Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Пусть даны плоскость , и прямая (рис 9.5) - угол между прямой и плоскостью . Определим его значение. Т. к. , и . Мы получили, что угол между прямой и плоскостью можно вычислить по формуле:

(9.5)

Рис. 9.5

Подставляя координаты векторов получим выражение .

Если прямая параллельна плоскости, , то и следовательно или .

Если прямая ортогональна плоскости , то и выполняется пропорция .

Для того чтобы прямая принадлежала плоскости необходимо, чтобы выполнялись условия:

1) , то есть ;

2) (, то есть ).

Определение. Совокупность всех прямых, проходящих через данную точку , называется связкой прямых (с центром в точке ).

Уравнение связки прямых: , где (и ).

Пример. Дано общее уравнение прямой: , нужно найти каноническое уравнение этой прямой.

Решение. , , , значит . Найдем точку, принадлежащую , полагая что , следует, , , принадлежит , следовательно, .

Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве

Задача 1. Найти условие пересечения трех плоскостей в одной и только одной точке.

Чтобы три плоскости пересекались в одной точке необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Задача 2. Записать уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярную данной плоскости (рис. 9.6)

Рис. 9.6

Искомая прямая имеет вид .

Задача 3. Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку (рис. 9.7).

Рис. 9.7

1) находим нормальный вектор для нашей плоскости ;

2) используя точку и найденный нормальный вектор , записываем общее уравнение плоскости ..

Задача 4. Найти расстояние от точки до плоскости (рис 9.8) .

Поскольку расстояние от точки до плоскости есть проекция вектора соединяющего эту точку и любую точку на плоскости на нормальный вектор плоскости, поэтому ,

.

Рис. 9.8

(9.6)

Задача 5. Найти расстояние от точки до прямой (рис. 9.10).

Пусть прямая имеет вид , поскольку верна формула , т. к. расстояние от точки до прямой есть высота параллелограмма построенного на векторах , тогда .

Рис. 9.10

Задача 6. Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми (рис. 9.11).

Напомним, что две прямые называются скрещивающимися, если они не принадлежат одной плоскости.

Алгоритм действий при решении данной задачи может быть следующим:

1) проверяем, являются ли прямые скрещивающимися, для этого достаточно проверить будут ли направляющие векторы прямых и вектор, соединяющий две произвольные точки, принадлежащие прямым, компланарны, т.е. . Если смешанное произведение равно нулю, то прямые не являются скрещивающимися и наоборот, если , тогда прямые скрещивающиеся;

2) расстояние между скрещивающимися прямыми равно высоте параллелепипеда построенного на векторах , находим тогда расстояние можно вычислить по формуле:

.

Рис. 9.11

Лекция 10. Матрицы и действия над ними

Цель: Изучить понятие матрицы, виды матриц, основные понятия, действия над матрицами и их свойства.

Определение: Система действительных или комплексных чисел (или функций) записанная в виде прямоугольной таблицы называется матрицей содержащая некоторое количество строк и столбцов. Числа и называются порядком матрицы.

Матрицу записывают в виде:

или

Числа - называются элементами матрицы. Индексы и - указывают на место элемента в матрице: - номер строки, - номер столбца. (, ).

Для краткости матрицы иногда записывают в виде: , , .

Определение: Матрица, у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной. Для нее вводится понятие главной и побочной диагоналей. Главная диагональ идет из левого верхнего угла в правый нижний угол. Побочная - из верхнего правого угла в левый нижний.

Виды матриц:

1. Треугольные матрицы: все элементы лежащие выше или ниже главной (побочной) диагонали равны нулю.

Нижняя треугольная верхняя треугольная

2. Диагональные матрицы: ненулевые элементы стоят только на главной диагонали. Т.е. для всех

Особое место среди диагональных матриц занимает единичная матрица:

, ее элементы

3. Симметричные матрицы: все ее элементы симметричны относительно главной диагонали.

4. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нуль-матрицей и обозначается

Матрица размерности называется матрицей столбцом, просто столбцом или вектор столбцом.

Матрица размерности называется матрицей строкой, просто строкой или вектор строкой.

Матрица столбец - , матрица строка - .

Определение: матрицы называются равными, если они имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы равны: , для любых .

Операции над матрицами

Определение. Суммой двух матриц и одинаковой размерности называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен

(10.1)

(), (матричная запись суммы двух матриц).

Из определения суммы матриц видим, что строки можно рассматривать как координаты векторов и соответственно производить операции над матрицами, как над векторами.

Свойства суммы матриц

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность).

Определение. Произведением матрицы на число , называется матрица , элементы которой определяются по формуле:

(10.2)

( .).

Свойства умножения матрицы на число

1) дистрибутивность относительно суммы числовых множителей;

2) дистрибутивность относительно суммы матриц;

3) ассоциативность относительно числового множителя;

4) ;

5);

Определение. Матрица , () называется противоположной матрице , ().

Определение. Произведением матриц и , называется матрица:

 (10.3)

размерности ().

Из формулы видно, что матрицы перемножаются только в том случае, когда число столбцов первой матрицы, совпадает с числом строк второй матрицы.

Формулу (10.3) можно рассматривать как совокупность скалярных произведений вектор-строк матрицы на вектор-столбцы матрицы .

