Коварство амбициозной самодостаточности. В защиту адекватного понимания бесконечности, парадокса "Лжец" и диагонального метода Кантора

АЗ:

Во-первых, Кантор, вообще говоря, доказывает несколько иное соотношение, а именно, 2> . Во-вторых, даже Wilfrid Hodges (см. ниже) недавно согласился (правда пока - в частном письме) с тем, что добавление нового канторовского анти-диагонального действительного числа (далее - АД-д.ч.) к «предполагаемому пересчету всех действительных чисел» не нарушает законов классической логики. В-третьих, с точки зрения классической логики и теории множеств, нетождественность и неэквивалентность множеств, пересчетов и т.п. - суть «две большие разницы»: добавление нового элемента к некоторому пересчету, действительно, порождает новый пересчет, нетождественный исходному. Но если исходный пересчет был счетно-бесконечным, то и новый пересчет будет счетно-бесконечным, т.е. будет эквивалентным (в обычном теоретико-множественном смысле) исходному. В-четвертых, суть канторовского доказательства несчетности континуума состоит в применении диагонального метода Кантора к некоторому актуально-бесконечному пересчету

x1, x2, x3, ... (1)

действительных чисел из отрезка X=[0,1] с целью порождения новой актуально-бесконечной, скажем, двоичной последовательности, т.е. нового действительного числа из Х, которое отлично от всех действительных чисел данного пересчета (1).

Но если, согласно основному концептуальному положению «теории» Станишевского О.Б., множество натуральных индексов 1,2,3, ... элементов пересчета (1) конечно, то очевидно, что и сам пересчет (1) может быть только конечным, но тогда и применение диагонального метода к конечному пересчету (1) способно породить только некую конечную двоичную последовательность, которая не определяет никакого индивидуального действительного числа из Х, «отличного от всех элементов пересчета (1)». В таком случае, основная теорема АТМ о несчетности континуума становится недоказуемой. Более того, в современном математическом анализе действительное число а определяется как бесконечная (скажем, двоичная) последовательность вида

а = [целая часть] . а1 а2 а3 . . ., где для любого i > 0 аi есть 0 или 1. (1а)

Но если множество индексов {1,2,3, ...}, по Станишевскому О.Б., конечно, то вся теория действительных чисел, а значит, и весь современный анализ, а значит, и вся современная математика становятся вопиюще «неадекватными» «теории» Станишевского О.Б.

Очевидно, что такой вывод в любом случае противоречит излишне оптимистическому заявлению оппонента о «непоколебимости диагонального метода Кантора».

Как известно, Пуанкаре, - математик и философ «от Бога», - считал, что «канторовская теория точечных множеств является элитарной ментальной (т.е. психической) болезнью» «само-зомбированных» канторианцев, а Брауэр вообще «рассматривал всю канторовскую теорию множеств как патологический казус в истории математики, от которого грядущие поколения придут в ужас». И есть от чего.

Приведу свежий пример.

Выдающийся российский математик академик В.И.Арнольд в последние годы ведет непримиримую борьбу с так называемой бурбакизацией, т.е. излишней, ненужной, бессмысленной, оглупляющей и зомбирующей формализацией математики и математического образования. Бурбакистами он называет оголтелых последователей группы французских математиков, «сокрывшихся» под псевдонимом Н.Бурбаки, которые намеревались учить новые поколения студентов тому, как формально дедуцировать всю математику из аксиом теории множеств, не используя при этом ни одного слова на естественном языке [16].

Характеризуя критическую ситуацию, сложившуюся в результате губительной бурбакизации современного математического образования, В.И.Арнольд пишет [25-27, 31]:

«В середине ХХ столетия обладавшая большим влиянием мафия "левополушарных математиков" сумела исключить геометрию из математического образования ..., заменив всю содержательную сторону этой дисциплины тренировкой в формальном манипулировании абстрактными понятиями.

Подобное "абстрактное" описание математики непригодно ни для обучения, ни для каких-либо практических приложений. Современное формализованное (бурбакизированное) образование в математике - полная противоположность обучению умению думать и основам науки. Оно опасно для всего человечества.

Страшно подумать, какого рода давление бурбакисты оказывают на (заведомо неслабоумных) студентов превращая их в формальные машины <АЗ: в интеллектуальных зомби>! Такой тип формализованного образования является совершенно бесполезным для решения любых практических проблем и даже становится опасным, приводя к событиям типа Чернобыля. К сожалению, этот бич формальной дедукции пропагандируется во многих странах, и будущее математики, инфицированной этой болезнью, выглядит довольно мрачным.

