Компактні характеристики відображень та їх застосуваннядо інтегралу бохнера у локально опуклих просторах

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

Національна академія наук України

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України

Стонякін Федір Сергійович

УДК 517.98

КОМПАКТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВІДОБРАЖЕНЬ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯДО ІНТЕГРАЛУ БОХНЕРА У ЛОКАЛЬНО ОПУКЛИХ ПРОСТОРАХ

01.01.01 - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків - 2011



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійському національному університеті імені В.І. Вернадського Міністерства освіти і науки України, м. Сімферополь

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Орлов Ігор Володимирович, Таврійський національний університет імені В.І. Вернадського, м. Сімферополь, завідувач кафедри алгебри та функціонального аналізу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Фельдман Генадій Михайлович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, м.Харків, завідувач відділу теорії функцій;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Кадець Володимир Михайлович, Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, м. Харків, доцент кафедри теорії функцій та функціонального аналізу.

Захист відбудеться ” 25 ” травня 2011 р. о 15:00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна 47

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою 61103, м. Харків, пр. Леніна 47

Автореферат розісланий ” 19 ” квітня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Горькавий В.О



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Інтегрування відображень зі значеннями у нескінченновимірних локально опуклих просторах активно вивчається з 20-х років минулого століття. Найбільш близьким до класичного інтегралу Лебега, відомим та використовуваним поняттям інтегралу зі значеннями у нескінченновимірних просторах є сильний інтеграл (або інтеграл Бохнера). Теорія сильного інтегралу для відображень у локально опуклі простори отримала широке поширення та знайшла багаточисельні застосування у сучасному аналізі, теорії ймовірностей, теорії ігор, гармонійному аналізі та топології. Векторному інтегруванню та його застосуванням присвячено багато сучасних робіт. Серед них відмітимо роботи таких українських авторів, як Ю. М. Березанський, Г. І. Кац, М. Й. Кадець, В. М. Кадець, а також авторів з зарубіжних країн таких, як Дж. Дістель, Дж. Ул, С. Д. Чатерджи, С. Стегал, І. М. Гельфанд, А. Г. Костюченко, Н. Д. Чакраборті, Дж. Алі. У той же час, у цій теорії є багато невирішених проблем. Зокрема, як відомо, інтеграл Бохнера для відображень у локально опуклі простори (ЛОП) втрачає одну з найважливіших властивостей інтегралу Лебега: не всяке абсолютно неперервне відображення є невизначеним інтегралом Бохнера. Найбільш відомим підходом до даної проблеми є виділення класу просторів з властивістю Радона-Нікодима, у яких ця різниця відсутня. Однак клас таких просторів є недостатньо широким для багатьох конкретних задач аналізу. Зважаючи на цю обставину, природньо виникає задача опису класу абсолютно неперервних відображень, які можна подати у вигляді невизначеного інтегралу Бохнера в загальному випадку для просторів, що можуть як мати, так і не мати властивості Радона-Нікодима. Даній проблематиці присвячуються усе нові роботи.

У зв'язку з цим, суттєвий інтерес являє собою підхід до вказаної проблематики, що пропонується у дисертації та базується як на нових багатозначних опуклих компактних характеристиках відображень у ЛОП: компактний субдиференціал та компактна варіація, так і на нових скалярних характеристиках таких відображень, що пов'язані з розкладеннями ЛОП на підпростори, які породжені абсолютно опуклими компактами: сильна компактна варіація та сильна компактна абсолютна неперервність. Розвинена теорія дозволила, зокрема, отримати нові теореми типу Радона-Нікодима про представність абсолютно неперервних відображень зі значеннями у віддільних ЛОП у вигляді невизначеного інтегралу Бохнера, а також довести справедливість граничної форми властивості Радона-Нікодима для довільного простору Фреше. Отримані результати у певному сенсі вирішують класичну проблему Радона-Нікодима для інтегралу Бохнера та дозволяють як “обходити” у ряді випадків відсутність властивості Радона-Нікодима у ЛОП, так і отримувати нові результати, розширюючи коло застосувань теорії сильного інтегралу до сучасних задач аналізу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в рамках держбюджетної теми кафедри алгебри та функціонального аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського “Проблеми функціонального і нескінченновимірного аналізу” (2006 - 2010 рр., номер державної реєстрації 0106U003959); а також конкурсних тем МОН України “Операторні методи в початково-крайових, спектральних і екстремальних задачах” (2006 - 2008 рр., номер державної реєстрації 0106U001753), “Операторні методи в лінійному та нелінійному аналізі початково-крайових, спектральних, варіаційних та біфуркаційних задач математичної фізики (2009 - 2011 рр., номер державної реєстрації 0109U002432), у яких автор брав участь у якості виконавця.

Мета і задачі дослідження. Побудова загальної теорії опуклих багатозначних компактних характеристик відображень дійсного відрізка у віддільні ЛОП: компактного субдиференціала (або К-субдиференціала) як аналога поняття похідної, а також компактної варіації як аналога поняття обмеженої варіації. Доведення узагальнених теорем про скінченні прирости та теорем про середнє для компактно субдиференційовних відображень.

Одержання необхідних та достатніх умов представності відображень відрізка у ЛОП у вигляді невизначеного інтегралу Бохнера на базі К-субдиференціалу та компактної варіації.

Побудова розвиненої теорії нових скалярних характеристик відображень відрізка у ЛОП, пов'язаних з розкладеннями ЛОП на підпростори, породжені абсолютно опуклими компактами: сильної компактної варіації та сильної компактної абсолютної неперервності, а також пов'язаних з ними компактної та граничної форм властивості Радона-Нікодима. Доведення справедливості компактної та граничної форм властивості Радона-Нікодима у просторах Фреше.

Побудова аналогів скалярних компактних характеристик для векторних мір (зарядів) зі значеннями у ЛОП. Доведення справедливості універсальної компактної та граничної форми властивості Радона-Нікодима для векторних мір у просторах Фреше.

Застосування одержаних результатів до доведення нових версій теореми Березанського-Гельфанда-Костюченко про диференційовність операторних мір як зі значеннями у гільбертових просторах, так і зі значеннями у ЛОП, а також - до узагальнення теореми про скінченні прирости та теореми про середнє на випадок компактної оцінки для відображень у простори Фреше.

Об'єкт дослідження. Відображення у віддільні ЛОП.

