+7i=i(7+4i)>в'г'(-i)=7+4i

Возьмем в=в'(-i)=2-i

Ответ: 7+4i=(2-i)(2+3i)

2. Разложить на простые множители б=-12+6i.

N(б)=144+36=180=2²3²5

5 - число вида 4k+1> оно разложимо в сумму двух квадратов: 5=2²+1².

3 - число вида 4k+3>оно остается без изменений б=вгдф, где N(в)=N(г)=2, д=3, N(ф)=5

Возможны случаи: в и г ассоциированы с 1-i; ф ассоциировано с 2+i или 1+2i.

а) в'=г'=1-i, ф'=2+i

Тогда в'г'д'ф'=-24-12i - не ассоциировано с -12+6i

б) в'=1+i, г'=1-i, ф'=1+2i

Тогда в'г'д'ф'=6+12i=(-i)(-12+6i) > в'г'д'ф'i=-12+6i

Пусть ф= ф'i=(1+2i)i=-2+i

-12+6i=(1+i)(1-i)3(-2+i)

2.3 Методические рекомендации по проведению факультативного курса «Арифметика комплексных чисел»

Данный факультативный курс предназначен для изучения в старших классах средней школы, где уже существует определенная база знаний и сформулированы прочные навыки выполнения арифметических операций. Школьники знакомы с различными видами чисел, правилами выполнения возможных операций над ними, изучена теория делимости кольца целых рациональных чисел. Наличие же в данном возрасте более полного, глубокого, разностороннего мышления и возможности самостоятельно выделять общее и частное, благоприятствует восприятию этого факультативного курса. факультативный школа комплексный число

Первые четыре занятия посвящены знакомству с самими комплексными числами, правилами выполнения действий над ними. Рассматривается тригонометрическая и алгебраическая форма записи комплексных чисел. Целесообразно при объяснении нового материала пользоваться слайдами или плакатами.

Если класс с углубленным изучением естественно-математических дисциплин, то материал первых четырех занятий можно только повторить, а потом задать вопросы, чтобы проверить уровень усвоения материала.

Так, например ответы на вопросы:

Можно ли назвать число -7i противоположным числу 7i?

Какое множество образует пересечение множества всех действительных чисел с множеством всех мнимых?

Как изображается комплексное число на координатной плоскости?

покажут уровень усвоения материала и помогут выбрать учителю оптимальный темп каждого урока.

Возможность по-разному формулировать задания способствует сообразительности и находчивости учащихся.

Опираясь на знания полученные при изучении математики и учитывая возраст учащихся, многие вычислительные задания можно предложить школьникам попробовать выполнить самостоятельно, в случае неудачи, учитель дает подсказку.

Изучение “традиционной части ” позволяет повторить и закрепить материал программного содержания.

Так например, при рассмотрении тригонометрической формы записи комплексного числа учитель имеет возможность вспомнить с учащимися определения тригонометрических функций, их основные свойства, связь с геометрией, а также повторить тригонометрические формулы, которые вызывают затруднения при запоминании.

Основные понятия этого блока: комплексные числа и действия над ними, число i, мнимые числа, действительные числа, как часть множества комплексных чисел.

Главная методическая особенность состоит в том, что комплексные числа определяются как формальные выражения a+bi, где a и b действительные числа. Говорим о формальных выражениях, не приписывая никакого смысла знакам + и i, при помощи которых они составляются.

Эти выражения являются совершенно новыми объектами, и с самого начала надо договориться о том, какие из них считать равными и определять действия над ними. Завершая рассказ о действиях над комплексными числами следует подчеркнуть, что четыре основных действия(сложение, вычитание, умножение и деление) обладают теми же свойствами, что и действия над действительными числами.

