Миф, математика и филология

(лекции о математике для филологов)

С.В. Жак,

Л.И. Сантылова

Ростов н/Д

2008 г.

Содержание

Вместо предисловия

1. Что такое математика, кому и зачем она нужна?

2. Язык математики и его основные элементы

3. Функции и операции над ними

4. Интегральное исчисление и его приложения

5. Множества, мера и их применения

6. Комбинаторика и теория вероятностей

7. Непрерывные случайные величины

8. Математическая статистика и прикладные задачи

9. Проблемы и перспективы современной прикладной математики

10. Математические модели и гуманитарные науки

Литература

Примерные темы рефератов

Приложение

Вместо предисловия

Проблема синтеза гуманитарных и

естественных наук - одна из наиболее интересных и актуальных проблем нашего времени.

Д.С. Лихачёв

Расшифровка названий наук - Два способа мышления, два типа познания

Слово в физиологии, литературе, науке - Связи математики и филологии

Цели и задачи математизации филологов - Структура курса и зачёта

Математизация и гуманитаризация

Прежде всего нужно подчеркнуть, что предлагаемое пособие - не лекции ПО математике (с последовательным изложением отдельных разделов и выработкой навыков использования математического аппарата), а лекции О математике, дающие общее представление о ней, её связях с филологией, путях развития знания (в разных формах).

Поскольку монография (или учебное пособие) рассчитана на специалистов (настоящих и будущих) в области литературы и языка («литераторов» и «язычников»), прежде всего, разберёмся со смыслом самих названий наук - филология и математика.

Все мы давно привыкли, что окончание «логия» означает «наука»:

СОЦИОЛОГИЯ - наука о социуме, АРХЕОЛОГИЯ - наука о древности,

ГЕОЛОГИЯ - наука о Земле, ПАРАЗИТОЛОГИЯ - наука о паразитах,…

Как в эту схему укладывается ФИЛОЛОГИЯ? Наука о любви? Отнюдь нет!

Дело в том, что греческое слово ЛОГОС () имеет два значения - ЗНАНИЕ и СЛОВО. Если в приведенных названиях наук (и других) используется первое значение (знание, наука) то в слове ФИЛОЛОГИЯ - используется второе и само название науки означает «любовь к слову».

Двузначность этого греческого термина ЛОГОС очень важна и симптоматична, она связана с проблемой «Возможно ли познание без слова?», активно обсуждавшейся в 50-е годы ХХ-го века, но восходящей к глубокой древности, привлекавшей внимание философов и поэтов.

«Главный рычаг образования душ есть, без сомнения, слово. Без него нельзя себе представить ни происхождения отдельной личности, ни развития человеческого рода» (П.Я.Чаадаев) Кроме приведенного в конце пособия списка основной и дополнительной литературы «мелкие» ссылки в тексте будут использоваться как внутритекстовые или подстраничные сноски..

«…каждый интеллигентный человек должен быть хотя бы немного филологом», «ибо слово стоит в начале культуры и завершает её, выражает её» (Д.С. Лихачёв).

Теперь о МАТЕМАТИКЕ. Мы все так привыкли, что это слово объединяет много знакомых (арифметика, геометрия и т.д.) и мало знакомых наук (топология, вариационное исчисление и т.д.), что не задумываемся о происхождении этого слова. А если заглянуть в словарь, то с удивлением выясним, что mathema означает опять же познание, наука. И это вполне объяснимо, так как в Древней Греции точное знание, познание, прежде всего, было связано с количественными оценками, с математикой.

Таким образом, даже в названии этих, вроде бы противоположных наук заложено их единство и общая цель - познание! Это отражает и более общее положение: познание едино, его разбиение на отдельные специализированные науки удобно для развития исследований в узких областях, в отдельных направлениях, но вредит образованию («Специалист подобен флюсу, полнота его одностороння»», К. Прутков).

Роль слова тесно связана и с физиологией: введённое академиком И.П. Павловым понятие второй сигнальной системы это поясняет. Человек реагирует не только на реальный объект, но и на его название, слово, этот объект заменяющее. Математика пошла дальше и фактически непрерывно строит следующие уровни кодов, слов, заменяющих различные объекты (связь которых с реальными объектами отдалённа и многоступенчата).

Вопросы связи математики и филологии (и шире - различных искусств) привлекали внимание многих учёных и писателей. Достаточно назвать «Доски судьбы» Велемира Хлебникова, исследования ритмики Андрея Белого, изучение перспективы икон и фресок математиком Б.В. Раушенбергом, наконец, введение «лингвистических переменных» в современную математику. Эти вопросы приобрели особую актуальность в связи с распространением компьютеров, новым пониманием грамотности и культурности: в Древней Греции человек считался некультурным, если он «не умел читать и плавать», теперь к этому необходимо добавить «не умеет работать с компьютером». В результате - введение в учебные планы подготовки филологов курса математики, вызвавшее оживлённые споры, в том числе в «Литературной газете».

«Мы не можем поместить точные и естественные науки по одну сторону, а социальные и гуманитарные - по другую. Научен по своему духу только подход точных и естественных наук, на который должны стремиться опираться гуманитарные науки, когда они изучают человека как часть этого мира»

К. Леви-Строс.

В № 38 «Литературной газеты» была помещена интересная и острая статья Валентина Коровина «Окно в Болонью», содержащая возмущение по поводу того, что «…радетели стандарта ввели для филологов математику (?) и естественные науки (?), которые будущими учителями русского языка и литературы преподаваться никогда не будут». Обсудим это положение.

Во-первых, не все филологи обучаются для преподавания в школе.

Во-вторых, не все предметы, с которыми знакомят при обучении, предназначены для непосредственного изложения (преподавания) в будущей деятельности.

В-третьих, всё зависит от того, какова цель введения математики для филологов и как следует преподавать этот курс. Сопровождение этого курса со стороны министерства кратким содержанием - перечнем основных понятий и терминов математики и выделение на этот курс 18 лекционных часов (!) действительно обрекает это нововведение на пустую трату времени студентами и преподавателями и усиление неприятия математики со стороны обучаемых будущих филологов.

