Методы решения систем линейных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Дальневосточный федеральный университет»

(ДВФУ)

Школа естественных наук

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

Аналитическая геометрия и алгебра

г. Владивосток 2012

Лекция 1. Конечные суммы и их свойства. Вычисление определителя и . Системы координат: декартовая, полярная

Цель: Изучить понятие конечной суммы и ее свойства, понятие определителя и простейшие методы его вычисления. Знать декартовую и полярную системы координат.

В математике часто рассматривают суммы большого числа слагаемых которые имеют один и тот же вид, но различаются индексами. Для них используют символ суммы (от латинского слова ). Под символом суммы ставится «индекс суммирования» (любая буква) и значение от которого наш индекс изменяется (некоторое целое число) сверху над символом ставится значение, до которого данный символ изменяется - это пределы суммирования. После символа суммы ставится суммируемое выражение.

Определение. Символ , после которого стоит некоторое выражение, содержащее индекс , обозначает сумму этих выражений для всех значений индекса от до и называется конечной суммой и записывается или .

Здесь символ - индекс суммирования, интервал - интервал суммирования, - суммируемое выражение.

Очевидно, что вместо может быть взята любая другая буква, т.е. . Если или , то значение суммы равно нулю.

Примеры:

Замечание. Иногда вместо пишут , тогда символ означает сумму всех таких , что целое число удовлетворяет условиям . Если таких целых нет, сумма считается равной . Наконец, если включает два или больше условий, это означает, что все условия должны выполняться одновременно.

Свойства конечных сумм

где двойная сумма может быть записана как

5) , (замена индекса). Причем - взаимно однозначная функция.

Иногда требуется записать сумму всех слагаемых кроме одного или двух. Если пропущено слагаемое с номером , это записывается в виде

Вычисление определителя

Определитель (детерминант) матрицы - это число, (обозначаемое , ?, ) которое сопоставляется квадратной матрице и может быть вычислено по ее элементам в соответствии со следующими правилами.

Детерминантом матрицы порядка называется единственный элемент этой матрицы:

Для матрицы второго порядка мы имеем следующую формулу:

из произведения элементов главной диагонали вычитаем произведение элементов побочной диагонали.

Для определителя третьего порядка применяют следующее правило:

1) Правило параллельного переноса.

т.е. дописываем первые два столбца определителя матрицы. Далее суммируем произведения элементов главной диагонали и двух параллельных и вычитаем из них произведения элементов побочной диагонали и двух ей параллельных (над верхними элементами диагоналей проставлены соответствующие знаки).

2) Правило треугольника.

Системы координат

1. Декартова система координат.

Рис.1.1

Возьмем в пространстве произвольную точку и рассмотрим некоторую точку . Соединив эти точки мы получим вектор, который называется радиус-вектором точки по отношению к точке . Если в пространстве выбрать какой-либо базис (рис 1.1), то точке можно поставить в соответствие упорядоченную тройку чисел - компоненты ее радиус-вектора.

Определение: Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Итак, рассматриваем три взаимно ортогональные оси в трехмерном пространстве, исходящие из общей точки (начала координат и образующие правую тройку).

Рис.1.2.

Оси , , называются осями координат: абсцисса, ордината и аппликата. Плоскости , , называются координатными плоскостями, которые делят все пространство на октаны. Мы рассматриваем радиус-вектор точки .

Определение: Под декартовыми прямоугольными координатами точки понимаются проекции ее радиус-вектора на соответствующие оси координат, т.е. , , (рис.1.2.). Для краткости их просто называют прямоугольными координатами.

Легко видеть, что при заданной системе координат координаты точки определены однозначно. И наоборот, каждая упорядоченная тройка чисел определяет единственным образом точку в пространстве.

Радиус-вектор является диагональю параллелепипеда. Поэтому

Если обозначить через углы, образованные радиус-вектором с координатными осями (рис.1.2.), то будем иметь:

Эти косинусы называются направляющими косинусами радиус-вектора точки . Из (2), учитывая (1), получаем важное соотношение:

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов радиус-вектора точки пространства равна единице.

Из формулы (2) следует, что координата точки положительна, если радиус-вектор этой точки образует с осью острый угол, и отрицательна, если этот угол тупой.

Измерения параллелепипеда равны расстояниям точки соответственно от координатных плоскостей , , .

Определение: Декартовые прямоугольные координаты точки пространства представляют собой расстояния от этой точки до координаты плоскостей, взятые с надлежащим знаком.

Кроме прямоугольной декартовой системы координат используют полярную систему координат. Эта система определена на плоскости, если существует точка , называемая полюсом и исходящий из этого полюса луч , который называется полярной осью.

Рис.1.3.

В данной системе положение точки фиксируется двумя числами: радиус-вектором точки и углом между полярной осью и вектором , т.е.

Угол называется полярным, отсчитывается от полярной оси в направлении против часовой стрелки. У плюса точки , а угол не определен. У всех остальных точек и изменяется в пределах от до , измеряется в радианах.

