Чисельно-аналітичні методи для задач моделювання напівпровідникових біосенсорних систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Інститут кібернетики Національної академії наук України

01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Тема:

Чисельно-аналітичні методи для задач моделювання напівпровідникових біосенсорних систем

Россохата Наталія Олексіївна

Київ - 2009

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики Національної академії наук України

Науковий консультант:

доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Макаров Володимир Леонідович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу обчислювальної математики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Гладкий Анатолій Васильович, Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, провідний науковий співробітник відділу математичних систем моделювання проблем екології та енергетики;

доктор фізико-математичних наук, професор, Лучка Антон Юрійович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань;

доктор фізико-математичних наук, професор Грищенко Олександр Юхимович, Київський Національний університет ім. Тараса Шевченка, факультет кібернетики професор кафедри обчислювальної математики.

З дисертацією можна ознайомитись в науково-технічному архіві Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України. (40, просп. Академіка Глушкова, Київ, 03680 МСП, Україна)

Вчений секретар cпеціалізованої вченої ради, Синявський В.Ф. кандидат фізико-математичних наук



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми

Одним з перспективних напрямків сенсорних технологій можна вважати біологічні сенсори, зокрема мікросенсори на основі напівпровідникових структур, оскільки такі технології представляють практичний інтерес для ефективного розв'язання багатьох сучасних господарських, наукових і технічних проблем. По мiрi ускладнення сенсорних приладiв i зростання потреб в їх використаннi в рiзних галузях господарства зростає необхiднiсть математичного моделювання фiзико-хiмiчних процесiв в цих приладах. Відомі простi аналiтичнi дифузійно-дрейфові моделi, які, як правило, є першим кроком i в дiйсностi є важливим iнструментом для вивчення основних принципiв функцiонування приладу. Але їх отримано за багатьох обмежуючих припущень, і таким чином, вони нехтують важливими фiзичними ефектами, якi впливають на функціонування приладу. Математичні моделі, які враховують такі ефекти, і відповідно, більш адекватно описують роботу приладу, в більшості випадків не мають аналітичного розв'язку. Тому актуальною стає задача створення ефективних чисельних методів, які дозволяли б знаходити наближений розв'язок з мінімальними обчислювальними затратами і, в той же час, не спотворювали властивості точного (фізичного) розв'язку задачі.

Подальша мінітюаризація біосенсорних приладів до розмірів нановеличин приводить до необхідності доповнення моделювання дифузійно-дрейфових процесів дослідженням процесiв на рiвнi атомних i молекулярних явищ. Як правило, такі моделі включають рiвняння Шредiнгера, яке описує розподiл енергiї в атомних або молекулярних системах. Незважаючи на те, що рiвняння Шредiнгера є основою квантової механiки i дослiджувалось багатьма авторами, задача розмежування енергетичних рiвнiв, тобто точності їх оцiнювання, залишається невирiшеною проблемою, а отже, i одним з основних тестiв оцiнки ефективностi для нових математичних i чисельних методiв. Оскільки розв'язок рiвняння Шредiнгера можна записати у виглядi нескiнченного ряду за власними функцiями гамiльтонiана з залежними вiд часу коефiцiєнтами, то побудова чисельних методiв для знаходження власних значень гамiльтонiана з будь-якою бажаною точнiстю, якi ще i зберiгали б аналiтичнi властивостi точного розв'язку, є актуальною задачею не лише моделювання біосенсорів розмірів нановеличин, а й квантової механiки i обчислювальної математики.

Такою властивiстю, зокрема, володiють методи, в яких природа диференціального і апроксимуючого операторів однакова. Такий підхід розвинуто в роботах М.М. Крилова, М.М. Боголюбова, J.D. Pryce, S.Pruess. Функціонально-дискретний метод (FD-метод) для диференціальних рівнянь другого порядку, вперше анонсований В.Л. Макаровим, є подальшим розвитком ідей такого підходу і дозволяє представити точний розв'язок задачi у виглядi ряду, кожний член якого є аналiтичним розв'язком бiльш "простої задачi". Оскільки наближений розв'язок є обiрваним рядом, то він зберiгає аналітичнi властивостi точного розв'язку. Швидкість збіжності FD-методу експоненцiйна i для задач Штурма-Ліувілля покращується з ростом порядкового номера власного значення, що робить його перспективним для знаходження власних значень і власних функцій гамільтоніана з будь-якими порядковими номерами і з бажаною точністю. Проте до останнього часу ідеї методу не були повністю розвинені і реалізовані. Зокрема, поза увагою залишились нелінійні задачі та задачі з умовами зшивки. Оскiльки iдеї функціонально-дискретного пiдходу близькi до iдей методу декомпозицiї Адомяна, то можна сподіватись, що їх поєднання для розв'язування нелiнiйних задач збереже як експоненцiйну швидкiсть збiжностi, так і аналiтичнi властивостi точного розв'язку нелiнiйної задачi. Представлення точного і наближеного розв'язків у вигляді рядів дозволяє дослiджувати поведiнку та особливостi точного розв'язку, знаючи аналiтичний розв'язок початкового наближення i використовуючи оцiнки швидкостi збiжностi чисельного методу.

Використання в сучасних біосенсорних приладах матерiалiв з рiзними фiзико-хiмiчними характеристиками приводить до необхiдностi вивчення впливу процесiв, що вiдбуваються на межi двох середовищ, на розташування i властивостi енергетичних рiвнiв системи, що з точки зору математики означає дослiдження впливу умов зшивки на властивостi власних значень i власних функцiй гамiльтонiана. Таким чином, теоретичне обґрунтування функцiонально-дискретного пiдходу до чисельного розв'язування задач на власнi значення, як лiнiйних, так i нелiнiйних, з рiзними крайовими умовами i умовами зшивки та його застосування до дослiдження властивостей точного розв'язку є актуальною проблемою обчислювальної математики i моделювання процесiв, якi описуються задачами на власнi значення, зокрема в багатошарових біосенсорних структурах.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами

Тема дисертацiйної роботи вiдповiдає напрямку дослiджень:

в iнститутi математики НАН України "Чисельно-аналітичні методи розв'язування диференціальних рівнянь з необмеженими операторними коефіцієнтами та обробка інформаційних даних" (ДФФД, тема №0101U00371, 2001-2005); на кафедрi чисельних методiв математичної фiзики Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка держбюджетнi теми "Методи без насичення точностi для розв'язування еволюцiйних диференцiальних та псевдодиференцiальних рiвнянь" (Мiнiстерство освiти України, тема №97057, 1995-2000 рр.); на кафедрi напiвпровiдникiв Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка держбюджетна тема "Розробка iнтегрального мультибiосенсора для одночасного експресного контролю концентрацiй компонентiв бiологiчних рiдин" (ДКНТ №05.41.07.013-92, 1992-1995 рр.), "Розробка ферментних сенсорів з заданими характеристиками для моніторингу навколишнього середовища" (NATO LINKAGE NENVIR.LG950913, 1996 -1997); в Інститутi iнформатики i математики Лейпцiгського унiверситету (ФРН) "Алгоритми без насичення точності та їх застосування в моделюванні напівпровідникових та біосенсорних приладів" (1993 -1997 рр); в Інститутi теоретичної та прикладної фiзики i на факультетi математики та статистики унiверситету штату Айова (США) "Розробка експоненційно збіжних алгоритмів для рівняння Шредінгера" (2000р.)