Стандартное мышление и слепое копирование болонского опыта вредно не только при введении математики, но и во многих других рекомендациях по переходу на «новую систему образования». Это относится и к «Учебно-методическим комплексам» (практически не нужным ни преподавателям, ни студентам, а предназначенным лишь для удобства проверяющих чиновников), и к рейтинговым оценкам, спорность (если не абсурдность) которых доказывается в теории принятия решений по многим критериям (ибо никакими коэффициентами не привести к обоснованному сравнению успехи в науке и, например, в физкультуре), и к фактическому упразднению соискательства, - теперь самостоятельные исследования молодых учёных вне аспирантуры практически невозможны!

Но совершенно другой смысл приобретает сам факт введения в обучение филологов некоторого знакомства с современными методами исследований, широко использующими математический аппарат и связанные с ним применения компьютеров.

Это определяется растущей «агрессией» математики, активно вторгающейся в «святая святых» филологов - в оценки достоверности различных гипотез и версий, в оценки авторства различных текстов, в проблемы исторического изменения различных языков, в криптографию и «черновой» перевод с одного языка на другой и т.д. Много лет в Таганроге проводятся международные семинары, симпозиумы и конференции, посвящённые применению математических методов в эстетике, искусствоведении и т.п.

Но есть и другая сторона проблемы: в работах Ю.А. Шрейдера неопровержимо доказана обратная связь - влияние гуманитарных наук на мировоззрение, менталитет любых исследователей, в том числе и математиков. Вряд ли можно считать культурным человека, не знакомого ни с именами, ни с творчеством Баха и Толстого, Кафки и Рильке. Правда, встречаются кандидаты наук - филологи, совершенно не знакомые с именами Надсона, Самойлова и т.п. Но это всё же исключения!

И в то же время считается вполне нормальным, когда гуманитарии слыхом не слыхали об именах и смысле работ Декарта и Коши, Ковалевской и Пуанкаре, Дедекинда и сообщества «Бурбаки»! Известно отношение Эйнштейна к творчеству Достоевского, его влияния на собственное творчество. Но не известны случаи, когда крупные учёные-филологи отмечали бы положительное влияние на свои исследования работ великих математиков! Хотя такое взаимовлияние двух основных способов познания мира, образного и аналитического, рационального, несомненно, имеет место.

Вот на преодоление этого противоречия, диссонанса и направлено введение «курса математики» в образование филологов.

Конечно, за 18 часов никак нельзя не только научить студентов основным понятиям и методам современной математики, и такие попытки «сверхсокращённого» изложения ничего не дают. Но можно (и нужно) дать им методологические основы и исторический обзор развития математики, показать её современные возможности (в уже упомянутых «гуманитарных» областях применения), подготовить их к восприятию таких подходов, объединить анализ «непостижимой эффективности математики» (Вигнер) и «великой силы искусства» (Райкин).

При этом очень важно, чтобы при необходимости филологи могли разговаривать с математиками если не на одном языке, то на близких языках, понятных обоим собеседникам, грамотно поставить перед математиками задачи.

В течение ряда лет ректор РГУ Ю.А. Жданов поощрял внедрение в образование «естественников» гуманитарной компоненты. Сейчас, видимо, настало время обратного процесса - внедрение в образование гуманитариев естественно - научной (в первую очередь математической) компоненты. Конечно, не за счёт ущемления специальных дисциплин, - но при столь минимальных, гомеопатических дозах, это, разумеется, филологическим дисциплинам не грозит.

Естественно, это вызвало определённое противодействие, прежде всего связанное с тем, что преподавание традиционного курса математики (даже в урезанном виде) мало эффективно и не достигает своей цели. Как можно и нужно преподавать математику филологам будет обсуждаться далее, но необходимо сразу поставить следующие вопросы:

- Чего может ждать филология от математики?

- Чем может помочь филология математике?

Ответы на первый вопрос более или менее очевидны и всё более широко распространяются: дать инструменты обоснования различных исследовательских гипотез, количественной оценки их достоверности, формализации структур в различных разделах математики. Этим целям служат различные частотные исследования, структурная лингвистика, методы кодирования и дешифрации текстов, анализ происхождения и связи этносов на основе сравнения языков, оценка авторства текстов с помощью кластерного анализа и распознавания образов.

И ещё один яркий пример - в дискуссии о русском и украинском языке (ЛГ 2007-26, Андрей Воронцов): «поскольку оригинал (Т. Шевченко) на 70 процентов совпадает с русским переводом, и на 60 процентов не совпадает с обратным его переводом на современный украинский язык, то данное четверостишие написано на малороссийском диалекте (наречии) русского языка».

Ответы на второй вопрос менее очевидны, хотя опыт последних десятилетий содержит довольно много примеров такого «обратного влияния»: закономерности создания и анализа специальных искусственных языков на опыте анализа языков естественных, создание словаря и грамматики в различных математических «исчислениях», закономерности использования уже упомянутых лингвистических переменных и т.д.

Здесь тоже можно привести характерный пример. Известно, что в естественных языках имеется значительная степень избыточности, и одно и тоже явление можно описать по-разному (это и определяет возможности художественной литературы). В языках формализованных, предназначенных для реализации различных алгоритмов, расчётных и информационных, некоторое разнообразие также необходимо, но оно должно избегать двусмысленности, искажения смысла. Известен пример «беличьей лапки», обеспечивавшей осуществление трёх желаний, но вместо получения миллионного выигрыша реализовавшей смерть сына, появление призрака и, наконец, избавление от него.

Кроме того, существуют методологические проблемы, изучение которых важно как для филологического, так и для математического образования. Это общие закономерности развития любой науки, внутренние пружины, вызывающие её обобщения, разветвления, специализацию. И в этой области равно эффективно приведение примеров и из математики, и из филологии - в силу уже отмеченного единства процесса познания.

«Учебник или пособие должны учить - анализировать, осмысливать, интерпретировать, оценивать и ценить, сопоставлять. И - любить, любить, любить». «Следует радоваться разнообразию современных учебников и учебных пособий » (Л. Полякова, ЛГ 2008-16)

При этом поэзия, как наиболее концентрированная и запоминающаяся форма изложения результатов, играет особую роль (к тому же нередко окрашенную юмором):

математика интегральный гуманитарный

Все правила неправильны,

Законы незаконны,

Пока в стихи не вправлены

И в рифмы не закованы (Леонид Мартынов).

1. Что такое математика, кому и зачем она нужна?

Математика подобна искусству потому, что математика, как и искусство, - это особый способ познания.

