Частотные модели и методы анализа робастности динамических систем

Размещено на http://allbest.ru

36

На правах рукописи

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Частотные модели и методы анализа робастности динамических систем

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Чечурин Леонид Сергеевич

Санкт-Петербург - 2010

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» (СПбГПУ)

Научный консультант: д. ф.-м. н. Скубов Д.Ю. (СПбГПУ)

Официальные оппоненты:

засл. деятель науки и техники РФ, лауреат Государственной премии СССР, д. т. н., проф. Шахтарин Б.И. (МГТУ им. Н.Э.Баумана)

д. т. н., проф. Шашихин В.Н. (СПбГПУ)

д. т. н., проф. Тимофеев А.В. (СПИИ РАН)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет

Защита диссертации состоится 3 июня 2010 г. в 14 часов на заседании Диссертационного совета Д 212.229.10 в Санкт-Петербургском государственном политехническом университете по адресу: 194251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке СПбГПУ.

Автореферат разослан «____» _____________ 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, Кудряшов Э.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Основные усилия в области исследований моделей динамических объектов, имеющей с 80-х годов прошлого века наименование "робастность", сосредоточены на решении следующих общих задач анализа и синтеза. Анализ: пусть построена модель, описывающая состояние некоторого объекта, и выбран показатель качества. Спрашивается, сохраняется ли выбранное качество, если параметры, описывающие объект или действующее на него возмущение, претерпевают изменения в некотором достаточно широком диапазоне?

Синтез: как построить объект, гарантирующий сохранение вышевыбранного качества при изменении параметров? Обоснованный ответ на эти вопросы, очевидно, весьма интересен для практики, где неопределенность неизбежна по двум причинам. Во-первых, параметры объекта, а иногда и структура изучаемой системы могут быть подвержены изменениям, т.е. отличаться от номинальных в принятой модели. Во-вторых, любая модель в большей или меньшей степени упрощает свой физический оригинал, это отличие можно трактовать как неопределенность описания. И в том, и в другом случае заключение о робастности позволит дать определенные гарантии применимости проведенного анализа к реальному объекту.

Историю анализа поведения системы в случае различных возмущений ее описания можно отсчитывать уже с ранних работ по устойчивости колебаний. Самостоятельное имя, постановку и набор инструментов направление исследования робастности получало в течение трех последних десятков лет (отправным пунктом обычно называют работы Дж. Зеймса). С тех пор оно неизменно попадает в списки разделов важнейших международных конференций и периодики по теории динамических систем.

В этом направлении трудятся многие отечественные ученые: В.Л. Харитонов, Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков, А.П.Курдюков, В.Л. Харитонов, Г.А. Леонов, Н.Е. Барабанов, А.Н. Чурилов, А.В. Тимофеев, А.Х. Гелиг, Б.И. Шахтарин, К.А. Пупков, а также зарубежные исследователи А. В.-д.-Шафт, А. Исидори, Ж. Слотин, К. Дойл, Дж. Гловер, Б. Френсис, К. Шерер, Х. Квакернаак, П. Гайне, А. Немировский и др. Многие из указанных исследований отличаются строгой постановкой задачи и используют надежный, но абстрактный формализм, который не всегда соотносится с особенностями инженерной практики и, как правило, не дает возможности вскрыть физический смысл результатов. Следствием этого является относительно слабое проникновение методов робастности в практическую деятельность.

Кроме того, для известных подходов к анализу робастности характерно отсутствие общности, выражающееся в строгом разделении методов исследования для различных классов систем. Актуальна необходимость пополнения такой академичной теории единым и достаточно (хотя бы и приближенным) наглядным подходом к оценке робастности, использующим физически измеримые величины.

Фундамент такого подхода логично искать в частотных математических моделях и построенных на них методах анализа динамических процессов, распространенных на нестационарные и нелинейные системы с помощью гармонического приближения (это направление сформировано работами Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова и развито Л.С. Гольдфарбом, В.М. Поповым, Дж. Бонджиорно, Е.П. Поповым, Е.И. Хлыпало и др.). Таким образом, основная идея представляемой к защите работы связана с разработкой частотных математических моделей динамических объектов, а также с развитием качественных и приближенных частотных методов анализа робастности различных классов нестационарных и нелинейных систем.

Цель работы заключается в решении проблемы разработки частотных математических моделей и создания на этой основе общей частотной методологии оценки робастности динамических систем. Задачи, решаемые для достижения цели, состоят в:

1. развитии методов анализа и синтеза линейных робастных стационарных систем управления,

2. создании частотных моделей и методов оценки робастности в нестационарных системах,

3. создании частотных моделей и методов оценки робастности процессов в нелинейных системах.

Методы исследования. В качестве основы для разработки новых аналитических результатов использовались теория дифференциальных уравнений, теория автоматического управления, функциональный анализ, теория колебаний, метод гармонического баланса, метод стационаризации. Для проверки получаемых результатов применялся численный эксперимент.

