Методика розв'язання стереометричних задач

Легко визначити сторони трикутника основи АВС (наприклад за теоремою косинусів): , . Тепер радіус кола R знайдемо за формулою .

Відповідь: (куб. од.).

Приклад 8. Основою піраміди є прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом б. Всі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом в. Знайти плоскі кути при вершині піраміди.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Якщо SO - висота піраміди, то О - середина гіпотенузи і тому , . Тепер легко визначити бічні ребра піраміди: ; якщо ВАС=б, то катети трикутника АВС дорівнюють: , .

З ДASС:

,

. Аналогічно з ДBSC:

, . Кут ASB визначити зовсім просто: .

Відповідь: .

Приклад 9. Основою піраміди є прямокутний рівнобедрений трикутник з бічною стороною а. Бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом в. В цій піраміді проведено площину через її висоту і вершину кута, утвореного рівними бічними сторонами основи. Знайти площу одержаного перерізу.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Нехай SABC - дана піраміда, АВ=АС=а. Висота піраміди SO, О - центр описаного навколо ДАВС кола.

, .

Відповідь:

Приклад 10. У трикутній піраміді кожне з бічних ребер дорівнює а. Один з плоских кутів при вершині піраміди - прямий, а решта - по 600. Обчислити об'єм піраміди.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Нехай SABC - дана піраміда, SA=SB=а ASC=900, ASB=BSC=600. Обчислимо довжини сторін трикутника АВС (основи піраміди). Зрозуміло, що АВ=ВС=а, . Оскільки , то трикутник АВС - прямокутний з гіпотенузою АС. Але тоді середина О гіпотенузи є центром описаного навколо ДАВС кола і тому SO - висота піраміди. Зрозуміло, що . . Завершуємо розв'язання: (куб.од.).

Відповідь: (куб.од.).

Приклад 11. В основі чотирикутної піраміди лежить прямокутник, площа якого дорівнює S. Бічні ребра піраміди рівні між собою й нахилені до площини основи під кутом б. Кут між діагоналями основи в. Знайти об'єм піраміди.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Основа О висоти SO піраміди співпадає з точкою перетину діагоналей прямокутника ABCD. Оскільки , то , тому і з ДАОС . (куб.од.).

Відповідь: (куб.од.).

Приклад 12. Основою піраміди є рівнобедрений прямокутний трикутник з катетами, рівними 1. Знайти об'єм піраміди, якщо відомо, що її бічні ребра є рівними, а бічні грані - рівновеликі.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Розв'язання.

Нехай в піраміді SABC СА=СВ=1, АСВ=900, SA=SB=SC. Тоді основа О висоти SO піраміди - середина гіпотенузи АВ основи. Оскільки , то задача полягає в тому, щоб обчислити SO. За умовою площі бічних граней рівні, зокрема це відноситься до граней SAB і SBC. Провівши OKBC і з'єднавши K з S, ми одержимо, що SK - висота ДSBC (теорема про три перпендикуляри). Можна записати , але (середня лінія в ДАВС), , тому , . Але (ДSOK - прямокутний), отже OKS=450. Це означає, що . Тепер маємо (куб.од.).

Відповідь: (куб.од.).

Задачі для самостійної роботи

1. Основою піраміди є трикутник, сторони якого дорівнюють 12 см, 10 см і 10 см. Кожне бічне ребро піраміди нахилене до площини основи під кутом 450. Знайти об'єм піраміди.

Відповідь: 100 см3.

2. Основа піраміди SABC - трикутник АВС, у якого АСВ=900, САВ=300, АВ=2. Бічні ребра однаково нахилені до площини основи. Кут між гранню SAC і площиною основи дорівнює 600. Знайти об'єм піраміди.

Відповідь: .

3. Основа піраміди - прямокутний трикутник. Один із його катетів дорівнює 3. Бічні ребра нахилені до площини основи під однаковими кутами. Площа бічної грані, яка містить відомий катет, дорівнює 5. Висота піраміди дорівнює 2. Знайти площу основи піраміди.

Відповідь: 8 кв.од.

4. Основою піраміди є прямокутник. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює l і утворює зі суміжними сторонами прямокутника кути б і в. Знайти об'єм піраміди.

Відповідь: .

2.5 Піраміди з рівними двогранними кутами при основі

Теорема 1. Якщо всі двогранні кути при основі піраміди рівні між собою, то основою висоти піраміди є центр кола, вписаного в основу піраміди.

Теорема 2. Двогранні кути при основі піраміди рівні між собою, якщо виконується будь-яка з наступних умов:

висоти бічних граней, проведені з вершини піраміди всі рівні між собою;

висоти бічних граней (про які йдеться в попередньому пункті) утворюють рівні кути з висотою піраміди;

в основі піраміди лежить вписане коло і висота піраміди проходить через центр кола.

