Основи якісної теорії різницевих рівнянь з неперервним аргументом

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

01.01.02 ? диференціальні рівняння

Основи якісної теорії різницевих рівнянь з неперервним аргументом

Романенко Олена Юріївна

Київ 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий консультант: доктор фіз.-мат. наук, професор, академік НАН України ШАРКОВСЬКИЙ Олександр Миколайович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу теорії динамічних систем.

Офіційні опоненти: доктор фіз.-мат. наук, професор, член-кореспондент НАН України САМОЙЛЕНКО Юрій Стефанович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу функціонального аналізу;

доктор фіз.-мат. наук, професор СЛЮСАРЧУК Василь Юхимович, Національний університет водного господарства та природокористування Мін. освіти та науки України, професор кафедри вищої математики;

доктор фіз.-мат. наук, професор МАКАРЕНКО Олександр Сергійович, Навчально-науковий комплекс “Інститут прикладного системного аналізу” НТУУ “КП І”, провідний науковий співробітник відділу прикладного нелінійного аналізу.

Провідна установа: Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, кафедра математичної фізики.

Захист відбудеться 2 7 б е р е з н я 2007 р. о год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601 Київ 4, МСП, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий 2 2 л ю т о г о 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради доктор фіз.-мат. наук ПЕЛЮХ Г.П.

1. Загальна характеристика роботи

асимптотичний нелінійний хаос атрактор

Актуальність теми. Різницеві рівняння, що беруть свій початок щез часів Евкліда, переживають в останні десятиліття період ренесансу. Сучасна теорія різницевих рівнянь є однією з основних складових м-тематичного апарату нелінійної динаміки ? міжгалузевої дисципліни, яка вивчає загальні закономірності складних нелінійних процесів найрізноманітнішої природи. Різницеві рівняння виявляються дуже добре пристосованими для моделювання багатьох реальних нелінійних систем у природознавстві і техніці, адекватний опис яких неможливий без залучення таких понять, як хаос, фрактал, каскадний процес утворення структур, перемішування. З фізичної точки зору це пояснюється тим, що різницеві рівняння у математичний спосіб віддзеркалюють одну з фундаменталь-них властивостей матеріального світу ? його дискретність.

Починаючи з середини 70-х років ХХ століття, нелінійні різнице-ві рівняння та породжувані ними динамічні системи (головним чином,саме останні) привертають значну увагу багатьох математиків, зокрема, Д.В. Аносова, В.І. Арнольда, А.Б. Катка, С. Смейла, А.Н. Шарковського, Л.С. Блока, Р. Боуена, М. Кучми, Г. Лядаса, Дж. Мілнора, М. Мішюре-вича, Г.П. Пелюха, С. ван Стриена, М.В. Якобсона. Різним аспектам теорії різницевих рівнянь присвячено велику кількість статей та монографій, засновано кілька міжнародних журналів, присвячених виключно цим рівнянням (найбільш відомий ? Journal on Difference Equations and Applications). При цьому зусилля спеціалістів зосереджувалися переважно на різницевих рівняннях з дискретним аргументом. Якісна теорія таких рівнянь (іншими словами, топологічна динаміка дискретних динамічних систем) розвинута досить глибоко і всебічно, особливо у розмірності один.

Що стосується різницевих рівнянь з неперервним аргументом (РРН), то ще на початку минулого століття створено завершену теорію лінійних рівнянь, головним чином в роботах Дж.Біркгофа і його учнів.

Для нелінійних рівнянь також отримано багато важливих результатів, але для окремих класів рівнянь і для окремих класів розв'язків; загальної теорії не створено навіть для найпростішого рівняння x(t+1) = f(x(t)),

t * R+, ? неперервного аналога дискретного рівняння

xn+1 = f(xn), n * Z+

(яке, до речі, дало початок цілому напрямку в теорії динамічних систем ? топологічній динаміці одно- та маловимірних систем). Такий стан справ зумовлений, зокрема, тим, що принципова відмінність РРН від звичайних диференціальних рівнянь виявляється в повній мірі, коли рівняння нелінійні. Тому ефективне дослідження нелінійних РРН не може спиратись лише на класичну теорію диференціальних рівнянь, вивчення багатьох питань теорії РРН потребує істотно інших ідей. Звичайно, аналіз РРН в значній мірі грунтується на теорії дискретних різницевих рівнянь, але разом з тим зовсім не є її простим технічним розповсюдженням.

Побудова цілісної теорії нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом є актуальною задачею, нагальність якої викликана як потребами самої теорії різницевих рівнянь, так і потребами прикладного характеру, зокрема, потребами математичної фізики, теорії диференціально-різницевих рівнянь, теорії хаосу в розподілених еволюційних системах.

Дослідження дисертації зосереджено на таких задачах:

побудова основ якісної теорії нелінійних різницевих рівнянь

x(t+1) = f(x(t)), t * R+,

 розповсюдження і узагальнення одержаних результатів на різного роду

еволюційні задачі, в тому чи іншому сенсі близькі до різницевих рівнянь;

застосування різницевих рівнянь для моделювання явищ самоорганізації та детермінованого хаосу.

Розв'язання цих задач формує, на думку автора, новий напрямок в загальній теорії різницевих рівнянь та їх застосувань, особливо застосувань до крайових задач математичної фізики.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати дисертації одержано у відділі теорії динамічних систем Інституту математики НАН України в ході виконання загального плану науково-дослідних робіт за темами: Розвиток теорії динамічних систем та її застосування до вивчення еволюційних задач (номер держреєстрації 01.900014763); Теорія динамічних систем і дослідження процесів самоорганізації та детермінованого хаосу (номер держреєстрації 0198U003053); Топологічна динаміка і нескінченновимірні динамічні системи (номер держреєстрації 0101U000644). До підсумкових звітів по цим темам ввійшли відповідні розділи, написані автором дисертації.

Дослідження також підтримані грантами: Державного фонду фундаментальних досліджень (проекти № I/356, № II.3/81, № 01.07/00081); The Intern. Sci. Foundation of G.Soros (grant U6G000); The Intern. Association for the promotion of co-operations with scientists from the New Independent States of the former Soviet Union (grant INTAS 96-0700).

Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є побудова основ якісної теорії різницевих рівнянь з неперевним аргументом та її застосування до нескінченновимірних еволюційних задач, зокрема до моделювання процесів самоорганізації і динамічного хаосу.

