Разработка эффективных методов расчета тонкостенных конструкций с учетом пластических и демпфирующих свойств материала

С целью подтверждения возможности использования данной модели для учета демпфирующих свойств материала при анализе более сложных динамических процессов рассматривалась также пространственная ферма при двух вариантах нагружения. В первом варианте на один из узлов фермы действует периодическая сила с коэффициентом асимметрии цикла и резонансной частотой , во втором - в том же узле фермы приложена внезапно постоянная сила . Дифференциальные уравнения движения фермы интегрировались методом Ньюмарка при и .

В первом варианте нагружения переходной процесс стремился к установившемуся динамическому режиму (резонансу). При этом центр колебаний нагруженного узла фермы получился смещенным вниз, что соответствует заданному закону изменения нагрузки. Размах колебаний оказался незначительно меньшим, чем в стационарном решении задачи с использованием системы уравнений (19) при . Во втором варианте нагружения центр колебаний стремился к определенному пределу - перемещению при статическом действии силы . Причем, наибольшее значение в начале переходного процесса оказалось примерно в два раза выше значения . Это соответствует известному в теории колебаний упругих систем факту: при действии постоянной внезапно приложенной нагрузки максимальная динамическая реакция системы вдвое выше ее статической реакции при той же нагрузке.

Для тестирования физических зависимостей реологической модели упруго-пластического материала А.Ю. Ишлинского и методики определения функции при сложном напряженном состоянии исследовался переходной процесс при выходе в резонанс рассмотренной в главе 5 пластины, моделируемой четырехугольными конечными элементами (рис. 9б). На рис. 18 приведены огибающие вертикальных колебаний правого верхнего узла пластины при различном числе шагов на один цикл колебаний, полученные при интегрировании уравнений (30) методом Ньюмарка. При возрастании переходной процесс стремится к стационарному решению полученному в главе 5.

Рассмотрен также пример определения нестационарной динамической реакции близкой к реальной тонкостенной конструкции - киля самолета-орбитера (рис. 19). Пунктирными линиями показаны обтекатель и створки руля направления-воздушного тормоза (РН-ВТ). Нагрузка, передаваемая на киль створками РН-ВТ, представляется сосредоточенными силами, приложенными в узлах крепления 1-6. К этим же узлам приводится масса РН-ВТ. Обшивка киля моделируется треугольными конечными элементами, стенки лонжеронов и нервюр - четырехугольными изопараметрическими элементами. Напряженное состояние данных элементов считается плоским. Полки лонжеронов и нервюр представлены ферменными элементами. Все элементы киля считаются изготовленными из сплава Д16Т. Демпфирующие свойства сплава определяются функцией . Киль имеет теплозащитное покрытие (ТЗП), которое не оказывает сопротивления действию нагрузки, но увеличивает массу и демпфирующую способность конструкции. Масса ТЗП учитывается эквивалентным увеличением плотности материала конечных элементов обшивки. Демпфирующие свойства ТЗП учитываются с использованием концепции вязкого демпфирования.

Определяется динамическая реакция киля на кратковременное действие давления . На рис. 20 показана зависимость перемещения точки киля от времени . Максимальное значение достигается, как и должно быть, при значении , несколько большем того, которое соответствует максимальному значению давления , а после прекращения действия наблюдаются затухающие колебания, обусловленные наличием в конструкции диссипативных сил. Причем колебания происходят с биениями, что отражает историю нагружения киля.

В седьмой главе разработаны методы обеспечения требуемых демпфирующих свойств конструкции и механических характеристик материала: предела прочности ; относительного удлинения при разрыве и логарифмического декремента .

В качестве характеристик демпфирования конструкции выбраны значения коэффициента динамичности при резонансе для нескольких низших собственных форм колебаний.

С целью обеспечения требуемых демпфирующих свойств конструкции решается обратная задача, состоящая в определении зависимости по заданным значениям .

