Сформулирована и доказана теорема общего характера об использовании метода гомотопий для произвольных конечномерных полей. Проанализированы условия теоремы.

Ключевые слова: нелинейный функциональный анализ; векторное поле; гомотопия; индекс Пуанкаре; особая точка.

Annotation

Using the homotopical method for continuous finite-dimensional vector fields in the spaces of arbitrary dimension

V. Yu. Mitin Perm State University

The general theorem about using the method of homotopies has been formulated and proved. The conditions of the theorem have been analyzed.

Key words: nonlinear functional analysis; vector field, homotopy; the Poincarй index; singular point.

Введение

В предыдущих статьях, например в статье [3], был описан метод гомотопических преобразований (метод гомотопий). Суть этого подхода состоит в том, что если векторные поля гомотопны на сферах достаточно малых радиусов с центром в их общей изолированной особой точке, то для этих полей индекс Пуанкаре этой точки равен одному и тому же целому числу. векторный гомотопия изолированный конечномерный

Одним из существенных преимуществ использования метода гомотопий является то, что гомотопическая теория излагается одинаково в пространствах любой размерности.

Далее мы сформулируем и докажем теорему, с помощью которой можно сводить вычисление индекса изолированной особой точки a векторного поля Ф к вычислению индекса этой точки для векторных полей более простого вида. Эта теорема получена на основе материала, данного в пособиях [1] и [2].

Общая теорема

Теорема. Пусть выполнены следующие условия.

1. Для конечномерного непрерывного векторного поля Ф в некоторой окрестности точки а справедливо представление

Ф(z)=Ф_n(z)+W_n(z),где. (1)

2. a - изолированная особая точка векторных полей Ф и Ф_n.

3. На границе достаточно малых шаров с центром в точке a выполняется неравенство

(2)

для некоторого С > 0.

Тогда индексы точки a для векторных полей Ф и Ф_n равны:

.

Доказательство. Поскольку a ? изолированная особая точка векторных полей Ф и Ф_n, то существует r₁>0, при котором оба векторных поля Ф и Ф_n не имеют ненулевых особых точек во всех окрестностях B(a,r), где 0 < r < r₁. Пусть неравенство (2) выполняется для всех шаров B(a,r), где 0 < r < r₂, а в окрестности B(a,r₁) справедлива формула (1), из которой следует, что . Поэтому при достаточно малых r (0 < r < r₄) выполняется неравенство

.

Пусть теперь R = min(r₁,r₂,r₃,r₄). Тогда на границе любого шара B(a,r) выполнены все условия 1-3, следовательно, справедлива оценка:

.

По теореме Руше (см. [1]) векторные поля Ф и Ф_n на границе любого шара радиуса 0 < r < R гомотопны, поэтому их вращения равны:

.

Поскольку в рассматриваемых шарах нет особых точек векторных полей Ф и Ф_n,то

ind(a,Ф)=

= =ind(a,Ф_n).

Теорема доказана.

Замечание 1. Условие 1 теоремы выполнено, если векторное поле Ф с изолированной особой точкой и имеет производную Фреше порядка n. Тогда поле Ф представимо по формуле Тейлора:

где , zⁿ(•) - оператор n-ой степени, - обозначение производной Фреше порядка n.

Замечание 2. При выполнении условия 1 векторное поле

Ф_n(z) =

является полиномиальным, что заметно упрощает вычисление индекса точки .

Замечание 3. Для проверки условия 3 нужно установить порядок вырождения n полиномиального векторного поля Ф_n.

В регулярном случае n = 1 и индекс определяется линейной частью по известной формуле .

В критическом случае для этого можно использовать, например, алгебраический метод (см. [2], [3]).

Для плоских векторных полей можно доказать, опираясь на идеи функционального анализа, утверждение: если векторное поле Ф_n с изолированной особой точкой и имеет ненулевую вырожденную производную Фреше в точке и и имеет место "неколлинеарный случай" (cм. [4]), то порядок вырождения n = 2.

Список литературы

1. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

2. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз, 1963.

3. Митин В.Ю. Вычисление индекса изолированной особой точки векторного поля // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Вып. 7(33). С.6-9.

4. Митин В.Ю. Векторный подход к вычислению индекса Пуанкаре для изолированных нулей плоских векторных полей с вырожденной линейной частью // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2010. Вып.4(4). С.4-7.