Об'єкти дослідження: різницеві рівняння з неперервним часом та динамічні системи, породжувані цими рівняннями; q-різницеві рівняння та диференціально-функціональні рівняння з лінійно трансформованим аргументом; крайові задачі для рівнянь з частинними похідними; теорія просторово-часового хаосу у детермінованих системах.

Предмет дослідження: динаміка околів точок під дією неперервного відображення інтервалу та властивості півгрупи, породженої цим відображенням; означення та побудова атракторів динамічних систем на некомпактних функціональних просторах; математичне обгрунтування явища автостохастичності; асимптотична поведінка розв'язків, граничні функції та стійкість; поведінка розв'язків в околі критичної точки і побудова локального загального розв'язку; моделювання розв'язками каскадних процесів утворення когерентних структур та перемішування, формування самоподібних та фрактальних множин; класифікація і моделювання ідеальної турбулентності та пов'язані з цим нові сценарії динамічного хаосу, критерії різних типів ідеальної турбулентності.

Методи дослідження. Основними є методи теорії динамічних систем. Застосовуються також методи теорії диференціально-функціональних рівнянь, топології, фрактальної геометрії, теорії імовірностей.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими. Основні з них полягають в наступному.

Одновимірні відображення. Досліджено динаміку зв'язної підмножини інтервалу I під дією неперервного відображення f: I * I, зокрема показано, що траєкторія околу нестійкої точки є асимптотично періодичною. Для півгрупи відображень, утвореної відображенням f, введено поняття граничної півгрупи, яка характеризує поведінку ітерацій f n при n * . Вказано умови існування та побудовано граничні півгрупи у просторах неперервних та напівнеперервних зверху функцій.

Нескінченновимірні динамічні системи. Розвинуто загальний підхід до дослідження асимптотичної динаміки недисипативних систем на некомпактних функціональних просторах, який, зокрема, включає поповнення фазового простору за допомогою певної метрики і дає нове означення глобального атрактора. Введено поняття автостохастичності ? ситуації, коли атрактор детермінованої системи містить випадкові функції. Обгрунтовано новий, нескінченновимірний, сценарій хаосу ? просторово-часовий хаос в розподілених системах з регулярною динамікою на атракторі. Змістовність цієї концепції підтверджено на прикладі динамічних систем, індукованих рівнянням та деякими класами крайових задач для рівнянь з частинними похідними.

Різницеві рівняння з неперервним аргументом. Закладено основи якісної теорії нелінійних різницевих рівнянь з неперервним часом

, t * R+.

Показано, що у типових ситуація неперевні (як завгодно гладкі) розв'язки прямують (у метриці Хаусдорфа для графіків) до періодичних або майже періодичних напівнеперервних зверху функцій. Доведено, що графіки цих граничних функцій є локально самоподібними, а за певних умов ? і фрактальними. Детальніше досліджено випадок, коли f ? C3-гладке унімодальне відображення з від'ємним шварціаном. Виходячи зі спектрального розкладу множини неблукаючих точок відображення f описано граничні функції розв'язків; дано ефективні критерії тієї чи іншої поведінки розв'язків та їх стійкості і біфуркації.

Для регулярно збуреного різницевого рівняння встановлено існування асимптотично стійких кусково-неперервних періодичних розв'язків.

-Різницеві та диференціально-різницеві рівняння. Вивчено клас рівнянь

x(qt+1) = f(x(t)), q > 1.

Зокрема, отримано верхню оцінку тих значень q при яких типовими є гладкі обмежені розв'язки, що прямують до розривних напівнеперервних зверху функцій.

Досліджено клас повністю інтегровних квазілінійних диференціально-різницевих рівнянь. Пояснено такі специфічні особливості диференціально-різницевих рівнянь як непродовжуваність, злипання та розгалуження розв'язків, градієнтна катастрофа; показано виключність періодичних розв'язків і типовість асимптотично періодичних але асимптотично розривних розв'язків, які прямують до напівнеперервних зверху функцій. Розглянуто два класа диференціально--pізницевих pівнянь. Перший ? лінійні рівняння зі степеневою особливістю при похідній. Для них побудовано загальний розв'язок в околі критичної точки. Другий клас ? нелінійні рівняння

x'(qt+1) = h(x(t)) x'(t), q > 1.

Показано, що можливі обмежені розв'язки трьох типів: асимптотично сталі; осцилюючі без загасання але зі спадаючою до нуля похідною; асимптотично розривні розв'язки.

Крайові задачі математичної фізики. Розглянуто кілька класів нелінійних крайових задач для лінійних рівнянь математичної фізики, що зводяться до різницевих рівнянь. Ці задачі, попри просту форму (точніше, завдяки їй), дозволяють розкрити математичні механізми основних явищ структурної турбулентності. На прикладі задач для хвильового рівняння wtt ? wxx = 0 показано суть і можливості методу редукції до різницевих рівнянь. Для двох класів нелінійних крайових задач для рівняння

wt = awx + bw

методом редукції досліджено залежність розв'язків від по-чаткових даних і параметрів. Основну увагу приділено динамічним системам, індукованим задачами на просторі початкових станів. Побудовано атрактори цих систем у просторах напівнеперервних зверху функцій і випадкових функцій. Розглянуто явище автостохастичності.

Розроблено математичний формалізм для опису самоорганізації та просторово-часового хаосу, який охоплює такі явища, як когерентність, каскадний процес, самоподібні і фрактальні структури. Його застосування продемонстровано на прикладі крайової задачі з двома просторовими змінними. Показано, що вона втілює нескінченновимірний сценарій хаосу, а її розв'язки моделюють головні сценарії каскадних процесів: переміжність та перемішування. Завершено математичне обгрунтування поняття ідеальна турбулентність, введеного А.Н. Шар-ковським.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер. Одержані результати та розвинута в дисертації “стратегія” дослідження асимптотичної динаміки нескінченновимірних систем сприятимуть подальшому розвитку теорії різницевих рівнянь та якісної теорії еволюційних задач (особливо крайових задачах математичної фізики) і можуть набути практичного значення при застосуванні в електродинаміці, акустиці, радіофізиці, теорії керування.

Результати дисертації будуть корисними при читанні спецкурсів з теорії різницевих рівнянь та теорії динамічних систем на механіко-математичних, фізичних, радіо-фізичних факультетах та факультетах прикладної математики університетів.

Особистий внесок здобувача. Самостійно автором одержано результати розділу 2 (за виключенням пункту 2.2.3); розділу 3 (за виключенням пунктів 3.1.1, 3.1.2, 3.2.1, 3.4.4); підрозділу 4.3.