Замечание. Каждый элемент матрицы равен сумме произведений соответствующих элементов строки матрицы , на столбец матрицы . Соответственно количество столбцов матрицы должно совпадать с количеством строк матрицы .

Свойства произведения матриц

1) (антикоммутативность);

2) дистрибутивность относительно суммы матриц;

3) ;

Замечание: Если матрицы и обладают тем свойством, что , то такие матрицы называются коммутирующими.

Пусть матрица диагональная матрицей , где

, то для любой квадратной матрицы выполняется свойство .

Свойства нулевой и единичной матриц

1) для любой ;

2) для любой ;

3) для любой .

Определение. Если ненулевая матрица, то матрица называется транспонированной по отношению к матрице ,

.

Если , то - симметрическая матрица.

Если , то - кососимметрическая матрица.

Свойства операции транспонирования матриц

1) ;

2) ;

3) .

Определение. Действительная квадратная матрица , удовлетворяющая условию , называется ортогональной матрицей, .

Определение. Следом - квадратной матрицы называется сумма всех её диагональных элементов: .

Лекция 11. Определители: вычисление и свойства

Цель: Изучить основные понятия темя, методы вычисления определителя, знать и уметь применять его свойства.

Всякую квадратную матрицу можно охарактеризовать числом, которое называется определитель или детерминант и может обозначаться одним из следующих символов: , , , ,

Прежде чем вычислять определитель введем в рассмотрение следующие определения.

Определение. Минором произвольного элемента матрицы размерности называется определитель порядка , полученный из основного определителя матрицы путем вычеркивания - ой строки и -го столбца.

Пример: Для матрицы найти миноры , .

Для вычисления минора вычеркиваем из определителя первую строку и первый столбец. Все, что осталось от определителя есть искомый минор: .

Для вычисления минора вычеркиваем из основного определителя строку с номером два и столбец с номером три: .

Определение: Алгебраическим дополнением элемента матрицы размерности называется выражение вида:

(11.1)

Другими словами, алгебраическое дополнение есть минор, взятый со своим знаком. Знаки алгебраического дополнения для матрицы третьего порядка можно записать в виде таблицы .

Теорема (о разложении определителя). Каков бы ни был номер столбца , для определителя порядка справедлива формула:

(11.2)

Разложения по строке , где -алгебраическое дополнение элемента , - минор элемента матрицы .

Каков бы ни был номер строки , для определителя порядка справедлива формула:

(11.3)

Разложение по столбцу.

Методы вычисления определителя:

При определитель равен самому элементу, т.е. .

При =2: ==

.

Правила для вычисления определителя 3-го порядка

1. Правило параллельного переноса.

т.е. дописываем первые два столбца определителя матрицы. Далее суммируем произведения элементов главной диагонали и двух параллельных и вычитаем из них произведения элементов побочной диагонали и двух ей параллельных (над верхними элементами диагоналей проставлены соответствующие знаки).

2. Правило треугольника.



В данном правиле берется произведение элементов главной диагонали со знаком «» и произведение элементов двух параллельных ей диагоналей, которые замыкаются треугольником до углового элемента. Из этой суммы вычитаются произведение элементов побочной диагонали и произведения элементов двух параллельных ей диагоналей, которые замыкаются треугольником до угловых элементов.

Определение: Матрица называется вырожденной или особенной, если ее определитель равен нулю.

Свойства определителя

Все свойства определителя следуют из определения определителя и свойств конечных сумм, приводятся без общих доказательств с демонстрацией на примере определителей 2-го и 3-го порядков.

Свойство 1. Равноправность строк и столбцов. Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами

(11.4)

Т.е. .

Для доказательства этого свойства достаточно вычислить определители в левой и правой частях равенства и убедиться в равенстве полученных при этом членов.

В связи с этим свойством в дальнейшем вместо слов «строка» или «столбец» будем говорить просто «ряд», подразумевая их равноправность.

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определителя его модуль сохраняет прежнее значение, а знак меняется на противоположный

Пример: .

Для доказательства этого свойства достаточно вычислить по правилу треугольника определители, стоящие в правой и левой частях равенства.

Следствие 1: Определитель с двумя одинаковыми рядами равен нулю.

Действительно, при перестановке двух одинаковых рядов абсолютное значение определителя не изменится, а, с другой стороны, в силу свойства 2 изменит знак на противоположный, т.е. , значит , следовательно, .

Следствие 2. Сумма произведений элементов какого либо ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.

Действительно, все такие разложения представляют из себя определители, содержащие два одинаковых ряда:

Свойство 3. Общий множитель элементов какого либо ряда можно выносить за знак определителя.

.

Действительно, поскольку определитель можно вычислить, раскладывая его по элементам строки (столбца), вычислим определитель, раскладывая его по элементам строки, умноженной на число , тогда каждое слагаемое будет содержать множитель, который может быть вынесен за скобку.

Следствие 1. Если все элементы какого-либо ряда равны нулю, то определитель равен нулю.

Следствие 2. Если все элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.

Действительно,

Свойство 4. Линейное свойство определителя. Если в определителе -го порядка некоторая -ая строка представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей. Первый определитель будет иметь в -ой строке первые из упомянутых слагаемых , элементы в остальных строках будут такими же, как и в исходном определителе, а второй определитель в -ой строке будет иметь вторые из упомянутых слагаемых, а остальные строки будут совпадать с исходным определителем, т.е.