Несмотря на это, "левополушарные больные" сумели вырастить целые поколения математиков, которые не понимают никакого другого подхода к математике и способны лишь учить таким же образом следующие поколения».

Академик В.И.Арнольд очень точно подметил: бурбакисты «способны лишь учить таким же образом следующие поколения», причем учат они эти поколения, по их собственному признанию, «очень плохо».

Так, например, несколько лет тому назад известный современный канторианец Wilfrid Hodges опубликовал уникальную статью [28], в которой дал, с его точки зрения, исчерпывающий анализ множества статей с критикой теории Кантора, которые в течение восьми лет поступали к нему на стол в бытность его главным редактором ведущего журнала по математической логике - «The Bulletin of Symbolic logic». Естественно, ни одна из этих статей не была опубликована в этом журнале.

Анализируя ошибки незадачливых критиков теории Кантора, Wilfrid Hodges считает своим священным долгом учить других: «в области формальной логики мы учим людей, как проводить доказательства и как проверять правильность формальных рассуждений», и неоднократно сокрушается по тому поводу, что «имеется немало положений элементарной логики, которым мы обычно учим студентов очень плохо или не учим вообще». - Это довольно тревожный симптом, свидетельствующий о том, что даже мета-математические профессионалы не умеют хорошо учить студентов даже элементарной логике. Возможное объяснение этой патологической ситуации - очевидно: для того, чтобы хорошо учить студентов даже элементарной логике, нужно, по крайней мере, самим хорошо знать эту элементарную логику. К сожалению, Wilfrid Hodges, как показывает анализ его статьи, знает элементарную логику не лучшим образом (см. [3, 9]).

Филдсовский лауреат-1966 по аксиоматической теории множеств Пол Коэн специально включил в свою известную «филдсовскую» монографию «Теория множеств и континуум-гипотеза» [29] главу “Основы математической логики”, «основная цель которой, - по словам автора, - состоит в том, чтобы приучить математиков, не являющихся специалистами в логике, к тому строгому и точному взгляду на вещи, который необходим при изучении вопросов оснований математики», как будто со времен Пифагора и до появления мета-математических логиков сами математики просто понятия не имели о том, как нужно правильно доказывать свои математические теоремы.

Все это позволяет выразить робкую надежду на то, что уж логическая-то природа основного «орудия мета-математического производства» - знаменитого диагонального метода Кантора (пять строчек (!) на языке элементарной логики XIX века) известна более, чем досконально профессиональным мета-математикам и АТМ-специалистам, которые вот уже 131 год используют этот метод для «производства» своих эпохальных АТМ-достижений (типа знаменитых «отрицательных» теорем Тьюринга, Черча, Геделя, Тарского и т.п. с их парадигмальными философскими «последствиями») и учат каждое новое поколение студентов премудростям его (этого ДМК) применения в различных мета-математических и АТМ-изысканиях.

Здесь уместно сделать следующее замечание.

Хорошо известно, что применение ДМК к списку (1) порождает бесконечное множество, скажем, Y1 новых АД-д.ч., которые не принадлежат этому списку (1). Однако, тот факт, что Y1 - бесконечное множество, в традиционных (как, впрочем, и всех современных) доказательствах Теоремы Кантора о несчетности континуума нигде не используется [3,6-8,20]. - Почему? Ведь утверждение о том, что мощность континуума X=[0,1] больше мощности множества N={1,2,3,...} на том основании, что континуум всегда содержит на один элемент (канторовское АД-д.ч.) больше, чем N, по меньшей мере смехотворно (любому школьнику известно, что «если два бесконечных множества различаются одним элементом, то такие множества - эквивалентны»), но, с другой стороны, именно бесконечность множества Y1 новых канторовских АД-д.ч. могла бы послужить весомым аргументом в пользу (предполагаемой) несчетности континуума!? Следующее довольно неожиданное мета-математическое открытие дает исчерпывающий ответ на этот вопрос.

Сравнительный анализ логики канторовского RAA-доказательства и классического метода контр-примера, позволил нам впервые обнаружить (хм, это в начале-то XXI века!) уникальный (в силу его абсолютной новизны) мета-математический факт, а именно, что ключевым моментом канторовского доказательства является явное использование метода контр-примера. В общем виде этот факт формулируется следующим образом [6-8].

ОТКРЫТИЕ-XXI. Знаменитый Диагональный Метод Кантора (в любой его мета-математической реализации) является специальным случаем метода контр-примера, в котором сам контр-пример не отыскивается в множестве всех возможных реализаций данного общего утверждения, а алгоритмически дедуцируется из того общего утверждения, которое этот контр-пример и призван опровергнуть (в форме дедуктивного вывода [B B], здесь B= «список (1) содержит все д.ч. из Х»).