Результати пункту 2.2.3, та підрозділів 1.2, 4.2, 4.4 одержано у співавторстві з А.Н.Шарковським; пунктів 3.1.1, 3.1.2, 3.2.1 ? з Ю.Л.Майстренком і А.Н.Шарковським; пункту 3.4.4 ? з R.Agarwal'ом; підрозділу 4.1 ? з G.A.Derfel'ем і А.Н.Шарковським. Внесок співавторів є рівноцінним. Основні результати дисертації одержані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на таких міжнародних конференціях:

Conference on Differential Equations and Their Applications (Чехословаччина, Брно, 1985); Workshop Nonlinear and Turbulent Processes in Physics (Україна, Київ, 1987, 1989); Conf. Chaotic Dynamics: Theory and Practice (Греція, Патрас, 1991); Europian colloquium Chaos and Noise in Dynamical Systems (Польща,Спала, 1993) Conf. Thirty Years after Sharkovskii's Theorem: New Perspectives (Іспанія, Ла Манга, 1994); Conference on Control of Oscillations and Chaos (Росія, С.- Петербург, 1997); Conf. Nonlinear Partial Differential Equations (Україна, Київ, 1997); Workshop Self-similar Systems (Росія, Дубна, 1998); Conf. Functional Equations and Inequalities (Польща, Злоці, 1999); Український математичний конгрес (Україна, Київ, 2001); Intern. Conf. Physics and Control (Росія, С.- Петербург, 2003); European Conference on Iteration Theory (Португалія, Лісабон, 1991, Австрія, Батчунс, 1992; Італія, Мілан, 2006); Workshop Nonlinear Physics and Mathematics (Україна, Київ, 2006).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 2-х монографіях та 27-ми статтях в провідних українських та закордонних наукових фахових виданнях. Деякі результати дисертації анонсовано в 2-х тезах і 5-ти працях міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, бібліографії, яка містить 153 найменування, та покажчика основних позначень. Повний обсяг роботи складає 331 сторінку, з них бібліографія займає 17 сторінок.

2. Основний зміст роботи

У вступі обгрунтовується актуальність задач дисертації, формулюються мета та завдання дослідження, висвітлюються наукова новизна, теоретичне і практичне значення отриманих результатів, наводяться відомості про апробацію роботи та кількість публікацій за темою.

Перший розділ поєднує вступну частину (де формулюються завдання дисертації і дається стисла характеристика розглядуваних проблем) та виклад оригінальних підходів до аналізу динамічних (недисипативних) систем на некомпактних функціональних просторах, що становить основну методологію подальших досліджень дисертації.

У підрозділах 1.1 та 1.3 сформульовано задачі дисертації і окреслено загальні ідеї та методи їх розв'язання. Головне завдання ? побудова основ якісної теорії різницевих рівнянь з неперервним аргументом вигляду

x(t+1) = f(x(t)), t * R+. (1)

Друге важливе завдання ? застосування одержаних результатів до різного роду еволюційних задач.

На відміну від диференціальних, різницеві рівняння не обумовлюють ні гладкості, ні неперервності розв'язків. Ми розглядаємо розв'язки, неперерeвні на півосі R+. Такі розв'язки породжуються тими і тільки тими початковими функціями, для яких виконуються умови узгодженості. Досліджувати рівняння (1) запропоновано методом переходу до індукованої ним нескінченновимірної (дискретної) динамічної системи.

Цей метод взагалі широко використовується в теорії еволюційних задач, але в данному випадку його застосування стикається з істотними труднощами, обумовленими некомпактністю фазового простору C([0,1],I). Некомпактність призводить до того, що у типових ситуаціях система не є дисипативною і її атрактор не можна описати, залишаючись у просторі C([0,1],I). Поняття глобального атрактора, загальновживане в математичній фізиці, стає неприйнятним, а стандартні методи теорії динамічних систем на компактних просторах не застосовні безпосередньо і потребують модернізації.

Дослідження підрозділу 1.2 спрямовано на вирішення цієї проблеми в загальній постановці. Паралельно обговорюються специфічні особливості динамічних систем, які гіпотетично можуть виникати через некомпактність фазового простору, наприклад, атрактор системи може містити фрактальні або випадкові функції. Нехай маємо динамічну систему

{ C k(D,E), T, S t } (3)

Нехай у цієї системи є некомпактні траєкторії.

В абстрактній теорії динамічних систем існує багато версій поняття атрактор. Що ж до динамічних систем на функціональних просторах, то досить розвинутою є теорія дисипативних систем, в якій під глобальним атрактором розуміють найменшу множину у фазовому просторі, що притягує всі траєкторії. Цей підхід бере початок в теорії крайових задач для рівнянь з частинними похідними параболічного типу, для яких наведене означення глобального атрактора є природним, оскільки таким задачам як правило відповідають динамічні системи з компактними траєкторіями, а їх атрактори є скінченновимірними підмножинами фазового простору.

Коли у системи існують некомпактні траєкторії, таке означення глобального атрактора стає неприйнятним. Щоб побудувати глобальний атрактор, необхідно переходити у функціональні простори, ширші за простір гладких функцій і наділені метриками, які б забезпечували таке поповнення вихідного простору C k(D,E), що початкові функції * C k(D,E) які породжують траєкторії, компактні у розширеному просторі, утворювали б у C k(D,E) масивну підмножину. Як-що такий ширший простір C * з метрикою с* відшукано, то можна запропонувати змістовне поняття глобального атрактора у просторі C *; наприклад, як аналога Generic Limit Set Дж. Мілнора для систем на некомпактних просторах.

Означення . Під -граничною множиною у просторі C * траєкторії S t [ ] системи (3) будемо розуміти множину

щ *[] = { ш * C *: t i > ? така, що с * (S ti [], ш) > 0 при i > ? }.

Означення A. Під глобальним атрактором у просторі C * системи будемо розуміти найменшу замкнену множину A * C * таку, що щ * [ ] A* для всіх * C k(D,E) за виклю-ченням, можливо, множини першої берівської категорії (у C k -топології).

Отже, глобальний атрактор ? це найменша замкнена множина у розширеному фазовому просторі C *, яка притягує резидуальну підмножину вихідного простору C k(D,E). В означенні атрактора слова “множина першої берівської категорї” можна замінити на будь-які інші, що виокремлюють певну мізерну підмножину початкових функцій ? мізерну у тому сенсі, що функціями з цієї множини можна знехтувати в рамках конкретної задачі. Наприклад, заміна на “множина міри нуль” дає аналог Likely Limit Set Дж.Мілнора. Наведені міркування ніяк не пов'язані з тим, що фазовим простором є простір C k-гладких функцій, і отже, формально є застосовними до систем з будь-якими фазовими просторами. Інша справа, чи будуть ці міркування змістовними.

