Коварство амбициозной самодостаточности. В защиту адекватного понимания бесконечности, парадокса "Лжец" и диагонального метода Кантора

Размещено на http://www.allbest.ru/

КОВАРСТВО АМБИЦИОЗНОЙ САМОДОСТАТОЧНОСТИ. В ЗАЩИТУ АДЕКВАТНОГО ПОНИМАНИЯ БЕСКОНЕЧНОСТИ, ПАРАДОКСА «ЛЖЕЦ» И ДИАГОНАЛЬНОГО МЕТОДА КАНТОРА

А.А. Зенкин

АННОТАЦИЯ

Автор: А.А. Зенкин.

парадокс лжец кантор

В данной статье излагается новый подход к анализу проблемы парадоксов логики и математики, основанный на «физическом» моделировании парадокса «Лжец» на аналоговой вычислительной машине; впервые формулируются необходимые и достаточные условия феномена парадоксальности; анализируется легитимность понятия актуальной бесконечности и некоторые эпистемологические аспекты применения диагонального метода Кантора (ДМК). Обсуждаются психологические и педагогические последствия уникального мета-математического открытия, суть которого состоит в том, что знаменитый ДМК является специфической версией метода контр-примера. Это открытие ставит под сомнение легитимность канторовского доказательства несчетности континуума.

Коротко обсуждаются негативные последствия бурбакизации (термин академика В.И.Арнольда), т.е. излишней, ненужной, бессмысленной, оглупляющей и зомбирующей формализации математики и математического образования.

Параллельно, в режиме заочной дискуссии, анализируются две статьи О.Б.Станишевского «Апология Бесконечности» (см. http://filosofia.ru/literature/literature41_60.shtml), в которых он «построчно и скрупулезно» критикует публикации А.А.Зенкина в журнале «Вопросы философии», посвященные анализу проблемы парадоксов и теории множеств Г.Кантора.

Сведения об авторе:

Профессор Александр Александрович Зенкин,

Доктор физико-математических наук,

Ведущий научный сотрудник Вычислительного Центра РАН,

Член Российской Ассоциации Искусственного Интеллекта, Философского Общества России и Международной федерации Художников.

e-mail: alexzen77@rambler.ru

WEB-Site http://www.ccas.ru/alexzen/index.html

Довольно случайно обнаружил на сайте «Библиотека философии и религии» серию статей О.Б.Станишевского (кандидата технических наук, старшего научного сотрудника НИИ многопроцессорных вычислительных систем Таганрогского государственного радиотехнического университета, см. www.mvs.tsure.ru/page/school.htm), в которых дан «скрупулезный анализ» некоторых моих статей, содержащих «нестандартный анализ» проблемы парадоксов и критику канторовской теории множеств.

Адреса статей О.Б.Станишевского:

АПОЛОГИЯ БЕСКОНЕЧНОСТИ (в связи с парадоксом Лжеца)

Стр. 1 http://filosofia.ru/literature/stanishevsky/liar.shtml

Стр. 2 http://filosofia.ru/literature/stanishevsky/liar1.shtml

АПОЛОГИЯ БЕСКОНЕЧНОСТИ

Стр. 1 http://filosofia.ru/literature/stanishevsky/apologia.shtml

Стр. 2 http://filosofia.ru/literature/stanishevsky/apologia1.shtml

Александр Зенкин (далее - АЗ):

К сожалению, в указанных работах О.Б.Станишевского содержится много ошибок, непонимания и прямого искажения семантики моих научных результатов.

Дезинформация читателей начинается уже с самого названия серии статей моего уважаемого оппонента: «Апология бесконечности».

О.Б.Станишевский (далее - оппонент) пишет (АЗ: здесь и ниже курсив мой):

«...мы вынуждены продолжить защиту бесконечности, поскольку имеются выступления против бесконечности и канторовской теории множеств [...] со стороны анализа классических парадоксов, когда результаты этого анализа используются для ниспровержения и дискредитации бесконечности. При этом аргументация ниспровержения является весьма солидной, поскольку в качестве аргументов используются результаты машинного моделирования парадоксов. Речь идет о работе А.А. Зенкина "Новый подход к анализу проблемы парадоксов" [2]».

АЗ:

По-видимому, читатель должен понимать эту инвективу «защитника бесконечности» так, что «плохой» Зенкин «ниспровергает и дискредитирует» бесконечность, а «хороший» Станишевский эту бесконечность от него защищает. Поскольку со времен Пифагора, математику называют наукой о бесконечном, то совершенно очевидно, что тот, кто «ниспровергает и дискредитирует» бесконечность, покушается на святое и потому априори является врагом всего цивилизованного человечества. На языке PR-технологии это называется целенаправленным «разогревом» аудитории.

В действительности оппонент сознательно лукавит: он защищает не бесконечность, а актуальную бесконечность, а это, как говорят не только в Одессе, - «две большие разницы», и Зенкин «дискредитирует и ниспровергает» вовсе не бесконечность, а доказывает, что понятие «актуальной бесконечности» <АЗ: далее - АБ> является внутренне противоречивым понятием, а потому использование этого понятия в математике должно быть, если не запрещено повсеместно, то уж во всяком случае существенно ограничено.

Строгие определения понятий потенциальной и актуальной бесконечности см. в [24, 24a].

На мой взгляд, Бесконечность, вообще-то, не нуждается ни в чьей защите. Что действительно желательно, так это направить совместные усилия «всех заинтересованных сторон» на то, чтобы понять истинную логическую природу Бесконечности, хотя бы математической. «С давних пор, - пишет выдающийся немецкий математик Д.Гильберт [21], - никакой другой вопрос так глубоко не волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечном; бесконечное действовало на разум столь же побуждающе и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая идея; однако ни одно другое понятие не нуждается так сильно в разъяснении, как бесконечность».

И далее: «...окончательное выяснение сущности бесконечного выходит за пределы узких интересов специальных наук и, более того, ... оно стало необходимым для чести самого человеческого разума».

Эти мудрые слова были сказаны в 1925 г., однако и сегодня выяснение сущности бесконечного остается не менее (если не более) актуальной задачей.

Оппонент начинает свою защиту бесконечности со следующей методологической установки:

«В нашей "Апологии бесконечности" [1] было показано, что отвергать актуальную бесконечность и канторовскую теорию множеств на том основании, что и диагональный метод доказательства <АЗ: несчетности континуума>, и само счетное множество <АЗ: конечных натуральных чисел N={1,2,3,. . .}> ... являются противоречивыми, - занятие несостоятельное и бесперспективное».

