Истинность математических теорем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Небольшой исторический экскурс

2. Построение фундамента для математики в 20-м веке

3. Об интуиции в математике

4. Основания математики - современное состояние

4.1 Язык

4.2 Формальная теория

4.3 Доказательство

4.4 Интерпретация и модель

4.5 Логика

4.6 Непротиворечивость

5. О математике вообще

6. Что есть истина в математике

7. О доказательствах

8. Подробнее о непротиворечивости

9. Непротиворечивость логики предикатов

Заключение

Резюме

Литература

Введение

Если спросить человека, далёкого от науки, об истинности математических теорем, то скорее всего он скажет, что они абсолютно истинны. Напротив, многие высказывания, опубликованные людьми науки на эту тему, утверждают невозможность определённого ответа на этот вопрос. Причиной такого разногласия является прежде всего различие взглядов на природу математических понятий, откуда вытекает и различное понимание истинности математических теорем. С другой стороны, понятие истинности теорем является метаматематическим и потому до тех пор, пока соответствующий раздел метаматематики не был формализован и тем самым превращён в часть математики, обсуждение этого вопроса могло носить только философский характер. Однако, если выбор философской концепции, в основном - дело вкуса, то от математики требуется определённая объективность решений.

Насколько актуален вопрос об истинности математических теорем в наше время, когда человечеством накоплен большой опыт, подтверждающий, с одной стороны, стабильность математических знаний, а с другой стороны - неизменную успешность применения математики в самых разнообразных областях науки и техники? Как это ни покажется странным, в свете внутреннего развития математики этот вопрос приобрёл ныне особую значимость в связи с произошедшим в последнее время изменением трактовки некоторых важных математических и метаматематических понятий.

Начиная с древности и до последнего времени существуют учёные, которые считают математику естественной наукой, предназначенной для изучения свойств реального мира, и критерием истинности математических утверждений полагают их соответствие «реальным фактам». Последнее и является главной причиной их пессимизма, поскольку вопрос об адекватности математических моделей реальным ситуациям всегда будет находиться за пределами математики и, более того, - за пределами достоверных знаний. В то же время математика отличается от других наук абстрактным характером и идеальностью своих понятий, что даёт основание считать её теоремы абсолютно истинными.

Целью настоящей работы является по возможности объективный ответ на вопрос об истинности математических теорем, для чего необходимо уточнить само понятие истинности в математике. Это мы постараемся сделать в п.6, но прежде необходимо рассмотреть эволюцию некоторых математических понятий.

Математика, как и всякая наука, представляет собой систему понятий и утверждений (предложений, теорем, формул) в определенном языке. Однако, в отличие от всех остальных наук, семантика математического языка не является фрагментом реального мира, но является элементом самой математики. Поэтому можно сказать, что математика является наукой, замкнутой в самой себе. При всём том значительная часть математики используется для решения задач, возникающих при изучении реального мира, что дало основание считать математику естественной наукой.

Вопрос об истинности математических теорем зависит прежде всего от взгляда на природу самой математики, а также от понятия доказательства и некоторых других математических и метаматематических понятий. На эти понятия в научной и философской среде существуют разные точки зрения. 20-й век явился переломным в трактовке многих математических и философских вопросов в математике, хотя бы потому, что значительная часть метаматематики была математизирована и такие понятия, как доказательство и логика, используемая для его построения, приобрели вполне определённый формальный смысл. Эти достижения позволяют нам взглянуть на вопрос об истинности математических утверждений с совершенно новых позиций. При этом надо сказать, что пессимистические высказывания в адрес математики появились в основном в конце 19-го начале 20-го веков, когда обнаруженные антиномии в традиционно построенной теории множеств поколебали веру в непогрешимость математической интуиции.

С античных времен существуют различные взгляды на природу и назначение математики. В соответствии с отношением к реальному миру их можно разделить на два вида, которые мы условно назовем прагматическим и идеальным. С прагматической точки зрения математика является естественной наукой, служащей для познания закономерностей материального мира и черпающей из него свои понятия и задачи, причём последним критерием истинности математических постулатов и теорем считается их соответствие каким-либо реальным аналогам. Однако, по самой природе естественнонаучного знания, не существует возможности установить или опровергнуть наличие такого соответствия, во-первых, потому, что все естественнонаучные знания имеют индуктивный характер, и во-вторых, потому, что мы не можем гарантировать адекватного истолкования наших наблюдений и экспериментов. Кроме того, математический язык настолько универсален, что пригоден для описания многих виртуальных миров, в частности, несовместимых с «реальным». Поэтому говорить о каком-то особом соответствии математического языка именно реальному миру необоснованно. Существуют и другие трудности сопоставления математических закономерностей реальным фактам, о чём будет сказано в дальнейшем.

С идеальной точки зрения математика является независимой наукой, развивающейся по своим собственным закономерностям и непосредственно с материальным миром не связанной. Здесь, правда, возникает вопрос о причинах успешной применимости математических теорем к реальному миру, на который можно дать различные ответы. С античных времен и вплоть до 19-го века была широко распространена точка зрения, согласно которой мир был создан в соответствии с математическими законами, познавая которые, мы познаём и свойства реального мира. В книге [Кла], по этому поводу сказано следующее: «В трудах Коперника, Кеплера, Декарта, Галилея и Паскаля было доказано, что некоторые явления природы протекают в соответствии с математическими законами. Все эти ученые не только были глубоко убеждены в том, что Бог сотворил Вселенную по математическому плану, но и утверждали, что математическое мышление человека согласуется с божественными предначертаниями и потому пригодно для расшифровки этого плана». В новое время такое объяснение стало недостаточным, но никакой более подходящей альтернативы предложено не было. Мы вернёмся к этому вопросу в п.5.

