26

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Тема:

Разработка эффективных методов расчета тонкостенных конструкций с учетом пластических и демпфирующих свойств материала

Шишкин Виктор Михайлович

Казань-2008



Работа выполнена в ГОУ ВПО «Вятский государственный университет»

Научный консультант: доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки и техники РФ Кондратов Василий Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ Паймушин Виталий Николаевич;

доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки и техники РТ Шлянников Валерий Николаевич;

доктор физико-математических наук, профессор Каюмов Рашит Абдулхакович

Ведущая организация: Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор П.Г. Данилаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вследствие повышения напряженности элементов современных тонкостенных конструкций возникает необходимость разработки более совершенных расчетных моделей, в которых должны быть по возможности достаточно полно отражены реальные условия работы конструкции, а также ее материала. Поэтому кроме традиционного свойства упругости материала в расчетах тонкостенных конструкций большое значение имеют его пластические и демпфирующие свойства. Особенно актуальным данный вопрос является в конструкциях летательных аппаратов, где противоречие между требованиями прочности и минимального веса проявляется наиболее остро.

Так, например, при проектировании конструкций летательных аппаратов, обычно, ставиться задача определения предельной (разрушающей) нагрузки, при которой материал значительной части элементов конструкции находится в упруго-пластическом состоянии. Такое состояние материала, не приводящее к разрушению конструкции и изменению условий работы ее оборудования, допускается также в некоторых элементах конструкций летательных аппаратов одноразового использования и при эксплуатационной нагрузке. Упруго-пластическое деформирование значительной части элементов конструкций летательных аппаратов и последующее разрушение некоторых из них могут иметь место также в различных экстремальных (нештатных) ситуациях, интерес к которым наблюдается в последнее время.

Демпфирующие свойства материала в существенной степени влияют на динамическую напряженность и виброактивность элементов тонкостенных конструкций, ограничивая амплитуды их колебаний. В первую очередь это следует отнести к резонансным колебаниям конструкций, при которых амплитуды перемещений и напряжений могут быть достаточно высокими. Особенно актуальным данный вопрос является при расчете тонкостенных судовых, авиационных и ракетных конструкций, в которых практически невозможно избежать резонанса вследствие густого спектра собственных частот и широкой полосы частот возмущающих сил.

Демпфирующие свойства материала, в отличие от пластических, проявляются при любом уровне напряжений. Но, обычно, данные свойства учитываются при напряжениях ниже предела текучести материала и объясняются в теории рассеяния энергии его неидеальной упругостью. Таким образом, определение упруго-пластического состояния конструкции и анализ ее динамической реакции с учетом неидеальной упругости материала представляют две типичные физические нелинейные задачи с различной степенью нелинейности. Однако исторически сложилось так, что пути и методы решения отмеченных задач практически не пересекались. С появлением автоматизированных технологий расчета конструкций наметились предпосылки к разработке общих подходов к решению данных задач, основанных на использовании метода конечных элементов и итерационных или шаговых алгоритмов решения полученных при этом систем нелинейных уравнений.

Многочисленные работы, в которых учитываются пластические свойства материала, посвящены в основном решению частных упруго-пластических задач (распределение напряжений вблизи отверстий, щелей; контактные задачи). Применительно к конструкциям отмеченные задачи следует расценивать как задачи местной прочности. Работы, посвященные анализу общего упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций, представлены пока недостаточно. Особенно это относится к тонкостенным разветвленным конструкциям. Необходимо также заметить что, упруго-пластическое состояние материала реализуется обычно не во всей конструкции, а лишь в некоторых ее областях, где имеются значительные напряжения. Поэтому актуальной является разработка таких методов, которые позволяют использовать различную идеализацию в разных областях конструкции, что может существенно снизить трудоемкость определения упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций.

Основы неидеальной упругости материала при колебаниях механических систем заложены в работах Г.С. Писаренко, Н.Н. Давиденкова, Я.Г. Пановко, Е.С. Сорокина, В.В. Хильчевского. Позднее данное направление интенсивно развивалось в работах Н.В. Василенко, В.В. Матвеева, В.А. Пальмова, С.И. Мешкова, А.П. Яковлева и других исследователей. О значительном интересе к отмеченной проблеме свидетельствуют регулярные конференции по рассеянию энергии при колебаниях механических систем, проводимые в Киеве с 1956 г., по материалам которых можно составить достаточно полное представление о состоянии проблемы. Однако существенного прогресса в области динамического анализа конструкций с учетом рассеяния энергии в материале пока не достигнуто. Применяемые для этой цели расчетные модели в основном ограничиваются рамками классических расчетных схем (балками, пластинами и оболочками простой формы). Метод конечных элементов для учета рассеяния энергии в материале при колебаниях сложных инженерных конструкций, несмотря на его перспективность, пока не находит должного применения. Если проблема получения матриц жесткости и матриц масс конечных элементов может считаться достаточно разработанной, то для получения матриц гистерезисного демпфирования элементов сложных инженерных конструкций, отражающих потери энергии при циклическом деформировании материала, по существу нет физически обоснованных методов. Применяемые часто на практике умозрительные предположения о возможности взаимосвязи матриц масс, жесткости и демпфирования конструкции (концепция пропорционального демпфирования по Релею) имеют своей целью скорее добиться удобства расчета, чем достоверности получаемых результатов.