Как известно, для того, чтобы в рамках метода контр-примера опровергнуть общее утверждение, достаточно единственного контр-примера. И тот факт, что множество таких контр-примеров может быть бесконечным не играет в таком опровержении никакой роли. Другими словами, опровержение общего утверждения B = «список (1) содержит все д.ч. из Х» с помощью данного контр-примера, - канторовского АД-д.ч. y1 (1), - и вопрос о фактическом количестве таких контр-примеров, т.е. вопрос о мощности множества Y1 всех возможных контр-примеров (канторовских АД-д.ч. для списка (1)), являются абсолютно различными и независимыми проблемами. Причем (предположительно, несчетная) мощность множества X определяется теперь мощностью именно бесконечного множества Y1 всех канторовских АД-д.ч., порождаемых применением ДМК к данному списку (1) [5-10].

Именно это открытие и объясняет тот странный (с теоретико-множественной точки зрения) факт, что для доказательства несчетности континуума Кантору, вообще говоря, достаточно единственного АД-д.ч., не принадлежащего списку (1).

В Интернете есть такой весьма представительный, высоко профессиональный дискуссионный FOM-сайт по основаниям математики (FOM = Foundations Of Mathematics), «модератором» которого является Martin Davis, а его постоянными участниками - John Conway, Colin McLarty, John McCarthy, Milo Gardner, Gordon Fisher, Harvey Friedman, Robert Solovay, Stewart Shapiro, Solomon Feferman, Jaroslav Peregrin, Vladik Kreinovich, Vladimir Kanovei и множество других ведущих современных мета-математиков, «математических» логиков и специалистов в области аксиоматической теории множеств.

В прошлом году я послал на этот сайт «открытым текстом» провокационное сообщение о том, что в России (!) сделано сенсационное (!) мета-математическое (!) открытие (!) (см.выше ОТКРЫТИЕ-XXI). Реакция FOM-сайта легко прогнозировалась: «Хм! -Открытие! Где? - В России! В какой области? - В мета-математике! Когда? - В XXI веке! - Чушь! Спустить на него всех собак, ату его!» - Провокация достигла своей цели: нашлось немало АТМ-профессионалов, которые начали обвинять меня в логической «неадекватности», поскольку метод контр-примера, по их мнению, нельзя использовать в рамках канторовского доказательства «от противного», поскольку ложность допущения «Х - счетно» канторовского доказательства следует якобы не из существования контр-примера, а из «полученного противоречия» [B B] и т.п. - Одним словом, как на рентгене проявился весь липовый профессионализм ряда признанных АТМ-авторитетов именно в области элементарной логики. Эти «специалисты» продолжали бы и до сего дня выражать свое категорическое возмущение по поводу моего мета-математического Отрытия-XXI, если бы на них вовремя не «цыкнул» FOM-модератор Martin Davis:

On Monday 01 Mar 2004, Martin Davis wrote [30]:

>Given any one-one correspondence between the natural numbers and a specified set of real numbers, the diagonal method provides a counter-example in precisely Zenkin's sense.

В переводе на русский это звучит так: «Если дано любое 1-1-соответствие между натуральными числами и данным множеством действительных чисел, то диагональный метод порождает контр-пример именно в том смысле, как утверждает Зенкин».

Возникает скандальная ситуация! - Более ста лет выдающиеся (и не очень) профессионалы в области мета-математики, математической логики, аксиоматической теории множеств и прочие бурбакисты каждый год учат (правильнее сказать зомбируют) новые поколения студентов, «как правильно доказывать» несчетность континуума с помощью знаменитого диагонального метода Кантора, абсолютно не понимая логической природы этого метода!

Воистину, «патологический казус, от которого, - согласно Брауэру, - грядущие поколения придут в ужас»! - Или, скорее, будут смеяться «от души», но ... «до упаду».

В любом случае, указанный «казус» заставляет усомниться в логической (и, что немаловажно, этической) правомерности безапелляционного вердикта выдающегося мета-математика современности Wilfrid .Hodges'а (17300 ссылок в Google!) о том, что «в диагональном доказательстве Кантора нет никаких ошибок» («...there is nothing wrong with Cantor's argument» [28]). - Ведь на W.Hodges'а «равняется» и подрастающее поколение бурбакистов (см., например, [15, 3]).

В равной мере это относится и к весьма пафосному, но явно неадекватному (здесь - ложному) заключению моего уважаемого оппонента: «Таким образом, несмотря ни на какие противоречия, ... мы говорим: "Infinitum Actu Datur!" (актуальная бесконечность существует!)».