Амплитуды узловых перемещений конечно-элементной модели конструкции при резонансных колебаниях по собственной форме определяются выражением

. (32)

Для вычисления масштабного множителя получена формула

, (33)

где

(34)

В соотношениях (34) - соответственно матрица жесткости, матрица масс и матрица гистерезисного демпфирования конструкции; - вектор, содержащий амплитуды внешних узловых сил; - круговая частота вынужденных колебаний, совпадающая с одной из собственных частот . Выражение (33) при дает коэффициент динамичности , неявно связанный с логарифмическим декрементом материала , входящим в матрицу :

. (35)

Зависимость представляется в виде степенного полинома

. (36)

Таким образом, задача синтеза зависимости сводится к определению коэффициентов данного полинома. Решение задачи ищется минимизацией функционала

(37)

Здесь - соответственно заданные и найденные по формуле (35) значения коэффициентов динамичности. Варьируемыми параметрами в (37) являются значения при заданных амплитудах деформации , а не коэффициенты , так как значения в отличие от , можно назначать более определенно. После нахождения коэффициенты можно определить из системы уравнений, получаемой подстановкой и в зависимость (36).

При сложном напряженном состоянии в матрицу вместо логарифмических декрементов материала при растяжении-сжатии войдут значения и соответственно при объемном деформировании и сдвиге. Но следует заметить, что в случае, когда конструкция изготовлена из различных материалов и ее конечно-элементная модель состоит из различных по напряженному состоянию элементов, задача поиска минимума функционала (37) является весьма трудоемкой, так как число варьируемых параметров становится весьма большим. Для уменьшения трудоемкости решения данной задачи рекомендуется подход, основанный на регулировании демпфирующих свойств конструкции (значений ) только за счет какого то одного материала и одного типа конечных элементов. Такой подход целесообразен не только теоретически, но и практически. В этом случае произведение в знаменателе формулы (35) можно представить в виде суммы двух слагаемых:

, (38)

где матрица формируется с учетом вкладов конечных элементов с заданными демпфирующими свойствами, а определяется искомыми значениями (или и ). Тогда первое слагаемое в (38) можно вычислить до процедуры поиска минимума функционала (37). Для минимизации данного функционала целесообразно использовать прямые методы поиска нулевого порядка, которые в отличие от градиентных методов не требуют вычисления частных производных . Данные методы удобны так же тем, что позволяют достаточно просто учитывать различные ограничения, накладываемые на характер зависимости .

В качестве примера рассматривается конечно-элементная модель трапециевидного крыла, нагруженного давлением с амплитудой (рис. 21).

Обшивка крыла моделируется безмоментными треугольными элементами, стенки лонжеронов и нервюр - безмоментными четырехугольными элементами, полки лонжеронов и нервюр представлены ферменными элементами.

С целью оценки демпфирующих свойств крыла предварительно решена задача определения первых трех собственных частот и соответствующих им коэффициентов динамичности при условии, что все его элементы изготовлены из сплава Д16T. Результаты получились такими: ; ; ; ; ; .

Ставится задача: уменьшить данные коэффициенты до значений ; ; построением соответствующей зависимости материала полок лонжеронов.

Однако проведенные численные эксперименты показали, что конструкционные сплавы на основе алюминия не могут обеспечить требуемые значения поскольку имеют весьма низкую демпфирующую способность.

Поэтому выбор был сделан в пользу сплавов на основе железа. Известно, что достаточно высокими демпфирующими, пластическими и прочностными свойствами обладает, например, сплав на основе железа с содержанием определенного количества алюминия и хрома.

Меняя в сплаве содержание данных химических элементов, а также режимы его термической и магнитной обработки, можно варьировать в определенных пределах отмеченные механические свойства сплава.

Искомая зависимость представляется в виде

. (39)

Для определения коэффициентов задаются три значения амплитуды деформации в реальном диапазоне изменения ее величины: , при которых находятся значения , обеспечивающие минимум функционала (37). Поиск осуществляется методом конфигураций Хука-Дживса с начальной точкой: . Шаг поиска по координатным направлениям : . Расчеты проведены при и различных ограничениях, накладываемых на характер зависимости (39). Точность результатов оценивалась величиной .

При всех значениях n погрешность является вполне удовлетворительной.

Наилучшее приближение коэффициентов динамичности , , к требуемым значениям получается при и ограничениях-неравенствах : .