.

Это свойство следует из определения определителя, если разложить его по элементам -ой строки, а затем воспользоваться распределительным законом суммы.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1) умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца);

3) перестановка строк (столбцов).

Свойство 5. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

Свойство 6. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

=.

нижний треугольный верхний треугольный

определитель определитель

Определение. Минором -ого порядка матрицы называется детерминант матрицы порядка , образованный элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов. Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка, сколькими способами можно выбрать номера строк и столбцов. Если матрица квадратная, то каждому минору - ого порядка сопоставляется дополнительный минор, который по определению есть определитель матрицы порядка (), составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания строк и столбцов.

Лекция 12. Линейные комбинации строк и столбцов. Базисные строки и столбцы. Линейная независимость. Ранг матрицы. Вычисление ранга

Цель: изучить понятие линейной комбинации и линейной независимости строк и столбцов матрицы, методы вычисления ранга и определения базисного минора.

В теме «матрицы и действия над ними» мы ввели понятия матрицы строки и матрицы столбца,

Определение. Столбец назовем линейной комбинацией столбцов одинаковой высоты, если при некоторых числах имеет место равенство:

(12.1)

Или в развернутом виде:

.

В силу определения умножения матриц на число и операции сложения последнее равенство можно представить в виде системы равенств, составленных для каждого элемента:

;

;

…

.

По аналогии с линейной комбинацией введем понятие линейной независимости строк и столбцов матрицы. Пусть - столбец у которого все элементы равны нулю.

Определение. Система из столбцов называется линейно независимой, если из равенства следует, . В противном случае, если не все (), система столбцов линейно зависима.

Все утверждения записанные для столбцов, справедливы и для строк матрицы.

Пример: Столбцы

, ,

линейно независимы, т.к. их линейная комбинация

равна нулевому столбцу, только в случае, когда , т.е. является тривиальной.

Пример: Столбцы

,

являются линейно зависимыми, т.к. существуют такие числа, и , при которых линейная комбинация данных векторов обращается в нуль:

Свойства линейно зависимых строк и столбцов:

Система, содержащая нулевой столбец (строку), является линейно зависимой.

Система из столбцов (строк) линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов (строк) раскладывается в линейную комбинацию остальных столбцов (строк) системы.

Если система столбцов (строк) содержит линейно зависимую подсистему, то она также линейно зависима.

Любая подсистема линейно независимых столбцов (строк) также линейно независима.

Ранг матрицы

Определение. В матрице , минор порядка называется базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры больших порядков, равны нулю или их вообще нет, т.е совпадает с наименьшим из чисел или .

В матрице может быть несколько базисных миноров, но все они одного порядка.

Определение. Столбцы и строки стоящие на пересечении в базисном миноре называются базисными строками и базисными столбцами.

Определение. Рангом матрицы (обозначается ) называется порядок базисного минора, или самый большой порядок для которого существует отличный от нуля минор.

Следствие. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля имеет ранг равный ее размерности.

Вычисление ранга

Метод окаймляющих миноров.

Суть метода заключается в последовательном вычислении миноров по возрастанию их порядка.

Пример: Вычислить ранг матрицы

Решение: Вычислим минор порядка , стоящий на пересечении первых двух строк и столбцов: .

Данный минор равен нулю, выбираем следующий минор порядка . .

Рассмотрим окаймляющие его миноры:

;

При вычислении данного минора, было использовано следствием из свойства определителя : определитель, имеющий пропорциональные столбцы ( и ), равен нулю.

.

Т.к. является наименьшей из размерностей матрицы . То больше нет необходимости вычислять окаймляющие миноры. .

Метод окаймляющих миноров является самым трудоемким методом.

Метод элементарных преобразований матрицы.

Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Доказательство:

1. При умножении строки на число базисный минор либо не измениться, либо умножится на число . Ни один минор равный нулю при умножении на число не сделается отличным от нулю.

2. Если все миноры порядка равны нулю, то сложение строк не сделает их отличными от нуля, значит ранг матрицы не повысится. Он не сможет и понизиться, т.к. в противном случае, при обратном преобразовании (вычитании строк) он бы понизился.

3. при перестановке строк, минор может изменить свой знак, или замениться на минор, не больше чем знаком отличающийся от другого минора той же матрицы, или вообще не измениться.. Ясно, что порядок останется тот же.

4. Неизменность ранга при преобразовании столбцов доказывается аналогично.

Напомним, что к элементарным преобразованиям относятся:

1) умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца);

3) перестановка строк (столбцов).

Элементарными преобразованиями строк заданную матрицу приводят к треугольному виду. Количество ненулевых строк (хотя бы один элемент отличен от нуля) в полученной эквивалентной матрице, дает нам ее ранг.

Метод нулей и единиц

Элементарными преобразованиями матрицу можно привести к виду, когда ее строки будут содержать нули и не более одной единицы. Т.е. часть строк и столбцов представляют собой единичную матрицу (остальные содержат только нули). Тогда ранг матрицы равен количеству единиц.