Наиболее корректный путь синтеза матрицы демпфирования конструкции должен основываться на использовании реальных физических зависимостей, отражающих рассеяние энергии в микрообъемах материала конечных элементов. Многочисленные эксперименты показывают, что демпфирующая способность металлов и их сплавов (именно они на сегодняшний день представляют основные конструкционные материалы) зависит от амплитуды деформации или амплитуды напряжения. Последние же становятся известными только после расчета конструкции. Отмеченная ситуация обусловила предложение Н.В. Василенко о формировании матриц гистерезисного демпфирования конечных элементов с использованием значений характеристик демпфирования материала (логарифмического декремента колебаний или демпфирующей способности ), определяемых по предполагаемому уровню напряжений в данных элементах. Такое предложение, конечно, нельзя считать корректным решением проблемы учета амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале при колебаниях конструкций.

В подавляющем большинстве работ по учету рассеяния энергии в материале при колебаниях элементов тонкостенных конструкций рассматривается единственный вид их движения - установившиеся гармонические колебания при резонансе. Не менее важной является задача определения динамической реакции конструкций при нестационарных колебаниях, имеющих место в различного рода переходных процессах, а также при действии нагрузки произвольного спектрального состава. Основная проблема при решении отмеченной задачи состоит в выборе подходящих физических зависимостей, учитывающих рассеяние энергии в материале при произвольном законе деформирования. Наиболее обоснованными являются физические зависимости, полученные В.А. Пальмовым. Для получения данных зависимостей использована теория микропластичности в рамках реологической модели упруго-пластического материала А.Ю. Ишлинского. Однако эти зависимости не находят широкого практического применения по причине отсутствия в них общепринятых характеристик демпфирования материала, таких как или .

Вторая проблема состоит в решении систем нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение неидеально упругой конструкции при произвольном динамическом воздействии. Наиболее подходящий и общий путь решения данной проблемы состоит в использовании численных методов интегрирования отмеченных систем уравнений. Существуют широко известные методы шагового интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: метод Рунге-Кутта; метод Адамса-Башфорта; метод Хемминга и др. Но они мало пригодны для интегрирования дифференциальных уравнений движения механических систем с большим числом степеней свободы, что имеет место при конечно-элементном анализе динамической реакции конструкций, так как устойчивость данных методов зависит от величины шага интегрирования.

Традиционные методы расчета и проектирования конструкций учитывают рассеяние энергии лишь на последнем этапе и, как правило, в интегральном виде. Это не позволяет использовать характеристики демпфирования материала как равноправные параметры проектирования конструкции и приводит либо к необходимости замены материала при неудовлетворительных демпфирующих свойствах конструкции, либо к принятию дополнительных мер по снижению динамической напряженности и виброактивности ее элементов (установке виброгасителей, нанесению демпфирующих покрытий и пр.). Отсюда вытекает актуальная необходимость разработки таких математических методов и алгоритмов, которые позволяли бы целенаправленно влиять на демпфирующие свойства конструкции путем выбора или синтеза соответствующего материала.

Анализ возможностей создания конструкций с высокими, стабильными и, что весьма существенно, контролируемыми на этапе проектирования демпфирующими свойствами, указывает на некоторые принципиально новые направления. Одно из них состоит в разработке сплавов высокого демпфирования. В настоящее время эта задача решается в основном путем проведения длительных и дорогостоящих экспериментов. Поэтому актуальной является разработка математических моделей и алгоритмов, позволяющих решить отмеченную задачу расчетным путем.

Для решения перечисленных выше задач необходима разработка эффективных математических методов и алгоритмов, базирующихся на использовании современных расчетных моделей сложных инженерных конструкций, численного и функционального анализа, а также современных достижений в области программирования и математического моделирования, ориентированных на применение средств вычислительной техники.

Целью диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов решения физически нелинейных задач статики и динамики тонкостенных конструкций, нелинейность которых обусловлена соответственно пластическими и демпфирующими свойствами материала, а также методов решения обратных задач, обеспечивающих требуемые демпфирующие свойства конструкции и механические характеристики материала. Достижение этой цели предполагает решение следующих задач.

1. Определение упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций на основе метода конечных элементов и последовательной линеаризации полученных при этом систем нелинейных уравнений. Решение данной задачи включает: а) получение систем разрешающих уравнений метода конечных элементов с учетом пластических свойств материала; б) выбор метода последовательной линеаризации упруго-пластической задачи и соответствующих физических зависимостей; в) разработку методов определения упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций разветвленной структуры; г) сокращение числа независимых параметров при расчете однонаправленных конструкций путем использования гибридных расчетных схем.

2. Построение физических зависимостей для учета амплитудно-зависи-мого рассеяния энергии в материале при стационарных и нестационарных колебаниях конструкций.

3. Определение стационарной динамической реакции конструкций с учетом демпфирующих свойств материала, что включает: а) формирование систем нелинейных разрешающих уравнений на основе метода конечных элементов и построение итерационных алгоритмов решения данных систем; б) формирования матриц гистерезисного демпфирования конечных элементов для моделирования стержневых, тонкостенных и монолитных конструкций.

4. Определение нестационарной динамической реакции с учетом демпфирующих свойств материала путем шагового интегрирования полученных при этом систем нелинейных дифференциальных уравнений движения конечно-элементной модели конструкции.

5. Разработку методов обеспечения требуемых демпфирующих свойств конструкции и механических характеристик материала, включающих: а) синтез амплитудной зависимости демпфирующей способности материала по заданным коэффициентам динамичности конструкции при резонансе; б) построение математической модели демпфирующего сплава; в) проектирование демпфирующего сплава по заданному комплексу его механических характеристик.

