Чисельно-аналітичні методи для задач моделювання напівпровідникових біосенсорних систем

Ключові слова: біосенсори на основі напівпровідників, нелінійні рівняння другого порядку з частинними похідними, умови зшивки, задачі на власні значення, функціонально-дискретний метод, різницеві схеми, експоненціальна швидкість збіжності.

Россохатая Н.А. Численно-аналитические методы для задач моделирования полупроводниковых биосенсорных систем. - Рукопись

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.05.02 - Математическое моделирование и численные методы.

В первой главе сделан обзор состояния проблемы по тематике диссертации. Сначала проанализированы результаты моделирования процессов теплопереноса, распределения заряда и концентраций компонент биохимической реакции в полупроводниковых биосенсорах. Сделан обзор теории существования и единственности решения классической диффузионно-дрейфовой модели Ван-Рузбрека и проанализированы численные алгоритмы на основании аппроксимации Шарфеттера-Гуммеля. В силу того, что физико-химические процессы в биосенсорах на молекулярном и атомном уровнях описываются нестационарным уравнением Шредингера, решение которого представляется в виде ряда по собственным функциям гамильтониана, сделан обзор литературы для задач на собственные значения, в том числе и с условиями сопряжения. Проанализированы численные методы для линейных задач на собственные значения. На примере линейной абстрактной задачи на собственные значения изложены основные идеи функционально-дискретного подхода, предложенного В.Л.Макаровым. Далее обсуждаются вопросы нелинейных задач на собственные значения и метод декомпозиции Адомяна, идеологически близкий функционально-дискретному подходу.

Во второй главе исследуется математическая модель полупроводникового термосенсора, действие которого основывается на регистрации тепловых изменений в приборе в результате биохимической реакции. Построена математическая модель, описываемая одномерным уравнением теплопроводности с функцией источника и учитывающая условия сопряжения. При помощи принципа максимума и теории потенциалов доказано существование единственного решения задачи о распределении концентраций компонент реакции и тепла в термосенсоре в классах непрерывно-дифференцируемых функций. Используя преобразование Келли для дискретизации по времени и метод конечных разностей дла пространственной переменной, построена дискретная модель термосенсора. Доказана ее сходимость, получены оценки точности. Приведены результаты численного эксперимента.

Третья глава посвящена построению а также исследованию аналитическими и численными методами математической модели биосенсорной структуры со встроенным в мембрану заряженым шаром, анализу результатов вычислительного эксперимента с целью изучения влияния заряженого шара на выходной сигнал прибора. Предложена модель глюкозного биосенсора с заряженой биоселективной мембраной, котрая описывается начально-краевой задачей с учетом условия сопряжения для системы, состоящей из уравнения Пуассона для электростатического потенциала и уравнений неразрывности для концентраций компонент биохимической реакции в мембране. Используя технику Гаевского для класической диффузионно-дрейфовой модели Ван-Рузбрека из теории полупроводников, исследован вопрос существования и единственности решения задачи в классах обобщенных функций. Построена разностная схема. На основании результатов вычислительного эксперимента сделаны выводы о влиянии наличия, знака и плотности заряда на основные характеристики биосенсорного прибора.

В четвертой главе изучаются линейные задачи на собственные значения с условиями сопряжения. Используя технику возмущений коэффициентов дифференциального уравнения (FD-метод), постороены и обоснованы численные алгоритмы для нахождения приближенного решения задач на собственные значения с условиями сопряжения и разными типами краевых условий а также потенцилом из пространств и . Доказана экспоненциальная скорость сходимости алгоритмов, которая улучшается с ростом порядкового номера собственного значения. Получен результат о влиянии точки сопряжения на качество сходимости алгоритмов. Показано, что в зависимости от точки сопряжения могут существовать такие собственные значения, для которых скорость сходимости алгоритма с ростом порядкового номера собственного значения приближается к постоянной величине, определяемой коэффициентом сопряжения. На основании асимптотического поведения собственных значений базовой задачи с невозмущенным оператором и теорем о сходимости численного метода получены качественные результаты о свойствах точного решения задачи и влиянии точки сопряжения и коэффициента сопряжения на размещение собственных значений исходной задачи. Приведены результаты вычислительных экспериментов для тестовых задач, которые хорошо согласуются с теоретическими выводами. В пятой главе для нелинейной задачи Штурма-Лиувилля и нелинейной задачи на собственные значения с условиями сопряжения постороены и обоснованы численные алгоритмы, сочетающие функционально-дискретный подход и метод Адомяна для аппроксимации нелинейной составляющей. Доказана экспоненциальность скорости сходимости алгоритмов для для задач с автономным и неавтономным потенциалом. В силу того, что решение существенно зависит от нормализующего условия, рассмотрены два типа нормализующего условия: диференциальное и интегральное. Сделаны выводы о влиянии диференциального и интегральноого нормализующих условий на точное решение нелинейной задачи. Проанализированы влияние порядкового номера, характера потенциала, точки сопряжения и коэффициента сопряжения на скорость сходимости алгоритмов. Приведены численные результаты, иллюстрирующие эффективность предложенных алгоритмов и подтверждающие теоретические выводы.

Ключевые слова: биосенсоры на основе полупроводников, нелинейные уравнения второго порядка в частных производных, условия сопряжения, задачи на собственные значения, функционально-дискретный метод, разностные схемы, экспоненциальная скорость сходимости.

Rossokhata N.О. Numerical-analytical methods for modeling of biosensor system based on semiconductors. - Manuscript

A thesis presented for the Degree of Doctor of Physics and Mathematics in speciality 01.05.02 - Mathematical modeling and numerical methods.

The dissetration deals with the theoretical-numerical investigation of mathematical models of biosensors based on semiconductors, and described by nonlinear second order partial differential equations with transmission condition; as well as development of numerical methods preserving analytical properties of exact solution, for modeling of processes which incorporate Schrdinger equation. The existence and uniqueness of exact solution is investigated using maximum principle and fixed point theorem. Based on Scharfetter-Gummel approximation, finite-difference and functional-discrete methods, numerical techniques are developed to find approximate solution. The exponential convergence rate of functional-discrete technique is proved for eigenvalue problems. Qualitative results about asymptotic for exact eigenvalues are established. Numerical examples to support the theory and illustrate the effectiveness of proposed approaches are presented.

Key words: biosensors based on semiconductors, nonlinear second order partial differential equations, transmission conditions, eigenvalue problems, functional-discrete technique, finite-difference schemes, exponential convergence rate.

Размещено на Allbest.ru