Предмет дослідження. Компактні характеристики відображень у віддільні ЛОП.

Методи дослідження. У даній роботі застосовуються методи негладкого аналізу, теорії міри та інтегралу, функціонального аналізу та нескінченновимірного математичного аналізу.

Зокрема, методи негладкого аналізу та нескінченновимірного диференціального числення застосовуються при побудові розвиненої теорії компактних субдиференціалів відображень у ЛОП.

Методи теорії міри та інтегралу використовуються при дослідженні властивостей відображень, що мають опуклу компактну варіацію, при побудові теорії скалярних компактних характеристик ЛОП-значних відображень, а також у задачі пошуку необхідних та достатніх умов представності ЛОП-значних відображень у вигляді інтегралу Бохнера.

Методи теорії лінійних операторів застосовуються при отриманні критерію неперервності лінійних операторів на просторах невизначених інтегралів Бохнера над просторами Фреше. Методи спектральної теорії операторів використовуються при доведенні нових версій теореми Березанського-Гельфанда-Костюченко про диференційовність операторних мір.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Вперше досліджено опуклий компактний аналог поняття субдиференціалу для відображень у ЛОП. Зокрема, вперше одержані узагальнені теореми про скінченні прирости для компактно субдиференційовних відображень у ЛОП з замкненою опуклою оцінкою.

2. Вперше досліджено опуклий багатозначний компактний аналог поняття відображення обмеженої варіації для віддільних ЛОП - поняття відображення з компактною варіацією.

3. Вперше отримано аналог класичної теореми Данжуа-Юнг-Сакса про контингенцію для відображень зі значеннями у просторах Фреше.

4. Вперше на базі опуклих компактних характеристик отримано достатні та необхідні умови представності абсолютно неперервних відображень у вигляді інтегралу Бохнера.

5. Вперше розглянуто скалярні компактні характеристики відображень дійсного відрізка у ЛОП: сильну компактну варіацію та сильну компактну абсолютну неперервність, досліджено їх диференціальні властивості та зв'язок з інтегралом Бохнера.

6. Вперше запропоновано компактний аналог властивості Радона-Никодима та його топологічне підсилення - граничну форму властивості Радона-Нікодима. Доведено справедливість граничної форми властивості Радона-Нікодима у довільному просторі Фреше.

7. Вперше отримано опис інтегралу Бохнера з використанням опуклих та скалярних компактних характеристик для векторних мір (зарядів) зі значеннями у віддільних ЛОП. Отримані нові теореми типу Радона-Нікодима та доведено справедливість універсальної компактної та граничної форм властивості Радона-Нікодима для векторних мір у довільному просторі Фреше.

8. Як застосування, вперше отримано нову версію теореми Березанського-Гельфанда-Костюченко про диференційовність операторних мір зі значеннями у сепарабельних гільбертових просторах, а також теорему про диференційовність операторних мір у віддільних ЛОП.

9. Як застосування, вперше одержано узагальнені теореми про скінченні прирости для диференційовних відображень у простори Фреше з компактною опуклою оцінкою.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер. Результати дисертації доповнюють та розвивають теорію сильного інтегралу у локально опуклих просторах, лінійний та нелінійний аналіз у ЛОП. Результати досліджень можуть бути використані у різних задачах сучасної теорії векторного інтегрування та її застосувань, у задачах теорії операторів, теорії міри та у задачах математичного аналізу в ЛОП.

Особистий внесок здобувача. Результати, що опубліковані в роботах [1 - 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17 - 24], отримані здобувачем самостійно. У роботах [5, 7, 9, 11, 13, 16] проф. І. В. Орлову належить постановка задачі і загальний план дослідження, отримані результати належать здобувачу.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на Міжнародній науковій конференції, присвяченій пам'яті І.Г. Петровського “Дифференциальные уравнения и смежные вопросы” (м. Москва, 21 - 26 травня 2007 р.); Міжнародній науковій конференції студентів, аспірантів та молодих учених “Сучасні проблеми математики та її застосування у природничих науках та інформаційних технологіях (м. Харків, 23 - 25 березня 2007 р.); Міжнародній науковій школі-конференції “Тараповські читання” (м. Харків, 21 - 25 квітня 2008 р.); II Міжнародній конференції молодих вчених з диференціальних рівнянь та їх застосувань ім. Я.Б. Лопатинського, присвяченій 90-річчю НАН України (м. Донецьк, 11 - 14 листопада 2008 р.); Міжнародній науковій конференції “Современные проблемы математики, механики и их приложений”, присвяченій 70-річчю ректора МГУ академіка В.А. Садовнічего (м. Москва, 29 березня - 2 квітня 2009 р.); Міжнародній науковій конференції “Нелінійний аналіз та застосування” (м. Київ, 2 - 4 квітня 2009 р.); Українському математичному конгресі - 2009 (м. Київ, 27 - 29 серпня 2009 р.); Міжнародній конференції студентів, аспірантів та молодих вчених “Ломоносов - 2010” (м. Москва, 12 - 15 квітня 2010 р.); XVIII - XXІ Кримських осінніх математичних школах-симпозіумах КРОМШ-2007, КРОМШ-2008, КРОМШ-2009, КРОМШ-2010 (с.м.т. Ласпі, Крим, Україна, 2007 - 2010 рр.); XXXVI - XXXIX конференціях професорсько-викладацького складу, аспірантів та студентів ТНУ ім. В.І. Вернадського (м. Сімферополь, Україна, 2007 - 2010 рр.); International Workshop on Smoothness, Approximation and Function Spaces (Oppurg, Germany, October 10 - 16, 2010); семінарах кафедри алгебри та функціонального аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського (під керівництвом проф. І.В. Орлова, м. Сімферополь, 2008 - 2010 рр.); семінарі математичного відділення Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України (під керівництвом акад. Є.Я. Хруслова, м. Харків, грудень 2010 р.).

Публікації. Основні результати дисертації викладено у 24 наукових працях, з них 13 статей у фахових наукових виданнях та 11 публікацій у збірниках тез конференцій.

Структура й обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел. Повний обсяг роботи - 161 сторінка, у тому числі основного тексту 136 сторінок. Список використаної літератури налічує 171 назву.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкривається сутність і стан наукової проблеми та її значущість. Проведено огляд отриманих результатів, виділені положення, що виносяться на захист. Нумерація тверджень у дисертації й авторефераті та сама.