Научная новизна

1. Предложен метод определения упруго-пластического состояния и несущей способности тонкостенных конструкций разветвленной структуры, основанный на расчете отдельных подконструкций как изолированных объектов. Совместная работа подконструкций учитывается путем реализации условий их сочленения. В отличие от имеющихся подходов, базирующихся на концепции единичных перемещений, предлагаемый метод имеет более строгую математическую формулировку, основанную на методе Ньютона для решения систем нелинейных уравнений и экстремальном принципе теории пластического течения.

2. Разработаны принципы формирования систем разрешающих уравнений для анализа упруго-пластического состояния и определения несущей способности тонкостенных конструкций однонаправленной структуры на основе гибридных расчетных схем, сочетающих достоинства метода конечных элементов с накопленным опытом расчета тонкостенных конструкций данного класса.

3. Разработан метод идентификации демпфирующих свойств реологической модели упруго-пластического материала, обусловленных микропластическими деформациями. Отличительная черта разработанного метода состоит в использовании общепринятых характеристик демпфирования материала - логарифмического декремента колебаний или демпфирующей способности , что открывает возможность практического применения отмеченной модели к анализу нестационарной динамической реакции конструкций.

4. В динамике конструкций разработано новое направление, состоящее в использовании конечно-элементных моделей для анализа стационарной динамической реакции с учетом амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале. Для реализации данного направления разработаны методы формирования систем нелинейных разрешающих уравнений, построены итерационные алгоритмы решения данных систем, получены матрицы гистерезисного демпфирования конечных элементов для моделирования стержневых, тонкостенных и монолитных конструкций.

5. Разработано математическое и алгоритмическое обеспечение для определения нестационарной динамической реакции конструкций с учетом демпфирующих свойств материала на основе метода конечных элементов, физических зависимостей реологической модели упруго-пластического материала А.Ю. Ишлинского и шаговых методов интегрирования дифференциальных уравнений движения конструкции, построенных на гипотезе линейного ускорения. Отмеченный математический аппарат дает возможность учета амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале при колебаниях конструкций без каких-либо ограничений на их геометрию, условия закрепления и нагружения.

6. Впервые поставлена и решена обратная задача динамики конструкций с неидеально упругим материалом, состоящая в определении амплитудной зависимости демпфирующей способности материала по заданным коэффициентам динамичности конструкции при резонансе для нескольких низших собственных форм колебаний. Решение отмеченной задачи позволяет включать характеристики демпфирования материала непосредственно в состав проектных параметров конструкции и тем самым активно влиять на ее динамические свойства.

7. Разработаны принципы построения математической модели демпфирующего сплава и математические методы обеспечения его требуемых прочностных, пластических и демпфирующих свойств на основе косвенных и прямых методов поиска.

Практическая ценность и внедрение результатов

Практическую ценность имеют:

- методы определения упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций на основе деления их на подконструкции и использования гибридных расчетных схем;

- методы анализа стационарной и нестационарной динамической реакции конструкций с учетом амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале;

- метод и алгоритм синтеза амплитудной зависимости демпфирующей способности материала по заданным коэффициентам динамичности конструкции при резонансе;

- математические модели демпфирующих сплавов и методы их проектирования по заданному комплексу свойств.

Результаты, полученные в работе, использованы:

- на Вятском машиностроительном предприятии “АВИТЕК” (г. Киров) для уточнения и совершенствования методик расчета узлов и агрегатов конструкций летательных аппаратов;

- в Вятском государственном университете (г. Киров) при совершенствовании учебных курсов “Строительная механика”, “Устойчивость и динамика сооружений”, “Математическое моделирование в строительстве”;

- в проблемной лаборатории металлических материалов с высокими вибропоглощающими свойствами (ВятГУ, г. Киров) для планирования экспериментов и математической обработки полученных результатов.

Апробация работы и публикации. По теме диссертации опубликованы 42 научные работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на III Всесоюзной конференции “Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов” (г. Казань, 1988 г.); на VIII Всероссийской научно-технической конференции “Демпфирующие материалы” (г. Киров, 1999 г.); на совместном научном семинаре кафедр “Сопротивление материалов” и “Строительная механика летательных аппаратов” Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева (2004 г.); на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела Казанского государственного университета под руководством академика АН РТ, д.ф-м.н., профессора Коноплева Ю.Г. (2004 г.); на НТС Вятского государственного университета (г. Киров, 2005 г.); на 45-й Международной конференции “Актуальные проблемы прочности” (г. Белгород, 2006 г.); на XV Международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, Крым, 2007 г.); на XXVII Российской школе по проблемам науки и технологий, посвященной 150-летию К.Э. Циолковского, 100-летию С.П. Королева и 60-летию Государственного ракетного центра “КБ им. академика В.П. Макеева” (г. Миасс, МСНТ, 2007 г.); на ежегодной Всероссийской научно-технической конференции “Наука-производство-технология-экология” (г. Киров, 2001-2007 г.). В целом диссертация обсуждалась и получила одобрение на совместном научном семинаре кафедр “Сопротивление материалов”, “Теоретическая и прикладная механика”, “Строительная механика летательных аппаратов” и “Специальная математика” Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева (2008 г).