В данных преобразованиях (. и .) Ненулевые строки и столбцы есть базисные строки и столбцы. Минор построенный на данных строках и столбцах является базисным минором.

Свойства ранга матрицы

1 Ранг произведения двух матриц не превосходит ранга сомножителей:

.

2 При умножении произвольной матрицы слева или справа на невырожденную матрицу её ранг не изменяется. Другими словами, если , то .

Теорема: (о базисном миноре) В произвольной матрице каждый столбец является линейной комбинацией базисных столбцов, а каждая стока - линейной комбинацией базисных строк.

Следствие: Если квадратная матрица и , то по крайней мере один из столбцов является линейной комбинацией остальных столбцов, а так же одна из строк является линейной комбинацией остальных строк.

Теорема: (о ранге матрицы) Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк и столбцов в этой матрице.

Следствие: Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице.

Лекция 13. Линейные пространства

Цель: ознакомится с понятие пространства, базиса, размерности, преобразованием координат.

Определение. Множество элементов x, y, z,.,.. любой природы называется линейным пространством, если выполнены следующие два правила: 1) существует правило, по которому любым , ставится в соответствие , (сумма);

2) существует правило, по которому любому и для любого - вещественного числа, ставится в соответствие , .

Указанные 2-е операции подчинены следующим аксиомам (- любой):

1) , для ;

2) , для ;

3) Существует нулевой элемент , , для ;

4) для , существует () противоположный, принадлежащий ;

5) , где ;

6) , для ;

7) , для ;

8) , ;

9) , .

Примеры конкретных линейных пространств

1. - -мерное координатное пространство или совокупность строк содержащих - вещественных чисел. Операция сложения и умножения на число определены следующим образом:

а);

б).

Аксиомы 1-8 проверяются элементарно.

2. Множество всех положительных вещественных чисел. Под суммой [x+y]=x*y (будем понимать произведение), а под умножением [л*x]=x^л, тогда нулевым элементом множества будет являться 1, а противоположным x, , тогда аксиомы 1-8 легко проверяются.

3. Множество всех положительных вещественных чисел , где сумма и умножение на число определяются стандартным образом [x+y]=x+y, [лx]= лx не является линейным пространством.

4. Аналогично множество всех многочленов степени не является линейным пространством, т. к. сумма может оказаться степени < .

Определение. Линейной комбинацией элементов пространства называются выражения вида , где , говорят что - линейно зависимы, если , такие что , а .

- неявляющиеся линейно зависимыми называют линейно независимыми.

Определение. Совокупность линейно независимых элементов пространства называется базисом этого пространства, если для существуют (вещественные числа), такие, что справедливо равенство , где - координаты (коэффициенты) в базисе пространства .

Теорема. При сложении любых двух элементов линейного пространства их координаты (относительно любого базиса) складываются; при умножении произвольного элемента на любые числа б все координаты этого элемента умножаются на б.

Доказательство. Пусть базис ,

и - два элемента .

Тогда в силу аксиом 1-8 ,

.

Определение. Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует n-линейно независимых элементов, а любые () элементы уже являются линейно зависимыми, - называют размерностью и обозначают . Линейное пространство называют бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов.

Теорема. Если , то любые - линейно независимых элементов этого пространства образуют базис.

Если линейное пространство имеет базис, состоящий из элементов, следовательно, .

Определение (понятие линейного подпространства). Подмножество и удовлетворяющее условиям:

1. если , то ;

2. если ;

называется линейным подпространством (или просто подпространством) пространства R.

Определение. Линейной оболочкой элементов называется совокупность всех линейных комбинаций этих элементов, т. е. множество элементов вида , где (любые действительные числа), линейную оболочку принято обозначать как , ясно, что . равна максимальному числу линейно независимых элементов (которые составляют базис линейной оболочки).

Определение (новое определение ранга матрицы). Ранг произвольной матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (или столбцов) этой матрицы.

Преобразование координат при преобразовании базиса n-мерного линейного пространства

Пусть и - два произвольных базиса -мерного пространства R, тогда может быть разложен по базису , т. е.

или ,

Умножим каждое уравнение системы на алгебраические дополнения элементов j-го столбца определителя и сложим все уравнения, в результате получаем:

, , для ,

, где коэффициенты представляют матрицу равную , т.е. переход от одного к другому базису осуществляется с помощью обратной матрицы , если .

Утверждение. Если переход от одного базиса к другому осуществляется с помощью невырожденной матрицы , то переход от координат произведения элемента относительно первого базиса к координатам этого элемента относительно второго базиса осуществляется с помощью матрицы .

Евклидово пространство

Введенные нами линейные пространства существенно отличаются от множества векторов обычного геометрического тем, что в линейном пространстве не определены понятия длины вектора и угла между ними.

Введем понятия длины и угла с помощью скалярного произведения.

Определение. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного произведения: любым двум векторам , сопоставлено вещественное число обозначаемое и удолетворяет условиям:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , если .

Следствием из этих аксиом являются:

1) , ;

2) Последовательно применяя аксиомы легко доказать, что для любых векторов и чисел

; .

3) Каков бы ни был вектор , имеем . Действительно, положим Назовем длиной вектора и обозначим число

Углом между векторами , назовем каждое число , удовлетворяющее условию: .

В силу аксиомы длина вектора вещественное неотрицательное число.

