Компактні характеристики відображень та їх застосуваннядо інтегралу бохнера у локально опуклих просторах

Введены и подробно исследованы новые скалярные компактные характеристики отображений вещественного отрезка в отделимые ЛВП, связанные с разложениями ЛВП на подпространства, порождённые абсолютно выпуклыми компактами: сильная компактная вариация и сильная компактная абсолютная непрерывность. В частности, доказана компактная субдифференцируемость таких отображений почти всюду для ЛВП-значных отображений и обычная дифференцируемость почти всюду для отображений в пространства Фреше. Получена теорема о представимости произвольного сильно компактно абсолютно непрерывного отображения в виде интеграла Бохнера. Выделен класс ЛВП, обладающих компактным аналогом свойства Радона-Никодима (), которые характеризуются совпадением классов сильно компактно абсолютно непрерывных отображений и неопределённых интегралов Бохнера. Доказана справедливость в любом пространстве Фреше. Построен пример ЛВП, не обладающего.

Детально исследованы топологические свойства шкалы {} банаховых пространств, порождённых всеми абсолютно выпуклыми компактами в пространстве Фреше E. В частности, установлено новое свойство -компактной аппроксимации в произвольном пространстве Фреше. На базе полученных результатов установлен основной результат работы - справедливость топологического усиления - предельной формы свойства Радона-Никодима - в произвольном пространстве Фреше.

Введены аналоги скалярных компактных характеристик для векторных мер (зарядов) со значениями в ЛВП. Получена теорема типа Радона-Никодима о представимости сильно компактно абсолютно непрерывной векторной меры (заряда) в виде интеграла Бохнера. Доказано, что любое пространство Фреше обладает универсальной компактной и предельной формами свойства Радона-Никодима. Рассмотрены приложения полученных результатов к некоторым задачам математического анализа, теории линейных операторов и спектральной теории операторов в ЛВП: доказана новая версия теоремы Березанского-Гельфанда-Костюченко о дифференцируемости операторных мер в сепарабельных гильбертовых пространствах, а также теорема о дифференцируемости операторных мер со значениями в произвольных отделимых ЛВП. Получены обобщения теоремы о конечных приращениях и теоремы о среднем с компактной выпуклой оценкой для отображений в пространства Фреше.

Ключевые слова: локально выпуклое пространство, пространство Фреше, интеграл Бохнера, свойство Радона-Никодима, компактный субдифференциал, компактная вариация, сильная компактная абсолютная непрерывность, предельная форма свойства Радона-Никодима, операторная мера, теорема Березанского-Гельфанда-Костюченко.

ABSTRACT

Stonyakin F.S. Compact properties for mappings and their applications to Bochner integral in locally convex spaces. - Manuscript.

Thesis for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - B.I. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering, Kharkiv, 2011.

In the thesis the Radon-Nikodym problem of description of absolutely continuous mappings representable as Bochner integral is solved on the base of new compact properties for mappings acting from a real segment into locally convex spaces (LCS).

The new convex compact properties for mappings acting from a real segment into LCS are investigated, namely the compact subdifferential and the compact variation. The theory of compact subdifferentiable mappings and the theory of mappings having compact variation is constructed.The sufficient condition of representability for LCS-valued mappings as Bochner integrals is obtained in terms of compact subdifferentials. The necessary condition of representability for LCS-valued mappings as Bochner integrals is proved in terms of compact variation.

The new scalar compact properties for mappings acting from a real segment into LCS, namely, the strong compact variation and the strong compact absolute continuity are introduced and studied. On the base of these properties validity of compact and limit forms of the Radon-Nikodym property is proved.

The new properties for vector measures taking values in locally convex spaces (LCS), namely the strong compact variation, the strong compact absolute continuity, the universal compact and limit forms of the Radon-Nikodym property are investigated. It is proved that each Frechet space possesses the universal compact and limit form of the Radon-Nikodym property for vector measures.

As application a new version of the Berezansky-Gelfand-Kostyuchenko theorem about differentiability of operator measures for separable Hilbert spaces and a new theorem about differentiability of operator measures taking values in LCS is obtained. The analogues of finite increments theorem and mean-value theorem with the compact convex estimation are proved.

Keywords: locally convex space, Frechet space, Bochner integral, Radon-Nikodym property, compact subdifferential, compact variation, strong compact absolute continuity, limit form of the Radon-Nikodym property, operator measure, Berezansky-Gelfand-Kostyuchenko theorem.

Размещено на Allbest.ru