Мета i задачі дослiдження. Метою дослiджень є:

1. Побудова та теоретико-експериментальне обгрунтування математичних i вiдповiдних дискретних моделей дифузійно-дрейфових процесів в бiосенсорних приладах на основi напiвпровiдникових структур, розробка методiв їх чисельної реалiзацiї, проведення та аналiз результатiв обчислювальних експериментiв з метою оптимiзацiї фiзичних та бiохiмiчних параметрiв приладiв;

2. Для вивчення фізико-хімічних процесів на молекулярному і атомному рівнях, які описуються лiнiйними та нелiнiйними рівняннями Шредінгера, в тому числі і з врахуванням умов зшивки, побудова та теоретичне обґрунтування чисельних методiв, якi зберiгають аналiтичнi властивостi точного розв'язку та дослiдження з їх допомогою властивостей точного розв'язку.

Для цього необхiдно розв'язати такi задачi:

- побудувати математичнi моделi бiосенсорних приладiв на основi напiвпровiдникових структур та дослiдити iснування та єдинiсть їх розв'язку;

- побудувати вiдповiднi дискретнi моделi, дослідити їх збiжнiсть та отримати оцiнку похибки;

- за допомогою чисельних експериментiв визначити оптимальнi характеристики приладiв;

- розвинути FD-метод для чисельного розв'язування лiнiйних задач на власнi значення з умовами зшивки і потенцiалом з простору ;

- розвинути FD-метод для чисельного розв'язування задачi Штурма-Лiувiлля та лiнiйних задач на власнi значення з умовами зшивки з потенцiалом з простору ;

- на основi властивостей аналiтичного розв'язку базової задачi, за допомогою чисельного методу дослiдити властивостi точного розв'язку задач на власнi значення з умовами зшивки та вплив умов зшивки на його асимптотичну поведiнку;

- на основi FD-метод та методу декомпозицiї побудувати алгоритм для знаходження чисельного розв'язку задачi Штурма-Лiувiлля та задачi на власнi значення з умовами зшивки і нелiнiйним автономним потенцiалом;

- побудувати чисельнi алгоритми для знаходження наближеного розв'язку задачi Штурма-Лiувiлля та задачi на власнi значення з умовами зшивки і потенцiалом, який складається з лiнiйної i нелiнiйної частин;

- довести збiжнiсть алгоритмiв та отримати вiдповiднi оцiнки похибки;

- перевiрити роботу алгоритмiв на тестових прикладах та пiдтвердити теоретичнi висновки шляхом проведення обчислювальних експериментiв.

Об'єкт дослідження. Моделювання фізико-хімічних процесів в біосенсорних системах на макро-, мікро- та атомарному рівнях пов'язано з розв'язуванням початково-крайових задач для лінійних та нелінійних диференціальних рівнянь, в тому числі і з врахуванням умов зшивки, рівняння Шредінгера, задач на власні значення, за допомогою методів скінченних різниць, декомпозиції, аналітико-дискретних методів, методів без насичення точності для знаходження наближеного розв'язку. Запропонованi та обґрунтованi аналiтичнi та дискретнi моделi бiосенсорних приладiв на основi напiвпровiдникiв, чисельні алгоритми на основі скінченно-різницевого та FD-методів до дослідження процесів теплопереносу, переносу заряду, розподілу концентрації компонент біохімічної реакції, розподілу енергетичних рівнів дозволяють створити математичний інструментарій для комп'ютерного моделювання та проектування біосенсорних приладів на основі напівпровідників, оптимізації їх параметрів.

Предмет дослідження. Предметом дослiджень даної роботи є

1. Математична модель термосенсора на основi напiвпровiдникiв, яка описується початково-крайовою задачею для системи нелiнiйних рiвнянь параболiчного типу з умовами зшивки для розподілу тепла і концентрацій компонентів біохімічної реакції в мембрані;

2. Математична модель бiосенсора з зарядженою мембраною, яка описується взаємозв'язаними крайовою задачею для рiвняння Пуасона для заряду i початково-крайовою задачею з умовами зшивки для системи нелiнiйних рiвнянь параболiчного типу для концентрацiй;

3. Лiнiйна задача на власнi значення з умовами зшивки і потенцiалом з просторів та ;

4. Задача Штурма-Лiувiлля та задача на власнi значення з умовами зшивки і нелiнiйним автономним потенцiалом;

5. Задача Штурма-Лiувiлля та задача на власнi значення з умовами зшивки і потенцiалом, який складається з лiнiйної i нелiнiйної частин.

Методи дослiдження. У дисертацiйнiй роботi використовуються методи функцiонального аналiзу, теорiї рiзницевих схем, теорiї потенцiалiв, твiрних функцiй, функцiонально-дискретний метод, метод декомпозицiї.

Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертацiйнiй роботi отриманi такi новi результати:

1. Побудована математична модель термобiосенсорного приладу на основi напiвпровiдникових структур, дiя якого ґрунтується на реєстрацiї змiни тепла в результатi бiохiмiчної реакцiї. Доведено iснування та єдинiсть її розв'язку в класах неперервно-диференцiйованих функцiй.

2. Побудовано вiдповiдну дискретну модель, доведено її збiжнiсть та отримано оцiнки похибки. На основi дискретної моделi проведено обчислювальний експеримент, результати якого дозволили зробити обґрунтований вибiр фiзико-хiмiчних параметрiв, що визначають роботу бiосенсорного приладу. Створений пакет може використовуватись для моделювання бiологiчних, хiмiчних та iнших термочутливих електричних систем.

3. Побудовано математичну модель бiосенсора з зарядженою бiоселективною мембраною та досліджено питання існування та єдиності її розв'язку. Побудовано вiдповiдну дискретну модель, на основi якої проведено обчислювальний експеримент з метою вивчення впливу наявностi, знаку i густини заряду на основнi характеристики приладу. Результати експерименту дозволили прогнозувати i оптимiзувати фiзичнi та бiохiмiчнi параметри бiосенсора з багатошаровими зарядженими мембранами.