Однако искомая зависимость (39) получается при этом немонотонной (рис. 22), что не соответствует характеру зависимости реальных конструкционных материалов (значения с увеличением , как правило, возрастают). Для обеспечения данного условия были дополнительно введены ограничения-неравенства , что привело к возрастанию , но вид зависимости опять же не вполне соответствовал реальному по причине весьма медленного роста в интервале (рис. 22). В диссертации показано, что наиболее реальный вид зависимости может быть получен при введении ограничений-неравенств и ограничений-равенств типа (в примере взяты ; ). К тому же это существенно уменьшает число исследуемых при поиске точек. В результате найдена зависимость

. (40)

Однако следует заметить, что добавление ограничений-равенств ухудшает качество решения задачи: из трех коэффициентов динамичности наиболее близким к требуемому получается только коэффициент , соответствующий первой (низшей) собственной форме колебаний крыла. Остальные коэффициенты получились следующими: . Таким образом, для получения приемлемой зависимости необходимо идти на компромисс между требованиями для коэффициентов и возможностью реализации данной зависимости. Учитывая, что основной вклад в динамическую реакцию конструкции вносит, как известно, первая форма колебаний, поиск требуемой зависимости на этом был прекращен.

С целью подтверждения достоверности заявленной зависимости (40) осуществлен расчет того же крыла с использованием данной зависимости и разрешающих уравнений (19), полученных в главе 4. Это дает коэффициент динамичности , что достаточно близко к требуемому значению .

Решение задачи синтеза необходимой зависимости позволяет целенаправленно влиять на динамические параметры конструкции уже в процессе ее проектирования. Одним из перспективных путей обеспечения высоких и стабильных демпфирующих свойств конструкции является использование демпфирующих сплавов. В диссертации поставлена и решена задача проектирования демпфирующего сплава, обладающего требуемым комплексом механических характеристик, при заданном наборе легирующих элементов. В этот комплекс включены: предел прочности ; относительное удлинение ; а также значения логарифмического декремента сплава при амплитудах деформации , позволяющие построить требуемую зависимость .

Для решения отмеченной задачи используется математическая модель демпфирующего сплава, определяющая зависимость его механических характеристик , и от проектных параметров , в качестве которых можно брать процентные содержания легирующих элементов в сплаве, а также показатели режимов термообработки. В общем случае такую модель можно представить в виде

;

. (41)

Для представления зависимости некоторой характеристики сплава от параметров используется полином вида

, (42) где

.

Элементы вектора находятся по экспериментальным значениям характеристики , полученным при нескольких вариантах (числе экспериментальных точек) комплекса параметров . Подстановка этих значений в выражение (42) дает систему линейных алгебраических уравнений

. (43)

Здесь - вектор с элементами , - прямоугольная матрица, составленная из строк . Число столбцов этой матрицы равно , число строк - . В случае вектор определяется непосредственно из системы (43). При можно использовать метод наименьших квадратов, приводящий к системе уравнений

. (44)

В диссертации по предлагаемой методике построена математическая модель демпфирующего сплава на основе с легирующими элементами , разработанного и экспериментально исследованного в проблемной лаборатории металлических материалов с высокими вибропоглощающими свойствами (г. Киров, ВятГУ).

Задача обеспечения необходимого комплекса свойств демпфирующего сплава решается подстановкой требуемых значений , и ( в математическую модель (41). Полученные таким образом уравнения решаются методом наименьших квадратов:

(45)

Здесь - соответственно получаемые и требуемые механические характеристики сплава. Если глобальный минимум функции в заданной области изменения параметров является ее экстремумом, то для поиска этого минимума можно использовать косвенные методы, основанные на использовании условий , что дает систему нелинейных уравнений

(46)

Но, как правило, топологические свойства гиперповерхности, образуемой функцией в пространстве , неизвестны. Поэтому задачу минимизации данной функции надежнее и удобнее решать с использованием прямых методов поиска. Причем предпочтительными будут прямые методы нулевого порядка, которые в отличие от градиентных методов не требуют вычисления частных производных .

Для отработки алгоритмов поиска решения задачи (45) рассмотрен демпфирующий сплав на основе с легирующими элементами , математическая модель которого приведена в работе В.С. Чайковского. В качестве параметров в данной работе взяты процентные содержания указанных легирующих элементов (химический состав сплава). В первой строке табл. 2 приведены принятые в качестве требуемых механические характеристики данного сплава: предел прочности ; относительное удлинение и значения , логарифмического декремента при амплитудах напряжения соответственно равных , и , где - условный предел текучести сплава. Во второй строке табл. 2 приведены те же характеристики, полученные при решении уравнений (46) итерационным методом Ньютона с точностью . Полученные механические характеристики сплава являются достаточно близкими к требуемым.

