Методика розв'язання стереометричних задач

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Вступ

У процесі навчання математики задачі відіграють велику й багатопланову роль. Розв'язування задач добре служить досягненню тих цілей, які ставляться перед навчанням математики в середній школі. Саме тому більше половини уроків математики відводиться розв'язуванню задач та виконанню вправ.

Розв'язуючи задачі, учні засвоюють найважливіші математичні поняття, оволодівають математичною символікою, навчаються виконувати доведення. стереометричний радіус трикутник висота піраміда

В досліженях Я. Й. Айзенштак, Б. Г. Білоцерківської, Г. П. Бевза та Д. Т. Белешко показано, що мало приділяється уваги методам розв'язання стереометричних задач та базовим задачам стереометрії. Нерозробленість цих методів та недостатня підготовка учнів в школі стали актуальністю даного дослідження.

У даній роботі розглянуті основні положення та методи, які можуть бути використані при розв'язанні завдань різного рівня складності. Це сприятиме підвищенню вмінь та навиків учнів, допоможе їм справлятися із завданнями різного рівня.

Навчання стереометрії ставить перед викладачами ряд серйозних проблем, які доводиться їм вирішувати безпосередньо на уроці. Для того, щоб забезпечити доступність і свідоме засвоєння основних геометричних ідей, фактів, методів, що використовуються в стереометрії, в даній роботі широко використовуються вже знайомі просторові фігури.

Мета даної роботи полягає у розробці методичних рекомендацій для вивчення теми «Методика розв'язання стереометричних задач»

Об'єктом дослідження в курсовій роботі є навчально - пізнавальна діяльність учнів у процесі вивчення стереометрії.

Предметом даної курсової роботи є вдосконалення змісту теми «Методика розв'язання стереометричних задач» для різних груп учнів.

Для досягнення мети даної курсової роботи були поставлені такі завдання:

систематизувати методи розв'язування стереометричних задач;

подати приклади розв'язування задач різної складності та задачі для самостійного розв'язування;

провести педагогічний експеримент;

зробити висновки.

Гіпотеза дослідження: організація спеціального вивчення методів розв'язання стереометричних задач та базових задач стереометрії сприятиме підвищенню вмінь та навичок учнів.

Структура роботи побудована за логічним принципом і складається з вступу, 3 розділів, які включають в себе : вибір положення фігури, обчислення деяких комбінацій невідомих, використання допоміжних побудов, введення допоміжних невідомих, обчислення відношень однорідних величин, піраміди, в яких висота є бічним ребром, піраміди, в яких висота розташована у бічній грані, піраміди з рівними бічними ребрами, піраміди з рівними двогранними кутами при основі, теорема про три косинуси, теорема про три синуси, педагогічний експеремент, висновки, список використаної літератури.

Теоретичне і практичне значення даної роботи полягає у тому, що його висновки, основні положення та методичні рекомендації можуть бути використані вчителями школи при організації навчання учнів профільної школи розв'язувати стереометричні, для підвищення якості знань учнів, активізації їх пізнавальної діяльності.

Розділ І. Прийоми спрощення розв'язання стереометричних задач

Усі прийоми, що розглядаються в цьому розділі, виникли в процесі практичної роботи в школі і в тій чи іншій мірі застосовуються в багатьох задачах; у деяких задачах може бути застосовано одразу й кілька прийомів.

Зрозуміло, що ці прийоми не вичерпують усіх можливих спрощень при розв'язуванні стереометричних задач, а тому вивчення і узагальнення їх, а також обмін досвідом у цьому питанні може відіграти велику роль в удосконаленні викладання стереометрії в школі.

Спрощення зумовлюються, по-перше, вдалим вибором положення даного тіла, вдалим вибором зв'язків між його елементами, виконанням певних допоміжних побудов, вдалим використанням деяких теорем стереометрії і т. д., а по-друге, вдалим вибором допоміжних невідомих, раціональним виконанням обчислень, тригонометричних перетворень тощо.

1.1 Вибір положення фігури

Розглядаючи властивості паралелепіпеда, ми підкреслюємо учням одну дуже цінну властивість таких тіл: коли взяти за основу паралелепіпеда будь-яку його грань, то нове тіло теж буде паралелепіпедом. Це саме стосується і до трикутної піраміди.

Цю властивість можна використати для спрощення розв'язування деяких задач, вдалий вибір положення фігури полегшує розв'язування задачі.

Розглянемо приклад.

Приклад . Бічні ребра трикутної піраміди мають однакову довжину, що дорівнює b. З трьох плоских кутів, утворених при вершині С піраміди цими ребрами, два дорівнюють , а третій дорівнює . Знайти об'єм піраміди.

Розв'язання.

Найчастіше цю задачу розв'язують, розміщуючи дану піраміду саме так, як це дано в умові задачі, бо тоді одразу визначається положення висоти: як і в попередній задачі, висота проектується в центр описаного кола. Але неважко переконатись, що для розв'язування задачі в цьому випадку потрібні дуже складні перетворення, і учні рідко коли виконують їх без помилок.

Тимчасом задача дуже просто розв'язується, коли за основу піраміди взяти ту бічну грань, що містить кут (рис. 1).

Якщо провести висоту МО піраміди і позначити то, як і в першій задачі цього розділу, ми знайдемо:

Позначивши далі МСО = а, знайдемо:

Площа основи: а шуканий об'єм:



Відповідь можна подати і в простішій формі:

де

Задачі для самостійної роботи

1. У паралелепіпеді довжини трьох ребер, що виходять із спільної вершини a, b і с; ребра а і b взаємно перпендикулярні, а ребро с утворює з кожним з них кут у. Знайти об'єм паралелепіпеда і кут між ребром с і площиною того прямокутника, що служить гранню паралелепіпеда.

Підказка. Розв'язування задачі значно спрощується, коли прийняти за основу паралелепіпеда ту грань, що містить в собі взаємно перпендикулярні ребра а і b.

Відповідь: .

2. Бічні грані трикутної піраміди взаємно перпендикулярні, площі їх дорівнюють a, b і с. Знайти об'єм піраміди.

Підказка. Потрібно взяти за основу піраміди одну з бічних граней піраміди, наприклад, ABC (рис.2). Тоді спільне ребро МА двох інших бічних граней МАВ і МАС буде перпендикулярне до основи (як лінія перетину двох площин, перпендикулярних до третьої площини) і буде висотою піраміди.

Відповідь: .

3. Одне ребро трикутної піраміди дорівнює 4; кожне з інших дорівнює 3. Знайти об'єм піраміди.