АЗ:

В этом пункте наши методологии кардинально расходятся: я придерживаюсь той точки зрения, что, конечно же, «сущность математики - в ее свободе» (Кантор), но «только до тех пор, пока эта свобода не ведет к противоречию» (Гильберт) или к полной потере математического смысла (Зенкин). А посему доказанная (!) противоречивость АБ и канторовской теории множеств является более, чем достаточным основанием для их «устранения» из математики, - если, конечно, мы не хотим иметь дело с противоречивой математикой. Это мнение вместе со мной разделяет не только классическая, но также и современная мета-математическая логика.

Далее оппонент уточняет:

«Во-первых, - это <АЗ: т.е. «отвержение» актуальной бесконечности и канторовской теории множеств «на основании их противоречивости»> чистейший агностицизм <АЗ: оппонент что-то путает: агностицизм есть «идеалистическое учение, отрицающее возможность познания внешнего мира, объективной истины» (БСЭ), а мое доказательство противоречивости АБ как раз способствует прояснению объективной, истинной природы актуально бесконечного и устранению ложных представлений о бесконечности «как таковой», т.е. способствует «выяснению сущности бесконечного», которое, по Гильберту, «стало необходимым для чести самого человеческого разума»>, а во-вторых, - продолжает оппонент, - противоречия канторовской теории множеств устранимы и условиями их устранения является строгое соблюдение законов и принципов классической логики ...»

То, как оппонент «использует» классическую логику для «устранения противоречий канторовской теории множеств» мы сейчас увидим.

Оппонент пишет:

«Последствия принятия этой концепции <АЗ: т.е. концепции Зенкина, основанной на доказательстве противоречивости понятия АБ [2-4]> будут весьма фундаментальными. Мало того, что придется отбросить весьма эффективную и солидную часть математического знания, но еще и наши представления о Бытии и о Всем Сущем будут отброшены на целые тысячелетия назад, когда Космос был конечным и круглым».

АЗ:

Оппонент опять запутывает и запугивает читателя: действительно, придется отбросить солидную часть, но только не математического, а мета-математического знания, а также ряд эпохальных «достижений» аксиоматической теории множеств (далее - АТМ), которые основаны на использовании противоречивого понятия АБ и диагонального метода Кантора (далее - ДМК). Поэтому не совсем понятна логика оппонента касательно того, почему приближение к пониманию истинной природы бесконечного должно «отбросить наши представления о Бытии и о Всем Сущем на целые тысячелетия назад». Что касается Космоса, то даже наисовременнейшая релятивистская теория суперструн пока еще не доказала, что Космос является «бесконечным и квадратным».

Следует отметить виртуозное владение оппонентом приемами психопатологического зомбирования неискушенного читателя. Приведу характерный пример.

Оппонент так «характеризует» один из результатов Зенкина:

«С другой стороны, сама "парадоксальная потенциально-бесконечная осцилляция вида (5)" основывается на несостоятельном "потенциально-бесконечном рассуждении вида (3)" (виды (5) и (3) приводятся ниже). Поэтому, чтобы защитить актуальную бесконечность, мы дадим критический анализ аргументации Зенкина, приведшей его к необоснованной парадоксальной потенциально-бесконечной осцилляции, используемой им для дискредитации актуальной бесконечности и канторовской теории множеств, а затем изложим истинное положение вещей, как с самим парадоксом "Лжец", так и с его техническим моделированием.

АЗ:

«Ненавязчивые» повторы голословных утверждений оппонента о «несостоятельности», «необоснованности», «ошибочности», «неадекватности» (около 20 повторов!) и т.п. рассуждений Зенкина (PR-технология 25-го кадра!) почти физически имплантируют в голову читателя мысль о том, что «истинное положение вещей» является исключительной прерогативой оппонента. Посмотрим, как это «истинное положение вещей» излагается оппонентом.

Оппонент пишет:

«В самом начале статьи [2] автор (Зенкин) говорит: "этот парадокс звучит так: "Я - лжец" - "Лжец ли я?" если я - лжец, то я лгу, когда утверждаю, что я - лжец, и, следовательно, я - не лжец. Но если я - не лжец, то я говорю правду, когда утверждаю, что я - лжец, и следовательно, я - лжец." Это - вербальная интерпретация парадокса. О ней можно сказать, во-первых, то, что она неадекватна, и, во-вторых, то, что в ней смешаны язык субъекта "Я" (объектный язык) и авторский язык (метаязык).

АЗ:

В действительности, в самом начале статьи [2] автор не просто «говорит», а специально подчеркивает: “В форме, очищенной от субъективных эмоций и произвольных домыслов, этот парадокс звучит так: "Я - лжец!" - "Лжец ли я?"

ЕСЛИ я - лжец, ТО я лгу, когда утверждаю, что я - лжец, и, следовательно, я - не лжец. Но

ЕСЛИ я - не лжец, ТО я говорю правду, когда утверждаю, что я - лжец, и, следовательно, я - лжец.

Обозначая утверждение "я - лжец" буквой А, а отрицание этого утверждения через А, мы можем переписать это "рассуждение" в краткой символической форме:

(A A) & (A A).(1)

<АЗ: хочу подчеркнуть, что формула (1) есть «краткая символическая форма» записи вербального «Лжеца», а не его формализация в рамках классической логики, как ее (эту формулу) ошибочно интерпретирует оппонент>

Очевидно, что из (1) и формально, и содержательно следует неразрешимое противоречие:

A & A,(2)

т.е. я - лжец и не лжец "в одно и то же время, в одном и том же месте, в одном и том же отношении"

Однако, последнее, т.е. существование неразрешимого противоречия (2) в "рамках" классической логики, никогда не служило поводом для того, чтобы усомниться в непротиворечивости самой этой логики. Более того, вся наука (в том числе, - и современная) всегда строилась именно на логике Аристотеля, и вся тысячелетняя практическая деятельность человечества, основанная на этой науке и на этой логике, убеждает нас в том, что противоречие (2), по-видимому, не имеет никакого отношения к логике Аристотеля».

Именно доказательству последнего факта и посвящены мои статьи [2-4].