В табл. 3 приведены начальный (строка 1) и полученный (строка 2) химические составы сплава при решении уравнений (46). Для достижения заданной точности потребовалось семь итераций.

Таблица 2

Таблица 3

Ниже приводятся результаты прямого поиска химического состава того же сплава. С целью нахождения глобального минимума функции предварительно использовался метод последовательного перебора точек в заданной области параметров с шагом по каждому координатному направлению. Полученная точка (табл. 4, строка 1) использовалась как начальная при уточнении решения методом конфигураций Хука-Дживса с шагом (табл. 4, строка 2).

В табл. 5 приведены механические характеристики сплава, химический состав которого приведен в соответствующих строках табл. 4. Полученные конечные значения , , , , и являются опять же достаточно близкими к требуемым (табл. 2, строка 1).

Таблица 4

Таблица 5

Для получения оптимизационной модели сплава соотношения (41) необходимо дополнить целевой функцией, а также ограничениями, накладываемыми на параметры и механические характеристики . В качестве целевой функции принимается первая норма вектора :

(47)

Ограничениями являются условия:

Для получения проектных параметров , обеспечивающих требование , рекомендуется алгоритм, состоящий в выделении области, содержащей глобальный оптимум, и использовании далее метода конфигураций Хука-Дживса для уточнения положения данного оптимума.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Получены разрешающие уравнения метода конечных элементов для анализа упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций. За основные неизвестные приняты узловые перемещения конечно-элементной модели конструкции. Для определения несущей способности конструкций рекомендованы разрешающие уравнения, записанные в приращениях. Рассмотрены алгоритмы последовательной линеаризации упруго-пластической задачи на основе метода переменной жесткости, метода упругих решений А.А. Ильюшина и метода шагового нагружения. Для определения упруго-пластического состояния и несущей способности тонкостенных конструкций выбран метод шагового нагружения, как наиболее универсальный и удобный для практической реализации.

2. Получены матричные соотношения связи приращений напряжений с приращениями деформаций (физические зависимости) в упруго-пластическом состоянии изотропного материала на основе деформационной теории пластичности и теории пластического течения при деформационном упрочнении Мизеса. Рассмотрен тестовый пример определения упруго-пластического состояния пластины с отверстием с использованием указанных физических зависимостей. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными. Для определения упруго-пластического состояния элементов тонкостенных конструкций выбраны физические зависимости теории пластического течения.

3. Разработан метод определения упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций разветвленной структуры, учитывающий совместную работу агрегатов конструкции на основе расчета каждого из них как изолированного. Стыковка решений, осуществляется с использованием условия равенства сил взаимодействия в узлах сочленения агрегатов. Рассмотрен пример определения упруго-пластического состояния разветвленной конструкции, состоящей из части фюзеляжа и крыла, подтверждающий достоверность разработанного метода.

4. В отличие от существующих в настоящее время расчетных моделей, использующих одну и ту же совокупность допущений для всей конструкции, предложены гибридные расчетные схемы (ГРС), основанные на сочетании различных гипотез в разных частях конструкции. Это дает возможность существенно снизить трудоемкость определения напряженно-деформированного состояния элементов тонкостенных конструкций за счет уменьшения порядка систем разрешающих уравнений. Данный вопрос является особенно актуальным при определении упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций, поскольку в этом случае системы разрешающих уравнений необходимо формировать и решать многократно.

Предложена концепция базовой модели (БМ) для построения системы разрешающих уравнений ГРС, а также оценки эффективности и точности различных ГРС. В качестве БМ выбрана исходная конечно-элементная модель конструкции. Приведен пример определения упруго-пластического состояния стреловидного крыла с использованием трех ГРС: ГРС1; ГРС2; ГРС3. Для построения ГРС1 использована БМ с наложением в части сечений гипотезы неизменяемости формы поперечного сечения (ГНФПС). В ГРС2 и ГРС3 к ГНФПС в тех же сечениях добавлены соответственно гипотеза линейной депланации (ГЛД) и гипотеза плоского сечения (ГПС). Из трех отмеченных ГРС существенное снижение числа независимых параметров (почти в три раза) при незначительном изменении результатов по сравнению с БМ дает ГРС2. Использование ГРС3 дает удовлетворительные результаты только в области гипотез БМ.