С определением величины угла дело обстоит сложнее. Нам предстоит доказать, что выражение в правой части равенства не превосходит единицы т.к. максимальное значение , то отсюда .

Если известно, что , тогда - неравенство Коши-Буняковсного.

Пусть ,- любые векторы принадлежащие . Для любых имеем

. Положим , , то получим , откуда и вытекает требуемое неравенство треугольника

.

Векторы будем называть ортогональными, если для любых ,.

Ортонормированный базис

Определение. Систему векторов в евклидовом пространстве назовем ортонормированной, если каковы бы ни были номера .

Утверждение. Ортонормированная система векторов линейно независима.

Док-во. Пусть нам дана ортонормированная система векторов. Рассмотрим ее линейную комбинацию: . Из которой вытекает, что при произвольном . В самом деле умножим обе части равенства скалярно на . Все слагаемые, кроме -го обратятся в , и мы получим .

Т.о. каждая равная нулю линейная комбинация векторов необходимо тривиальна.

В -мерном евклидовом пространстве существует ортонормированная система из векторов, и эта система является ортонормированным базисом.

Процесс ортогонализации линейно независимых элементов выглядит следующим образом:

,где

,где

где .

Лекция 14. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Цель: Изучить основные понятия СЛАУ, методы определения количества решений и нахождения последних.

Систему уравнений вида

(14.1)

называют системой m линейных алгебраических уравнений с неизвестными . Коэффициенты называются коэффициентами системы и записываются в виде матрицы:

(14.2)

числа, стоящие в правых частях уравнений (14.1), образуют матрицу вектор- столбец

(14.3)

называемую столбцом свободных членов.

Матрица системы, дополненная столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы и обозначается (в данной главе)

(14.4)

Если все свободные члены системы тождественно равны нулю, то система называется однородной, в противном случае - неоднородной.

Определение. Решением СЛАУ называется такая совокупность -чисел которая при подстановке в систему вместо обращает все уравнения системы в тождества.

Прежде чем переходит к решению системы, запишем её в матричном виде. Мы уже вводили матрицу коэффициентов и матрицу - столбец свободных членов , введем матрицу - столбец неизвестных

(14.5)

Найдем произведение матрицы на столбец неизвестных :



по правилу умножения матриц данное произведение представляет собой столбец, состоящий из элементов, которые равны соответствующим левым частям уравнений системы . Из определения равенства двух столбцов следует, что система равносильна одному равенству между столбцами и . Таким образом, в матричной записи система равносильна равенству .

Системы называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной если она имеет по крайней мере два различных решения. Приведем пример неопределенной системы.

Данная система является совместной и неопределенной, поскольку у нее имеется, по крайней мере, два различных решения:

;

.

СЛАУ называется однородной, если правые части всех уравнений равны нулю, то есть :

Если в СЛАУ хотя бы один из свободных членов отличен от нуля: , то система называется неоднородной.

Система называется квадратной, если число уравнений равно числу неизвестных: .

Определение. Решением СЛАУ называется такая совокупность -чисел которая при подстановке в систему вместо неизвестных обращает все уравнения системы в тождества.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

СЛАУ называется несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора, или число линейно независимых строк (столбцов) матрицы. Обозначается .

Теорема. (Кронекера-Капелли) Для того чтобы СЛАУ являлась совместной (т.е. имела решение) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу основной матрицы системы, т. е. . Причем:

1) если система имеет единственное решение;

2) если система имеет бесконечное множество решений зависящих от свободных неизвестных.

Следствие. Если , то система несовместна (нет решений).

Решение СЛАУ размерности

1) Метод Крамера.

Рассмотрим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

Выразим в системе переменную избавившись от переменной .

Поделим первое уравнение на элемент и умножим полученный результат на .

,

Складываем со вторым уравнением системы и выражаем переменную .

.

В полученной дроби в числителе стоит определитель , а в знаменателе основной определитель системы .

И мы получили формулу . Аналогичными вычислениями мы получим , где .

Рассмотрим правило Крамера для системы уравнений , наложив условие линейной независимости уравнений системы.

Кроме основного определителя системы введем в рассмотрение дополнительные определители, получаемые заменой коэффициентов -го столбца столбцом свободных членов.

, ,

.

Умножим каждое уравнение системы на алгебраические дополнения первого столбца и сложим левые и правые части полученных равенств:

.

Используя следствие свойства определителей получаем:

или .

Поступая аналогичным образом получим следующие формулы Крамера для определения неизвестных системы:

, , .

Теорема (формулы Крамера): Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, когда определитель системы отличен от нуля , имеет единственное решение определяемое формулами:

(14.6)

(для всех ), где через обозначен определитель основной матрицы системы, а - дополнительные определители, получаемые из Д заменой -го столбца столбцом свободных членов, т.е.

(14.7)

2) Метод Гаусса.

Метод Гаусса относится к наиболее эффективным методам решения СЛАУ. Этим методом решаются как квадратные, так и прямоугольные системы линейных уравнений. В основе метода Гаусса лежат прямой и обратный ход. Прямым ходом расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями сводят к треугольному виду. Обратным ходом находят неизвестные величины.