К сожалению, оппонент не понял, что значит «Лжец» «в форме, очищенной от субъективных эмоций и произвольных домыслов». Этим уточнением я хотел с самого начала отмежеваться от тысячелетнего груза дилетантских домыслов и глубокомысленных рассуждений по поводу того, что евбулидов Лжец за всю свою жизнь сказал только одну фразу «Я - лжец» и ничего более, что Лжец может лгать, например, до обеда, а после обеда «заговорить правдой», что Евбулид (или кто-то другой), утверждая «Я - лжец», использует «объектный язык», а когда он же вопрошает «Лжец ли я?» и пытается дать ответ на этот вопрос, то, согласно О.Б.Станишевскому, он говорит уже на неадекватном «метаязыке». Этим уточнением я также хотел с самого начала отмежеваться от многочисленных современных любителей всевозможных псевдо-глубокомысленных пере-интерпретаций тривиального (по форме) рассуждения (1) на различных мета-уровнях с помощью различных мета-предикатов с использованием мета-процедур многозначной логики и на метаязыке материальной импликации стандартного исчисления (даже не предикатов, а) высказываний. Избави Бог! На всех этих «уровнях» «Лжец» «решается» и «устраняется» уже третье тысячелетие, а воз и ныне там.

Выдающиеся АТМ-специалисты Френкель и Бар-Хиллел в середине прошлого века писали по этому поводу [22]: «С самого начала следует уяснить, что в традиционной трактовке логики и математики нет решительно ничего, что могло бы служить в качестве основы для устранения антиномии Рассела <АЗ: а также парадокса «Лжец»>. Мы полагаем, что любые попытки выйти из положения с помощью традиционных … способов мышления, до сих пор неизменно проваливавшиеся, заведомо недостаточны для этой цели. Некоторый отход от привычных способов мышления явно необходим, хотя место этого отхода заранее не ясно».

Рассуждения оппонента о неадекватности интерпретации (1) парадокса «Лжец» являются прекрасной иллюстрацией приведенного замечания Френкеля и Бар-Хиллела: попытка оппонента дать «адекватную» формулировку парадокса «Лжец», формулировку, претендующую на разрешение и устранение этого парадокса, с помощью «традиционных способов мышления», не выходящих за рамки возможностей материальной импликации (позволяющей из лжи дедуцировать истину) элементарного исчисления высказываний, изначально обречена на провал.

Поэтому излишне многословная «импликативная» часть рассуждений оппонента по поводу интерпретации «тождественно истинной» евбулидовой формы «Лжеца» не представляет никакого интереса. - Тысячи аналогичных «провальных попыток» решения проблемы парадоксов можно, при желании, найти в Интернете. Отмечу лишь две уникальные новации моего уважаемого оппонента.

1) По мнению оппонента, «цепь рассуждений (1) не является одномоментной» в том смысле, что левое утверждение (A A) произносит субъект-1, а правое утверждение (A A) произносит, - спустя время, например, одного «чиха», - некий субъект-2. С точки зрения классической логики, подобная новация является грубейшим нарушением закона тождества, поскольку и у Эпименида, и у Евбулида имеется только один субъект - «Я», у оппонента - их два: «Я» и «Я1». Подобное «диалектическое раздвоение единого» (по Буровой) позволяет разрешить любой парадокс. Например, в парадоксе Рассела, по Станишевскому, должно быть два брадобрея: Б1, который бреет себя и, значит, не должен себя брить (A1 A1), и брадобрей Б2, который не бреет себя и, значит, должен себя брить (A2 A2). - И никакого парадокса, т.к. A1 A2 !

Резюмируя, Станишевский утверждает, что противоречия возникают в парадоксах лишь тогда, когда нарушаются законы классической логики, в частности, закон тождества. При этом закон тождества он понимает и использует в довольно странной, если не сказать извращенной, форме:

Я Я,

не имеющей ничего общего с классической логикой.

2) Оппонент пишет:

«Разбор неадекватных рассуждений в статье [2] мы закончим замечанием о некорректном доказательстве, а точнее - об отсутствии доказательства, недостаточности условий парадоксальности конструкции "НЕ+СЯ"».

АЗ:

Среди специалистов в области математического моделирования «существует мнение»: если некая теоретическая, в частности, логическая, конструкция имеет реальную физическую модель, то такая конструкция не может быть противоречивой «по определению». В моей статье [2] доказано, что для логической конструкции «НЕ+СЯ» (т.е. для отрицательной (НЕ) самоприменимости (СЯ) понятий) такой моделью является реальный инвертор с обратной связью. Это является строгим, я бы сказал, абсолютным доказательством того факта, что логическая конструкция «НЕ+СЯ» - непротиворечива. С точки зрения классической логики это и означает, что самоприменимость (СЯ) + отрицание (НЕ) являются необходимыми, но недостаточными условиями «наступления события» парадоксальности.

Подозревая, что наверняка найдутся дилетанты в области математического моделирования, для которых такое доказательство покажется неубедительным и послужит поводом для усмотрения какой-нибудь очередной «неадекватности», я позволил себе заранее (!) воспользоваться безотказным бытовым приемом отражения подобной неспровоцированной псевдо-интеллектуальной агрессии: если человек настолько амбициозно самодостаточен, что не способен услышать аргументы другого, и настолько агрессивен, что готов приписать этому другому все дефективные следствия своего непонимания обсуждаемой проблемы, то единственным аргументом против такого неадекватного поведения указанного дилетанта является небрежно брошенное, через плечо: «сам ты ... три дня НЕ умывалСЯ».

Именно поэтому я дополнил абсолютное доказательство непротиворечивости конструкции «НЕ + СЯ» с помощью физической модели этой конструкции указанием следующего тривиального контрпримера: "Брадобрей должен брить всех тех, и только тех, жителей своей деревни, которые НЕ умываютСЯ по четвергам". Очевидно, что в этом утверждении почти расселовского типа есть конструкция "НЕ+СЯ", но нет никакого парадокса", что и доказывает недостаточность конструкции "НЕ+СЯ" для порождения парадоксальной ситуации.

Конечно, бритьСЯ и умыватьСЯ, как очень тонко подметил уважаемый оппонент, - разные глаголы, но я полагаю, что оба выражают определенное отношение «применимости к себе» (т.е. самоприменимости) любого лица, даже такого, которое НЕ бреетСЯ или НЕ умываетСЯ по четвергам.

Учитывая сказанное, вывод оппонента о том, что логическая конструкция «НЕ + СЯ» является достаточным условием парадоксальности считаю фатально «неадекватным» (здесь - фатально бездоказательным). Если не сказать большего.

