Истинность математических теорем

В свое время некоторые математики возражали против этих доказательств, считая такие правила слишком неконструктивными, однако теперь уже никто не подвергает сомнению непротиворечивость формальной арифметики. По-видимому, настало время считать указанные правила вполне законными, поскольку, как показывает многолетний опыт, противоречиями они не угрожают. Фактически основанием запрета является не опасение противоречий, а прагматическая идеология, предъявляющая к математике такие же требования, как и к естественным наукам. В этом отношении история развития математики даёт нам целый ряд поучительных примеров, когда неоправданное требование аналогии математических понятий объектам реального мира накладывало априорный запрет на некоторые понятия, которые впоследствии прочно вошли в математику. Сначала математический мир не хотел признавать существования отрицательных чисел. Столкновение с иррациональными числами привело к отлучению на долгое время геометрии от арифметики. Мнимые и комплексные числа также как и отрицательные долгое время считались несуществующими и потому незаконными. Нам трудно объяснить подобную наивность, но похоже, что недоверие к правилу Карнапа носит такой же характер. Если с самого начала достаточно ясно, что новшество непосредственно не угрожает противоречием, а к тому же расширяет возможности соответствующей теории, то естественно считать его вполне допустимым. Иллюстрацией может служить аксиома выбора, которая хотя и вызвала много возражений, однако ныне широко применяется в различных математических теориях, поскольку без неё невозможно получить многие важные результаты.

Следует заметить, что теоремы Гёделя не имеют места в арифметике второй ступени. Более того, в языке второй ступени существует конечная полная аксиоматизация арифметики натуральных чисел [Б,Д]. Однако есть серьёзные причины избегать неограниченного применения логики второй ступени, к числу которых относится, например, невозможность полной рекурсивной аксиоматизации этой логики.

5. О математике вообще

Можно привести ряд признаков, отличающих математику от естественных наук. Одним из них является тот факт, что (по крайней мере, в большей части современной математики) математические объекты не претендуют на роль адекватных аналогов реальных объектов. Более того, наличие у формальной теории реальной (т.е. материальной) модели не может служить доказательством её непротиворечивости, поскольку идеальные математические объекты и отношения могут быть адекватно соотнесены только с идеальными же понятиями. Поэтому математика фактически является замкнутой в себе системой, а следовательно, и все её понятия и утверждения не должны зависеть от каких-либо внешних моделей. В этом свете возражения неономиналистов против использования в математике некоторых теоретико-множественных понятий на том основании, что они не имеют реальных аналогий, являются совершенно несостоятельными.

В то же время с помощью математических теорий решаются многие задачи реального мира и предсказывается развитие некоторых процессов в нем. Этот факт свидетельствует об определённой объективности абстрактных математических конструкций, но отнюдь не о какой-то зависимости математики от вещественных понятий. Это свидетельствует также и об объективности классической логики, которая лежит в основе всех математических теорий (кроме интуиционистских, логика которых является фрагментом классической). В подтверждение этой точки зрения, которая оспаривается некоторыми математиками (см., например, [Кла]), приведем высказывания известных математиков и физика.

М.Кац и С.Улам [К,У]: «Математика - это замкнутый в себе микрокосм, обладающий, однако, мощной способностью отражать и моделировать любые процессы мышления и, вероятно, всю науку вообще. Она всегда приносила большую пользу и ещё в большей мере продолжает приносить её сейчас».

Е.Вигнер [Виг]: «С одной стороны, невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому факту нет. С другой стороны, именно эта непостижимая эффективность математики в естественных науках выдвигает вопрос о единственности физических теорий».

Он же [Виг]: «Тем не менее важно подчеркнуть, что математическая формулировка результатов наблюдений физика, часто довольно грубых, приводит в неправдоподобно многочисленных случаях к удивительно точному описанию большого класса явлений. Это обстоятельство показывает, что математический язык следует рассматривать как нечто большее, чем просто язык, на котором мы должны говорить; оно показывает, что математика на самом деле является правильным (подходящим) языком».

Он же [Виг]: «Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны. Мы должны испытывать чувство благодарности за этот дар. Следует надеяться, что он не покинет нас и в будущих исследованиях и что он будет - хорошо это или плохо - развиваться к нашему большому удовлетворению, а может быть, и к нарастающему беспокойству, расширяя область познания окружающего нас мира».