- Определения математики - Культура, нравственность, математика

- Математические модели в гуманитарных науках - История развития и закономерности науки

Испокон веков противопоставлялись холодная, рассудочная математика и яркие, образные гуманитарные науки, сухие математики и яркие поэты, артисты, художники. Такие представления нашли отражение в известных стихах:

А ему хорошо и не нудно,

Что живёт он, сух и покорен!

Зато он может ежесекундно

Извлекать квадратный корень! (В. Маяковский)

Юноша бледный со взором горящим,

Ныне даю я тебе три завета.

Первый прими - не живи настоящим,

Только грядущее область поэта…(В. Брюсов )

Наступило время, когда такое противопоставление не вполне корректно. И дело не только в том, что любопытные и агрессивные математики активно вторгаются в «святая святых» гуманитариев - анализируют стихи и прозу, корректируют художественные фотографии, расшифровывают древние письмена, пытаются разобраться в причинах и факторах исторических событий (от Пелопоннесских войн до перспектив атомной войны). И не в том, что теперь почти невозможно гуманитариям обойтись без достижений математиков - без использования компьютеров с автоматическим анализом и коррекцией текста, без электронных копий картин и симфоний.

Дело в гораздо более глубоких связях, очень чётко отмеченных математиком и богословом Ю.А. Шрейдером С.Львов, Ю.Шрейдер Неполное, но целостное. Знание - сила,1983, № 2.

«Точные» науки совсем не так точны, как кажется, и как нередко заявляют их представители - в них всегда присутствуют многие ограничения, условия, выделяющие объект исследования из действительности и требующие со временем снятия хотя бы части условий, уточнения, приближения к действительности.

С другой стороны, гуманитарные науки во многом определяют менталитет, систему мировоззрения исследователя во всех науках, в том числе и «точных». Кроме того, эти науки вынуждены «идти на выучку» друг к другу. Математики, создавая языки общения с компьютерами, обязаны изучать естественные языки, гуманитарии всё чаще вынуждены для обоснования своих положений пользоваться математическими методами вместо аргументов типа «мне нравится…» или « я полагаю…».

Возникла необходимость включения в учебные планы подготовки гуманитариев хотя бы поверхностного курса математики (и связанной с ней информатики). Математическая неграмотность приводит и к стратегическим ошибкам в политике и экономике, и просто к недопустимой неграмотности в языке журналистов и писателей. Сплошь да рядом встречаются в статьях ошибки в расчёте процентов, а в одной из статей было написано, что глубоководный аппарат рассчитан на погружение до 700 км (в то время как максимальная глубина мирового океана 10-11 км) Два примера только одного дня, 5 августа вещания ТВ: 1) «Средний возраст американок -26.4 года, у китаянок - на несколько порядков (?!) меньше»; 2) «Астрономы обнаружили звёзды, которые моложе не только Галактики, но всей Вселенной (?!)».

Современная культура едина, она в равной степени включает знания гуманитарных и естественных наук (шутливое противопоставление им «неестественных» наук, разумеется, шутка). И если вряд ли можно считать культурным человека, не имеющего представления о Пушкине, Толстом, Чайковском и Ренуаре, то также трудно считать культурным человека, ничего не знающего об Архимеде, Декарте, Эйнштейне.

Взаимоотношения математики и гуманитарных наук, прежде всего - искусства, всегда являлись предметом размышлений поэтов и мыслителей. Примером тому являются работы А. Белого, В. Хлебникова, Н. Гумилёва и современных поэтов:

Между поэтом и учёным

Лежит извечно полоса:

Один пришёл открыть законы,

Другой - на мир открыть глаза.

(А. Марков)

Интересно сопоставить два «слогана», распространённых выражений: математики говорят «Бог создал 0 и 1, остальное - дело рук человеческих» «Послушайте, что смертным сделал я…

Число им изобрёл и буквы научил соединять» - Прометей (Эсхил) (то есть из первых простейших абстракций математики вывели огромное множество достаточно тонких законов мира), а на телевидении в последнее время введена рубрика «Как искусство создало мир».

Существенно и то, что многие гуманитарии интересовались возможностью применения математики, а многие учёные, специалисты естественных наук пытались изучать проблемы искусства. Опять же примером являются работы А. Колмогорова, Ю. Шрейдера, Б. Раушенбаха.

«Все успехи русской науки (во всех областях!) были «спровоцированы» высоким уровнем наук гуманитарных» (В.С. Непомнящий, ЛГ 2004-18)

Известный «компьютерщик» В. Губайловский в последние годы регулярно публикует статьи в журнале «Новый мир» и даже ведёт там отдельную рубрику. Название одной из его статей звучит характерно: «Геометрия Достоевского». А в другой статье, изучая процессы изменения языка, он отмечает: «Учёным удалось построить математическую модель распространения новых слов»! Один из самых популярных писателей последнего времени Ю. Давыдов отмечает: «Ошибки математические, будучи и логическими, свидетельствуют об изъянах нравственных».

Определений математики существует множество. От философского определения Ф. Энгельса (существенно устаревшего и по объектам, и по методам исследования) до анекдотических «определений Шерлока Холмса» или фразы «Математика это то, чем занимаются математики». Одно из наиболее корректных определений таково:

«Математика - это методы построения формальных моделей различных процессов и анализа этих формальных моделей».

Разумеется, при этом возможны такие упрощения, которые выхолащивают смысл изучаемых явлений и процессов, и обнаружение таких фактов требует пересмотра моделей (а не реплики «Тем хуже для фактов»). Яркие примеры несоответствия формальной логики действиям реальных людей неоднократно приводились Д.А. Поспеловым. Как всякая формальная система, математика имеет и порождает свои «внутренние» проблемы, которые столь же важны для развития математики, как и поставляемые ей «внешние» задачи и проблемы. В этом отношении у математики много общего с гносеологией, наукой о познании, а формализованность моделей позволяет «в чистом виде» изучать закономерности познания.

«Потребители» математики (прежде всего физики) давно и неоднократно отмечали «непостижимую эффективность математики» [28], обусловленную прежде всего общностью и абстрактностью моделей изучаемых объектов. Так, например, законы развития заболеваний и эпидемий формально совпадают с законами распространения публикаций, посвящённых различным проблемам, и приводят к одним и тем же закономерностям (законы Ципфа).

Естественно, как и в гуманитарных науках, нас многому учит история развития математических знаний, подходов и методов.

«К несчастью мир сейчас не таков, каким был раньше.