Если мы поместим полярную систему координат полюсом в начало прямоугольной декартовой системы координат, то декартовы координаты будут выражаться через полярные по формулам:

(1.4)

Полярные координаты через декартовые выражаются соотношениями:

, (1.5)

Лекция 2. Комплексные числа и действия над ними

Определение. Комплексным числом называется выражение вида

(2.1)

(алгебраическая форма), где , а - мнимая единица, удовлетворяющая условию

(2.2)

называют действительной частью комплексного числа и обозначают , называют мнимой частью комплексного числа и обозначают . Множество всех комплексных чисел будем обозначать через .

Геометрический смысл комплексного числа

Комплексное число изображается в плоскости точкой с координатами либо вектором, начало которого находится в точке , а конец в точке (рис. 1.3).

Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается

(2.3)



Рис. 2.1

Угол , образованный положительным направлением оси ОХ и вектором , называется аргументом комплексного числа и обозначается , где - главное значение аргумента, . Главное значение аргумента комплексного числа может быть найдено с помощью формулы:

Если в алгебраической форме записи комплексного числа вместо декартовых координат точки подставить их полярное представление (1.4), то получим тригонометрическое представление комплексного числа.

Определение. Каждое комплексное число, отличное от нуля, можно записать в тригонометрической форме

 (2.6)

где .

С помощью формулы Эйлера:

(2.7)

каждое комплексное число может быть записано в показательной форме

. (2.8)

Число называется сопряженным комплексному числу .

Выполняются следующие равенства: ; ;

;

Аналогично доказывается, что ; ; .

Важно знать, что (2.9)

Операции над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Определение. Два комплексных числа называются равными, если у них совпадают действительные и мнимые части, т.е. , если и .

1. Сложение и вычитание

Действие сложения и вычитания комплексных чисел и производится по правилу сложения и вычитания двучленов

.

Группируя отдельно действительную и мнимую части, получим формулу:

(2.10)

2. Умножение.

Действие умножение комплексных чисел и производится по правилу умножения двучленов

раскроем скобки

используя формулу (2.2) и группируя действительные и мнимые слагаемые, получим выражение:

(2.11)

3. Деление.

Чтобы преобразовать дробь в комплексное число, необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряжённое к знаменателю, в числителе произвести действие умножения, а для знаменателя воспользоваться формулой (2.9)

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической или в показательной форме

1. Умножение:

При умножении двух комплексных чисел заданных в тригонометрической или показательной формах их модули перемножаются, а аргументы складываются:

Докажем формулу (2.14). Пусть ,

Деление:

При делении двух комплексных чисел заданных в тригонометрической или показательной формах их модули делятся, а аргументы вычитаются:

Лекция 3. Понятие многочлена, корни многочленов, кратность корня, основные теоремы алгебры, следствия из теорем

2. Возведение в степень.

Для возведения комплексного числа в целую положительную степень применяют формулу Муавра:

(3.1)

Данная формула является следствием формулы (2.14).

Пример. Возвести комплексное число в степень:
1) .

Решение. 1. Пусть , тогда для комплексного числа в числителе и знаменателе найдем модуль и аргумент и перепишем в показательной форме, имеем , значит ,а , , , , тогда получим

3. Извлечение корня порядка .

Определение. Корнем -й степени из комплексного числа называется комплексное число , такое что , где - натуральное число. Обычно используется обозначение .

Корень -й степени из комплексного числа имеет различных значений, которые находятся по формуле Муавра-Лапласа:

Или через показательную форму

Где .

Точки, соответствующие являются вершинами правильного - угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом .

Способ построения для (рис.3.1):

1) Из начала координат описываем окружность радиуса .

2) Если то из начала координат проводим луч под углом к положительному направлению . Пересечение луча с окружностью дает точку .

3) Вписываем в окружность правильный - угольник, одна из вершин которого найденная точка . Точки пересечения - угольника и окружности есть решения .



Рис. 2.2

Пример. Найдем все значения .

Решение. Тригонометрической формой числа 1 является: .

Значениями являются числа: , различными будут лишь корни при следующих значениях ,

Полученные значения являются вершинами правильного треугольника вписанного в окружность радиуса .

Пример. Корни -ой степени из единицы есть вершины правильного n-угольника, вписанного в единичный круг.

Определение. Многочленом одной переменной называется функция , где - действительные или комплексные коэффициенты, а - целое неотрицательное число. Если , называют степенью многочлена и обозначают , а - старшим коэффициентом. Многочлен называется нулевым, если все его коэффициенты равны нулю. Коэффициент при в нулевой степени называют постоянным или свободным членом.

Многочлены степени называются соответственно линейными, квадратичными (или квадратными), кубичными и т.д. В дальнейшем рассматриваются только действительные коэффициенты .

Определение. Корнем многочлена называется такое , при котором .

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен положительной степени имеет, по крайней мере, один корень действительный или комплексный.

Деление многочленов. Из курса элементарной алгебры известен метод деления уголком для целых чисел, аналогичный алгоритм имеет место и для многочленов.

Пусть даны два многочлена: и , где и, тогда многочлену сопоставляется одна и только одна пара многочленов , для которых , , называют частным деления, а - остатком.

Если , тогда говорят, что делится на .

Если многочлены имеют действительные коэффициенты, то и также имеют действительные коэффициенты.

Пример. Проверить, делится ли многочлен на .

Решение. Разделим многочлены столбиком, т.е.