У розділі 1 наводиться коротка історична довідка стосовно кола питань, що мають відношення до теми роботи. Наведено огляд літератури за темою дисертації і сформульовано основні результати, що досягнуті в цьому напрямку.

Розділ 2 присвячено дослідженню запропонованого І.В. Орловим поняття компактного субдиференціалу або К-субдиференціалу для відображень дійсного відрізка у локально опуклі простори (ЛОП). Розділ 2 складається зі вступу та дев'яти підрозділів.

Перші три підрозділи містять загальну теорію К-субдиференціалів.

У підрозділі 2.1 введено поняття К-границі для спадаючих за вкладеннями систем замкнених опуклих множин у ЛОП. Надалі будемо позначати через - систему замкнених опуклих околів нуля у дійсному віддільному ЛОП .

Означення 2.1.1. Нехай - спадаюча за вкладенням при система замкнених опуклих підмножин ЛОП. Множина називається К-границею системи при : , якщо В компактна у та справедлива умова «топологічного стягування»:

У підрозділі 2.2 введено частинні К-субдиференціали відображень дійсного відрізка у ЛОП та досліджено їх загальні властивості. Далі будемо позначати через R - деякий відрізок, - замкнену опуклу оболонку множини , .

Означення 2.2.1. Нехай , . Частинним К-субдиференціалом відображення у точці , який відповідає даному , називається наступна замкнена опукла множина

Аналогічно вводяться правий та лівий частинні К-субдиференціали

У підрозділі 2.3 введено К-субдиференціали як К-границі частинних К-субдиференціалів.

Означення 2.3.1. Відображення називається компактно субдиференційовним (або К-суб-ди-фе-ренційов-ним) у точці , якщо існує К-границя частинних К-субдиференціалів: . Остання границя називається К-субдиференціалом відображення у точці . Аналогічно вводяться правий та лівий К-субдиференціали:

; .

Досліджено базові властивості К-субдиференціалів, включаючи субадитивність. Показано, що для К-субдиференційовності відображень неперервність залишається необхідною умовою.

У підрозділі 2.4 розглянуто випадок дійсних функцій : R R, вивчено арифметичні властивості компактно субдиференційовних дійсних функцій. Встановлено точний зв'язок компактного субдиференціалу дійсних функцій з похідними числами.

Теорема 2.4.1. Функція : R є К-субдиференційовною у точці тоді й тільки тоді, коли у цій точці існують та є скінченними нижнє та верхнє похідні числа та , причому .

У підрозділі 2.5 досліджено зв'язок компактної субдиференційовності з класичною диференційовністю на відрізку. Для дійсних функцій відповідь на це питання дає наступна

Теорема 2.5.1. Якщо функція : R є К-субдиференційовною на , то є диференційовною майже скрізь на .

З теореми 2.5.1 випливає, що для випадку відображень : , де , з компактної субдиференційовності скрізь на випливає звичайна диференційовність майже скрізь на . Побудовано приклад, який показує, що теорему 2.5.1 неможливо перенести на випадок відображень у нескінченновимірні ЛОП (приклад 2.5.3).

У підрозділі 2.6 одержано аналоги леми Сакса, леми Сарда та N-властивості Лузіна для компактно субдиференційовних відображень у ЛОП.

Підрозділ 2.7 присвячено узагальненим теоремам про скінченні прирости та теоремам про середнє для компактних субдиференціалів. У роботах І.В. Орлова було отримано для відображень , де - довільний віддільний ЛОП, узагальнену формулу Лагранжа

,	(1)

субдиференціал варіація нікодим фреше

в умовах неперервності на , диференційовності на , нульової слабкої міри множини (тобто для довільного неперервного лінійного функціоналу має місце рівність , де - класична міра Лебега на прямій R) та локальної оцінки , де - невід'ємна та сумовна на функція, множина В є замкненою та опуклою у . У дисертації оцінка (1) поширена на випадок К-субдиференційовних відображень.

Теорема 2.7.2. Якщо відображення є неперервним на та компактно субдиференційовним на , множина має слабку міру нуль, при , де - невід'емна та сумовна на функція, множина В є замкненою та опуклою у , тоді справедлива оцінка (1).

Отримано також і відповідну теорему про середнє.

Теорема 2.7.3. (Теорема про середнє). В умовах теореми 2.7.2 для відображення та множини :

.	(2)

Відмітимо, що у формулюваннях теорем 2.7.2 та 2.7.3 можна замінити на або . Показано також, що у формулюваннях теорем 2.7.2 та 2.7.3 можна замінити багатозначне відображення на його довільний селектор.

Отримані в підрозділі 2.7 результати являють особливий інтерес з огляду на те, що в них “виключна” множина може не бути ані скінченною, ані зліченною.

На базі результатів підрозділів 2.4 та 2.7 у підрозділі 2.8 для К-субдиференціалів дійсних функцій отримано аналоги класичних теорем Ферма, Дарбу, Ролля, Лагранжа та Коші, а також виведено необхідні та достатні умови опуклості, монотонності та екстремуму для дійсних функцій : R R у термінах компактних субдиференціалів.

Нарешті, в підрозділі 2.9 для випадку дійсних функцій : R R обговорюється зв'язок компактного субдиференціалу з деякими сучасними аналогами та узагальненнями субдиференціалу, серед яких: медіанна множина К.М. Гарга, субдиференціали Ф. Кларка, Ж.Мішеля - Ж.-П. Пено, нижній та верхній субдиференціали Фреше, субдиференціал та супердиференціал Б.М. Пшеничного, субдиференціал та супердиференціал Діні, контингентна похідна Ж.-П. Обена, узагальнені диференціальні відношення Х. Сассмана.

У розділі 3 пропонується розв'язання задачі опису множини абсолютно неперервних відображень відрізка R у віддільні ЛОП , які можна подати у вигляді невизначеного інтегралу Бохнера, як за допомогою розглянутого у попередньому розділі поняття (опуклого) компактного субдиференціалу відображень , так і за допомогою іншої характеристики для відображень відрізка R у повні віддільні ЛОП - (опуклої) компактної варіації. Розділ 3 складається зі вступу та п'яти основних підрозділів.

У підрозділі 3.1 детально досліджується нова характеристика відображень - опукла компактна варіація. Наведемо означення.

Означення 3.1.4. Нехай - дійсний ЛОП, . Поставимо у відповідність кожному розбиттю відрізка частинну опуклу варіацію (або С-варіацію) відображення : , де та .

