Узагальнено нормальні підгрупи та їх вплив на структуру групи
Розгляд абелевих секцій груп, у яких система має вимірність Крулля. Вивчення узагальнено розв’язних груп. Дослідження систем підгруп, що не є нормальними, наближено чи майже нормальними. Аналіз підгруп поліциклічних, поліциклічно наближених до нормальних.
| Рубрика | Математика |
| Вид | автореферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 29.08.2015 |
| Размер файла | 46,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
01.01.06 - алгебра і теорія чисел
УЗАГАЛЬНЕНО НОРМАЛЬНІ ПІДГРУПИ
ТА ЇХ ВПЛИВ НА СТРУКТУРУ ГРУПИ
ПИСКУН Михайло Михайлович
Київ - 2008
Дисертація є рукопис.
Робота виконана на кафедрі вищої математики Національного університету державної податкової служби України, Державна податкова адміністрація України.
Науковий керівник:Офіційні опоненти: |
доктор фізико-математичних наук, професорСЕМКО Микола Миколайович,Національний університет державної податкової служби України,завідувач кафедри вищої.доктор фізико-математичних наук, професорЛИМАН Федір Миколайович,Сумський державний педагогічний університет, ректор;доктор фізико-математичних наук, професорКИРИЧЕНКО Володимир Васильович,Київський національний університет імені Тараса Шевченка,професор кафедри геометрії. |
Захист відбудеться 22.12. 2008 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.
З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.
Автореферат розісланий 17.11. 2008 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Плахотник В. В.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Групи з великими системами підгруп, близьких у тому чи іншому сенсі до нормальних, є досить давнім об'єктом дослідження у теорії груп. Наявність великої кількості нормальних підгруп і близьких до них типів підгруп дуже сильно впливає на структуру групи. Образно кажучи, чим група більше має нормальних і близьких до них підгруп, тим вона ближче до абелевої. Наприклад, якщо всі підгрупи групи є нормальними, то неабелеві групи з такою властивістю мають дуже просту будову, як показують результати робіт Р. Дедекінда 1 та Р. Бера 2. Існує багато природних типів підгруп, що близькі до нормальних. Наприклад, в теорії скінченних груп важливу роль грають субнормальні підгрупи, підгрупи, що не збігаються зі своїм нормалізатором (за їх допомогою характеризуються скінченні нільпотентні групи), підгрупи, які переставні з кожною циклічною підгрупою групи (вони грають велику роль в скінченних надрозв'язних та розв'язних групах). Ці підгрупи зберігають свій вплив і в нескінченних групах, хоча там їх роль не є такою визначальною. Наприклад, на відміну від скінченних груп, існують нескінченні групи з одиничним центром, всі підгрупи яких субнормальні. Приклади таких груп побудовані Г. Хайнекеном та І. Мохамедом 3, 4, Б. Хартлі 5, 6, Ф. Менегаццо 7. Виникнення й розвиток теорії груп з умовами скінченності привів до появи нових важливих типів підгруп, що близькі до нормальних. Такі типи підгруп розглянув Б. Нейман у своїй роботі 8, що вже стала класичною. Зокрема, він почав розглядати вплив на будову групи підгруп, що мають скінченну множину спряжених. Оскільки кожна така підгрупа має нормалізатор скінченного індексу, такі підгрупи почали пізніше називати майже нормальними. У своїй роботі 8 Б. Нейман охарактеризував групи, всі підгрупи яких майже нормальні, як групи, що мають центр скінченного індексу. Такі групи пізніше стали називати скінченними над центром. Трохи пізніше
1 Dedekind R. Ьber Gruppen, deren sammtliche Teiler Normalteiler sind /R. Dedekind// Math. Annalen. - 1897. - 48.- S. 548 - 561.
2 Baer R. Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe /R. Baer// S.- B. Heidelberg Akad.- 1933. - 2. - S. 12 - 17.
3 Heineken H. and Mohamed I.J. Groups with normalizer condition / Heineken H., Mohamed I.J. // Math. Annalen.- 1972.-198, № 3.- P.178 - 187.
4 Heineken H. and Mohamed I.J. Non-nilpotent groups with normalizer condition/ Heineken H., Mohamed I.J. // Lecture Notes Math. - 1974. - 372.- P. 357 - 360.
5 Hartley B. A note on the normalizer condition /B. Hartley // Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1973. -74, №1.- P. 11 - 15.
6 Hartley B. О нормализаторном условии и мини-транзитивных группах подстановок /B. Hartley // Алгебра и логика. - 1974.- 13, № 5.- C. 589 - 602.
7 Menegazzo F. Groups of Heineken-Mohamed /F. Menegazzo // J. Algebra. - 1995.- 171.- P. 807 - 825.
8 B.H. Neumann B.H. Groups with finite classes of conjugate subgroups /B.H. Neumann // Math. Z. - 1955.- 63, № 1.- P. 76 - 96.