Рассматривая выражение вида a+0i, можно убедиться, что их арифметика совпадает с арифметикой действительных чисел. В самом деле, вычисляя сумму и произведение чисел z₁= a+0i и z₂=с+0i, получим (a+0i)+(с+0i)=(a+c)+0i и (a+0i)( с+0i)=ас+0i, откуда видно, что сумме чисел z₁₊ z₂ соответствует сумма действительных чисел а+с, произведению z_1* z₂ произведение ас.

Поскольку соответствие между комплексными числами вида a+0i и действительными числами взаимно-однозначно, то можно число a+0i считать раным соответствующему ему действительному числу а.

В результате такого отождествления множество действительных чисел становиться частью множества комплексных чисел.

Обозначив комплексное число 0+1i через i и, убедившись в том, что число 0+bi можно истолковать как произведение действительного числа b и числа i, получаем возможность рассматривать любое комплексное число как сумму комплексного числа а= a+0i и произведения комплексных чисел b=b+0i и i=0+1i.

А так как i²=(0+1i)( 0+1i)= -1+0i = -1, то полезно подчеркнуть, что при выполнении действий над комплексными числами нет надобности помнить формальные определения, а можно действовать как в случае с обычными выражениями с переменными, заменяя i² на -1.

При изучении геометрического изображения комплексного числа с помощью точки плоскости важно подчеркнуть, что не только комплексному числу z=a+bi ставится в соответствие точка(a, b) координатной плоскости, но и всякая точка плоскости является образом некоторого комплексного числа, т.е. соответствие между точками плоскости и комплексными числами является взаимно-однозначным. Принято термином “комплексная плоскость” обозначать координатную плоскость, каждой точке которой поставлено в соответствие комплексное число.

Геометрическое изображение комплексных чисел в виде векторов позволяет сразу же дать геометрическую интерпретацию сложения и вычитания комплексных чисел.

Модуль комплексного числа есть расстояние от точки Z до точки О, или длина вектора ОZ. Таким образом для z=a+bi, z=a²+b².

Здесь полезно заметить, что для действительных чисел а= a+0i модуль равен а=a²+0^2,т.е совпадает с привычным понятием модуля действительного числа и является расстоянием от точки числовой прямой до начала отсчета.

Главным аргументом argZ комплексного числа z называется угол между положительным направлением оси абсцисс и направлением на точку, изображающую данное число, отсчитываемый против часовой стрелки. Таким образом, в силу этого определения 0argZ2.

Встречается и другое определение главного аргумента, при котором оказывается -<argZ. Находится главный аргумент, как правило, не по формулам, а с помощью геометрического изображения с учетом четверти, в которой лежит данное число z=a+bi.

Произвольный аргумент комплексного числа z- это любое из целых чисел вида argZ+2k, где k принадлежит множеству целых. Введение общего понятия аргумента связано с тем, что в целом ряде случаев понятие главного аргумента оказывается неудобным(например при перемножении комплексных чисел, сумма главных аргументов которых больше 2).

Тригонометрическая форма комплексного числа понимается как запись вида z=r(cos+isin), где r=z, а -главный аргумент этого числа.

Любое комплексное число z0 может быть записано в тригонометрической форме. Число 0 не имеет аргумента и, следовательно, тригонометрической формы.

Занятие №5 целесообразно провести в форме лекции. С одной стороны такая форма проведения урока служит хорошей психологической подготовкой к занятиям в ВУЗе, а с другой - материал об истории открытия комплексных чисел подведет итог первоначального знакомства с ними и позволит плавно перейти к частному случаю комплексных чисел-целым гауссовым числам. К тому же присутствие исторического материала открывает учащимся другой взгляд на математику, как на развивающуюся науку, в которой ведется интенсивный поиск новых закономерностей и новых методов решения задач, поставленных несколько столетий назад.

После изучения “традиционной части” начинается построение арифметики целых гауссовых чисел. Этому посвящены занятия 6,7,8,9,10.