Означення 3.1.6. Введемо (повну) опуклу варіацію (або (повну) С-варіацію) на :

Якщо множина є компактною, то будемо говорити, що має (опуклу) компактну варіацію на () .

Досліджено властивості відображень, що мають компактну варіацію. Показано, що у випадку в тому і тільки в тому випадку, коли має звичайну обмежену варіацію. Побудовано приклад відображення у гільбертів простір , яке має компактну варіацію та не має звичайної обмеженої варіації (приклад 3.1.11).

Також у підрозділі 3.1 введено клас компактно ліпшицевих (або К-ліпшицевих) відображень та розглянуто його зв'язок з класом відображень, які мають компактну варіацію.

Означення 3.1.17. Нехай - віддільний дійсний ЛОП, . Будемо говорити, що відображення є компактно ліпшицевим на (або ), якщо існує така абсолютно опукла компактна множина , що вірним є включення .

Показано, що будь-яке компактно ліпшицеве відображення має компактну варіацію. Доведено компактну субдиференційовність скрізь довільного компактно ліпшицева відображення. Побудовано приклад компактно ліпшицева відображення , яке є скрізь на компактно субдиференційовним та ніде не має звичайної похідної (приклад 3.1.20).

У підрозділі 3.2 одержано аналог відомої теореми Данжуа-Юнг-Сакса про похідні числа для випадку сепарабельнозначних відображень дійсного відрізка у простори Фреше . Під сепарабельнозначним відображенням ми розуміємо таке відображення , що , де - замкнений сепарабельний підпростір . Будемо позначати через довільний похідний “вектор” відображення у точці , тобто для деякої числової послідовності ; зокрема, будемо вважати, що , коли для деякої неперервної напівнорми у просторі .

Теорема 3.2.5. Нехай є сепарабельнозначним на . Тоді майже скрізь на виконується одна з наступних умов:

(і) існує похідний вектор ;

(іі) для деякої числової послідовності послідовність не містить підпослідовності, що збігається;

(ііі) усі похідні числа у точці є скінченними та співпадають, тобто існує похідна .

В підрозділі 3.3 отримано зручний критерій компактної субдиференційовності у термінах похідних “векторів” для відображень у простори Фреше.

Теорема 3.3.11. Нехай - простір Фреше. Відображення є компактно субдиференційовним у точці в тому і тільки в тому випадку, коли для довільної послідовності при існує скінченна гранична точка. При цьому , де - множина граничних точок усіх можливих послідовностей за умови .

З теорем 3.2.5 та 3.3.11 випливає допоміжний результат.

Теорема 3.3.12. Нехай - простір Фреше. Якщо відображення є сепарабельнозначним та компактно субдиференційовним майже скрізь на , то воно є диференційовним майже скрізь на .

За допомогою теореми 3.3.12 у підрозділі 3.4 пропонується розв'язання задачі пошуку умов представності абсолютно неперервних відображень у вигляді інтегралу Бохнера в термінах компактного субдиференціалу та компактної варіації. Зокрема, доведено теорему про представність всякого абсолютно неперервного та майже скрізь компактно субдиференційовного відображення у вигляді невизначеного інтегралу Бохнера для відображень у віддільні ЛОП. Нагадаємо, що селектором багатозначного відображення називається довільне відображення таке, що для майже всіх . Має місце

Теорема 3.4.1. Нехай відображення є абсолютно неперервним та майже скрізь компактно субдиференційовним на . Тоді довільний селектор є інтегровним за Бохнером на та справедлива рівність

Відмітимо, що у випадку, коли - ЛОП, може бути ніде не диференційовним на .

Якщо поняття К-субдиференційовності у загальному випадку призводить до достатньої умови представності відображень у вигляді інтегралу Бохнера, то поняття компактної варіації - у випадку повних ЛОП - до необхідної умови.

Теорема 3.4.6. Нехай - повний віддільний дійсний ЛОП, . Якщо є невизначеним інтегралом Бохнера, то .

У підрозділі 3.5 введено поняття -субдиференціалу відносно скінченної міри для відображень борелевської -алгебри підмножин дійсного відрізка у віддільні ЛОП та одержано аналог теореми 3.4.1 для таких відображень.

У розділі 4 введено сильні (скалярні) компактно-породжені характеристики відображень (Е - віддільний ЛОП): сильна компактна варіація () та сильна компактна абсолютна неперервність (). На базі нових понять запропоновано новий К-аналог властивості Радона-Нікодима, а також його топологічне підсилення - граничну форму властивості Радона-Нікодима. Доведено справедливість граничної форми властивості Радона-Нікодима у довільному просторі Фреше.

Підрозділ 4.1 присвячено дослідженню загальних властивостей класу . Будемо позначати через клас усіх відображень, які мають скінченну повну (сильну) варіацію (відносно усіх неперервних напівнорм у ), через - множину усіх абсолютно опуклих компактів у Е, через - банахові простори з нормами , що дорівнюють функціоналам Мінковського, породженим абсолютно опуклими компактами .

Означення 4.1.1. Будемо говорити, що відображення має сильну компактну варіацію (), якщо існує така множина , що , а також .

Показано, що клас є вужчим за , тобто властивість сильної компактної варіації є сильнішою за властивість опуклої компактної варіації (пропозиція 4.1.9). Основним результатом підрозділу 4.1 є компактна субдиференційовність майже скрізь на довільного відображення (це твердження є частиною теореми 4.1.10 у дисертації).

У підрозділі 4.2 розглянуто більш вузький клас (сильно) компактно абсолютно неперервних відображень. Через ми позначаємо клас відображень, які мають звичайну властивість (сильної) абсолютної неперервності (відносно кожної неперервної напівнорми на ).

Означення 4.2.1. Будемо говорити, що відображення є сильно компактно абсолютно неперервним (), якщо існує така множина , що , а також .

Досліджено зв'язок між класами та .

Теорема 4.2.10. Якщо , то .

З теорем 4.1.10 та 4.2.10 випливають основні результати підрозділу 4.2.

Наслідок 4.2.11. Якщо , то є К-субдиференційовним майже скрізь на .

Наслідок 4.2.12. Нехай Е - простір Фреше. Якщо , то є диференційовним майже скрізь на .

Далі, на основі результатів підрозділів 4.1 та 4.2 у підрозділі 4.3 одержано опис класу як спеціальної підмножини класу усіх невизначених інтегралів Бохнера.