Научная новизна заключается в развитии нового единого (частотного) подхода к анализу робастности стационарных, нестационарных и нелинейных динамических систем. Для ряда известных задач исследования робастной устойчивости получены новые решения в форме точных и приближенных частотных критериев устойчивости для достаточно широких классов нестационарных и нелинейных объектов.

Предложен ряд новых постановок задач оценки робастности применительно к различным классам неопределенности нестационарных (устойчивость систем с периодическим изменением параметра, периодическим изменением структуры и др.) и нелинейных (устойчивость процессов на классах нелинейностей, амплитуд и частот входного сигнала и др.) систем и получены их решения в форме приближенных частотных критериев. Для анализа линейных объектов с распределенными параметрами предложена новая методика получения их частотных математических моделей. Разработан новый способ частотного моделирования ряда экономических объектов.

Практическая ценность полученных результатов заключается в появившейся возможности оценки робастности широкого класса нестационарных и нелинейных систем управления по построенным или полученным из эксперимента частотным характеристикам их линейных частей. Диссертация содержит главу, специально посвященную примерам анализа робастности применительно к различным техническим и экономическим системам. Прилагаются документы о внедрении и использовании результатов диссертации.

Достоверность полученных результатов подтверждается использованием достоверных исходных положений и их развитием с помощью формального математического аппарата. Все полученные таким образом результаты подтверждались численными экспериментами.

На защиту выносятся:

1. Для линейных стационарных объектов:

- асимптотическая модификация синтеза робастного регулятора по двум уравнениям Риккати при сингулярности стандартной H задачи, - методика получения передаточных функций объектов с распределен-ными параметрами,

- методика редукции робастного регулятора.

2. Методика составления частотных математических моделей для исследования робастности.

3. Частотно-алгебраические критерии робастной устойчивости нелинейных и нестационарных систем.

4. Частотные оценки робастной устойчивости нестационарных систем.

5. Частотные оценки робастности процессов в нелинейных системах.

6. Решение прикладных задач.

Апробация работы проводилась на ряде научных конференций и семинаров, из которых наиболее значимые:

· «Advanced Summer Institute - ASI», Тулуза (Франция), LAAS, 1996 г.

· «Annual Meeting of Korean Mechanical Society», Куми (Южная Корея), 1998 г.

· IASTED International Conference on Modeling, Identification and Control, Иннсбрук (Австрия), 1999 г.

· «Advanced Problem in Mechanics - APM», Репино, 2003 и 2005 г.г.

· «Physics and Control - PhysCon», Санкт-Петербург, 2004 и 2005 г.г.

· «ASME International Design Engineering Technical Conferences and Computers in Engineering Conference», Лас-Вегас (США), 2007 г.

· Научный семинар лаборатории «Управление сложными системами» Института проблем машиноведения РАН (рук. проф. А.Л. Фрадков)

· Научный семинар кафедры «Прикладная математика и кибернетика» факультета математики и механики Санкт-Петербургского государственного университета (рук. чл.-корр. РАН Г.А. Леонов)

· Научный семинар лаборатории №7 Института проблем управления РАН (рук. проф. Б.Т. Поляк).

Диссертация содержит 255 страниц, 124 рисунка, 4 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава диссертации является вводной. В ней формулируются цели и задачи диссертации, вводятся определения робастности, приводится контекст диссертации в форме краткого исторического обзора исследований, связанных с этой тематикой.

Несмотря на относительную молодость самого термина «робастность», работы, либо в чистом виде относящиеся к этой теме, либо связанные с ней теснейшим образом, обнаруживаются уже среди ранних трудов по теории колебаний, теории устойчивости и математической теории динамических систем.

Так, один из важнейших методов анализа динамических объектов - метод малого параметра А. Пуанкаре, основан на весьма близкой идее оценки влияния малых возмущений на решение уравнений опорной модели.

В сущности, историю могут представить связанные с математическим моделированием неопределенности работы И.А. Вышнеградского, А.Н. Крылова, Ю.И. Неймарка, методы оценки устойчивости нелинейных систем А.М. Ляпунова, анализ грубости нелинейных систем А.А. Андронова и Л.С. Понтрягина, труды по абсолютной устойчивости В.Д. Якубовича, Б.Н. Наумова и Я.З. Цыпкина, М.А. Айзермана, Р. Калмана и многих других. Современную эру исследования робастности систем с обратной связью открыли работы Дж. Зеймса (1970 г.), где впервые появился сам этот термин. Успехи в оптимизации с равномерно-частотной нормой (В.Д. Адамян, Д.З. Аров, М.Г. Крейн, Дж. Дойл, К. Гловер, Б. Френсис) породили множество работ с H-м критерием, ставшим на некоторое время синонимом робастности. Это труды К. Шерера, Х. Квакернаака, А.А. Первозванского, работы, связанные с использованием линейных матричных неравенств, ЛМН (П. Гайне, А. Немировского, А.Н. Чурилова и А.В. Гессена и др.).

К аспектам анализа робастности нелинейных динамических систем относятся современные работы А. Исидори, А.в.-д. Шафта, Ж. Слотина, Г.А. Леонова, А.Е. и Н.Е. Барабановых, использующие классические методы.