С.М. Черніков у роботі 9 розглянув групи, в яких CG(A) має скінченний індекс для кожної абелевої підгрупи A. Такі групи також виявились скінченними над центром. У зв'язку з цими двома результатами С.М. Черніков поставив питання про будову груп, у яких кожна абелева підгрупа буде майже нормальною. Відповідь на нього отримав І.І. Єрьомін 10, який довів, що такі групи також будуть скінченними над центром. У статті 11 І.І. Єрьомін почав розглядати групи, в яких усі нескінченні підгрупи майже нормальні. Локально майже розв'язні групи з цією властивістю були описані значно пізніше в роботі М.М. Семка, С.С. Левіщенка та Л.А. Курдаченка 12. З цієї роботи починається систематичне вивчення груп, у яких система Lan(G) всіх майже нормальних підгруп групи G “дуже велика” чи система Lnon-an(G) всіх підгруп, що не є майже нормальними, “дуже мала”. Так у роботі 13 Л.А. Курдаченка та В.Е. Горецького розглядались групи, у яких система всіх майже нормальних підгруп є щільною. Результати цієї роботи були пізніше узагальнені в роботах 14, 15. У роботі Л.А. Курдаченка, М.Ф. Кузенного та М.М. Семка 16 були розглянуті групи, у яких (впорядковані за включенням) системи Lan(G) та Lnon-an(G) задовольняють умову максимальності, а у робо-ті Л.А. Курдаченка та В.В. Пилаєва 17 були розглянуті групи, у яких система Lnon-an(G) задовольняє умову мінімальності. Узагальнення результатів робіт 16, 17 було отримано пізніше в статті Ж. Кутоло та Л.А. Курдаченка 18, де розглядались локально майже розв'язні групи, у яких система Lnon-an(G) задовольняє слабку умову максимальності та слабку умову мінімальності.
9 Черников С.Н. О строении групп с конечными классами сопряженных элементов /С.Н. Черников // Докл. АН СССР.- 1957.-115, № 1.- С. 60 - 63.
10 Еремин И.И. Группы с конечными классами сопряженных абелевых подгрупп /И.И. Еремин //Мат. сб. - 1959.- 47, № 1.- С. 45 - 54.
11 Еремин И.И. Группы с конечными классами сопряженных бесконечных подгрупп /И.И. Еремин // Уч. зап. Пермского ун-та.- 17, № 2.- С. 13 - 14.
12 Семко Н.Н., Левищенко С.С., Курдаченко Л.А. О группах с бесконечными почти нормальными подгруппами /Н.Н. Семко, С.С. Левищенко, Л.А. Курдаченко// Изв. вузов. Математика.-1983.- № 10.- С. 57 - 63.
13 Курдаченко Л.А., Горецкий В.Э. Группы с плотной системой почти нормальных подгрупп / Л.А. Курдаченко, В.Э. Горецкий // Укр. мат. журн.- 1983.-35, № 1.- С. 42 - 46.
14 Курдаченко Л.А., Кузенний М.Ф., Семко М.М. Групи з щільною системою нескінченних підгруп /Л.А. Курдаченко, М.Ф. Кузенний, М.М. Семко// ДАН УРСР. Серія А. -1985.- № 3.- С. 7 - 9.
15 Курдаченко Л.А., Кузенний М.Ф., Семко М.М. Группы с плотной системой бесконечных почти нормальных подгрупп /Л.А. Курдаченко, М.Ф. Кузенний, М.М. Семко// Укр. мат. журн.- 1991.- 43, №7-8.- С. 969 - 974.
16 Курдаченко Л.А., Кузенний М.Ф., Семко М.М. Групи з деякими умовами максимальності /Л.А. Курдаченко, М.Ф. Кузенний, М.М. Семко// ДАН УРСР. серія А. - 1987. № 1.- С. 9 - 11.
17 Курдаченко Л.А., Пылаев В.В. Группы, богатые почти нормальными подгруппами /Л.А. Курдаченко, В.В. Пылаев// Укр. мат. журн.-1988.- 40, №3.- С. 326 - 330.
18 Cutolo G. and Kurdachenko L.A. Weak chain conditions for non-almost normal subgroups /G. Cutolo, L.A. Kurdachenko// London Math.Soc., Lecture Notes Ser. - 1995.- 211.- P. 120 - 130.
С. Франциозі, Ф. де Жиованні та Л.А. Курдаченко 19 розглянули групи, у яких майже нормальними будуть всі підгрупи за винятком скінченно породжених. В той же час вивчались і інші властивості системи майже нормальних підгруп. Так К. Касоло вивчав групи, у яких властивість “бути майже нормальною підгрупою” є транзитивною і в цьому зв'язку також розглянув групи, у яких кожна субнормальна підгрупа є майже нормальною 20, 21. Ця тематика була продовжена у роботі К. Касоло, С. Франциозі, Ф. де Жиованні 22. У статті С. Франциозі, Ф. де Жиованні та Л.А. Курдаченко 23 була розглянута зовсім інша ситуація - були розглянуті групи, у яких кожна підгрупа або майже нормальна, або субнормальна. Неважко упевнитись у тому, що множина всіх майже нормальних підгруп, впорядкована за включенням, буде решіткою. Але також неважко побачити, що загалом ця решітка не є повною. Л.А. Курдаченко та С. Рінауро 24 розглянули групи, у яких (впорядкована за включенням) множина всіх майже нормальних підгруп буде повною решіткою. Інший тип підгруп, які також почав розглядати Б. Нейман у статті 8, це підгрупи, що мають скінченний індекс у своєму нормальному замкненні. Б. Нейман не дав цим підгрупам ніякої спеціальної назви. Пізніше у роботі 14 такі підгрупи були названі скінченно-нормальними. Ця назва здається не зовсім вдалою. У статті 25 був використаний інший термін - near normal subgroup. Буквальний переклад цього терміну - наближено нормальні підгрупи, і цією назвою будемо далі користуватись. Інтерес до системи наближено нормальних підгруп групи виник досить недавно. У роботі Л.А. Курдаченка, М.Ф. Кузенного та М.М. Семка 14 розглядались групи, у яких система всіх наближено нормальних підгруп є щільною.