Теорема 4.3.2. Нехай Е - віддільний ЛОП. Тоді в тому й тільки в тому випадку, коли: (i) є невизначеним інтегралом Бохнера: ;

(іі) існує та невід'ємна сумовна за Лебегом функція такі, що для майже всіх .

Таким чином, має місце наступне співвідношення

. (3)	(3)3

Як відомо, має властивість Радона-Нікодима (), якщо. Виникає ідея ввести К-аналог властивості Радона-Нікодима, що характеризується співпадінням у (3) перших двох множин.

Означення 4.3.3. Будемо говорити, що ЛОП має К-властивість Радона-Нікодима (), якщо довільний невизначений інтеграл Бохнера належить класу , тобто .

Як добре відомо, існує багато банахових просторів, які не мають RNP. Доведено, що властивість справедлива у довільному просторі Фреше (цей результат є одним з основних результатів як розділу 4, так і дисертації в цілому).

Теорема 4.3.10. Нехай Е - простір Фреше. Тоді для довільного інтегровного за Бохнером відображення існує такий абсолютно опуклий компакт , що відображення належить класу . Таким чином, довільний простір Фреше має властивість .

На завершення підрозділу 4.3 побудовано приклад віддільного ЛОП, який не має К-вла-стивості Радона-Нікодима (приклад 4.3.11). Також показано, що властивості та ніяк не пов'язані між собою, тобто можна побудувати приклади ЛОП, що ілюструють можливість наступних співвідношень у (3): , , , .

Підрозділ 4.4 присвячено допоміжним топологічним результатам (вони істотно використовуються нами для доведення основного результату дисертації - справедливості граничної форми ), які мають і самостійний інтерес.

По-перше, на випадок просторів Фреше узагальнено теорему при представність основного простору у вигляді (локально опуклої) індуктивної границі банахових просторів, які породжені абсолютно опуклими компактами: (теорема 4.4.1 у дисертації), яка доведена раніше для випадку гільбертових (а фактично, для банахових) просторів І.В. Орловим.

По-друге, досліджено властивості індуктивної шкали банахових просторів , породжених усіма абсолютно опуклими компактами . Введено нову властивість -компактної апроксимації для ЛОП та доведено її справедливість у довільному просторі Фреше.

Означення 4.4.5. Будемо говорити, що ЛОП Е має властивість -компактної апроксимації, якщо таке, що усі вкладення є компактними. Приймемо позначення: .

Теорема 4.4.8. Довільний простір Фреше має властивість -компактної апроксимації .

У підрозділі 4.5 встановлено основний результат роботи - справедливість граничної форми властивості Радона-Нікодима у довільному просторі Фреше Е - представність простору невизначених інтегралів Бохнера (надалі будемо завжди позначати R) у вигляді (локально опуклої) індуктивної топологічної границі як просторів, так і просторів по шкалі {}, . Наведемо означення просторів, які ми будемо використовувати у подальшому. На відміну від скалярного випадку, ми повинні розрізняти абсолютно неперервні відображення та невизначені інтеграли Бохнера.

Означення 4.5.1. Нехай Е - простір Фреше з визначальною системою напівнорм . Введемо наступні простори (векторний інтеграл всюди ми розуміємо у сенсі Бохнера).

a). () з визначальною системою напівнорм (ВСН) .

b). Для ми також введемо банахові простори з нормами ,

оскільки диференційовність випливає з диференційовності .

c). Для довільних ми також введемо банахові простори абсолютно неперервних відображень з нормами (тут, взагалі кажучи, немає диференційовності , проте є диференційовність).

Наступний результат є основним результатом як розділу 4, та і роботи в цілому.

Теорема 4.5.10. Для довільного простору Фреше Е справедливо:

.	(4)

Рівність (4) ми будемо називати граничною формою властивості Радона-Нікодима для інтегралу Бохнера. Теорема 4.5.10 означає, що гранична форма властивості Радона-Нікодима справедлива у довільному просторі Фреше Е. Таким чином, одержано вирішення (у певному сенсі) проблеми Радона-Нікодима у просторах Фреше.

На завершення розділу 4 сформульовано аналогічне твердження для випадку просторів інтегровних за Бохнером відображень (наслідок 4.5.11) та розглянуто застосування цих результатів до критеріїв неперервності операторів (), де Е - простір Фреше, а Х - довільний віддільний ЛОП: показано еквівалентність неперервності оператора А на () його неперервності на кожному з просторів (), або на (), де (наслідок 4.5.12).

У підрозділі 4.6 одержано аналог властивості (4) для просторів Соболєва .

Розділ 5 присвячено застосуванням компактних характеристик, що розглядаються у дисертації, до деяких задач теорії операторів та математичного аналізу у ЛОП.

Зокрема, розглянуто застосування до теорії диференційовності операторних мір. У теорії операторів значну роль відіграє теорема Березанського-Гельфанда-Костюченко (теорема БГК) про диференційовність операторних мір у сепарабельних гільбертових просторах. Оскільки цей результат пов'язаний з теорією інтегралу Бохнера (диференційовність операторної міри - це її представність у вигляді векторного інтегралу), то відкриваються можливості використати основні результати дисертації та отримати на їх базі нові факти, пов'язані з теорією операторних мір. Для цього необхідно, зокрема, перенести основні результати попередніх розділів (які були доведені для відображень ) на випадок скінченних векторних мір (зарядів). Надалі під скінченною векторною мірою ми розуміємо довільне -адитивне відображення , де Е - дійсний віддільний ЛОП, для довільної неперервної напівнорми , - -алгебра підмножин деякого простору S зі скінченною мірою , .

У підрозділі 5.0 наведено кілька допоміжних означень та фактів теорії Березанського-Гельфанда-Костюченко диференційовності операторних мір. Так, наведено означення понять операторної міри зі скінченним слідом, слідової міри у гільбертових просторах, сформульовано класичну теорему Ю.М. Березанського про диференційовність операторних мір у сепарабельних гільбертових просторах.

У підрозділі 5.1 отримано нову теорему про диференційовність операторних мір зі значеннями у ЛОП. Для цього введено аналоги скалярних компактних характеристик для випадку (скінченних) векторних мір, розглянуто їх властивості. Нагадаємо, що повною варіацією векторної міри відносно деякої неперервної напівнорми у ЛОП називається відображення , яке можна визначити рівністю , де супремум береться за усіма скінченними наборами такими, що . Позначимо через клас усіх векторних мір , які мають скінченну повну варіацію відносно довільної неперервної напівнорми на Е. Наведемо означення сильної компактної варіації векторної міри.