Коли система (3) рівномірно неперервна відносно метрики с*, то вона індукує на C * за неперервністю систему, яку назвемо * ? розширеною системою. Множина A * є інваріантною відносно дії * ? розширеної системи, і отже, * ? розширена система задає рух на атракторі вихідної системи (3), що дозволяє охарактеризувати його будову.

При реалізації цього підходу слід зважати на такі “фізичні” міркування. Щоб дослідити функцію S t[ ](y) при t * за наявності великих градієтнів по y і по t, зокрема, проаналізувати її в точці y = y*, треба приймати до уваги значення S t[ ](y) не лише в точці y = y*, але і в деякому -околі цієї точки. Якщо йдеться про всі y D, то, зменшуючи, треба віднайти “оптимальне розрізнення” для конкретної задачі ? мале але скінченне значення . Це означає, що шукані метрики повинні здійснювати не поточкове порівняння функцій, а порівнювати значення функцій в деяких “оптимальних” околах точок.

Для здійснення цієї “стратегії” пропонуються два ширші простори:

простір SC(D,2E) напівнеперервних зверху функцій з метрикою

простір (D,E) функцій, заданих їх скінченновимірними розподілами (тобто простір, що складається з випадкових і вимірних детермінованих функцій), з метрикою

Дозволяє легко зрозуміти топологічний сенс збіжності у просторі SCk(D,2E) : збіжність послідовності функцій n до функції еквівалентна співвідношенню Lt n >? gr n = gr .

Сенс збіжності у просторі (D,E) є таким (підрозділ 3.3): якщо послідовність функцій n збігається до функції , то при n * послідовність збігається до за мірою.

За розширений фазовий простір C * візьмемо простори C Д та C #, які є поповненнями простору C k(D,E) функціями з SC(D,2E) у метриці та функціями з (D,E) у метриці с*. Важливо зауважити, що простір C Д завжди “працює” : всі траєкторії системи (3) є компактними у C Д (відносно метрики сД), і отже, мають непорожні компактні -граничні множини у C Д. Простір C # таких можливостей не надає. Для системи (2), найпростішого випадку системи (3), у підрозділі 3.3 знайдено умови, за яких простір C # “працює”. Основна з цих умов ? існування у f гладкої інваріантної міри.

Оскільки поповнення в метриці сД завжди ефективне, то для систем вигляду (3) типовою є ситуація, коли “точки” множини Д[ ] є розривними напівнеперервними зверху функціями. Це призводить, всупереч повній детермінованості, до неможливості на практиці точно визначити значення функції S t[ ](y) у деяких (або й у всіх) точках при великих t функція S t[ ](y), як говорять, опиняється за горизонтом передбачуваності. Коли множина таких, “заго-ризонтних”, точок є масивною (в деякому розумному сенсі), то цією множиною не можна нехтувати і тоді слід говорити про хаотизацію поведінки функції S t[ ](y) із зростанням t і про необхідність залучення для її дослідження ймовірнісних методів. В цьому випадку традиційне запитання:

“Яким є значення функції в точці ?”

слід замінити на запитання:

“З якою ймовірністю значення функції в точці належатиме певній множині ?”

Якщо для масивної множини станів * C k(D,E) на останнє запитання можна дати відповідь, то в системі (3) має місце автостохастичність. Вимога масивності є істотною ? інакше комп'ютер майже напевно (з імовірністю 1) автостохастичності не виявить. Знайти згадані ймовірності дозволяє простір C #.

Розділ 2 в рамках даної роботи має допоміжний характер. Наведені там дослідження з топологічної динаміки одновимірних відображень ініційовані потребами теорії різницевих рівнянь з неперервним часом (і використовуються у розділах 3, 4). Разом з тим, результати розділу 2 мають самостійне значення з точки зору теорії одновимірних динамічних систем.

У підрозділі 2.1 розглядається динаміка околів точок під дією неперевного відображення f інтервалу . Асимптотична поведінка траєкторій зазвичай характеризується за допомогою --граничних множин. Але у випадку розбігання близьких траєкторій цей підхід не дозволяє прогнозувати довгострокову динаміку як окремих траєкторій, так і системи в цілому, що, зокрема, призводить до необхідності розглядати поряд з траєкторіями точок і траєкторії околів точок.

Для цієї мети запропоновано поняття -множини точки і показано, що траєкторії околів нестійких точок є асимптотично періодичними ? їх динаміка, взагалі кажучи, значно простіша за динаміку траєкторій самих точок. Нехай D(f) ? розділювач відображення f.

Означення 2.1. Під -множиною точки z I будемо розуміти множину

щ f,е (z) = { J * 2 I: n i > ? така, що J = Lt n >? f ni (U е (z)) }.

Отже, розглядати -множини доцільно, взагалі кажучи, лише для нестійких точок. Твердження 2.1-2 дозволяє поставити у відповідність кожній нестійкій точці z D(f) ціле число, яке дорівнює періоду її області впливу Q f (z). Назвемо це число псевдоперіодом точки (для періодичної точки її псевдоперіод, взагалі кажучи, не збігається з її періодом, точніше, він є дільником періоду).

Теорема 2.1-1. Нехай z D(f) і p -- псевдоперіод точки z. Тоді при будь-якому >0 -множина складається з невиродженних інтервалів

Jj (е) = Lt n > ? f 2pi+j (U е (z)),, j=0,1,, 2p-1,

які циклічно переставляються відображенням f.

В підрозділі 2.2 розглянуто півгрупу < f > = { f, f 2,... }. Введено поняття граничної пів-групи, яке дозволяє охарактеризувати поведінку ітерацій f n при n * . Розглянуто зв'язок цього поняття з поняттям півгрупи Еліса. Вказано умови існування та побудовано граничні півгрупи в просторах неперервних та напівнеперервних зверху функцій; показано, що гранична півгрупа є періодичною або майже періодичною, тобто значно простішою за вихідну півгрупу < f >. Дослідження істотно використовують результати підрозділу 2.1. Ситуація є простою, коли півгрупа < f > скінченна, і зовсім нетривіальна в іншому випадку.

Теорема 2.2-1. Півгрупа < f > є скінченною, якщо і тільки якщо існує m 1, для якого ацій f 2m = f m.

В типовій ситуації, коли півгрупа < f > нескінченна, спробуємо описати її властивості за допомогою іншої, простішої, півгрупи.

Означення 2.2-1. Нехай простір C(I,I) вкладено у наділений метрикою простір H (I, E) відображень h: I * E, де E ? компакт. Якщо існує півгрупа < h >, h * H, для якої (f n, h n) * 0 при n *, кажемо що < f > допускає граничну півгрупу < h > у просторі H.

Півгрупа < f > може допускати в H лише одну граничну півгрупу. Вибираючи за H той чи інший простір, можемо “відтворити” за допомогою граничної півгрупи асимптотичні властивості < f > з більшою або меншою інформативністю. Чи може < f > допускати граничну півгрупу у “своєму власному” просторі C(I,I) ? Може, але у виключних ситуаціях.

Теорема 2.2-2. Півгрупа < f > допускає граничну півгрупу в C(I,I), якщо і тільки якщо півгрупа < f > скінченна.

Коли півгрупа < f > нескінченна, виберемо за H (компактний) простір SC(I,2I) напівнеперервних зверху відображень з метрикою сД. Границю у SC(I, 2I) позначимо Lim. Знайдемо відображення f Д * SC(I, 2I) таке, щоб f ? f Д було породжуючим елементом шуканої граничної півгрупи. Тоді < h > складатиметься з відображень f n ? f Д, n = 1,2,...

Назвемо f Д резольвентним відображенням і запишемо, поки що формально,

f Д = Lim n > ? f n!.

Теорема 2.2-3. Якщо f не має щ-інтервалів, для яких щ-гранична множина відмінна від цикла та замикання майже періодичної траєкторії, то резольвентне відображення існує.

Наведемо основні властивості f Д.

(1) Як функція з I в 2 I, функція f Д є напівнеперервною зверху.

(2) Як функція з I в I, функція f Д є

? однозначною і неперервною на множині I \ D(f), і дорівнює константі всередині кожного щ -інтервалу відображення f;

? багатозначною на множині D(f) і її значення у кожній точці D(f) утворюють невироджений замкнений інтервал.

Означення 2.2-2. Множину значень функції f Д(z) при z D(f) назвемо спектром стрибків резольвентного відображення і позначимо J(f Д).

(3) У типових ситуаціях спектр стрибків J(f Д) є скінченним ? так само, як і множина значень функції f Д(z) при z I \ D(f).

(4) Якщо фрактальний вимір розділювача D(f) додатний, то графік функції f Д(z) є фрак-талом (його фрактальний вимір > 1).

Існування резольвентного відображення f Д ще не гарантує того, що півгрупа < f n ? f Д > буде граничною для півгрупи < f >.

Назвемо умовами граничної півгрупи такі умови:

(LSG) Відображення f не має щ-інтервалів, у яких щ-гранична множина відмінна від

циклу та замикання майже періодичної траєкторії;

Для відображення f мають місце співвідношення

Ці умови (друга з яких гарантує виконання (8)) мають досить загальний характер, зокрема, виконуються для структурно стійких відображень.

Теореми 2.2-4 та 2.2-5. За (LSG)-умов півгрупа < f ? f Д > є граничною півгрупою для півгрупи < f > у просторі SC(I,2I). При цьому півгрупа < f ? f Д > є періодичною або майже періодичною.

Розділ 3 посідає центральне місце в дисертації. Він присвячений розвитку якісної теорії різницевих рівнянь з неперервним часом вигляду (1) та породжуваних ними динамічних систем, і служить підгрунтям для досліджень розділу 4. Аналіз рівняння (1) будується на переході до динамічної системи (2), породжуваної рівнянням на (некомпактному) просторі C([0,1],I) початкових функцій . Для дослідження асимптотичної динаміки системи (2), що становить і самостійний інтерес, застосовано загальний підхід до побудови глобального атрактора.

Підрозділ 3.1 має вступний характер: показано, що типовими для рівнянь (1) є асимптотично розривні розв'язки ? обмежені неперервні функції, що не є рівномірно неперервними на всій півосі R+. В підрозділах 3.2, 3.3 закладено основи топологічної динаміки систем вигляду (2), побудовано глобальний атрактор у просторах C Д та C #. Необхідність “виходу” у ширші простори випливає з такої теореми.

Теорема 3.2-2. Траєкторія S i[ ] системи (2) компактна, якщо траєкторії всіх точок z ([0,1]) є стійкими при відображенні f.

В підрозділі 3.2 обгрунтовано перехід до Д-розширеної системи з компактним фазовим простором і траєкторіями, що мають непорожні компактні щ-граничні множини.

Твердження 3.2-2. Динамічна система (11) є неперервним продовженням динамічної системи (2).

Теорема 3.2-6. Нехай C([0,1],I), * щ Д [ ], t* * [0,1]. Значення (t*) є одно-точковою множиною, якщо точка x* = (t*) не належить розділювачу. Значення (t*) є неви-родженим (замкненим) інтервалом в іншому разі.

Коли щД[] ? цикл або замикання майже періодичної траєкторії, функції з щД[] можна описати в термінах резольвентного відображення f Д. Найпростіші формулювання маємо для, що задовольняють умови:

(TVS) якщо (t) є константою в околі t = t*, то (t *) D(f);

якщо (t) має екстремум при t = t*, то (t *) D* (f).

Нехай F -- клас відображень f C(I, I), що задовольняють (LSG)-умови.

Теорема 3.2-14. Нехай f F, (f). Тоді щ-гранична множина траєкторії S i[ ] системи (2) є циклом Д-розширеної системи (11), якщо гранична півгрупа < f ? f Д > періодична, і замиканням майже періодичної траєкторії, якщо гранична півгрупа < f ? f Д > майже періодична.

Теоpема 3.2-14 показує, по-перше, що типові траєкторії системи (2) ведуть себя пpосто: пpитягуються до циклів Д-pозшиpеної системи, а, по-друге, що “асимптотична структура” (при i * ) самої “точки” траєкторії є досить складною: вона визначається, взагалі кажучи, розpивною функцією (f Д ? )(t).

Модернізуємо поняття глобального атрактора, оскільки у застосуваннях можуть бути цікавими функції тієї чи іншої гладкості.

Означення 3.2-3. Під -глобальним атрактором у просторі C Д системи (2), k 0, будемо pозуміти найменшу замкнену множину AДk CД таку, що щД[] AДk для всіх * C k([0,1], I) за виключенням, можливо, множини першої категорії Беpа.

Теоpема 3.2-16. Якщо f F і D* (f) ? множина першої категорії, то k-глобальний атрактор системи (2) при k 1 складається з циклів і майже періодичних траєкторій Д -розширеної системи..

Підрозділ 3.3 присвячено математичному обгрунтуванню явища автостохастичності, гіпотетичне існування якого анонсоване у розділі 1 і пов'язане з переходом від системи (2) до # - розширеної системи, яка одержується поповненням підпростору несингулярних початкових функцій Cns([0,1], I) функціями з ([0,1], I) у метриці с#. Показано, що для кусково-монотонних несингулярних f # - розширена система дійсно є неперервним продов-женням системи (2).

Постає питання: “Нехай mes D(f) > 0 (тоді траєкторії “потрапляють за горизонт перед-бачуваності”); за яких умов траєкторії # - розширеної (а отже, і вихідної) системи мають непорожні компактні -граничні множини ?”. Позначимо підмножину кусково-монотонних неперервних відображень f: I * I таких, що

(SIM) Відображення f є несингулярним;

Відображення f має ергодичну гладку інваріантну міру ;

Носієм міри supp є (транзитивний) цикл інтервалів

, , , періоду ;

Міра еквівалентна мірі Лебега на ;

Відображення f p є перемішуючим відносно міри

на кожному з інтервалів E i, i = 0,1,, p-1;

, де ? границя басейну міри.

Відображення може мати не одну міру, що задовольняє (SIM)-умови. Характеристику структури множини таких мір дає таке твердження.

Твердження 3.3-6. Нехай міри 1, 2, задовольняють (SIM)-умови.

Якщо supp 1 supp 2, то міри 1, 2 взаємно сингулярні.

Якщо supp 1 = supp 2, то 1 = 2.

Теорема 3.3-2. Нехай f * MC ,p, * Cns. Тоді щ-гранична множина щ#[] траєкторії S n[] системи (2) складається з випадкових функцій і є циклом # - розширеної системи (13).

За умов теореми 3.3-2 перехід до Д-розширеної системи фактично дозволяє визначити лише інтервал можливих значень функції (f I ? )(t) при великих . Використання ж # - розширеної системи дозволяє встановити розподіл імовірностей на цьому інтервалі. Підкоригуємо означення глобального атрактора, щоб пристосувати його до простору C #.

Означення 3.3-5. Під глобальним атрактором у просторі C # системи (2) будемо розуміти найменшу замкнену множину A # C # таку, що щ # [ ] A# для всіх несингулярних C([0,1], I).

Теорема 3.3-3. Глобальний атрактор системи (2) складається з випадкових функцій, які утворюють цикли # - розширеної системи.

Для широких класів унімодальних відображень умови теореми 3.3.-3 виконуються на множині параметрів додатної міри Лебега. Це означає, що явище автостохастичності є фізично реалізовним. Теореми 3.2-16, 3.3.-3 надають “нескінченновимірний” сценарій детермінованого хаосу ? просторово-часова хаотизація системи обумовлена не складністю динаміки на атракторі (він складається з циклів), а складністю внутрішньої структури точок атрактора.

В підрозділі 3.4 одержані результати застосовуються до рівняння (1).

Показано, що: 1) неперервний розв'язок є рівномірно неперервним на R+, якщо і тільки якщо відповідна траєкторія компактна в C 0-метриці; 2) типовими є неперервні розв'язки, що прямують до напівнеперервних зверху функцій, графіки яких є локально самоподібними і, за певних умов, фрактальними. Зростання незагасаючих коливань розв'язку характеризується топологічною ентропією ent f відображення f.

Означення 3.4-1. Скажемо, що непеpеpвна функція u: R+ > I, прямує до напів-непеpеpвної зверху функції P: R+ > 2I, якщо

сД (u(t+T), P(t+T)) > 0 при T > ? для t * [0,1],

тоді функцію P називатимемо гpаничною функцією для функції u.

Теоpеми 3.4-3 та 3.4-4. Нехай f F і (f). Якщо гранична півгрупа < f ? f Д > періодична з періодом N, то pозв'язок x (t) має N-пеpіодичну напівнепеpеpвну звеpху гpаничну функцію.

Вважатимемо pівняння (1) типовим, а f приналежним до класу FN. Єдиний випадок, коли pозв'язок веде себе пpосто ? pівноміpно пpямує до деякої константи ? має місце, коли інтервал ([0,1)) належить басейну неpухомої точки відобpаження f. В усіх інших випадках є власне напівнепрерною зверху функцією такою, що її значення

? на D(f,) є невиpодженими замкненими інтеpвалами з J(f);

? на кожному відкpитому підінтервалі з [0,1] \ D(f,) є тотожною константою, яка належить J0 (f).

Множина D(f,) є основним чинником ускладнення поведінки x (t) із зростанням часу: якщо множина D(f,) є нескінченною, то число незагасаючих коливань x (t) на [T,T+1] необмежено зpостає при T * .

Означення 3.4.-2. Розв'язок, генеpатоp pозpивів якого є нескінченною множиною, називатимемо туpбулентним; якщо генеpатоp pозpивів є незліченним, то pозв'язок називатимемо сильно туpбулентним.

Теоpема 3.4-5. Рівняння (1) має туpбулентні pозв'язки, коли у відобpаження f є цикл пеpіода 2, і сильно туpбулентні pозв'язки, коли у f є цикл пеpіоду .

Зупинимось на деяких особливостях сильно туpбулентних pозв'язків.

Означення 3.4-3. Скажемо, що гpафік функції P: R+ > 2I є самоподібним у точці , якщо існують окіл U точки t* та зберігаючі орієнтацію дифеомоpфізми:

у: U > U, у(t *) = t *, у'(t *) = 0 (диффеоморфизм самоподобия)

т: U > R, т(t *) = 1 (диффеоморфизм деформации),

такі, що гpафік функції P(t)|U є інваpіантним відносно пеpетвоpення (t, z) ((t), z(t)).

Теоpема 3.4-6. Якщо z* = (t*) ? точка Мішюpевича, то гpафік гpаничної функції pозв'язку є самоподібним у з коефіцієнтом самоподібності , рівним показнику Ляпунова циклу, в який потрапляє точка z*, і з дифеоморфізмом деформації (t)1.

Означення 3.4-4. Скажемо, що гpафік функції P: D > 2D' є фpактальним, якщо його фpактальний виміp більший за m. Зокрема, гpафік функції P: R+ > 2I є фpактальним, якщо його фpактальний виміp >1.