Думаем, что большинство математиков в основном согласно с приведёнными высказываниями, хотя поставленный в них вопрос о непонятной эффективности математики в описании реальных явлений оставлен без ответа. Однако от ответа на этот вопрос зависит правильное понимание роли математики в познании реального мира - является ли математика лишь удобным языком, или её связь с реальным миром более глубокая. Одна из гипотез, имеющая древнее происхождение, состоит в том, что мир устроен по математическим (и следовательно, идеальным) законам и потому математические теории адекватно описывают строение реального мира. Непосредственно в таком виде эта гипотеза, хотя и достаточно правдоподобна, но мало содержательна, поскольку не объясняет существа самого явления. Другая гипотеза предполагает, что существует единая логика, присущая как человеческому мышлению, так и устройству реального мира. Эта гипотеза имеет косвенное подтверждение, основанное на предположении единственности логики, что выглядит весьма правдоподобно в силу самого понятия логики, как истинности во всех мирах. Тот факт, что логика (по крайней мере, основной её фрагмент) в наше время получила полное формальное описание, позволяет нам судить о логических, т.е. самых общих закономерностях реального мира, и потому в той мере, в какой эмпирические данные, играющие роль аксиом, соответствуют реальности, математические теории будут правильным описанием реальных закономерностей. Поэтому математика - это не просто удобный язык для описания реального мира, но и надежное эвристическое средство, позволяющее предсказывать неизвестные ранее явления, которые логически следуют из эмпирических аксиом.

Отметим некоторые особенности современной математики. В настоящее время математические теории разделяются на формализованные (т.е. являющиеся формальными системами) и неформализованные, которые мы будем называть содержательными или интуитивными. Последние строятся традиционно интуитивно, исходя из семантических свойств основных объектов. Построение математической теории в виде формального исчисления, во-первых, дает точное описание всех её постулатов - аксиом и, во-вторых, наличие формального доказательства какого-либо предложения делает абсолютным факт его следования из аксиом теории, поскольку правильность формального доказательства алгоритмически проверяема. Кроме того, для формальной теории имеется больше возможностей доказательства её метатеоретических свойств, в частности, непротиворечивости. В то же время формализация теории, предназначенной для изучения какого-либо содержательного объекта, в некоторых случаях может ограничить возможности теории в смысле полноты описания свойств этого объекта. Так обстоит дело, например, с формальной арифметикой натуральных чисел в языке первой ступени, которая не полна по отношению к содержательной теории натуральных чисел и не может быть пополнена, что означает существование истинных арифметических предложений, которые не могут быть доказаны в формальной арифметике (т.е. формально не следуют из её аксиом). Это явление иногда расценивается как отрицательное свойство всех формальных теорий, однако оно относится только к теориям в языке первой ступени. Что касается более богатых языков, то этот вопрос для них в достаточной мере ещё не изучен. Например, в языке второй ступени формальная арифметика семантически полна [Б.Д].

6. Что есть истина в математике

В естественных науках под истинностью какого-либо предложения (в языке данной науки) понимается определённая адекватность семантического значения этого предложения семантическому значению соответствующего предложения в “языке фактов”. Язык фактов - это естественный или символический язык, который используется для описания результатов наблюдений или экспериментов в какой-либо области реального мира. При этом молчаливо предполагается, что описание фактов адекватно самой реальности, поскольку в противном случае теряется познавательное значение науки. Такое понимание научной истины обладает существенным недостатком: оно зависит от тезавруса, т.е. накопленных ранее знаний и базовых языковых конструкций, от технических достижений в области эксперимента и т.п., т.е. является относительным и зависящим от времени. С этим приходится мириться, поскольку других возможностей нет. Однако естественным и общепринятым свойством истины является её неизменность, т.е. независимость от времени и других условий. Прагматический подход к математике ставит математику в один ряд с естественными науками и потому не позволяет говорить о надёжной истинности её теорем (что проходит красной нитью в книге [Кла]). На самом же деле ситуация в математике принципиально иная: как свидетельствует исторический опыт, однажды доказанные предложения - теоремы остаются доказанными (в данной теории) навсегда. Например, в книге [К,У] по этому поводу сказано следующее: «В одном отношении математика стоит особняком среди других наук: никакой её результат не может быть зачеркнут дальнейшим развитием науки. Однажды доказанная теорема уже никогда не станет неверной, хотя впоследствии может выясниться, что она является лишь тривиальным частным случаем какой-то более общей истины. Математические знания не подлежат пересмотру, и общий их запас может лишь возрастать». Одного этого достаточно, чтобы не сомневаться в прочности математического здания и высшей степени объективности доказанных математических истин. Тем не менее, в свете современной математизации метаматематики мы должны рассмотреть этот вопрос с более формальных позиций.