19 Franciosi S., de Giovanni F. and Kurdachenko L.A. On groups with many almost normal subgroups /S. Franciosi, F. de Giovanni, L.A. Kurdachenko // Ann. Mat. Pura Appl.- 1995.-169, № 4.- P.35 - 65.
20 Casolo C. Groups with finite classes of subnormal subgroups /С. Casolo // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. - 1989.- 81.- P. 107 - 149.
21 Casolo C. Subgroups of finite index in generalized T-groups /С. Casolo // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova - 1989.- 81.- P. 265 - 277.
22 Casolo C., Franciosi S., de Giovanni F. Groups with finitely many infinite conjugacy classes of subnormal subgroups /C. Casolo, S. Franciosi, F. de Giovanni// Ricerche Mat. - 1994.- 43, №2.- P. 309 - 321.
23 Franciosi S., de Giovanno F. and Kurdachenko L.A. Groups with finite conjugacy classes of non-subnormal subgroups /S. Franciosi, F. de Giovanno, L.A. Kurdachenko// Archiv der Mathematik.- 1998.- 70. - P. 169 - 181.
24 Kurdachenko L.A., Rinauro S. Intersection and join of almost normal subgroups /L.A. Kurdachenko, S. Rinauro// Communications in Algebra.- 1995.- 23, №5.- P. 1967 - 1974.
25 Galoppo A. Groups satisfying the maximal condition on non-nearly normal subgroups /A. Galoppo // Ricerche Mat. -2000.- 49, № 2.- P. 213 - 220.
У роботі С. Франціозі і Ф. де Жиованні 26 були розглянуті групи, у яких система Lnon-nn (G) задовольняє умову мінімальності, а у вже цитованій вище роботі A. Галоппо 25 були розглянуті групи, у яких система Lnon-nn(G) задовольняє умову максимальності. У статті С. Франциозі, Ф. де Жиованні та Л.А. Курдаченка 27 були розглянуті групи, у яких кожна підгрупа або наближено нормальна, або субнормальна. Відмітимо також статтю К. Мюзелли 28, де вивчалися деякі властивості решітки усіх наближено нормальних підгруп.
Таким чином, вивчення властивостей систем майже нормальних та наближено нормальних підгруп та їх впливу на структуру усієї групи є актуальною задачею, що має свою історію та своє специфічне коло питань. Ця тематика розглядається і в даній дисертаційній роботі. В розділі 2 запропоновано наступний новий підхід, витоки якого знаходяться у теорії кілець і який був там досить ефективним. Розглянемо наступну умову скінченності, яка є дуже широким узагальненням як умови мінімальності, так і умови максимальності. Нашою метою тут є застосування цієї умови для вивчення впливу на структуру групи таких її важливих систем узагальнено нормальних підгруп як система всіх її наближено нормальних підгруп та система всіх її майже нормальних підгруп. Теорія кілець була першою, де почали розглядатись різні природні обмеження на системи лівих (відповідно правих) ідеалів. Теорія артинових кілець (тобто кілець з умовою мінімальності для лівих ідеалів) та теорія нетерових кілець (тобто кілець з умовою максимальності) стали одними з найбільш розвинених. У теорії кілець виникло досить багато цікавих природних узагальнень артинових та нетерових кілець. Одним з таких узагальнень є кільця, що мають вимірність Крулля.
Нехай A - частково впорядкована множина. Для елементів a, b A визначимо замкнений інтервал з кінцями a, b як підмножину
[a, b] = { x A a x b }.
Визначимо тепер відхилення dev(A) частково впорядкованої множини A за наступним правилом.
Якщо порядок на частково впорядкованій множині A є тривіальний, то покладемо dev(A) = - .
26 Franciosi S., de Giovanni F. Groups satisfying the minimal condition on certain non-normal subgroups /S. Franciosi, F. de Giovanni// "Groups - Korea 94".- 1995.- Berlin: Walter de Gruyter. - P. 107 - 118.
27 Franciosi S., de Giovanni F. and Kurdachenko L.A. Groups with restrictions on non-subnormal subgroups /S. Franciosi, F. de Giovanni, L.A. Kurdachenko// Ricerche di Matematica.- 1997.- 46, № 2.- P. 307 - 320.
28 Musella C. Isomorphisms between lattices of nearly normal subgroups /C. Musella// Note di Matematica.- 2000/2001.- 20, № 1.- P. 43 - 52.
Якщо порядок на частково впорядкованій множині A нетривіальний, а такий, що А задовольняє умову мінімальності, то покладемо dev(A) = 0.