В настоящей статье предлагается определенный взгляд на понятие истинности в (мета)математике и рассматривается вопрос о возможности убедительного доказательства истинности математических теорем. Несмотря на то, что в научной среде обычно преобладает прагматический подход к математике, всегда существует и идеальная точка зрения на математику, без которой математика превратилась бы в теоретические разделы различных естественных наук. Именно благодаря абстрактной математике человечество получило универсальный аппарат изучения самых различных явлений реального мира (см., напр. [К,У], [Виг]). Иногда говорят о существовании двух математик - теоретической и прикладной, однако правильнее было бы считать прикладные задачи специальным видом семантики для математических теорий, поскольку отделить прикладную математику от теоретической невозможно.

1. Небольшой исторический экскурс

Наиболее отчётливо различие во взглядах на природу математики проявилось у Платона (4 в. до Р.Х.) и его ученика Аристотеля. Первый, в соответствии со своей философской концепцией считал, что математика принадлежит миру чистых идей и потому её истины, как идеальные, абсолютны и неизменны. Напротив, приложения её к несовершенному миру вещей условны и преходящи, и в то же время постигнуть свойства вещественного мира можно только с помощью идеальной математики. Аристотель явно стоял на прагматическом отношении к математике, отводя ей роль вспомогательного инструмента для физики, которая строится на основании чувственного опыта. В дальнейшей истории науки эти две точки зрения постоянно сохранялись и сохранились до настоящего времени, изменяясь только в соответствии с изменением взглядов на такие понятия, как логика, доказательство, реальный мир и др.

Естественно, что и взгляды на понятие истинности математических теорем с этих точек зрения могут быть различными. Как уже было сказано, некоторые приверженцы прагматической точки зрения считают, что критерием истинности математического предложения является соответствие его описываемым им фактам вещественного мира, т.е. результатам наших наблюдений и экспериментов. Несостоятельность такого критерия в наше время достаточно очевидна, позднее мы скажем об этом ещё несколько слов. Что касается идеальной точки зрения, то здесь вопрос об истинности математических теорем приобрёл в новое время в значительной мере формальный характер, о чём речь будет идти в дальнейшем.

Основные принципы построения математики были явно провозглашены еще в античности. Аристотель определённо заявил о необходимости дедуктивного построения математических доказательств. При этом он считал, что истинность аксиом устанавливается безошибочной интуицией, а не опытом, который всегда имеет индуктивный характер, и шаги дедукции также определяются интуицией. В то же время он сформулировал некоторые логические принципы, которые следовало применять при построении доказательств. Можно считать это началом сознательного замещения интуитивной очевидности логическими заключениями. Этот процесс затянулся более, чем на два тысячелетия и принёс первые плоды только в новое время и в узком круге математических теорий, в то время как подавляющее большинство других математических теорий по-прежнему строится на интуитивной основе, но об этом - ниже. Позднее Евклид (3-й век до Р.Х.) описал аксиоматику геометрии, которая долгое время служила образцом для построения аксиоматических теорий, хотя с современной точки зрения она таковой не является. Дальнейшее развитие математики, вплоть до конца 19-го - начала 20-го веков имело в основном прагматический характер, когда математика применялась как эффективное средство для решения физических, астрономических и других прикладных задач. В то же время никогда не снимался вопрос о «законных» средствах построения математических понятий и доказательств. Ввиду отсутствия самого понятия математической логики, главным инструментом доказательств являлась интуиция. В наше время, несмотря на появление формальных понятий логики и доказательства, подавляющее большинство доказательств строится на интуитивной основе. Поэтому вопрос о природе и роли интуиции в математике нуждается в специальном рассмотрении.

Решительная апология прагматического подхода к математике с детальным историческим обзором содержится в книге [Кла], но современное состояние оснований математики в этой книге отражено слишком тенденциозно (и к тому же некомпетентно). Сугубо прагматический подход соединяется в ней с крайне отрицательным отношением к “чистой” математике. Хорошо известно, что многие важные разделы математики зарождались в связи с потребностью решения прикладных задач, однако подавляющее большинство задач не могло бы быть решено без соответствующего развития абстрактной математики. Приверженцы прагматического подхода к математике основывают свою точку зрения на первом факте, хотя, строго говоря, он ничего не говорит в их пользу. В действительности процесс развития математики более правильно описывает следующее высказывание из работы [Мев], опубликованной ещё в 1913 году: «…хотя математика возникает как средство для естествознания, но при своем развитии математический интерес получает для нас самостоятельное значение. … Перейдя за пределы простого средства, математика начинает развиваться совершенно свободно, под влиянием одних внутренних потребностей. Тогда никакие посторонние соображения уже не могут влиять на развитие математики и математика становится вполне автономной… Критерием ценности всех математических теорий становится уже не приносимая ими польза для познания внешнего мира, а лишь внутренняя стройность, красота и порядок, достигаемые при их помощи в нашем собственном сознании».