Что же следует понимать под истинностью теорем в идеальной математике? Начиная с древности и до сравнительно недавнего времени математические понятия рассматривались как идеализированные объекты реального мира, а математические аксиомы считались очевидными свойствами таких объектов. Доказательство какого-либо утверждения представляло собой цепочку умозаключений, каждое из которых сохраняет истинность, идущую от бесспорных посылок. Поэтому считалось, что доказанность теоремы гарантирует её реальную истинность, так что эти понятия просто отождествлялись. При таком взгляде вопрос о непротиворечивости системы посылок не возникал. В новое время, когда математические понятия не соотносятся с реальными объектами, а модели математических теорий строятся внутри самой математики, сходное по форме понятие истинности изменилось по существу. Прежде всего, ссылка на содержательный («реальный») смысл исходных понятий и их свойств уже не считается гарантией непротиворечивости даже интуитивно построенной содержательной теории. Поскольку в противоречивой теории доказуемы и ложные предложения, то доказательство непротиворечивости теории (или, что то же, системы её аксиом) стало непременным условием истинности её теорем. Относительно доказательств следует отметить, что для формальных теорий понятие доказательства имеет точное формальное определение. При этом вопрос о том, является ли произвольная цепочка формул доказательством или нет, решается алгоритмически, т.е. объективно, и следовательно, множество доказательств разрешимо. (Заметим, что это не означает разрешимости множества теорем. Оно неразрешимо уже для чистой логики предикатов). Что касается неформальных доказательств, составляющих фактическое большинство и в наше время, то по современным меркам они должны быть настолько «логическими», чтобы был возможен перевод их в формальные. Можно сказать, что тезис Гильберта (см. п.3) теперь фактически является не гипотезой, а требованием, которому должны удовлетворять математические доказательства. Таким образом, одна компонента понятия истинности математических теорем - доказанность - выглядит вполне надёжно обоснованной. Подробнее о ней мы ещё скажем ниже. Иначе обстоит дело с непротиворечивостью, о чём мы также будем говорить ниже.

Итак, мы можем констатировать, что вопрос об истинности теорем сводится к вопросам правильности доказательств и непротиворечивости теорий. Ниже мы рассматриваем возможные решения этих вопросов не только для формальных, но и для содержательных теорий.

7. О доказательствах

В современной математике, в силу разделения её языка на синтаксическую и семантическую части, возникли два понятия следствия из посылок. Одно из этих понятий, которое мы будем называть логическим или дедуктивным, совпадает с понятием логической выводимости (доказуемости) предложения А из посылок Г, что обозначается обычно так: Г А. Второе понятие, которое мы назовём семантическим Традиционно за этим видом следствия закрепился термин «логическое», хотя на наш взгляд это не соответствует смыслу понятия «логический», что больше подходит к первому виду., связано с моделями множества Г и состоит в следующем. Предложение А является семантическим следствием множества предложений Г, если оно истинно в любой модели множества Г, что обозначается так: Г А. Поскольку логический вывод сохраняет истинность во всех интерпретациях, то ясно, что Г А влечёт Г А. Обратное далеко не столь очевидно, но оно следует из теоремы Гёделя о полноте. Таким образом, эти понятия оказываются равносильными, и следовательно, если Г - это система аксиом теории, то выводимость (доказуемость) формулы А из Г равносильна её семантической истинности в этой теории.

Теорема Гёделя о полноте утверждает, что всякое непротиворечивое множество формул (в языке предикатов первой ступени) имеет модель. Отсюда следует, что для любой замкнутой Формула называется замкнутой, если она не содержит свободных, т.е. не связанных кванторами переменных. формулы А, если Г А, то Г А. Действительно, предположим, что (Г А). Можно доказать, что тогда множество Г, А - непротиворечиво и потому по теореме Гёделя оно имеет модель, в которой формула А истинна, а это противоречит тому, что Г А. Поэтому (Г А), откуда по правилу контрапозиции, если Г А, то Г А. Отсюда же следует и семантическая полнота исчисления предикатов первой ступени.

Все доказательства предложений любой математической теории можно разделить на два вида. К первому виду отнесём такие доказательства, которые касаются только синтаксических свойств теории без ссылок на какую-либо интерпретацию. Таковыми, например, являются все формальные доказательства в формальных теориях, которые фактически являются выводами слов в языке теории из аксиом строго по логическим правилам. Будем называть такие доказательства синтаксическими. Второй вид - это доказательства, апеллирующие к каким-либо интерпретациям языка теории. Назовем их семантическими. Как уже было сказано выше, правильность формального синтаксического доказательства устанавливается алгоритмически, и следовательно, можно сказать, вполне надёжно. Согласно тезису Гильберта (см. п.3), всякое неформальное доказательство имеет формальный эквивалент и потому мы можем считать надёжным любое синтаксическое доказательство.