Теорема 3. Якщо двогранні кути при основі піраміди дорівнюють , а площа основи дорівнює Sосн., то площу бічної поверхні піраміди можна обчислювати за формулою , а повну поверхню - за формулою .

Теорема 4. Якщо всі двогранні кути при основі піраміди рівні між собою, то в цю піраміду можна вписати кулю, причому центр цієї кулі лежить на висоті піраміди. При цьому .

Приклад 1. Основою піраміди є рівнобедрена трапеція з діагоналлю l. Кут між діагоналями трапеції і більшою основою дорівнює б. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом . Визначити площу повної поверхні піраміди.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Розв'язання.

Площу повної поверхні в даному випадку можна обчислити за формулою . Тому достатньо зробити малюнок лише основи, тобто трапеції ABCD. Тут AD=BC, BD=l, ABD=б. Проведемо висоту DK трапеції, тоді , . Зауважимо, що , тобто сума основ трапеції . З умови задачі випливає, що в трапецію ABCD можна вписати коло, причому радіус цього кола , а також, що , тому . Щоб обчислити площу трапеції ABCD використаємо формулу , де р - півпериметр трапеції. .

Отже, (кв.од).

Відповідь: (кв.од).

Приклад 2. Основою піраміди є трикутник, відношення сторін якого дорівнює 13:14:15, а кожний з двогранних кутів при основі піраміди дорівнює 450. Знайти відношення повної поверхні піраміди до площі її основи.

Розв'язання.

Якщо позначити літерою S площу основи, то повна поверхня, як ми знаємо, дорівнює , де б=450. Тому:

. Як бачимо, форма і розміри трикутника основи в даній задачі не грають ніякої ролі і тому не використовуються.

Приклад 3. Основою піраміди SABCD є паралелограм ABCD з кутом А=600. Бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом б. Знайти кут нахилу ребра SA до площини основи.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Розв'язання.

Оскільки у даній піраміді двогранні кути при основі рівні, то навколо чотирикутник ABCD можна описати коло. Але єдиний паралелограм, в який можна вписати коло - це ромб. Отже, ABCD - ромб. Звідси випливає, що DAO=OAB=300. Основа О висоти SO піраміди знаходиться в точці перетину діагоналей ромба. Провівши ОКАВ, одержимо, що SKO=б.

Нам потрібно визначити кут SAO. Зробимо це так. Позначимо OK=r (це радіус вписаного в ромб кола), тоді з ДSOK , а з ДAOK . Тепер , звідси .

Відповідь: .

Приклад 4. Основа піраміди - прямокутний трикутник з катетами 5:12. Всі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють 600. Знайти висоту піраміди.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Нехай трикутник АВС - прямокутний (С=900), СА=5, СВ=12. За теоремою 1 основа О висоти SO піраміди - центр вписаного в ДАВС кола. Тому якщо побудувати лінійний кут SKO двогранного кута з ребром АС, то OK=r - радіус вписаного кола. Знайти r дуже просто, якщо знати формулу , Оскільки , то , Тепер з прямокутного трикутника SOK .

Відповідь: .

Приклад 5. Основою піраміди є рівносторонній трикутник зі сторонами 39 см, 39 см, 30 см. Двогранні кути при основі рівні між собою і дорівнюють 450. Визначити об'єм цієї піраміди.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Основа висоти SO піраміди - центр вписаного кола. Якщо OKAB, то OK=r, SKO=450, тому висота піраміди SO=OK=r. Знайдемо r за формулою:

. (см2) (формула Герона), (см), r=10(см). Отже, SO=10 см. Тепер обчислимо об'єм (см3).

Відповідь: (см3).

Приклад 6. Основою піраміди є трикутник, сторони якого 7 см, 7 см і 6 см. Висоти бічних граней, проведені з вершини піраміди, рівні між собою і відносяться до висоти як 5:4. Визначити об'єм піраміди.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Згідно з теоремою 2 основа О висоти цієї піраміди - центр вписаного в ДАВС кола. Якщо SKAB то OK=r. Радіус вписаного кола визначимо, як в попередній задачі:

, (см2), р=10, . Розглянемо тепер прямокутний трикутник SOK. В ньому за умовою . Якщо покласти , , то за теоремою Піфагора , звідси ; (см).

(см3).

Відповідь: (см3).

Приклад 7. Основою піраміди є ромб із стороною 15 см. Двогранні кути при основі піраміди всі рівні по 450. Площа бічної поверхні піраміди дорівнює 4 дм2. Знайти об'єм піраміди.

Розв'язання.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Основа висоти SO піраміди - центр вписаного в ромб ABCD кола, тобто точка перетину діагоналей ромба. Якщо провести ОKAB, то OKS - лінійний кут двогранного кута при ребрі АВ, тобто OKS=450. Звідси випливає, що висота піраміди , де КМ - висота ромба. Знаючи бічну поверхню Sб=4дм2=400см2, легко знайти площу S основи ABCD за формулою (см2). Але , тобто (см), (см), см. Тепер знайдемо об'єм піраміди: (см3).