Тепер за індукцією для порядкового числа визначимо dev(A) = у випадку, коли dev(A) < та для кожного спадаючого ланцюжка
a1 a2 . . . an . . .
елементів множини A усі замкнені інтервали, за виключенням скінченної множини, мають властивість dev ([an, an + 1 ]) < .
Скажемо тепер, що частково впорядкована множина A має відхилення, якщо знайдеться порядкове число , для якого dev(A) = .
Поняття відхилення знайшло корисні застосування в теорії кілець та модулів, само його виникнення пов'язано з цією теорією. Нагадаємо, що кільце R має вимірність Крулля, якщо впорядкована за включенням система всіх його лівих ідеалів має відхилення. Вказане відхилення і називається вимірністю Крулля кільця R та позначається символом K(R).
Нехай тепер G - група та S - деяка система її підгруп. Цю множину S можна розглядати як частково впорядковану множину відносно теоретико- множинного включення. Оскільки в теорії груп позначення [a, b] є стандартним та зарезервовано для комутатору елементів a, b, то для замкненого інтервалу впорядкованої множини S, що утворюють її підгрупи А, В, будемо використовувати наступне позначення: [[A, B ]], тобто
[[A, B ]] = { C C S та A C B }.
Якщо частково впорядкована система підгруп S має відхилення, то у цьому випадку будемо говорити, що система S має вимірність Крулля та будемо розуміти під цією вимірністю відхилення частково впорядкованої системи S і відповідно використовувати для нього наступне позначення KS(G). Якщо тепер розглянути деяку теоретико-групову властивість та визначити за нею наступну систему підгруп
S = { H H є підгрупою, що має властивість },
то замість KS (G) будемо писати K (G).
Повернемось тепер до систем підгруп, що є узагальненнями нормальних. У якості S розглянемо систему Lnon-nn (G) (відповідно Lnon-an (G)) всіх підгруп групи G, які не є наближено нормальними (відповідно не є майже нормальними), та будемо вивчати групи, у яких ці впорядковані системи підгруп мають вимірність Крулля. Цю вимірність ми будемо позначати через Knon-nn (G) (відповідно через Knon-an (G)). Як ми бачили вище, групи, що мають вказані вимірності Крулля, мусять мати досить великі системи наближено нормальних та майже нормальних підгруп. Вивченню цих груп присвячений розділ 2 даної дисертаційної роботи.
У розділі 3 дисертаційної роботи вводиться до розгляду наступне узагальнення наближено нормальних підгруп.
Нехай X - клас груп. Будемо говорити, що група G має X-класи спряжених елементів або, що G є XC-групою, якщо фактор-група G/CG (gG) належить до класу X для кожного елемента g групи G. Тут через gG позначається клас усіх елементів, які спряжені з елементом g, тобто підмножина { gx = x-1 g x x G}.
Якщо X = I - це клас усіх одиничних груп, то клас усіх IC - груп співпадає з класом A усіх абелевих груп. Тому, при належному виборі класу X, клас XC - груп можна розглядати як природне узагальнення класу абелевих груп.
Наприклад, якщо X = F - це клас усіх скінченних груп, то клас усіх FC-груп - це точно клас усіх FC-груп або груп зі скінченними класами спряжених елементів. Цей клас є досить вдалим розширенням як класу усіх абелевих груп, так і класу усіх скінченних груп, який наслідує багато хороших властивостей цих двох класів. Тому теорія FC-груп є однією з найбільш розвинених серед теорій нескінченних груп.
Природними розширеннями класу скінченних груп є клас C усіх черніковських груп та клас P усіх майже поліциклічних груп. Тому якщо X = C, то клас усіх CC-груп - це точнісінько клас усіх груп з черніковськими класами спряжених елементів, який був введений у розгляд Я.Д. Половицьким. Цей клас не є таким вивченим, як клас FC-груп, але теорія цих груп розвивається досить інтенсивно та має вже багато цікавих та важливих результатів. Якщо ж X = P, то приходимо до класу РС-груп або до класу усіх груп з майже поліциклічними класами спряженності. Вивчення цього класу тільки починається. Зараз ми розглянемо підклас класу РС-груп, який виникає з наступного розширення поняття наближено нормальних підгруп.
Підгрупа H групи G називається майже поліциклічно наближеною до нормальної (в G), якщо H містить у собі нормальну в HG підгрупу L, для якої фактор-група HG/L буде майже поліциклічною. Як видно з цього означення, ці підгрупи будуть природним узагальненням наближено нормальних підгруп. Якщо G є PC- групою, то для кожного елемента g G підгрупа Hg = < g >G буде майже поліциклічною. Звідси випливає, що і для кожної майже поліциклічної підгрупи F групи G її нормальне замкнення FG буде майже поліциклічною підгрупою. Інакше кажучи, кожна майже поліциклічна підгрупа F групи G є майже поліциклічно наближена до нормальнї. Більш того, ця властивість є характеристичною для РС-груп. Тому природно виникає питання про те, а якою ж буде протилежна ситуація. Точніше кажучи, що можна сказати про будову групи G, у якій усі підгрупи, за винятком майже поліциклічних, будуть майже поліциклічно наближені до нормальних. Такі групи будемо называти анти РС-групами. Вивченню цих груп присвячений розділ 3 даної дисертаційної роботи.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами
Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою наукових досліджень Інституту математики НАН України і Національного університету державної податкової служби України (номер державної реєстрації 0107U008317).