В нескольких теоремах этого блока доказательства ведутся методом математической индукции. Чтобы в дальнейшем не сосредотачивать внимание на этом методе целесообразнее будет ввести его до перехода к изучению арифметики гауссовых чисел.

Метод математической индукции является одним из высокоэффективных методов поиска новых результатов и доказательства истинности выдвинутых предположений.

Хотя этот метод в математике не нов, но интерес исследователей к нему возрос в связи с развитием дискретной математики. Вряд ли удастся найти какую-нибудь серьезную книгу по дискретной математике, в которой не использовался бы метод математической индукции.

Встречаются разные формы и виды математической индукции, нам будет достаточно одной.

Рассматривается какое-либо подлежащее доказательству свойство бесконечной последовательности математических объектов. Для метода математическойц индукции безразлична природа этих объектов. Они могут быть геометрическими, теоретико-числовыми и т.д.

Преподавателю нужно учитывать, что не всегда тот факт, который учащимся предстоит доказывать, выглядит для них естественным.

А положение, представлляющееся искусственным, не наглядным, вызывает у многих учащихся чувство внутреннего сопротивления, что препятствует усвоению данной темы.

Относительно связи метода математической индукции со шеольной математикой можно сказать, что она вполне может стать столь же тесной, как и в так называемой высшей математике. Надо только умело использовать этот метод, рассредоточив его применение по всему курсу школьной математики. Тем самым упрощаются доказательства многих рассуждений или появляется возможность посмотреть на одни и те же факты и явления с разных сторон. Нельзя упускать из виду следующую особенность метода математической индукции. Метод математической индукции оказывается применимым к широкому кругу задач, относящихся к различным разделам математики, граничных со школьными(задачи из теории чисел, применения формулы Эйлера, начала теории графов и т.д.).

Таким образом, владение этим методом рассуждения значительно расширяет возможности учащихся.

Перейдем теперь к построению арифметики кольца целых гауссовых чисел. Хорошо замечено Л.А. Калужниным: “…суть состоит в том, что и школьная арифметика и высшая арифметика относятся к одной и той же области знания. Было бы полезно, если бы школьники старших классов, имеющие склонность к математике, углубляли тот набор знаний, который они приобрели в младших классах. Такое углубление необходимо, впрочем, и для того, чтобы в дальнейшем познакомиться с высшей арифметикой.”

Целые комплексные числа являются естественным обобщением целых рациональных чисел. Важно также заметить, что связь между областями гауссовых чисел и целых гауссовых чисел аналогична связи между рациональными числами и целыми рациональными числами. Всякое рациональное число является комплексным(мнимая часть равна нулю) и всякое целое рациональное число является целым комплексным(гауссовым) числом.

Для дальнейшего полезно представить расположение целых гауссовых чисел на комплексной плоскости. Они представляются точками с целочисленными координатами, в вершинах сетки квадратов со стороной равной 1, покрывающей комплексную плоскость.

Следует обратить внимание, что геометрически модуль комплексного числа-это расстояние соответствующей точки на комплексной плоскости от начала координат.

Как и в кольце целых рациональных чисел, так и в кольце целых гауссовых чисел основной интерес представляет вопрос делимости. В случае целых рациональных чисел имеются только два числа, которые делят все целые числа: +1 и -1.

В случае целых гауссовых таких числа четыре: +1, -1, +i, -i.

Других чисел с данными свойствами среди целых гауссовых чисел нет. Можно предложить учащимся доказать этот факт самостоятельно.

Действительно, если некоторое целое гауссово число делит все целые гауссовы числа, то оно, в частности, должно делить число 1(поэтому такие числа называются делителями единицы).

Из N() следует, что N()=1. Если =x+yi, то x²+y²=1.

Очевидно это уравнение имеет в целых рациональных числах в точности четыре решения: х=1, у=0; х=0, у=1; х=0, у=-1; х=-1, у=0.

Эти четыре решения как раз и соответствуют целым гауссовым числам +1, -1, i, -i.