К элементарным преобразованиям относится:

Перестановка двух любых уравнений системы;

Умножение любого уравнения системы на произвольное, отличное от нуля, число;

Прибавление к произвольному уравнению системы любого другого уравнения, умноженного на произвольное число.

Методом Гаусса можно решать и прямоугольные системы.

Лекция 15. Обратная матрица, матричный метод решения системы. Общее решение системы

Цель: изучить понятие обратной матрицы, ее свойства и метод вычисления. Изучить матричный метод решения СЛАУ.

Определение. Квадратная матрица называется обратной к матрице , если

(15.1)

, - единичная матрица. - является единственной для .

Определение. Матрица - называется неособенной (невырожденной или несингулярной) матрицей, если . В противном случае - особенная (вырожденная или сингулярная).

Теорема. Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу.

Доказательство. Рассмотрим матрицу , . Введем в рассмотрение матрицу , называемую союзной матрицей элементами которой служат алгебраические дополнения матрицы . Рассмотрим матрицу , вычислим произведение :

,

где .

Аналогично, .

Следовательно, - по определению, таким образом,

(15.2)

Пример. Вычислить обратную матрицу

Решение.

следовательно, обратная матрица существует. Вычисляем соответствующие алгебраические дополнения

, ,

Итак, .

Свойства обратной матрицы

1) ;

2) ;

3) если - неособенные матрицы одного порядка.

Определение. Действительная квадратная матрица , удовлетворяющая условию , называется ортогональной матрицей, .

Определение. Следом - квадратной матрицы называется сумма всех её диагональных элементов: .

Матричный метод решения СЛАУ

Если определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то ее решение определяется формулой:

(15.3)

Где - обратная к основной матрице системы, вычисляемая по формуле .

Совместность однородной и неоднородной СЛАУ

Рассмотрим однородную СЛАУ

система всегда имеет хотя бы одно решение, например, тривиальное решение .

Когда однородная СЛАУ имеет решения отличные от нулевого?

Заметим, что существует нетривиальное решение ~ линейной зависимости столбцов матрицы однородной СЛАУ (по определению линейной зависимости это означает существует что является уравнениями системы), но по теореме о базисном миноре линейная зависимость имеет место тогда и только тогда когда порядок базисного минора меньше числа её столбцов. Отсюда теорема.

Теорема. Однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа её столбцов.

Следствие. Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы равен нулю.

Решение СЛАУ размерности

Рассмотрим однородную СЛАУ:

(15.4)

Данная система всегда имеет хотя бы одно решение, например тривиальное .

Теорема: Однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы меньше числа её неизвестных.

Следствие: Квадратная однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы этой системы равен нулю .

Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеет линейно независимых решений: , называемых фундаментальной системой решений.

Решения являются линейно независимыми, если ранг матрицы составленной из координатных строк этих векторов равен числу этих решений.

Теорема: (о структуре решений однородных СЛАУ). Пусть произвольная фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Тогда любое решение системы представляет собой линейную комбинацию решений:

(15.5)

Здесь общее решение однородной системы, - произвольные постоянные, а фундаментальная система решений, (частные решения однородной системы), найденная при условии, что свободные неизвестные по очереди приравниваются , а остальные при этом равны . Неизвестные называются базисными неизвестными.

Решение неоднородной системы в общем случае определяется следующей теоремой:

Теорема: (о структуре решения неоднородной СЛАУ): Общее решение неоднородной СЛАУ определяется формулой:

(15.6)

где - общее решение соответствующей однородной системы, а - частное решение неоднородной системы.

Для более простого нахождения частного решения, удобно взять свободные неизвестные равными нулю.

Лекция 16. Понятие линейного оператора. Основные свойства. Собственные числа и собственные векторы. Квадратичные формы

Цель: Изучить понятия линейного оператора и его собственных чисел и собственных векторов, методы их нахождения.

Определение. Пусть и - линейные пространства размерности и соответственно, - будем называть оператором, действующим из и

, или , говорят что y - образ элемента x, а x - прообраз y.

Определение. Оператор , действующий из в называется линейным, если для и выполняются соотношения:

1. .

2. .

Если (комплексная плоскость), то - называют линейным функционалом. Если совпадает с , то - называют линейным преобразованием пространства.

Определение. Произведение л на называется оператор лA определяемый равенством . , где нулевой оператор,

, противоположный оператор. - I - тождественный или единичный оператор.

Определение. Произведением оператора на называется оператор, для которого верны следующие соотношения :

1);

2);

3);

4);

5).

Определение. Оператор называется обратным для если, , обозначают .

Определение. Ядром линейного оператора называется множество всех элементов пространства , для которых : .

Определение. Образом линейного оператора называется множество элементов таких что : .

Определение. Рангом линейного оператора называется число равное .

Теорема. Пусть и пусть , тогда .

Матричная запись линейных операторов

Фиксируем в линейном пространстве базис пусть - произвольный элемент и (разложение по базису ).

Пусть - линейный оператор . Тогда имеем ,

…,. . Пусть образы базисных векторов, тогда , т. е. , j=1,…,n, .

Рассмотрим матрицу линейного оператора в заданном базисе , это матрица столбцами которой являются координаты базисных векторов . Причем единственный линейный оператор , матрицей которого в заданном базисе будет матрица .

, - оператор.