Отдельные ветви составляют исследования устойчивости интервальных полиномов на основе годографа Михайлова (В.Л. Харитонов, Б.Т. Поляк, С. Бхатачарья), интервальных матриц на основе анализа уравнений Лурье-Риккати (В.Н. Шашихин) и работы по определению радиуса устойчивости для возмущений матриц, в т.ч. нестационарных (Д.Хинришен и А.Притчард).

Большой востребованностью в инженерном деле отличаются методы, объединенные использованием частотного анализа и передаточных функций. При этом известный критерий устойчивости Найквиста (1932 г.) можно рассматривать как первый частотный инструмент исследования устойчивости линейных стационарных систем при непараметрическом возмущении.

Важной вехой стала работа А.И. Лурье (1956 г.), открывшая возможности представления нелинейных систем в форме систем с обратной связью. В развитие частотного направления внесен вклад Н.М. Крыловым, Н.Н. Боголюбовым, а также Л.С. Гольдфарбом, В.М. Поповым, Дж. Бонджиорно, Е.П. Поповым, Е.И. Хлыпало, Е.Н. Розенвассером и др.

Вторая глава посвящена анализу робастности линейных стационарных систем управления при параметрической и структурной неопределенности в описании объекта, построению частотных моделей систем с распределенными параметрами и вопросам робастной редукции математических моделей систем управления.

В начале главы обсуждается моделирование неопределенности описания объекта управления и, когда это имеет смысл, оценка его устойчивости на классе этих возмущений.

Дается краткий обзор известных подходов к оценке устойчивости объектов управления, параметры которых стационарны, но могут принадлежать некоторым интервалам (так называемые интервальные системы). Разделяются случаи возмущения матриц пространства состояний и коэффициентов (знаменателя) дробно-рациональной передаточной функции (далее - п.ф.) объекта G(p).

Для первого случая перечисляются методы теории возмущений матриц и выделяется методика, использующая линейные матричные неравенства. Для второго случая излагается теоретическая основа частотного анализа, используемая для получения ряда новых результатов. Приводится постановка задачи анализа структурных возмущений, связанных, как правило, с изменением порядка передаточной функции объекта.

Возмущения номинальной (возможно, матричной) устойчивой п.ф. G₀(p) обозначаются ?G(p) и называются в зависимости от того, как они входят в п.ф. исследуемого объекта:

- аддитивными ?_A, если ,

- мультипликативными ?_P, если ,

- дробно-рациональными [?_M(p), ?_N(p)], если G₀(p) = M₀(p)/N₀(p),

,

где M₀(p), N₀(p), ?_M(p), ?_N(p) - устойчивые строго реализуемые дробно-рациональные п.ф. Как правило, ограничения на возмущения (p) задаются в форме нормы или частотно-зависимой мажоранты:

или ,

где - максимальное сингулярное собственное число матрицы а, |||| -верхняя граница этого числа по частотам (или H норма п.ф.).

Характер разрабатываемого единого частотного подхода к анализу робастности требует получения частотных моделей объектов с распределенными параметрами.

Для этого разработана методика получения их в форме п.ф., позволяющая строить приближения заданного порядка (порядок явно входит в выражение аппроксимирующей п.ф.).

Во-первых, это достаточно простой способ построения частотной модели линейной части системы, необходимой, в частности, для подходов к анализу нестационарных и нелинейных систем, разрабатываемых в следующих главах. динамический робастность нестационарный модель

Во-вторых, это дает возможность исследовать робастность замены реального объекта с бесконечным числом степеней свободы конечномерным. Суть методики иллюстрируется простым случаем моделирования колебаний круглого вала постоянного сечения, описываемого уравнением в частных производных второго порядка. Затем она применяется к более сложной задаче построения частотной модели балки Тимошенко, описываемой следующей системой уравнений

,

, (1)

,

,

где x - линейная координата оси балки, f(x,t) - распределенная нагрузка, V(x,t) - перерезывающая сила, M(x,t) - перерезывающий момент, w(x,t) - прогиб, (x,t) - угол поворота сечения; А, I, G, , k - параметры балки.

Определенная схема конечно-разностной аппроксимации сводит (1) к дифференциально-разностному уравнению. К нему применяются обыкновенное (по времени) и дискретное (по координате) преобразования Лапласа с получением алгебраической системы уравнений, в данном случае легко разрешаемой.

Совершив обратное z-преобразование, получаем искомые п.ф. как явные функции номера ячейки (сечения) n:

 ,

,

,

,

где r_i, u_i, , w - выражения с физическими параметрами системы. Учет граничных условий приводит к матричному выражению вида

,

где а_ij - некоторые трансцендентные функции от n и p. При p=j оно имеет смысл частотных характеристик при различных граничных условиях. Построение обратного z-преобразования является сложной аналитической процедурой и не всегда возможно, это ограничивает применение метода.