Достоверность разработанных методов и алгоритмов подтверждается путем сравнения полученных на их основе результатов с известными аналитическими, численными и экспериментальными данными, приведенными в научной литературе, сравнением результатов, полученных с использованием различных расчетных моделей, а также экспертными оценками специалистов в области математического моделирования и механики деформируемого твердого тела при обсуждении диссертации на научных конференциях и семинарах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, общих выводов и приложения. При общем объеме 440 страниц работа включает 299 страниц основного текста, 93 рисунка и 33 таблицы. Список литературы включает 235 наименований, из них 22 на иностранных языках. В приложении приведены тексты составленных автором программ, использованных в диссертации для численной реализации разработанных методов и алгоритмов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности решаемой научной проблемы, обзор литературы, посвященной исследованию упруго-пластического состояния конструкций и определению их динамической реакции с учетом демпфирующих свойств материала, рассматриваются основные проблемы, характерные для этой сферы исследований.

В первой главе рассматриваются принципы формирования систем разрешающих уравнений метода конечных элементов для анализа упруго-пластического состояния конструкций, приемы линеаризации упруго-пластической задачи, сводящие ее к непрерывной последовательности соответствующих линейных задач. Получены матрицы мгновенных упруго-пластических модулей изотропного материала на основе дифференциальной формы физических зависимостей деформационной теории пластичности и теории пластического течения при изотропном деформационном упрочнении Мизеса, что дает возможность постановки упруго-пластической задачи в приращениях при определении несущей способности конструкций.

Предложен метод определения упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций разветвленной структуры, основанный на делении их на отдельные агрегаты (подконструкции) и рассмотрении каждого из них как изолированного. Суть метода сначала поясняется на решении линейной задачи. Расчет каждого агрегата возможен, если будут известны перемещения узлов сочленения агрегатов в области конструкции. Для учета этих перемещений используется функционал Лагранжа с параметром штрафа :

. (1)

Здесь - соответственно полная потенциальная энергия, вектор узловых перемещений, матрица жесткости и вектор внешних узловых сил агрегата конструкции; - матрица упаковки, определяющая соответствие расположения компонент вектора в векторе :

, (2)

Минимизация функционала (1) дает систему линейных уравнений

, (3)

из которой можно определить перемещения, удовлетворяющие ограничениям (2), и реакции узлов сочленения, действующие на агрегат конструкции:

. (4)

Если бы перемещения были действительными, то . В противном случае получается невязка , зависящая от перемещений . Таким образом, для определения вектора необходимо решить уравнения . Для решения данных уравнений используется итерационный метод Ньютона.

В линейной задаче данный метод требует только одной итерации, что приводит к системе уравнений

. (5)

Здесь - матрица Якоби, вычисляемая при . Вектор агрегата конструкции определяется из системы (3).

В упруго-пластическом состоянии вместо принципа Лагранжа используется экстремальный принцип теории пластического течения, приводящий к системе уравнений, аналогичных уравнениям (3):

. (6)

Здесь , , - соответственно мгновенная матрица жесткости, вектор приращений узловых перемещений и вектор приращений внешних узловых сил агрегата конструкции. Если на текущем шаге нагружения конструкции матрицу считать постоянной, то уравнения (6) будут линейными. Тогда алгоритм определения на каждом шаге останется таким же, как при решении линейной задачи.

На рис. 1 приведена расчетная модель разветвленной тонкостенной конструкции, состоящей из части фюзеляжа и крыла. Крыло крепится к фюзеляжу в 10 узлах.

Все элементы конструкции считаются изготовленными из сплава Д16Т. Диаграмма напряжение-деформация данного сплава аппроксимируется билинейной зависимостью с модулем упрочнения

Решается упруго-пластическая задача, состоящая в определении давления , соответствующего разрушению наиболее напряженного элемента конструкции. Расчет выполнен методом шагового нагружения при шаге , где - давление, соответствующее началу пластического деформирования наиболее напряженного элемента конструкции.

Для решения задачи потребовалось 26 шагов от давления , в результате чего получено значение На рис. 2 отмечены элементы фюзеляжа и крыла, находящиеся при в упруго-пластическом состоянии.

Во второй главе обоснована концепция гибридной расчетной схемы (ГРС) для анализа упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций однонаправленной структуры, состоящая в использовании различных гипотез (допущений) в разных областях конструкции.

В областях, имеющих особенности (местах крепления, вырезов, существенного изменения геометрии и нагрузки), используются слабые гипотезы (рис. 3). В других областях, где конструктивно-силовая схема регулярна, берутся сильные гипотезы. Применяемое здесь понятие “слабая гипотеза” соответствует использованию меньшего числа допущений и большего числа параметров для описания состояния конструкции. Понятие “сильная гипотеза” соответствует введению для расчета большего числа допущений и, следовательно, меньшего числа параметров. Между областями применения данных гипотез находиться переходная область, занимающая некоторое промежуточное положение, как по числу принимаемых допущений, так и по числу используемых параметров.