Мета і задачі дослідження
Метою даної роботи є вивчення будови груп, у яких
-система підгруп, що не є наближено нормальними, має вимірність Крулля;
-система підгруп, що не є майже нормальними, має вимірність Крулля;
-підгрупи, що не є майже поліциклічними, майже поліциклічно наближені до нормальних.
Задачі дослідження:
-опис узагальнено розв'язних груп, у яких система підгруп, що не є наближено нормальними, має вимірність Крулля;
-опис узагальнено розв'язних груп, у яких система підгруп, що не є майже нормальними, має вимірність Крулля;
-опис узагальнено розв'язних груп, у яких система підгруп, що не є нормальними, має вимірність Крулля;
-опис узагальнено розв'язних груп, у яких кожна підгрупа, що не є майже поліциклічною, майже поліциклічно наближена до нормальної.
Наукова новизна одержаних результатів
В дисертації вперше отримано нові теоретичні результати:
-опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких система підгруп, що не є наближено нормальними, має вимірність Крулля;
-опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких система підгруп, що не є майже нормальними, має вимірність Крулля;
-опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких система підгруп, що не є нормальними, має вимірність Крулля;
-опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких кожна підгрупа, що не є майже поліциклічною, майже поліциклічно наближена до нормальної.
Практичне значення одержаних результатів
Робота має теоретичний характер. У роботі був здійснений новий для цієї області підхід до вивчення груп з малими системами підгруп, що не є наближено нормальними, пов'язаний з застосуванням важливого поняття вимірності Крулля, що йде від теорії кілець та модулів. Результати дисертації можуть бути використані в теоретико-групових дослідженнях, що проводяться в Інституті математики НАН України, Київському, Дніпропетровському та Львівському національних університетах.
Особистий внесок здобувача
Всі основні результати, які ввійшли в дисертаційну роботу, одержані самостійно. Вони опубліковані у фахових виданнях [1 - 4] та тезисах матеріалів Міжнародних конференцій [5 - 8]. В опубліковані разом із науковим керівником роботі [4] ідеї й напрямки доведення належать науковому керівнику, а їх реалізація - пошукачу.
Апробація результатів дисертації
Результати дисертації доповідалися і опубліковані в тезисах матеріалів:
VІ Міжнародної алгебраїчної конференції в Україні (Каменець-Подільський - 2007 р.);
Міжнародної алгебраїчної конференції, присвяченій 70-річчю професора Л.О. Шеметкова (Білорусь, Гомель - 2007 р.);
Міжнародної алгебраїчної конференції, присвяченій 75-річчю професора В.П. Шункова (Росія, Красноярськ - 2007 р.);
Дванадцятої Міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука (Київ - 2008 р.).
Крім того, результати дисертаційної роботи доповідались на засіданнях кафедри вищої математики Національного університету державної податкової служби України (2001 - 2007 роки) та алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2008 р.).
Публікації
Результати дисертації опубліковані в 4 фахових наукових статтях і в 4 тезах доповідей наукових конференцій (це публікації [1 - 4] та відповідно [5 - 8]).
Структура і об'єм дисертації
Дисертація складається із вступу, трьох основних розділів (які містять 10 підрозділів), висновків і списку використаних джерел. Список використаних джерел складається із 135 найменувань. Загальний обсяг дисертації - 107 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ
У вступі обгрунтована актуальність дослідження, показаний зв'язок теми, що досліджується в роботі, з темами та планами наукових досліджень, формулюється мета і задачі досліджень, охарактеризовано наукову новизну роботи, практичне значення отриманих результатів, особистий внесок дисертанта, апробацію результатів дисертації, наведено інформацію про структуру та обсяг дисертації. В структурі дисертації виділяється три основні розділи I - III.
У розділі І “Огляд літератури” дається огляд літератури, присвяченої дослідженням груп з обмеженнями на майже нормальні та наближено нормальні підгрупи. Також наведено короткий перелік відомих результатів, які використовуються в подальшому.
Розділ 2 “Групи з великими системами наближено нормальних та майже нормальних підгруп” присвячений розгляду груп, у яких система підгруп, які не є наближено нормальними (відповідно майже нормальними), мають вимірність Крулля. Як ми вже зазначали, ці групи мусять мати досить великі системи наближено нормальних та майже нормальних підгруп. Це робить можливим досить детально дослідити їх будову, що ми і будемо робити протягом цього розділу.
У підрозділі 2.1 “Попередні результати” наведено деякі потрібні для подальшого результати. нормальний група вимірність крулль
Підрозділ 2.2 присвячений розгляду абелевих секцій груп, у яких система L non-nn (G) має вимірність Крулля. Основними її результатами будуть наступні.
2.2.1. Лема. Нехай G - група, для якої існує вимірність Крулля Knon-nn (G). Якщо підгрупа H не є наближено нормальною в G, то фактор- група H/[H, H] буде мінімаксною.