Следующий раздел посвящен развитию метода синтеза обратной связи для объектов с неопределенностью. Приведены краткие обзоры истории вопроса, постановки задач и современных подходов (в большинстве своем опирающихся на ЛМН) к синтезу регулятора. Акцент сделан на постановке задачи и методах решения в частотной области, а именно: на задаче робастной фильтрации внешних возмущений неизвестного, но ограниченного по мощности спектра, и сводимой к ней задаче синтеза стабилизирующего регулятора для объекта с ограниченными аддитивными возмущениями в п.ф.

Кратко разъяснена причина возникновения сингулярности стандартной процедуры синтеза робастного регулятора в ряде постановок (например, в случае так называемой оптимизации функционала смешанной чувствительности) и предложено усовершенствование - асимптотическая модификация, корректность которой обосновывается двумя теоремами.

Рис. 1. Задача синтеза робастного управления при дробно-рациональных возмущениях в объекте: a) общий вид, б) эквивалентная схема

Теорема 1: Две следующие задачи эквивалентны:

1. Максимизация запаса устойчивости при структурных возмущениях объекта (рис. 1, a)

G₀(p)= M₀^-1(p) N₀(p), M(p) = M₀(p) + _M (p), N(p) = N₀(p) + _N (p).

2. Минимизация H нормы передаточной функции T_z(p) в следующей системе (рис. 1,б)

y = H₀(p)u = M₀^-1(p) N₀(p) u, u= K(p)y,

,

, ,

где |U(j)| и |V(j)| - частотные мажоранты максимального сингулярного собственного числа _M(j) и _N(j), соответственно.

Теорема 2: Пусть все нули знаменателя передаточной функции V(p)M₀^-1(p) принадлежат открытой левой полуплоскости. Пусть матрицы [A, B_i ,C_i ,D_ij] есть матрицы пространства состояний задачи рис. 1, б. Тогда

где ()= max{_P, _D(), ()}. Здесь _P обозначает нижнюю границу значений параметра , при которых существует положительно определенное решение P уравнения

A^TP + PA - P(B₂ B₂^T - ^-2 B₁ B₁^T)P + C₁^T C₁ = 0,

_D() обозначает… (аналогично) …решение D уравнения

AD + DA^T - D( ^-2C₂^TC₂ - ^-2 C₁^TC₁)D + B₁B₁^T = 0,

() обозначает нижнюю границу значений параметра , при котором выполняется неравенство

^-2 {P()D(,)} <1 .

Теоремы обосновывают искусственное введение малых шумов измерений y=C₂х + , где малая положительная величина, и дают возможность применять стандартные программы Matlab.

Это использовано при синтезе робастного управления ротором на магнитном подвесе (глава 5).

Рассматривается задача робастной редукции. Это обусловлено естественным желанием оставить в построенной модели объекта управления лишь наиболее существенное или, зная оценку разницы между оригиналом и аппроксимацией ||(p)||=||G(p)-G_ред(p)||, строить робастные по отношению к ней регуляторы.

Кроме того, для практического использования любых регуляторов, построенных классическими методами, необходимо постараться обоснованно снизить их порядок (регуляторы, построенные, например, методами пространства состояний, имеют высокую размерность, как минимум, равную размерности управляемого объекта).

Приведена конструкция нового алгоритма синтеза робастного регулятора заданной размерности на основе ЛМН, суть которого разъясняется в главе, посвященной решению прикладных задач.

Глава завершается рассмотрением задачи обеспечения робастности по показателям качества линейных стационарных управляемых систем, причем в качестве показателей качества выбраны H₂- и/или H-нормы. Приводится краткий обзор по актуальной задаче так называемого смешанного H₂/H управления и подходам к ее решению.

Исходя из свойств оптимального по равномерно-частотной норме регулятора и полученного опыта вычислений, сформулирован ряд рекомендаций для практиков, в частности, касающихся целесообразности использования субоптимальных решений.

Третья глава посвящена аспектам робастной устойчивости линейных нестационарных систем и открывается кратким обсуждением используемых исходных положений: это достаточный критерий устойчивости нестационарных систем Бонджиорно и метод гармонической стационаризации.

Затем изложены основные результаты.

Частотно-алгебраический достаточный критерий устойчивости класса нестационарных систем. Пусть в периодически нестационарной системе с параметром a(t)

N(p)x(t) + M(p)[a(t)x(t)]=0, (2)

полиномы имеют вид

N(p)=b_npⁿ + b_n-₁pⁿ-¹ +…..+b₁p+b₀ , M(p)=c_n-₁pⁿ-¹ + c_n-₂pⁿ-² +…...+c₁p+c₀ .

(Эквивалентная для задачи устойчивости структурная схема приведена на рис. 2, где W(p)=M(p)/N(p)).

Пусть периодический параметр имеет вид a(t)= a₀ + a(t), где a₀ - постоянная составляющая (среднее) параметра, a(t) - ограниченная центрированная периодическая составляющая, то есть a(t) a.