Всякий хочет писать книги, а дети не слушаются родителей.»

(папирус Присса - 6 тысяч лет тому назад).

Огромна заслуга арабской культуры - в создании позиционной системы счисления (в ней до сих пор легко найти их следы - в чтении чисел «справа налево»), во введении символьных обозначений, в многих терминах от алгебры до алгоритма.

Замечательны работы древнегреческих учёных - от Евклида (до недавних времён преподавание геометрии во многих странах шло непосредственно по его «Началам…»), Пифагора, Диофанта до Архимеда (по существу заложившего почву для исчисления бесконечно малых величин).

В последнее время имеются попытки формального рассмотрения проблем филологии. Примером могут служить «теория мифа» и классификация сюжетов сказок и преданий, предпринятая Леви-Строссом, а также попытки классификации методов рекламы в СМИ и «иммунитета» к ним, опубликованные в Литературной газете (2006, № 29) Г. Дубовым.

Получивший в последние годы в искусстве «метод остранения» по существу очень близок к широко используемому в математике методу «доказательства от противного».

Если исследователь хочет получить (в любой области исследования) надёжные результаты, позволяющие дать количественные оценки своим выводам, ему необходимо построить формальную (математическую) модель изучаемого процесса и явления и исследовать его математическими методами.

«Если, следя за каким-то явлением, наблюдатели увидят одно и то же, тогда это наука. Если увидят разное - не наука, а поэзия, еще что-нибудь, что угодно.» Б.В. Раушенбах.

2. Язык математики и его основные элементы

«Математика больше похожа на разновидность общего языка, приспособленного для выражения соотношений, которые либо невозможно, либо сложно излагать словами.»

Нильс Бор

«А есть ли что на свете лучше и прекраснее, чем язык?

Разве не языком держится вся философия и вся ученость?

Без языка ничего нельзя сделать - ни дать, ни взять, ни купить: порядок в государстве, законы, постановления - все это существует лишь благодаря языку.»

Эзоп

Слово, число и буква - Антипатия к математике и её преодоление (М-СПИД)

- Язык любой науки - грамматика и алфавит - Формализация логики

- Аксиомы, леммы, теоремы - Теорема Гёделя

- Компоненты и этапы построения любой науки - Многоязычие

- Обобщения и обращение как внутренние причины развития науки

Каждая наука имеет свой язык, понять который «непосвящённому» трудно. Вряд ли любой человек поймёт смысл медицинского диагноза, утверждений механиков, химиков, лингвистов. Имеет такой язык (м.б. точнее - диалект) и математика.

Солнце останавливали словом,

Словом разрушали города!

………………………………….

А для низкой жизни были числа,

Как домашний, подъярёмный скот.

Потому что все оттенки смысла

Умное число передаёт

Н. Гумилёв

Основой такого языка являются символьные, буквенные обозначения рассматриваемых величин и операций над ними. Смысл их в том, что сформулированные законы сохраняют общность, какие бы конкретные значения ни принимали эти величины:

a+ b = b+ a, ab= ba, (a+b)2 = a2 + 2ab+ b2 ,

какие бы значения ни принимали a и b (2, 3, 10, 100). Это придаёт общность получаемым соотношениям и объясняет, почему рассуждения и выкладки ведутся «в буквах, а не в цифрах» (что, к сожалению, вызывает нередко вопросы у экономистов, воспитанных на популяризованных рассуждениях К. Маркса, изложения только на числовых примерах).

Рассмотрим простейший пример. Пусть цена товара каждый год снижается на 10% (благородная фирма!). Какова будет цена через 10 лет?

Типичный (и, разумеется, неправильный) ответ - 0 рублей!

Правильный ответ (0.9)10 начальной цены, то есть около 35% !

В общих, буквенных обозначениях, если доля уменьшения цены в год - q, то связь между начальной ценой c0 и ценой cn через n лет такова:

c n = c0 (1-q)n

По этой формуле легко считать изменение цены для любого уменьшения цены, а также ответить на вопрос; через сколько лет цена уменьшится в m раз?

c n / c0 = (1-q)n 1/m или n - ln m/ ln (1-q)

Хотя основные элементы математических рассуждений, формальной логики были заложены Аристотелем, их формализация введена в ХУ111 -Х1Х веках и составила предмет «математической логики». Её основные элементы (алфавит): понятие «истинности» (true) и «ложности» (false), а также «кванторы» (значки) «всеобщности» и «существования» .

Их перевод очевиден («всегда имеет место» и «существует»). А придание им цифровых значений и введение обозначений для основных операций (И, ИЛИ, НЕТ или and, or, not) позволяет превратить логические рассуждения в своеобразное исчисление, формализовать и передать логику компьютерам.

Подобно обычным, естественным языкам эти формальные правила «исчисления высказываний» играют роль грамматики такого специального языка. Эти правила определяются АКСИОМАМИ, некоторыми простейшими исходными положениями, принимаемыми без доказательства и основанными на некоторых априорных свойствах изучаемых явлений. Такой аксиоматический подход - постулирование некоторых минимальных свойств и формальное изучение всех возможных следствий из них, ТЕОРЕМ, - характерен для современной математики. Хотя он до некоторой степени схоластичен, является наследием средневекового стиля. Но он чётко выделяет область изучаемых явлений, её упрощённое представление, которое позволяет выяснить те менее очевидные свойства, которые являются следствием принятых аксиом.

Легко привести примеры аксиом, как в математике, так и в филологии:

Для любого числа найдётся число, большее, чем данное.

Любое явление может быть описано разными текстами.

Некоторые аксиомы пытаются доказать, обосновать - и они превращаются в теоремы. Или - порождают разные классы наук.

При этом возникает необходимость анализа системы аксиом, отбор их минимального набора. Для формальной логики таким минимальным набором и правилами «правильных» заключений является «теория силлогизмов», предложенная ещё Аристотелем и развитая позднейшими исследователями.

Пример умозаключения: Все мужчины смотрят телевизор

Некоторые ученые - мужчины

Некоторые ученые смотрят телевизор

Оно состоит из двух высказываний-посылок и высказывания, которое является выводом. Умозаключение называют правильным или правилом вывода, если высказывание-вывод истинно во всех случаях, когда истинны высказывания-посылки.