Підказка. Задачу легко розв'язати, коли ребро, що дорівнює 4, зробити однією із сторін основи піраміди, бо тоді легко встановити положення висоти піраміди (рис. 3). Справді, з рівності всіх бічних ребер випливає рівність їх проекцій і тому висота піраміди проектується в центр описаного кола.

Відповідь:

1.2 Обчислення деяких комбінацій невідомих

Формули, за якими обчислюються шукані величини, містять в собі певні комбінації відомих і невідомих величин (суму, добуток і т. і.).

Значних спрощень у розв'язанні задач можна часом досягти, якщо обчислювати не окремі елементи, що входять до складу формул, а одразу потрібні комбінації елементів, шукати ці комбінації елементів як єдине ціле.

Розглянемо, наприклад, таку задачу.

Приклад .У правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює , через ребро цього кута проведено площину, яка утворює з основою кут . Знайти площу перерізу, якщо сторона основи дорівнює а.

Розв'язання.

Ця задача зустрічається в більшості задачників і методичних посібників, а тому способи розв'язування її розглянемо докладніше.

Перший спосіб. Розв'яжемо задачу так, як пропонує це С. І. Новосьолов «Спеціальний курс тригонометрії».

Заданий переріз є рівнобічна трапеція ВЕНС, ТР -- висота трапеції, МРК є переріз піраміди площиною, перпендикулярною до ребра ВС (рис. 7).

Маємо:

Шукана площа перерізу:

З трикутника КТР знаходимо за теоремою синусів:

Трикутники МАD і МЕН подібні, отже,

звідки

З трикутника МКО маємо:

З трикутника КТР за теоремою синусів знаходимо:

Отже,

Таким чином,

Площа перерізу:

Як бачимо, цей спосіб розв'язання вимагає значних обчислень і тригонометричних перетворень. Тимчасом таке розв'язання подається й в інших посібниках (наприклад, у книзі К. Ш а х н о «Сборник конкурсных задач по математике», Ленінград, 1953, задача № 502; у книзі «Методика викладання стереометрії», «Радянська школа», 1956, стор. 239--241).

Другий спосіб. Попередній спосіб розв'язування можна значно спростити, помітивши, що в пропорції немає потреби знати кожний з відрізків МТ і МК, а досить знати лише їх відношення. Якщо у відношенні замінити відрізок МК рівним йому відрізком MP, то матимемо відношення двох сторін трикутника ТМР. У цьому трикутнику МТР є зовнішній відносно КТР і тому МТР = , а . За теоремою синусів: Отже звідки

Далі знаходимо площу перерізу, як це ми робили раніше.

Третій спосіб. Але цю задачу можна розв'язати далеко простіше, коли шукати середню лінію трапеції не частинами, а всю.

Оскільки ВР = ОР, то відрізок ОР дорівнює половині нижньої основи трапеції ВЕНС. Якщо провести площину через пряму ЕН паралельно основі піраміди, то в перерізі ми дістанемо квадрат, в якому за аналогією матимемо TG = ЕТ. Спроектувавши відрізок TG на площину основи, ми матимемо відрізок ОХ = TG = ТЕ, а тому РХ = = ВР + ЕТ = (ВС+ЕН).

З трикутника ТРХ знаходимо: РХ=ТР, отже, площа перерізу

.

З визначаємо ТР: і тоді

Четвертий спосіб. Можна довести, відрізок РХ (рис.5) дорівнює середній лінії трапеції ВЕНС і без побудови допоміжного перерізу, який ускладнює рисунок.

Для цього спроектуємо відрізок ТН на площину основи, тоді проекція ХН1 ? ТН і ХН1=ТН. Але в прямокутному трикутнику ОХ Ні маємо: XOH1 = 45°, тому ОХ =ХН1=ТН; отже, ТН + СР=ХО+ОР= = ХР = TPcos??, і площа перерізу

П'ятий спосіб. Нарешті, можна побудувати відрізок, що дорівнює середній лінії трапеції безпосередньо в самому перерізі і знайти його.

Для цього проведемо висоту HF (рис. 5) трапеції ВЕНС; тоді відрізок BF дорівнюватиме середній лінії цієї трапеції. Точка Н1 є проекція точки Н на площину основи; H1FBC за теоремою про три перпендикуляри, отже,

і

У прямокутному трикутнику Н1FB кут , тому BF = H1F=TP cos?? .

Шукана площа перерізу:

Задачі для самостійної роботи

1. Висота конуса Н, кут між віссю конуса і твірною дорівнює . Через середину висоти проведено пряму під кутом до неї. Ця пряма перетинає бічну поверхню конуса в двох точках. Знайти відрізок прямої, що міститься всередині конуса.

Відповідь:

2. У трикутнику дано основу а і прилеглі кути і 90° . Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням цього трикутника навколо його висоти.

Підказка.

Шуканий об'єм є різниця об'ємів двох конусів: конуса АСС1 і конуса АВВ1. Можна позначити їх спільну висоту через у і радіус ОВ через х.

Відповідь:

1.3 Використання допоміжних побудов

Метод побудови допоміжних ліній, фігур і перерізів для спрощення розв'язування стереометричних задач загальновідомий.

Дуже важливо навчити учнів свідомо шукати ці побудови, показати їм, що вони виникають не випадково, а є наслідком певних логічних міркувань.

Приклад. У тригранному куті MAВС дано: ВМС=90°, АМВ =АМС = 60°; МА = а. Визначити відcтань від точки А до площини ВМС.

Перший спосіб. Шукана віддаль є відрізок AD перпендикуляра до площини ВМС (рис. 7), опущеного з точки А. Щоб визначити довжину відрізка AD, треба включити його в трикутник. Такий трикутник ми дістанемо, коли сполучимо точки D і М. Але в трикутнику ADM відома лише гіпотенуза AM, тому визначимо відрізок DM. Для цього треба включити відрізок DM в якийсь прямокутний трикутник. Потрібний нам прямокутний трикутник дістанемо, якщо з точки D опустимо перпендикуляр DC на сторону МС. Сполучивши точки А і С, матимемо трикутник АМС, який дає змогу використати і даний відрізок AM, і даний кут АМС.

Проте розв'язати задачу ще не можна, бо ми не знаємо положення прямої DM на площині ВМС. Цілком очевидно, що положення прямої DM залежить від величини кутів АМВ і АМС.

Таким чином, щоб використати величину кута АМВ, виконаємо побудову, подібну до попередньої: проводимо DBMB і сполучаємо В і А. Далі помічаємо, що за теоремою про три перпендикуляри ACCM і АВ BM.