Рис. 2. Линейная автономная нестационарная система

Рассматривается полином

D(p)=dn pn+dn-1pn-1 +… + d1p+d0=0, (3)

комплексные коэффициенты которого имеют вид d_i=b_i+(a₀+acos+jasin)c_i и их действительные Red_i и мнимые Imd_i части, соответственно, ограничены интервалами [_i , _i ] и [_i , _i ], причем

_i = b_i + (a₀+a)c_i , _i = b_i + (a₀-a)c_{i i} = a , _i = - a .

Утверждение. Для устойчивости колебаний периодически нестационарной системы (2) достаточно робастной параметрической (интервальной) устойчивости по системы, описываемой характеристическим уравнением (3), устойчивость которой проверяется гурвицевостью восьми полиномов

D₁⁺(p) = (₀ +j₀) + (₁ +j₁)p + (₂ +j₂)p² + (₃ +j₃)p³ + (₄ +j₄)p⁴ + (₅ +j₅)p⁵ + …,

D₂⁺(p) = (₀ +j₀) + (₁ +j₁)p + (₂ +j₂)p² + (₃ +j₃)p³ + (₄ +j₄)p⁴ + (₅ +j₅)p⁵ + …,

D₃⁺(p) = (₀ +j₀) + (₁ +j₁)p + (₂ +j₂)p² + (₃ +j₃)p³ + (₄ +j₄)p⁴ + (₅ +j₅)p⁵ + …,

D₄⁺(p) = (₀ +j₀) + (₁ +j₁)p + (₂ +j₂)p² + (₃ +j₃)p³ + (₄ +j₄)p⁴ + (₅ +j₅)p⁵ + … ,

D₁-(p) = (₀ +j₀) + (₁ +j₁)p + (₂ +j₂)p² + (₃ +j₃)p³ + (₄ +j₄)p⁴ + (₅ +j₅)p⁵ + …,

D₂-(p) = (₀ +j₀) + (₁ +j₁)p + (₂ +j₂)p² + (₃ +j₃)p³ + (₄ +j₄)p⁴ + (₅ +j₅)p⁵ + …,

D₃-(p) = (₀ +j₀) + (₁ +j₁)p + (₂ +j₂)p² + (₃ +j₃)p³ + (₄ +j₄)p⁴ + (₅ +j₅)p⁵ + …,

D₄-(p) = (₀ +j₀) + (₁ +j₁)p + (₂ +j₂)p² + (₃ +j₃)p³ + (₄ +j₄)p⁴ + (₅ +j₅)p⁵ + … . (4)

Критерий доказывается представлением окружности Бонджиорно через возмущения комплекснозначных интервальных коэффициентов годографа характеристического полинома D(p,). Устойчивость семейства возмущенных комплексных полиномов в соответствии с теоремой Харитонова определяется гурвицевостью восьми полиномов (для случая M(p)=1 - четырех или даже, с учетом критерия Цыпкина-Поляка, одного).

Приведены примеры расчета и разъяснение природы достаточности критерия. Таким образом, получена частотная модель нестационарного объекта, на основе которой построен алгебраический критерий оценки робастности интервальных нестационарных систем, сводящихся к описанию вида (2).

Приближенный частотно-алгебраический критерий отсутствия m-го параметрического резонанса уточняет полученную оценку. Однако, оставаясь алгебраическим, является уже лишь приближенным. Его построение и формулировка отличаются от предыдущего тем, что вместо окружности Бонджиорно радиуса a используется другая модель, построенная на базе одночастотного гармонического приближения. Это окружность m-го параметрического резонанса (или окружность годографа стационаризованной передаточной функции параметра a(t), соответствующей m-у параметрическому резонансу), радиус которой

.

Так, для обычно наиболее опасного случая первого параметрического резонанса при синусоидальном изменении a(t) вместо a в коэффициентах полинома (3) следует использовать . Приведены несколько примеров, показывающих эффективность критерия в случае, когда закон изменения параметра далек от гармонического.

Предложенный подход к оценке устойчивости, в отличие от результата Д. Бонджиорно, обобщается на случай синхронного, но не синфазного изменения нескольких параметров.

Приближенный критерий робастности нестационарных интервальных систем дает возможность оценить их устойчивость на классе функций изменения параметра.

Суть подхода заключается в построении новой математической модели, полученной на основании огибающей семейства окружностей параметрического резонанса для данного класса функций изменения параметра.

Проиллюстрируем подход оценкой робастности нестационарной системы в случае, когда изменения параметра ограничены в среднем. Пусть неограниченный по величине положительный периодический параметр имеет среднее за период постоянное значение, равное a/2.

Пусть также параметр принимает за период лишь два предельных значения 0 и a_max, как показано на рис. 3, а, причем a_max=a/2. Центр семейства окружностей (первого) параметрического резонанса (среднее значение параметра) постоянен и отстоит от начала координат на a/2. Величина первой гармоники

.

Следовательно, радиус окружности первого параметрического резонанса

.

Максимальной величины радиус семейства окружностей в диапазоне изменения 0 1 достигает при = 0 и составляет r_max=a/2 .

Поскольку все окружности концентрические, то огибающая их есть окружность максимального радиуса

.

