Основи якісної теорії різницевих рівнянь з неперервним аргументом
Аналіз асимптотичної динаміки недисипативних систем на некомпактних функціональних просторах. Основи якісної теорії нелінійних різницевих рівнянь з неперервним часом. Просторово-часовий хаос в розподілених системах з регулярною динамікою на атракторі.
| Рубрика | Математика |
| Вид | автореферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 29.09.2015 |
| Размер файла | 186,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
3. Agarwal R.P., Romanenko E.Yu. Stable periodic solutions of difference equations // Appl. Math. Lett. ? 1998. ? 11, № 4. ? P. 81-84.
4. Derfel G.A., Romanenko E.Yu., Sharkovsky A.N. Long-time properties of simplest nonlinear -difference equations // Intern. J. Difference Equations and Appl. ? 2000. ? 6. ? P. 485-511.
5. Дерфель Г.А., Романенко Е.Ю., Шарковский А.Н. Асимптотическая разрывность гладких решений нелинейных -разностных уравнений // Укр. матем. журн. ? 2000. ? 60, № 12. ? c. 1615-1629
6. Романенко Е.Ю. Быстро осциллирующие решения одного класса дифференциально-разностных уравнений // В кн.: Дифференциально-разностные уравнения и задачи математической физики. ? Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1984. ? С. 83-101.
7. Романенко Е.Ю. О предельных свойствах полугруппы отображений интервала // В кн.: Дифференциально-функциональные уравнения и их применение к нелинейным краевым задачам. ? Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1987. ? С. 64-73.
8. Романенко Е.Ю. Асимптотика решений одного класса дифферен-циально-функциональных уравнений // Укр. матем. журн. ? 1989. ? 41, № 11. ? С. 1526-1532.
9. Романенко Е.Ю. Представление локального общего решения одного класса диффе-ренциально-функциональных уравнений // Укр. матем. журн. ? 1990. ? 42, № 2. ? С. 206-210.
10. Romanenko E.Yu. On chaos in continuous difference equations // Dynamical Systems and Appl. (Ser. Applicable Analysis). ? Singapore: World Scientific, 1995. ? 4. ? P. 617-630.
11. Romanenko E.Yu. Limit properties of semigroup generated by a continuous maps of interval // Доповіді НАН України. ?1998. ? № 3. ? С. 31-36.
12. Romanenko E.Yu. Attractors of continuous difference equations // Computers and Math. with Appl. ? 1998. ? 36, №№ 10-12. ? P. 377-390.
13. Romanenko E.Yu. On differential-difference equations reducible to difference and -difference equations // Computers and Math. with Appl. ? 2001. ? 42. ? P. 615-626.
14. Romanenko О.Yu. Dynamical systems induced by continuous time difference equations and long-time behavior of solutions // Intern. J. Difference Equations and Appl. ? 2003. ? 9, №№ 3-4. ? P. 263-280.
15. Романенко Е.Ю. Динамика окрестностей точек при непрерывном отображении интервала // Укр.матем.журн. ? 2005. ? 57, № 11. ? С. 534-547.
16. Романенко О.Ю. Явище автостохастичності в динамічних системах, породжуваних різницевими рівняннями з неперервним аргументом // Укр.матем. журн. ? 2006. ? 58, № 7. ? С. 954-975
17. Романенко Е.Ю., Шарковский А.Н. Асимптотика решений линейных дифференциально-функциональных уравнений // Асимптотическое поведение решений дифференциально-функциональных уравнений. ? Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1978. ? С. 5-39.
18. Романенко Е.Ю., Шарковский А.Н. Качественное исследование одного класса дифференциально-разностных уравнений // Качественное исследование дифференциально-функциональных уравнений. ? Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1980. ? С. 129-144.
19. Романенко Е.Ю., Шарковский А.Н. Качественное исследование некоторых краевых задач: сложные колебательные режимы // Дифференциально-функциональные уравнения и их применение к нелинейным краевым задачам. ? Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1987. ? С. 74-87.
20. Романенко О.Ю., Шарковський О.М. Від одновимірних до нескінченновимірних динамічних систем: ідеальна турбулентність // Укр.матем. журн. ? 1996. ? 48, № 12. ? С. 1604-1627
21. Romanenko E.Yu., Sharkovsky A.N. From boundary value problems to difference equations: A method of investigation of chaotic vibrations // Intern. J. Bifurcation and Chaos. ? 1999. ? 9, № 7. ? P. 1285-1306.