Итак, многочлен делится на и может быть представлен в виде .

Теорема Безу. Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на линейный многочлен ().

Доказательство. В результате деления на () имеем . Степень , значит тогда подставим в , получим , следовательно и .

Теорема. При делении на , остаток , т.е. .

Пример. Проверить, делится ли многочлен на .

Решение. Разделим многочлены столбиком, т.е.

степень остатка меньше степени делителя, останавливаем деление.

Итак, многочлен не делится на и может быть представлен в виде .

Проверить, правильно ли выполнено деление можно, используя предыдущую теорему, согласно которой , действительно, , значит деление выполнено правильно.

Определение. Число называется - кратным корнем многочлена , если делится на , но не делится на . Корень кратности называют простым корнем.

Теорема. Если - корни многочлена степени - кратности соответственно и , тогда , где - многочлен степени ( такой, что .

Доказательство данной теоремы следует из теоремы Безу.

Правило определения кратности корня

Пусть - корень кратности многочлена степени , тогда

где , продолжая вычислять производные на - ом шаге получим,

, т.к. , следовательно, , тогда можно предложить следующее правило для вычисления кратности корня многочлена.

Для того чтобы определить кратность корня многочлена , вычисляем значения производных в точке и как только , тогда - кратность корня.

Лекция 4. Векторная алгебра. Понятие вектора, координаты, модуль вектора. Линейные операции над векторами. Базис

Цель: Изучить понятие вектора, равенства векторов, как определяются координаты вектора его модуль, линейные операции над векторами и их свойства, понятие базиса.

Определение. Направленный отрезок (упорядочивающий пару точек) будем называть вектором и обозначать , , где точку называют началом вектора, а - его концом (рис.4.1).

Необходимо знать, что в печатных изданиях часто векторные величины и векторы обозначают жирным шрифтом, без стрелки

Вектор, у которого начало и конец совпадают, будем называть нулевым вектором

Рис. 4.1

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, модулем или абсолютной величиной вектора и обозначают , .

Векторы называются коллинеарными, если существует прямая, которой эти векторы параллельны, пишут . Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными (направлены в одну сторону), и противоположно направленными. Обозначается соответственно , .

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору т.к. не имеет направления.

Свойство. Если вектор коллинеарен ненулевому вектору , то существует действительное число такое, что .

Определение. Два вектора считаются равными, если выполнено три условия: 1) их модули равны, 2) они параллельны, 3) направлены в одну сторону.

О равенстве векторов стоит поговорить отдельно, т.к. оно существенно отличается от равенства чисел. Два равных числа могут рассматриваться как одно и тоже. С векторами все иначе.

Из курса физики известно, что сила может быть изображена вектором. Но, силы изображаемые равными направленными отрезками производят, вообще говоря различные действия. Так сила действующая на упругое тело изображается направленным отрезком, который не может быть никуда перенесен из данной точки. Т.е. он характеризуется направлением и точкой приложения и называется приложенным вектором.

Сила действуещая на абсолютно твердое тело, изображается скользящим вектором, который может быть перенесен не в любую точку пространства, а лишь вдоль прямой на которой он лежит.

Все остальные равные вектора (множество направленных отрезков, равных данному) называются свободными векторами, с которыми мы и будем работать.

Линейные операции над векторами

Определение. Суммой называется вектор , который может быть найден по следующим правилам (рис.4.2).

Свойства сложения векторов:

1) , (коммутативность);

2) , (ассоциативность);

3) прибавление нулевого вектора к любому другому не меняет последнего ;

4) вектор, противоположный вектору , обозначается . Их сумма дает нулевой вектор .

Правило треугольника Правило параллелограмма

Рис. 4.2

Определение. Разность есть сумма (рис.4.3).

Рис.4.3

Определение. Произведением вектора на вещественное число называется любой вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

а) вектор коллинеарен вектору ;

б) ;

в) векторы и направлены одинаково если и противоположно направлены если

Свойства умножения вектора на число

1. Для любых действительных чисел и любого вектора верно равенство .(ассоциативность)

2. Умножение векторов на число дистрибутивно относительно сложения чисел

(дистрибутивность).

3. Умножение векторов на число дистрибутивно относительно сложения векторов

4. .

Применяя линейные операции над векторами мы можем составлять суммы векторов умноженных на некоторые вещественные числа.

Определение. Выражение вида , где - произвольные постоянные, называется линейной комбинацией векторов .

С помощью введенных выше линейных операций мы можем преобразовать выражения, составленные из линейных комбинаций: раскрывать скобки, приводить подобные члены, переносить некоторые слагаемые в другую часть равенства с противоположным знаком.

Свойства линейной комбинации

1. Если - параллельны, то каждая их линейная комбинация параллельна им.

2. Если - компланарны, то каждая их линейная комбинация компланарна с ними.

Определение. Пусть дана линейная комбинация , если только при условии, что , тогда линейная комбинация векторов называется тривиальной линейной комбинацией, если , и существует хотя бы один , то - нетривиальная линейная комбинация.

Определение. Если существуют такие , что - нетривиальная линейная комбинация, то говорят, что - линейно зависимы. В противном случае, т.е. если - тривиальная линейная комбинация, то - линейно независимы.

Теорема. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных.