Разрешающие уравнения ГРС формируются относительно вектора обобщенных перемещений , который можно связать с вектором узловых перемещений базовой конечно-элементной модели соотношением

, (7)

где - матрица преобразования, учитывающая изменение кинематических гипотез ГРС по отношению к гипотезам базовой модели (БМ). Для получения данных уравнений при решении линейной задачи используется принцип возможных перемещений

. (8)

Здесь - соответственно матрица жесткости и вектор нагрузки БМ. Отсюда получается система разрешающих уравнений ГРС:

. (9)

Для решения упруго-пластической задачи, формулируемой в приращениях, вместо (9) используются уравнения

. (10)

При практической реализации кинематических гипотез системы типа (9) или (10) целесообразно формировать сначала для частей конструкции (отсеков), расположенных между двумя смежными сечениями, и последовательно включать их в общую систему уравнений. При таком подходе преобразование типа (7): осуществляется не для всей конструкции, а лишь на уровне отдельных сечений, в которых вводятся кинематические гипотезы. Вид матрицы преобразования зависит от кинематических гипотез, принимаемых в расчетном сечении . В диссертации получены матрицы для трех основных гипотез, используемых ранее (до применения метода конечных элементов) в практике расчета тонкостенных конструкций типа крыла и фюзеляжа: гипотезы неизменяемости формы поперечного сечения (ГНФПС); гипотезы линейной депланации (ГЛД) и гипотезы плоского сечения (ГПС). Рассмотрены так же комбинации гипотез: ГНФПС+ГЛД и ГНФПС+ГПС.

На рис. 4 показана конечно-элементная модель крыла. Обшивка моделируется треугольными безмоментными элементами, стенки лонжеронов и нервюр - четырехугольными элементами. Полки лонжеронов и нервюр представлены ферменными элементами. Все элементы крыла считаются изготовленными из сплава Д16Т. Диаграмма напряжение-деформация материала аппроксимируется билинейной зависимостью с модулем упрочнения

Расчет крыла осуществляется методом шагового нагружения до давления , при котором разрушается наиболее напряженный элемент конструкции. Для решения задачи используются три ГРС. В поперечных сечениях 0-3 всех трех ГРС используются гипотезы базовой конечно-элементной модели (БМ). В остальных сечениях в ГРС1 дополнительно используется ГНФПС, в ГРС2 и ГРС2 - соответственно комбинации ГНФПС+ГЛД и ГНФПС+ГПС.

В табл. 1 приведены значения , числа шагов нагружения в упруго-пластической области и порядка систем разрешающих уравнений для отмеченных расчетных моделей. На рис. 5 показана диаграмма интенсивности напряжений на нижней поверхности обшивки крыла при .

Таблица 1

Расчетная модель	БМ	ГРС1	ГРС2	ГРС3
	0,00735	0,00722	0,00730	0,00736
	22	22	23	22
	714	389	259	246

Значения при использовании данных трех ГРС, как видно из табл. 1, получаются намного меньшими, чем в БМ, без существенной разницы значений . По интенсивности напряжений практическое совпадение с результатами БМ дают ГРС1 и ГРС2.

В третьей главе рассмотрены основные характеристики демпфирования материала и физические зависимости, определяющие рассеяние энергии в материале при колебаниях конструкций. При циклическом деформировании материала наиболее удобными для приложений являются уравнения, непосредственно содержащие логарифмический декремент колебаний , зависящий от амплитуды деформации :

. (11)

Здесь - соответственно нормальное напряжение, относительная деформация и модуль Юнга материала; - некоторые функции, определяющие форму петли гистерезиса. Уравнения (11) наиболее просты и физически оправданы. Поскольку в них входит декремент колебаний, отпадает необходимость в пересчетах для определения параметров петли. На основе линейных зависимостей изотропного материала представлено обобщение уравнений (11) на случай сложного напряженного состояния:

. (12)

Здесь - соответственно модуль объемной деформации и модуль сдвига материала;

- векторы, содержащие компоненты напряженного и деформированного состояния;

- соответственно средняя деформация, интенсивность деформаций сдвига и их амплитудные значения;

- логарифмические декременты материала соответственно при объемном деформировании и сдвиге;

- матричный аналог тензора Кронекера;

- матрица преобразования при переходе от тензорных уравнений к соответствующим матричным уравнениям;

- функции, определяющие форму петли гистерезиса.

При гармонических колебаниях уравнения (11), (12) можно представить в комплексной форме, используя предложение Е.С. Сорокина о комплексном внутреннем трении.

Для учета амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале при нестационарных режимах деформирования предложено использовать концепцию микропластического гистерезиса, реализованную реологической моделью упруго-пластического материала А.Ю. Ишлинского. Модель состоит из бесконечного множества упруго-пластических элементов (рис. 6). Упругие свойства элементов модели определяются модулем упругости , пластические свойства зависят от их безразмерных пределов текучести , представляющих относительную деформацию, при которой наступает состояние текучести того или иного элемента модели. Так как элементы в реологической модели расположены непрерывно, то для величины можно ввести спектральную плотность . Тогда закон деформирования модели (при одноосном напряженном состоянии) имеет вид

. (13)

Здесь - пластическая деформация произвольного элемента модели; - скорость пластической деформации. Первое слагаемое в напряжении представляет упругую часть, второе - неупругую часть, обусловленную наличием в материале микропластических деформаций. Второе уравнение (13) служит для определения пластических деформаций элементов модели. В таком виде уравнения (13) пригодны для описания микропластического гистерезиса при произвольном законе деформирования модели. Вторая положительная особенность данной модели материала состоит в возможности построения на ее основе корректных физических зависимостей для учета амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале при сложном напряженном состоянии.

Однако применение рассмотренной модели материала к расчету конструкций сдерживается отсутствием удобной для практического использования связи между функцией , определяющей демпфирующие свойства модели, и общепринятыми характеристиками демпфирования материала (логарифмическим декрементом колебаний или демпфирующей способностью ). В диссертации разработан метод идентификации функции по экспериментальным значениям при нескольких амплитудах деформации . Идея метода основывается на существовании конечных значений , что можно объяснить наличием в материале дефектов. Предполагается, что эти дефекты имеют такую же физическую природу, что и в теориях усталостного и хрупкого разрушения материала. В обеих этих теориях функция распределения дефектов имеет вид

, (14)

где и - некоторые положительные постоянные. Отсюда получается спектральная плотность :. В диссертации получено соотношение, связывающее параметры и с логарифмическим декрементом колебаний материала :

(15)

При известных экспериментальных значениях логарифмического декремента колебаний при нескольких амплитудах деформации параметры и можно получить методом наименьших квадратов:

(16)

Здесь - теоретические значения логарифмического декремента колебаний, определяемые по формуле (15) при . Необходимые условия существования минимума функции приводят к весьма сложной системе нелинейных уравнений. Поэтому для определения параметров и рекомендуется использовать прямые методы поиска нулевого порядка, не требующие вычисления градиентов данной функции.

Приведен пример определения параметров и для алюминия. Для нахождения глобального минимума функции сначала используется метод последовательного перебора точек области c шагами. Таким образом, получена точка , вблизи которой имеется глобальный минимум. Далее поиск продолжался симплекс-методом с использованием равностороннего двумерного симплекса (треугольника) со стороной В результате были найдены значения и с точностью :

Разработанный метод идентификации функции можно использовать и при сложном напряженном состоянии, заменяя логарифмическим декрементом материала при чистом сдвиге (кручении).

В четвертой главе получены дифференциальные уравнения движения конструкций с упруго-гистерезисным материалом на основе метода конечных элементов и принципа Даламбера-Лагранжа. Полученные уравнения можно использовать без каких-либо ограничений для исследования всевозможных динамических процессов, в том числе и гармонических. Однако в последнем случае оказывается более выгодным представление данных уравнений в комплексной форме с использованием концепции комплексного модуля упругости:

(17)

Здесь - соответственно матрица жесткости, матрица масс, матрица гистерезисного демпфирования и вектор узловых перемещений конечно-элементной модели конструкции; - вектор, содержащий амплитуды внешних узловых сил; - круговая частота изменения данных сил. Стационарное решение уравнений (17) ищется в виде

, (18)

где - вектор амплитуд узловых перемещений;

- диагональная матрица с элементами ;

- сдвиг фазы компоненты вектора относительно соответствующей компоненты вектора . Это приводит к системе разрешающих уравнений

(19)

относительно векторов , содержащих соответственно синфазные и несинфазные (отстающие от компонент вектора на угол ) составляющие амплитуд узловых перемещений, что дает значения и :

. (20)

Однако следует заметить, что элементы матрицы в уравнениях (19) содержат логарифмические декременты материала (или и ), зависящие от соответствующих амплитуд деформаций конечных элементов, а последние при формировании уравнений (19) неизвестны. Поэтому для решения данных уравнений необходимо использовать итерационные методы. Простейший способ построения итерационного алгоритма состоит в определении значений для начала следующей итерации по значениям амплитуд деформаций конечных элементов, полученным в конце текущей итерации. Но численные эксперименты показали, что данный итерационный процесс не всегда является сходящимся. Для обеспечения сходимости итерационного процесса предлагаются две формулы сдвига. В первом случае используется параметр сдвига :

. (21)

Здесь - вектор, содержащий амплитуды деформаций конечных элементов в начале текущей итерации; - то же в начале следующей итерации. Количество итераций зависит от выбора параметра и начального вектора .

Во втором случае компоненты вектора получаются пропорциональным делением отрезка (рис. 7), что дает следующую формулу:

. (22)

Здесь , - диагональные матрицы, определяемые по логарифмическим декрементам и материала конечных элементов соответственно в начале и конце - го шага итераций.

С целью оценки скорости сходимости итерационных алгоритмов решения системы (19), построенных на основе формул (21) и (22), исследуются резонансные колебания фермы (рис. 8) при действии вынуждающей силы с амплитудой и круговой частотой , где - низшая собственная частота. Материал стержней фермы - сталь Ст. 2. Зависимость логарифмического декремента материала от амплитуды деформации аппроксимируется степенным полиномом , коэффициенты которого получены математической обработкой справочных данных. В процессе итераций контролировалась амплитуда вертикальных колебаний узла фермы, где приложена сила . Численные эксперименты показали, что количество итераций при использовании формулы (21) слабо зависит от начального вектора , но существенно зависит от параметра . Достаточно быстрая сходимость () к стационарному значению получается при . Формула (22) при тех же значениях компонент вектора дает . Таким образом, для построения итераций при решении системы уравнений (19) рекомендована формула (21).

Системы уравнений (19) могут иметь весьма большие порядки. Поэтому желательно, что бы их матрицы имели ленточную структуру. В связи с этим разработаны методы прямого формирования ленты в виде прямоугольного массива, столбцами которого являются соответствующие диагонали ленты, что позволяет использовать эффективные алгоритмы решения данных систем (в диссертации используется алгоритм - факторизации).