Далее оппонент пишет:

«На этом мы закончим обсуждение неадекватных рассуждений автора работы [2] о парадоксах и перейдем к разбору его ключевой ошибки».

Ключевой ошибкой Зенкина, по мнению оппонента, является «неадекватное» рассмотрение следующего гипотетического, воображаемого случая.

Как известно, физический сигнал (в рассматриваемом случае - электрический ток) распространяется с конечной скоростью V < 300000 км/сек., в том числе и в нашем инверторе с обратной связью. Что произойдет, если принять V > 300000 км/сек., например, V = 400000 км/сек., или V = 500000 км/сек., или («страшно сказать»!) V = ?

Последнее гипотетическое равенство оппонент расценил как неадекватное использование Зенкиным актуальной бесконечности. Притянув за уши актуальность к символу , оппонент, к сожалению, ненамеренно (а, возможно, и намеренно) замолчал тот, специально оговоренный (!) в моей статье, факт, что при любом V > 300000 км/сек. мы, очевидно, выходим за рамки физики!

- Это первое и самое главное следствие предположения V > 300000 км/сек.

И далее - по тексту статьи [2]:

«Все остальное является очевидным следствием этого факта: в частности, нефизическими, т.е. нематериальными, виртуальными, становятся сам сигнал, сумматор, вольтметр и даже сами законы реальной физики. А потому наш нефизический сигнал X=+100 вольт, - без сопротивления, без всяких задержек и без потерь - мгновенно "проскакивает" через инвертор и превращается в выходной сигнал Y= -100 вольт, который по цепи обратной связи вновь подается на вход , складывается с входным сигналом X=+100 вольт, дает на выходе сигнал Y=0 вольт, который по цепи обратной связи подается на вход и суммируется с X=+100 вольт, дает на выходе сигнал Y= -100 вольт, и т.д. Другими словами, при ответе на вопрос, какое "напряжение" показывает (виртуальный) вольтметр W на рис. 2, мы получаем следующее на первый взгляд довольно странное, потенциально-бесконечное "рассуждение":

(-100 0) & (0 -100) & (-100 0) & (0 -100) & (-100 0) & ( 3 )

Если заменить входной (произвольный) сигнал X=+100 вольт, например, на X= -1 вольт, то парадоксальная "фраза" (3) обретает более унифицированную "формулировку":

(1 0) & (0 1) & (1 0) & (0 1) & (1 0) & . . . ,( 3а )

Очевидно, что если от этой потенциально-бесконечной "формулировки" отрезать, например, два первых конъюнкта, то мы получаем обычный парадокс в его традиционной формулировке (1):

(1 0) & (0 1), ( 3b )

где под 1 и 0 можно понимать, в частности, "да" и "нет", "истину" и "ложь", "брить" и "не брить" себя, "быть" и "не быть" своим собственным элементом и т.д.

Конечно, профессионально искушенный поклонник абсолютной строгости логико-математических рассуждений может задать очевидный вопрос, почему от базовой потенциально-бесконечной "формулировки" (3а) парадоксальной ситуации (3) мы "отрезали" именно два конъюнкта, а не, скажем, три, пять, сто и т.д.? - Возможен только один ответ: "Исключительно потому, что нам так захотелось", - поскольку никаких доводов логического или математического характера в пользу именно такой двухчленной вивисекции ряда (3а) просто не существует».

Для совсем бестолковых поясню: под местоимением «нам» во фразе "Исключительно потому, что нам так захотелось" подразумеваются те «мы», которые после произнесения освященной тысячелетней традицией фразы «если я - лжец, то я - не лжец; но если я - не лжец, то я - лжец» в форме (3b) или (1) открывают рот и, пораженные вопиющей и непостижимой противоречивостью этой тривиальной ситуации, долго не могут его закрыть. Такая вполне понятная и объяснимая, но очень неудобная реакция на традиционную формулировку парадокса «Лжец» в форме (1) или (3b) в течение тысячелетий мешала (мешает и сегодня) «нам» понять тот факт, что истинная семантика «Лжеца» описывается именно потенциально-бесконечными «рассуждениями» вида (3), (3а) или (5), а конечные двух-членные формы (1) и (3b) парадоксов типа «Лжец» определяются исключительно психологией (шоком от фатального крушения на ровном месте интеллектуального «нашего» всемогущества), а не логикой или математикой. Каюсь, сам в детстве не один год ходил «с открытым ртом» по поводу «Лжеца».

Итак, оппонент утверждает, что «ключевой ошибкой работы [2] являются полученные в ней "потенциально-бесконечные "рассуждения" (3), (3а) и основанная на них "потенциально-бесконечная осцилляция выходного логического сигнала Y вида:

Y=И Y=Л Y=И Y=Л Y=И ... (5)»

Оппонент исправляет эту «ключевую ошибку» Зенкина с помощью изложения своего, как всегда, оригинального видения «действительного положения вещей при моделировании на АВМ (АВМ - аналоговая вычислительная машина) с помощью "стандартной схемы инвертора с обратной связью" [2, с. 84]». При этом он намеревается «действовать в строгом соответствии с методами, принятыми и отработанными в физике и математическом анализе для подобных воображаемых экспериментов ...»

Итак, оппонент устремляет «скорость распространения сигнала V к бесконечности ?», и при этом полагает, что на всех этапах стремления V к , даже в предельном случае при V = , выходной сигнал Y = -50в реального инвертора остается неизменным в полном соответствии с законом аналогового суммирования напряжений Y= - (X+Y) в нормальных условиях при V < 300000 км/сек. Это равносильно допущению о том, что законы Ома, Кирхгофа, квантовой механики и релятивистской электродинамики, связывающие вход и выход указанного инвертора, сохраняют свою силу не только в нормальных условиях при V < 300000 км/сек., но и при ненормальном условии V = , каковое явно и далеко выходит за рамки легитимной физической науки и реальной физической практики. Другими словами, в схеме оппонента нефизический сигнал преобразуется по обычным физическим законам. Очевидно, что подобное допущение является слишком сильным, плохо согласуется «с методами, принятыми и отработанными в физике и математическом анализе для подобных воображаемых экспериментов ...» и грубо противоречит «концепции диалектико-материалистического подхода» к анализу парадокса «Лжец», изложенному в [12].