4. Побудовано FD-метод для чисельного розв'язування лiнiйних задач на власнi значення з умовами зшивки і рiзними типами крайових умов. Доведено експоненцiальність швидкості збiжностi, отримано оцiнки похибки. Дослiджено залежнiсть швидкостi збiжностi вiд порядкового номера власного значення та умов зшивки.

5. Дослiджено вплив умов зшивки при рiзних крайових умовах на властивостi власних значень i власних функцiй початкового наближення, отримано якiснi результати щодо асимптотичної поведiнки точних власних значень i встановлено властивостi точних власних функцiй.

6. Побудовано FD-метод для задач Штурма-Лiувiлля та лiнiйних задач з умовами зшивки на власнi значення з потенцiалом з просторів та . Доведено експоненцiальність швидкості збiжностi, отримано оцiнки похибки.

7. Розроблено FD-метод для чисельного розв'язування задач Штурма-Лiувiлля та задач на власнi значення з умовами зшивки за наявності нелiнiйного потенцiалу та з різними умовами нормування. Доведено експоненцiальність швидкості збiжностi алгоритмiв, отримано оцiнки похибки. Дослiджена залежнiсть швидкостi збiжностi вiд порядкового номера власного значення та умов зшивки.

8. Розроблено FD-метод для знаходження чисельного розв'язку задач на власнi значення (в тому числi i з умовами зшивки) з потенцiалом, який складається з лiнiйної та нелiнiйної автономної частин. Дослiджено вплив якостi апроксимацiї лiнiйної складової потенцiалу на швидкість збiжностi алгоритму.

Практичне значення одержаних результатiв полягає в:

1) застосуваннi запропонованих моделей для розробки бiосенсорних приладiв з оптимальними фiзичними та бiохiмiчними характеристиками;

2) розробцi чисельних алгоритмiв з експоненцiйною швидкiстю збiжностi, якi адекватно вiдображають фiзичнi властивостi точного розв'язку, для лiнiйних та нелiнiйних задач на власнi значення, в тому числi i з умовами зшивки;

3) можливостi дослiдження аналiтичних властивостей точного розв'язку за допомогою чисельного методу на основi аналiтичних властивостей початкового наближення.

Отриманi результати ввiйшли у звiт НДЧ Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка "Методи без насичення точностi для розв'язування еволюцiйних диференцiальних та псевдодиференцiальних рiвнянь"; Інституту математики НАН України "Чисельно-аналітичні методи розв'язування диференціальних рівнянь з необмеженими операторними коефіцієнтами та обробка інформаційних даних". Вони також використовувались при читаннi лекцiй для студентiв кафедри методiв обчислювального експерименту факультету кiбернетики Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка та студентiв Нацiонального авiацiйного унiверситету.

Особистий внесок здобувача. Всi результати винесенi на захист отриманi автором самостiйно. У роботах виконаних у спiвавторствi, автор дисертацiї брала участь в отриманнi всiх результатiв i особисто одержала такi: в [11, 23] доведено iснування та єдинiсть розв'язку математичної моделi термобiосенсора в класах неперервно-диференцiйованих функцiй, побудовано та обґрунтовано чисельний алгоритм; в [12, 30] побудована аналітична модель біосенсора на основі напівпровідників, запропоновано чисельний алгоритм i проаналізовано результати обчислювального експерименту; в [5, 10, 31] для моделi бiосенсора з багатошаровою зарядженою мембраною побудовано чисельний алгоритм та проведено обчислювальний експеримент; в [8, 9] - доведення збiжностi алгоритму, отримання оцiнок точностi для лiнiйної задачi з умовами зшивки на власнi значення, асимптотика точних власних значень, результати чисельного експерименту; в [27] побудовано алгоритм та отримано оцінки точності; в [7] - доведення збiжностi алгоритму та оцiнки похибки для задачi Штурма-Лiувiлля з потенцiалом з простору , результати чисельного експерименту; в [1] - побудова алгоритму чисельного розв'язування задачi Штурма-Лiувiлля з нелiнiйним автономним потенцiалом, аналiз результатiв обчислювального експерименту; в [3] - побудова алгоритму, доведення його збiжностi, оцiнки точностi для нелiнiйної задачi Штурма-Лiувiлля з потенцiалом, який складається з лiнiйної i нелiнiйної автономної частин; в [2] - побудова та обґрунтування алгоритму, асимптотика точного розв'язку, дослiдження впливу умов зшивки на швидкiсть збiжностi чисельного методу та властивостi точного розв'язку для нелiнiйної задачi на власнi значення з умовами зшивки. В [21, 22, 24] доведено існування та єдиність розв'язку початково-крайової задачі для нелінійного диференціального рівняння другого порядку, що описує напівпровідникову структуру змінного складу, в [16, 20] запропоновано і обґрунтовано відповідну дискретну модель. В [13, 19, 28] доведено існування та єдиність розв'язку моделі напівпрoвідникового приладу з ефектом перевипромінювання, побудовано чисельний алгоритм, отримані оцінки точності, проведено обчислювальний експеримент. В [15,25] доведено існування та єдиність розв'язку моделі напівпрoвідникової структури змінного складу з залежними від координат параметрами, побудовано та обґрунтовано чисельний алгоритм. В [14] запропоновано чисельний алгоритм для узагальненої дифузійно-дрейфової моделі напівпровідників з перевипромінюванням. В [17, 18] побудована двовимірна математична модель діодної структури з перевипромінюванням, доведено існування та єдиність розв'язку в класах узагальнених функцій.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiї доповiдались та обговорювались на наукових семiнарах: кафедри чисельних методiв математичної фiзики Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка (керiвник проф. В.Л. Макаров, 1993-1998 рр.); на спiльному семiнарi вiддiлiв динамiки стiйкостi багатовимiрних систем та обчислювальної математики Iнституту математики НАН України (керiвники: академiк НАН України I.О. Луковський, член-кореспондент НАН України В.Л. Макаров, 2004 р.); спiльному семiнарi факультету математики i статистики та Iнституту теоретичної i прикладної фiзики унiверситету штату Айова (м. Амес, США, керiвник проф. М. Гiнзбургер, 2000 р.); Iнституту iндустрiальної та фiнансової математики (м. Кайзерслаутерн, ФРН, керiвник проф. Г. Нойнзерт, 2001 р.); спiльному семiнарi унiверситету МакГiлл та Центру математичних дослiджень (м. Монреаль, Канада, керiвник проф. А. Хампрiєс, 2004 р.). На мiжнародних конференцiях: "GAMM Annual Meeting" (м. Лейпцiг, ФРН, березень 1992 р.), "ECMI94: 8th Conference of European Consortium for Mathematics in Industry" (м. Кайзерслаутерн, ФРН, 21-24 вересня 1994 р.), "ICIAM95: The Third International Congress on Industrial and Applied Mathematics" (м. Гамбург, ФРН, липень 1995), "Информатика, вычислительная и прикладная математика: теория, приложения, перспективы. INAMTAP-96" (м. Київ, 4-6 жовтня 1996), "11th European Conference on Solid State Transducers" (м. Варшава, Польща, 21-24 вересня 1997 р.), "World Multiconference on Systemics, Cybernetics and Informatics. 4th International Conference on Information Systems, Analysis and Synthesis" (м. Орландо, США, 12-16 липня 1998 р.), "Fourth European Computational Fluid Dynamics Conference" (м. Афiни, Грецiя, 7-11 вересня 1998 р.), "8th International Meeting on Chemical Sensors" (м. Базель, Швейцарiя, 2-5 липня 2000 р.), "Europhysics Conference on Computational Physics 2001" (м. Аахен, ФРН, 5-8 вересня 2001 р.), "VI Міжнародна конференція: Математичні проблеми механіки неоднорідних структур" (м. Львiв, Україна, 26-29 травня 2003 р.), "Computational Sciences and its Applications ICCSA 2003" (м. Монреаль, Канада, 18-21 травня 2003 р.)