Для проверки правильности умозаключения можно использовать диаграммы. Рисуем множество мужчин в виде круга А, множество ученых изображаем кругом В. Круг С изображает множество тех, кто смотрит телевизор. Круг А должен содержаться в круге С, так как «все мужчины смотрят телевизор». Круг В должен только пересекаться с кругом А, поскольку «некоторые ученые - мужчины». Эти круги изображены на рисунке 1.

Очевидно, что круги В и С должны иметь общие точки, а значит высказывание «Некоторые ученые смотрят телевизор» истинно, и, следовательно, рассматриваемое умозаключение является правильным.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Диаграмма, используемая для доказательства

правильности умозаключения

Некоторые правила вывода имеют специальные названия. Примером таких правил вывода могут служить правила вывода «modus ponens» и «Исключение «И»».

1) Правило вывода«modus ponens»:

Из p следует q

Имеет место p

Следовательноё имеет место q

Иллюстрацией этого правила вывода является фраза «Все люди смертны, и Сократ - человек. Поэтому Сократ смертен».

2) Правило вывода «Исключение «И»»:

Имеют место p И q (свойства, утверждения)

Имеет место p

Следовательноё имеет место q

Теоремы представляют собой концентрированные выводы из аксиом, полученные в рамках рассматриваемой системы моделей, помогающие вести дальнейшие рассуждения, не обращаясь к простейшим положениям, а опираясь на эти обобщённые «ступеньки». Многие теоремы не дают прямого пути к решению поставленной задачи, а лишь утверждают существование этого решения. Поскольку всякая сложная задача представляет собой «поиск чёрной кошки в чёрной комнате», теорема играет роль утверждения, что кошка действительно находится в этой комнате, следовательно, можно организовать её поиск. Характерным примером является шутливая «теорема Дирака», утверждающая, что существует оптимальное расстояние, с которого лучше всего рассматривать женское лицо (с меньшего расстояния видны мелкие недостатки, с большего - трудно рассмотреть его достоинства). Но никаких путей определения этого оптимального расстояния теорема не даёт!

При анализе любой задачи исследователю приходится быть полиглотом, переводя эту задачу с одного языка на другой:

- исходное, словесное описание задачи (проблемы);

- её математическая формулировка - система обозначений, связей,

условий;

- геометрический смысл задачи, её наглядная интерпретация;

- алгоритм решения - описание процедур, ведущих к решению;

- компьютерная реализация алгоритма и его проверка.

Как уже было отмечено выше, реальные процессы не всегда идут «по Аристотелю», и с интерпретацией формальных выводов нужно быть осторожным. Но аксиоматический подход исключает «различное понимание» тех или иных терминов и понятий, что нередко возникает в гуманитарных науках и является источником напряжённых споров. Однако существует область применения этой формальной системы, где её использование даёт безусловно верные результаты, и чрезвычайно важная для применений - это теория электронных схем, лежащая в основе всех приборов, использующих микроэлектронику - от простейших электронных замков до сложнейших регуляторов, анализаторов и компьютеров.

Зачем господствуют над жизнью

Задуманные кем-то звуки?

Непостигаемые числа

Невычислительной науки? (Новелла Матвеева)

Поскольку можно кодировать основные логические понятия числами 0 и 1, основным «внутренним» языком почти всех компьютеров является двоичная система счисления («арифметика гуингмов» - «мыслящих лошадей» из романа Дж. Свифта) Теоретический анализ показывает, что для оптимальной по хранящейся информации системы счисления её основание должно быть 2 или 3; машины с троичной системой счисления строились, но не нашли дальнейшего применения..

Переменная, принимающая только два значения 1 и 0, называемые «истиной» (True) и «ложью» (False), называется булевой переменной. Для булевых переменных определены три основные операции со свойствами:

НЕ: 1=0, 0=1;

ИЛИ: ab=1, если a и b одновременно не равны 0,

ab=0, если a = b = 0;

И: ab=1, если a = b= 1,

ab=0 в остальных случаях;

Булевы или логические операции можно применить к произвольным двоичным кодам.

Пример:

1010 1001

1011 0101 0101

0100 1111 0001

Любое число можно представить в двоичной системе счисления, то есть, используя только две цифры 0 и 1.

Например:

310 =0112 ; 410 =1002 ; 510 =1012 ; 610 =1102 ; 710 =1112 ; 810 =10002 ;

910 =10012 ; 36710 =1011011112 .

Действительно,

1011011112=128+027+126+125+ 024+123+122+121+120 =36710

Задание чисел в двоичной системе счисления позволяет представить их с помощью двоичных индикаторов. Под двоичным индикатором понимается любое устройство, которое может принимать только одно из двух состояний. Например, электрическая лампочка включена или выключена. Для представления целого десятичного числа потребуется несколько двоичных индикаторов, так как каждый индикатор представляет одну двоичную цифру или один бит. Например, число 367 в двоичной системе изображается с помощью 9-ти двоичных цифр и для его представления в памяти компьютера необходимо 9 двоичных индикаторов (9 битов). Наибольшее десятичное число, представимое с помощью 4-х битов равно 11112=123+122+121+120 =1510 .

Двоичная система счисления обладает неоценимым техническим преимуществом: она позволяет по неточным сигналам (значениям тока) получать точное кодирование - ведь легко отличит наличие сигнала (1) от его отсутствия (0), но гораздо труднее отличить сигнал уровня 7 от сигнала уровня 6 или 8!

Фундаментальную роль в оценке возможностей аксиоматического подхода играет теорема Гёделя, доказанная в 1931 году и утверждающая, что в любой формальной аксиоматической системе есть факты (утверждения), которые в рамках этой системы нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

То есть обнаружение таких фактов требует обобщения, расширения этой формальной системы, пополнения или изменения аксиом. Тем самым выявляется путь развития математики как способа познания мира: выделение формальной упрощённой системы, её изучение, выявление фактов, недоступных изучению в рамках этой системы, её расширение и обобщение.

Применение формальной логики и аксиоматического метода к геометрии привело к системе аксиом Евклида, но тут же обнаружился пример её неполноты - знаменитый «Пятый постулат» о параллельных линиях, иллюстрирующий ту же теорему Гёделя. Преодоление этой трудности Гауссом, Лобачевским и Больяи привело в 18-19 веках к открытию «неевклидовых» геометрий.

«Математические аксиомы - не всеобщие аксиомы. То, что справедливо в применении к отношениям между формой и количеством, часто оказывается вздором в применении, например, к истинам моральным. В этой области положение: «сумма частей равна целому» - в большинстве случаев оказывается неверным.» (Эдгар По).