При этом соотношения , , с одной стороны связывают образ с координатами прообраза , с другой стороны, описывают действие линейного оператора заданного матрицей A. При изменении базиса матрица линейного оператора A также изменится.

Пусть задан базис в пространстве и - новый базис, а U - матрица перехода от базиса , тогда матрица линейного оператора в двух базисах связаны следующим соотношением: , т. к. , и , .

Определение. Число л называется собственным значением если существует ненулевой вектор такой, что , при этом называется собственным вектором оператора . Т.к. , , тогда чтобы однородная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы . Многочлен называется характеристическим многочленом .

Чтобы найти собственные числа нужно решить уравнение .

Чтобы найти собственный вектор , соответствующий собственному числу необходимо решить систему .

Свойства собственных значений и собственных чисел

1. Каждый линейный оператор имеет собственное значение.

2. Собственные числа и векторы не всегда вещественные.

3. У симметричной матрицы собственные числа всегда вещественны.

4. Собственные векторы соответствующие собственным значениям различные линейно независимы.

5. Если характеристический многочлен n-ой степени оператора имеет n - различных корней, то в некотором базисе матрица оператора A имеет диагональный вид.

6. Для того чтобы матрица A линейного оператора в данном базисе была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы были собственными векторами этого оператора.

Определение. Линейный оператор называется самосопряженным, если для любых выполняется равенство: .

Свойство самосопряженного линейного оператора

1. Собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

2. Если A - самосопряженный оператор, то собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям этого оператора ортогональны.

Определение. Квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени относительно n переменных . Квадратичную форму всегда можно представить в виде:, (), где - симметрическая матрица (т.е. ).

Если - вещественная симметричная матрица, то форма называется вещественной, - самосопряженная.

В дальнейшем будем рассматривать вещественные квадратичные формы.

Теорема. Для каждой квадратичной формы существует базис, в котором она имеет канонический вид (т.е. представляет сумму квадратов) или такой вид в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид.

Лекция 17. Кривые второго порядка

Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики.

Определение. Окружность - это геометрическое место точек равноудаленных от некоторой фиксированной точки называемой центром окружности (рис.17.1).

(17.1)

если центр перенесен в точку с координатами , то

(17.2)

Рис. 17.1

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости , называемых фокусами, есть величина постоянная равная .

Выведем каноническое уравнение эллипса. Возьмем произвольную точку , принадлежащую эллипсу. Отрезки , называются фокальными радиусами точки и обозначаются (Рис17.2). Их постоянную сумму принято обозначать через . Поэтому

(17.3)

Рис. 17.2

Расстояние между фокусами обозначим за и будем называть фокальным расстоянием. При этом , . Т.к. , то и следовательно

(17.4)

Для вывода уравнения выразим фокальные радиусы через координаты точек :

Подставим полученные выражения в формулу (17.3)

и избавимся от корней

возводим в квадрат

Сокращаем на , раскрываем скобки

сокращаем на , переносим корень влево

еще раз в квадрат: раскрываем и группируем

;

.

В полученном выражении введем обозначение

(17.5)

Получим каноническое уравнение эллипса или

(17.6)

Где - большая полуось эллипса, - малая полуось эллипса

Из соотношения (17.5) получим формулу для фокального расстояния эллипса:

(17.7)

Если центр перенесен в точку с координатами , то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

(17.8)

Определение. Отношение расстояний между фокусами эллипса и длиной его большой оси. Называется эксцентриситетом и обозначается

(17.9)

Т.к. для эллипса , то

Сократим равенство (17.9) на и возведя в квадрат выполним следующие преобразования:

,

или .

Из последних равенств видно, что эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и наоборот, следовательно, чем больше эксцентриситет, тем более вытянута форма эллипса, при уменьшении эксцентриситета - эллипс стягивается в окружность.

Для произвольной точки эллипса , .

Система определяет параметрическое уравнение эллипса.

В полярной системе координат уравнение эллипса имеет вид

Для эллипса вводят две прямые называемые директрисами, их канонический вид: , .

Определение. Эллипс - геометрическое место точек, для которых отношение фокального радиуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету эллипса (рис. 17.3):

(17.10)

Рис.17.3

Определение. Гипербола - это геометрическое место точек, для каждой из которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости , называемых фокусами, есть величина постоянная равная .

Любая точка принадлежит гиперболе, если разность между ее фокальными радиусами равна(рис.17.3).

(17.11)

поступая по аналогии с выводом уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы

(17.12)

Где , - действительная ось, - мнимая ось, - фокальное расстояние.

Расстояние до фокуса гиперболы будет определятся равенством:

(17.13)

Прямые

(17.14)

называются асимптотами гиперболы.

Если координаты центра смещены в точку , то каноническое уравнение гиперболы имеет вид

(17.15)

Прямоугольник, построенный на величинах и - называется основным прямоугольником гиперболы (рис. 17.5).

Эксцентриситет гиперболы определяется как отношение фокального расстояния к действительной оси

, или

т.е. эксцентриситет гиперболы характеризует форму основного прямоугольника, и следовательно форму гиперболы.

Определение. Две прямые, ортогональные той оси гиперболы, которая ее пересекают и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него называются директрисами гиперболы. Обозначаются (рис.17.5).