Відповідь: дм3.

Задачі для самостійної роботи

1. Основою піраміди є ромб зі стороною 6 і гострим кутом 300. Двогранні кути при основі дорівнюють 600. Знайти площу повної поверхні піраміди.

Відповідь: 54.

2. Основою піраміди є прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють 6 і 8 см. Двогранні кути при основі піраміди дорівнюють по 600. Знайти бічну поверхню піраміди.

Відповідь: 96 см2.

3. Знайти об'єм трикутної піраміди, в основі якої лежить трикутник зі сторонами 3, 4 і 5, а двогранні кути при основі дорівнюють 600.

Відповідь: .

4. Основою піраміди є ромб зі стороною а і гострим кутом б. Всі грані нахилені під одним і тим же кутом б до основи. Знайти об'єм піраміди.

Відповідь: .

Розділ ІІІ. Базові задачі стереометрії

Ефективний метод навчання учнів розв'язати геометричні задачі заснований на використанні, при відшуканні плану розв'язання задачі, деяких висновків, отриманих при відшуканні так званих базисних задач.

Такий алгоритмічний підхід до відшукання плану розв'язання тою чи іншою мірою конкретної задачі допомагає учням швидше знайти цей план.

Базисними ми називаємо задачі на доведення залежностей, ефективно використаних при розв'язанні багатьох геометричних задач.

Звичайно, що не має повного переліку базисних задач, які повинен знати учень. В кожній задачі об'єм алгоритмічних даних може бути, в тій чи іншій мірі різною. Але мінімум цих даних учневі повинен бути відомий, так як без знання такого мінімуму, учні, крім розв'язання легких задач, нічого не розвяжуть.

Для кращого запам'ятовування алгоритмічних даних можна рекомендувати учням записати їх в окремий загальний зошит, в якому вони записуватимуть такі ж важливі відомості із курсу математики. Щоб навчитись розв'язувати задачі, учні повинні мати деякі знання, із яких потім вони вибиратимуть ті, котрі необхідні для розв'язання конкретної задачі.

3.1 Теорема про три косинуси

Нехай г - кут між похилою,проведеної до площини, та прямою, що лежить у цій площині; б - кут між похилою та її проекцією на площину; в - кут між цією проекцією та прямою на площині (формула «трьох косинусів»). Довести, що cosг=cosбcosв.

Доведення.

Нехай SA - похила, що проведена з точки S до площини ц. OA - проекція SA на ц. Проведемо

За теоремою про три перпендикуляри: ,

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Маємо:

Задачі для самостійної роботи

У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює б. Знайти кут нахилу бічного ребра до площини основи.

Відповідь:

У тригранному куті ОАВС: . Знайти кут між променем АО та площиною ВОС.

Відповідь: siny=cosy

Мимобіжні діагоналі двох суміжних бічних граней прямокутного паралелепіпеда нахилені до площини його основи під кутами б та в. Знайти косинус кута між діагоналями.

Відповідь:

Дві прямі l1 та l2 належать площині р. Вони перетинаються в точці А під кутом г. Третя пряма l3 проходить через точку l1 та перетинає прямі l1 та l2 під кутами ?? та ?? відповідно. Визначити косинус кута між прямою l3 та площиною ??.

Відповідь:

3.2 Теорема про три синуси

В одній з грані двогранного кута, величина якого рівна , проведена пряма, яка утворює з ребром двогранного кута кут (). Визначити кут, який ця пряма утворює з іншою гранню.

Розв'язання. Нехай - лінійний кут даного двогранного кута, грані якого позначимо літерами і . Згідно з умовою . Нехай - дана в умові пряма: і . Так як , то шуканий.

Покладемо і .

Із : .

Із

Із : ; .

Отже, маємо: .

Зауваження. По аналогії до задачі ми будемо називати отриману залежність теоремою про три синуси. Цю задачу можна сформулювати так: довести, що синус кута, утвореного прямою, що лежить на площині одного із граней двогранного кута, з другою гранню, рівний добутку синуса двогранного кута на синус кута, який згадувана пряма утворює з ребром двогранного кута.

Задачі для самостійної роботи

1. Знайти об'єм правильної піраміди, сторона основи якої рівна і утворює з бічною гранню кут .

Відповідь: .

2. Кут між площиною квадрата і деякою площиною рівний , а кут між стороною і тією ж площиною дорівнює . Знайти кут між стороною і площиною .

Відповідь: .