Доказательство. Необходимость. Докажем, что если векторы линейно зависимы, то один из них является линейной комбинацией остальных. Поскольку векторы линейно зависимы, то, согласно определению, существует , при котором .

Пусть , тогда . Т.е. вектор является линейной комбинацией остальных.

Достаточность. Докажем, что если один из векторов является линейной комбинацией остальных, то векторы линейно зависимы. Пусть - линейная комбинация остальных векторов, тогда - линейно зависимы, поскольку при том, что .

Теорема.

1. Если хотя бы один из векторов , является нулевым, то эти векторы линейно зависимы.

2. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два линейно зависимых вектора коллинеарные.

3. Каждые три компланарных вектора линейно зависимы, и наоборот, три линейно зависимых вектора компланарны.

4. Каждые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство. (Приведем доказательство 1-го и 2-го утверждений теоремы, остальные доказываются аналогично).

1. Поскольку среди векторов есть нулевой, значит, в их линейной комбинации перед нулевым вектором может стоять любой ненулевой элемент, а перед остальными векторами будут стоять нулевые элементы, это и означает линейную зависимость векторов.

2. Докажем, что если два вектора коллинеарны, то они линейно зависимы. Если хотя бы один из векторов нулевой, то они линейно зависимы в силу предыдущего утверждения теоремы.

Если оба вектора ненулевые, то из свойства коллинеарности векторов следует, что существует действительное число такое, что или , поскольку и отличны от нуля и линейно зависимы.

Докажем теперь, что два линейно зависимых вектора -- и коллинеарны. Поскольку и линейно зависимы, следовательно, по определению, существуют действительные числа и , хотя бы одно из них отлично от нуля, такие, что , пусть , тогда , пусть , имеем , согласно свойству произведения вектора на число, это и означает коллинеарность векторов и .

Базис

Определение. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор лежащий на этой прямой или коллинеарный с ней.

Определение. Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора лежащих на этой плоскости или параллельных ей, взятые в определенном порядке.

Определение. Базисом в пространстве называют три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.

Определение. Говорят, что три линейно независимых вектора образуют базис в пространстве , если каждый вектор этого пространства можно представить как линейную комбинацию этих векторов, т.е. . Числа называются координатами вектора в базисе и вектор обычно записывают как .

Выражение называется линейной комбинацией вектора или разложением по базису.

Запись называется координатной формой записи вектора.

Равные векторы в одном базисе имеют равные компоненты.

При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число, т.е. если , то =.

При сложении двух векторов их координаты, стоящие перед соответствующими базисными векторами, складываются, т.е. =.

Утверждение. Любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке, образуют базис пространства.

Любые два неколлинеарных вектора на плоскости, взятые в определенном порядке, образуют базис на этой плоскости.

Любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, образует базис на этой прямой.

Теорема.

1. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.

2. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой плоскости.

3. Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве.

4. Компоненты вектора в каждом случае определяются однозначно.

Доказательство.

1. Поскольку вектор, параллельный прямой, и вектор, лежащий на прямой, ненулевые, существует число б такое, что положим, что .

2. , вектор является диагональю параллелограмма, построенного на векторах .

3. , вектор является диагональю параллелепипеда, построенного на векторах .

4. Доказательство единственности разложения вектора по определенному базису будем вести от противного. Пусть и , тогда .

Пусть - противоречие некомпланарности векторов .

Определение. Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса и некоторой точкой , называемой началом координат. Аффинными координатами точки М называются координаты вектора (относительно базиса ).

Определение. В случае декартовой прямоугольной системы координат базисом являются векторы единичной длины, лежащие на координатных осях и сонаправленные с ними , , , . Векторы взаимно ортогональны и их модули равны единице .

Т.е. векторы являются ортонормированным базисом декартовой системы координат. Базисные векторы имеют координаты , , .

Тогда каждый вектор может, и притом единственным образом, быть разложен по декартовому прямоугольному базису , т.е. существует такая тройка чисел , что справедливо равенство , - декартовы прямоугольные координаты, где , тогда , , где - углы между вектором и осями соответственно (рис. 4.5), а косинусы называются направляющими косинусами вектора.

Рис. 4.5

Лекция 5. Проекция вектора и ее свойства. Деление отрезка в заданном отношении. Скалярное произведение векторов

Цель: Изучить понятие проекции и ее свойства, методику деления отрезка в данном отношении, скалярное произведение векторов, его свойства, физическое приложение.

Определение. Проекцией вектора на вектор , обозначается называется число, равное где - угол между векторами и (рис.5.1).

Рис. 5.1.

Свойства проекции

1) Проекция суммы векторов равна сумме проекций составляющих (рис. 5.2).



Рис. 5.2

2) Проекция произведения вектора на число равна произведению числа на проекцию данного вектора (рис. 5.3).

Рис 5.3.

Теорема. Чтобы найти компоненты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала, т.е.

, где , (рис. 5.4).



Рис. 5.4

Найдем координаты точки , которая делит в отношении (). Отношение , в котором произвольная точка делит отрезок (Рис. 5.5) удовлетворяет равенству .

Рис.5.5.