5. Проведен анализ математических моделей неидеально упругих материалов. Рассмотрены особенности деформирования материалов с амплитудно-зависимым рассеянием энергии. Для циклических процессов наиболее удобными являются гистерезисные уравнения, содержащие непосредственно логарифмический декремент колебаний материала и некоторые функции, определяющие форму петли динамического гистерезиса. Приведены физически обоснованные нелинейные зависимости напряжений от деформаций при произвольном законе деформирования, построенные на основе реологической модели упруго-пластического материала А.Ю. Ишлинского, состоящей из непрерывного множества упруго-пластических элементов. Демпирующие свойства отмеченной модели материала учитываются спектральной плотностью безразмерных пределов текучести ее элементов. Разработан метод идентификации функции , по общепринятым характеристикам демпфирования материала (логарифмическому декременту или демпфирующей способности ), открывающий возможность адекватного учета демпфирующих свойств материала при нестационарных колебаниях конструкций.

6. Получены нелинейные дифференциальные уравнения движения конечно-элементной модели конструкции с упруго-гистерезисным и вязкоупругим материалом без каких-либо ограничений на характер ее движения и закон нагружения. Показано, что при гармонических установившихся (стационарных) колебаниях данные дифференциальные уравнения сводятся к системе нелинейных алгебраических уравнений, порядок которой равен удвоенному числу степеней свободы конечно-элементной модели конструкции. Разработаны итерационные алгоритмы решения данных нелинейных уравнений на основе коррекции амплитуд деформаций конечных элементов в конце текущей итерации с использованием параметра сдвига и метода пропорционального деления. Проведены численные эксперименты по оценке сходимости разработанных итерационных алгоритмов. По результатам экспериментов выбран алгоритм, использующий параметр сдвига .

7. Получены соотношения для формирования матриц гистерезисного демпфирования типовых конечных элементов, используемых при моделировании стержневых, тонкостенных и монолитных конструкций. Проведены численные эксперименты по апробации полученных соотношений и разработанных на их основе вычислительных программ анализа стационарной динамической реакции тонкостенных конструкций, подтверждающие достоверность данных соотношений и надежную работу программ.

8. Отмечено что, наиболее общим методом анализа динамической реакции произвольных неупругих систем является численный метод шагового интегрирования дифференциальных уравнений движения таких систем. Рассмотрены шаговые методы интегрирования дифференциальных уравнений движения механических систем, основанные на предпосылке о линейном законе изменения ускорения на текущем временном шаге: метод линейного ускорения; - метод Вильсона и метод Ньюмарка. На примере плоской фермы показано, что при обычной форме записи дифференциальных уравнений, в которой силы упругого и неупругого сопротивления материала учитываются вместе в левой части этих уравнений, ни один из трех рассмотренных методов не дает положительного результата (стремления переходного процесса к стационарному решению при резонансе). Исходя из этого, предложено учитывать неупругие силы в правой части уравнений движения, в результате чего положительные результаты получены при использовании двух методов: - метода Вильсона и метода Ньюмарка. Отмеченное предложение представляет, по сути, обобщение метода упругих решений на физически нелинейные задачи динамики конструкций.

Проведены численные эксперименты по оценке скорости сходимости и точности - метода Вильсона и метода Ньюмарка в зависимости от шага интегрирования при выходе конструкции (плоской фермы) в режим установившихся резонансных колебаний путем сравнения полученных результатов со стационарным решением, полученным в главе 4. Установлено, что при уменьшении погрешность метода Ньюмарка снижается существенно быстрее, чем погрешность - метода Вильсона. Для шагового интегрирования дифференциальных уравнений движения демпфированных конструкций рекомендовано использовать метод Ньюмарка.