Означення 5.1.1. Будемо казати, що має (сильну) компактну варіацію на S, якщо існує такий компакт , що та . Приймемо позначення: .

Також наведемо означення сильної компактної абсолютної неперервності векторної міри відносно числової міри R. Через ми позначаємо клас векторних мір , які мають властивість звичайної абсолютної неперервності відносно числової міри , тобто таких, що (, або, ).

Означення 5.1.9. Будемо говорити, що векторна міра є сильно компактно абсолютно неперервною, якщо існує така множина , що та . Приймемо позначення: .

Основним результатом підрозділу 5.1 є теорема типу Радона-Нікодима про представність сильно компактно абсолютно неперервних відображень у вигляді інтегралу Бохнера.

Теорема 5.1.11. Якщо , то знайдеться таке інтегровне за Бохнером відображення , що вірно .

На базі теореми 5.1.11 одержано нову теорему про диференційовність операторних мір зі значеннями у ЛОП. Під операторною мірою ми розуміємо векторну міру вигляду , де - -алгебра підмножин деякої множини S, - дійсний віддільний ЛОП, - простір антилінійних неперервних функціоналів над ЛОП , який наділений деякою (віддільною) локально опуклою топологією, а - простір обмежених операторів, що діють з у , який також наділений деякою (віддільною) локально опуклою топологією.

Теорема 5.1.18. Нехай - операторна міра на -алгебрі підмножин деякої множини S, - повна варіація операторної міри на множині . Якщо , то існує операторнозначна функція , яка задана для -майже всіх і така, що має місце рівність .

У підрозділі 5.2 введено аналог властивості для векторних мір - універсальну компактну форму властивості Радона-Нікодима , доведено її справедливість у довільному просторі Фреше. На базі цього результату отримано нову версію теореми Березанського-Гельфанда-Костюченко про диференційовність операторних мір у сепарабельних гільбертових просторах. Будемо позначати через клас усіх невизначених інтегралів Бохнера відносно числової міри на S.

Означення 5.2.1. Будемо казати, що ЛОП має К-властивість Радона-Нікодима відносно простору зі скінченною мірою (), якщо справедлива рівність

	(5)

для деякого простору зі скінченною мірою (). У випадку, коли (5) є вірним для усіх просторів зі скінченною мірою (), приймемо позначення та будемо казати, що має універсальну К-властивість Радона-Нікодима.

Доведено справедливість універсальної К-властивості Радона-Нікодима для довільного простору Фреше (теорема 5.2.4). Як застосування, отримано нову версію теореми Березанського-Гельфанда-Костюченко (теорема 5.2.5) про диференційовність операторних мір у сепарабельних гільбертових просторах. Теорема 5.2.5 відрізняється від класичної теореми Ю.М. Березанського лише тим, що замість диференційовності операторної міри у просторі операторів Гільберта-Шмідта стверджується її диференційовність у деякому просторі , де - абсолютно опуклий компакт у .

Підрозділ 5.3 присвячено доведенню аналога теореми 4.5.10 для випадку векторних мір у довільному просторі Фреше.

Теорема 5.3.3. Для довільного простору Фреше Е справедлива гранична форма властивості Радона-Нікодима:, де простори , та вводяться аналогічно означенню 4.5.1.

На випадок просторів поширено критерій неперервності лінійних операторів з наслідку 4.5.12 (наслідок 5.3.5).

У підрозділі 5.4 розглянуто застосування компактних форм властивості Радона-Нікодима до узагальнення класичної теореми Лагранжа про середнє на випадок відображень у простори Фреше. Доведено нові версії теореми про скінченні прирости та теореми про середнє з компактною опуклою оцінкою як для відображень , так і для векторних мір , де Е - простір Фреше. Наведемо, наприклад, теорему про середнє для відображень . Позначимо через mes - класичну міру Лебега на прямій R. Нагадаємо, що множина має скалярну міру нуль, якщо для довільного лінійного неперервного функціоналу .

Теорема 5.4.2. Нехай Е - простір Фреше, відображення є неперервним на , диференційовним на , причому та множина має скалярну міру нуль, а множина є обмеженою. Тоді існує така абсолютно опукла множина , що

. (6)

З попереднього результату випливає два цікавих факти: по-перше, з (6) випливає, що множина поглинається деяким абсолютно опуклим компактом ; по-друге, оскільки запас замкнених множин у просторі є меншим, ніж у Е, то множина у правій частині (6) може бути незамкненою у Е.

Завершається підрозділ 5.4 кількома аналогами теореми 5.4.2 для випадків векторних мір (Е - простір Фреше) та операторних мір зі значеннями у гільбертових просторах.



ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертації на базі нових опуклих багатозначних та скалярних характеристик відображень у віддільні ЛОП запропоновано новий підхід до класичної проблеми опису абсолютно неперервних відображень, які можна подати у вигляді інтегралу Бохнера. Отримано наступні основні результати.

1. Досліджено нове у негладкому аналізі поняття компактного субдиференціалу (або К-суб-дифе-ренціалу) для відображень дійсного відрізка у віддільні ЛОП. Розглянуто загальні властивості К-субдиференціалів. Особливу увагу приділено порівнянню К-субдиференціалу з іншими сучасними типами субдиференціалів. Для К-субдиференційовних відображень отримані аналоги теореми про скінченні прирости. Для відображень у метризовні ЛОП одержано зручний критерій компактної субдиференційовності.

2. Досліджено нову опуклу компактну характеристику відображень відрізку у ЛОП - компактну варіацію. Побудована розвинена теорія відображень, що мають компактну варіацію.

3. Отримано аналог класичної теореми Данжуа-Юнг-Сакса про похідні числа для відображень дійсного відрізка у простори Фреше.

4. З використанням К-субдиференціалу та К-варіації отримано нові достатні та необхідні умови представності ЛОП-значних відображень у вигляді інтегралу Бохнера. Розглянуто аналог поняття К-субдиференціалу для відображень борелевської -алгебри підмножин дійсного відрізка у ЛОП та доведено нову теорему типу Радона-Нікодима про представність ЛОП-значних функцій множини у вигляді інтегралу Бохнера.