Публiкацiї. Результати дослiджень опублiковано в 22 статтях, 3 препрiнтах та 8 тезах доповiдей на конференцiях.

Структура та обсяг роботи. Робота обсягом 285 сторiнок складається з вступу, п'яти роздiлiв, висновкiв та списку використаних джерел з 290 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У першому розділі зроблено огляд стану проблеми за тематикою дисертації. У підрозділі 1.1 розглядаються математичні моделі біосенсорів на основі напівпровідникових структур. Зроблено огляд результатів моделювання процесів теплопереносу в біосенсорних структурах. Проаналізовано основні типи термічних сенсорів, їх недоліки і переваги, наведено загальну модель процесів теплопереносу в сенсорній структурі та дифузійно-дрейфових процесів для компонент біохімічної реакції в мембрані. Далі зроблено огляд результатів моделювання розподілу заряду і концентрацій компонент біохімічної реакції в багатошаровій зарядженій мембрані в загальному вигляді. Наведено математичну модель, проаналізовано результати існуючих спрощених, здебільшого аналітичних, моделей. Оскільки математичні моделі біосенсорів з зарядженими мембранами принципово подібні до дифузійно-дрейфової моделі напівпровідників, то зроблено огляд теорії існування і єдиності розв'язку класичної дифузійно-дрейфової моделі Ван-Русбрека в класах узагальнених функцій, розробленої Г.Гаєвським. Також проаналізовані чисельні алгоритми для дифузійно-дрейфової моделі Ван-Русбрека, які ґрунтуються на апроксимації Шарфеттера-Гуммеля.

У підрозділі 1.2 зроблено огляд стану проблем для задач на власні значення з умовами зшивки. Спочатку задача знаходження розв'язку нестаціонарного рівняння Шредінгера зведена до задачі знаходження власних значень і власних функцій гамільтоніана. Проаналізовано чисельні підходи для задач на власні значення. На прикладі лінійної абстрактної задачі на власні значення викладені основні ідеї функціонально-дискретного методу для диференціальних рівнянь другого порядку, запропонованого В.Л. Макаровим. Наведено теореми про експоненційну швидкість збіжності методу. Далі обговорюються питання нелінійних задач на власні значення. Наведено аналітичні результати про існування та єдиність розв'язку, отримані Г. Хайнсом (H. Heinz) і П.Є. Жидковим, та асимптотичну поведінку власних значень з робіт С. Шібата (S. Shibsta). Крім того зроблено огляд методу декомпозиції Адомяна для нелінійних рівнянь, який ідеологічно близький до функціонально-дискретного методу. В підрозділі також розглядаються питання впливу умов зшивки на властивості власних значень і власних функцій.

У другому розділі вивчається математична модель термічних сенсорів на основі напівпровідників, дія яких ґрунтується на реєстрації теплових змін в результаті біохімічної реакції.

Підрозділ 2.1 присвячено побудові моделі, яка описується задачею зшивки для одновимірного рівняння теплопровідності з функцією джерела. Концентрації компонент реакції знаходяться з системи нелінійних рівнянь з частинними похідними, яка описує дифузію в мембрані.

В підрозділі 2.2 доводиться існування та єдиність розв'язку моделі в класах неперервно-диференційованих функцій. Користуючись теорією потенціалів та принципом максимуму, отримано результати про існування та єдиність розв'язку.

У підрозділі 2.3 побудована різницева схема для знаходження наближеного розв'язку задачі. Спочатку побудована схема методу прямих. Доведено такі теореми про швидкість збіжності наближеного розв'язку до точного. Застосувавши перетворення Келі до схеми методу прямих, побудована повністю дискретна апроксимація. Доведена збіжність алгоритму.

Використовуючи запропоновану дискретну модель, проведено обчислювальний експеримент на прикладi силiконового бiосенсора для експрес вимiрювання вмiсту глюкози в кровi людини, результати якого проаналізовані в підрозділі 2.4. Зроблено висновок, що прогнозування за допомогою моделі дозволяє оцінювати роботу приладу в широких межах умов, і таким чином, здійснити обґрунтований вибір фізико-хімічних параметрів, які забезпечують оптимальну відповідь сенсора.

Третій розділ присвячено побудовi та дослідженню аналітичними і чисельними методами математичної моделі біосенсорної структури з вбудованим в мембрану зарядженим шаром та аналізу результатів обчислювального експерименту для вивчення впливу зарядженого шару на вихiдний сигнал приладу.

В підрозділі 3.1 побудована математична модель глюкозного біосенсора з зарядженою мембраною, дія якого ґрунтується на класичній ферментно-каталітичнiй реакції окислення глюкози, що змінює концентрацію заряду в мембрані біосенсора. Така модель представляє собою початково-крайову задачу з умовами зшивки для системи нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними і складається з рiвняння Пуассона для електростатичного потенцiалу i рiвнянь нерозривностi для розподiлу

В підрозділі 3.2 досліджуються питання iснування та єдиності розв'язку задачi в класах узагальнених функцiй. В основу доведення покладено принцип нерухомої точки Шаудера, розвинутий для класичної дифузійно-дрейфової моделі напiвпровiдників, з врахуванням особливостей дослiджуваної моделi, зокрема, умов зшивки i типу нелiнiйностi.