2. Построение фундамента для математики в 20-м веке

Вопрос о построении прочного фундамента математики, хотя и ставился некоторыми математиками в 19-м веке и ранее, но настоящую остроту он приобрёл после обнаружения противоречий в канторовской теории множеств, поскольку на неё возлагалась основная надежда построения основания для всей математики. Причиной такой надежды явилось то обстоятельство, что, с одной стороны, теория множеств основана на интуитивно очень простом и ясном понятии множества, более простом, чем понятие числа, и с другой стороны, в ней выразимы основные понятия Арифметики и Анализа, так что построив их модели в теории множеств, можно было бы доказать их непротиворечивость в случае надёжной непротиворечивости теории множеств. Однако в самом начале развития теории множеств в ней были обнаружены противоречия (обычно называемые парадоксами).

Наиболее простое из них - так называемый парадокс Рассела состоит в следующем. Все множества можно разделить на два вида: множества, содержащие самого себя в качестве своего элемента и множества, не содержащие себя в качестве элемента. Нетрудно привести примеры тех и других. Рассмотрим теперь множество Р всех множеств второго вида и поставим вопрос, какому виду оно принадлежит. (Оно должно принадлежать одному из этих видов, поскольку они исчерпывают все множества). Предположим, что множество Р принадлежит первому виду, т.е РОР. Тогда, поскольку Р состоит только из множеств второго вида, то РПР, т.е. РОР => РПР (1). Предположим теперь, что множество Р - второго вида, т.е. РПР. Тогда Р должно быть множеством первого типа, т.е. РОР. Итак, получили: РПР => РОР (2). Из (1) и (2) получаем: РОР РПР - противоречие.

В связи с этим канторовская теория множеств как основание математики была отвергнута.

Другие попытки решения вопроса об основаниях математики происходили в основном с трёх разных позиций или направлений, которые получили названия интуиционизма, логицизма и формализма. Схематически эти направления можно охарактеризовать следующим образом.

Интуиционизм, как определённое направление в математике, возник в начале 20-го века, в основном благодаря трудам Л.Брауэра и А.Гейтинга. В его основе лежит номиналистическая тенденция ограничить математику только такими понятиями, которым можно придать «реальный смысл». Для реализации этой идеи интуиционисты предложили рассматривать только такие объекты, для которых имеется потенциально осуществимая процедура их построения. Они получили название конструктивных объектов. Чтобы не выйти за рамки конструктивных объектов, интуиционистам пришлось сузить и логику, отказавшись от закона исключённого третьего. Путём сужения допустимых понятий интуиционисты рассчитывали достичь надёжной истинности математических теорем, а тем самым и непротиворечивости такой математики. Однако этот расчёт не оправдался, во-первых, потому, что вместо ясности интуиционистские понятия и теоремы оказались в большинстве случаев сложнее классических аналогов и тяжелее воспринимаемыми человеческой интуицией, чем последние. Во-вторых, надежда на очевидную непротиворечивость конструктивной математики не оправдалась: как показали дальнейшие исследования, к ней сводится непротиворечивость классической математики (см. например, [Kли]). Кроме того, исключение из математики всех понятий, неподдающихся конструктивному определению, и, в частности, понятия актуальной бесконечности, привело к ликвидации важнейших достижений классической математики. По этому поводу вполне резонны высказывания Д.Гильберта, сделанные в 1927г.: «…закон исключённого третьего ни в малейшей степени не повинен в появлении известных парадоксов теории множеств; эти парадоксы происходят скорее потому, что пользуются недопустимыми и бессмысленными образованиями понятий, которые в моей теории доказательства исключаются сами собою. … Отнять у математиков закон исключенного третьего - это то же, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксёру пользование кулаками. Запрещение теорем существования и закона исключённого третьего почти равносильно полному отказу от математической науки. Действительно, какое значение имеют жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом единичные результаты, которые были выработаны без применения е-аксиомы интуиционистами, по сравнению с могущественным размахом современной математики!» Ввиду ограниченности объема статьи нам пришлось отказаться от большинства ссылок на публикации известных авторов.. Всё это естественно воспрепятствовало интуиционизму стать фундаментом всей математики. Главной причиной этой неудачи является, на наш взгляд, наложение на идеальные математические понятия искусственных ограничений, основанных на философских соображениях. Претензия интуиционистов на исключительную истинность своих воззрений и требование строить всю математику только на конструктивной основе послужили определённой изоляции этого направления от основной математики, хотя в некоторых её разделах (и в особенности - в метаматематике) использование конструктивного подхода вполне оправдано и иногда даже необходимо. Фактически гильбертовское понятие финитности есть не что иное, как одна из форм конструктивности. В своем развитии интуиционизм пошёл по пути формализма и, можно сказать, стал тенью классической математики, отбрасываемой на неровную поверхность. Детальная критика интуиционизма содержится в книге [Бун].

Логицизм возник на грани 19-20-го веков в связи с построением математической логики. Его основатели - Г.Фреге и Б.Рассел надеялись всю математику “вывести” из логики. Вот как характеризуется эта идея в книге [Кла]: «В начале ХХ в. Рассел, как и Фреге. надеялся, что если фундаментальные законы математики удастся вывести из логики, то поскольку логика, несомненно, является сводом нетленных истин, математические законы также окажутся истинными - и тем самым проблема непротиворечивости будет разрешена». Для этого необходимо было определить основные математические понятия в рамках чистой логики и тогда все математические теоремы будут получаться как логические следствия. Фреге, как ему казалось, определил таким образом натуральные числа, к которым сводятся многие математические понятия, и построил для них арифметику. Б.Рассел, хотя и обнаружил в этой арифметике противоречие, однако продолжил попытку реализовать идею логицизма.