Одним словом, все возражения оппонента против потенциально-бесконечных рассуждений (3), (3а) и парадоксальной осцилляции (5) оказываются далекими от всякой адекватности (по русски - от всякого соответствия) требованиям именно классической логики.

СТРАНИЦУ 2 своего квази-логического опуса («В связи с парадоксом «Лжеца»», Стр.2 http://filosofia.ru/literature/stanishevsky/liar1.shtml) оппонент открывает ставшим уже традиционным PR-рефреном:

«Таким образом, "новый подход к анализу проблемы парадоксов" не дает нам никаких оснований и доводов для дискредитации как актуальной бесконечности, так и канторовской теории множеств, а сама работа А.А. Зенкина не выдерживает никакой критики.

Перейдем теперь к рассмотрению истинного положения вещей, связанного с парадоксом "Лжец" и с возможностью его технического, а точнее - кибернетического моделирования.»

АЗ:

Я не вижу необходимости продолжать «скрупулезный анализ» этой страницы по двум причинам.

1) Оппонент намеревается важнейшую логико-методологическую проблему, - «адекватно выявить сущность самоприменимого высказывания», - решить с помощью следующего многообещающего методологического приема: «мы будем смотреть, как поступают в подобных случаях в математике, а затем использовать ее приемы для разрешения затруднений в самоприменимом высказывании "Лжец"».

Сам прием не вызывает возражений, но вот его реализация в статье оппонента может стать причиной глубокого и затяжного стресса у достаточно подготовленного читателя.

Как известно, утверждает оппонент, «математика изучает функцию y=f(x)». По мнению оппонента, самоприменимость реализуется посредством подстановки в эту функцию y вместо x. При этом, естественно, получается уравнение y=f(y), что, по мнению оппонента, является сущностной реализацией свойства самоприменимости и «согласуется с классической логикой».

Берем, например, простейшую функцию y = x2. Подставляем y вместо x: y = y 2, сокращаем на y и получаем 1 = y. С математической точки зрения подобное «преобразование» исходной параболической зависимости y = x2 в равенство y = 1 представляется бессмысленной абракадаброй, а с точки зрения математической логики, подстановка y вместо x в «формулу» y = x2, содержащую свободное вхождение переменной y, является абсурдом, т.к. нарушает элементарные требования к корректному применению операции подстановки (см. Клини, [23], стр. 74).

2) «Возьмем теперь математическую логику, - говорит далее оппонент, - и в ней некоторое предложение y=P(x), определенное на некотором множестве объектов x. Здесь тоже все в порядке с классической логикой. Но как только вместо x подставляют y, так начинаются проблемы с классической логикой. Действительно, о предложении y=P(y) начинают говорить, что оно само задает себя, или что оно задано посредством самоприменимости».

АЗ:

Я полагаю, что здесь проблемы начинаются не с классической логикой, а с головой.

Обозначим, для краткости, через Х множество объектов x, на котором определен (задан) предикат Р(х). Очевидно, что для любого х из Х предикат Р(х) принимает два значения И(стина) или Л(ожь), и, следовательно, у в «предложении» y=P(x) есть булевская переменная, также принимающая значения И и Л. В таком случае подстановка y вместо x в «предложении» y=P(x) порождает бессмыслицу y=P(y), а не самоприменимость, поскольку булевская переменная y не является элементом множества Х, а потому не может быть аргументом предиката Р(x), определенного на множестве Х. - Это - именно с точки зрения математической логики.

Очевидно, что «адекватность» (здесь - правомерность) последующего использования оппонентом указанных математических и логических «приемов» «для разрешения затруднений в самоприменимом высказывании "Лжец"» заранее вызывает очевидные и обоснованные сомнения.

Далее оппонент пишет:

«Представим теперь действительное положение вещей с кибернетическим моделированием парадокса "Лжец". Кибернетическим моделирование названо потому, что в основе кибернетики лежит обратная связь, а самоприменимость - это тоже обратная связь».

АЗ:

Не разъясняя, как ему удалось догадаться о том, что «самоприменимость - это тоже обратная связь» и что «Лжеца» можно cмоделировать с помощью «инвертора с обратной связью» (конечно, при условии V > 300000 км/сек., т.е. при условии выхода за границы физики!), оппонент выражает недоумение по поводу того, зачем Зенкину понадобилось вначале смоделировать нормальный процесс логического доказательства с помощью нормального «инвертора с обратной связью» при нормальном условии V < 300000км/сек., а затем показать, как и при каких условиях логическое доказательство нормального высказывания X = «S есть P» трансформируется в логического монстра-«Лжеца» (в форме Евбулида): X=«X есть Ложь».

Как известно, Гильберта (а также Пуанкаре, Рассела, Брауэра, Вейля и др.) прежде всего интересовал именно вопрос о причинах самой возможности появления парадоксов: каким образом «в математике - этом образце достоверности и истинности, - образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподаёт и применяет, приводят к нелепостям?» (Гильберт, [21]). В отличие от Гильберта (и от Зенкина) оппонент видит свою задачу в том, чтобы подтвердить «адекватность <своей> вербально-формальной интерпретации «Лжеца» ... тремя ипостасями <своей> кибернетической модели этого парадокса». Поэтому он предпочитает, не отвлекаясь на указанные эпистемологические тонкости, приступить к прямому кибернетическому моделированию «Лжеца».

Оппонент подчеркивает:

«У нас же речь будет идти строго о моделировании парадокса "Лжец", а все выводы, то есть доказательства, будут делаться по результатам моделирования на естественном языке при строгом соблюдении законов классической логики.

Сразу же заметим, - продолжает оппонент, - что этот парадокс работает на человечество уже более полувека. Он лежит в самих субстратных основах всей цифровой вычислительной техники - этого ядра современных информационных технологий. Правда, сама эта техника и информационные технологии не осознают данного факта. И это, наверное, соответствует истинному положению вещей - парадокса на самом деле нет. Если бы он был в действительности, то вряд ли бы вычислительная техника породила современные информационные технологии и позволила получать адекватные результаты. Можно сказать, что практика не подтверждает существование парадокса "Лжец" как логического противоречия.»