Простейшей формальной системой, с которой знакомы мы все, является арифметика - выделяющая понятие числа и правила действий с ними. И на этом примере легко проследить отмеченный выше процесс познания.

Начальная система - арифметика целых чисел, на которых определены операции сложения и умножения. Но уже в этой простейшей системе попытка обращения операций (по сумме и одному из слагаемых определить второе слагаемое, по произведению и одному из сомножителей найти второй сомножитель) заставило человечество довольно давно расширить эту систему: ввести понятия отрицательных и дробных, рациональных чисел. Кстати, это обобщение довольно трудно воспринималось греками и египтянами, и не так уж легко воспринимаются и сейчас школьниками.

Обобщение операции умножения - возведение в степень, an . Введение нецелой степени и обращение этой операции опять таки потребовало расширения системы и её аксиоматики - появились понятия логарифма n=log a, иррационального и трансцендентного чисел.

Приведенные примеры являются основой методологического обобщения:

Процесс развития любой науки, процесс познания, идёт по следующей схеме - построение формальной модели, извлечение из неё всех возможных выводов, обращение и обобщение введённых понятий и операций, построение расширенной, обобщённой модели (спираль познания). Эта методология важна как для более глубокого познания (осмысления) математики, так и для изучения других наук, в том числе филологии. Так, при изучении любого языка лингвисты сначала составляют словарь простейших понятий, затем - грамматику, законы изменения слов и связей между ними, а потом - более глубоко изучают процессы происхождения языка, связи с другими языками.

Спираль - движение природы!

Спирально движутся народы.

Спирально носят огороды

Свои сезонные наряды.

Нужны наряды - и снаряды,

Нужны наяды - но и яды…(Александр Кондратов)

3. Функции и операции над ними

«А ему нужно было произвести математический анализ основных факторов, создающих красоту, выразить их одной всеохватывающей формулой, такой сжатой, чтобы она объясняла искусство, как гравитационная формула материи охватывает структуру всей Вселенной.»

С.Лем.

Функции , непрерывность и гладкость - Апории Зенона

- Пределы - Решение уравнений и метод итераций

- Дифференциальное исчисление - история , словарь и грамматика

- Применение дифференциального исчисления

- Идентификация зависимостей, МНК - Алгебраизация геометрии, примеры

Следующим за понятием числа и его обобщением, величины - исторически и логически, - понятием математики является понятие функции: результат некоторых действий над одной величиной x, приводящий к значению другой величины f(x), зависимость f от x. Действительность даёт неисчислимое множество таких объектов, зависимостей скорости и пути от времени, требуемой теплоты нагрева от температуры, затрат и прибыли от объёма выпуска продукции и т.п.

Неявно это понятие было освоено уже в древней Греции, но тогда же были обнаружены и некоторые парадоксы - знаменитые апории Апория ( - отрицание, -выход) - трудноразрешимая проблема, связанная обычно с противоречием между данными наблюдения и опыта и их мысленным анализом Зенона (догонит ли Ахиллес черепаху, летит ли стрела и др.).

Чаще всего функция задаётся некоторой формулой - комбинацией известных «элементарных» функций, изучаемых в школе. Например,

Y =sin (2x - 1), y = log(2x+1), z = 2x/(x-2)

Простейшей и очень наглядной формой описания функции является её график - кривая на плоскости, где абсцисса - аргумент, а ордината - значение функции.

Если функция задана некоторым алгоритмом, процессом вычисления, то надо задать порядок действий (вычисления f по x) или достаточно густую таблицу значений f и x. Переход от одной формы задания функции сравнительно лёгок: по формуле или алгоритму можно найти точки графика, переход от графика к формуле несколько сложнее и будет описан дальше. Графики приведенных выше функций изображены на рис. 2,3,4.

При изучении функций важную роль играют область определения функции (ООФ), то есть совокупность тех значений аргумента, при которых существует эта функция, и область возможных значений функции (ОЗФ).

Для приведенных выше примеров они таковы:

ООФ: (- ,+ ) х -1/2 х 2

ОЗФ: -1 Y 1 (- ,+ ) (- ,+ )

Рис. 2. График функции Y =sin (2x - 1)

Рис. 3. График функции y = log(2x+1)

Рис. 4. График функции z = 2x/(x-2)

Рассмотрение функции как отображения точек из ООФ в ОЗФ позволяет легко перейти от одного, скалярного аргумента к функциям многих переменных - просто аргумент является вектором х=(х1 ,х2 ,…хn ) Введение понятия вектора целесообразно сразу начинать с многомерного случая, а геометрический смысл использовать лишь как двумерную или трёхмерную иллюстрацию..

Если вычисление значения функции по значению аргумента так или иначе определено заданием функции, то обратная задача (найти значение аргумента, отвечающего заданному значению функции, найти обратную функцию x = (f)) приводит к некоторому уравнению, решение которого далеко не всегда можно сразу выписать. Выше было отмечено это методологическое свойство: обратная задача, как правило, сложнее прямой задачи. Анализ графиков функций при этом играет важную роль, определяя существование и (или) единственность решения рассматриваемого уравнения.

Например, для уравнения x - cx -d = 0 , 0 1 («филологическое происхождение» которого будет пояснено далее) легко убедиться в существовании положительных решений и найти их с любой требуемой точностью методом последовательных приближений. На рисунке 5 изображены графики функций и для случая, когда =0,5; c=0,4; d=0,1. Корни уравнения соответствуют точкам пересечения этих графиков. Очевидно, что уравнение имеет два положительных корня.

Рис.5. Графики функций и (=0,5; c=0,4; d=0,1)

Эти корни можно найти методом итераций. Для определения корня, близкого к нулю, для организации итерационного процесса используем зависимость . Результаты вычислений приведены в таблице 1.

Таблица 1

Вычисление корня методом итераций по формуле

При вычислении второго корня для обеспечения сходимости итерационного процесса используем зависимость

Результаты вычислений приведены в таблице 2

Таблица 2

Вычисление корня методом итераций по формуле

Найденные значения корней =0,01; =5,73.

Для обеспечения выхода из процесса последовательных приближений с заданной точностью, вообще говоря, нужно организовать двусторонние приближения. Тогда разность между приближением справа и приближением слева определяет точность результата.