5. Введені та детально досліджені нові скалярні компактні характеристики відображень дійсного відрізка у віддільні ЛОП: сильна компактна варіація та сильна компактна абсолютна неперервність. Отримано теорему про представність будь-якого сильно компактно абсолютно неперервного відображення у вигляді інтегралу Бохнера. Запропоновано новий К-аналог властивості Радона-Нікодима, а також його топологічне підсилення - граничну форму властивості Радона-Нікодима. Доведено справедливість граничної форми властивості Радона-Нікодима у довільному просторі Фреше. Розглянуті застосування цього результату до деяких задач математичного аналізу та теорії лінійних операторів у ЛОП.

6. Запропоновано аналоги скалярних компактних характеристик для векторних мір (зарядів) зі значеннями у ЛОП. Отримано теорему типу Радона-Нікодима про представність будь-якої сильно компактно абсолютно неперервної векторної міри (векторного заряду) у вигляді інтегралу Бохнера. Доведено, що довільний простір Фреше має універсальну компактну та граничну форми властивості Радона-Нікодима. Розглянуто застосування цього результату до деяких задач математичного аналізу, теорії лінійних операторів та спектральної теорії операторів у ЛОП. Особливо відмітимо нову версію теореми Березанського-Гельфанда-Костюченко про диференційовність операторних мір у сепарабельних гільбертових просторах, а також теорему про диференційовність операторних мір зі значеннями у ЛОП.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Стонякин Ф.С. Компактный субдифференциал вещественных функций / Ф.С. Стонякин // Динамические системы. - 2007. - Вып. 23 - С. 99 - 112.

2. Стонякин Ф.С. Сравнение компактного субдифференциала с субдифференциалами Кларка, Фреше и обобщёнными дифференциалами Сассманна / Ф.С. Стонякин // Компьютерная математика. - 2008. - № 2. - С. 50 - 56.

3. Стонякин Ф.С. Секвенциальный подход к понятию компактного субдифференциала для отображений в метризуемые ЛВП / Ф.С. Стонякин // Учёные записки ТНУ им. В.И. Вернадского. Серия “Математика. Механика. Информатика и кибернетика”. - 2008. - Т. 21(60), № 1. - C. 41 - 53.

4. Стонякін Ф.С. Нова теорема Радона-Нікодима для інтегралу Бохнера / Ф.С. Стонякін // Динамичні системи. - 2008. - Вип. 25 - С. 125 - 134.

5. Orlov I.V. Сompact variation, compact subdifferentiability and indefinite Bochner integral / I. V. Orlov, F. S. Stonyakin // Methods of Functional Analysis and Topology. - 2009. - Vol. 15, № 1. - P. 74 - 90.

6. Стонякин Ф.С. Сравнительный анализ понятия компактного субдифференциала / Ф.С. Стонякин // Вестник Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина. Серия “Математика, прикладная математика и механика”. - 2009. - № 850. - С. 11 - 21.

7. Орлов И.В. Компактные субдифференциалы: формула конечных приращений и смежные результаты / И.В. Орлов, Ф.С. Стонякин // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2009. - т. 34. - С. 121 - 138.

8. Стонякин Ф.С. К-свойство Радона-Никодима для пространств Фреше / Ф.С. Стонякин // Учёные записки ТНУ им. В.И. Вернадского. Серия “Математика. Механика. Информатика и кибернетика”. - 2009. - Т. 22(61), № 1. - C. 102 - 113.

9. Orlov I.V. Strong compact properties of the mappings and K-property of Radon- Nikodym / I.V. Orlov, F.S. Stonyakin // Methods of Functional Analysis and Topology. - 2010. - Vol. 16, № 2. - P. 183 - 196.

10. Стонякин Ф.С. Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше и одно его приложение в теории векторного интегрирования / Ф.С. Стонякин // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. - 2010. - Т. 20. -

11. С. 168 - 176.

12. Орлов И.В. Предельная форма свойства Радона-Никодима справедлива в любом пространстве Фреше / И.В. Орлов, Ф.С. Стонякин // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2010. - Т. 37. - С. 55 - 69.

13. Стонякин Ф.С. Сильные компактные характеристики и предельная форма свойства Радона-Никодима для векторных зарядов. // Учёные записки ТНУ. Серия “Физико-математические науки”. - 2010. - Т. 23(62). - С. 131 - 149.

14. Орлов I.В. Гранична форма властивості Радона-Нікодима вірна у довільному просторі Фреше / I.В. Орлов, Ф.С. Стонякін // Доповіді НАН України. - 2010. - № 11. - С. 18 - 22.

15. Стонякин Ф.С. Теорема о среднем для компактных субдифференциалов вещественных функций / Ф.С. Стонякин // Современные проблемы математики и её приложения в естественных науках и информационных технологиях. Сборник материалов международной научной конференции. - Харьков: ХНУ, 2007. - С. 100 - 103.

16. Стонякин Ф.С. Теорема о среднем для компактных субдифференциалов вещественных функций / Ф.С. Стонякин // Таврическая научная конференция студентов и молодых специалистов по информатике и математике. Сборник тезисов. - Симферополь: КНЦ НАНУ, 2007. - С. 49 - 51.

17. Орлов И.В. К-субдифференциалы и К-теорема о среднем для отображений в локально выпуклые пространства / И.В. Орлов, Ф.С. Стонякин // Международная конференция, посвящённая памяти И.Г. Петровского “Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”. Тезисы докладов. - М.: МГУ, 2007. - С. 220 - 221.

18. Стонякин Ф.С. Сравнение компактного субдифференциала с субдифференциалами Кларка и Мишеля-Пено / Ф.С. Стонякин // Таврическая научная конференция студентов и молодых специалистов по информатике и математике. Сборник тезисов. - Симферополь: КНЦ НАНУ, 2008. - С. 109 - 110.

19. Стонякин Ф.С. Формула конечных приращений для компактно субдифференцируемых отображений с незамкнутой выпуклой оценкой / Ф.С. Стонякин // Тараповские чтения. Сборник материалов международной научной школы-конференции. - Харьков: ХНУ, 2008. - С. 181 - 185.

20. Stonyakin F.S. New Radon-Nikodym type theorem for the Bochner integral / F. S. Stonyakin // Second International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Applications dedicated to Ya. B. Lopatinckii. Book of Abstracts. - Donetsk: DonNU, 2008. - P. 31.