В пятой главе получены матрицы гистерезисного демпфирования конечных элементов, предназначенных для моделирования стержневых, тонкостенных и монолитных конструкций. В диссертации рассмотрены следующие типы конечных элементов: стержневые элементы (ферменный, балочный, рамный); плоские безмоментные элементы (треугольный и четырехугольный); объемный элемент (тетраэдр); плоский треугольный элемент при изгибе; треугольный элемент совместно при изгибе и плоском напряженном состоянии. При формировании матриц гистерезисного демпфирования отмеченных конечных элементов используется единый подход, основанный на концепции комплексного модуля упругости:

. (23)

Здесь - мнимая часть комплексного оператора связи напряжений с деформациями, определяющая неупругую (гистерезисную) составляющую напряженного состояния; - матрица связи деформаций с узловыми перемещениями конечного элемента. Вид матрицы зависит от напряженного состояния конечного элемента. Зависимость логарифмических декрементов материала , и от амплитуд соответствующих деформаций представляется степенными полиномами. Соотношения для формирования матриц отмеченных конечных элементов доведены до практического применения. С целью апробации полученных соотношений и разработанных на их основе подпрограмм формирования матриц приводятся три примера.

Пример 1. Рассматриваются резонансные колебания прямоугольной пластины, представленной треугольными (рис. 9а) и четырехугольными безмоментными (рис. 9б) конечными элементами. На груз с массой действует периодическая сила . Амплитуда данной силы , круговая частота, где - низшая собственная частота (для модели пластины с треугольными элементами ; для модели с четырехугольными элементами ). Материал пластины - сталь 10. Зависимости логарифмических декрементов и материала от амплитуд соответствующих деформаций аппроксимируются степенными полиномами, коэффициенты которых получены математической обработкой справочных данных:

. (24)

На рис. 10 приведены амплитуды вертикальных колебаний оси конечно-элементных моделей пластины. Значения , полученные для модели с треугольными элементами (кривая 1), оказываются несколько меньшими, чем для модели с четырехугольными элементами (кривая 2). Это соответствует известному факту: менее точные элементы дают меньшие перемещения.

Пример 2. Рассматриваются резонансные изгибные колебания квадратной шарнирно опертой пластины при действии равномерно распределенной нагрузки с амплитудой и круговой частотой . Конечно-элементная модель четверти пластины представлена изгибаемыми треугольными элементами (рис. 11). Логарифмические декременты материала при объемном деформировании и сдвиге взяты по данным работы В.В. Хильчевского и В.В. Дубенца, где приводятся результаты аналитического решения рассматриваемой задачи: ; .

На рис. 12 приведены резонансные кривые колебаний центра пластины (точки 0): кривая 1 соответствует конечно-элементной модели; кривая 2 - аналитическому решению. Результаты, полученные на основе МКЭ, удовлетворительно согласуются с аналитическим решением.

Пример 3. На рис. 13 приведена конечно-элементная модель крыла. Обшивка крыла моделируется треугольными конечными элементами, находящимися в плоском напряженном состоянии. Стенки лонжеронов и нервюр составлены из четырехугольных безмоментных конечных элементов. Полки лонжеронов и нервюр представлены ферменными элементами.

Рассматриваются резонансные колебания крыла при действии периодической поверхностной нагрузки с амплитудой и круговой частотой . Все элементы крыла считаются изготовленными из сплава Д16Т. Амплитудные зависимости логарифмических декрементов колебаний материала при сдвиге, объемном деформировании и растяжении-сжатии представлены соответственно степенными полиномами, полученными математической обработкой справочных данных методом наименьших квадратов:

;

. (25)

На рис. 14 приведена диаграмма амплитудных значений интенсивности напряжений на нижней поверхности обшивки крыла. Для определения значений в узлах модели через значения, даваемые МКЭ, использовался метод согласованных результантов. Качественно картина распределения соответствует характеру нагружения крыла и условиям его закрепления (в области узлов крепления значения получаются наибольшими и имеют значительный градиент).

пластический демпфирующий тонкостенный конструкция

В шестой главе разработаны методы определения нестационарной динамической реакции конечно-элементной модели конструкции с учетом амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале на основе шагового интегрирования дифференциальных уравнений движения

, (26)

где слагаемое определяет упругие и неупругие (гистерезисные) внутренние узловые силы, обусловленные напряжениями, возникающими в элементах конструкции. Наиболее удобными для шагового интегрирования являются самостартующие методы, в которых для вычисления значений векторов и в момент времени достаточно иметь информацию о состоянии конструкции только на одном предыдущем шаге. Шаг интегрирования должен быть таким, чтобы с достаточной точностью воспроизводились те колебания, которые имеют наиболее существенную роль в определении динамической реакции конструкции, т.е. колебания с относительно низкими частотами. Но, обычно, в спектре частот конечно-элементной модели конструкции содержатся весьма высокие частоты, и может оказаться, что выбранный шаг значительно превосходит периоды, соответствующие данным частотам. Вклады форм колебаний с высокими частотами в динамическую реакцию конструкции в таком случае могут быть совершенно искажены. Но это вполне допустимо, поскольку они не играют существенной роли. Однако важно, чтобы используемая процедура интегрирования обеспечивала устойчивость процесса независимо от величины шага . Методы интегрирования, удовлетворяющие данному требованию, называются безусловно устойчивыми. Единственным критерием выбора шага в этих методах является точность получаемых результатов.

Для проведения численных экспериментов была выбрана уже рассмотренная ранее ферма (рис. 8). Исследовался переходной процесс при выходе фермы в режим установившихся резонансных колебаний с частотой , что дает возможность сравнить результаты шагового интегрирования в конце данного процесса с полученным ранее стационарным решением задачи. Для учета демпфирующих свойств материала использовалась формула Е.С. Сорокина, представляющая частный случай уравнений (11) при эллиптической петле гистерезиса:

. (27)

Следует отметить, что формула (27) справедлива лишь в случае установившихся (стационарных) колебаний. При исследовании знакопеременных переходных процессов данную формулу можно рассматривать как приближенную, заменяя в ней амплитуду деформации значением на каждом полуцикле колебаний, где - относительная деформация в точках реверса кривых деформирования материала.