Несостоятельность этой идеи стала практически общепризнанной после неудачи всех попыток её реализации и осознания содержания и свойств логики. Фактически в основе логицизма лежит слишком широкое понимание логики. Тот факт, что в языке логики предикатов выразимы при определённой интерпретации многие математические понятия, ещё не означает, что эти понятия со всеми своими свойствами принадлежат логике. Согласно общепринятому определению логики, сформулированному ещё Лейбницем, с которым Рассел - один из главных творцов логицизма - был согласен, логика - это то, что истинно во всех мирах. Это означает, что логика не содержит никаких фактических истин, относящихся к какому-либо конкретному миру. Совершенно ясно, что математические истины таким свойством не обладают, хотя бы потому, что существуют противоречащие друг другу теории. Такое понимание логики не позволяет включать в неё конкретные отношения, даже если они определяются логическими средствами. Однако логицисты считали логическим всё то, что им удалось выразить в языке логики предикатов. Вот мнение Д.Гильберта о таком подходе: “Математика, как и любая другая наука, не может быть основана только на логике; наоборот, в качестве предварительного условия для применения логических умозаключений и приведения в действие логических операций нам в нашем представлении уже должно быть дано нечто, а именно - определённые внелогические конкретные объекты, которые существуют наглядно, в качестве непосредственных переживаний до какого бы то ни было мышления.”

Надо, однако, сказать, что окончательно вопрос о границах логики ещё не решен, но если говорить о принятой в современной математике классической логике предикатов первой ступени, то в силу её полноты, в рамках данного языка ни о каком расширении её речи быть не может. Что касается логики предикатов более высоких ступеней, то они не являются рекурсивно аксиоматизируемыми, и кроме того, недостаточно изучены. Поскольку позиции логицистов не были очерчены достаточно чётко, то варианты логицизма обсуждаются до последнего времени.

Формализм (или формальное направление в математике) представляет собой развитие древней идеи полной аксиоматизации математики, в модернизированном виде изложенную в так называемой “программе Гильберта”. Несмотря на то, что на поверхностный взгляд программа Гильберта была опровергнута результатами Гёделя, она фактически (с некоторыми поправками) стала главным подходом к основаниям математики. Поэтому рассмотрим её более подробно.

Программа Гильберта. Гильберт, пожалуй, был первым математиком, который провозгласил законность любой математической теории, для которой доказана её непротиворечивость, невзирая на возможность её содержательной интерпретации. В наше время такое утверждение не вызывает возражений, но ещё в начале 20-го века господствовала другая точка зрения, согласно которой математические понятия и теоремы с самого начала должны иметь содержательный смысл в виде аналогов в реальном мире или, точнее говоря, среди человеческих представлений о нём. Поэтому гильбертовская идеология вызвала неприятие со стороны прагматически настроенных коллег.

Уже древние греки хорошо понимали роль дедуктивного подхода к математике и значение четких логических правил для построения дедуктивных цепочек. Об этом свидетельствуют попытка Аристотеля описать такие правила, а также попытки Евклида и его предшественников аксиоматизировать математику. Однако в то время и долгое время спустя не было просто технических возможностей для формализации логики, а следовательно и математики. Само понятие логики не могло быть точно определено, поскольку для этого требуется чёткое разделение синтаксиса, как средства воплощения внешней формы теории, и семантики, как возможного содержания теории. Всё это стало ясным только в 20-м веке (хотя подобные идеи высказывал уже Лейбниц, 1646 - 1716). Начало систематического построения математической логики и, в частности, её языка положили Д.Буль (1815 - 1864), Г.Ф.Л.Фреге (1848 - 1925), Д.Пеано (1858 - 1932), Э.Ф.Ф.Цермело (1871- 1953). Современная форма математической логики в виде аксиоматизированной теории была выработана в основном благодаря работам Рассела и Уайтхеда, и в особенности Гильберта и Бернайса. Несколько позднее было разработано общее понятие формальной системы, частным случаем которой является аксиоматическая (или аксиоматизированная) теория. После того, как в “наивной” т.е. интуитивно построенной Г.Кантором (1845 - 1918) теории множеств были обнаружены противоречия, главной задачей в основаниях математики стало создание таких методов построения математических теорий, которые гарантировали бы их непротиворечивость. Интуиционизм фактически не давал и не мог дать никаких гарантий непротиворечивости математики, несмотря на сужение класса объектов и логики, поскольку не вносил принципиальных изменений в методы доказательства. Осуществимость логицистского подхода с самого начала была весьма проблематична и остановилась на уровне идей. Жизнеспособным и даже единственным путем дальнейшего развития математики явился путь, намеченный Д.Гильбертом в его “программе”. Хотя в то время в сознании математиков синтаксис математического языка был неотделим от содержания, Гильберт фактически предложил строить именно синтаксическую компоненту теории по чисто формальным правилам в виде аксиоматического исчисления, и формально же доказав его непротиворечивость, должным образом интерпретировать нужные теоремы. Разумеется, он понимал, что доказательство непротиворечивости теории её же средствами не имеет смысла, и поэтому он предполагал доказывать непротиворечивость “финитными” средствами, гарантирующими отсутствие противоречий. Точного понятия финитности он не дал, но судя по отдельным примерам, - это некоторая достаточно сильная форма конструктивности. Для того времени эта идея Гильберта была слишком необычной и вызвала критику многих его коллег, обвинивших его в “игре формулами”. Однако дальнейшее развитие оснований математики пошло именно по этому пути, несмотря на то, что Гёделем были доказаны такие отрицательные свойства достаточно богатых формальных теорий, как неполнота и несуществование в непротиворечивой теории доказательства её непротиворечивости (впрочем, это относится только к теориям в языке первой ступени - см. п.4).