Педагогічний експеримент

У сучасних умовах учитель перетворюється на організатора особистісно орієнтованого навчання, яке передбачає розвиток і саморозвиток дитини. Щоб розвивати творчі здібності учнів, поступово та систематично залучати їх до самостійної пізнавальної діяльності, щоб забезпечити співпрацю між учнями та вчителем, традиційного уроку недостатньо.

Отож, враховуючи доцільність, а також з метою перевірки ефективності даної методики був проведений у школі педагогічний експеримент.

Для експерименту було вибрано два класи: 11-А та 11-Б СШ №25 м. Рівного, у яких рівень успішності з математики був приблизно однаковий.

При вивченні розділу "Розв'язання стереометричних задач" у 11-Б класі на уроках було застосовано різні форми роботи: колективна, робота в групах та робота в парах, а особливо велике значення мали нетрадиційні уроки, чи фрагменти таких уроків.

Оскільки робота велась паралельно в двох класах, де на дану тему виділялась однакова кількість годин, то об'єм матеріалу відповідно був поданий однаковий, однак відрізнялись форми подання. Результати з'явились одразу після перших уроків, адже новий засіб навчання - комп'ютер зацікавив дітей у 11-А класі, що відповідно змусило їх слухати уважніше виклад матеріалу, а оскільки комп'ютер дозволяє значно прискорювати розв'язання задачі, то відповідно і кількість розв'язаних різнотипних задач значно вища.

В учнів почали вироблятись необхідні для творчої роботи вміння, а саме:

уміння зміцнювати навички у заданих ситуаціях;

здатність бачити відмінні властивості та функції об'єктів, а також їх взаємозв'язки;

уміння швидко та адекватно пристосовуватись до нових ситуацій;

уміння засвоювати за аналогією, розуміння та вміле використання подібностей під час розв'язування завдань і т.д.

На підсумковому уроці була проведена контрольна робота у 11 -А та у

11 -Б класах. На основі результатів виконання підсумкової контрольної роботи було оцінено навчальні здобутки учнів двох класів.

Рівень засвоєння матеріалу в учнів 11-А класу був значно вищим, ніж в учнів 11-Б класу. Це було зумовлено тим, що при розв'язуванні стереометричних задач необхідно орієнтуватись у виборі конкретного методу для розв'язання конкретної задачі.

Проаналізувавши результати контрольної роботи, рівень знань, умінь та навичок учнів двох класів, можна зробити висновок про доцільність використання на уроках математики різних форм роботи з учнями. Покращення успішності у 11-А класі показує, що дуже важливо у своїй практиці вчителю проводити нетрадиційні уроки, адже це сприяє вихованню в учнів самостійності, активності, наполегливості, розвиває логічне мислення в учнів.

Отже, розв'язування стереометричних задач з використанням комп'ютера є надзвичайно ефективним і сприяє досягненню поставленої вчителем триєдиної мети (навчальної, виховної і розвиваючої).

Висновки

В даній курсовій роботі були розглянуті методи та прийоми спрощення розв'язування стереометричних задач, наведені приклади та задачі для самостійного опрацювання, були розглянуті найпоширеніші стереометричні задачі, поглиблювались знання про методику розв'язування стереометричних задач, розглядалися складні випадки розв'язання стереометричних задач.

В результаті написання роботи можна зробити такий висновок, що розв'язання стереометричної задачі найчастіше зводиться до розв'язання планіметричних завдань. Тому, розв'язуючи завдання по стереометрії, весь час доводиться повертатися до планіметрії, повторювати теореми, згадувати формули, необхідні для розв'язання . При розв'язанні стереометричних завдань ще в більшій мірі, чим в планіметрії, використовуються засоби алгебри і тригонометрії, застосовуються векторний і координатний методи, диференціювання і інтеграція. Таким чином, стереометричні завдання сприяють творчому оволодінню всією сукупністю математичних знань.

Список використаних джерел

Айзенштак Я.Й., Білоцерківська Б. Г. Розвязання задач в середній школі. - К.:Радянська школа, 1957. - 320с.

Белешко Д.Т., Гапон С.Л. Методи розвязання геометричних задач. Навчально - методичний посібник, 2009. - 70с.

3. Бевз Г.П. Методика розв'язування стереометричних задач. - К.:Радянська школа, 1989. - 192 с.

4. Бевз Г.П. Обобщения при решении задач с помощью векторов// Математика в школе. - 1978. - №2. - 137с.

5. Зорина Л.В. Дидактические основі формированиясистемности знаний старшеклассников. - М.:Педагогика, 1978. - 128 с.

6. Иржавцева В.П., Федченко Л.Я. Систематизация и обобщение знаний учащихся в процессе обучения математике. - К.:Радянська школа, 1989. - 192с.

7. Клопський В.М., Скопець З.А., Ягодовський М.І. Геометрия 9-10. - К.:Радянська школа, 1982. - 256 с.

Размещено на Allbest.ru