9. Рассмотрено влияние параметров и , определяющих области безусловной устойчивости - метода Вильсона и метода Ньюмарка, на точность получаемого решения. Наивысшая точность в обоих методах получается при минимальных значениях параметров, обеспечивающих устойчивость процесса шагового интегрирования: в - методе Вильсона ; в методе Ньюмарка . Увеличение параметров и , относительно их минимальных значений в обоих методах дает заметный демпфирующий эффект.

10. Приведены тестовые примеры определения динамической реакции конструкций (стержня, прямоугольной пластины при плоском напряженном состоянии, пространственной фермы), показывающие возможность использования метода Ньюмарка и отмеченной выше реологической модели А.Ю. Ишлинского для учета демпфирующих свойств материала при нестационарных колебаниях конструкций. Приведен пример определения нестационарной динамической реакции близкой к реальной тонкостенной конструкции (киля самолета-орбитера) на действие кратковременного бокового импульса. Для учета демпфирующих свойств материала использована отмеченная выше реологическая модель. Считалось, что киль имеет теплозащитное покрытие (ТЗП), которое не оказывает сопротивления действию нагрузки, но увеличивает массу и демпфирующую способность конструкции. Демпфирующие свойства ТЗП учитывались с использованием концепции вязкого демпфирования. Полученные результаты согласуются с представлениями о реакции конструкции на указанное динамическое воздействие.

11. Поставлена и решена обратная задача, состоящая в определении амплитудной зависимости логарифмического декремента материала по заданным характеристикам демпфирования конструкции. В качестве последних выбраны значения коэффициента динамичности при резонансе для нескольких низших собственных форм колебаний конструкции. Приведен пример определения зависимости от амплитуды деформации для материала полок лонжеронов трапециевидного крыла, обеспечивающей требуемые значения (). Показано, что для получения практически реализуемой зависимости необходимо вводить систему ограничений, определяющих характер данной зависимости.

12. Разработаны принципы построения математической модели демпфирующего сплава и методы определения его проектных параметров (содержания легирующих элементов и показателей режимов термообработки), обеспечивающие требуемые прочностные, пластические и демпфирующие свойства сплава. Разработаны методы оптимизации указанного комплекса свойств демпфирующего сплава и анализа чувствительности полученных оптимальных решений к возможным отклонениям его проектных параметров.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шишкин В.М. Определение упруго-пластического состояния тонкостенных конструкций разветвленной структуры методом подконструкций // Изв. вузов. Авиационная техника. 2005. №1. С. 13-16.

2. Шишкин В.М. Формирование матрицы демпфирования треугольного конечного элемента при изгибе // Изв. вузов. Авиационная техника. 2005. №2. С. 8-11.

3. Шишкин В.М. Формирование систем разрешающих уравнений для анализа стационарной динамической реакции неидеально упругих конструкций // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2005. №2. С. 35-38.

4. Шишкин В.М. Идентификация демпфирующих свойств реологической модели материала, основанной на эффекте микропластических деформаций // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2006. №2. С. 35-39.

5. Шишкин В.М. Учет амплитудно-зависимого рассеяния энергии в материале при резонансных колебаниях конструкций // Известия Международной академии наук высшей школы. 2006. №2. С. 188-198.

6. Левашов П.Д., Шишкин В.М. К вопросу о формировании многомерных матриц жесткости с полями перемещений любого порядка // Изв. вузов. Авиационная техника. 1982. №2. С. 69-72.

7. Скворцов А.И., Кондратов В.М., Агапов А.И., Шишкин В.М. Термическая обработка демпфирующих сплавов на основе железо-углерод // Технология металлов. 2006. №11. С. 16-21.

8. Кондратов В.М., Скворцов А.И., Агапов А.И., Шишкин В.М. Термомагнитная обработка - как способ повышения демпфирующей способности сплавов железа // Прогрессивные технологии и системы машиностроения. Международный сборник научных трудов. Вып. 32. Донецкий национальный технический университет. Донецк, 2006. С. 267-271.

9. Левашов П.Д., Шишкин В.М. К вопросу учета работы элементов тонкостенных конструкций на изгиб // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Казань: КАИ, 1981. С. 55-60.

10. Левашов П.Д., Шишкин В.М. О вычислении элементов матриц жесткости с помощью полиномов третьего порядка // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Казань: КАИ, 1983. С. 39-45.