22. Романенко О.Ю., Шарковський О.М. Динамiка розв'язкiв найпростiших нелiнiйних крайових задач // Укр.матем. журн. ? 1999. ? 51, № 6. ? С. 810-826.
23. Romanenko E.Yu., Sharkovsky A.N., Vereikina M.B. Self-structuring and self-similarity in boundary value problems // Intern. J. Bifurcation and Chaos. ? 1995. ? 5, № 5. ? P. 1407-1418.
24. Romanenko E., Sharkovsky A., Vereikina M. Self-stochasticity in deterministic boundary value problems // Nonlinear Boundary Value Problems. ? Donetsk: Inst. Appl. Math. Mech. NAS of Ukraine, 1999. ? 9. ? P. 174-184.
25. Шарковский А.Н., Романенко Е.Ю. Асимптотическое поведение решений дифференциально-разностных уравнений // Качественные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений и нелинейных колебаний. ? Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1981. ? C. 171-199.
26. Sharkovsky A.N., Romanenko E.Yu. Ideal turbulence: Attractors of deterministic systems may lie in the space of random fields // Intern. J. Bifurcation and Chaos. ? 1992. ? 2, № 1. ? P. 31-36.
27. Шарковський О.М., Романенко О.Ю. Автостохастичність: атрактори детермінованих задач можуть містити випадкові функції // Доповіді АН України. ? 1992. ? № 10. ? C. 33-39.
28. Шарковский А.Н., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и динамические системы, порождаемые некоторыми классами краевых задач // Труды Математического ин-та им. В.А.Стеклова. ? 2004. ? 244. ? C. 281-296
29. Sharkovsky A.N., Romanenko E.Yu. Turbulence: Ideal // Encyclopedia of Nonlinear Science (ed. Alwyn Scott). New York and London: Routledge, 2005. ? P. 955-957.
30. Romanenko E.Yu., Sharkovsky A.N. Formation of structures and autostochasticity in distributive systems // Proc. Intern. Workshop “Nonlinear and Turbulent Processes in Physics” (Kiev, 1989). ? Kiev: Naukova Dumka, 1989. ? 2. ? P. 416-419.
31. Sharkovsky A.N., Romanenko E.Yu. Problems of turbulence theory and iteration theory // Proc. European Conf. on Iteration Theory (Lisbon, 1991). ? Singapore: World Scientific, 1992. ? P. 241-252.
32. Romanenko E.Yu., Sharkovsky A.N., Vereikina M.B. Structural turbulence in boundary value problems // Proc. Intern. Conf. “Control of Oscillations and Chaos” (St.Petersburg, 1997). ? St.Petersburg, 1997. ? 3. ? P. 492-497.
33. Sharkovsky A.N., Romanenko E.Yu., Vereikina M.B. Self-structuring and self-stochasticity in difference equations and some boundary value problems // Proc. Intern. Conf. “Self-similar systems” (Dubna, 1998). ? Dubna: Joint Inst. Nuclear Research, 1999. ? P. 237-250.
34. Романенко О.Ю. Динамічні системи, породжувані різницевими рівняннями з неперервним часом // Тези Українського математичного конгресу (Київ, 2001). ? Київ: Ін-т матем. НАН України, 2001. ? С. 10.
35. Sharkovsky A.N., Romanenko E.Yu., Berezovsky S.A. Ideal Turbulence: Definition and Models // Proc. Intern. Conf. “Physics and Control” (St. Petersburg, 2003). ? St. Petersburg, 2003. ? P. 23-30.
36. Romanenko E.Yu. Attractors of continuous time difference equations // Abstr. Intern. Workshop “Nonlinear Physics and Mathematics” (2006). ? Kiev: Bogolyubov Ins. Theoret. Physics, NAS of Ukraine, 2006. ? P. 33.
Анотація
Романенко О.Ю. Основи якісної теорії різницевих рівнянь з неперервним аргументом. ? Рукопис. ? Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 ? диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2007.
Запропоновано загальний підхід до аналізу асимптотичної динаміки недисипативних систем на некомпактних функціональних просторах, який застосовано до динамічних систем, породжуваних різницевими рівняннями та крайовими задачами для рівнянь з частинними похідними. Побудовано основи якісної теорії нелінійних різницевих рівнянь з неперервним часом x(t+1) = f(x(t)), зокрема показано, що типовими є неперервні розв'язки, які прямують до напів-неперервних зверху функцій, графіки яких є локально самоподібними, а за досить загальних умов ? і фрактальними; можуть існувати вкрай нерегулярні розв'язки, які асимптотично точно описуються випадковими процесами. Введено поняття автостохастичності в детермінованих системах ? ситуації, коли глобальний атрактор містить випадкові функції, і показано його змістовність. Обгрунтовано новий сценарій хаосу ? просторово-часовий хаос в розподілених системах з регулярною динамікою на атракторі: атрактор складається з циклів, а хаотизація зумовлена дуже складною внутрішньою структурою “точок” атрактора ? елементів певного функціонального простору. Досліджено асимптотичну поведінку роз'вязків кількох класів -різ-ницевих та диференціально-різницевих рівнянь. Розвинуто підхід до аналізу крайових задач для рівнянь з частинними похідними, який грунтується на поєднанні методів редукції до різницевих рівнянь та переходу до розширених динамічних систем. Запропоновано математичний формалізм для опису процесів самоорганізації та детермінованого хаосу. Завершено математичне обгрунтування поняття “ідеальна турбулентність”.
Ключові слова: різницеве рівняння, крайова задача, динамічна система, -гранична множина, глобальний атрактор, напівнеперервна зверху функція, хаос, самоорганізація, фрактал, випадковий процес.
Аннотация
Романенко Е.Ю. Основы качественной теории разностных уравнений с непрерывным аргументом. ? Рукопись. ? Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 ? дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 2007.
В диссертации заложены основы нового направления в теории разностных уравнений ? качественной теории разностных уравнений с непрерывным аргументом и её приложений к дифференциально-разностным уравнениям и краевым задачам математической физики; развиты новые подходы к моделированию пространственно-временного хаоса. Диссертационная работа также вносит вклад в построение теории динамических систем на некомпактных функциональных пространствах.
Развит общий подход к исследованию недиссипативных динамических систем на некомпактных функциональных пространствах, который предлагает модифицированое определение глобального аттрактора; включает построение специальных метрик сД та с#, позволяющих пополнить фазовое пространство соответственно полунепрерывными сверху функциями и случайными функциями и тем самым получить расширенные динамические системы, почти все траектории которых компактны; вводит понятие автостохастичности в детерминированных системах ? ситуации, когда аттрактор системы содержит случайные функции. Этот подход применен к динамическим системам сдвигов, индуцированным разностными уравнениями и некоторыми классами краевых задач для уравнений в частных производных на пространствах гладких функций. Показано, что при пополнении в метрике сД глобальный аттрактор всегда существует и в типичных ситуациях состоит из периодических траекторий расширенной системы, при этом “точки” аттрактора ? полунепрерывные сверху функции ? устроены сложно: их значения являются интервалами на канторовом множестве или интервале. Применение метрики с# позволило показать содержательность понятия “автостохастичность” : при пополнении в метрике с# глобальный аттрактор существует при достаточно общих условиях и состоит из периодических траекторий расширенной системы, “точками” которых являются случайные функции. Этими результатами обоснован также новый сценарий хаоса ? пространственно-временной хаос в распределённых системах, аттракторы которых состоят из неподвижных точек и циклов, а хаотизация системы обусловлена сложной внутренней структурой “точек” аттрактора ? элементов некоторого функционального пространства, отличного от пространства гладких функций.
Заложены основы качественной теории нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом x(t+1) = f(x(t)). Их исследование основано на переходе к динамической системе, порождаемой уравнением на (некомпактном) пространстве непрерывных начальных функций, и последующем применении результатов, касающихся устройства как глобального аттрактора, так и самих “точек” аттрактора. Показано, что для типичных уравнений типичны турбулентные решения ? решения, которые стремятся (в метрике Хаусдорфа для графиков) к полунепрерывным сверху функциям, имеющим несчетное число точек разрыва на любом единичном интервале. Дана их классификация и указаны условия существования решений того или иного типа. Описан ряд специфических свойств турбулентных решений: графики их предельных функций являются локально самоподобными, а при некоторых условиях ? и фрактальными; если имеет гладкую инвариантную меру, существуют чрезвычайно нерегулярные решения, которые асимптотически точно описываются случайными процессами (автостохастичность). Детальнее изучен случай, когда f ? унимодальное отображение: исходя из спектрального разложения множества неблу-ждающих точек f, описаны предельные функции решений; даны простые критерии того или иного поведения решений и их сД -устойчивости.
Полученные для разностного уравнения результаты распространены на несколько классов -разностных и дифференциально-разностных уравнений, в том или ином смысле близких к разностным. Тем самым показаны математические механизмы ряда специфических (с точки зрения обыкновенных дифференциальных уравнений) свойств их решений.
Описан подход к анализу краевых задач для уравнений в частных производных, основанный на редукции к разностным уравнениям с последующим переходом к расширенным динамическим системам. На примерах показано, что он позволяет описывать очень сложную пространственно-временную динамику при помощи очень простых (по форме) краевых задач.
Развит математический формализм для описания процессов самоорганизации и развития детерминированного хаоса. Завершено математическое обоснование понятия “идеальная турбулентность”, введеного А.Н.Шарковским как турбулентность в средах без внутреннего сопротивления (“вязкости”).
Исследована динамика связного подмножества интервала I при непрерывном отображении f: I * I., в частности показано, что траектория подмножества, содержащего неустойчивую относительно f точку, является асимптотически периодической. Для полугруппы отображений, образованой итерациями f, введено понятие предельной полугруппы, которая характеризует поведение f n при n > ?. Найдены условия существования и построены предельные полугруппы в пространствах непрерывных и полунепрерывных сверху функций (в рамках данной работы эти результаты являются вспомагательными).
Ключевые слова: разностное уравнение, краевая задача, динамическая система, щ-предельное множество, глобальный аттрактор, полунепрерывная сверху функция, хаос, самоорганизация, фрактал, случайный процесс.
Annotation
Romanenko O.Yu. The elements of Qualitative theory of continuous argument difference equations. ? Manuscript. ? The thesis for degree of Doctor in physics and mathematics by the speciality 01.01.02 ? Differential Equations. Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kyiv, 2007.
The thesis suggests a general approach to analyzing the asymptotic dynamics of nondissipative systems on noncompact function spaces, which is applied to the dynamical systems generated by continuous time difference equations and boundary value problems for partial differential equations.
We build the basics of qualitative theory of continuous time difference equations x(t+1) = f(x(t)), in particularly, typical continuous solutions are showed to be those tending to upper semicontinuous functions whose graphs are self-similar and, in sufficiently wide conditions, fractal; there may exist especially nonregular solutions described asymptotically exactly by random processes. We introduce the notion of self-stochasticity in deterministic systems ? a situation when the global attractor of a system contains random functions.
Substantiated is a new scenario for chaos ? a spatial-temporal chaos in distributed parameter systems with regular dynamics on attractor: the attractor consists of cycles only and the onset of chaos results from the very complicated structure of attractor “points” which are elements of some function space (different from the space of smooth functions).
We study the asymptotic behavior of solutions for several classes q-difference and differential-difference equations. We develop an approach to research into boundary value problems for partial differential equations, that bases on combining the method of reduction to difference equations and the method of going to extended dynamical systems. We put forward a mathematical formalisms for describing processes of self-organization and deterministic chaos. Completed is a mathematical justification of the notion “ ideal turbulence”.
Key words: difference equation, boundary value problem, dynamical system, -limit set, global attractor, upper semicontinuous function, chaos, self-organization, fractal, random process.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами. Теоретичне дослідження основних теорій інваріантних тороїдальних многовидів для зліченних систем лінійних і нелінійних різницевих рівнянь, що визначені на скінченновимірних та нескінченновимірних торах.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 18.12.2013Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.
реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015Вивчення теорії наближених обчислень і чисельних методів лінійної алгебри. Опис прямих і ітераційних методів вирішення систем лінійних рівнянь, алгоритмізація і точність наближених обчислень функції. Чисельна інтеграція звичайних диференціальних рівнянь.
лекция [103,6 K], добавлен 06.02.2014Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.
лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014Функціональні методи рішення тригонометричних і комбінованих рівнянь. Рішення тригонометричних нерівностей графічним методом. Відомість тригонометричних рівнянь до алгебраїчних. Перетворення й об'єднання груп загальних рішень тригонометричних рівнянь.
дипломная работа [773,7 K], добавлен 25.02.2011Ознайомлення з нестандартними методами рішення рівнянь і нерівностей. Відомості з історії математики про рішення рівнянь. Розгляд та застосування на практиці методів рішення рівнянь і нерівностей, заснованих на використанні властивостей функції.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 26.01.2011Вивчення існування періодичних рішень диференціальних систем і рівнянь за допомогою властивостей симетричності (парність, непарність). Основні теорії вектор-функцій, що відбивають. Побудова множини систем, парна частина загального рішення яких постійна.
курсовая работа [87,8 K], добавлен 20.01.2011Теоретичні основи розв’язування рівнянь з параметрами. Функція пряма пропорційність. Загальне поняття про аналітичний та графічний метод. Дробово-раціональні рівняння з параметрами, що зводяться до лінійних. Система розв’язування задач для 9 класу.
курсовая работа [596,8 K], добавлен 21.03.2013Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010