21. Стонякин Ф.С. К-субдифференцируемость и неопределённый интеграл Бохнера / Ф.С. Стонякин // Международная научная конференция “Современные проблемы математики, механики и их приложений”, посвящённая 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. Тезисы докладов. - М.: МГУ, 2009. - С. 51.

22. Stonyakin F.S. Analog of Denjoy-Young-Saks theorem about contingency for mappings into Frechet spaces and one its application in theory of vector integration / F. S. Stonyakin // The International conference “Nonlinear Analysis and applications”. Book of Abstracts. - Kiev, 2009. - P.35.

23. 22.Стонякин Ф.С. Компактные субдифференциалы отображений В ЛВП и их связь с интегралом Бохнера / Ф.С. Стонякин // Таврическая научная конференция студентов и молодых специалистов по информатике и математике. Сборник тезисов. - Симферополь: КНЦ НАНУ, 2009. - С. 57 - 58.

24. Стонякин Ф.С. Компактный субдифференциал отображений в локально выпуклые пространства: обобщённая теорема о среднем и связь с интегралом Бохнера [Электронный ресурс] / Ф.С. Стонякин // Украинский математический конгресс. - 2009. - С. 1 - 3. - Режим доступа к ресурсу: http://www.imath.kiev.ua/~congress2009/Abstracts/Stonyakin.pdf.

25. Stonyakin F.S. Compact subdifferentials and their applications to generalized Radon-Nikodym property in Frechet spaces [Електронний ресурс] / F.S. Stonyakin // International Workshop on Smoothness, Approximation and Function Spaces. Oppurg, Germany, October 10 - 16, 2010. - P.1. - Режим доступу до ресурсу: http://www.safs2010.uni-ena.de/Abstracts/Stonyackin.pdf.



АНОТАЦІЯ

Стонякін Ф.С. Компактні характеристики відображень та їх застосування до інтегралу Бохнера у локально опуклих просторах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2011.

У дисертації на базі нових компактних характеристик відображень зі значеннями у локально опуклих просторах (ЛОП) вирішено проблему Радона-Нікодима опису абсолютно неперервних відображень, які можна подати у вигляді інтегралу Бохнера.

Досліджено нові опуклі компактні характеристики відображень дійсного відрізка у ЛОП: компактний субдиференціал та компактна варіація. Побудовано розвинену теорію компактно субдиференційовних відображень та відображень, що мають компактну варіацію. Доведено достатню умову представності ЛОП-значних відображень у вигляді інтегралу Бохнера у термінах компактних субдиференціалів, та необхідну умову - у термінах компактної варіації.

Введено нові скалярні характеристики відображень дійсного відрізка у ЛОП, які пов'язані з розкладеннями ЛОП на підпростори, що породжені абсолютно опуклими компактами: сильної компактної варіації та сильної компактної абсолютної неперервності. На базі цих характеристик доведено справедливість компактної та граничної форм властивості Радона-Нікодима у довільному просторі Фреше.

Досліджено нові скалярні характеристики векторних зарядів (мір) зі значеннями у ЛОП: сильна компактна варіація, сильна компактна абсолютна неперервність, універсальна компактна та гранична форми властивості Радона-Нікодима. Доведено, що довільний простір Фреше має універсальну компактну та граничну форми властивості Радона-Нікодима.

Як застосування, отримано нові версії теореми Березанського-Гельфанда-Костюченко про диференційовність операторних мір зі значеннями у сепарабельних гільбертових просторах, а також - у довільних ЛОП. Доведено аналоги теореми про скінченні прирости та теореми про середнє з компактною опуклою оцінкою для диференційовних відображень у простори Фреше.

Ключові слова: локально опуклий простір, простір Фреше, інтеграл Бохнера, властивість Радона-Нікодима, компактний субдиференціал, компактна варіація, сильна компактна абсолютна неперервність, гранична форма властивості Радона-Нікодима, операторна міра, теорема Березанського-Гельфанда-Костюченко.



АННОТАЦИЯ

Стонякин Ф.С. Компактные характеристики отображений и их приложения к интегралу Бохнера в локально выпуклых пространствах. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков, 2011.

В диссертации на базе новых компактных характеристик отображений со значениями в локально выпуклых пространствах (ЛВП) решена проблема Радона-Никодима описания абсолютно непрерывных отображений, представимых в виде интеграла Бохнера.

Исследованы новые выпуклые многозначные компактные характеристики отображений отрезка в ЛВП: компактный субдифференциал (или К-субдифференциал) и компактная вариация. Рассмотрены общие свойства К-субдифференциалов. Для компактно субдифференцируемых отображений доказаны аналоги леммы Сакса, Сарда и N-свойства Лузина, а также некоторые обобщения теоремы о конечных приращениях и теоремы о среднем. В случае вещественных функций : R R обсуждается связь компактного субдифференциала с некоторыми современными аналогами и обобщениями субдифференциала, среди которых: медианное множество К.М. Гарга, субдифференциалы Ф.Кларка, Ж.Мишеля - Ж.-П. Пено, нижний и верхний субдифференциалы Фреше, субдифференциал и супердифференциал Б.Н. Пшеничного.

В общих чертах построена развитая теория отображений, имеющих компактную вариацию. Исследована связь компактной и обычной ограниченной вариации. Выделен специальный класс всюду компактно субдифференцируемых отображений, имеющих компактную вариацию - класс компактно липшицевых отображений. Показано, что компактно липшицевы отображения в ЛВП могут быть нигде не дифференцируемыми в обычном смысле.

Получен аналог классической теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о производных числах для отображений отрезка в пространства Фреше. Для отображений в метризуемые ЛВП получено удобное секвенциальное определение компактного субдифференциала. Доказана дифференцируемость почти всюду всякого сепарабельнозначного компактно субдифференцируемого почти всюду отображения вещественного отрезка в пространства Фреше.

С использованием компактного субдифференциала и компактной вариации получены новые достаточные и необходимые условия представимости ЛВП-значных отображений в виде интеграла Бохнера. Показано, что компактная субдифференцируемость приводит к достаточному условию представимости отображений в виде интеграла Бохнера, а компактная вариация - к необходимому условию. Введён аналог понятия К-субдифференциала для отображений борелевской -алгебры подмножеств вещественного отрезка в ЛВП и доказана новая теорема типа Радона-Никодима о представимости ЛВП-значных функций множества в виде интеграла Бохнера.