Трикутники АМС і АМВ рівні між собою за спільною гіпотенузою AM і гострим кутом 60°, тому МС=MB = a cos 60° =

Тепер ми бачимо, що MDC = MDB, бо вони мають спільну гіпотенузу MD і по рівному катету, отже, і

З трикутника ADM маємо:

Другий спосіб. Можна міркувати інакше. Можна почати із спроби використати задані кути в 60°. Очевидно, що рівнобедрений трикутник, один з кутів якого дорівнює 60°, є правильний трикутник, а правильні трикутники також дуже зручні при розв'язуванні задач на обчислення. Ці міркування приводять до побудови двох правильних трикутників АМВ і АМС, для здійснення якої відкладаємо відрізки MB=МС=МА=а і сполучаємо відповідні точки (рис. 8).

Шуканий відрізок повинен бути перпендикуляром до площини ВМС, для чого досить, щоб він був перпендикулярним до двох не паралельних прямих на цій площині.

Якщо провести медіану AD у трикутнику ВАС, то, будучи висотою, вона буде перпендикуляром до однієї прямої (ВС) на цій площині. Перевіримо, чи не буде AD перпендикуляром і до прямої DM. Через те що DM є медіана в рівнобедреному трикутнику ВМС, то MDВС і BMD = CMD = 45°, звідки MD = DC = DB== acos45°=

Через те що DC = DM, AC = AM і AD -- спільна сторона для трикутників ADC і ADM, то ці трикутники рівні, і тому ADM =ADC = 90°. Отже, AD -- шуканий відрізок.

З трикутника ADM маємо:

Задачі для самостійної роботи

1. Мимобіжні діагоналі двох суміжних бічних граней прямокутного паралелепіпеда нахилені до площини його основи під кутами б і в. Знайти кут х між цими діагоналями.

Підказка.

У даній задачі треба встановити зв'язок між кутами а, в і х (рис. 9). Отже, мета допоміжної побудови -- зв'язати між собою такі елементи, які можна виразити через ці кути. При цьому треба намагатись шукати ці залежності з прямокутних трикутників, бо в них вони виражаються найпростіше.

Ребро АА1 легко зв'язується і з кутом а, і з кутом в тому саме його й слід використати при побудові прямокутних трикутників.

Відповідь:

2.Основою піраміди служить ромб ABCD, дві бічні грані якого перпендикулярні площині основи. Під яким кутом нахилені до площини основи дві інші грані, якщо площа бічної поверхні піраміди удвічі більша площі його основи?

Відповідь: DKN = arctg

3. Розглянемо правильну чотирикутну призму ABCDA1B1C1D1, діагональний перетин якої -- квадрат. Через вершину D1 і середини ребер AB і BC проведена площина. Знайти площу отриманого перетину, якщо AB = а.

Відповідь:

1.4 Введення допоміжних невідомих

При розв'язуванні багатьох задач доводиться обчислювати деякі допоміжні невідомі величини. Вирази для цих допоміжних невідомих часто бувають досить громіздкими, і учні, прагнучи оперувати з величинами, що даються в умові задачі, виконують важкі і зовсім непотрібні перетворення. Тим самим таке використання допоміжних невідомих втрачає саме ті якості (спрощення обчислень), заради яких вводять допоміжні невідомі.

Суть способа заклячається в тому що допоміжні змінні вибирають таким чином, щоб величини, дані в умові задачі, однозначно визначали геометричну фігуру.

І оскільки розв'язання стереометричної задачі найчастіше зводиться до розв'язання планіметричних задач, то доцільно розглянути декілька прикладів планіметричних задач.

Приклад 1. Дано рівнобедрений прямокутний трикутник. Знайти відношення радіусів вписаного і описаного кола.

Розв'язання.

Так як в даній умові відсутні величини, що мають розмірність довжини, тому в якості допоміжної візьмемо катети. Нехай катети трикутника дорівнюють - а. Запишемо формули , з яких визначається радіус вписаного і описаного кола: R = ; r = .

Для знаходження відношення обчислимо с, S і р. С = а - за теоремою Піфагора. S = , p = ; r = .

Знаходимо відношення

.

Приклад 2. Знайти площу трикутника АВС, якщо , а медіани АК і ВL взаємно перпендикулярні.

Розв'язання.

Введемо в якості невідомої величини кут б= . Трійка даних (довжини сторін АС і ВС і кут б) задає трикутник АВС, і всі інші параметри цього трикутника можуть бути виражені через них. Крім того якщо б значення кута б було відомо, площу трикутника АВС можна було б знайти за формулою

. Тригонометричне рівняння для знаходження кута б складемо, використовюючи умову для взаємної перпендикулярності медіан АК і ВL. За теоремою косинусів для трикутника АВС знайдемо :

, , .

За теоремою косинусів для трикутника ВСL знайдемо довжину медіани ВL (так як BL - медіана, то ): , .

Аналогічно за теоремою косинусів для трикутника КСА:

За властивостями медіан

.

За умовою задачі трикутник ВОА прямокутний і відповідно, .

Тепер, знаючи косинус кута б, знайдемо площу трикутника АВС:

Відповідь: .

Приклад 3. АОВ - сектор кола радіуса r. Величина кута АОВ дорівнює . Знайти радіус кола, що лежить всередині цього сектора і дотикається хорди АВ, дуги АВ і бісектриси кута АОВ.

Розв'язання.

Нехай ОМ - бісектриса кута АОВ, О1 - центр шуканого кола, S - точка дотикання шуканого кола і бісектриси ОМ, К - точка дотикання шуканого кола і хорди АВ.Відрізок ОМ є бісектрисою кута АОВ, і так як трикутник АОВ рівнобедрений, то ОМ є також і висотою трикутника АОВ. Чотирикутник SMKO1 - квадрат, так як а кути О1SM, SMK і МКО1 прямі. За теоремою про пряму що проходить через центри двох кіл що дотикаються, центри кіл О, О1 і точка дотикання L цих кіл лежать на одній прямій ОL.

Позначимо радіус шуканого кола Діагональ МО1 квадрата МSO1K дорівнює . З трикутника ОМВ знайдемо відповідно до умови задачі . В трикутнику ОМО1 маємо: , , . Теорема косинусів для трикутника ОМО1 дає рівняння для невідомого х:

,

Так як величина х повина бути додатньою, а з двох знайдених коренів додатній тільки перший

то він і дає величину радіуса шуканого кола.

Відповідь: .

На основі вище вказаного матеріалу можна розглянути приклади стереометричних задач.

Приклад 4. В основі циліндра проведена хорда, що дорівнює стороні правильного n-кутника, вписаного в цю основу. Якщо сполучити кінці цієї хорди з центром другої основи, то матимемо трикутник, площа якого дорівнює Р, а кут при вершині . Обчислити об'єм даного циліндра.