Очень важной для развития математики оказалась сама идея отделения синтаксиса от семантики. Кроме того, гильбертовский подход привёл к появлению математизированной метаматематики (подробнее - в п.4).

истинность математика формальный доказательство

3. Об интуиции в математике

Вопросу о роли интуиции в науке, и в частности, в математике посвящено много работ (см. например, [Aсм], [Бун]) преимущественно философского характера. Ввиду большого разнообразия философских взглядов многие работы только запутывают главный вопрос о природе интуиции. Заметим сразу, что нас интересует только разновидность интуиции, которую принято называть «интеллектуальной», каковой является и математическая интуиция. Поэтому в дальнейшем слово «интеллектуальная» мы опускаем.

Следует сказать, что до 20-го века, в котором была создана математическая логика и появилась возможность построения чисто логических доказательств, интуиция считалась законным средством доказательства. Более того, Декарт, Паскаль и другие математики того времени говорили о ненадёжности логических доказательств по сравнению с интуитивным прозрением. Очень чётко такой взгляд на интуицию сформулировал Декарт в своих “Правилах для руководства ума” [Дек], где он пишет: “Под интуицией я разумею не веру в шаткое свидетельство чувств и не обманчивое суждение беспорядочного воображения, но понятие ясного и внимательного ума, настолько простое и отчётливое, что оно не оставляет никакого сомнения в том, что мы мыслим, или, что одно и то же, прочное понятие ясного и внимательного ума, порождаемое лишь естественным светом разума и благодаря своей простоте более достоверное, чем сама дедукция…”. Надо сказать, что подобной точки зрения на интуицию вплоть до 20-го века придерживались все математики, несмотря на различие их философских концепций. Такое единство взглядов, а главное то, что интуитивно доказанные теоремы сохраняют свою правильность и в наше время, свидетельствует об объективной основе интуиции. После обнаружения противоречий в интуитивно построенной теории множеств отношение к понятию интуиции существенно изменилось и формально математическое доказательство стало считаться правильным, если оно построено только по логическим законам. Однако фактически понятие доказательства в содержательной (т.е. неформализованной) математике осталось прежним, а именно, оно строится иногда со ссылками на логику, но большей частью шаги дедуктивной цепочки обосновываются интуитивной очевидностью. При этом критерием объективности (а потому и правильности) такого доказательства служит апробация коллективом других математиков. Таким образом, по-прежнему в основе неформального понятия доказательства лежит интуиция, объективность которой обосновывается путём апелляции к определенному коллективу людей. Этот, на первый взгляд субъективный критерий, действовал во все времена и дал миру необозримое множество математических теорем, истинность которых, в отличие от достижений эмпирических наук, не подвержена влиянию времени: теоремы, доказанные в древности, верны и в наше время. Поэтому естественно предположить, что этот факт имеет объективную причину, которая заключается в способности человеческого разума непосредственно усматривать определенные истины (по крайней мере, - логические).

Отсутствие вплоть до 20-го века какого-либо полного описания логики, а потому и общепринятого понятия доказательства не помешало строить в подавляющем большинстве случаев логически правильные доказательства. Если приведенное выше высказывание Декарта выражало мнение всех его современников и предшественников, то в наше время ситуация изменилась в связи с появлением нового раздела математики, посвящённого основаниям математики и включающего в себя основные метаматематические понятия. Появлению этого раздела сопутствовало создание формальной математической логики и общих понятий формальной теории и формального доказательства. В связи с этим изменились требования и к неформальным доказательствам: теперь от них требуется, чтобы каждый шаг дедукции мог быть осуществлен по правилам математической логики. Нельзя сказать, что это требование выполняется во всей математике, однако в теориях, связанных с основаниями математики, такое условие необходимо. Возникает вопрос: всякое ли интуитивно построенное доказательство может быть преобразовано в формально-логическое? Поскольку интуитивные доказательства так же, как и формальные, строятся в виде дедуктивных цепочек, то можно говорить о некоей логике интуитивных доказательств - интуитивной или содержательной логике. Поставленный вопрос может быть решён положительно, если установить равносильность содержательной и формальной логик. В наше время на основании опыта построения формальных теорий принято считать, что содержательная логика отличается от формальной только наличием укрупнённых правил, которым соответствуют производные (т.е. доказуемые) формальные правила. Это означает, что для всякого содержательного доказательства существует эквивалентный формальный аналог, построенный в рамках классической логики предикатов и являющийся восполнением интуитивного доказательства. Принятие этого утверждения в качестве рабочего тезиса не менее оправдано, чем принятие тезиса Чёрча Тезис Чёрча утверждает эквивалентность интуитивного понятия вычислимой функции (в смысле потенциальной возможности её вычисления) и понятия алгоритмически вычислимой для формального понятия алгоритма. Несмотря на то, что в математике существует несколько формальных понятий алгоритма, доказана их функциональная эквивалентность (т.е. совпадение классов вычислимых ими функций). для вычислимых функций [Кли]. Фактически, этот тезис уже принят в современной математике и называется иногда “тезисом Гильберта”(см., напр.,[Бар], с.49).

Если обратиться к истории не только математики, но и науки вообще, то легко убедиться в том, что большинство кардинальных научных открытий произошло путём неожиданных «прозрений», т.е. интуитивно, а не путём логических умозаключений. Сам термин «интуиция», обозначающий в переводе на русский язык «усмотрение» или «видение», т.е. непосредственное восприятие объекта, даёт основание утверждать существование у человека определённой способности «интеллектуального умозрения», наподобие чувственного зрения. Об этом же свидетельствует вся история попыток «научить» вычислительные машины доказывать математические теоремы хотя бы на уровне человека. Большое число самых разных программ не дало ожидаемых результатов, и как теперь стало ясно, формальный подход не может их дать ввиду чрезвычайной сложности задачи, заведомо недоступной для сколь угодно мощной техники (даже в далёкой перспективе). Этот факт вынуждает нас признать наличие у человека особой способности восприятия логических истин, отличной от обычного логического мышления. Эта способность, в силу её принципиальной неформализуемости, не может быть смоделирована в автоматах, и потому любой искусственный интеллект будет ущербен по сравнению с человеческим интеллектом. Поэтому интуиция никогда не потеряет своего значения как важный инструмент познания.

Определённый взгляд на значение интуиции в математике связан с интуиционизмом, о котором шла речь в предыдущем пункте.

4. Основания математики - современное состояние

Сначала заметим, что “современное состояние” оснований математики сложилось фактически в середине 20-го века и с тех пор основные концепции практически не изменились, несмотря на получение множества частных результатов. Это отнюдь не означает, что данная проблематика исчерпана или зашла в тупик. Поскольку вопрос обоснования математики является пограничным между философией и математикой (принадлежит метаматематике - в терминологии Гильберта), то его разрешение должно состоять в выработке общепризнанной концепции, возможно синтезированной из разных направлений.

К числу основных достижений 20-го века в области оснований математики следует отнести:

1. Выработку понятия формального языка и формальной системы (исчисления) и порождаемой ею теории.

2. Создание математической логики в виде непротиворечивой семантически полной формальной системы.

3. Создание аксиоматизированных формальных теорий арифметики, теории множеств, алгебраических систем и других важных разделов математики.

4. Формальное уточнение понятий алгоритма и вычислимой функции.

5. Арифметизация и погружение в формальную теорию таких важных понятий метаматематики, как доказуемость, непротиворечивость и др., что позволило решать многие метаматематические проблемы математическими средствами.

Перечисленные достижения потребовали осознания и уточнения многих важных математических и метаматематических понятий таких, как язык, синтаксис и семантика математических теорий и др. Всё это позволило взглянуть на проблему оснований математики с новых позиций по сравнению с предшествующими временами. Чтобы судить о надежности такого фундамента, необходимо более подробно рассмотреть основные понятия.

4.1 Язык

В естественных языках синтаксис и семантика находятся в неразрывном единстве, что и образует собственно язык. В математике оказалось удобным под формальным языком понимать только его синтаксическую часть, в то время как семантика может варьироваться в зависимости от предметной области, круга задач и других условий. Говоря о языке математики, мы будем иметь в виду формальный язык, используемый в математических теориях, и в частности, в математической логике. Некоторые авторы называют языком часть алфавита, именуемую обычно в нашей литературе сигнатурой, которая представляет собой множество предикатных и функциональных символов. Однако, как правило термин “язык” используется в приводимом здесь смысле.

Если задан какой-либо алфавит, т.е. конечное или бесконечное множество букв, то всякая конечная цепочка букв этого алфавита называется словом в этом алфавите. (Формальным) языком в данном алфавите называется произвольное множество слов. Однако фактически в математике рассматриваются не произвольные языки, а полученные с помощью формальных (дедуктивных, аксиоматических или аксиоматизированных) систем (исчислений). Формальная система задаётся алфавитом, множеством исходных слов - аксиом и множеством правил вывода, которые из определённых слов - посылок порождают слово, называемое заключением. Таким образом, каждая формальная система определяет язык - множество всех слов, которые можно породить применением правил вывода к аксиомам и ранее порождённым словам (ср.п. 4.3). Содержательный смысл этого понятия в том, что формальный язык - это точно описанная синтаксическая компонента языка в обычном понимании. Следует заметить, что основной целью построения формальных систем является достижение максимальной объективности (т.е. независимости от субъективного восприятия) математических понятий, что получается благодаря использованию таких процессов построения математических объектов (понятий), которые могут быть осуществлены автоматически.

Основным языком современной математики считается так называемый язык предикатов Предикат (отношение, свойство) - функция (от п аргументов, п?0) на предметной области, принимающая два значения: «истина» и «ложь», которые обычно обозначаются буквами 1 и 0., алфавит которого обычно содержит символы предметных переменных и констант, предикатов и функций, логических операций, включая кванторы, а также вспомогательные символы, например, скобки, запятые и т.п. Язык предикатов, в котором допускаются кванторы только по предметным переменным, называется языком первой ступени или первого порядка. Если же кроме этого допускаются кванторы по предикатным и (или) функциональным переменным, то соответствующий язык называется языком второй ступени. Такую классификацию можно продолжить.

4.2 Формальная теория

Для определения формальной теории в каком-либо алфавите определяют обычно два (но может быть одно или больше двух) подмножества слов формального языка. Слова одного из них, называемые термами, интерпретируются как имена объектов предметной области и функций на ней, слова другого, называемые формулами, предложениями, высказываниями, играют роль утверждений о свойствах объектов (и предикатов - для языков второй и выше ступеней). Собственно формальной теорией называется множество формул, причем оно должно быть замкнуто относительно логических правил вывода (см.п.4.3 и 4.5). Обычно рассматриваются аксиоматические (или - аксиоматизированные) теории, т.е. являющиеся формальными исчислениями. Теория называется рекурсивно аксиоматизируемой, если она может быть определена как формальное исчисление с рекурсивным (разрешимым) множеством аксиом. В общем случае теория может быть задана любым другим способом, в том числе - с помощью семантики. При этом она может быть не только не разрешимой, но и не рекурсивно перечислимой (а потому и не рекурсивно аксиоматизируемой, поскольку всякая рекурсивно аксиоматизируемая теория рекурсивно перечислима).