Пусть , а , тогда разложим обе части равенства по базису , тогда , ,

т.к. , следовательно

. (5.1)

Когда делит отрезок пополам, имеем:

. (5.2)

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр) равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(5.3)

где - угол между векторами . Обозначают скалярное произведение как .

Т.к. , то скалярное произведение можно вычислить по формуле

или (5.4)

Физический смысл скалярного произведения: работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения. .

Свойства скалярного произведения

1) (коммутативность).

Непосредственно следует из коммутативности произведения чисел;

2) (дистрибутивность).

Для доказательства этого свойства воспользуемся линейным свойством проекции и формулой, связывающей скалярное произведение и проекцию. Поскольку и , тогда

= ;

2) Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора:

(5.5)

Выполняется для любого вектора , следует из определения, поскольку угол между вектором и равен нулю, тогда ;

4) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения

где - произвольное действительное число.

Доказывается по аналогии со свойством 2. Поскольку и , тогда ;

5) Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

(5.6)

Доказательство. Докажем, что если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю. Действительно, если и ортогональны, следовательно, - угол между векторами равен , тогда , тогда из определения следует, что .

Докажем теперь, что если скалярное произведение векторов равно нулю, то они ортогональны. Пусть оба вектора ненулевые, (т.к. в противоположном случае доказательство тривиально, поскольку нулевой вектор не имеет определенного направления и его можно считать ортогональным любому вектору). Тогда и , поэтому только в том случае, если , т.е. векторы должны быть ортогональны.

6) векторы ортонормированного базиса декартовой прямоугольной системы координат удовлетворяют соотношениям:

, т.к. векторы попарно ортогональны .

Если базисные векторы ортогональны, то для каждого вектора координаты в данном базисе будут равны: , поскольку - ортонормированный базис, тогда .

Геометрический смысл скалярного произведения: с помощью скалярного произведения можно вычислить проекцию вектора на вектор , и косинус угла между векторами:

Теорема. Если базис ортонормированный и , , то

(5.9)

где - координаты векторов в ортонормированном базисе.

Доказательство. Поскольку и , тогда найдем скалярное произведение векторов используя свойства дистрибутивности и ассоциативности:

=

=

.

Следствие. Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов и является условие .

Следствие. Длина (модуль) вектора равна .

Следствие. , где - угол между векторами .

Следствие. Если , тогда:

.

Лекция 6. Векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов, основные свойства. Условия ортогональности, коллинеарности, компланарности векторов

Цель: Изучить векторное и смешанное произведение векторов, их свойства, методы вычисления, условия ортогональности, компланарности и коллинеарности векторов.

Определение. Векторным произведением двух векторов , обозначают называется вектор удовлетворяющий трем условиям:

1) Модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах

(6.1)

2) Вектор ортогонален перемножаемым векторам: т.е. ортогонален плоскости построенного на этих векторах параллелограмма

3) составляют правую тройку векторов (рис.6.1).

Рис. 6.1

Свойства векторного произведения

координата матрица многочлен плоскость

1) (антикоммутативность)

Свойство следует из перемены ориентации векторов;

2) Скалярный множитель можно вынести за скобку ;

3) (дистрибутивность);

4) Векторный квадрат равен нуль-вектору:

(6.2)

Свойство непосредственно вытекает из определения векторного произведения

Теорема. Чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулю.

(6.3)

Доказательство. Докажем, что если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю. Действительно, т.к. векторы и коллинеарны, значит, угол между ними составляет либо . Тогда , т.е. длина вектора, полученного в результате перемножения коллинеарных векторов, равна нулю, это возможно только у нулевого вектора.

Докажем теперь, что если векторное произведение равно нулю, то векторы коллинеарны. Пусть оба вектора и ненулевые (в противном случае доказательство тривиально), тогда и , поэтому только в том случае, если , т.е. векторы должны быть коллинеарны.

Теорема. В ортонормированном базисе декартовой прямоугольной системы координат компоненты векторного произведения могут быть вычислены по формуле:

(6.4)

где , .

Доказательство. Поскольку и

Вместо можно взять любой ортонормированный базис.

Теорема (о коллинеарных векторах). Если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны:

(6.5)

Доказательство. Пусть и , т.к. вектор коллинеарен , тогда , согласно предыдущей теореме, выполняются равенства , получаем пропорцию .

Геометрический смысл векторного произведения

Поскольку , то значение длины векторного произведения совпадает с значением площади параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах. - площадь параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах.

- площадь треугольника, построенного на векторах .

Пример. Найти площадь треугольника построенного на векторах и , если ; ; . Решение.

Смешанное произведение

Определение. Под смешанным произведением векторов подразумевают число обозначаемое и получающееся в результате скалярного произведения вектора на векторное произведение .

Теорема (геометрический смысл смешанного произведения). Смешанное произведение трех некомпланарных векторов по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на сомножителях.

, причем - имеет знак «» если образуют правую тройка и «» если - левая тройка.

Доказательство.

- объем параллелепипеда, где - площадь основания, - высота параллелепипеда, - угол между вектором и вектором (рис. 6.2), тогда .

Рис. 6.2

Следствие. - объем пирамиды.