2.2.5. Наслідок. Нехай G - група, для якої існує вимірність Крулля Knon-nn (G). Якщо G містить у собі нескінченну нормальну елементарну абелеву р-підгрупу для деякого простого числа р, то G - FC-група.
2.2.8. Наслідок. Нехай G - група, для якої існує вимірність Крулля Knon-nn (G). Якщо G містить у собі нормальну вільну абелеву підгрупу нескінченного рангу, то G - FC-група.
У підрозділі 2.3 вивчається будова груп, у яких система L non- nn (G) має вимірність Крулля. Основний її результат - опис цих груп у досить широкому класі узагальнено радикальних груп.
Група G називається узагальнено радикальною, якщо вона має зростаючий ряд підгруп, фактори якого або локально нільпотентні, або локально скінченні.
2.3.6. Теорема. Нехай G - узагальнено радикальна група. Якщо система її підгруп, що не є наближено нормальними, має вимірність Крулля, то або G має скінченний комутант, або G буде майже розвязною А3-групою.
2.3.7. Наслідок. Нехай G - узагальнено радикальна група. Якщо G задовольняє слабку умову мінімальності для підгруп, що не є наближено нормальними, то або G має скінченний комутант, або G буде майже розвязною А3-групою.
2.3.8. Наслідок. Нехай G - узагальнено радикальна група. Якщо G задовольняє умову максимальності для підгруп, що не є наближено нормальними, то або G має скінченний комутант, або G буде майже розвязною А3-групою.
Підрозділ 2.4. присвячений попереднім результатам про групи, у яких система L non-an (G) має вимірність Крулля.
Наступний підрозділ 2.5 вивчає будову груп, у яких система L non-an (G) має вимірність Крулля. Основним його результатом є
2.5.11. Теорема. Нехай G - узагальнено радикальна група. Якщо система її підгруп, що не є майже нормальними, має вимірність Крулля, то або центр G має скінченний індекс, або G буде майже розвязною А3-групою.
2.5.12. Наслідок. Нехай G - узагальнено радикальна група. Якщо G задовольняє слабку умову мінімальності для підгруп, що не є майже нормальними, то або центр G має скінченний індекс, або G буде майже розвязною А3-групою.
2.5.13. Наслідок. Нехай G - узагальнено радикальна група. Якщо G задовольняє умову максимальності для підгруп, що не є майже нормальними, то або центр G має скінченний індекс, або G буде майже розвязною А3-групою.
Результати, отримані у цьому підрозділі, дають можливість вивчити будову груп, у яких система усіх ненормальних підгруп має вимірність Крулля. Цьому присвячений підрозділ 2.6. Основними його результатами є
2.6.9. Теорема. Нехай G - узагальнено радикальна група. Якщо система її підгруп, що не є нормальними, має вимірність Крулля, то або кожна підгрупа G буде нормальною, або G буде майже розвязною мінімаксною групою.
2.6.10. Наслідок. Нехай G - узагальнено радикальна група. Якщо G задовольняє слабку умову мінімальності для підгруп, що не є нормальними, то або кожна підгрупа G буде нормальною, або G буде майже розвязною мінімаксною групою.
Розділ 3 “Про деякі узагальнення наближено нормальних підгруп ” присвячений будові груп, які у деякому сенсі є протилежними до груп з майже поліциклічними класами спряжених елементів. Основне поняття, що розглянуте у даному розділі - це поняття підгрупи, майже поліциклічно наближеної до нормальної. Такі підгрупи є досить широким цікавим узагальненням поняття наближено нормальних підгруп. У даному розділі розглядаються групи, що мають досить велику систему підгруп, майже поліциклічно наближених до нормальних.
Його підрозділ 3.1 розглядає властивості підгруп, майже поліциклічно наближених до нормальних та пов'язані з цим характеристики класу РС-груп.
3.1.10. Теорема. Нехай G - група. Якщо g - такий її елемент, що g РC(G), що нормальне замкнення <g>G має майже поліцикличний комутант та задовольняє умову максимальності для G-інваріантних підгруп.
3.1.14. Наслідок. Група G тоді і тільки тоді буде РС-групою, коли кожна її циклічна підгрупа є майже поліциклічно наближена до нормальної.
3.1.15. Наслідок. Група G тоді і тільки тоді буде РС-групою, коли кожна її майже поліциклічна підгрупа є майже поліциклічно наближена до нормальної.
3.1.22. Теорема. Нехай G - група. Якщо кожна її підгрупа є майже поліциклічно наближена до нормальної, то комутант усієї групи G буде майже поліциклічною підгрупою.
Підрозділ 3.2. присвячений будові деяких класів анти РС-груп. Основний його результат - це
3.2.10. Теорема. Нехай G - узагальнено радикальна анти РС-група. Тоді або група G має майже поліциклічний комутант, або G буде майже розвязною мінімаксною групою.
3.2.13. Теорема. Нехай G - локально скінченна група. Якщо G - анти РС-група, то G - група одного з наступних типів:
(1) G - група зі скінченним комутантом;
(2) G - майже квазіциклічна група.