Теоpема 3.4-7. Для pозв'язку гpафік його гpаничної функції на будь-якому інтеpвалі [T,T+1] є фpактальним тоді і тільки тоді, коли його генеpатоp pозpивів має додатний box-counting виміp

В підрозділі 3.4 для регулярно збуреного різницевого рівняння встановлено існування асимптотично стійких кусково-неперервних -періодичних розв'язків.

Підрозділ 3.5 присвячено SU-рівнянням ? рівнянням, у яких f є унімодальним відоб-раженням з від'ємним шварціаном. Вони демонструють типові особливості загальних рівнянь вигляду (1) і разом з тим є найпростішими у сенсі одностайності в поведінці розв'язків. Показано, що поведінка розв'язків визначається спектральним розкладом множини неблукаючих точок відображення f: граничні функції описано через елементи спектрального розкладу; класифіковано розв'язки в залежності від потужності генератора стрибків і наведено критерій існування розв'язків того чи іншого типу; досліджено стійкість і біфуркації розв'язків в залежності від біфуркацій спектрального розкладу.

Розділ 4 присвячено розповсюдженню якісної теорії різницевих рівнянь з неперервним часом на різні класи еволюційних задач.

В підрозділі 4.1 проаналізовано клас q-різницевих рівнянь

x(qt + 1) = f(x(t)), q > 1, t * R+

Показано, що гладкі розв'язки при “не дуже великих” q > 1 успадковують асимптотичні властивості розв'язків відповідного різницевого рівняння.

Введемо дві, у певному сенсі протилежні, умови: при деякому m 1

У першому випадку розв'язок не обов'язково є асимптотично сталим ? в типових ситуаціях він коливається з неспадаючою до нуля амплітудою. В другому випадку розв'язок не є рівномірно неперервним на R+.

Теореми 4.1-4. За умови (**) кожний розв'язок x (t), для якого є асимптотично розривним і має граничну функцію

Підрозділ 4.2 присвячено диференціально-різницевим рівнянням

P(x(t), x(t+1)) x'(t) + Q(x(t), x(t+1)) x'(t) + R(x(t), x(t+1)) x'(t) = 0

у припущенні, що вони повністю інтегровні. Такі рівняння демонструють багато властивостей, харак-терних для різницевих рівнянь і яких нема у звичайних диференціальних. Рівняння (14) інтегруванням зводиться до сім'ї різницевих рівнянь

Показано, що критерієм повної інтегровності рівняння (14) є повна інтегровність рівняння Пфаффа. З'ясовано, як розв'язки (14) пов'язані з розв'язками (15). Методом фазової площини пояснено такі специфічні особливості диференціально-різницевих рівнянь як непродовжуваність, злипання та розгалуження розв'язків, градієнтна катастрофа. Вказано алгоритм побудови і показано виключність існування періодичних розв'язків.

Теорема 4.2-1 Розв'язок x(t) є періодичною функцією, якщо F((x(0),x(1)))=0.

Разом з тим, показано, що характерним є існування узагальнених періодичних розв'язків ? напівнеперервних зверху періодичних функцій ? до яких прямують класичні розв'язки, що і надає їм властивості, не типові для звичайних диференціальних рівнянь. Виходячи з розділу 3, описано граничні функції розв'язків в термінах граничної півгрупи.

В підрозділі 4.3 розглянуто два класи диференціально--pізницевих pівнянь в околі критичних точок ? нерухомих точок відображення, що задає зсув аргумента. Дослідження базуються на близькості цих рівнянь до -різницевих. Перший клас ? це квазілінійні рівняння

x'(qt+1) = h(x(t)) x'(t), q > 1 (16)

Показано, що можливі три типи обмежених розв'язків: асимптотично сталі; осцилюючі без загасання, але зі спадаючою до нуля похідною (у різницевих рівнянь таких розв'язків немає); асимптотично розривні розв'язки.

Другий клас ? лінійні рівняння зі степеневою особливістю. Побудовано загальний розв'язок в околі критичної точки t = 0 і показано, що ця точка типу “ сідло”.

Теорема 4.3-5. Загальний розв'язок рівняння (17) в околі критичної точки може бути представлений у вигляді

Підрозділ 4.4 присвячено крайовим задачам для рівнянь з частинними похідними, які зводяться до різницевих рівнянь і добре пристосовані для моделювання основних явищ структурної турбулентності. Хоча приклади таких задач відомі давно, глибоке їх дослідження стало можливим лише тепер, завдяки розвитку теорії різницевих рівнянь з неперервним часом.

На прикладі задачі для хвильового рівняння показано суть і можливості методу редукції. Для двох класів нелінійних задач (P1) і (P2) методом редукції досліджено залежність розв'язків від початкових даних і параметрів. Основну увагу приділено динамічним системам зсувів, індукованим цими задачами на просторі початкових станів. За методом розділу 1, шляхом переходу до Д - та # - розширених динамічних систем, побудовано атрактори вихідних систем у просторах напівнеперервних зверху функцій і випадкових функцій. Зокрема, розглянуто явище автостохастичності.

Заключна частина підрозділу 4.4 присвячена застосуванням до моделювання структурної турбулентності. Вже одно- та двовимірні крайові задачі, що складаються з лінійних гіперболічних рівнянь та нелінійних крайових умов, можуть правити за відповідні ідеалізовані моделі. При цьому їх хаотизація відбувається за “нескінченновимірним” сценарієм (розділ 3). Термін “структура” широко використовується в різних галузях науки, але на інтуїтивному рівні. Математична формалізація понять “структура”, “когерентність”, “”каскадний процес”, “самоподібність” видається досить нагальною. В підрозділі 4.4. запропоновано низку відповідних означень і продемонстровано їх застосування на прикладі редукованої двовимірної. Розв'язки задачі (P3) віддзеркалюють головні сценарії турбулентності: 1) разом з появою структур менших масштабів зберігаються структури великих масштабів ( переміжність ? чергування ділянок з регулярною динамікою і зі структурною турбулентністю); 2) поява структур менших масштабів супроводжується розпадом структур більших масштабів ( перемішування ? формування однорідної турбулентності).

Моделювання реальної турбулентності можна починати з дослідження ідеальної турбулентності ? турбулентності в середовищах без внутрішнього опору. Моделями слугують крайові задачі для рівнянь гіперболічного типу. Перехід до динамічних систем зсувів на просторі початкових станів і побудова - та - розширених систем (розділ 1) дозволяє надати класифікацію і критерії ідеальної турбулентності.