Свойства смешанного произведения

1) , данное свойство позволяет записывать смешанное произведение в виде . Действительно, из коммутативности скалярного произведения следует, что , докажем, что , равенство очевидно, поскольку и справа, и слева стоит объем параллелепипеда, построенного на одних и тех же векторах, знаки совпадают, поскольку векторы - имеют одинаковую ориентацию;

2) При перестановки местами двух соседних множителей, смешанное произведение меняет знак на противоположный

.

Данное свойство следует из антикоммутативности векторного произведения.

3) . Действительно, т.к. выполняется первое свойство, тогда , согласно линейным свойствам скалярного произведения, получаем равенство.

Теорема (смешанное произведение векторов в ортонормированном базисе). В ортонормированном базисе смешанное произведение может быть вычислено по формуле:

(6.6)

Доказательство. Действительно, смешанное произведение равно скалярному произведению векторов и , поскольку координаты , для скалярного произведения векторов в координатах получим =(т.к. четное число перестановок не меняет знак определителя) =

Теорема (о компланарных векторах). Для того, чтобы были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, т.е. выполняется равенство:

(6.7)

В самом деле, если векторы компланарны, то они по определению лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях, следовательно, объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, будет равен нулю, учитывая запись смешанного произведения в координатной форме, получаем требуемое равенство. В обратную сторону доказательство аналогично.

Следствие. Смешанное произведение трех векторов два из которых совпадают, равно нулю, например, .

Действительно, поскольку такие векторы заведомо компланарны, их сшешанное произведение будет равно нулю.

Определение. Вектор - называется двойным векторным произведением.

Свойства двойного векторного произведения

1) ;

2) ;

3) .

О размерностях векторных величин

В приложениях математики рассматриваются величины, изображаемые векторами: силы, скорости, моменты сил, которые имеют определенные размерности. Напомним основные правила действий с размерностями:

1) сумма имеет ту же размерность, что и слагаемые, и складывать можно векторные величины одинаковых размерностей;

2) при умножении вектора на скалярную величину их размерности перемножаются;

3) модуль векторной величины имеет ту же размерность что и вектор;

4) скалярное и векторное произведение имеют размерность равную произведению размерностей сомножителей.

Лекция 7. Аналитическая геометрия на плоскости. Алгебраические линии и плоскости. Уравнения прямой на плоскости

Цель: Изучить понятия алгебраической линии и алгебраической поверхности, виды уравнений прямой на плоскости и их основные характеристики.

Определение. Уравнение называется уравнением линии на плоскости (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты () любой точки, лежащей на линии , и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линиим. Здесь - геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению .

Определение: Линия называется алгебраической, если в декартовой прямоугольной системе координат она определяется уравнением , где - алгебраический полином, - показатели степени все целые неотрицательные числа, - некоторые постоянные.

Определение: Наибольшая из сумм показателей степеней называется степенью уравнения или порядком алгебраической линии

Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной.

Определение. Линией -го порядка называется алгебраическая линия, определяемая в декартовой прямоугольной системе координат алгебраическим уравнением -ой степени с двумя неизвестными.

Определение: Алгебраической называется множество, которое в какой-либо декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением , где - алгебраический полином, - показатели степени все целые неотрицательные числа, - некоторые постоянные.

Определение: Наибольшая из сумм показателей степеней называется степенью уравнения или порядком алгебраической поверхности.

О пересечении двух линий

Пусть даны две линии и , заданные соответствующими уравнениями: и . Для нахождения всех точек пересечения и следует решить систему

Уравнение прямой через заданную точку и вектор нормали

Определение: Всякий ненулевой вектор ортогональный прямой, с координатами , называется нормалью к прямой (рис. 7.1).

Рис. 7.1

Рассмотрим вектор проходящий через заданную точку и произвольную точку , т.к. то их скалярное произведение равно нулю . Записав его в координатной форме, получим уравнение прямой через точку и вектор нормали

. (7.1)

Общее уравнение прямой

Раскрывая в уравнении (7.1) скобки и обозначив получим общее уравнение прямой:

(7.2)

Если и определяют одну и ту же прямую, то существует такое действительное , что , , , т.е. коэффициенты пропорциональны.

Неполные уравнения прямой

Если и , то уравнение называется полным, рассмотрим неполные уравнения прямой.

, следовательно, прямая имеет вид: , т.е. прямая проходит через начало координат;

, следовательно, прямая имеет вид: . Откуда т.е. получили прямую параллельную оси : ;

, следовательно, прямая имеет вид: , Откуда т.е. получили прямую параллельную оси : ;

, следовательно, прямая имеет вид: и определяет ось ;

, следовательно, прямая имеет вид: и определяет ось .

Уравнение прямой в отрезках

Пусть - полное уравнение. Перенесем свободный член вправо и, в случае если , поделим на него . В сокращенных уравнениях мы уже ввели обозначения , тогда получим уравнение в отрезках:

(7.3)

Здесь отрезки отсекаемые прямой на соответствующих координатных осях (рис.7.2)



Рис.7.2

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Из общего уравнения , выразим Обозначим , тогда

(7.4)

где - отрезок, отсекаемый данной прямой от оси ординат , а - угловой коэффициент прямой. Уравнение (7.4) называется уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом .

Рассмотрим вектор , не параллельный оси . из (рис. 7.4) имеем , тогда , , обозначим , получим уравнение прямой с угловым коэффициентом.