У підрозділі 3.3. наводиться будова мінімаксних майже розвязних анти РС-груп. Вивчення анти РС-груп розпадається на дві природні ситуації:
(1) група містить у собі нескінченні періодичні підгрупи;
(2) всі періодичні підгрупи скінченні.
Перший випадок розглянуто у
3.3.9. Теорема. Нехай G - неперіодична узагальнено радикальна група, яка містить у собі нескінченну періодичну підгрупу. Група G тоді і тільки тоді буде анти РС-групою, коли G - група одного з наступних типів:
(1) G - група, всі підгрупи якої поліциклічно наближені до нормальних, зокрема, вона має майже поліциклічний комутант.
(2) G містить у собі таку нормальну в G квазіциклічну підгрупу D, що G/D - майже поліциклічна.
(3) G задовольняє наступні умови:
(3A) центр групи G містить у собі таку квазіциклічну підгрупу D, що G/D не містить у собі нескінченних періодичних підгруп;
(3B) [G/D, G/D]= К/D - майже поліциклічна підгрупа;
(3C) G/D є добутком двох нормальних підгруп A/D та L/D, де L/D - майже поліциклічна, а A/D - абелева мінімаксна група без скруту, у якої Sp(А/К) = {p}, де {p} = (D);
(3D) якщо A - PC-підгрупа групи G, то A/(A ? D) буде скінченно породженою. Зокрема, кожна підгрупа G, що не має скінченної системи породжуючих елементів, містить у собі D.
Наступний заключний етап - це розгляд випадку, коли всі періодичні підгрупи будуть скінченними. Очевидно, вивчення цих груп є можливим з точністю до скінченних нормальних підгруп, тобто ми повинні тільки описати будову фактор-групи G/P(G). Інакше кажучи, далі ми можемо вважати, що P(G) = <1>.
Нехай G - група та A - її абелева нормальна підгрупа. Будемо говорити, що А є раціонально G-незвідною, якщо для кожної її неодиничної G-інваріантної підгрупи B фактор-група A/B є періодичною.
3.3.10. Теорема. Нехай G - неперіодична майже розвязна мінімаксна група, у якої P(G) = <1>. Якщо G є анти РС-групою, то G - група одного з наступних типів:
(1) G - група, всі підгрупи якої поліциклічно наближені до нормальних, зокрема, вона має майже поліциклічний комутант.
(2) G задовольняє наступні умови:
(2A )G містить у собі таку нормальну абелеву нескінченно породжену підгрупу D без скруту, що G/D - майже поліциклічна;
(2B) якщо U - підгрупа G, що не має скінченної множини породжуючих, то U D також не має скінченної множини породжуючих.
(3) G задовольняє наступні умови:
(3A) G містить у собі таку нормальну абелеву нескінченно породжену підгрупу D без скруту, що G/D є добутком двох нормальних підгруп A/D та Q/D, де Q/D - майже поліциклічна, а A/D - абелева мінімаксна група без скруту;
(3B) якщо U - підгрупа G, що не має скінченної множини породжуючих, то U D також не має скінченної множини породжуючих.
Для деяких частинних випадків доведену вище теорему можливо деталізувати. Зокрема, має місце
3.3.11. Теорема. Нехай G - неперіодична майже розвязна мінімаксна група, у якої P(G) = <1>. Припустимо також, що (G) не має скінченної системи породжуючих елементів. Група G тоді і тільки тоді буде анти РС-групою, коли G - група одного з наступних типів:
(1) G - група, всі підгрупи якої поліциклічно наближені до нормальних, зокрема, вона має майже поліциклічний комутант.
(2) G має ряд нормальних підгруп B Z G, що Z - сервантна підгрупа центру, В - скінченно породжена підгрупа, Z/B - квазіциклічна p-група, G/Z - майже поліциклічна. Більш того, якщо U - підгрупа Z, що не має скінченної множини породжуючих, то U має в Z скінченний індекс.
(3) G має ряд нормальних підгруп B Z G, які задовольняють наступні умови:
(3A) Z - сервантна підгрупа центру групи G, В - скінченно породжена підгрупа, Z/B - квазіциклічна p-група, р - просте число;
(3B) якщо U - підгрупа G, що не має скінченної множини породжуючих, то U Z має в Z скінченний індекс;
(3C) G/Z є добутком двох нормальних підгруп A/Z та L/Z, де L/Z - майже поліциклічна, а A/Z - абелева мінімаксна група без скруту, у якої Sp(А/К) = {p}.
ВИСНОВКИ
Одна з перших задач теорії груп, яка зберігає своє значення і до цього часу, полягає у вивченні впливу на будову групи систем L(G) підгруп групи G, що мають властивість для найбільш важливих природних властивостей . У цьому напрямку важливою є задача вивчення будови груп, у яких система L(G) підгруп групи G, що мають властивість , є дуже велика чи система Lnon-(G) підгруп групи G, що не мають властивості , є дуже мала для найбільш важливих природних властивостей . У даній дисертаційній роботі розглядаються узагальнено радикальні групи, у яких системи підгруп Lnon-nn(G) та Lnon-an(G), що не є майже нормальними та наближено нормальними, мають вимірність Крулля. Зауважимо, що для інших важливих властивостей - нормальності та субнормальності, аналогічні дослідження також тільки починаються. В дисертаційній роботі отримано наступні результати:
опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких система підгруп, що не є наближено нормальними, має вимірність Крулля;
опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких система підгруп, що не є майже нормальними, має вимірність Крулля;
опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких система підгруп, що не є нормальними, має вимірність Крулля;
опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких кожна підгрупа, що не є майже поліциклічною, майже поліциклічно наближена до нормальної.