Означення 4.4-13. Початковий стан * С 1 породжує ідеальну турбулентність, коли існує функція * * щ Д [], для якої множина точок розриву незліченна; при цьому:

якщо фрактальний вимір графіка функції * більший за 1, то називатимемо таку турбулентність сильною або фрактальною;

якщо множина щ # [] містить випадкову функцію, то називатимемо таку турбулентність стохастичною;

в інших випадках називатимемо таку турбулентність слабкою.

Теорема 4.4-17. Для індукованої задачею (P3) динамічної системи:

? майже кожний початковий стан породжує фрактальну турбулентність, якщо відображення f має цикл = 2 i, i=0,1,;

? кожний несингулярний початковий стан породжує стохастичну турбулентність, якщо відображення f задовольняє (SIM)-умови.

Висновки

В дисертації закладено основи нового напрямку в теорії різницевих рівнянь ? якісної теорії різницевих рівнянь з неперервним часом та її застосувань до диференціально-різницевих рівнянь і крайових задач математичної фізики; розвинуто нові підходи до моделювання просторово-часового хаосу. Дисертація також робить внесок у побудову теорії динамічних систем на некомпактних функціональних просторах.

Розвинуто загальний підхід до аналізу недисипативних динамічних систем на некомпактних функціональних просторах, який пропонує модифіковане означення глобального атрактора і включає побудову метрик сД та с#, що дозволяють поповнити фазовий простір напівнеперервними зверху функціями та випадковими функціями (застосовано в розд. 3, 4).

Введено поняття автостохастичності в детермінованих системах ? ситуації, коли атрактор містить випадкові функції. В розд. 3, 4 показано, що це поняття є фізично реалізовним ? автостохастичність має місце в системах вигляду (2) на множині параметрів додатної міри.

Обгрунтовано можливість нового сценарію хаосу ? просторово-часовий хаос в розподілених системах, атрактори яких складаються з циклів, а хаотизація обумовлена складною внутрішньою структурою “точок” атрактора ? елементів певного функціонального простору. В розд. 3, 4 показано, що цей “нескінченновимірний сценарій” справді реалізовний.

Загальну схему дослідження асимптотичної динаміки систем на просторах C k-гладких функцій застосовано до систем вигляду (2), породжуваних різницевим рівнянням (1) та певними класами крайових задач для рівнянь з частинними похідними. Показано, що при поповненні в метриці сД глобальний атрактор завжди існує і в типових ситуаціях складається з періодичних та майже періодичних траєкторій розширеної системи. “Точки” атрактора ? напівнеперервні зверху функції ? у багатьох випадках мають дуже складну будову, зокрема, їх значення можуть бути інтервалами на канторовій множині або інтервалі. Застосування метрики с# дозволило дати математичне обгрунтування явища автостохастичності: при поповненні в метриці с# за досить загальних умов (головна ? наявність у f гладкої інваріантної міри) глобальний атрактор існує і складається з періодичних траєкторій, “точками” яких є випадкові функції.

Побудовано основи якісної теорії нелінійних різницевих рівнянь з неперервним часом x(t+1) = f(x(t)). Показано, що для типових рівнянь типовими є турбулентні розв'язки ? розв'язки, які прямують (у метриці Хаусдорфа для графіків) до напівнеперервних зверху функцій, що мають незліченну множину точок розриву на будь-якому інтервалі одиничної довжини. Дано їх класифікацію і вказано умови існування розв'язків того чи іншого типу. Описано низку нестандартних властивостей турбулентних pозв'язків: графіки їх граничних функцій є локально самоподібними, а за досить загальних умов ? і фрактальними; якщо f має гладку інваріантну міру, існують вкрай нерегулярні розв'язки, що асимптотично точно описуються випадковими процесами (явище автостохастичності). Детальніше розглянуто випадок, коли f ? унімодальне відображення з від'ємним шварціаном: виходячи із спектрального розкладу множини неблукаючих точок f, описано граничні функції розв'язків; дано прості критерії тієї чи іншої поведінки розв'язків та їх сД -стійкості.

Для нелінійного q-різницевого рівняння, з'ясовано при яких q розв'язки не успадковують, а при яких ? успадковують властивості розв'язків відповідного різницевого рівняння. Зокрема, отримано оцінку зверху тих значень q, при яких типовими є гладкі обмежені розв'язки, що прямують до напівнеперервних зверху функцій.

Досліджено клас диференціально-різницевих, коли вони повністю інтегровні. Вказано необхідні та достатні умови повної інтегровності пояснено такі специфічні особливості, як непродовжуваність, злипання та розгалуження розв'язків, градієнтна катастрофа. Показано виключність періодичних розв'язків і типовість асимптотично періодичних але асимптотично розривних розв'язків, які прямують до напівнеперервних зверху функцій.

Розглянуто два класи диференціально-q-pізницевих рівнянь, розв'язки яких демонструють специфічну поведінку в околі критичних точок. Перший клас ? лінійні рівняння зі степеневою особливістю при похідній. Для нього побудовано загальний розв'язок в околі критичної точки. Другий клас ? повністю інтегровні квазілінійні рівняння, які зводяться до однопараметричної сім'ї -різницевих. Показано, що існують розв'язки лише трьох типів: асимптотично сталі; осцилюючі без загасання але зі спадаючою до нуля похідною (у різницевих рівнянь таких розв'язків немає); асимптотично розривні розв'язки.

Визначено підхід до аналізу крайових задач для рівнянь з частинними похідними, який грунтується на поєднанні методу редукції до різницевих рівнянь з методом переходу до розширених динамічних систем (розвинутому в розд. 1). На прикладах показано, що він дозволяє описувати дуже складну просторово-часову динаміку за допомогою дуже простих (за формою) крайових задач.

Запропоновано математичний формалізм для опису процесів самоорганізації та детермінованого хаосу. Завершено математичне обгрунтування поняття “ідеальна турбулентність”.

Досліджено динаміку зв'язної множини з інтервалу I при неперервному відображенні f: I * I. Зокрема показано, що траєкторія множини, яка містить нестійку точку, є асимптотично періодичною. Для півгрупи {f, f2,...} введено поняття граничної півгрупи, яка характеризує поведінку ітерацій. Вказано умови існування та побудовано граничні півгрупи в просторах неперервних та напівнеперервних зверху функцій.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. ? Киев: Наук. думка ? 1986 ? 280 с.

2. Sharkovsky A.N., Maistrenko Yu.L., Romanenko E.Yu. Difference Equations and Their Applications. ? Dordrecht: Kluwer Academic Publishers ( Ser. Mathematics and its Applications), vol. 250 ? 1993 ? 358 p.