Определение. Парабола - это геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки , называемой фокусом равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой , называемой директрисой (рис. 17.6):

(17.16)

Расстояние - называется фокальным расстоянием параболы, а параметр - параметром параболы. Т.к. для параболы , то .

Выведем уравнению параболы, используя формулу (17.16) и то обстоятельство, что , .



Рис. 17.6

, .

Приравниваем и возводим в квадрат:

Избавляемся от корня повторным возведением в квадрат

Приходим к каноническому уравнению параболы

(17.17)

Если вершина параболы смещена в точку , то каноническое уравнение имеет вид:

Лекция 18. Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду

Рассмотрим общее уравнение кривой 2-го порядка в евклидовом пространстве, с ортонормированным базисом ,,

1) Выделим квадратичную форму ;

Приведем её к каноническому виду, для этого найдем собственные значения

, - вещественные числа

следовательно .

2) Для того чтобы выразить x, y через и , найдем координаты векторов нового базиса. За новый базис необходимо взять ортонормированные собственные векторы квадратичной формы соответственно л₁ и л₂, для того чтобы их найти необходимо решить системы.

и

Матрица перехода от старых координат к новым координатам имеет вид:

, т. е. , где ,

Перейдя к новым координатам и выполнив все элементарные преобразования, получим канонический вид (параллельный перенос) кривой 2-го порядка в собственном базисе оператора квадратичной формы.

Пример. Привести кривую второго порядка к каноническому виду.

Решение.1) Найдем собственные числа

,

, , следовательно

2) Найдем собственные векторы соответствующие собственным значениям и перейдем к новому ортонормированному базису:

а) , соответствующий. ,

б), соответствующий. ,

3) Составим матрицу перехода Q:

.

Перепишем старые координаты через новые. X=QX'

,

Перепишем уравнение кривой второго порядка в новых координатах.

,

,

выполним параллельный перенос и получим следующее уравнение ,

- уравнение гиперболы.

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка определяются уравнением второй степени. Рассмотрим вращение линий второго порядка вокруг их осей симметрии.

. Поверхность называется плоскостью вращения с осью , если она составлена из окружностей, которые имеют центры на прямой и лежат в плоскостях, перпендикулярных этой прямой.

Эллипсоиды. Рассматриваем поверхности, которые получаются при вращении эллипса вокруг его осей симметрии.

Сжатый вытянутый эллипсоид

В первом и втором случае проекциями будут эллипсы и окружности, в последнем - только эллипсы. Их каноническое уравнение записано в виде:

(18.1)

Конусы. Рассмотрим на плоскости пару пересекающихся прямых.

Поверхность получаемая вращением таких прямых, имеет уравнение:

(18.2)

Или

и называется прямым круговым конусом. При сжатии его к оси прямой конус переходит в конус второго порядка

 (18.3)

Сечение конуса второго порядка дает либо эллипсы либо окружности. Минус стоит перед той координатой, вокруг которой конус вращается.

Гиперболоиды. Однополостные гиперболоиды получаются при вращении гиперболы вокруг той оси, которая ее не пересекает.

(18.4)

Минус стоит перед координатой, вокруг которой вращается гипербола. Интересным свойством однополостного гиперболоида является то, что его образующие прямолинейны.

Определение. Образующими называются прямые линии, всеми своими точками лежащие на поверхности.

Через каждую точку однополостного гиперболоида проходит две прямолинейные образующие. Их уравнения записываются в форме:

(18.5)

Если гиперболу вращать вместе с ее асимптотами, то асимптоты дадут нам конус вращения называемый асимптотическим конусом гиперболоида вращения.

Двуполостный гиперболоид вращения - это поверхность вращения гиперболы вокруг той ее оси, которую она пересекает.

Его уравнение записывается в форме

(18.6)

или

Также как и для однополостного асимптотический конус. Здесь двум ветвям гиперболы соответствуют две не связанные полости.

Элиптические параболоиды. При вращении параболы вокруг ее оси мы получаем поверхность с уравнением:

называемую параболоидом вращения. В общем виде его уравнение записывается как

(18.7)

Поверхность называется эллиптическим параболоидом. Его сечениями являются эллипсы и параболы.

Гиперболический параболоид. Поверхность, которая имеет в некоторой системе координат уравнение вида:

(18.8)

Называется гиперболическим параболоидом. Т.е. на гиперболу надета парабола. Гиперболическим параболоид, как и однополостный гиперболоид имеет два семейства прямолинейных образующих. Его проекциями являются параболы и гиперболы.

Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду.

Рассмотрим общее уравнение кривой 2-го порядка в евклидовом пространстве, с ортонормированным базисом , :

1)Выделим квадратичную формулу ;

Приведем её к каноническому виду, для этого найдем собственные значения

, - вещественные числа

.

2) Для того чтобы выразить x, y через и . Найдем координаты векторов нового базиса. За новый базис необходимо взять ортонормированные собственные векторы квадратичной формы соответственно л₁ и л₂, для того чтобы их найти необходимо решить системы.

и

Матрица перехода от старых координат к новым координатам имеет вид:

, т. е. , где ,

Перейдя к новым координатам и выполнив все элементарные преобразования, получим канонический вид (параллельный перенос) кривой 2-го порядка в собственном базисе оператора квадратичной формы.