Изучение функций, их графиков и апорий Зенона привели (уже значительно позже) к понятию о непрерывности функции, формализованному с помощью теории пределов, а также вопросов, связанных с изучением динамики изменения величин и функций. Важно отметить, что описанные выше методы итераций существенно используют непрерывность рассматриваемых функций.

Важной характеристикой функции, зависимости f(x) является быстрота, скорость изменения её при изменении аргумента, то есть отношение приращений f/x или его предельная форма (при x 0) f (x), введённая Ньютоном и Лейбницем в конце ХVII века. Правила вычисления производных составляют предмет дифференциального исчисления и, как всякий язык, имеют свою грамматику (общие правила) и словарь (таблицы производных). Эти правила позволяют вычислять производные практически всех обычно встречающихся функций (кроме исключительных случаев, важных для теории, но для практики не существенных). Правила дифференцирования сведены в таблицу 3.

Приведенные простейшие соотношения позволяют вычислять производные любых функций, заданных различными выражениями. Например, производная дроби может быть вычислена при помощи производной произведения и т.д. На практике удобнее использовать более развёрнутые грамматические формулы («расширенную грамматику») и «расширенный словарь».

Таблица 3

Наличие словаря и грамматики позволяет вычислять производные, не обращаясь каждый раз к общему определению и предельному переходу. Это аналогично использованию словаря и грамматики в филологии: нужное слово и правила его изменения смотрим в словаре, а не анализируем его происхождение (хотя такой анализ зачастую даёт дополнительную языковедческую информацию).

Знание производных позволяет применять их для решения важных прикладных задач: отличать рост функции от её убывания, оценивать приближённые значения прироста функций ( f f (x) x), решать уравнения, искать экстремальные значения (максимум и минимум) функции, которые отвечают нулевым значениям производной.

Приведём пример, точнее - интерпретацию примера, рассмотренного выше. Пусть анализируется некоторый текст, и эффективность анализа, естественно, растёт с ростом времени анализа х, причём этот рост пропорционален степени затраченного времени в степени :

F1 =c1 x , 0 1

Если затраты на проведение анализа пропорциональны времени

F2 = c2 x +c3 , c1 ,c2 , c3

положительные константы, то окончательный эффект анализа определяется разностью этих функций Очевидно, те же формулы описывают и эффект от применения рекламы.:

F(x) = F1 - F2 = c1 x - c2 x - c3

Возникает вопрос: сколько же времени нужно анализировать текст, чтобы добиться максимального эффекта?.

Построив графики рассматриваемых функций, убеждаемся (с помощью анализа производных при х = 0 х = ), что окончательный эффект положителен в некотором диапазоне [x1 , x2 ] и достигает максимума в точке x* . Значения x1 , x2 определяются решением уравнения

F(x) = F1 - F2 = c1 x - c2 x - c3 = 0,

аналогичного рассмотренному выше, а x* определяется уравнением

F (x) = c1 x -1 - c2 = 0 , то есть x*= (c2 / c1 )1/( -1 )

Вычисление границ отрезка, определяющего положительный эффект приведены в таблицах 4 и 5.

При вычислении левой границы очередное приближение вычисляется по формуле .

При вычислении правого конца итерации проводились по формуле

Таблица 4

Вычисление левого конца диапазона [x1 , x2 ]

Таблица 5

Вычисление правого конца диапазона [x1 , x2 ]

При этом с точностью до двух знаков получили x1=0,06, x2=3,66.

При указанных значениях параметров найдено x*=1,28 и F(x*)=51,33.

Рис 6. График функции F(x) = c1 x - c2 x - c3 ,

где c1 =200, c2=130, c3 = 20, =0,7.

Тот же аппарат позволяет решать и ещё одну важную прикладную задачу (упомянутую ранее - переход от графика к формуле): получать зависимость, отвечающую некоторым наблюдаемым данным. Зависимость выбранного вида (например, многочлен) с неопределёнными коэффициентами должна дать минимум сумме квадратов отклонений теоретических значений от наблюдаемых. Этот метод получил название «метод наименьших квадратов» и широко используется в самых разных науках, несмотря на известные недостатки его. Например, оценкой величины Х по известным результатам ее измерений xi (i=1,2,…,n), будет число , которое минимизирует выражение

.

В другом примере использования метода наименьших квадратов предположим, что есть некоторые результаты наблюдений (x1,y1), (x2,y2),…, (xn,yn) и предполагается или точно известно, что между переменными x и y имеется линейная связь . Тогда параметры a и b можно оценить по методу наименьших квадратов, определив их такими, которые минимизируют выражение

.

Пример. Результаты наблюдений заданы парами (1;1,0), (2;1,5), (3;1,7), (4;2). Тогда можно найти линейную связь между переменными x и y, наилучшим образом соответствующую данным наблюдениям.

Для этого построим задачу минимизации функции

F(a,b)=.

Значения a и b можно найти из системы уравнений

После несложных преобразований получим

График полученной линейной зависимости у=0,54x+0.19 изображен на рисунке 7.

Рис 7. График линейной зависимости у=0,54x+0.19

Открытие и развитие дифференциального исчисления явилось очень важной вехой в развитии математики, дав общий метод решения этих задач (до тех пор каждая задача требовала индивидуального подхода). Как всякое крупное открытие, оно привлекло внимание философов, осмысливавших его - от самого Г. Лейбница до К. Маркса.

Важным моментом изучения математики на методологическом уровне является оценка роли и места «экзотических» примеров функций - не имеющих производной ни в одной точке, полностью заполняющих единичный квадрат и т.п. Эти примеры крайне важны для понимания условий непрерывности и гладкости, но в практике не играют существенной роли. Они существенны как напоминание о «подводных камнях», которые могут встретиться при исследовании (хотя и крайне редко). То же относится и ко многим распространённым методам. Словом «Не так страшен чёрт, как его малюют»!

Можно отметить и ещё один характерный момент исторического развития математики. В школе многим с трудом давалась геометрия, так как для решения геометрических задач нет «железных правил», требуется индивидуальный подход и пространственное воображение. Поэтому величайшей заслугой Рене Декарта было «сведение геометрии к алгебре», разработка основ аналитической геометрии. Рассмотрим три примера использования аналитической геометрии.