Розв'язання.

Нехай хорда АВ є сторона правильного n-кутника (рис. 10), АОВ = , а площа трикутника АОВ дорівнює Р. Знаючи кут при вершині і площу рівнобедреного трикутника, легко знайти бічні сторони трикутника; тому приймемо їх за допоміжні невідомі.

Нехай, отже, АО = ВО = х, тоді і Тепер за теоремою косинусів знаходимо сторону АВ:

Для знаходження радіуса R основи циліндра проводимо висоту МС рівнобедреного трикутника МАВ, тоді і

Введемо допоміжний кут: ОАМ=у, тоді:

Тепер знаходимо висоту циліндра: Н=ОМ = АО sin у = xsiny і шуканий об'єм:

де

Особливо великого значення набуває введення допоміжних невідомих при розв'язанні задач на тіла обертання, де воно стає майже обов'язковим.

Отже, потрібно привчати учнів користуватись знайденими допоміжними невідомими так, як вони користуються даними величинами, і лише після обчислення шуканої величини підставляти значення допоміжних невідомих.

Задачі для самостійної роботи

1. Визначити поверхню тіла, утвореного обертанням прямокутника ABCD (рис. 11) навколо осі, що проходить через одну його вершину перпендикулярно до діагоналі d, яка утворює із стороною кут б.

Підказка.

Краще не поспішати з обчисленням введених відрізків, а намагатись знайти геометричні співвідношення між ними (особливо між радіусами).

Відповідь:

2. Через сторону основи правильної трикутної піраміди проведена площина перпендикулярно протилежному бічному ребру. Сторона основи рівна а, січна площина ділить бічне ребро відносно 3 : 2, вважаючи від вершини піраміди. Знайти бічне ребро і площу бічної поверхні піраміди.

Відповідь: Sбок=

3. Дано тетраедр ABCD, всі плоскі кути при вершині D якого прямі, а ребро CD рівне сумі ребер AD і BD. Довести, що сума всіх плоских кутів при вершині C рівна 90°.

Відповідь: б+в+г=90°

1.5 Обчислення відношень однорідних величин

Коли в задачі одна з даних величин і шукана величина є величини однорідні, то значних спрощень при розв'язуванні таких задач можна досягти, якщо шукати відношення цих однорідних величин.

Приклад . У конус вписано піраміду, об'єм якої V. В основі піраміди лежить трикутник з кутами б і в. Знайти об'єм конуса.

Розв'язання.

Знайдемо відношення шуканого об'єму Vk до даного об'єму V (рис.12):

Отже,

Задачі для самостійної роботи

1. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник ABC, де АВ = АС. Висота піраміди МО проходить через середину висоти AD основи. Через сторону ВС,перпендикулярно до бічного ребра МА, проведено площину; ця площина утворює з основою кут б. Знайти об'єм відрізаної частини, що містить вершину М, якщо об'єм другої відрізаної частини дорівнює V.

Відповідь:

2. У сферу радіусу R вписана правильна шестикутна піраміда, плоский кут при вершині якої рівний g. Знайти радіус R1 сфери, що стосується всіх ребер піраміди, і відношення .

Відповідь: .

3. У конус вписана куля, об'єм якої в два рази менше об'єму конуса. Радіус основи конуса рівний R. Знайти радіус кулі і висоту конуса.

Відповідь: , .

Розділ ІІ. Положення висоти в піраміді

стереометричний радіус трикутник висота

На початковому етапі навчання зручно користуватися таблицями, в яких відображені залежності між елементами геометричної фігури. Ці таблиці можуть служити орієнтовною основою для розв'язання задач.

Наведемо приклад такої таблиці.

Орієнтовна таблиця для знаходження висоти в піраміді

1. Піраміда, всі бічні ребра якої рівні між собою
	Якщо всі бічні ребра піраміди рівні або нахилені під одним кутом до площини основи, або утворюють рівні кути з висотою піраміди, то снова висоти піраміди є центром кола, описаного навколо основи (і навпаки).
Якщо в піраміді SАВС: або , або i пл.АВС то 0 -- центр описаного навколо основи кола (ОА - ОВ = ОС).	Якщо в піраміді SABС: SО пл. АВС і О -- центр кола, описаного навколо основи, то SА = SВ = SС і i
Для розв'язування використовують прямокутний , в якому: навколо основи кола, -- кут- нахилу бічного ребра ЗА до площини основи.
2. Піраміда, всі бічні грані якої однаково нахилені до основи
	Якщо всі бічні грані піраміди однаково нахилені до основи, то основою висоти піраміди є центр кола, вписаного в основу (і навпаки).
Якщо в піраміді SАВС: грані SАВ, SАС і SВС однаково нахилені до основи АВС (тобто -- відповідні лінійні кути рівні) i пл. АВС, то О -- центр кола, вписаного в основу	Якщо в піраміді SАВС: пл. АВС і О -- центр кола, вписаного в основу, то (тобто всі бічні грані піраміди нахилені під одним кутом до основи піраміди).
Для розв'язування використовують прямокутний SОМ, в якому: в основу кола (ОМ ВС) , SМО -- кут нахилу бічної грані SВС до основи (SМО -- лінійний кут двогранного кута при ребрі ВС).
3. Піраміда, всі бічні грані якої однаково нахилені до площини основи
	Якщо всі бічні грані піраміди однаково нахилені до площини основи, то основою висоти піраміди є точка, рівновіддалена від усіх прямих, які містять сторони основи. Якщо в піраміді SABC грані SAB,SAC і SBC однаково нахилені до площини основи ABC (тобто - відповідні лінійні кути рівні ) і пл. АВС, то O - точка, рівновіддалена від прямих AB, BC і AC (OK=OM=ON).
4. Піраміда, дві бічні грані якої однаково нахилені до основи
	Якщо лише дві бічні грані піраміди (або похилої призми) однаково нахилені до основи або спільне бічне ребро цих граней утворює рівні кути із суміжними з ним сторонами основи, то спільне бічне ребро проектується на пряму, що містить бісектрису кута між суміжними з цим ребром сторонами основи (і навпаки).
Якщо в піраміді SАВС грані SАВ і SАС однаковo нахилені до основи АВС (тобто SКО = SМО) або i пл. АВС, то АО -- бісектриса ВАС (або пряма АО містить бісектрису ВАС).	Якшо в піраміді SАВС пл. АВС і АО ~ бісектриса ВАС (або пряма АО містить бісектрису ВАС), то SКО = SМО (грані SАВ і SАС однаково нахилені до основи) і SАВ = SАС.
5. Піраміда, одна з бічних граней якої перпендикулярна основі
	Якщо лише одна бічна грань піраміди перпендикуляр- на до площини основи, то висотою піраміди буде висота цієї грамі. Якщо у піраміді SABC: пл.SACпл.ABC i SOAC (O є AC), то SO - висота піраміди (SOпл.ABC).
6. Піраміда, дві суміжні бічні грані якої перпендикулярні основі
	Якщо дві суміжні бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, то висотою піраміди буде їх спільне бічне ребро. Якщо пл.SABпл.ABC і пл.SACпл.ABC , то SА -- висота піраміди (SAпл.ABC).
7. Піраміда, дві несуміжні бічні грані якої перпендикулярні основі
	7. Якщо дві не суміжні бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, то висотою піраміди буде відрізок прямої, по якій перетинаються площини цих граней. Якщо пл.SABпл.ABC і пл.SCDпл.ABCD і пл..SAB перетинає пл.SCD по прямій SO (O є пл.. ABCD), то SO - висота піраміди.