Далее для целых гауссовых чисел, аналогично тому, как это делалось для целых рациональных чисел определяются понятия общего делителя, наибольшего общего делителя, взаимно простых и простых чисел.

Первые три понятия трактуются дословно как и в случае целых рациональных чисел. Но на определении простого гауссова числа нужно остановиться поподробнее. Иначе, данное определение простого гауссова числа можно преподнести следующим образом:

простое гауссово число - это такое целое гауссово число норма которого больше единицы и которое не разложимо в произведение двух целых гауссовых чисел, нормы которых меньше, чем норма числа .

После введения этого определения учитель может предложить каждому ученику составить по одному примеру простого числа.

Следует обратить внимание учащихся на понятие ассоциированности целых гауссовых чисел. Оно вводится для того, чтобы можно было компактнее сформулировать само утверждение об однозначности разложения.

Доказательство утверждения можно вести по пути установления свойств наибольшего общего делителя и свойств взаимно простых чисел в кольце целых гауссовых чисел.

Ключом всего доказательства является утверждение о возможности деления с остатком в кольце целых гауссовых чисел, которую можно сформулировать без доказательства.

Далее займемся описанием множества простых гауссовых чисел. Здесь целесообразно рассмотреть несколько вспомогательных утверждений. Важно обратить внимание, на то, что простое рациональное число является всегда целым гауссовым числом, но как гауссово число оно не обязательно простое, а может делиться на целые гауссовы числа с меньшей нормой.

Так, например, число 2-простое, если его рассматривать как целое рациональное число, но оно не будет являться простым, если его рассматривать, как целое гауссово число.

Действительно, в области целых гауссовых чисел 2 допускает разложение 2=(1+i)(1-i) и ни один из сомножителей 1+i и 1-i не является делителем единицы.

Очевидно, что и 5 не является простым в кольце гауссовых чисел, так как 5=(2+i)(2-i).

Можно также показать, что все простые числа вида 4n+1 представимы в виде суммы двух квадратов, т.е. являются нормами целых гауссовых чисел, а поэтому не являются простыми гауссовыми числами и, следовательно принадлежат к классу тех простых рациональных чисел, которые разложимы в произведение двух комплексно-сопряженных простых гауссовых чисел. Доказательство этого утверждения основано на теории сравнений, поэтому для школьников оно будет слишком абстрактным и весьма объемным. Поэтому целесообразнее было бы предложить им алгоритм, при помощи которого можно разложить число вида 4n+1 в сумму двух квадратов.

Предполагая известным, что все простые числа вида 4n+1 представимы в виде суммы двух квадратов, можно установить, каковы все целые рациональные числа, представимые в виде суммы двух квадратов.

Поэтому при составлении алгоритмов для выяснения простоты целого гауссова числа и для алгоритма факторизации целого гауссова числа можно ввести следующий критерий представимости целого рационального числа в виде суммы двух квадратов:

Для того, чтобы целое рациональное число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы простые числа вида 4n+3 входили в разложение этого числа на простые множители в четных степенях.

Имея в запасе достаточное количество знаний можно заняться доказательством основной теоремы арифметики в кольце гауссовых чисел. Особое внимание следует обратить на однозначность. Существенную роль здесь играет ассоциированность, определение которой было дано ранее.

На последнем занятии данного факультативного курса важно отработать алгоритм для выяснения простоты целого гауссова числа.

Навыки, полученные при этом, пригодятся при выяснении простоты произвольного целого гауссова числа.

Заканчивается факультативный курс алгоритмом факторизации целого гауссова числа. Необходимо прорешать достаточно примеров, чтобы прочно освоить такой метод разложения целых комплексных чисел на простые множители. В результате проведения 10 занятий главные цели факультативного курса будут достигнуты:

Построена арифметика целых комплексных чисел.

Выявлен ряд свойств целых комплексных чисел.

Доказана однозначность разложения на простые множители.

Построен алгоритм факторизации.

Однако для того, чтобы у старшеклассников не сложилось впечатления, что во всех арифметиках имеет место теорема об однозначности разложения на простые множители, целесообразно было бы привести пример “арифметики”, гда основная теорема не выполняется.

Будем рассматривать комплексные числа вида =х+у-5, где х и у-целые рациональные числа.

Легко проверить, что сумма, разность и произведение чисел вида =х+у-5 опять являются числами этого же вида. Обозначив совокупность всех этих чисел через Г. Очевидно, что Г содержит все целые рациональные числа (при у=0).

Так же как в случаях целых рациональных и целых гауссовых чисел, можно говорить о делимости в Г: делит , если опять число из Г, т.е. представимо в виде

= х+у-5.

Как и в случае целых гауссовых чисел, в вопросе о делимости важную роль играют нормы чисел из Г:

N()=N(х+у-5)=( х+у-5)( х-у-5)=x²+5y².

Так же как и в случае целых гауссовых чисел, естественно вводится понятие делителей единицы и определение простых чисел.

В отношении делителей единицы дело обстоит здесь даже проще, чем для целых гауссовых чисел.

Делителями единицы здесь являются только +1, -1.

Действительно, для делителей единицы должно выполняться условие N()=x²+5y²=1, но это уравнение имеет решения х= 1, у=0.

Факт о существовании представления каждого числа из Г в виде произведения простых чисел доказывается индукцией по норме также, как и в случае целых гауссовых чисел. А вот утверждение об однозначности такого разложения здесь уже неверно.

Пример:

Покажем сначала, что 2=2+0-5, 3=3+0-5, 1+-5, 1--5 -простые числа в Г.

Действительно, N(2)=4, N(3)=9, N(1+-5)=N(1--5)=6.

Если бы одно из этих чисел не было простым в Г, то оно могло бы делиться только на некоторое число = х+у-5, для которого

N()=N(х+у-5)=x²+5y²=2 или N()=N(х+у-5)=x²+5y²=3.

Но таких чисел в Г нет, т.к. очевидно, что уравнения x²+5y²=2 и x²+5y²=3 не имеют целочисленных решений.

Значит указанные четыре числа- простые в Г.

Тогда 6=23=(1+-5) (1--5) различные разложения 6 на простые множители.

Таким образом, на протяжении всего курса должна вестись целенаправленная и систематическая работа не только по усвоению нового материала и общему развитию учащихся, но и, прежде всего, по развитию их логического мышления. Это и работа с новыми математическими объектами, выявлению их логической структуры; обучение школьников возможным приемам доказательств и рассуждений.

2.4 Экспериментальная проверка

Экспериментальная проверка предложенного в работе факультативного курса проводилась в школе- гимназии №4 г.Подольска в 11-ом математическом классе исостояла из 3-х этапов. На пепрвом этапе был проведен констатирующий эксперимент, во время которого изучались знания, умения и навыки учащихся, приобретенные ими в процессе изучения темы “комплексные числа” в школьном курсе математики.

Так, например, неправильные ответы на вопросы:

Какие множества образует

Объединение множества всех действительных чисел с множеством всех комплексных чисел;

Пересечение множества всех действительных чисел с множеством всех мнимых;

Пересечение множества всех действительных чисел и множества всех комплексных чисел?

Можно ли назвать число -2i

Противоположным числу 2i;

Отрицательным;

Сопряженным числу 2i;

позволили судить о недостаточно глубоком уровне усвоения материала и требует повторного рассмотрения основных понятий и теорем.

Результаты констатирующего эксперимента позволили сделать следующие выводы:

У учащихся 11 классов понятие комплексного числа интуитивное, не имеет прочной теоретической основы.

Действия с комплексными числами в тригонометрической форме и применение комплексных чисел к доказательству тождеств нередко вызывают у учащихся затруднения, что приводит к потере интереса при дальнейшем углублении этой темы.