Рис. 5.4

Уравнение прямой через точку и направляющий вектор

Определение: Всякий ненулевой вектор с координатами параллельный указанной прямой называют направляющим вектором этой прямой (рис. 7.3). Выберем на прямой произвольную точку и построим вектор . Т.к. векторы , то из условия коллинеарности векторов имеем пропорцию:

(7.4)

Которая дает нам каноническое уравнение прямой.

Рис.7.3

Уравнение прямой проходящей через две точки

Через любые две несовпадающие точки , можно построить прямую. Пользуясь условием параллельности векторов и (рис.7.4), где получаем:

(7.5)

уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Рис.7.4.

Параметрическое уравнение прямой

Рассмотрим каноническое уравнение прямой (7.4) Оно описывает пропорциональность координат. Введем коэффициент пропорциональности и распишем два равенства ,

. (7.6)

Полученное уравнение называется параметрическим уравнением прямой .

Если - время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то можно считать, что параметрическое уравнение прямой определяет значение движения материальной точки по прямой с постоянной скоростью .

Уравнение прямой через точку с заданным угловым коэффициентом

Из канонического уравнения прямой: , получаем , где отношение координат направляющего вектора дает угловой коэффициент прямой , тогда уравнение

(7.7)

Есть уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом .

Определение: Угловой коэффициент прямой, есть отношение координат нормального или направляющего векторов и равен тангенсу угла наклона прямой относительно положительного направления оси .

Нормированное уравнение прямой

Пусть - единичная нормаль заданной прямой , т.е. . Возьмем на прямой произвольную точку , координаты ее радиус вектора совпадают с координатами точки. Выразим уравнение прямой через угол и радиус вектор (рис. 7.5). Т.к. , то его координатами являются направляющие косинусы . Т.к. и , то , и следовательно .

Точка , ее проекция на вектор нормали равна радиус вектору . Но, проекцию точки на вектор можно вычислить через скалярное произведение (формула 5.7) . Приравнивая правые части и учитывая, что получим .

(7.10)

- нормированное уравнение прямой.

Рис. 7.5

Установим связь между нормированным и общим уравнением прямой.

Если дано :, то , , . , поэтому , , , где знак выражения зависит от (противоположный ), следовательно, получается нормированное уравнение

Определение. Совокупность лежащих на данной плоскости прямых, проходящих через точку , называют пучком прямых с центром в точке .

Теорема. Если и уравнения двух различных прямых, пресекающихся в некоторой точке , а и произвольные числа, причем , тогда есть уравнение прямой, проходящей через точку . Более того, какова бы ни была наперед заданная проходящая через точку прямая, она определяется выше записанным уравнением при некоторых и .

Лекция 8. Условия параллельности и ортогональности прямых, угол между прямыми, пучок прямых. Уравнения плоскости в пространстве

Цель: Изучить условия расположения прямых на плоскости, метод вычисления угла между прямыми. Изучить уравнения плоскости в пространстве и основные характеристики.

Расположение прямых на плоскости определяется по взаимному расположению их направляющих векторов или отношением угловых коэффициентов.

1. Пусть прямые заданы в общем виде. : и :, где , соответствующие им векторы нормали.

Если , то и координаты векторов пропорциональны .

Если , то и значит, скалярное произведение векторов равно нулю . В координатной форме это запишется как .

Если - угол между прямыми , то он равен углу между векторами и тогда

.

2. Пусть прямые заданы каноническим уравнением. : и :, где , соответствующие им направляющие векторы.

Если , то и их соответствующие координаты пропорциональны .

Если , то и их скалярное произведение равно нулю . В координатной форм .

Если - угол между прямыми то он равен углу между векторами и тогда

.

3. Пусть уравнения прямых заданы через угловой коэффициент. : и : (или в виде (7.7)). Тогда угол между прямыми, определяется как разность углов наклона прямых к положительному направлению оси : подставляя это в формулу тангенса разности, получим:

(8.1)

Или через угловые коэффициенты прямых

(8.2)

Из соотношения (7.9) легко определяются условия ортогональности и коллинеарности прямых.

Если , то угол между ними равен нулю и, следовательно , что возможно только при обращении в нуль числителя в формуле (7.9) и значит, для параллельных прямых .

Если , то , и следовательно не определен, т.е. знаменатель формулы (7.9) обращается в нуль :. Откуда получаем условие ортогональности прямых: .

Расстояние от точки до прямой

Выразим расстояние от произвольной точки на плоскости до прямой :. Пусть нам известны и лежащая на прямой. Тогда, расстояние от точки до прямой можно выразить через проекцию . И по формуле определяем: .

Раскрывая скобки получим:

(8..3)

Если дано нормированное уравнение прямой, то .

Определение. Если в пространстве задана произвольная плоскость и фиксирована произвольная декартова система координат, то плоскость определяется в этой системе координат уравнением первой степени (и наоборот: всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными определяет плоскость относительно данной системы координат).

Уравнение плоскости проходящей через точку и вектор нормали

Определение: Всякий ненулевой вектор ортогональный плоскости, с координатами , называется нормалью к плоскости.