Для интегрирования уравнений движения фермы испытывались три шаговых метода: метод линейного ускорения; - метод Вильсона и метод Ньюмарка

Уравнения движения рассматривались как в исходной форме (26) так и в приращениях:

. (28)

Известно, что метод линейного ускорения является условно устойчивым. Для обеспечения устойчивости данного метода шаг интегрирования должен быть достаточно малым. Однако достичь устойчивого процесса интегрирования уравнений (26) и (28) при уменьшении до каких-либо приемлемых значений не удалось.

- метод Вильсона представляет модифицированный вариант метода линейного ускорения, в котором принимается предпосылка о том, что вектор ускорений меняется линейно в течение интервала времени . По литературным источникам данный метод является безусловно устойчивым при . Однако в численных экспериментах устойчивость метода была получена только при . Но, достичь стремления переходного процесса к стационарному решению все же не удалось.

Метод Ньюмарка базируется на независимом разложении вектора перемещений и вектора скоростей в ряд Тейлора в окрестности текущего момента времени :

(29)

Известно, что данный метод является безусловно устойчивым при параметрах и . Отмеченный факт численными экспериментами подтвердился. Однако расхождение со стационарным решением при выходе переходного процесса в установившийся динамический режим получилось опять же довольно существенным.

Таким образом, ни один из трех методов не дал положительных результатов. Указанный факт, по всей видимости, объясняется малостью нелинейных составляющих внутренних узловых сил, обусловленных напряжениями в элементах конструкции. В связи с этим данные составляющие внутренних сил предложено учитывать в правой части уравнений:

. (30)

Здесь , - соответственно матрица жесткости и мгновенная матрица демпфирования конструкции. Матрица на каждом шаге определяется с использованием концепции секущего модуля упругости. Запись уравнений движения в форме (30) позволила получить положительные результаты при использовании - метода Вильсона и метода Ньюмарка. Уравнения (30) интегрировались при различных значениях шага в интервале времени , что соответствует приблизительно 263 циклам колебаний, при начальных условиях .

С целью оценки влияния величины на точность полученных результатов определялись средние относительные отклонения амплитуд вертикальных колебаний узла фермы, где приложена сила (рис. 8), от амплитуды стационарных колебаний , полученной ранее при решении уравнений (19):

. (31)

На рис. 15 показано влияние числа шагов на один цикл колебаний на величину при интегрировании уравнений (30) - методом Вильсона и методом Ньюмарка. Чтобы исключить большие погрешности, имеющие место в начале переходного процесса, значения в выражении (31) определялись в интервале времени , соответствующем выходу данного процесса в установившийся динамический режим. Результаты показывают, что при увеличении числа шагов () на один цикл колебаний погрешность метода Ньюмарка уменьшается существенно быстрее, чем погрешность - метода Вильсона. Например, вхождение погрешности в область в первом случае получается при , во втором - при . Причем, при всех испытуемых значениях погрешность метода Ньюмарка получается меньше, чем - метода Вильсона. На основании этого для интегрирования дифференциальных уравнений движения конструкций с учетом гистерезисных потерь в материале рекомендован шаговый метод Ньюмарка с записью данных уравнений в форме (30).

Результаты, приведенные на рис. 15, получены при минимальных значениях параметров, обеспечивающих безусловную устойчивость рассмотренных шаговых методов: в - методе Вильсона ; в методе Ньюмарка . В диссертации показано, что увеличение данных параметров относительно их минимальных значений дает дополнительный демпфирующий эффект, приводя к существенной потере точности решения. Поэтому брать параметры , и для интегрирования уравнений (30) без необходимости не рекомендуется.

В главе 3 для учета амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале при нестационарных режимах деформирования предложено использовать физические зависимости реологической модели упруго-пластического материала А.Ю. Ишлинского (рис. 6). Наличие математического обеспечения, состоящего из данных физических зависимостей, метода конечных элементов и шаговых методов интегрирования, дает возможность анализа динамической реакции конструкций без каких-либо ограничений на их геометрию, условия закрепления и характер нагружения.

С целью апробации физических зависимостей отмеченной модели материала, а также подтверждения разработанного в главе 3 метода идентификации функции , определяющей ее демпфирующие свойства, рассмотрена тестовая система с одной степенью свободы, состоящая из невесомого стержня и груза (рис. 16). Трение между грузом и поверхностью не учитывается. Материал стержня - алюминий. Параметры и в функции для алюминия определены в главе 3.

Рассматривались свободные колебания системы при начальных условиях: . Уравнение движения системы интегрировалось методом Ньюмарка с параметрами , и шагом , где - период свободных колебаний системы без учета рассеяния энергии в материале. На рис. 17 показаны огибающие свободных колебаний груза, полученные с использованием физических зависимостей реологической модели упруго-пластического материала А.Ю. Ишлинского и гистерезисной формулы (27). Последняя при анализе затухающих колебаний использовалась как приближенная. Зависимость в формуле (27) определялась выражением (15), полученным в главе 3. Огибающие свободных колебаний, построенные с использованием двух различных физических зависимостей, являются достаточно близкими между собою, что подтверждает возможность использования отмеченной выше реологической модели для учета демпфирующих свойств материала при одноосном напряженном состоянии, а также разработанного метода идентификации ее демпфирующих свойств.