Доказательства второго вида содержат апелляцию к семантике, которая, как правило, не является аксиоматической теорией и не всегда может быть аксиоматизирована (как это имеет место для содержательной арифметики). Поэтому посылки таких доказательств черпаются из заранее не определённого множества содержательных предложений такой теории. Хотя для всякого семантического доказательства можно получить синтаксический аналог, если формализовать соответствующую содержательную теорию, однако последнее не всегда возможно по разным причинам. Тем не менее для каждого семантического доказательства существует возможность получить синтаксический эквивалент путём аксиоматизации не всей теории, а только её фрагмента, содержащего посылки доказательства. Такую возможность даёт теорема компактности (см., напр., [Мал], [Бар]), из которой следует, что для всякой теоремы А какой-либо теории Т существует конечно аксиоматизируемый фрагмент Т₁ этой теории, в котором доказуема теорема А. Это утверждение верно как для формальных так и для неформальных теорий. Мы будем называть его принципом локальной формализации. Этот принцип имеет очень важное следствие: при оценке какого-либо семантического (содержательного) доказательства в неформальной теории можно выделить конечно аксиоматизированный фрагмент теории, содержащий синтаксический эквивалент этого доказательства. Этот процесс вполне эффективен (финитен). Таким образом, принцип локальной формализации позволяет оценку правильности семантического доказательства сводить к оценке синтаксического доказательства. Подчеркнём, что здесь речь идёт о проверке правильности доказательств, безотносительно к непротиворечивости всей теории.

8. Подробнее о непротиворечивости

Рассмотрим теперь вопрос о возможности надёжного доказательства непротиворечивости теорий. Как мы уже отмечали на примере арифметики, нужный результат может быть получен путем расширения логических средств доказательства дополнительными правилами. Другая возможность - доказательство непротиворечивости теории путем построения математической модели - может быть вполне убедительной, если непротиворечива сама модель и отображение теории в модель в сильном смысле конструктивно (финитно). Поскольку моделью как правило является содержательная математическая теория, то может показаться, что мы попадаем в безвыходную ситуацию: чтобы доказать непротиворечивость теории, нужно построить какую-либо её модель, которая в свою очередь принадлежит теории, непротиворечивость которой также должна быть доказана. Подчеркнём, что модель непременно должна принадлежать математической теории (не обязательно формальной), т.е. не должна апеллировать к каким-либо реальным понятиям. Практически такую ситуацию очень часто удается избежать путем построения в сильном смысле финитной модели, непротиворечивость которой невозможно подвергнуть сомнению. Наглядным примером этого является доказательство непротиворечивости логики предикатов первой ступени, которое мы рассмотрим в п.9.

Отмеченная нами надёжная правильность формальных доказательств, помимо прочего, основана на непротиворечивости формальной математической логики, что также требует доказательства. Каким образом вырваться из возникающего здесь круга, мы продемонстрируем в п.9. До этого непротиворечивость логики предикатов (первой ступени) примем как факт.

Вопрос о непротиворечивости теорий несравненно более трудный, чем вопрос о доказательствах. Для формальных теорий он несколько облегчается чёткостью постановки и существованием различных подходов, например, таких, как использованные для доказательства непротиворечивости арифметики (см. п.4.6). Если теория не формальная, то далеко не всегда удаётся найти прямое доказательство её непротиворечивости. В этом случае приходится апеллировать к непротиворечивости какой-либо её модели, в которой истинны все аксиомы теории или, по крайней мере, посылки рассматриваемого доказательства. Как правило, удаётся построить содержательно более простую модель, чем исходная теория, и таким образом упростить задачу.

Определённую уверенность в непротиворечивости содержательно построенных математических теорий создаёт распространённое (по крайней мере, среди математиков) мнение, что исходные понятия, лежащие в основе любой математической теории, имеют объективный характер и не являются только произвольным плодом свободной человеческой фантазии. Вопрос об объективности математических понятий, безусловно, выходит за рамки математики, однако, как показывает исторический опыт, большинство математиков и философов всегда считало и считает математические объекты принадлежащими в том или ином смысле реальному миру идей, который так же непротиворечив, как и материальный мир. В подтверждение этого мнения приведём одну цитату из [Бур]: «Каковы бы ни были философские оттенки, в которые понятие математических объектов окрашивалось у того или иного математика или философа, имеется по крайней мере один пункт, в котором они единодушны: это то, что эти объекты нам даны и не в нашей власти приписывать им произвольные свойства так же, как физик не может изменить какое-либо природное явление. … и даже сегодня не один математик, афиширующий непримиримый формализм, в глубине души охотно подписался бы под следующим признанием Эрмита: Я полагаю, что числа и функции Анализа не являются произвольным созданием нашего ума; я думаю, что они существуют вне нас с такой же необходимостью, как и предметы объективной реальности, и мы их встречаем или открываем и изучаем их так же, как физики, химики и зоологи».

Непротиворечивость мира идей нуждается в пояснении, поскольку существуют противоречащие друг другу идеи. Однако противоречивость каких-либо идей означает только их принадлежность разным мирам, подобно тому, как в математике существуют противоречащие друг другу теории, например, аксиоматики разных геометрий, непротиворечивые порознь, противоречивы в совокупности. Поэтому, как наличие противоречащих друг другу теорий не означает противоречивости всей математики, так и существование противоречащих друг другу миров не означает противоречивости мира идей. Впрочем, подобную картину можно наблюдать даже в физике, когда разные подходы приводили к противоречивым описаниям одного явления, что отнюдь не означает противоречивости реального мира.

Признав объективность исходных понятий, мы с необходимостью вынуждены будем признать и объективность их свойств, выраженных аксиомами теории. Это, конечно, ещё не доказывает непротиворечивость всякой математической теории, однако вселяет надежду на возможность такого доказательства, и даже - интуитивную уверенность в этом. Противники такой точки зрения обычно ссылаются на канторовскую теорию множеств, исходные объекты которой являются настолько простыми и естественными, что не вызывают никакого сомнения в их объективности. Однако, на наш взгляд возникающие там противоречия вызваны не характером исходных понятий и их свойств, а тем, что их язык оказывается настолько широким, что позволяет определять внутренне противоречивые ситуации и понятия, например такое, как «множество всех множеств» (см. п.2). Подобное явление присуще и естественному языку в силу его универсальности, что выражается в существовании различных «реальных» противоречий вроде «парадокса лжеца» и др. Надо сказать, что любую математическую теорию, путём введения новых понятий или чрезмерного расширения объёма её понятий можно сделать противоречивой. Поэтому введение новых понятий не только в формальную, но и в содержательную теорию должно сопровождаться тестом на непротиворечивость.

Вполне возможно, что гарантировать от противоречий такую универсальную теорию, как теория множеств, можно только путём её формализации. При этом получить единую формализацию, удовлетворяющую всевозможные потребности различных направлений математики, скорее всего не удастся, однако это означает только объективное многообразие логических возможностей в математике, но отнюдь не какую-то трагедию неопределённости, как это трактуется в книге [Кла].

Таким образом, резюмируя сказанное, мы можем определить понятие истинности предложений в математике как формальную доказуемость в непротиворечивой теории. Тем самым отнюдь не игнорируется семантическое понимание истинности теорем в той модели, для изучения которой предназначена данная теория, поскольку при непротиворечивой логике формальное доказательство теоремы гарантирует её истинность в модели. В следующем пункте в качестве примера мы рассмотрим одно из доказательств непротиворечивости логики предикатов первой ступени.

9. Непротиворечивость логики предикатов

Как уже говорилось, классом моделей логики предикатов первой ступени является множество всех алгебраических систем соответствующей сигнатуры, т.е. эта логика состоит из всех тех и только тех формул, которые истинны в любой алгебраической системе. В данном случае мы не можем рассчитывать на формальное доказательство, поскольку оно использует формальную логику, непротиворечивость которой нам нужно ещё доказать. Таким образом, уже на самом первом этапе построения формальной математики мы вынуждены прибегнуть к содержательным, т.е. интуитивно построенным доказательствам. К счастью, доказательство непротиворечивости исчисления предикатов первой ступени настолько просто реализуемо финитно, что не может вызвать никаких сомнений в его правильности. Для доказательства непротиворечивости этого исчисления достаточно рассмотреть одноэлементную модель, на которой все его формулы однозначно переходят (отображаются) в формулы так называемого исчисления высказываний (см. ниже). При этом все аксиомы переходят в тавтологии (тождественно истинные формулы), а правила вывода сохраняют тавтологичность формул (т.е., если посылки правила являются тавтологиями, то и заключение также тавтология). Таким образом, все доказуемые формулы исчисления предикатов в одноэлементной модели переходят в тавтологии. Поскольку легко привести пример формулы, не переходящей в тавтологию, то это означает существование недоказуемых формул, а значит и непротиворечивость исчисления предикатов. Таким образом, непротиворечивость логики предикатов первой ступени мы можем считать надёжно доказанной. (Разумеется, приведенные здесь рассуждения являются только схемой доказательства, но все необходимые детали описываются вполне финитно).

Логика высказываний (пропозициональная логика, булева алгебра) является важным фрагментом логики предикатов. Её основателем считается Дж.Буль (1815 - 1864). Множеством её объектов являются два логических значения - “истина” и “ложь”, обычно обозначаемые буквами 1 и 0. Её формулы строятся из этих констант и переменных с помощью тех же логических операций, что и формулы логики предикатов, за исключением кванторов. Собственно логика высказываний состоит из тавтологий - формул, которые при любой подстановке констант 1 и 0 вместо переменных принимают значение 1. Логика высказываний, представленная в виде аксиоматической системы называется исчислением высказываний. Его непротиворечивость легко доказывается вполне финитными средствами. Название “булева алгебра”, с одной стороны, указывает на её создателя, а с другой - на тот факт, что она совпадает (изоморфна) с двуэлементной алгеброй с так называемыми булевыми операциями. Булева алгебра является моделью исчисления высказываний, её операции умножения, суммы и дополнения интерпретируют логические операции конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание.

Исчисление предикатов является расширением исчисления высказываний путём добавления в алфавит предметных переменных, предикатных и функциональных символов, а также кванторов и (или) , что приводит к соответствующему расширению понятия формулы. Аксиоматика исчисления предикатов получается добавлением к аксиомам и правилам вывода исчисления высказываний аксиом и правил вывода для кванторов.

К сожалению, для многих математических теорий такой способ доказательства непротиворечивости не проходит, поскольку для них не существует более простой модели, чем основная (которая обычно называется стандартной). Такими теориями являются, например, арифметика и теория множеств. О доказательствах непротиворечивости арифметики говорилось в п. 4.6. Что касается теории множеств, то в настоящее время существует несколько версий её аксиоматизации, каждая из которых обладает своими достоинствами и недостатками, так что говорить о её окончательном построении ещё рано. Наиболее вероятно, что различные варианты будут существовать и развиваться параллельно, подобно тому, как существуют различные геометрии. На это указывает, например, несовместимость аксиом выбора и детерминированности, каждая из которых даёт важные положительные результаты, так что нет оснований для предпочтения какой-либо одной.

Заключение

Разногласия во взглядах на истинность математических теорем в конечном счёте сводятся к разному пониманию отношения математики к реальному миру. Абсолютизация человеческих представлений о реальном мире, характерная для людей не только древности, но и совсем недалёких времён, привела к ряду заблуждений в оценке места математики среди других наук. Поверхностное восприятие того факта, что зарождение и в значительной мере дальнейшее развитие математики происходило путём решения прикладных задач, послужило распространению прагматической точки зрения на математику, хотя при более глубоком анализе обнаруживается принципиальная независимость математики от реального мира, точнее - от наших представлений о нём. В наше время это тем более очевидно, что благодаря более глубокому пониманию роли и возможностей науки, понятие «реальный мир» потеряло свою однозначность и фактически обозначает целый спектр виртуальных миров. В то же время в математике с помощью формализации основных конструкций происходит постоянное уточнение важнейших интуитивных понятий, что с одной стороны способствует избавлению от некоторых иллюзий, а с другой - создаёт уверенность в объективности математических результатов - объективности в мире идей. В этом отношении представляет интерес следующее мнение философов из [Б,П]: «Незаметное смешение общих философских понятий иногда ведёт к осязательным ошибкам в философии математики. Так, часто из того факта, что математика применяется на практике, делается вывод, что математическая теория в своей истинности проверяется или обосновывается практикой. Такой вывод может получиться только при смешении таких понятий, как опыт и практика, истинность и содержательность. Мы можем утверждать, что математическая теория стимулируется практикой в своём развитии, что она отражает реальность, содержательна (в смысле возможного соответствия некоторой системе реальных связей), но отсюда не следует, что она проверяется на опыте, подобно эмпирическим теориям, что ей присуща истинность [в прагматическом смысле - авт.] или что она обосновывается посредством использования. Такие смешения ведут к искажению сути математического знания со всеми проистекающими отсюда методологическими заблуждениями».

“Кризис” в математике, вызванный использованием чрезмерно расширенного понятия множества, привёл в конечном счёте к самому значительному прогрессу в математике, в результате которого математика освободилась от несвойственных ей ограничений, налагаемых на неё попытками связать её с реальными моделями. Благодаря созданию формализованной математической логики и, соответственно, математических понятий доказательства и непротиворечивости, метаматематическое понятие истинности окончательно приобрело однозначный внутриматематический характер: теорема истинна, если она формально-логически следует из аксиом непротиворечивой теории. Такое понятие истинности абсолютно в том смысле, что оно не зависит от каких-либо неоднозначных внешних условий. Какими бы средствами ни были решены вопросы о доказательстве выводимости и непротиворечивости, указанное понятие истинности сохраняется. Поскольку развитие математики представляет собой монотонный процесс в сторону расширения накопленных знаний, когда ничто из достигнутого не отбрасывается (мы видим, к чему привели попытки интуиционистов нарушить эту монотонность), то возможные изменения (расширения) математического языка и, соответственно, логики могут изменить содержание, но не характер (сущность) понятия истинности в математике. При этом вопрос о доказательстве непротиворечивости теорий стал более острым и сложным. Если раньше для обоснования непротиворечивости было достаточно указать подходящую реальную модель, то теперь этот критерий стал несостоятельным. Благодаря тому, что вопрос приобрёл чёткий математический смысл, его решение также должно быть только математическим. «Отрицательные» теоремы Гёделя, казалось бы сделали эту задачу для важнейших математических теорий безнадёжной - в рамках принятого языка и логики, однако для такой основополагающей теории как арифметика были найдены математические доказательства, использующие более широкие средства доказательства, чем традиционные. Эти средства вполне естественны для математики и в наше время уже не вызывают возражений. Таким образом, значительная часть математики получила прочное математическое обоснование (учитывая тот факт, что для многих математических теорий существуют арифметические модели). В этом свете снизился интерес к доказательству непротиворечивости других формальных теорий, поскольку в них столь же трудно ожидать противоречий, как и в арифметике. Особое место занимает теория множеств, которая по-видимому должна разделиться на несколько параллельных ветвей, но чтобы судить об этом, требуются дополнительные исследования. В наше время содержательная теория множеств развилась в обширную и глубокую ветвь математики, тесно связанную со многими другими областями математики, и в непротиворечивости которой трудно сомневаться. Похоже, что все парадоксы связаны только с понятием множества всех множеств, а также с самоприменимыми предикатами, с помощью которых обычно формулируются «реальные» парадоксы. Что касается понятия множества всех множеств, то его с самого начала трудно признать законным математическим объектом, хотя бы потому, что оно не удовлетворяет такому естественному свойству всякого множества, как возможность его расширения. Во всяком случае без этого понятия (и равносильных ему) в содержательной теории множеств (как и в формальных) противоречия не обнаруживаются. Здесь, пожалуй, уместно сослаться на одну цитату из [Бур]: «С другой стороны, при доказательствах «относительной» непротиворечивости (т.е. при доказательствах, устанавливающих непротиворечивость данной теории в предположении непротиворечивости другой теории, например Теории множеств) математическая часть рассуждения … настолько проста, что даже не представляется возможным подвергнуть её сомнению, не отказываясь при этом от всякого рационального употребления наших умственных способностей. Так как ныне различные математические теории привязываются в отношении логики к Теории множеств, то отсюда следует, что всякое противоречие, встреченное в одной из этих теорий, дало бы повод противоречию в самой Теории множеств. Это, конечно, не есть аргумент, позволяющий заключить о непротиворечивости Теории множеств. Однако за 40 лет [теперь уже более 80-ти - авт.] с тех пор, как сформулировали с достаточной точностью аксиомы Теории множеств и стали извлекать из них следствия в самых разнообразных областях математики, ещё ни разу не встретилось противоречие, и можно с основанием надеяться, что оно и не появится никогда».

Очень важно отметить, что хотя формализация математической логики и понятия доказательства сыграла кардинальную роль в развитии математики, получение новых математических результатов происходит, и по-видимому, будет происходить в дальнейшем в основном интуитивным образом (точнее во взаимодействии интуитивных и формальных средств). Поэтому вопрос о природе и значении интуиции отнюдь не упраздняется с формализацией математики. Как отмечалось в п.3, математическая интуиция не потеряла своего значения как средства доказательства, что выразилось в тезисе Гильберта, который утверждает эквивалентность интуитивных и формальных доказательств. В наше время истинность этого тезиса не вызывает сомнений хотя бы потому, что он превратился в фактическое условие правильности доказательства. В эвристическом же отношении интуиция по-прежнему остаётся основным средством получения доказательств. К сожалению, до сих пор изучением этого явления занимались только философы, хотя вопрос о природе интуиции безусловно заслуживает научного изучения.

Резюме

1. Математика является замкнутой в себе наукой, не нуждающейся в каких-либо внешних критериях истинности её теорем. В то же время она с большим успехом используется для решения естественнонаучных задач. Это обстоятельство послужило поводом считать математику естественной наукой, предназначенной для изучения реального мира, и таким образом критерий истинности её теорем был выведен за пределы математики и поставлен в зависимость от «реальных фактов». В наше время, когда не только математические, но и многие метаматематические понятия приобрели точный формальный смысл, несостоятельность такой точки зрения стала вполне очевидной, во-первых, потому, что не существует адекватного соответствия идеальных математических понятий реальным аналогам, и во-вторых, естественнонаучные истины имеют относительный характер, поскольку зависят от накопленных экспериментальных данных и в особенности от их интерпретации, в то время как математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий.

2. В математике истинность теоремы отождествляется с выводимостью (доказуемостью) её из непротиворечивой системы посылок (аксиом). Вывод или доказательство представляет собой дедуктивную цепочку, каждый шаг которой обосновывается каким-либо логическим правилом, принадлежащим формальной математической логике. Фактически подавляющее большинство доказательств содержат шаги дедукции, основанные на интуитивной очевидности. Поэтому требуется, чтобы интуитивно очевидные шаги имели логический эквивалент. Как правило интуитивные доказательства этому требованию удовлетворяют, что позволило принять соответствующий тезис, названный тезисом Гильберта, об эквивалентности интуитивных и логических доказательств.

3. Вопрос о непротиворечивости математических теорий до 19-го века практически не возникал, поскольку считалось, что математические понятия отражают свойства реального мира, которые не могут быть противоречивыми. К тому же, кроме ссылки на какую-либо реальную модель, не существовало других средств доказательства непротиворечивости. К концу 19-го века этот вопрос назрел, а в 20-м веке, благодаря формализации математических теорий, получил возможность решения математическими средствами. При этом было осознано, что ссылка на реальную модель не является доказательством непротиворечивости, поскольку не существует адекватного соответствия идеальных математических понятий реальным объектам.

Следует заметить, что вопрос о непротиворечивости математики в целом не имеет смысла, поскольку в достаточно развитой математике, каковой является современная математика, обязательно должны существовать непротиворечивые теории, объединение которых противоречиво. Поэтому речь может идти только о непротиворечивости отдельных теорий, например, формальной арифметики или формальной теории множеств и т.п. Подчеркнём, что речь идёт в основном о формальных теориях, поскольку содержательно («наивно») построенные теории не столь уязвимы со стороны противоречивости, как формальные, ибо содержательная теория не предстаёт перед нами в целом, а только - в виде построенного к данному времени фрагмента, непротиворечивость которого, как правило, обеспечивается в процессе его построения. Поэтому вопрос о непротиворечивости наиболее актуален для формальных теорий и в основном в связи с общей проблемой оснований математики. В этом направлении в 20-м веке получено много кардинальных результатов, существенно расширивших и углубивших наши представления о математике. Разумеется, многие важные проблемы, как в области математической логики, так и в области основополагающих математических теорий (например, теории множеств) остаются нерешенными, но это явление естественно для всякой науки.

В заключение следует отметить, что математика не вписывается в принятое деление наук на естественные и гуманитарные, и ей более подходит особый статус универсальной науки.

Литература

1. (Асм) В.Ф.Асмус. Проблема интуиции в философии и математике. «Мысль», М.1965.

2. (Бар) Дж. Барвайс. Введение в логику первого порядка. Справочная книга по математической логике. Ч.1. «Наука», М.1982. Пер. с англ..: Handbook of mathematical logic. J. Barwise (Ed). North-Holland P.C. 1977.

3. (Б,Д) Дж.Булос, Р.Джеффри. Вычислимость и логика. М. «Мир» 1994. Пер. с английского: George S. Boolos, Richard C. Jeffrey. Computability and logic. Cambridge University press, 1989.

4. (Б,П) Е.А.Беляев, В.Я.Перминов. Философские и методологические проблемы математики. Изд-во Московского университета, 1981.

5. (Бун) М.Бунге. Интуиция и наука. «Прогресс», М. 1967. Пер. с английского: M.Bunge. Intuition and Science. New York, 1962.

6. (Бур) Н.Бурбаки. Начала математики. Ч.1, кн.1. Теория множеств. Мир. М. 1965. Пер. с французского.: Elements de Mathematique par N.Bourbaki. Livre 1. Theorie des ensembles. Troisieme edition, 1958.

7. (Виг) Е.Вигнер. Непостижимая эффективность математики в естественных науках. УФН, т.94, вып.3, 1968, 535 - 546. Пер. с англ.: E.Wigner. The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Comm. Pure and Appl. Math. 131, 1 (1960).

8. (Дек) Р.Декарт. Правила для руководства ума. Избранные произведения. М.1950. Пер. с французского: Descartes R. Oeuvres, t. X. Paris, 1908.

9. (Кла) М.Клайн. Математика. Утрата определённости. М.”Мир”, 1984. Пер. с англ.: Morris Kline. MATHEMATICS. The Loss of Certainty. N-Y, Oxford University Press, 1980.

10. (Кли) С.К.Клини. Введение в метаматематику. ИЛ М. 1957. Пер.с англ. : Introduction tu metamathematics by Stephen Cole Kleene. 1952. D.van Nostrand Company, inc. New York , Toronto.

11. (К.У) М.Кац, С.Улам. Математика и логика. Ретроспектива и перспективы. «Мир», М. 1971. Пер. с англ.: Mathematics and Logic. Retrospect and Prospects. Mark Kac and Stanislaw M. Ulam. N.-Y. Washington. London. 1968.

12. (Мал) Мальцев А.И. Алгебраические системы. «Наука», М. 1970.

13. (Мев) Менделеев И. Метод математики. С-П., 1913.

14. (МЭ) Математическая энциклопедия. Изд. «Советская энциклопедия», т.1, М. 1977.

Размещено на Allbest.ru