Рис. 3. К оценке робастности нестационарной системы: а) закон изменения параметра, б) плоскость годографа Найквиста с запрещенной (заштрихована) для обеспечения робастности областью

Окружность проходит через начало координат в плоскости обратного годографа Найквиста, то есть, на классе указанных возмущений исследуемая система робастна, если обратный годограф не попадает внутрь окружности. В плоскости прямого годографа условие робастности принимает вид Re W(j) -a-¹ (рис. 3, б).

Как следует из анализа полученной математической модели, наиболее опасным (наихудшим) с точки зрения устойчивости характером изменения параметра является импульсная модуляция, когда форма импульса приближается к -функции.

Аналогичным образом построены приближенный критерий робастности периодически нестационарной системы для ограниченного по модулю параметра, имеющего произвольную форму изменения внутри периода, и приближенный критерий робастности периодически нестационарной системы на интервалах частот периодического параметра и статических коэффициентов усиления.

С помощью метода стационаризации разработана модель для оценки робастности объектов с периодическим изменением структуры. Рассматривался общий случай (рис. 4), когда структура меняется за период n раз скачкообразно поочередным замыканием ключей K_i.

Рис. 4. Система с периодической структурой: а) схема, б) характер ее изменения

Таким образом, имелась периодически нестационарная синхронная многопараметрическая система, параметры (n ключей) которой в соответствии с диаграммой на части периода Т от до принимали значение, равное единице:

при

при

…

при .

В соответствии с методом стационаризации каждый параметр в первом приближении представляется передаточной функцией, коэффициенты которой имеют вид

,

где , .

В обозначениях

получено условие для (границы) возбуждения первого параметрического резонанса

,

или, исключая ,

.

Полученный общий критерий робастной устойчивости систем с периодически меняющейся структурой иллюстрирован несколькими часто встречающимися частными случаями замыкания ключей (например, последовательным, без пауз), а также примером расчета робастности системы переменной структуры.

Далее рассмотрен вопрос робастности вынужденных колебаний нестационарной системы

.

Предполагалось, что при сигнале на входе на выходе системы имелся установившийся гармонический сигнал той же частоты и некоторой фазы : . Считалось также, что рассматривается наихудший в смысле сохранения устойчивости случай, когда периодические изменения параметра синхронизированы по частоте с колебаниями в системе так, что частота изменения параметра вдвое выше частоты .

Поставлена и решена задача о том, при каких изменениях параметра возможен данный режим колебаний на выходе с амплитудой А_вых .

Иными словами, определена робастность заданного режима вынужденных колебаний нестационарной системы на классе изменений параметра.

Для случая, когда колебания параметра синхронизированы с колебаниями на выходе системы, получено условие существования вынужденных колебаний

,

где и W(j) = H(j)/G(j).

Оно (при a₀=0) имеет простой графический смысл: вынужденные колебания не существуют, когда на плоскости обратной амплитудно-фазовой характеристики (u₀, v₀) окружность параметрического резонанса охватывает начало координат (см. рис. 5).

Рис. 5. Графическая иллюстрация расчета условий робастности вынужденных колебаний нестационарной системы

Для более сложного случая, когда изменения параметра синхронизированы по фазе с входным сигналом (что фактически соответствует установившемуся режиму в нелинейной системе), получено условие (при a₀=0)

 ,

также обладающее графической наглядностью.

Полученная новая математическая модель может использоваться для оценки робастности синхронизации на классе внешних возмущений нестационарной неавтономной системы или робастности колебаний нелинейной системы.

Далее рассмотрен вопрос робастности периодически нестационарных систем при многочастотном изменении параметра, т.е. оценка робастной устойчивости системы по отношению к гармоническим составляющим изменения параметра. Предполагается, что Т-периодический параметр a(t) имеет произвольный закон изменения. Тогда он раскладывается в ряд Фурье и для каждой гармонической составляющей , m = 0,1,2,... , представимой в свернутом виде как , где , , записывается п.ф. при искомом параметрическом резонансе. Так, при первом параметрическом резонансе имеют место соотношения

.

Тогда условие невозбуждения первого параметрического резонанса на k-ой гармонике изменения параметра записывается как условие отсутствия решения уравнения . Это условие, также легко интерпретируемое на комплексной плоскости, определяет либо границу амплитуды данной гармоники (форму сигнала), либо набор параметров линейной части. Приведены примеры расчета и проверки полученных результатов численным экспериментом.

Наконец, рассмотрен вопрос оценки устойчивости системы с несколькими переменными параметрами

,

где предполагается синхронность, но несинфазность их основной гармоники

; .

Применением того же подхода (замена периодических параметров на эквивалентные п.ф.), составляется уравнение баланса. Уравнение оценки границы устойчивости принимает вид

,

где эквивалентные передаточные функции

выражаются через исходные W₁(p)=H₁(p)/G(p), W₂(p)=H₂(p)/G(p). В данном случае уравнение баланса не имеет явного графического представления.