Множество называется разрешимым, если существует единый способ, позволяющий относительно любого объекта определить, принадлежит он этому множеству, или нет. Формальным уточнением этого понятия является понятие рекурсивного множества - такого множества, для которого существует (формальный) алгоритм, разрешающий это множество, т.е. дающий для любого объекта ответ, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Согласно тезису Чёрча термины «разрешимое» и «рекурсивное» можно рассматривать как синонимы. Множество называется (рекурсивно-)перечислимым, если существует алгоритм, порождающий это множество, т.е. такой алгоритм, который последовательно выдаёт элементы данного множества (быть может с повторениями) и только их. Предполагается, что любой элемент множества рано или поздно будет получен. Очевидно, что всякое разрешимое множество перечислимо. Обратное неверно, поскольку можно привести примеры перечислимых, но не разрешимых множеств.

Теории, использующие язык предикатов первой (второй) ступени, называются теориями первой (второй) ступени. В некоторых случаях используются промежуточные языки, выходящие за рамки первой ступени, но не обладающие всеми возможностями языка второй ступени.

4.3 Доказательство

Если задано подмножество слов формального языка, называемых аксиомами, а также - правила вывода, каждое из которых представляет собой совокупность конечного множества слов, называемых посылками и одного слова, которое называется заключением, то доказательством или выводом в такой системе называется конечная последовательность слов, каждое из которых является либо аксиомой, либо заключением правила вывода, посылками которого являются некоторые слова из предшествующих данному слову в этой последовательности. Это общее понятие доказательства относится к любой формальной теории и в каждом конкретном случае является математическим объектом.

Для всякой рекурсивно аксиоматизированной теории множество доказательств разрешимо, т.е. существует эффективный формальный способ отличить доказательство от цепочки слов, не являющейся таковым. Это означает, что для таких теорий правильность доказательства всегда может быть эффективно проверена, и следовательно, гарантирована.

4.4 Интерпретация и модель

При содержательном построении теории слова её языка (термы, формулы и пр.) с самого начала обладают определенным значением (или смыслом), соответствующим семантике языка. Формальные же языки и теории, хотя и строятся в расчёте на какую-либо конкретную семантику, тем не менее, как чисто синтаксические объекты, нуждаются в специальном приписывании им подходящей семантики или интерпретации, которая словам языка присваивает определенные значения. Например, если алфавит теории содержит предикатные и функциональные символы, то всякая интерпретация должна присвоить им, соответственно, конкретные предикаты и функции на предметной области, принадлежащей данной интерпретации. Поскольку формулы интерпретируются как предложения (утверждения), то каждая интерпретация порождает свою логическую оценку формул (предложений) в языке теории. Для классической логики эта оценка двузначна и придаёт каждому предложению одно из двух значений - “истина” или “ложь”. Интерпретация, в которой все предложения теории истинны (т.е. имеют оценку “истина”) называется моделью Очень часто термин «модель» употребляется как синоним интерпретации, однако удобнее различать эти понятия. Более точное определение понятия модели использует сопоставление двух теорий (не обязательно формальных). Заметим, что модель может быть более формализованной, чем исходная теория, как это имеет место при построении математических моделей для естественнонаучных теорий. этой теории.

4.5 Логика

Всякая формальная теория должна содержать формальную логику, т.е. логические аксиомы и правила вывода, благодаря которым становится возможным рассматривать формальные доказательства в теории как экспликаты содержательных математических доказательств. Несмотря на то, что в реальной жизни и в некоторых содержательных теориях существуют не только истинные и ложные предложения (высказывания), но также - неопределённые, бессмысленные, модальные и т.п., математика всегда может обойтись только двузначной логикой, т.е. такой логикой, в которой каждое замкнутое предложение либо истинно, либо ложно. Надо сказать, что в 20-м веке широко изучались всевозможные многозначные логики (в основном - логики высказываний), однако они фактически являются математическим, а не логическим аппаратом, для самой же математики достаточно двузначной логики.

Понятие логической истины достаточно определенно сформулировал Лейбниц. Он назвал предложение логически истинным, если оно истинно во всех “мирах”, т.е. во всех интерпретациях. Именно такое понимание логики проводит чёткую границу между логическими и фактическими истинами, что необходимо для построения формальных теорий, и в частности, самой логики. Многовековой процесс построения логики привёл в ХХ веке к созданию современной математической логики, получившей название классической логики.