2.1 Піраміди, в яких висота є бічним ребром

Ми будемо розглядати тут піраміди в яких одне з бічних ребер є висотою. Легко зрозуміти, що в цьому випадку дві бічні грані (які проходять через висоту) перпендикулярні до площини основи. Правильне і обернене: якщо дві суміжні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, то їх спільне ребро - висота піраміди.

Розглянемо приклади найбільш типових задач цієї тематики.

Приклад 1. Основою піраміди є квадрат із стороною а. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а дві інші утворюють з висотою кут б. Визначити площу повної поверхні піраміди.

Розв'язання.

Нехай грані SAD і SAB перпендикулярні до площини основи, тоді SA - висота піраміди. Тепер зрозуміло, що . З ДSAB , . . . Відповідь можна перетворити:

Відповідь: (кв.од.)

Зауваження. При розв'язанні задачі ми використали одну властивість пірамід, яка буває корисною і в багатьох інших випадках.

Нехай дано довільну піраміду (не обов'язково трикутну) з висотою SO. Нехай відомо, що грань ASB нахилена до площини основи під кутом б. Тоді має місце наступна рівність: . 0

Приклад 2. Бічні грані трикутної піраміди взаємно перпендикулярні і їх площі дорівнюють S1, S2, S3. Визначити об'єм піраміди.

Розв'язання.

За умовою площини граней ABS, BSC і ACS парно перпендикулярні, тому , . Якщо прийняти грань ABS за основу піраміди, то SС буде її висотою. . Нехай , , .

Якщо позначити SA=a, SB=b, SC=c, то ab=2S1, ac=2S2, bc=2S3. Якщо помножити дві останні рівності, одержимо , .

; .

.

Відповідь: (куб.од.)

Задачі для самостійної роботи

Основою піраміди є квадрат. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до її основи, а дві інші нахилені до неї під кутом 450. Середнє по довжині бічне ребро піраміди дорівнює b. Визначити об'єм піраміди.

Відповідь: .

Основою піраміди є ромб зі стороною а. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи і утворюють між собою тупий кут в, дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом б. Знайти бічну поверхню піраміди.

Відповідь: .

У чотирикутній піраміді SABCD основою є прямокутник ABCD, причому АВ=1 см, AD=3см. Бічне ребро SC перпендикулярне до площини основи, а ребро SA утворює з площиною основи кут 600. Знайти площу перерізу піраміди площиною, що проходить через діагональ основи BD паралельно ребру SA.

Відповідь: 5 см2.

Приклад 3. В трикутній піраміді дві бічні грані є прямокутними рівнобедреними трикутниками, гіпотенузи яких дорівнюють а і утворюють між собою гострий кут б. Знайти об'єм піраміди.

Розв'язання.

Приймемо за основу піраміди грань BCS (див. рис.16). Тоді отримаєм піраміду ASBC, у якої всі бічні ребра рівні між собою. Довжина кожного з них .

Нехай АО - висота піраміди, тоді О - центр описаного навколо трикутника SBC кола, OS=R - радіус цього кола. Обчислимо R. В ДBCS , тому . Тепер з прямокутного трикутника ASO знайдемо ; , (куб.од.)

Приклад 4. Основою піраміди ABCD є прямокутний трикутник АВС (С=900). Бічне ребро AD перпендикулярне до площини основи. Знайти гострі кути трикутника АВС, якщо DBA=б, DBC=в (б<в).

Розв'язання.

Позначимо АВ=а, тоді з прямокутного трикутника ABD знайдемо . Тепер зауважимо, що ДBCD - прямокутний. Дійсно, за умовою, але АС - проекція похилої CD на площину АВС. За теоремою про три перпендикуляри випливає, що . Отже, в ДBCD сторона BD - гіпотенуза, тому . Тепер в прямокутному трикутнику АВС гіпотенуза АВ=а, катет . Звідси: , , аналогічно .

Вправа 4. Основою піраміди є прямокутник ABCD (AB||CD). Бічне ребро DA перпендикулярне до площини основи. Ребра ОВ і ОС утворюють з площиною основи кути б і в відповідно. Знайти кут між ребром OD і площиною основи.

Відповідь: .

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Приклад 5. Основою піраміди є правильний трикутник. Дві бічні грані перпендикулярні до площини основи. Сума двох нерівних між собою плоских кутів при вершині дорівнює 900. Знайти ці кути.

Розв'язання.

Якщо SABC - дана піраміда, то , АВ=ВС=АС. Оскільки ДABS=ДACS, то ASB=ASC, тому нерівними кутами при вершині S є ASB і BSC. Позначимо ASB=б, тоді за умовою BSC=900-б. З ДABS , а з ДBSС . Зрозуміло, що CS=BS, тому , тобто . Розв'яжемо це тригонометричне рівняння (маючи на увазі, що 0<б<900): , . Оскільки , то , .

Відповідь: , .

Вправа 5. Дано прямокутний трикутник АВС, у якому С=900, В=в. Через катет АС проведена площина П, яка утворює з площиною трикутника кут б. Знайти кут нахилу гіпотенузи АВ до площини П.

Відповідь: .

Приклад 6. Основою піраміди SABC є рівносторонній трикутник АВС. Ребро SA перпендикулярне до площини основи. Знайти кут між бічною гранню SBC і площиною основи, якщо бічна поверхня відноситься до площі основи як 11:4.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Оскільки SA - висота піраміди, то провівши і з'єднавши точки S і K, ми одержимо кут SKA - лінійний кут двогранного кута, який потрібно обчислити. Позначимо його б. Позначимо також АВ=ВС=АС=а. Тоді і з ДSAK , . Тепер знайдемо бічну поверхню піраміди:

. . Отже, .