Четвертая глава посвящена разработке математических моделей для оценки робастности нелинейных систем. В начале главы показана связь известного достаточного критерия устойчивости процессов в нелинейных системах Наумова-Цыпкина и критерия Бонджиорно, на основании чего построен достаточный алгебраический критерий устойчивости. Пусть в нелинейной системе, описываемой уравнениями

, (5)

N(p) и M(p) определяются так же, как в (2), а про нелинейную функцию F(x) известно лишь то, что она и ее производная не покидают интервала [-k/2, k/2]. Пусть найдено Т-периодическое движение - решение уравнения (5). Рассмотрен набор параметров, определяемых для i= 1, 2, …n по выражениям для коэффициентов (2) с заменой a₀ на k/2. Таким образом, указаны верхние и нижние границы изменения переменных коэффициентов в характеристическом уравнении возмущенных движений

, (6)

полученном линеаризацией (5) на движении . (Т.е., считаем, что найдена верхняя и нижняя границы изменения производной, что можно сделать, например, графически). Тогда характеристический полином (3) имеет вид

D(p)=N(p) + M(p)[a(t)]=d_n pⁿ+d_n-₁pⁿ-¹ +… + d₁p+d₀ .

Для устойчивости процесса в нелинейной системе (5) будет достаточно устойчивости (гурвицевости) восьми полиномов (4).

Таким образом, получен алгебраический достаточный критерий робастности (абсолютной устойчивости) на классе нелинейностей с ограниченной производной.

Далее, с использованием результатов главы 2, построен необходимый и достаточный алгебраический критерий робастности процессов в нелинейной системе в первом гармоническом приближении - для устойчивости процесса в нелинейной системе

в первом приближении необходимо и достаточно устойчивости (гурвицевости) восьми полиномов (4), в которых коэффициенты вычисляются по радиусу окружности эквивалентной п.ф. первого параметрического резонанса периодического параметра .

Следующие результаты основаны на известной связи по первой гармонике коэффициентов гармонической линеаризации и стационаризации. А именно, колебания с частотой нелинейной (для ясности нелинейность считается симметричной) системы

теряют устойчивость, если годограф W(j)=H(j)/G(j) точкой попадает внутрь окружности параметрического резонанса с центром и радиусом a₀, ₁

, (7)

где W₁(A) - коэффициент гармонической линеаризации.

На основании этого построена методика получения границы области устойчивости (разрешенной области для годографа линейной части) путем построения огибающих семейства окружностей параметрического резонанса (7) при различных амплитудах А. Это позволяет решать задачу приближенной оценки робастности нелинейных процессов на классах амплитуд и частот внешних сигналов. Приведен расчет границ области робастности процессов по амплитуде входного сигнала для наиболее распространенных типов нелинейностей (в том числе, не удовлетворяющих условиям критериев Наумова-Цыпкина и Бонджиорно).

Далее эта методика развита для анализа робастности явления синхронизации колебаний нелинейной системы с внешним гармоническим сигналом для определенной нелинейности на диапазоне амплитуд и частот этого сигнала. Сначала рассмотрена известная задача захватывания колебаний. Пусть дана система с внешним сигналом

,

для которой в автономном случае имеют место автоколебания, т.е. найдено решение частотного уравнения

в виде амплитуды A_a и частоты _a автоколебаний. Если на систему действует внешнее возмущение амплитудой A_вх и частотой , причем условие

(8)

выполнено, то можно говорить о синхронизации автоколебаний с внешним сигналом или о навязывании колебаний нелинейной системе, захватывании. Для фиксированной частоты минимальную величину амплитуды внешнего входного сигнала, при которой имеет место захватывание, называют порогом захватывания.

Будем интересоваться робастностью явления захватывания по амплитуде входного сигнала в первом частотном приближении.

На рис. 6 представлена иллюстрация выполнения условия (8) в частотной плоскости, где для наглядности коэффициент гармонической линеаризации нелинейного элемента W₁(A) принят вещественным. Минимальный радиус окружности, касающейся вещественной оси, определяет некоторую величину А и порог захватывания A_вхmin. Из рисунка следуют весьма простые условия, определяющие порог захватывания:

|v₀()|=|ImW-¹(j)|=A_{вх min} /A; u₀()=ReW-¹(j)=-W₁(A) .

Рис. 6. Графическая иллюстрация расчета явления захватывания

Таким образом, вынужденные колебания определенной частоты и амплитуды робастны на диапазоне изменения амплитуды входного сигнала в пределах от A_{вх min} до, теоретически, бесконечно большой.

При значительном (в несколько раз) отличии частоты внешнего сигнала от частоты автоколебаний _a до возникновения эффекта захватывания может произойти так называемая синхронизация автоколебаний на кратных частотах, при которой входные колебания и колебания системы оказываются кратными по частоте и синфазными.

Нахождение условий кратной синхронизации вызывает наибольший интерес и определенные трудности, поскольку в основе ее лежат комбинационные колебания двух и более частот.