В підрозділі 3.3 побудована рiзницева схема для знаходження наближеного розв'язку з використанням підходу Шарфеттера-Гуммеля для чисельного моделювання напiвпровiдникових структур.

Оскільки профілі концентрацій біля лівої границі змінюються значно швидше, то на першому інтервалі використано нерівномірну сітку, вузли якої автоматично адаптуються до даних задачі, а на інших інтервалах - рівномірну. Для знаходження наближеного розв'язку диференціальної задачі побудована різницева схема. Таким чином, задача звелась до шести систем лінійних рівнянь з трьохдіагональними матрицями (за виключенням рядків, щo відповідають умовам зшивки) з діагональною перевагою, для розв'язування якої застосовувались ітеративні алгоритми.

За допомогою побудованого алгоритму проведено чисельнi експерименти, результати яких проаналiзовано в підрозділі 3.4. Аналiз результатiв чисельного експерименту дозволив передбачити і оптимізувати фізичні і біохімічні параметри ферментного потенціометричного сенсора з зарядженою мембраною для прикладних потреб.

У четвертому розділі вивчаються лiнiйнi задачi на власнi значення з умовами зшивки. На основi FD-методу побудовано i обґрунтовано чисельнi алгоритми для знаходження наближеного розв'язку задач на власнi значення з умовами зшивки і рiзними типами крайових умов та потенцiалом з просторiв та . Доведена експоненційна швидкiсть збiжностi методу та отримано оцiнки точностi. Проаналiзовано вплив порядкового номера власного значення, точки зшивки та коефiцiєнта зшивки на швидкiсть збiжностi методу. Вивчена асимптотична поведiнка власних значень базової задачi на власні значення з умовами зшивки з незбуреним оператором, вплив точки зшивки. За допомогою чисельного методу на основi властивостей розв'язку базової задачi отримано якiснi результати про властивостi розв'язку дослiджуваної задачi. Наведено результати розрахунків тестових прикладів, які підтверджують теоретичні висновки.

У підрозділі 4.1 узагальнені результати теореми про швидкість збіжності FD-методу для абстрактної в гільбертовому просторі задачі на власнi значення.

У підрозділі 4.2 наведено чисельний алгоритм для задачi на власні значення з однією точкою зшивки, що є конкретизацією абстрактної схеми з п.1. Таким чином, алгоритм для знаходження чисельного розв'язку задачi на власні згачення полягає в знаходженні початкового наближення, як розв'язку базової задачi на власнi значення з умовами зшивки, послiдовному знаходженнi поправок, як розв'язкiв неоднорідної задачi з умовами зшивки для , обчисленні обірваних рядів. Доведено теорему про збіжність FD-методу.

Підрозділ 4.3 присвячено задачі на власні значення з умовами зшивки і крайовими умовами Діріхлє

На основі асимптотичних формул для власних значень оператора , застосовуючи Теорему 6, отримані такі результати про якість швидкості збіжності методу для задачi на власнi значення з умовами зшивки і крайовими умовами Дiрiхлє. Враховуючи асимптотичну поведінку власних значень оператора та застосовуючи Теорему 6 про швидкість збіжності FD-методу, приходимо до висновку про асимптотичну поведінку власних значень вихідної задачі.

Для чисельної реалізації алгоритму в підрозділі 5.3.4 використана техніка точних трьохточкових різницевих схем. Наведено результати чисельного розв'язування тестової задачі, які підтверджують теоретичні висновки про залежнiсть швидкостi збiжностi FD-методу вiд порядкового номера власного значення i точки зшивки, особливостi розташування власних значень початкової задачi на власні значення з умовами зшивки.

Підрозділ 4.4 присвячений дослiдженню FD-методом задачi на власнi значення з умовами изшивки і перiодичними крайовими умовами. Використовуючи асимптотичну формулу, отримуємо наступний результат про якість швидкості збіжності методу. Наведені результати чисельних розрахунків для тестових задач, які підтверджують теоретичні висновки.

Підрозділ 4.5 присвячено дослiдженню впливу умов зшивки на властивості власних значень для різних типiв крайових умов. В підрозділі 4.5.1 дослiджується вплив умов зшивки на власнi значення оператора .

Застосовуючи Теорему 6 i асимптотичні оцiнки власних значень оператора , можемо оцінити якість швидкості збіжності FD-методу для задач з умовами зшивки.

Використовуючи властивостi власних значень оператора i теорему про швидкiсть збiжностi FD-методу, в підрозділі 4.5.2 отримано якiсний результат про поведiнку власних значень задачi.

Підрозділ 4.6 присвячено задачам на власні значення з потенцiалом з простору . В підрозділі 4.6.2 аналогічні результати отримано для задачі на власні значення з умовами зшивки і крайовими умовами Діріхлє. Наведені результати чисельних експериментів для тестових задач. Вони узгоджуються з теоретичними висновками про збереження експоненційної швидкості збіжності методу і для задач з потенціалом з простору .

В п'ятому роздiлi для нелiнiйної задачi Штурма-Лiувiлля та нелiнiйної задачi на власнi значення з умовами зшивки побудовано та обґрунтовано чисельнi алгоритми, якi поєднують в собi FD-метод з методом декомпозицiї Адомяна для нелiнiйного члена. Встановлено швидкiсть збiжностi алгоритмiв для задач з автономним та неавтономним потенцiалом. Оскільки, на вiдмiну вiд лiнiйного випадку, де нормалiзуюча умова впливає лише на мультиплiкативну константу, розв'язок нелiнiйної задачi істотно залежить вiд нормалiзуючої умови, то в даному розділi вивчаються два типи нормалiзуючої умови, якi найбiльш поширенi в прикладних задачах: диференцiальна та iнтегральна. Показано, шо для нелiнiйних задач алгоритми збiгаються з такими ж характеристиками, як i для лiнiйних задач. Проаналiзовано вплив порядкового номера, характеру потенцiалу, точки зшивки та коефiцiєнта зшивки на швидкiсть збiжностi алгоритму. Наведено результати розрахунків тестових задач, які підтверджують теоретичні висновки.

В підрозділі 5.1 вивчається нелiнiйна задача Штурма-Лiувiлля з автономним потенцiалом i умовами Дiрiхлє. Спочатку розглядається диференцiальна нормалiзуюча умова. Як і в лінійному випадку, чисельний розв'язок шукається у вигляді обірваних рядів, члени яких знаходяться з рекурентних формул. Отримано результат про швидкiсть збiжностi алгоритму. математичний моделювання біосенсорний напівпровідниковий

Для iллюстрації роботи алгоритму наведені приклади чисельних розрахунків, які пiдтверджують експоненцiйну швидкiсть збiжностi алгоритму, що покращується з ростом порядкового номера власного значення. Для задачі з iнтегральною нормалiзуючою умовою запропоновано алгоритм для знаходження чисельного розв'язку. Доведено аналогічну теорему про збiжнiсть алгоритму. Наведено чисельні розрахунки для задачі, які підтверджують експоненціальну швидкість збіжності алгоритму, що покращується з ростом порядкового номера власного значення. Наближення для рiзних дозволяють зробити висновок, що величина власних значень збiльшується з ростом . Отриманi результати добре узгоджуються з асимптотичною формулою, отриманою С. Шібата (Shibata).