. Розв'яжемо це тригонометричне рівняння.

, , (ми врахували, що ).

; .

Приклад 7. Основою піраміди SABCD є квадрат зі стороною а. Ребро SA є висотою піраміди, М - середина ребра SC. Знайти кут між прямими ВМ і SA, якщо бічна поверхня піраміди дорівнює Q.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Здійснимо таку допоміжну побудову. Нехай О - точка перетину діагоналей квадрата ABCD, проведемо відрізок МО. Оскільки МО - середня лінія трикутника ASC, то MO||SA. Звідси випливає, що шуканий кут між прямими ВМ і SA є кут ОМВ. Тепер з прямокутного трикутника ВОМ знайдемо .

Але , тому . Нам залишилось визначити висоту піраміди SA. Для цього використаємо кубічну поверхню піраміди.

Оскільки ДABS=ДADS і ДBCS=ДDCS, то . Тепер зауважимо, що ДSBC - прямокутний , бо і за теоремою про три перпендикуляри , тому ; . Отже, ; , . Маємо ; .

Приклад 8. Прямокутний трикутник АВС розташований так, що його гіпотенуза АВ лежить в площині П, а катети утворюють з цією площиною кути б і в. Знайти кут між площиною трикутника і площиною П.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Нехай АВС - даний трикутник. Проведемо і з'єднаємо точку О з точками А і В. Ми одержимо піраміду САВО, у якої ребро CO є висотою. Тоді САО=б, СВО=в за умовою. Провівши і з'єднавши точки С і K, одержимо лінійний кут СKО двогранного кута, який нам потрібно визначити. Позначимо ДCKO=x, OC=h. З прямокутного трикутника СОK . Щоб визначити OK, спочатку з трикутників АОС і ВОС знайдемо ; . Тоді з прямокутного трикутника АВС . Але (подвоєна площа ДАВС), . Нарешті , .

2.2 Де знаходиться основа висоти піраміди?

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

В багатьох задачах, пов'язаних з неправильними пірамідами, дуже важливим є визначення точного положення основи О висоти SO цієї піраміди. Це можна зробити, зокрема, так. Нехай дано деяку неправильну піраміду.

Оберемо в ній дві бічні грані, наприклад, SAC і SBC і проведемо в них висоти SK і SM. Якщо тепер в основі піраміди провести і , то в перетині цих перпендикулярів одержимо точку О - основу висоти SO піраміди.

Зрозуміло, що якщо піраміда - довільна, то така побудова мало що дає. Але, якщо відомі деякі індивідуальні властивості піраміди, то положення точки О вдається зафіксувати досить вдало.

Наприклад, якщо бічна грань ASC - рівнобедрений трикутник, то К - середина АС і тому можна твердити, що точка О лежить на серединному перпендикулярі до сторони АС. Якщо грані ASC і BSC утворюють рівні двогранні кути при основі піраміди, то SKO=SMO, а тому OK=OM. Це означає, що точка О рівновіддалена від сторін АС і ВС кута АВС і тому розташована на бісектрисі цього кута.

Подібного роду міркування в багатьох випадках дозволяють точно зафіксувати положення точки О, що дозволяє успішно впоратись з запропонованою задачею.

Є деякі типові ситуації, які зустрічаються на вступних іспитах досить часто. Корисно сформулювати декілька правил, які допомагають аналізувати умову задачі на неправильну піраміду в цих ситуаціях. Ці правила легко одержуються за допомогою міркувань, про які ми тільки що казали.

1. Якщо два бічних ребра піраміди рівні між собою, то основа висоти піраміди знаходиться на серединному перпендикулярі до відрізка, що з'єднує кінці цих ребер.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

2. Якщо дві бічні грані утворюють рівні двогранні кути при основі піраміди, то основа висоти лежить на бісектрисі кута, утвореного відповідними сторонами основи.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

3. Якщо бічне ребро SA піраміди утворює рівні кути з двома сторонами основи АВ і AD, то основа висоти лежить на бісектрисі кута BAD.

(Між іншим, умова, про яку говориться в цьому правилі, рівносильна тому, що грані SAD і SAB утворюють рівні двогранні кути з основою піраміди).

4. Якщо в піраміді бічне ребро SA перпендикулярне до одного з ребер основи, то основа висоти піраміди лежить на перпендикулярі, проведеному через точку А до цього ребра основи.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Подивимось на прикладах, як «працюють» ці правила на практиці.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Приклад 1. Обчислити об'єм трикутної піраміди, у якої два протилежних ребра дорівнюють 4 і 12 м, решта мають довжину 7м.

Розв'язання.

Нехай ВС=4 м, AS=12 м, AC=AB=CS=SB=7 м. Проведемо висоту піраміди SO. Оскільки SA=SB, то основа О висоти лежить на серединному перпендикулярі до відрізка ВС. Але АС=АВ, тому цей перпендикуляр - висота AD трикутника АВС (і до того ж CD=DB). ДАВС=ДSBC, тому SD - висота ДBCS і SD=AD, тобто ДADS - рівнобедрений. З ДACD одержуємо:

.Знайдемо висоту SO піраміди. Для цього проведемо і обчислимо спочатку DK. Зрозуміло, що . З ДADK . Оскільки (подвоєна площа ДASD), то .

Отже, (м2).

Приклад 2. Основою піраміди є прямокутник ABCD, в якому AB=a, BC=b. Бічне ребро SA утворює рівні кути з ребром AB і AD. Знайти довжини відрізків, на які поділяє діагональ BD основи проекція прямої SA на площину основи.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Проведемо висоту SO піраміди, точка О (згідно правила 3) знаходиться на бісектрисі кута DAB. Отже, K - точка перетину сторони BD ДABD з бісектрисою кута А цього трикутника (ця бісектриса і є проекцією ребра AS на площу основи). За властивістю бісектриси . Але , тому, якщо позначити , то , звідси ; , .

Відповідь: шукані довжини дорівнюють і .

Приклад 3. Основою піраміди є ромб з гострим кутом б. Діагональний переріз піраміди, що проходить через вершини тупих кутів є рівнобедреним прямокутним трикутником, причому прямий кут співпадає з вершиною піраміди. Площа перерізу дорівнює 9 см3. Кут між площиною цього перерізу і площиною основи також дорівнює б. Знайти об'єм піраміди.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Щоб успішно розв'язати дану задачу, потрібно спочатку визначити положення точки О - основи висоти SO піраміди SABCD. Оскільки за умовою SB=SD, то точка О лежить на серединному перпендикулярі до відрізка BD. Але ABCD - ромб, тому серединний перпендикуляр - це діагональ АС ромба. Отже, точка О розташована на діагоналі АС. Тепер легко зрозуміти, що SKC=б, а також, що SK=KB=DK.