ЛИТЕРАТУРА

1. Станишевский О.Б. Апология бесконечности. - философия.ру, 2004

2. Зенкин А.А. Новый подход к анализу проблемы парадоксов. - Вопросы философии. 2000, №10, 79-90. См. http://www.ccas.ru/alexzen/index.html

3. Зенкин А.А. Infinitum Actu Non Datur. // Вопросы философии. 2001, №9, стр. 157-169.

4. Зенкин А.А. Ошибка Георга Кантора. // Вопросы философии. 2000, №2, 165-168.

5. Зенкин А.А. Когнитивная визуализация трансфинитных объектов классической (канторовской) теории множеств. // Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. М.: «Янус-К», МГУ, 1997.

6. Зенкин А.А., О логике «правдоподобных» мета-математических заблуждений. - Всесоюзная конференция “Научная сессия МИФИ-2004”. Сборник научных трудов, том 3 “Интеллектуальные системы и технологии”, стр. 182 - 183

7. Зенкин А.А., Априорные логические суждения с нулевой онтологией. - Сборник «Математика и опыт», изд. МГУ, 2004, ред. проф. А.Г.Барабашев, стр. 423-434.

8. Зенкин А.А., “Диагональный метод Кантора: «мухи - отдельно, котлеты - отдельно”. - VIII Общероссийская научная конференция «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке», Секция «Символическая логика». Труды Конференции, изд-во Санкт-Петербургского государственного Университета, 2004. Стр. 487 - 491.

9. Zenkin A.A., Scientific Intuition Of Genii Against Mytho-"Logic" Of Transfinite Cantor's Paradise. - International Symposium - Philosophical Insights into Logic and Mathematics (PILM 2002): The History and Outcome of Alternative Semantics and Syntax, 2002, Nancy, France. Proceedings, pp. 141-148

10. Zenkin A.A., Gцdel's numbering of multi-modal texts. - The Bulletin of Symbolic Logic, Vol. 8, No. 1, March 2002, p. 180.

11. Станишевский О.Б. Аритмология (Введение в онтологию): Бесконечность и рефлексивная сущность Бытия. - Таганрог, 2003.

12. Бурова И.Н. Парадоксы теории множеств и диалектика. - М., 1976.

13. Зенкин А.И., Зенкин А.А. Об одном методе построения оптимальных классификаций. - Discrete Mathematics, Banach Center Publications. 1982. V. 7. P. 197-204.

14. Бочвар Д.А. К вопросу о парадоксах математической логики и теории множеств. - Математический сборник, 1944. Т. 15 (57). С. 369-382.

15. Шрамко Я., «Ошибка Георга Кантора?». - Вопросы философии, 2001, No. 9, стр. 154-156.

16. Н.Бурбаки, Теория множеств. - Москва: МИР, 1965

20. Кантор Г., Труды по теории множеств. - М.: Наука, 1985.

21. Гильберт Д. Основания геометрии. - Москва 1948 Ленинград: ОГИЗ Государственное издательство технико-теоретической литературы, Добавление VIII, стр. 338-364.

22. Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. - М.: Мир, 1966.

23. Клини С. Введение в метаматематику. - М.: Мир, 1957. с. 42

24. Zenkin A.A., As to strict definitions of potential and actual infinities. - FOM-archive http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2002-December/006072.html (FOM = Foundations of Mathematics).

24a. A.A.Zenkin, Logic of Actual Infinity and G.Cantor's Diagonal Proof of the Uncoumtability of the Continuum. - The Review of Modern Logic, Vol. 9, No. 3&4, 27-82 (2004).

25. An Interview with Vladimir Igorevich Arnol'd by S. H. Lui. - Notices of the AMS, v.44, No. 4, 432-438 (1997).

26. Arnold V.I., "International Mathematical Congress in Berlin." - Vestnik RAN, Vol. 69, no.2, 163-172 (1999).

27. Арнольд В.И., "Антинаучная Революция и Математика". - Вестник РАН, 1999, No. 6, 553-558

28. Wilfrid Hodges, An Editor Recalls Some Hopeless Papers. - The Bulletin of Symbolic Logic, Vol. 4, No. 1, pp. 1-17, 1998.

29. Пол Дж.Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза. - М.: МИР, 1969.

30. [FOM] RE: [HM] Cantor's diagonal proof. -

http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2004-March/007997.html

31. Зенкин А.А., "Научная контр-революция в математике". - Независимая газета от 19 Июля, 2000 г. Приложение "НГ-НАУКА", стр. 13.

Интеренет-адрес: http://science.ng.ru/magnum/2000-07-19/5_mathem.html (in Russian)

Размещено на Allbest.ru