Сделанные выводы определили цель второго этапа эксперимента- поискового. Целью поискового эксперимента являлось выявление такого содержания занятий, которое будет направлено на расширение представления арифметики целых комплексных чисел, а также на определение оптимальных условий проведения занятий.

Здесь решались следующие задачи:

Отработка факультативного курса “Арифметика комплексных чисел”, отвечающего за повышение уровня знаний и развития математической культуры учащихся.

Проверка доступности отобранного материала.

Проверка эффективности методики преподавания факультативного курса.

На 3-ем обучающем этапе были проведены 7 уроков. Поскольку “традиционная часть” темы комплексных чисел входит в программный материал классов с углубленным изучением физико-математических дисциплин, то курс начинался с кратких исторических сведений об открытии комплексных чисел. Далее были проведены 6 занятий посвященные возможности изучения арифметики на множестве целых гауссовых чисел. В эксперименте участвовало 14 человек.

По окончанию проведения курса всем участникам были выданы карточки с индивидуальными заданиями. Анализ приведенных результатов показал, что вопросы, разработанные на занятиях, хорошо усваиваются учащимися. Проверка этих работ позволила сделать следующие выводы:

Благодаря ранее изученной арифметике натуральных чисел, арифметика комплексных чисел, как арифметика новых объектов, усваивается старшеклассниками хорошо.

Наличие интереса к изучаемой теме положительно влияет на сам процесс обучения и на уровень усвоения знаний.

Знания по делимости и по комплексным числам, которые были изучены как две разные темы школьного курса математики в результате своего объединения дали возможность построить новую арифметику и познакомиться с ее свойствами.

Заключение

В ходе теоретического и экспериментального исследования на тему "Арифметика комплексных чисел" (факультативный курс для учащихся старших классов средней школы) были получены следующие результаты:

Проведен анализ учебных пособий, содержащих материал по комплексным числам. Анализ показал, что учебник для классов с углубленным изучением дисциплин естественно-математического цикла тема "Комплексные числа" указана как обязательная для изучения, а пособия для факультативов по данной теме сохранили свой прежний материал, т.е. не учтен уже изученный материал. Приложения комплексных чисел часто касаются функции комплексной переменной, геометрических преобразований, решений алгебраических уравнений. Теория делимости целых комплексных чисел затронута в пособии [14],е и замечено, что школьная арифметика и высшая арифметика относятся к одной и той же области знаний.

Исходя из психолого-педагогических особенностей учащихся старших классов, разработан и практически реализован факультативный курс для учащихся старших классов "Арифметика комплексных чисел", позволяющий продемонстрировать наличие других арифметик, кроме арифметики, изучаемой в школьном курсе, а также выполнение в гауссовом кольце основной теоремы арифметики об однозначности разложения на простые множители

Обоснована целесообразность изучения школьной арифметики на новых объектах в старших классах средней школы. Это способствует повышению уровня знаний, умений и навыков во многих других разделов школьного курса, позволяет привести в систему те разрозненные знания, которые были изучены старшеклассниками ранее.

Литература

1. Абрамов А.М., Виленкин Н.Я., Дорофеев Г.В. и другие. Избранные вопросы математики; 10 класс. Факультативный курс. - М.: Просвещение, 1980 г.

2. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. - М.: Просвещение, 1975 г.

3. Андронов И.К. Факультативные курсы по математике в средней школе. Выпуск 1 - М.: 1974 г., Выпуск 2 - М.: 1975 г.

4. Андронов И.К., Брадис В.М. Арифметика: пособие для средней школы. - М.: Учпедгиз, 1962 г.

5. Андронов И.К., Окунев А.К. Арифметика рациональных чисел. - М.: просвещение, 1971 г.

6. Антипов И.Н., Березин В.Н., Егоров А.А. и другие. Избранные вопросы математики. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1983 г.