11. Левашов П.Д., Шишкин В.М. Применение вспомогательных гипотез при расчете тонкостенных конструкций на основе гибридных расчетных схем // Прочность и колебания авиационных конструкций. Казань: КАИ, 1984. С. 43-50.

12. Шишкин В.М. Конечно-элементные модели в колебаниях неидеально упругих конструкций // Монография. Киров: изд-во ВятГУ, 2004. 72 с.

13. Кондратов В.М., Шишкин В.М. Математическое моделирование и проектирование демпфирующих сплавов // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 1. Киров, 2007. С. 303-307.

14. Шишкин В.М. Учет внутреннего трения материала в нестационарных режимах нагружения конструкций // Сб. материалов VIII Всероссийской конф. “Демпфирующие материалы”. Киров, 1999. С. 93.

15. Шишкин В.М. Динамический расчет конструкций с учетом демпфирующих свойств материала, зависящих от скорости деформации // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 3. Киров, 2001. С. 219-220.

16. Шишкин В.М. Формирование матриц жесткости, масс и демпфирования балочного конечного элемента с демпфирующим покрытием // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 3. Киров, 2001. С. 221-222.

17. Шишкин В.М. Определение коэффициента гистерезисного отклонения при формировании матрицы демпфирования балочного конечного элемента // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 3. Киров, 2002. С. 48-49.

18. Шишкин В.М. Применение гибридных расчетных схем к исследованию упруго-пластического состояния элементов авиационных конструкций // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2003. С. 167-168.

19. Шишкин В.М. Формирование разрешающих уравнений для анализа упруго-пластического состояния составных конструкций // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2003. С. 169-170.

20. Шишкин В.М. Модифицирование структуры систем разрешающих уравнений при определении стационарной динамической реакции демпфированных конструкций // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2004. С. 164-165.

21. Шишкин В.М. Особенности шагового интегрирования дифференциальных уравнений движения конструкций с материалом гистерезисного типа // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2004. С. 166-168.

22. Шишкин В.М. Синтез амплитудной зависимости демпфирующей способности материала по заданным характеристикам демпфирования конструкции // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2004. С. 169-171.

23. Шишкин В.М. Анализ влияния параметров, определяющих безусловную устойчивость метода Ньюмарка, на точность интегрирования уравнений движения неидеально упругих конструкций // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 3. Киров, 2005. С. 242-244.

24. Шишкин В.М. Процедура глобального сглаживания напряжений в конечно-элементных моделях конструкций // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 3. Киров, 2005. С. 245-247.

25. Шишкин В.М. Выбор функции микропластичности для моделирования демпфирующих свойств изотропного упруго-пластического материала // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2006. С. 302-306.

26. Шишкин В.М. Решение обратной задачи динамики при резонансных колебаниях конструкций с линейно-гистерезисным материалом // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2006. С. 307-310.

27. Кондратов В.М., Шишкин В.М. Математическое моделирование и проектирование демпфирующих сплавов // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 3. Киров, 2007. С. 187-191.

28. Шишкин В.М. Построение матрицы мгновенных упруго-пласти-ческих модулей изотропного материала при малых приращениях напряжений и деформаций // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2007. С. 319-323.

29. Шишкин В.М. Решение задачи поиска характеристик демпфирования материала по заданным коэффициентам динамичности конструкции при резонансе // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2007. С. 324-328.

30. Шишкин В.М. Выбор метода последовательной линеаризации при конечно-элементном решении упруго-пластической задачи // Сб. материалов Всероссийской научно-техн. конф. “Наука-производство-технология-экология”. Т. 5. Киров, 2007. С. 338-342.

31. Шишкин В.М. Определение функции микропластичности для учета демпфирующих свойств изотропного материала в нестационарных режимах деформирования // Сб. материалов XV Международной конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. Алушта, 2007. С. 520-521.

32. Шишкин В.М. К вопросу об учете демпфирующих свойств материала при резонансных колебаниях конструкций. В кн.: Наука и технологии. Труды XXVII Российской школы, посвященной 150-летию К.Э. Циолковского, 100-летию С.П. Королева и 60-летию Государственного ракетного центра “КБ им. академика В.П. Макеева”. М.: РАН, 2007. С. 210-217.

Размещено на Allbest.ru