Пусть на плоскости задана некоторая точка и вектор нормали . Если вектор , то ортогонален любой прямой этой плоскости (рис. 8.1), следовательно, , тогда их скалярное произведение обращается в ноль . Записывая последнее равенство в координатной форме получим:

(8.4)

где .

Рис. 8.1.

Общее уравнение плоскости

Раскроим скобки в уравнении (8.4) и обозначим константу . Получим уравнение:

(8.5)

- общее уравнение плоскости.

Если и определяют одну и ту же плоскость, то существует действительное число , такое, что , , , .

Неполные уравнения плоскости

- называется полным, если , рассмотрим различные неполные уравнения плоскости:

1) - плоскость проходит через начало координат

2) - плоскость параллельная оси , так как ;

3) - плоскость параллельная оси , так как ;

4) - плоскость параллельная оси , так как .

Уравнение плоскости в отрезках

Если дано полное уравнение плоскости , тогда с помощью преобразований аналогичных уравнению прямой можно получить уравнение плоскости в отрезках (рис.8.2):

. (8.6)

Рис 8.2

где - отрезки, которые отсекает плоскость от координатных осей , и соответственно (рис. 8.2), могут быть меньше нуля.

Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки

Даны три точки: , , .

Чтобы произвольная точка пространства принадлежала плоскости, т.е. , необходимо и достаточно, чтобы

Рис. 8.3

векторы были компланарны (рис. 8.3), следовательно, смешанное произведение векторов должно равняться нулю . Записывая данное равенство в координатной форме получим уравнение плоскости проходящей через три точки:

(8.7)

Уравнение плоскости через точки и направляющие вектора

Определение: Два произвольных неколлинеарных вектора, лежащих в указанной плоскости или параллельных ей, называются направляющими векторами данной плоскости.

Для того, чтобы записать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и два направляющих вектора плоскости , воспользуемся условием компланарности векторов (рис.8.4), где произвольна точка пространства принадлежащая плоскости.

Рис.8.4

или в координатной форме:

(8.8)

Нормированное уравнение плоскости

Пусть дана - единичная нормаль и расстояние от точки до начала координат , выразим уравнение плоскости через: и углы между осями и вектором (рис. 8.5).

Рис. 8.5

Координаты вектора , очевидно тогда и только тогда, когда , следовательно, должно выполняться равенство , отсюда получаем нормированное уравнение плоскости .

Чтобы привести полное уравнение к нормированному виду, нужно каждый коэффициент уравнения умножить на нормирующий множитель , знак зависит от . Знак выбираем противоположный , т. к. .

Расстояние от произвольной точки пространства до указанной плоскости определяется аналогично расстоянию от точки до прямой :

(8.9)

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L, называется пучком плоскостей (с центром в L).

Теорема. Если даны две не параллельные плоскости , и , а и - какие угодно числа неравные нулю одновременно, то

есть уравнение плоскости, проходящей через прямую L.

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку , называется связкой плоскостей (с центром в ).

Теорема. Уравнение связки с центром в имеет вид , где и не равны нулю одновременно.

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Пусть даны две плоскости: и , где - угол между нормальными векторами плоскостей, тогда .

Если то и .

Если то и .

Лекция 9. Уравнение прямой в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве, разные задачи

Цель: изучить уравнения прямой в пространстве и их характеристики, методы определения взаимного расположения прямой и плоскости.

Прямая как пересечение двух плоскостей

Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух непараллельных плоскостей (рис.9.1)

(9.1)

Рис. 9.1

Каноническое уравнение прямой

Ненулевой вектор параллельный заданной прямой будем называть направляющим вектором этой прямой (рис. 9.2). Выведем уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный направляющий вектор .



Рис. 9.2

Возьмем произвольную точку пространства лежащую на прямой , построенный на точках вектор будет параллелен направляющему вектору . В координатной форме это условие запишется:

(9.2)

Уравнение принято называть каноническим уравнением прямой в пространстве.

Задача. Как от уравнения вида (9.1) перейти к уравнению вида (9.2).

Достаточно найти: 1) хотя бы одну точку , решая систему уравнений (9.1);

2) т. к. и , можно найти , воспользовавшись свойством векторного произведения: .

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки

Пусть даны две точки в пространстве: и .

Произвольная точка тогда и только тогда, когда (рис. 9.3) (или можно воспользоваться каноническим видом (9.2)).

Рис. 9.3

Условие коллинеарности векторов в координатной форме дадут уравнение:

(9.3)

- уравнение прямой, проходящей через две точки.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Возьмем каноническое уравнение прямой и приравняем его к произвольному параметру : .

Раскрывая пропорции, получим параметрическое уравнение прямой в пространстве

(9.4)

Если принять параметр за время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью (такое движение происходит по инерции).

Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых плоскостей

Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями:

, - направляющий вектор ,

, - направляющий вектор .

Тогда .

Прямые параллельны, если , то есть . Прямые ортогональны, если то , .

Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости

Прямые в пространстве могут быть:

Для того, чтобы прямые принадлежали плоскости , необходимо и достаточно, чтобы , , были компланарны

(рис. 9.4) , т. е. , .

Рис. 9.4

Чтобы пересекались, должно выполняться еще одно условие, а именно: их направляющие вектора не должны быть коллинеарными .