Основной логикой для построения математических теорий является классическая логика предикатов первой ступени (т.е. все предложения и правила вывода этой логики должны формулироваться в языке предикатов первой ступени). В силу самой конструкции её языка, класс всех её интерпретаций исчерпывается алгебраическими системами ([Мал], [МЭ]). В соответствии с лейбницевским понятием логики, её предложения должны быть истинными “во всех мирах”, т.е. во всех конкретных алгебраических системах в том же языке. Очень важным достоинством логики предикатов первой ступени является её семантическая полнота и непротиворечивость (см.п.4.6) в том смысле, что в ней доказуемы (ей принадлежат) все общезначимые, т.е. истинные во всех интерпретациях, предложения и только они, что собственно и отличает логику от других теорий (для прикладных теорий рассматиривается либо синтаксическая полнота, Теория называется синтаксически полной, если для всякого замкнутого предложения в языке этой теории доказуемо либо оно, либо его отрицание. либо полнота относительно каких-либо специальных семантик). Значение полной формальной логики для математики невозможно переоценить. Во-первых, понятие доказательства в любой формальной теории приобретает объективный характер, можно даже сказать, что формальное доказательство абсолютно, поскольку для любой рекурсивно аксиоматизированной теории и любой конечной цепочки формул существует эффективная процедура формальной, и следовательно, объективной проверки, является ли данная цепочка доказательством, или не является. Во-вторых, наличие формального доказательства (логического вывода) какого-либо предложения в непротиворечивой теории Т означает, что это предложение будет истинным в любой модели теории Т. Благодаря таким замечательным свойствам, логика предикатов первой ступени в настоящее время широко применяется во всей математике, несмотря на некоторую ограниченность её языка. Более широкая логика второй ступени применяется обычно с некоторыми ограничениями из опасения противоречий.

Несколько слов о языке логики. В основе языка совремённой математической логики лежат общие понятия предиката или отношения и, как частный случай его, - функции. Этот, на первый взгляд, бедный язык оказался достаточным для построения любых математических теорий. Тем не менее, вскоре после появления классической математической логики стали создаваться логики в языках, расширенных различными дополнительными операторами - модальными, временными, деонтическими и т.п. с общей тенденцией приблизить язык логики к естественному языку. Однако, если иметь в виду основной смысл логики как истинности во всех мыслимых мирах, то подобные расширения нельзя считать чистой логикой, поскольку такие понятия, как необходимость, возможность, долженствование, время и т.п. не присущи всем возможным мирам. Поэтому упомянутые расширения логики фактически являются не логиками, а прикладными логико-математическими теориями. В связи с этим возникает вопрос о возможности построения чистой логики в более широких языках, чем язык предикатов.

4.6 Непротиворечивость

Теория считается непротиворечивой, если она не содержит наряду с каким-либо предложением также и его отрицание. Для теорий с классической логикой это равносильно тому, что не всякое предложение принадлежит этой теории. Для теорий в достаточно широком языке утверждение о непротиворечивости теории может быть сформулировано на этом же языке. Поэтому можно пытаться доказывать непротиворечивость теории в ней самой. Однако ясно, что такое доказательство, если даже оно будет получено, не означает действительной непротиворечивости теории, поскольку в противоречивой теории всегда доказуема её непротиворечивость. Идея Гильберта не подчинена этому явлению, поскольку он предлагал строить доказательство непротиворечивости сильно ограниченными средствами, которые он называл финитными. По его замыслу такие средства должны гарантировать от проникновения в доказательство противоречий. Однако отрицательные теоремы Гёделя исключают эту возможность для таких основополагающих теорий, как арифметика или теория множеств.

Так называемые «отрицательные» Теоремы Гёделя (в усиленном Россером варианте) утверждают, что если формальная арифметика первого порядка непротиворечива, то она неполна и даже принципиально непополнима в том смысле, что в любом непротиворечивом рекурсивно аксиоматизируемом расширении арифметики существует неразрешимая замкнутая формула, т.е. недоказуемая формула, отрицание которой также недоказуемо (первая теорема Гёделя). Поскольку каждая замкнутая формула в интерпретации либо истинна, либо ложна, то это означает, что существует истинная арифметическая формула, не доказуемая в формальной арифметике. Вторая теорема утверждает, что при том же условии непротиворечивости в арифметике недоказуема формула, утверждающая непротиворечивость арифметики.

Главное значение этих теорем Гёделя состоит в том, что они показывают несостоятельность надежды на полную формализацию математики в языке первой ступени, в частности, как на средство доказательства её непротиворечивости. Это не означает, конечно, что формализация математических теорий вообще бесполезна. Поскольку по своей природе математика является дедуктивной наукой, представление её теорий в виде формальных исчислений является наиболее совершенной их формой, которая к тому же даёт возможность уточнить многие содержательные понятия не только в самой теории, но и в определённой части метатеории. Кроме того, расширение формального языка может существенно изменить описанную ситуацию, однако этот вопрос в достаточной мере ещё не изучен.

Поскольку непротиворечивость фактически определяет право на существование теории, совершенно необходимо было найти выход из создавшейся неопределенности. Вполне естественными являются две возможности: во-первых, использование логики второй ступени, и во вторых, расширение математических правил вывода. Обе эти возможности были реализованы и привели к желаемым результатам. Так непротиворечивость формальной арифметики была доказана с помощью таких естественных правил, как трансфинитная индукция, либо конструктивное правило Карнапа. Более того, формальная арифметика становится семантически полной при добавлении таких правил.

Правило Карнапа (щ-правило, правило бесконечной индукции) имеет следующий вид: если для формулы А(х) доказаны предложения А(0), А(1),…,А(п),…, то доказано предложение хА(х).Это правило без ущерба для основного результата можно заменить так называемым конструктивным правилом Карнапа: если имеется алгоритм, который по любому натуральному числу п дает доказательство формулы А(п), то доказано хА(х). Здесь посылка задаётся уже конечным объектом - алгоритмом. Добавление к арифметике конструктивного правила Карнапа дает такой же эффект, что и добавление неконструктивного правила.