Пример 1. В аналитической геометрии прямой на плоскости соответствует множество точек (x,y), удовлетворяющих линейному уравнению . Чтобы найти точку пересечения двух прямых, достаточно решить систему уравнений этих прямых. Так, точку пересечения прямых, уравнения которых и , найдем, решив систему . Получим точку

Пример 2. Из аналитической геометрии известно, что середину отрезка с концами в точках (a,b) и (c,d), определяет точка . Использование этой формулы позволяет найти середину отрезка в любом абстрактном n-мерном пространстве, так как для этого не нужны геометрические построения.

Пример 3. Уравнение окружности радиуса 5 с центром в точке (1, 3) имеет вид . Круг, ограниченный этой окружностью, задается неравенством .

Для нахождения уравнения касательной к этой окружности в точке (-1,-1), дифференцируем по x обе части уравнения окружности, и получаем . Из полученного равенства найдем значение производной при x=-1, y=-1: . Искомая касательная - это прямая, уравнение которой , где . Точка касания должна лежать на прямой, то есть ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой. Поэтому . Отсюда получаем , и уравнение касательной .

Наука, как и всё познание мира человечеством, развивается, как уже было отмечено, по спирали! И в ХХ веке возник обратный процесс: далеко продвинутые отрасли математики (алгебра, функциональный анализ и т.п.) получили «геометрическую интерпретацию». Было введено, разработано и использовано понятие функционального пространства. Не давая здесь его определения, отметим, что при этом сложные математические объекты могут рассматриваться как точки обычного, привычного геометрического пространства. На этом языке можно описывать и литературные произведения, тексты, отмечать сходство и различие классов статей и книг (например, характеризуя их длиной фраз и слов), оценивать множества сходных объектов, кластеры.

4. Интегральное исчисление и его приложения.

Мы очищаем место бою

Стальных машин, где дышит интеграл,

С монгольской дикою ордою!

А.Блок, Скифы.

Обращение операции дифференцирования. - Грамматика и

Словарь интегрирования. - Необходимость введения «новых» функций.

- Интеграл как площадь - Методы вычисления интегралов

Выше уже отмечалось, что основной путь развития математики - это обобщения введённых понятий и операций, а также обращение введённых операций. То же произошло с дифференциальным исчислением.

Обобщения были связаны с увеличением размерности аргумента - рассмотрение многих аргументов, функций от многих переменных, введение «частных производных» (по одному из многих аргументов), производных по направлению. Эти обобщения не представляли больших трудностей и были легко реализованы.

Обращение операции дифференцирования - поиск исходной функции (первообразной, интеграла) по её производной, - оказалось более трудной задачей. По шутливому выражению одного из самых остроумных преподавателей РГУ Е. Л. Литвера «дифференцировать можно научить даже обезьяну, а интегрировать - не всякого студента»*^* Л.Ландау научился дифференцировать функции в 12 лет, а интегрировать - в 14 лет .

И дело не в технических трудностях (они в последнее время могут считаться снятыми, так как в программное обеспечение компьютеров теперь включены блоки, реализующие поиск интеграла, первообразной). Оказалось, что далеко не все элементарные функции имеют первообразную, выражающуюся через конечную комбинацию элементарных функций!

Как и в обращении арифметических операций, операций над величинами, обращение операций над функциями потребовало расширение класса рассматриваемых функций.

Интегральное исчисление также имеет свою грамматику (общие правила) и свой словарь - значительно более сложный, чем при дифференцировании.

Таблица 6

Подобные документы

• История математики

  Греческая математика. Средние века и Возрождение. Начало современной математики. Современная математика. В основе математики лежит не логика, а здравая интуиция. Проблемы оснований математики являются философскими.
  
  реферат [32,6 K], добавлен 06.09.2006
  

• Математика и современный мир

  Математика как наука о числах, скалярных величинах и простых геометрических фигурах. Математические модели, отражающие объективные свойства и связи. Основные понятия математики, ее язык. Аксиоматический метод, математические структуры, функции и графики.
  
  реферат [58,1 K], добавлен 26.07.2010
  

• Математика – цариця наук (зв’язок математики з іншими науками)

  Робота присвячена важливісті математики, їх використанню у різних галузях науки. Інформація, яка допоможе зацікавити учнів при вивченні математики. Етапи розвитку математики. Філософія числа піфагорійців. Математичні формули у фізиці, хімії, психології.
  
  курсовая работа [347,2 K], добавлен 12.09.2009
  

• Что такое математика?

  Происхождение термина "математика". Одно из первых определений предмета математики Декартом. Сущность математики с точки зрения Колмогорова. Пессимистическая оценка возможностей математики Г Вейля. Формулировка Бурбаки о некоторых свойствах математики.
  
  презентация [124,5 K], добавлен 17.05.2012
  

• Основные этапы становления и структура современной математики

  Геометрия Евклида как первая естественнонаучная теория. Структура современной математики. Основные черты математического мышления. Аксиоматический метод. Принципы аксиоматического построения научных теорий. Математические доказательства.
  
  реферат [32,4 K], добавлен 10.05.2011
  

• Особенности языка математики

  Математика как язык науки. Математический язык описания вечности и пространства. Математика является языком науки в целом, но каждая конкретная наука должна "разговаривать" на собственном (специфическом) диалекте этого языка.
  
  реферат [21,8 K], добавлен 09.06.2006
  

• Развитие математики

  История становления математики как науки. Период элементарной математики. Период создания математики переменных величин. Создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрельного исчисления. Развитие математики в России в XVIII-XIX столетиях.
  
  реферат [38,2 K], добавлен 09.10.2008
  

• Развитие математики в России в середине XVIII века

  Характеристика экономического и культурного развития России в середине XVIII в. Новые задачи математики, обусловленные развитием техники и естествознанием. Развитие основных понятий математического анализа. Дифференциальное и интегральное исчисление.
  
  автореферат [27,2 K], добавлен 29.05.2010
  

• Основные понятия высшей математики

  Элементы линейной алгебры. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Биномиальный закон распределения. Комбинаторные формулы. Статистическое определение вероятности. Формула полной вероятности. Дискретные случайные величины.
  
  творческая работа [686,3 K], добавлен 30.04.2009
  

• История математики в России

  Обзор развития европейской математики в XVII-XVIII вв. Неравномерность развития европейской науки. Аналитическая геометрия. Создание математического анализа. Научная школа Лейбница. Общая характеристика науки в XVIII в. Направления развития математики.
  
  презентация [1,1 M], добавлен 20.09.2015
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам