Диофантовы приближения логарифма "золотого сечения"

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 511.36

Диофантовы приближения логарифма «золотого сечения»

В.Х. Салихов

Е.С. Сальникова

Получена оценка снизу для приближения числа числами из поля

Пусть везде далее N. Рассмотрим интеграл

(1)

Для подынтегральной функции интеграла (1)

(2)

Пусть далее для

N

Обозначим через кольцо чисел вида

где Z.

Теорема. Пусть

Z, N,

Тогда справедлива оценка



Замечание. Более точное значение, нежели 10,02, указано в конце работы. При теорема даёт оценку для показателя иррациональности

Интеграл (1) позволяет построить систему линейных форм вида

где обладающих хорошими арифметическими свойствами.

Лемма 1. Справедливо представление вида

где все Z.

Доказательство. Имеем в виду (2):

(3)

где (4)

(5)

Обозначим

По формуле Лейбница

поэтому из (5) получим

(6)

где Z,

Обозначим

-

так называемое «золотое сечение» - положительный корень уравнения

Легко по индукции показать, что

где N, Z.

Поэтому

Так как

то равенство (6) можно записать в виде

Но

Поэтому

(7)

Далее при



Но - корень уравнения

поэтому, как и выше,

N.

С учётом равенства (7) теперь имеем

(8)

Теперь проинтегрируем слагаемое в (3) при Имеем

а тогда с учётом равенства (7)

(9)

Наконец, вычислим, применяя (4),

Из представления (3) следует, что

-

часть разложения функции в ряд в окрестности точки содержащая неотрицательные степени Имеем

где Z, т.е.

(10)

Но тогда

(11)

так как



а ввиду

(10)

Из (1), (3), (8), (9) и (11) следует утверждение леммы 1.

Следующая лемма имеет ключевое значение для всей работы и представляет собой ещё одну модификацию из серии лемм, доказанных М. Хата (см., например, лемму 2.1 из [1]).

Пусть N, N, R, N.

(12)

где все

Z,

не все

Лемма 2. Пусть

числа

определены как в теореме. Тогда

Доказательство. Пусть

(13)

Рассмотрим два случая при данном выборе

1)

Так как из условия леммы

при достаточно больших

то выберем, в частности, из условия

при

(точный набор условий для определения см. в конце доказательства леммы). Имеем

Пусть

если достаточно велико, то

2)

Рассмотрим

Z.

Так как

то

но

ибо

поэтому

Но

т.е. ввиду

 .

Поэтому

(14)

Обозначим

Покажем, что при

Но

Ввиду оценки (14) достаточно показать, что

.

Пусть таково, что при

Тогда с помощью (13) получаем

и неравенство

доказано. Но

Поэтому

Пусть, наконец, при

Тогда с помощью (14) имеем

и лемма полностью доказана

В следующей лемме с помощью стандартной схемы Чудновского-Хаты мы уточним знаменатель линейной формы, построенной в лемме 1, т.е. завершим построение линейной формы (12) для

Лемма 3. Пусть

N,

(15)

Тогда все

Z.

Доказательство. Сначала приведём интеграл (1) к гипергеометрическому типу с помощью замены



(16)

Применим формулу Эйлера для гипергеометрической функции Гаусса а также формулу Куммера [2, формула (10) на с. 72, формула (23) на с. 76]

.

Имеем при

(17)

Пусть

Имеем

(здесь для вычисления можно было также применить формулу удвоения для ). Используя теперь (16) и (17), получим

или

Аналогично лемме 1 можно доказать, что

все Z.

Тогда

где все Z, откуда следует представление (15) ввиду того, что для всех простых входящих в очевидно и, кроме того,

где все Z (см. лемму 1). Лемма доказана.

Доказательство теоремы теперь сводится к применению леммы 2 для линейной формы (15). Поэтому последовательно вычислим для неё и

1. Вычисление

1.1. Вычислим сначала

применяя теорему Лапласа к интегралу в (16). Корнем уравнения

(18)

на интервале является т.е.

1.2. Вычислим теперь



Рассмотрим для

Легко видеть, что

для причём при

Следовательно,

Поэтому

2. Вычисление

Из равенств (3), (9) и (15) имеем

Последний предел можно вычислить методом перевала, используя либо второй корень уравнения (18), либо непосредственно корень уравнения

,

где [см. интеграл (1)]

Имеем

3. Вычисление

Используем представление (16). Пусть далее

Имеем последовательно

(19)

Обозначим

Имеем для рядов из представления (19):

1) 2)

Окончательно из представлений (15), (16) и (19) получим

(20)

Где

Обозначим

Тогда из равенства (20) простыми оценками по модулю имеем

Простые вычисления показывают, что достигается при

а - при

Но тогда

где т.е.

Итак, в лемме 2 для из представления (15) можно взять

т.е.

и теорема доказана.

«Золотое сечение»

играет большую роль в математике, в том числе и в теории чисел (числа Фибоначчи, теорема Гурвица и т.д.). Выясняется, в частности, что не только , но и достаточно плохо приближается рациональными числами.

эйлер гипергеометрический математика лемма

Список литературы

1. Hata, M., Rational approximations to and some other numbers/M. Hata// Acta Arithmetica. - 1993. - LX III.4. - P. 335 - 349.

2. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции/Г. Бейтмен, А.Эрдейи.-М.: Наука, 1973. - Т.1. - 294 с.

Материал поступил в редколлегию 13.11.06.

Размещено на Allbest.ru