7. Архангельская В.М. Элементарная теория чисел: учебное пособие. Издательство саратовского университета, 1962 г.

8. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математический факультатив - вчера, сегодня, завтра. // Математика в школе. - М.: 1987 г.

9. Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике. Учебное пособие для техникумов. - М.: Высшая школа, 1973 г.

10. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Уч. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изуч.математики. - М.: Просвещение, 1993 г.

11. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.:Физмат, 1963 г.

12. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. - М.: Просвещение, 1985 г.

13. Гнеденко Б.В., Черкасов Р.С. О преподавании математики в предстоящем тысячелетии. // Математика в школе. - М.: 1996 г.

14. Захарова А.В. Психология обучения старшеклассников. - М.: Знание,

15. Иванов А.П., Кондаков В.М. Математика.- Пермь: из-во Перм.ун-та, 1994 г.

16. Избранные вопросы факультативных и внеклассных занятий по математике./Под ред. В.А.Жарова - Ярославль, 1971 г.

17. Калужнин Л.А. Основная теорема арифметики. - М.: Наука, 1969 г.

18. Кон И.С. Психология юношеского возраста. Учебное пособие для студентов педагогических институтов. - М.: Просвещение, 1979 г.

19. Корешкова Т.А. Научно-методические основы взаимосвязи математических курсов педвузов и школьных дисциплин. - М.: 1991 г.

20. Крутецкий В.А., Лукин Н.С. Очерки психологии старшего школьника. - М.: Учпедгиз, 1963 г.

21. Крутецкий Р.О., Фадеев Д.К. Алгебра и арифметика комплексных чисел: Пособие для учителей средних школ. - Л.: Учпедгиз, ленинградское отделение, 1939 г.

22. Липилина В.В. Пути осуществления преемственности факультативного и основного курсов математики. Автореферат диссертации. - М.: 1988 г.

23. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учеб.пособие для техникумов.- М.: Высшая школа, 1991 г.

24. Менчинская Н.А. Психология обучения арифметике. - М.:Учпедгиз, 1955 г.

25. Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметики в начальных классах. - М.: Просвещение, 1965 г.

26. Ольшанский Д.В. Я сам (очерки становления и развития детского «Я»). - М.: Знание, 1986 г.

27. Петрова Е.С. Организация познавательной деятельности учащихся старших классов средней школы в условиях углубленного изучения математики. - Саратов, 1991 г.

28. Пидкасистый П.И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении. - М.: Педагогика, 1980 г.

29. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегрированное исчисление для вузов. - М.: Физмат, 1963 г.

30. Под ред. Петровского А.В. Возрастная и педагогическая психология. - М.: Просвещение, 1973 г.

31. Под редакцией Петровского А.В. Возрастная и педагогическая психология. Учебное пособие для педагогических институтов. - М.: Просвещение, 1973 г.

32. Симонов А.Я., Бакаев Д.С. и другие. Система тренировочных задач и упражнений по математике. - М.: Просвещение, 1991 г.

33. Симоновская Г.А. Факультативный курс «Комплексные числа и их приложения» для старших классов средней школы. Диссертация.

34. Скобелев Г.Н. Контроль на уроках математики. Пособие для учителя. - Минск: Народная асвета, 1986 г.

35. Фатеева Г.И. Факультативные занятия и их роль в развитии познавательных интересов учащихся. Диссертация. - М.: 1974 г.

36. Фридман Л.В., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: книга для учащихся старших классов средней школы. - М.: Просвещение, 1989 г.

37. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математики в школе: Учителю математики о педагогической психологии. -

38. Чередов И.М. Формы учебной работы в средней школе: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1988 г.

39. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для десятых классов общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 1994 г.

40. Яглом И.М. Комплексные числа. - М.: Физматгиз, 1963 г.

Размещено на Allbest.ru