Узагальнено нормальні підгрупи та їх вплив на структуру групи

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню груп, у яких система узагальнено нормальних підгрупп є досить великою у деякому сенсі. Конкретніше. Підгрупа H групи G називається майже нормальною в G, якщо множина підгруп, спряжених з H у групі G є скінченною, або, що рівносильно, нормалізатор підгрупи H має скінченний індекс у групі G. Підгрупа H групи G називається наближено нормальною в G, якщо H має скінченний індекс у своєму нормальному замкненні H^G. Ці підгрупи були введені до розгляду Б. Нейманом. Він показав, що якщо всі підгрупи групи є майже нормальними (відповідно наближено нормальними), то група має центр скінченного індексу (відповідно скінченний комутант). Вивчення впливу системи майже нормальних підгруп на будову групи проводилось багатьма авторами. Вивчення впливу системи наближено нормальних підгруп на будову групи не було таким широким, але зараз вона значно активізувалось, зокрема в роботах італійських математиків.

Таким чином, вивчення властивостей систем майже нормальних та наближено нормальних підгруп та їх впливу на структуру усієї групи є актуальною задачею, що має свою історію та своє специфічне коло питань. До цієї тематики відноситься і дана дисертаційна робота.

Нехай A - частково впорядкована множина. Для елементів a, b A визначимо замкнений інтервал з кінцями a, b як підмножину [a, b] = { x A a x b }. Визначимо тепер відхилення dev(A) частково впорядкованої множини A за наступним правилом.

Якщо порядок на A є тривіальний, то покладемо dev(A) = - .

Якщо порядок на A нетривіальний, а такий, що А задовольняє умову мінімальності, то покладемо dev(A) = 0.

Використовуючи трансфінітну індукцію для порядкового числа визначимо dev(A) = у випадку, коли dev(A) < та для кожного спадаючого ланцюжка a₁ a₂ . . . a_n . . . елементів множини A усі замкнені інтервали [a_n, a_{n + 1} ], за виключенням скінченної множини, мають відхилення менше ніж .

Скажемо тепер, що частково впорядкована множина A має відхилення, якщо знайдеться порядкове число , для якого dev(A) = .

Нехай тепер G - група та S - деяка система її підгруп. Цю множину S можна розглядати як частково впорядковану множину відносно теоретико- множинного включення. Якщо S має відхилення, то у цьому випадку будемо говорити, що система S має вимірність Крулля та будемо розуміти під цією вимірністю відхилення частково впорядкованої системи S.

У роботі отримано опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких система підгруп, що не є наближено нормальними, має вимірність Крулля; опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких система підгруп, що не є майже нормальними, має вимірність Крулля; опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких система підгруп, що не є нормальними, має вимірність Крулля; опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких кожна підгрупа, що не є майже поліциклічною, майже поліциклічно наближена до нормальної.

Ключові слова: майже нормальна підгрупа, наближено нормальна підгрупа, вимірність Крулля, локально скінченна група, радикальна група, узагальнено радикальна група, черніковська група.

АННОТАЦИЯ

Пискун М.М. Обобщенно нормальные подгруппы и их влияние на структуру группы. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2008.

Диссертационная работа посвящена исследованию групп, у которых не почти нормальные (соответственно не приближенно нормальные, ненормальные) подгруппы имеют размерность Крулля. Подгруппа H группы G называется почти нормальной в G, если множество cl_G(H) = { H^g g G } (класс всех подгрупп, сопряженных с Н) конечно. Подгруппу H группы G будем называть приближенно нормальной (в G), если H имеет конечный индекс в своем нормальном замыкании H^G.

Изучены обобщенно радикальные группы, у которых не почти нормальные (соотвественно не приближенно нормальне, ненормальные) подгруппы имеют размерность Крулля. Кроме этого, изучены обобщенно радикальные группы, у которых все подгруппы, кроме почти полициклических, почти полициклически приближены к нормальным.

Ключевые слова: почти нормальная подгруппа, приближенно нормальная подгруппа, размерность Крулля, локально конечная группа, радикальная группа, обобщенно радикальная группа, черниковская группа.

ANNOTATION

Pyskun M.M. Generalized normal subgroups and their influence on a structure of a group.- Manuscript.

Thesis for Candidate's degree in speciality 01.01.06 - algebra and number theory.- Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2008.

The dissertation is devoted to the study of groups whose family of generalized normal subgroups is enough large in some sense. More precisely. A subgroup H of a group G is called almost normal in G if a conjugacy class of H is finite, or (what is equivalent) a normalizer of H has finite index in G. A subgroup H is called nearly normal in a group G if H has finite index in its normal closure H^G. These subgroups have been introduced by B.H. Neumann. He proved that if all subgroups of a group are almost normal (respectively nearly normal), then a group has a center of finite index (respectively has finite derived subgroup). Many authors studied an influence of family of almost normal subgroups on a structure of a group. The study of influence of family of nearly normal subgroups was early not wide, but now it is more active, in particular, in the works of Italian mathematicianю

Thus the study of properties of families of almost normal and nearly normal subgroups and their influence on a structure of a group is an actual problem, which has a rich history and specific subject matter. This dissertation also abut on this themes.

Let A be a partially ordered set. For the elements a, b A, the closed interval with ends a, b is the set [a, b] = { x A a x b }. The deviation of A, denoted dev(A), is defined by the following rule.

If the order on A is trivial, then put dev(A) = - .

If the order on A is not trivial but satisfies the minimal condition, then dev(A) = 0.

Using a transfinite induction for an arbitrary ordinal define dev(A) = provided dev(A) < and, in any descending chain a₁ a₂ . . . a_n . . . of elements of A, all but finitely many of the closed intervals [a_n, a_{n + 1} ] have deviation less than .

We say that a partially ordered set A has a deviation, if there is an ordinal , such that dev(A) = .

Let G be a group and let S be certain family of its subgroups. Then S is a partially ordered set by set-theoretical inclusion. If a partially ordered set S has a deviation, then this deviation is called a Krull dimension of a family S; we will say also that a family S has a Krull dimension.

This dissertation contains the description of the groups, having an ascending series of normal subgroups with locally nilpotent or locally finite factors, in which a family of non nearly normal subgroups has a Krull dimension; the description of the groups, having an ascending series of normal subgroups with locally nilpotent or locally finite factors, in which a family of non almost normal subgroups has a Krull dimension; the description of the groups, having an ascending series of normal subgroups with locally nilpotent or locally finite factors, in which a family of non normal subgroups has a Krull dimension; the description of the groups, having an ascending series of normal subgroups with locally nilpotent or locally finite factors, in which a every non polycyclic - by - finite subgroup is almost polycyclic approximate to normal.

Key words: almost normal subgroups, nearly normal subgroups, Krull dimension, locally finite group, radical group, generalized radical group, Chernikov group.

Размещено на Allbest.ru