Подальше розв'язання не викликає труднощів. Позначимо сторону ромба АВ=а. З ДAKB . Але SK=KB, тому . З ДSOK .

. Щоб визначити а, врахуємо, що cм2, тобто , ; .

(см3).

Відповідь: (см3).

Задачі для самостійної роботи

1. В прямокутній піраміді SABC бічні ребра SB і SC рівні між собою, рівні також кути нахилу до площини основи граней ASB і ASC. Визначити об'єм піраміди, якщо АВ=15, ВС=14, АС=13, AS=18.

Відповідь: 224.

2. В трикутній піраміді SABC АВ=1, АС=2, AS=4, BAC=600, CAS=900. Знайти об'єм піраміди.

Відповідь: .

2.3 Піраміди, в яких висота розташована у бічній грані

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Якщо в піраміді одна з бічних граней (наприклад SAB) перпендикулярна до площини основи, то висота піраміди лежить в площині цієї грані, а основа О висоти знаходиться або на ребрі АВ, або на його продовженні.

Приклад 1. Основою піраміди є рівносторонній трикутник. Одна з бічних граней піраміди перпендикулярна до площини основи, а інші дві неї під кутом б. Визначити кут нахилу до площини основи бічних ребер піраміди.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Нехай SABC - дана піраміда, грань SABАВС. З'ясуємо, як розташована висота SO піраміди. Зрозуміло, що точка О лежить прямій АВ. З іншого боку, оскільки грані SAC і SВC утворюють з основою АВС однакові кути, точка О повинна лежати на бісектрисі кута АСВ. Звідси випливає, що О - середина АВ (бо ДАВС - рівносторонній за умовою). Тепер дуже легко побудувати всі кути, які нам потрібні в цій задачі: SAO=SBO - кути нахилу ребер SA, SB до площини основи, SCO - кут нахилу ребра SC, а побудувавши OKAC, одержимо SKO=б за умовою. Позначимо сторону основи АВ=а, тоді з ДАОК :

, з ДSOA

; .

Оскільки ОС - висота правильного трикутника АВС, то ; . .

Відповідь: , .

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Приклад 2. Довжина сторони правильного трикутника, який є основою піраміди, дорівнює 3. Одна з більших граней піраміди перпендикулярна до площини основи, а площі двох інших бічних граней дорівнюють 5 і 4. Визначити довжини відрізків, на які висота піраміди поділяє сторону основи.

Розв'язання.

Нехай SABС - дана піраміда. AB=BC=CA=3, пл.ASBпл.АВС, SДASC=5, SДSBC=4. Зрозуміло, що основа О висоти SO піраміди розташована на прямій АВ Якщо провести OMAC і OKBC, то SMAC, SKBC (за теоремою про три перпендикуляри), тобто SM і SK - висоти трикутників SAC і SBC. Довжини цих відрізків легко обчислити: , . Позначимо АО=х, тоді ОВ=3-х. З трикутників AOM і BOK знайдемо: ; . Тепер з трикутників OMS і OKS , тобто . Звідси легко обчислити х: , тоді .

Відповідь: , .

Приклад 3. У трикутній піраміді SABC грань SBC перпендикулярна до грані АВС. Всі плоскі кути при вершині S дорівнюють ; SB=SC=1см. Знайти об'єм цієї піраміди.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Оскільки SBC - рівносторонній трикутник, то висота SO піраміди ділить СВ навпіл: . З ДSOB . Позначимо АО=х. Х прямокутного трикутника SAO . Тепер з трикутників AOB і ASB знайдемо і

. Отже,

. Звідси легко знайти х, , . Тепер зауважимо, що АОпл.BSC (поясніть!) і ми можемо прийняти за основу піраміди грань BSC, а за висоту піраміди - відрізок АО. Тоді (см3).

Відповідь: (см3).

Приклад 4. Основою піраміди є рівносторонній трикутник із стороною а. Одна з бічних граней - теж рівносторонній трикутник, причому його площина перпендикулярна до площини основи. Визначити площу повної поверхні цієї піраміди.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Оскільки ДABC=ДABS (за умовою) і ДBCS=ДACS, то , . Для знаходження площі ДBCS зауважимо, що висота піраміди SO лежить в площині SAB і О - середина АВ, тому . Проведемо (за теоремою про 3 перпендикуляри), тобто SK - висота трикутника BSC. З ДOKB , а тому з ДBKS .

Отже, .

(кв.од.)

Відповідь: (кв.од.)

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Приклад 5. В трикутній піраміді дві бічні грані взаємно перпендикулярні. Площі цих граней дорівнюють S1 і S2, а довжина їх спільного ребра дорівнює а. Знайти об'єм піраміди.

Розв'язання.

Нехай ABCD - дана піраміда, пл.ABDACD, AD=a. Будемо вважати грань ABD за основу, тоді бічна грань ACD перпендикулярна до площини основи і висота СО піраміди міститься в цій грані.

, але СО є одночасно і висотою грані ACD, тому , , (куб.од.).

Відповідь: (куб.од.).

Задачі для самостійної роботи

1.Основою піраміди є правильний трикутник. Одна з бічних граней піраміди перпендикулярна до площини основи. Знайти косинус кута між двома іншими бічними гранями, якщо обидві вони утворюють з площиною основи один і той кут б.

Відповідь: .

2. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник АВС з основою АВ і кутом АВС, що дорівнює 1200. Бічна грань, що спирається на АВ перпендикулярна до основи піраміди. Площі двох інших бічних граней дорівнюють 3 і 2. Знайдіть сторони трикутника АВС, якщо сторона АВ ділиться висотою піраміди на відрізки, довжини яких відносяться як 2:1.

Відповідь: .

3. Основою піраміди є рівнобедрений трикутник, бічні сторони якого дорівнюють а, а кут між ними б. Грань піраміди, що проходить через основу трикутника, перпендикулярна до площини основи, а дві інші бічні грані утворюють з площиною основи кут . Знайти об'єм піраміди.

Відповідь: .

4. Основою піраміди SABC є правильний трикутник АВС. Бічна грань SBC перпендикулярна до площини основи. Знайти об'єм піраміди, якщо бічне ребро SA дорівнює b і утворює з ребрами основи AB і AC рівні кути б.

Відповідь: .

5. Основою піраміди є рівносторонній трикутник із стороною а. Одна з бічних граней перпендикулярна до площини основи, а дві інші утворюють з площиною основи кут б. Знайти об'єм піраміди і площу більшої бічної грані.