АЗ:

Во-первых, «при строгом соблюдении законов классической логики» парадокс, которого «на самом деле нет», НЕ МОЖЕТ «лежать в самих субстратных основах» чего бы то ни было, включая «всю цифровую вычислительную технику». Во-вторых, позволю себе не согласиться с мнением уважаемого оппонента и по поводу роли практики в существовании «Лжеца»: как раз 2600-летняя практика рода человеческого в познании законов бытия «подтверждает существование парадокса «Лжец» именно как логического противоречия», которое в реальном, физическом, материальном мире и, в частности, «в самих субстратных основах всей цифровой вычислительной техники» нереализуемо.

Поэтому по меньшей мере странными и очевидно неадекватными (здесь - абсурдными) выглядят основные выводы оппонента (хотя и «подтвержденные тремя ипостасями проведенного им «скрупулезного» кибернетического моделирования парадокса «Лжец») о том, что (дословно!)

1) «реальная модель парадокса "Лжец" подтверждает отсутствие противоречия в высказываниях "Я - лжец" и "Я лгу"»;

2) «реальная модель парадокса "Лжец" есть не что иное, как логический генератор, или - генератор импульсов», который «моделирует тождественно-истинное высказывание ... , называемое парадоксом "Лжец" в форме Евбулида»;

3) «реальная и истинная модели парадокса "Лжец" подтверждают отсутствие парадокса, или, что то же самое, подтверждают отсутствие противоречий ... в высказывании "Я - лжец"».

Как говорится, Эпименид и Евбулид - отдыхают, а третий Великий кризис в основаниях математики, «который продолжается и до настоящего времени» [22], был порожден вовсе не парадоксами логики и теории множеств, открытыми в начале ХХ века, а гнусными мета-математическими происками «дилетантов» типа Кантора, Бурали-Форти, Рассела, Цермело, Грелинга, Гильберта, Брауэра и т.п., которым не дано было постигнуть «эзотерическую истину», открывшуюся О.Б.Станишевскому: парадокс «Лжец» это «тождественно-истинное высказывание», в котором «нет никаких противоречий»!

В заключение несколько слов о том, чего не понял мой оппонент в моей статье [2].

1) С помощью современных методов автоматической классификации, распознавания образов и прогнозирования поведения сложных систем [13] получены принципиально новые научные результаты: в частности, дана новая классификация основных парадоксов логики и теории множеств, которая «исправляет» очевидные дефекты традиционной классификации Рамсея. В частности, показано, что «Лжец» и парадоксы Рассела относятся к одному классу (у Рамсея - к разным), т.е. имеют одну и ту же логическую природу (5), что парадоксы Кантора и Бурали-Форти по своей природе существенно отличаются от парадоксов типа «Лжец» и представляют собой обычные логические противоречия, порождаемые актуализацией бесконечности «множества всех множеств» и «множества всех порядковых трансфинитных чисел».

2) Идея физического моделирования парадокса «Лжец» не нова: в логике давно известна, например, модель «электрического звонка» - когда в цепи есть ток (А), боек притягивается к электромагниту и размыкает цепь, т.е. тока нет (А), но если тока нет (А), то пружина отталкивает боек и он замыкает цепь, т.е. ток есть (А). Эта физическая модель позволяет формально «реализовать» рассуждение (1), но не позволяет понять логическую природу «Лжеца». Для историков математики замечу, что в конце 50-х годов прошлого века эта модель активно обсуждалась на семинарах С.А.Яновской, В.А.Успенского и Н.И.Стяжкина.

В конце 60-х я впервые предложил новую и более адекватную «физическую» модель парадокса «Лжец» - инвертор с обратной связью. Эта модель позволяет раскрыть механизм превращения нормальной физической ситуации в парадоксальную нефизическую ситуацию, причем необходимым условием такой трансформации является выход параметров реальной физической модели (V < 300000 км/час) за рамки физики (V > 300000 км/час). В силу установленного изоморфизма между работой «инвертора с обратной связью» и процессом логического доказательства (или опровержения) высказываний X = “S есть P”, выходу за рамки физики соответствует выход за рамки логики. Суть последнего «выхода» состоит в следующем.

Инвертор с обратной связью Ф интерпретируется как блок Л логического доказательства входного логического сигнала Х=“S есть P”. Как известно (см., например, Клини [23]), в рамках классической (а также мета-математической) логики, процесс доказательства истинности (или ложности) утверждения Х представляет собой конечную (!) последовательность высказываний (утверждений, формул, и т.п.) вида:

f0; f1, f2, f3, …, fn,(4)

где f0 X, и для любого i, 1 i n, высказывание fi либо является аксиомой, либо доказанным ранее утверждением, либо логически следует из предыдущих высказываний f1, f2, …, fi-1, по правилам вывода классической логики, а последнее высказывание fn Y является доказанным, достоверным высказыванием вида "S есть P" (или "S не есть P"), причем субъект S и предикат P утверждения Y совпадают с субъектом S и предикатом P исходного (недостоверного, недоказанного) утверждения Х (иначе имеет место тривиальная, но весьма распространенная и коварная ошибка доказательства - подмена понятий).

Другими словами, входной логический сигнал Х блока Л логического доказательства является гипотетическим, т.е. недостоверным, утверждением (или обыкновенной гипотезой), а выходной логический сигнал Y блока Л представляет собой доказанное, т.е. достоверное, утверждение.

Естественно предположить, что скорость любого логического доказательства входного утверждения X будет обратно пропорциональна длине n этого доказательства. Действительно, чем больше n в последовательности (4), тем даже чисто формально требуется больше времени для доказательства гипотезы X, т.е. тем меньше скорость самого доказательства. Поэтому, естественно постулировать, что скорость логического доказательства входного логического сигнала X есть V = 1/n.

Необходимое условие парадоксальности физической модели МФ "Отрицательная ("НЕ") обратная связь ("СЯ")" естественным образом трансформируется в необходимое условие парадоксальности логической модели Мл: отрицательная ("НЕ") самоприменимость ("СЯ").

Достаточное условие парадоксальности физической модели МФ как ВЫХОД ЗА ГРАНИЦЫ ФИЗИКИ при V = также естественным образом трансформируется в следующее достаточное условие парадоксальности логической модели Мл : ВЫХОД ЗА ГРАНИЦЫ ЛОГИКИ в силу условия n = 0, т.е. V = 1/n = .

Сказанное выше можно резюмировать следующим образом.

ТЕОРЕМА 3. Достаточным условием превращения логической модели МЛ теории доказательства классической логики в парадоксальную ВНЕ-логическую модель МП является условие n=0 в (4) или V = , т.е. принципиальная недоказуемость логического сигнала X="X есть Л" и как следствие - ВЫХОД его ЗА ГРАНИЦЫ ЮРИСДИКЦИИ КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ .

Заметим и подчеркнем, что в данном случае недоказуемость парадоксального высказывания X="X есть Л" понимается не в традиционном мета-математическом (геделевском) смысле одновременной доказуемости Х и его отрицания, а в том смысле, что "доказательство" Х содержит принципиально незавершаемый потенциально-бесконечный (нефинитный, по Гильберту) этап (5).

3) Как это не странно, но в современной мета-математике и АТМ до сих пор не существует общепризнанного ответа на вопрос, а что вообще значит решить проблему парадоксов? В моей статье впервые дан адекватный ответ на этот вопрос: решить проблему парадоксов значит (по аналогии с математикой) сформулировать в явном виде совокупность необходимых и достаточных условий возникновения парадоксальной ситуации. Применительно к «Лжецу» такими условиями являются отрицательная самоприменимость («НЕ + СЯ») плюс принципиальная неразрешимость вопроса об истинности или ложности «Лжеца», которая формально выражается равенством n = 0, т.е. V = 1/n = , в последовательности (4), т.е., фактически, отсутствием доказательства в форме последовательности (4).

Это значит, что «Лжец» в форме евбулидова высказывания X="X есть Л", утверждающего свою собственную ложность (т.е. НЕ-истинность), есть высказывание только по форме, а по существу это есть формальная запись императивного указания/требования (со стороны предиката «быть Ложью») заменить текущее значение связки высказывания Х на противоположное. Этот факт выражается следующим утверждением, использующим идею Д.А.Бочвара о внешней и внутренней формах истинности высказываний [14].

ТЕОРЕМА 4. Парадокс "Лжеца" X="X есть Л" представляет собой уникальный ВНЕ-логический переключатель истинностных значений его внешней формы X=И или X=Л с помощью его же внутренней формы "X есть Л".

Размещено на http://www.allbest.ru/

Замечу, что к императивным утверждениям понятия истинности и ложности неприменимы.

Нам осталось ответить на последний вопрос: каким образом, казалось бы, безупречное использование синтаксиса и семантики классической логики порождает парадокс "Лжеца"? - Очевидный визуально-когнитивный ответ на этот вопрос дает рис. 3. Детали логической и семантической интерпретации этой визуально-когнитивной модели процесса превращения нормального высказывания в парадоксального «Лжеца» см. в [2].

Приведу основные выводы, сформулированные в статье [2].

1. Истинная природа парадоксов типа «Лжец» описывается потенциально-бесконечным, т.е. принципиально незавершаемым, нефинитным в смысле Гильберта, "рассуждением" (5), а не традиционным, произвольно "вырезанным" двухчленным фрагментом (1) этого потенциально-бесконечного "процесса".

2. Достаточное условие парадоксальности, сформулированное выше (Теоремы 3 и 4), доказывает, что парадоксальные рассуждения типа парадокса "Лжец", являясь синтаксически допустимыми с точки зрения классической Логики Аристотеля конструкциями, тем не менее выходят за рамка этой Логики и представляют собой в очевидном смысле некие псевдо-логические реализации кантовских ноуменов, т.е. ментальных "сущностей", лишенных каких бы то ни было верифицируемых логических, семантических, когнитивных, и т.п. связей с миром реальных феноменологических сущностей. Одним словом, такие парадоксальные рассуждения являются внелогическими конструкциями и могут (точнее, должны) быть удалены из классической Логики Аристотеля как, впрочем, и из математики, без всякого ущерба для последних.

3. В работах [4,5,8,9] показано, что канторовское "доказательство" существования бесконечных множеств, различающихся по их мощности (теорема Г.Кантора о несчетности континуума), также основано на нефинитном "рассуждении" вида (5). Такое совпадение с результатами настоящей работы, конечно же, не случайно и является достаточно убедительным свидетельством того факта, что исторический "спор" Георга Кантора о логической природе и легитимности актуальной бесконечности с Аристотелем, Лейбницем, Беркли, Локком, Кантом, Гауссом, Кронекером, Коши, Эрмитом, Пуанкаре, Бэром, Борелем, Лебегом, Брауэром, Вейлем, Виттгенштейном, Лузиным, Сколемом, Куайном и др., т.е. с теми, кто категорически отвергал актуальную бесконечность и, нередко "… находясь в относительной изоляции, … выказывал полнейшую убежденность в окончательной победе занимаемой ими позиции" [22], завершается в пользу знаменитого не лозунга - пророчества великого Аристотеля: "Infinitum Actu Non Datur", т.е. "нет актуальной бесконечности" потому, что это понятие - внутренне противоречиво и, следовательно, «его использование в математике - недопустимо» (Гаусс).

Рассмотрим теперь основные «положения» второй статьи Станишевского О.Б «Апология Бесконечности» (размещенной по адресу:

Стр. 1 http://filosofia.ru/literature/stanishevsky/apologia.shtml

Стр. 2 http://filosofia.ru/literature/stanishevsky/apologia1.shtml),

в которой проведен не менее скрупулезный «разбор» моих статей [3-5], посвященных критике теории множеств Г.Кантора.

СТРАНИЦА 1.

Оппонент опять дезинформирует и зомбирует читателя:

«Кантором была создана теория бесконечных множеств».

АЗ:

Это неверно, поскольку Кантором была создана «теория» актуально-бесконечных множеств. Как говорилось выше, это - «две очень большие разницы». И вообще, далее везде, где оппонент говорит о бесконечности, следует читать «актуальная бесконечность».

Напомню, что строгие определения понятий потенциальной и актуальной бесконечности приведены в [24, 24a].

Оппонент пишет:

«...противоречия и парадоксы в теории бесконечных множеств сохраняются и поныне. Но несмотря на противоречия, математика не собирается отказываться от "канторовского рая", то есть от теории <АЗ: актуально> бесконечных множеств».

АЗ:

Сохранение противоречий и парадоксов до «поныне» плохо вяжется с «доказанным» оппонентом (с помощью «трех ипостасей кибернетического моделирования «Лжеца»») «отсутствием противоречий ... в высказывании "Я - лжец"» (см. выше).

Что касается райской жизни канторианцев, то «канторовский рай» не есть теория бесконечных множеств, этот рай основан на «теории» актуально-бесконечных множеств. Поскольку АБ есть противоречивое понятие, я бы не торопился столь категорически говорить «за всю» математику тем более, что истинная, по выражению S.Feferman, «реально работающая» математика всегда старалась избегать всякого соседства с противоречиями.