Всі результати дисертаційної роботи мають строге доведення і застосовують різноманітні теоретико-групові методи.
РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Пискун М.М. О строении групп с некоторыми системами подгрупп, близких к нормальным / М.М. Пискун // Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Сер. фіз.-мат. наук.- 2006.- Вип. 7. - С. 24 - 34.
2. Пискун М.М. О применении некоторых теоретико-кольцевых понятий для систем подгрупп группы / М.М. Пискун // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. наук.- 2007.- Вип. № 3.- С. 49 -55.
3. Пискун М.М. Про застосування деяких понять теорії кілець для вивчення впливу систем підгруп групи / М.М. Пискун // Доп. НАН України.- 2008.- №1.- С. 14 - 16.
4. Семко Н.Н., Пискун М.М. О применении некоторых понятий теории колец для изучения влияния систем подгрупп группы / Н.Н. Семко, М.М. Пискун // Укр. мат. журн.-2008.- 60, № 5.- С. 657 - 668.
5. О некоторых обобщениях условий минимальности и максимальности для некоторых систем подгрупп : праці 6-ої Міжнародної алгебраїчної конференції в Україні, 1-6 липня 2007 р., Кам'янець-Подільський. / - К.: Ін-т математики НАН України, 2007 - С. 153 - 154.
6. О строении групп, у которых семейство подгрупп, не являющихся почти нормальными, имеет размерность Крулля : труды Международной алгебраической конференции, 8-10 июля 2007 г., Гомель. / - Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины - 2007.- С. 113.
7. О строении групп с некоторыми системами подгрупп, близких к нормальным : труды Международной конференции “Алгебра и ее приложения”, 12-18 августа 2007 г., Красноярск. / - Ин-т естественных и гуманитарных наук СФУ - 2007.- С. 91.
8. Про деякі класи РС-груп : праці 12-ої Міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука, 15-17 травня 2008 р., Київ. / - К.: ТОВ «Задруга», 2008 - С. 529.
АНОТАЦІЇ
Пискун М.М. Узагальнено нормальні підгрупи та їх вплив на структуру групи. - Рукопис.
Подобные документы
Вивчення властивостей підгрупи Фиттинга. Умова існування доповнень до окремих підгруп. Визначення нильпотентної довжини розв'язної групи. Доведення ізоморфності кінцевої нерозв'язної групи з нильпотентними додаваннями до непонадрозв'язних підгруп.
дипломная работа [198,6 K], добавлен 17.01.2011Класифікація кінцевих простих неабелевих груп. Одержання факторизацій конкретних простих неабелевих груп та простих груп лієвського типу малого лієвського рангу. Ізометрії, проективні перетворення. Структурні теореми, порядки симплектичних груп.
дипломная работа [263,0 K], добавлен 26.12.2010Розгляд програми вивчення паралельності прямих у просторі. Аналіз викладення теми конструювання геометричних тіл та дослідження їхніх властивостей у шкільних підручниках геометрії. Методика навчання учнів теоретичного матеріалу та розв’язування завдань.
курсовая работа [699,1 K], добавлен 26.03.2014Основна теорема про епіморфізм груп. Означення і властивості гомоморфного та ізоморфного відображення кілець, полів. Ізоморфізм циклічних груп. Поняття кільця, поля та їх основні властивості. Вправи на гомоморфізм та ізоморфізм груп, кілець і полів.
дипломная работа [859,1 K], добавлен 19.09.2012Теорія формацій алгебраїчних систем. Основні визначення, позначення й використовувані результати. Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр. Формаційні властивості нильпотентних алгебр. Класи абелевих алгебр і їхні властивості.
дипломная работа [179,2 K], добавлен 20.01.2011Вивчення теорії наближених обчислень і чисельних методів лінійної алгебри. Опис прямих і ітераційних методів вирішення систем лінійних рівнянь, алгоритмізація і точність наближених обчислень функції. Чисельна інтеграція звичайних диференціальних рівнянь.
лекция [103,6 K], добавлен 06.02.2014Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.
отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010Вивчення існування періодичних рішень диференціальних систем і рівнянь за допомогою властивостей симетричності (парність, непарність). Основні теорії вектор-функцій, що відбивають. Побудова множини систем, парна частина загального рішення яких постійна.
курсовая работа [87,8 K], добавлен 20.01.2011Основні етапи розв'язування алгебраїчних рівнянь: аналіз задачі, пошук плану розв'язування та його здійснення; перевірка та розгляд інших способів виконання. Раціоналізація розв'язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів методом заміни змінних.
курсовая работа [229,8 K], добавлен 13.05.2013Дослідження історії виникнення та розвитку координатно-векторного методу навчання розв'язування задач. Розкриття змісту даного методу, розгляд основних формул. Розв'язання факультативних стереометричних задач з використанням координатно-векторного методу.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 10.04.2011