Відповідь: .

2.4 Піраміда з рівними бічними ребрами

В цьому підпункті ми розглянемо піраміди, у яких всі бічні ребра рівні між собою. Такі піраміди дуже популярні і тому часто зустрічаються на вступних іспитах.

Корисно знати наступні три теореми, пов'язані з пірамідами цього типу.

Теорема 1. Якщо всі бічні ребра піраміди рівні між собою, то основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо основи піраміди.

Теорема 2. Бічні ребра піраміди рівні між собою, якщо виконується будь-яка з наступних умов:

бічні ребра однаково нахилені до площини основи піраміди;

бічні ребра утворюють рівні кути з висотою піраміди;

навколо піраміди можна описати коло і висота піраміди проходить через центр цього кола.

Теорема 3. Якщо всі бічні ребра піраміди рівні між собою, то навколо піраміди можна описати кулю, причому центр кулі лежить на висоті піраміди або на її продовженні.

Розглянемо на прикладах, як застосовуються ці теореми на практиці. Розпочнемо з простих задач.

Приклад 1. Основою піраміди є рівнобедрений трикутник, рівні сторони якого дорівнюють по 6 см, а третя сторона 8 см. Бічні ребра рівні між собою і кожне дорівнює 9 см. Визначити об'єм цієї піраміди.

Розв'язання.

Нехай SABC - дана піраміда, АС=АВ=6 см, ВС=8 см, SA=SB=SC=9 см. Якщо SO - висота піраміди, то О - центр описаного навколо ДАВС кола, причому OA=R. Визначимо R.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

, площу S знайдемо за формулою Герона

(см2). (см). Тепер з ДSAO (SOA=900) за теоремою Піфагора (см).

(см3).

Відповідь: (см3).

Приклад 2. Основою чотирикутної піраміди є прямокутник, діагоналі якого дорівнюють b і утворюють кут 600. Кожне з бічних ребер утворює з площиною основи кут 450. Визначити об'єм піраміди.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Розв'язання.

За теоремою 2 бічні ребра піраміди рівні між собою, а за теоремою 1 основа О висоти SO піраміди співпадає з центром кола, описаного навколо прямокутника ABCD, тобто з точкою перетину його діагоналей. В прямокутному трикутнику SOA SOA=900, Звідси випливає, що висота піраміди . Площа основи

. Отже,

(куб.од.).

Відповідь: (куб.од.).

Приклад 3. Основа піраміди - рівнобедрений трикутник з основою 6 см і висотою 9 см. Кожне бічне ребро дорівнює 13 см. Знайти об'єм піраміди.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Точка О - центр кола, описаного навколо трикутника АВС (його основа ВС=6 см, висота AD=9 см). Щоб знайти радіус R цього кола, визначимо , , . Тепер легко знайти висоту Н піраміди (з трикутника AOS) і площу основи . (см3).

Зауваження. Нагадаємо, що радіус R кола, описаного навколо трикутника АВС зі сторонами a, b, c можна обчислювати за однією з формул:

або , де S - площа трикутника.

Відповідь: (см3).

Приклад 4. Основою піраміди є прямокутний трикутник, гострий кут якого дорівнює а, а кожне з бічних ребер дорівнює b і утворює з площиною основи кут в. Визначити об'єм піраміди.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Як і в попередніх задачах, основа О висоти SO піраміди є центром описаного навколо основи АВС кола. Оскільки ДАВС - прямокутний (АОВ=900, ВАС=б), то точка О - середина гіпотенузи АВ, тому SAO=в. За умовою SA=a, з ДSAO знаходимо , . Тепер з ДАВС :

,

Отже, (куб.од.)

Відповідь можна записати так: .

Приклад 5. Основа піраміди - прямокутний трикутник. Площа бічної грані, яка містить катет довжиною 4, дорівнює 7. Бічні ребра нахилені до площини основи під однаковими кутами. Висота піраміди дорівнює 2. Знайти площу бічної грані, яка містить гіпотенузу трикутника основи.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Нехай АСВ=900, АС=4, SДASC=7. Оскільки бічні ребра піраміди рівні між собою (теорема 2), то основа О висоти SO піраміди - центр описаного навколо ДАВС кола, тобто середина гіпотенузи АВ. За умовою SO=2. Для розв'язання задачі достатньо визначити АВ. Проведемо в ДASC висоту SK, тоді (оскільки SA=SC) К - середина АС. . З прямокутного трикутника SOK знайдемо: . Але ОК - середня лінія у ДАВС, тому . Тепер за теоремою Піфагора:

.

Отже, (кв.од.).

Відповідь: (кв.од.).

Приклад 6. Основою піраміди є трикутник з кутами б і в. Висота піраміди дорівнює h, а бічні ребра нахилені під до площини основи під кутом . Знайти об'єм піраміди.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Розв'язання. Складність цієї задачі полягає в тому, що за умовою неможливо зробити точний малюнок. Ми вже знаємо, що в даній задачі основа висоти піраміди - центр описаного навколо основи піраміди кола. Але не можна визначити, який саме трикутник лежить в основі піраміди. Якщо він - гострокутний, то центр кола розташований усередині трикутника, якщо прямокутний - то на середині гіпотенузи, якщо ж - тупокутний, то зовні трикутника.

Зрозуміло, що це не залежить від кутів б і в, але в умові в умові про них як раз нічого не відомо (можна лише зауважити, що 0<б<1800, 0<в<1800). Як же бути?

Зробимо так. Розглянемо один який-небудь випадок, а в процесі розв'язання будемо аналізувати, чи можна застосувати наші міркування в решті випадків.

Отже, припустимо, що в піраміді SABC основа АВС - гострокутний трикутник, О - центр описаного навколо АВС кола, SO=h - висота піраміди, OA=R, SAO=. Тоді з ДSAO . Якщо в ДАВС А=б, B=в, то за теоремою синусів , . .

Тепер знаходимо: ; (куб.од.).

Якщо тепер проаналізувати хід розв'язання, то побачимо, що міркування без будь-яких змін можна застосувати і до всіх інших випадків, тобто наше розв'язання є загальним. Решта випадків розглядати окремо немає ніякого сенсу.

Відповідь: (куб.од.).

Приклад 7. Бічні ребра трикутної піраміди рівні і дорівнюють а. З трьох плоских кутів при вершині піраміди два рівні б, а третій в. Знайти об'єм піраміди.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Розв'язання.

За умовою SA=SB=SC=a, ASB=ASC=б, BSC=в, O - центр описаного навколо ДАВС кола. Як і в попередній задачі, ми розглянемо лише один випадок, вважаючи, що ДАВС - гострокутний.