У підрозділі 5.2 розглядається задачa Штурма-Лiувiлля з потенцiалом, який складається з лiнiйної частини i нелiнiйної частини та крайовими умовами Дiрiхлє. Доведено, що швидкість збіжності FD-методу покращується з ростом порядкового номера власного значення. Використовуючи аналогічний підхід для задачі з інтегральною нормалізуючою умовою, побудовано чисельний алгоритм, експоненціальна збіжність якого доведена. Наведені чисельні розрахунки цілком узгоджуються з теоретичними результатами.

В підрозділі 5.3 розглядається нелінійна задача на власнi значення з умовами зшивки. Як і в попередніх підрозділах, вивчаються два типи нормалізуючої умови - диференціальна та інтегральна. Спочатку розглядається диференцiальна нормалiзуюча умова. Згiдно з FD-методом запишемо чисельний розв'язок задачi з диференціальною нормалізуючою умовою у виглядi зрізаних рядiв, члени яких рядiв знаходитимемо наступним чином.

Початкове наближення знаходиться з базової лiнiйної задачi на власнi значення з умовами зшивки. Поправки знаходяться з неоднорiдної задачi на власні значення з умовами зшивки. Поправка власного значення знаходяться з умови розв'язностi рiвняння.

Далі наводяться чисельні розрахунки для тестової задачі, які підтверджують теоретичні результати. Чисельний алгоритм для задачі з iнтегральною нормалiзуючою умовою побудовано наступним чином. Початкові наближення знаходимо з базової лiнiйної задачi на власні значення з умовами зшивки, яка досліджена в підрозділі 4.3.2. Поправки власних функцій знаходимо з рекурентної послiдовностi задач на власні значення з умовами зшивки для лiнiйних неоднорiдних рiвнянь. Поправки власних значень знаходяться з умови розв'язностi неоднорiдного рівняння. Отримано наступний результат про оцінку швидкості збiжностi алгоритму. Як і у випадку диференціальної нормалізуючої умови, чисельні розрахунки підтвердили теоретичні висновки.



ВИСНОВКИ

У дисертацiйнiй роботi побудовані математичні моделi бiосенсорних приладів на основi напiвпровiдникiв, які описуються системами нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними та задачами на власні значення з врахуванням умов зшивки. Побудовано алгоритми для знаходження їх чисельного розв'язку, який адекватно відображає властивості точного аналітичного розв'язку.

Основні результати

1. Побудовано математичну модель термічного бiосенсора, дiя якого ґрунтується на реєстрацiї змiни стану термочутливого елемента в результатi бiохiмiчної реакцiї в мембрані. За допомогою принципу максимуму та теорії потенціалів доведено iснування єдиного розв'язку задачі про розподіл концентрацій компонентів реакції і тепла в термосенсорі в класах неперервно-диференцiйованих функцiй.

2. Використовуючи перетворення Келлі для дискретизації по часу і метод скінченних різниць для дискретизації по просторовій змінній, побудовано дискретну модель термосенсора. Доведено її збiжнiсть та отримано оцiнки похибки. На основi дискретної моделi проведено обчислювальний експеримент, результати якого дозволили зробити обґрунтований вибiр фiзико-хiмiчних параметрiв приладу. Створений пакет може використовуватись для моделювання бiологiчних, хiмiчних та iнших термочутливих електричних систем.

3. Побудовано математичну модель бiосенсора з зарядженою бiоселективною мембраною, дія якого ґрунтується на ферментно-каталітичній реакції окислення глюкози в мембрані з зарядженим шаром. Вивчено питання iснування та єдиності розв'язку задачі про розподіл заряду і компонент біохімічної реакції в класах узагальнених функцій.

4. Спираючись на методи чисельної апроксимації дифузійно-дрейфової моделі напівпровідників, побудовано різницеву схема для задачі про розподіл заряду і компонентів реакції в біоселективній мембрані. На основі результатів обчислювального експерименту зроблено висновки про вплив присутностi заряду, його знаку i густини заряду на основнi характеристики біосенсорного приладу, що дозволило оптимiзувати фiзичнi та бiохiмiчнi параметри бiосенсора з багатошаровими зарядженими мембранами для прикладних потреб.

5. На основi технiки збурення коефiцiєнтiв диференцiального рiвняння (FD-метод) розроблено рекурентнi алгоритми для чисельного розв'язування лiнiйних рівнянь Шредінгера, які описують процеси в біосенсорних приладах на атомному і молекулярному рівнях. Для лінійної задачі на власні значення з умовами зшивки і потенціалом з просторів та , доведено експоненцiальність швидкость збiжностi алгоритмів, яка покращується з ростом порядкового номера власного значення. Отримано результат про вплив точки зшивки на якість збіжності алгоритмів. Показано, що в залежності від точки зшивки можуть існувати такі власні значення, для яких швидкiсть збiжностi алгоритму з ростом порядкового номера власного значення прямує до сталої величини, яка визначається коефiцiєнтом зшивки.

6. Отримано умови існування точних власних значень базової задачі на власні значення з умовами зшивки з незбуреним оператором, які не залежать від коефіцієнта зшивки. На основі асимптотичної поведiнки власних значень базової задачi на власні значення з умовами зшивки з незбуреним оператором і теорем про збіжність чисельного методу отримано якісні результати про властивості точного розв'язку задачі та вплив точки зшивки і коефiцiєнта зшивки на їх розташування. Доведено, що в залежностi вiд точки зшивки можуть iснувати такi пари точних сусідніх власних значень, рiзниця мiж якими прямує до сталої величини з ростом порядкового номера.

7. Для рiзних типiв крайових умов на основi вивчення впливу умов зшивки на властивостi розв'язку вiдповiдної базової задачi з незбуреним оператором i теорем про швидкiсть збiжностi чисельного методу встановлено вплив умов зшивки на властивостi точного розв'язку задачi на власнi значення з умовами зшивки і крайовими умовами в загальному виглядi.

8. Використовуючи поліноми Адомяна і функцiонально-дискретний підхід, побудовано чисельний алгоритм для нелінійної задачі Штурма-Лiувiлля з автономним потенцiалом. Показано експоненцiальну швидкiсть його збiжностi, яка покращується з ростом порядкового номера власного значення. Отримано оцiнки похибки.

9. Розроблено функцiонально-дискретний алгоритм для задачі Штурма-Ліувілля з потенцiалом, який складається з лiнiйної частини і нелiнiйної автономної частини. Доведено експоненцiальність його швидкості збiжностi, яка покращується з ростом порядкового номера власного значення. Отримано оцiнки похибки. Показано, що покращення якостi апроксимацiї лiнiйної складової потенцiалу приводить до зменшення радiуса збiжностi алгоритму, і швидкість збіжності прямує до сталої величини, яка залежить лише від порядкового номера власного значення. Це привело до висновку про існування обмежень на порядковий номер, починаючи з якого можна обчислити власні значення за допомогою функціонально-дискретного методу.

10. Розроблено функціонально-дискретний алгоритм для нелiнiйної задачi на власнi значення з умовами зшивки і автономним потенцiалом. Доведено експоненціальність швидкості збіжності, яка покращується з ростом порядкового номера власного значення, і прямує до сталої величини, яка визначається коефiцiєнтом зшивки. Отримано оцiнки похибки. Зроблено висновки про вплив диференцiальної та iнтегральної нормалiзуючих умов на точний розв'язок нелiнiйних задач на власні значення. Наведено результати чисельних експериментів, які підтверджують теоретичні висновки і узгоджуються з результатами, отриманими іншими авторами.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Gavrilyuk I.P. Exponentially convergent algorithm for nonlinear eigenvalue problems / I.P. Gavrilyuk, A.V. Klimenko, V.L. Makarov, N.O. Rossokhata // IMA Journal of Numerical Analysis. - 2007. - v.27. - №4. - Р.818-838.

2. Makarov V.L. FD-method for nonlinear eigenvalue problems with discontinuous eigenfunctions / V.L. Makarov, N.O. Rossokhata // Nonlinear Oscillations. - 2007. - v.10. - №1. - Р.126-143.

3. Гаврилюк I.П. FD-метод для задач на власні значення з нелінійним потенціалом / I.П. Гаврилюк, A.В. Kлімeнкo, В.Л. Maкaрoв, Н.O. Рoссoхaтa // Український математичний журнал. - 2007. - v.59. - №1. - С.14-28.

4. Рoссoхaтa Н.O. FD-метод для задачі трансмісії на власні значення з потенціалом з простору L1 / Н.O. Рoссoхaтa // Вісник Київського університету. Сер. Фіз.-мат. науки. - 2007. - №2. - С.177-180.

5. Рoссoхaтa Н.O. Різницеві схеми для моделювання біосенсорних систем / Н.O. Рoссoхaтa, В.К. Рoссoхaтий // Вісник Київського університету. Сер. Фіз.-мат. науки. - 2007. - № 3. - С.

6. Рoссoхaтa Н.O. Дослідження задач трансмісії за допомогою FD-методу / Н.O. Рoссoхaтa // Вісник Київського університету. Сер. Фіз.-мат. науки. - 2006. - №1. - С.194-203.

7. Makarov V. Functional-discrete method for an eigenvalue transmission problem with periodic boundary conditions / V. Makarov, N. Rossokhata, B. Bandursky // Computational Methods in Applied Mathematics. - 2005. - v.5. - №2. - Р.201-220.

8. Makarov V. Functional-discrete method with high order of accuracy for eigenvalue transmission problem / V. Makarov, N. Rossokhata, B. Bandursky // Computational Methods in Applied Mathematics. - 2004. - v.4. - №3, З.324-349.

9. Rossokhata N. Mathematical model of biosensor with multilayer charged membrane / N. Rossokhata, V. Rossokhaty // Computational Physics Communication. - 2002. - v.147. - №1-2. - Р.366-369.

10. Rosookhaty V. A mathematical model of silicon-based thermobiosensors / V. Rosookhaty, N. Rossokhata // IMA Journal of Mathematics Applied in Business&Industry. - 1999. - v.10. - Р.41-53.

11. Makarov V. Mathematical model of the graded band-gap semiconductor structure with high internal quantum efficiency / V. Makarov, N. Rossokhata, V. Rossokhaty, I. Gavrilyuk // SIAM Journal of Applied Mathematics. - 1999. - v.59. - №6. - Р.2121-2138.

12. Гаврилюк И.П. Анализ и численное моделирование полупроводниковых струкрур переменного состава / И.П. Гаврилюк, В.Л. Maкaрoв, Н.А. Рoссoхaтaя, В.К. Россохатый // Математическое моделирование. - 1998. - т.10. - №11. - С.63-87.

13. Бурківська В.Л. Чисельне моделювання варізонних напівпровідників / В.Л. Бурківська, I.П. Гаврилюк, В.Л. Maкaрoв, М.Н. Москальков, В.К. Россохатий, Н.O. Рoссoхaтa // Вісник Київського університету. Сер. Фіз.-мат. науки. - 1999. - №1. - С.141-150.

14. Makarov V. Rate of convergence of the method of lines for the nonlinear parabolic integral-differential equation describing a photon recycling diode / V. Makarov, I. Gawriljuk, N. Rossokhata // J.Math.Scienc. - 1994. - v.72. - №2. - Р.2982-2992.

15. Maкaрoв В.Л. Двовимірна математична модель діодної структури на основі варізонних напівпровідників з ефектом перевипромінювання. II / В.Л. Maкaрoв, I.П. Гаврилюк, Н.O. Рoссoхaтa // Вісник Київського університету. Сер. Фіз.-мат. науки. - 1994. - С.212-220.

16. Maкaрoв В.Л. Двовимірна математична модель діодної структури на основі варізонних напівпровідників з ефектом перевипромінювання. I / В.Л. Maкaрoв, I.П. Гаврилюк, Н.O. Рoссoхaтa // Вісник Київського університету. Сер. Фіз.-мат. науки. - 1993. - №3. - С.167-177.

17. Gawriljuk I. Analysis and numerical solution of integral-differential equation for diode structure based on graded-band-gap semiconductors with high internal quantum efficiency / I. Gawriljuk, V. Makarov, N. Rossokhata. // Z. Angev.Math.Mech. - 1993. - v.73. - №7/8. - Р.T653-656.

18. Maкaрoв В.Л. О скорости сходимости схемы метода прямых для нелинейного интегро-диференциального уравнения параболического типа, описывающего функционирование варизонного диода с переизлучением / В.Л. Maкaрoв, И.П. Гаврилюк, Н.А. Рoссoхaтaя // Вычислительна и прикладная математика. - 1992. - т.74. - С.21-31.

19. Maкaрoв В.Л. О существовании и единственности решения в начально-краевой задачи распределения концентрации носителей заряда в варизонном диоде с переизлучением / В.Л. Maкaрoв, И.П. Гаврилюк, Н.А. Рoссoхaтaя // Вісник Київського університету. Сер. Фіз.-мат. науки. - 1991. - №2.- С.14-20.

20. Гаврилюк И.П. Математическая модель вазонного полупроводникового диода с переизлучением / И.П. Гаврилюк, В.Л. Maкaрoв, Н.А. Рoссoхaтaя // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1991. т.31. - С.76-87.

21. Maкaрoв В.Л. Оцінки швидкості збіжності FD-методу для задачі Штурма-Ліувілля з потенціалом з простору / В.Л. Maкaрoв, Н.O. Рoссoхaтa // Збірник праць Інституту математики НАН України. - 2005. - т.1. - №3. - С.1-16.

22. Maкaрoв В.Л. Теоретичне та чисельне дослідження процесів теплопереносу в біосенсорних системах / В.Л. Maкaрoв, Н.O. Рoссoхaтa, В.К. Россохатий, I.П. Гаврилюк // Обчислювальна і прикладна математика. - 2000. - т.85. - №1. - С.61-75.

23. Gavrilyuk I. Mathematical Aspects of Modeling of Biosensor Systems / I. Gavrilyuk, V. Burkivs'ka, V. Makarov, N. Rossokhata, V. Rossokhaty - Universitat Leipzig, 1998. - 19 p. - (Preprint / Universitat Leipzig. Naturwissenschaftlich-Teoretisches Zentrum; Preprint-Nr. 40/98).

24. Gawriljuk I. Mathematical model of the graded-band-gap semiconductor structure with high internal quantum efficiency / I. Gawriljuk, V. Makarov, N. Rossokhata - Universitat Leipzig, 1995. - 21p. - (Preprint / Universitat Leipzig. Naturwissenschaftlich-Teoretisches Zentrum; Preprint-Nr. 3/95).

25. Gawriljuk I. Mathematical simulation of diode structure based on graded-band-gap semiconductors with position dependent carrier mobilities / I. Gawriljuk, V. Makarov, N. Rossokhata - Universitat Leipzig, 1995. - 15p. - (Preprint / Universitat Leipzig. Naturwissenschaftlich-Teoretisches Zentrum; Preprint-Nr. 34/95).

26. Rossokhata N. A method for discretization in time based on Cayley transform for parabolic transmission problem / N. Rossokhata // Kumar V., Gavrilova M., Tan C.J.K., L'Ecuyer V.(Eds.) Lecture notes in computer sciences: International Conference Computational Sciences and its Applications (ICCSA), May 18-21, 2003, Montreal, Canada: Book of Proceedings. / Springert-Verlag. - Berlin, 2003. - Part I. - P.1016-1024.

27. Makarov V. Eigenvalue transmission problem modeling vibrations of composit shanks / V. Makarov, N. Rossokhata, B. Bandursky // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур: VI міжнародна наукова конференція, 26-29 травня 2003, Львів: тези доп. / ІППММ ім. Я.С. Підстригача. - Львів, 2003. - С. 131-132.

28. Бурківська В.Л. Дослідження математичних моделей функціонування варізонних напівпровідникових пристроїв / В.Л. Бурківська, I.П. Гаврилюк, В.Л. Maкaрoв, М.Н. Москальков, В.К. Россохатий, Н.O. Рoссoхaтa // INAMTAP'96: Информатика, вычислительная и прикладная математика. Теория, приложения, перспективы: международная конференция, 4-6 октября 1996, Киев: труды / Издательство Киевского университета. - К., 1998. - С.45-52.

29. Rossokhata N. Fully Discrete Approximation Based on Cayley Transform for Parabolic Transmission Problem / N.Rossokhata // Callaos N., Yang T., Aguilar J. (Eds.) The IV World Multiconference on Systemics, Cybernetics and Informatics, 12-16 July 1998, Orlando, USA: Proceedings / v.2 - P.373-377.

30. Rossokhata N. Computer simulation of biosensors based on semiconductor structures / N. Rossokhata, V. Rossokhaty // Papailiou K.D., Tsahalis D., Periaux J., Hirsch C., Pandolfi M. (Eds.) Computational Fluid Dynamics '98: The Fourth European Computational Fluid Dynamics Conference, 7-11 September 1998, Athens, Greece: Proceedings / John Wiley&Sons - Chichester, 1998. - v.1. - P. 1312-1316.

31. Rossokhaty V. Mathematical simulation of enzyme biosensor with multilayer charged membranes / V. Rossokhaty, N. Rossokhata // EUROSENSORS XI: The 11th European Conference on Solid State Transducers, 21-24 September 1997, Warsaw, Poland: Proceedings / Warsaw, 1997. - P.941-944.

32. Rossokhaty V. Mathematical simulation of the graded-band-gap -diode structure with taking into account the coordinate dependence of carrier mobilities / V. Rossokhaty, N. Rossokhata // The 8th Conference of the European Consortium for Mathematics in Industry, 21-24 September 1994, Kaiserslautern, Germany: Book of abstracts / 1994. - P.146-148.

33. Rossokhaty V. Mathematical simulation of the silicon based thermosensors / V. Rossokhaty, N. Rossokhata //The 8th Conference of the European Consortium for Mathematics in Industry, 21-24 September 1994, Kaiserslautern, Germany: Book of abstracts / 1994. - P.164-166.



АНОТАЦІЇ

1. Россохата Н.О. Чисельно-аналітичні методи для задач моделювання напівпровідникових біосенсорних систем. - Рукопис

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи.

Дисертаційна робота присвячена теоретико-експериментальному дослідженню математичних моделей бiосенсорів на основi напiвпровiдникових структур, які описуються нелінійними диференціальними рівняннями другого порядку з частинними похідними з умовами зшивки; а також побудові чисельних методів, які зберігають аналітичні властивості точного розв'язку, для моделювання процесів, що описуються рівнянням Шредінгера. Використовуючи принцип максимуму та принцип нерухомої точки Шаудера, досліджено існування та єдиність розв'язку задач. На основі підходів Шарфеттера-Гуммеля, скінченно-різницевого та функціонально-дискретного запропоновані чисельні алгоритми. Для задач на власні значення встановлено експоненцiальність швидкості збiжностi фунціонально-дискретного методу, отриманi оцiнки похибки. Отриманi якiснi результати про асимптотичну поведiнку точних власних значень. Наведено чисельні розрахунки, які ілюструють ефективність запропонованих алгоритмів та підтверджують теоретичні результати.