Далее следует очередной голословный PR-пассаж оппонента:

«В последнее время появились публикации, направленные на ниспровержение теории бесконечных множеств и негативно оценивающие самого Г. Кантора и его учение. Эти антиканторовские выступления не беспочвенны и носят весьма решительный и бескомпромиссный характер. Мы здесь покажем несостоятельность подобной антиканторовской тенденции. Речь идет о публикациях и выступлениях А.А. Зенкина [3, 4, 5].»

Как же оппонент намеревается (i) «показать несостоятельность антиканторовской тенденции», (ii) «защитить право бесконечности <АЗ: естественно, актуальной> на существование» и (iii) сохранить логическую «непорочность» канторовского диагонального метода? Эти его намерения опираются на очередную фундаментально-концептуальную новацию: в [11] Станишевский О.Б. предлагает «отказаться в теории <актуально> бесконечных множеств от принципа "часть может быть равна целому"».

Оппонент прав, утверждая, что принцип «часть равна целому» является фактически единственным АТМ-определением понятия актуально-бесконечного множества (или даже аксиомой Дедекинда), принятым как в канторовской («наивной»), так и в современной («ненаивной») аксиоматической теории множеств: «множество <«целое»> называется бесконечным, если оно равномощно <«количественно равно»> своему собственному подмножеству <«части»>» [20-24, 24a].

Однако, отвергая принцип «часть равна целому» и принимая принцип «часть не равна целому», - каковой «принцип» есть формальное АТМ-определение понятия конечного множества, - оппонент фактически исключает из теории множеств актуально-бесконечные множества и превращает канторовскую теорию множеств (равно, как и современную АТМ) в «теорию» конечных множеств. В такой ситуации намерение оппонента «защитить право актуальной бесконечности <АЗ: да и бесконечности вообще> на существование» выглядит как мероприятие в высшей степени сомнительное. С точки зрения именно классической логики.

Мне известно около двух десятков «провальных попыток» опровергнуть теорию множеств Г.Кантора, но с такой прямолинейной и наивной сталкиваюсь впервые: ведь отказ от принципа «часть равна целому» автоматически лишает определения (и права на математическое существование) основной объект аксиоматической теории множеств - актуально-бесконечное множество, а теория множеств Г.Кантора, как, впрочем, и вся современная АТМ, без актуально-бесконечных множеств есть «всего лишь трансфинитная претензия на пустое глубокомыслие».

Со времен Аристотеля логики, математики и философы были уверены в том, что бесконечное множество натуральных чисел N = {1,2,3,...} является потенциально-бесконечным. Во второй половине XIX века Кантор актуализировал потенциальную бесконечность множества N с помощью следующего вопиюще наивного рассуждения [20], согласно принципу «если нельзя, но очень хочется, то можно» [24, 24a]:

"Хорошо известно, что количество конечных натуральных чисел в ряду

1, 2, 3, . . . (*)

бесконечно, и потому в этом ряду (*) нет наибольшего, последнего натурального числа ...; однако, как это не покажется кому-то противоречивым <АЗ: это, действительно, крайне противоречиво, что Кантор и сам прекрасно это понимает!>, нет, тем не менее, ничего нелепого в том, чтобы <АЗ: "Сущность математики - в ее свободе"! - А потому допустимы любые фантазии!> обозначить ряд (*) как целое именем (или символом), скажем, 'omega' (короче - `'), назвать это имя `' целым числом и затем продолжить счет:

, +1, +2, +3, . . . ," (C)

и можно добавить - в полном соответствии с ... аксиомой Аристотеля-Пеано: "если 'вещь' есть <АЗ: названа как> целое, то и 'вещь'+1 есть целое тоже " (для любой 'вещи' независимо от "реальной (потенциальной или актуальной) природы" этой 'вещи' и от того, что мы думаем об этой 'вещи') [5-7].

Мой оппонент копает глубже, нежели Аристотель, Кантор и др.: он «выдвигает и использует следующие концептуальные положения (дословно):

«первое: "часть не может быть равна целому", что на языке множеств означает: никакая собственная часть никакого множества не может быть эквивалентной самому множеству; <АЗ: это, повторюсь, есть строгое АТМ-определение конечного множества!>

второе: известное счетное множество натуральных чисел N=0,1,2,... является конечным множеством, имеющим мощность, равную предельному конечному числу N, ... причем N - такое непостижимо большое конечное число, что все конечные числа n будут меньше его, то есть n<N».

АЗ:

Как уже говорилось выше, первое «концептуальное положение» оппонента устраняет из теории множеств бесконечные множества и превращает ее в «теорию» конечных множеств. Второе «концептуальное положение» оппонента иллюстрирует первое. Более того, согласно одной из основных аксиом арифметики Пеано, если N - конечное натуральное число, то существует другое, следующее за ним, конечное натуральное число N+1, причем N+1 > N независимо от величины N. Таким образом, конечное число N может, конечно, быть для кого-то «непостижимо большим», но оно не может быть предельным в смысле Станишевского О.Б., т.е. в том смысле, что «для любого конечного натурального числа n имеет место n<N». В противном случае, если, согласно Станишевскому О.Б., предельное конечное <натуральное> число N существует, а множество (*) всех натуральных чисел является конечным, то арифметика Пеано - фатально противоречива и от нее следует отказаться. Сомневаюсь, что математики когда-либо согласятся принести такую жертву «для ради теории» конечных множеств Станишевского О.Б.

Отказ от принципа «часть равна целому» порождает проблемы и с реализацией третьего намерения оппонента - (iii) сохранить «логическую непорочность» канторовского диагонального метода.

Оценивая последствия своих новаций для будущего математической науки, оппонент пишет:

«В результате в диагональном методе доказательства отношения 2щ>щ уже нельзя будет добавить в предполагаемый пересчет множества 2щ новый, "диагональный", элемент, так как это добавление согласно принципу классической логики "часть не может быть равна целому" изменит предполагаемый пересчет и превратит его в новое множество, неэквивалентное предполагаемому пересчету. Диагональный метод Кантора, таким образом, останется непоколебимым. Уйдут также из теории множеств и выше перечисленные противоречия, а в бесконечном будут действовать те же законы классической логики, что и в конечной области.