Разработаны математические модели нелинейных неавтономных систем, на основе которых предложена методика расчета в первом приближении порогов синхронизации и оценка робастности этих эффектов по амплитуде и частоте синхронизирующего сигнала. Приведены имеющие ясную графическую интерпретацию заключения о диапазонах робастности для:

- низкочастотной синхронизации, когда на автоколебательную систему подан низкочастотный входной периодический сигнал с _вх<_a , включающую случаи синхронизации на гармониках входного сигнала (вынуждающей силы) или на гармониках вынужденных колебаний;

- высокочастотной синхронизации, на основном результате для которой поясним суть методики. Пусть в нелинейной автоколебательной системе в результате синхронизации на частоте входного сигнала n₁, n=3,5,… установились колебания частоты ₁, близкой к частоте автоколебаний _1a . По существу, речь идет теперь о двухчастотном колебании

.

Опуская выкладки, в которых учтена малость высокочастотной составляющей и выражения для коэффициентов гармонической линеаризации по первой и n-ой гармоникам, а также коэффициенты связи между ними, приведем полученную оценку порога синхронизации

. (9)

Здесь - порог захватывания, указанный на рис. 7, а коэффициенты разложения периодической производной находятся как

.

Рис. 7. Графическая иллюстрация расчета высокочастотной синхронизации

Таким образом, по заданной частоте ₁, близкой к частоте автоколебаний, и амплитуде А, определенной по порогу захватывания на этой частоте, выражение (9) позволяет оценить порог высокочастотной синхронизации, т.е. робастность явления по амплитуде синхронизирующего сигнала. На основании (9) получена также оценка диапазона частот синхронизации при заданной амплитуде синхронизирующего сигнала, т.е. оценка робастности высокочастотной синхронизации.

В главе поставлена и решена принципиально новая задача робастной синхронизации нелинейной системы с периодически изменяющимся параметром, который управляется внешним гармоническим сигналом - параметрической синхронизации. Один из примеров реализации такой схемы приведен на рис. 8.

Рис. 8. Схема параметрической синхронизации

На основании этого эффекта возможно решение новой задачи параметрической стабилизации динамических объектов, что зафиксировано заявкой и положительным решением на выдачу патента РФ. Для такой структуры получена оценка минимально необходимой для возникновения синхронизации амплитуды синхронизирующего сигнала:

.

Пятая глава содержит примеры приложений в различных областях. Рассмотрены:

- математическое моделирование (объекта и неопределенностей), построение робастного регулятора, анализ его свойств и понижение размерности для линейной системы активного магнитного подвеса ротора с неизвестной скоростью вращения,

- математическое моделирование нелинейное системы электромашинного преобразователя с учетом нестационарности взаимной индукции ротора-статора и распределенности электрической нагрузки, линеаризация на периодическом движении, получение частотной модели длинной электрической линии и нахождение областей неустойчивости (возбуждения параметрического резонанса),

- математическое моделирование динамики экономической системы с учетом нестационарности ее параметров и получением условий неустойчивости в форме параметрического резонанса,

- математическое моделирование инновационных циклов в форме уравнений Лотки-Вольтерра и гармонический анализ этих уравнений.

Основные научные результаты

На основании полученных в работе частотных математических моделей динамических линейных стационарных, нестационарных и нелинейных объектов сформулированы следующие результаты:

1. Асимптотическая модификация синтеза робастного регулятора с помощью уравнений Лурье-Риккати в случае сингулярной постановки для линейных стационарных объектов.

2. Достаточный алгебраический критерий робастности класса нестационарных систем.

3. Достаточный алгебраический критерий робастности процессов в нелинейных неавтономных системах на классе ограниченных в секторе.

4. Алгебраический критерий робастности в первом гармоническом приближении для класса нестационарных систем.

5. Алгебраический критерий робастности процессов в первом гармоническом приближении для нелинейных неавтономных систем на классе ограниченных в секторе нелинейностей.

6. Приближенные критерии робастности периодически нестационарных объектов, в том числе:

а) на классе изменений параметра, ограниченных по амплитуде;

б) на классе изменений параметра, ограниченных в среднем;

в) на отрезках частот изменения параметра и статического коэффициента усиления стационарной части;

г) на классе периодических изменений структуры;

д) на классах многочастотных изменений параметра;

е) на классах синхронных несинфазных изменений нескольких параметров;

ж) критерии робастности синхронизации с внешним сигналом на классах их частот и амплитуд при вынужденных колебаниях.

7. Приближенные оценки робастности процессов в нелинейных системах:

а) синхронизации на классе амплитуд и частот внешнего сигнала при захватывании колебаний, низкочастотной синхронизации, высокочастотной синхронизации;

б) параметрической синхронизации нелинейной автономной системы на классе амплитуд и частот изменений параметра.

8. Методика построения приближенных частотных моделей отдельных объектов с распределенными параметрами.

9. Получены новые решения ряда технических задач:

- моделирование (объекта и неопределенностей) и построение робастного регулятора системы активного магнитного подвеса ротора;

- моделирование системы электромашинного преобразователя с учетом нестационарности взаимной индукции ротора-статора и распределенности электрической нагрузки и нахождение областей неустойчивости (возбуждения параметрического резонанса);

- моделирование динамики экономической системы с учетом нестаци-онарности ее параметров с получением условий неустойчивости в форме параметрического резонанса.