Методи і засоби математичного моделювання динамічних процесів в електромеханічних системах на основі структурно-орієнтованого підходу

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МОДЕЛЮВАННЯ В ЕНЕРГЕТИЦІ ІМ. Г. Є. ПУХОВА

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

МЕТОДИ І ЗАСОБИ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ В ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ СИСТЕМАХ НА ОСНОВІ СТРУКТУРНО-ОРІЄНТОВАНОГО ПІДХОДУ

Федорчук Володимир Анатолійович

Київ - 2011

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

математичний комп'ютерний моделювання електромеханічний

Актуальність теми. Процес розвитку сучасних електромеханічних систем характеризується стійкою тенденцією до розширення галузі їх застосування та зростання рівня складності. Від систем з простими аналоговими регуляторами електромеханічні системи розвинулись до сучасних мехатронних систем з комп'ютерним керуванням і, як наслідок, з новими можливостями, зокрема гнучкістю алгоритмів керування, забезпеченням віддаленого контролю, можливістю роботи у складі робототехнічних комплексів тощо. Значно підвищились вимоги щодо функціональності, точності та надійності систем, покращення їх динамічних характеристик, розвитку підсистем контролю та діагностики, розширенню та ускладненню функцій керування. Одним із шляхів забезпечення зазначених вимог є подальший розвиток методів і засобів математичного і комп'ютерного моделювання як самих систем, так і їх складових частин, а також залучення їх до процесів проектування, керування, контролю та діагностування. Суттєвими особливостями сучасних електромеханічних систем є зростаюча складність структур і режимів, підвищення вимог до якості функціонування, неоднорідність складу, наявність ланок з розподіленими параметрами, зміна параметрів і структури в процесі функціонування, наявність комп'ютерних компонентів керування, контролю та діагностики.

Зазначені особливості викликають появу нових вимог до методів і засобів математичного моделювання динамічних процесів в електромеханічних системах, зокрема необхідність переходу від розповсюдженого на практиці автономного дослідження окремих ланок електромеханічних систем до комплексного дослідження системи в цілому із застосуванням макромоделей, побудова моделей за експериментальними даними, підвищення адекватності математичних моделей за рахунок раціонального врахування розподіленості параметрів відповідних ланок, можливості оперативної зміни складу комп'ютерних моделей, врахування фізичної та функціональної неоднорідності.

Вказані обставини, природно, потребують суттєвого вдосконалення існуючих методів і засобів розв'язування задач моделювання динаміки електромеханічних систем, що ґрунтуються на традиційному застосуванні диференціальних рівнянь та дробово-раціональних передатних функцій, для реалізації яких в переважній більшості застосовуються розповсюджені типові програмні пакети моделювання загального призначення. Виникаючі при цьому утруднення стосуються: можливої нестійкості обчислювальних процесів, накопичення похибок та виникнення ефекту Гіббса при відображенні ланок з розподіленими параметрами; має місце висока трудомісткість процедур зміни структур комп'ютерних моделей при відображенні відповідних змін в об'єкті моделювання; дослідження систем в цілому чи окремих компонентів, в тому числі при наявності зворотних зв'язків; не використовується можливість підвищення адекватності моделей при залученні експериментальних даних.

Попередній досвід проведення досліджень і практичних розробок в галузі математичного моделювання електромеханічних систем свідчить про те, що до ефективних шляхів розв'язання зазначених проблем відноситься розвиток та розширене застосування структурного підходу до формування алгоритмів та програмних засобів, залучення динамічних моделей у вигляді інтегральних операторів, інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь, які володіють рядом таких позитивних властивостей, як висока універсальність (структура моделі залишається незмінною, а властивості об'єкта задаються однією функцією -- ядром інтегрального оператора), потенційно висока адекватність процесів моделювання, властивість згладжування експериментальних даних (можливість використання у реальних системах зі значним рівнем високочастотних спектрів шумів), висока збіжність ітераційних обчислювальних процесів, можливість ефективної побудови макромоделей тощо.

При побудові засобів моделювання перспективним є структурно-орієнтований підхід, що відображає принципи діакоптики в моделюючій системі, забезпечує можливості вибору та використання різних видів динамічних моделей, які найповніше враховують особливості складових елементів динамічних систем. Це дає змогу створювати розгалужене алгоритмічне забезпечення з можливістю розробки і використання відповідного набору програмних модулів та вибору з нього такої частини, яка забезпечує для конкретної задачі необхідну швидкодію та точність.

Таким чином у зв'язку з інтенсивним якісним розвитком, ускладненням структур керованих електромеханічних систем, актуальною є науково-технічна проблема створення на основі структурно-орієнтованого підходу методів і засобів математичного та комп'ютерного моделювання динамічних процесів в електромеханічних системах при розв'язуванні задач аналізу, синтезу та побудови засобів керування, що може забезпечити високу якість та оперативність розв'язування задач моделювання з дотриманням інженерної методології проведення наукових досліджень і науково-технічних розробок.

Ефективне розв'язання вказаної проблеми може досягатись шляхом розширення класу математичних моделей для врахування особливостей окремих типів ланок електромеханічних систем, в тому числі із залученням інтегральних динамічних моделей і макромоделей, створення та застосування методів еквівалентних та апроксимаційних перетворень моделей, застосування швидкодіючих рекурентних алгоритмів для реалізації інтегральних динамічних моделей, підвищення рівня адекватності відтворення процесів як в окремих ланках, так і в цілому в системі, структурно-алгоритмічної організації програмних засобів комп'ютерного моделювання. При вирішенні даної проблеми необхідно враховувати як зростаючу складність задач моделювання, так і зростаючі можливості засобів обчислювальної техніки.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в Інституті проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України в рамках науково-дослідних робіт: "Теоретичні основи та прикладні методи створення інтегрованих та розподілених засобів комп'ютерного моделювання для оптимального управління електромеханічними системами нафтогазодобувного, гірничого та транспортного обладнання" (шифр "Оптима", № д/р 0107U000889), "Розроблення інформаційної технології моделювання і розрахунку теплових режимів перспективних конструкцій теплонавантажених елементів та пристроїв засобів обчислювальної техніки та керування" (№ д/р 0104U003807).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є створення та розвиток методів математичного і комп'ютерного моделювання динамічних процесів у сучасних складних електромеханічних системах на основі розширення форм математичних описів ланок системи із залученням інтегральних операторів та рівнянь типу Вольтерри, розробки розгалуженого, відповідно до форм задіяних динамічних моделей, алгоритмічного забезпечення та побудови програмних моделюючих засобів з модульною організацією, що забезпечує розв'язання задач аналізу, синтезу, відтворення режимів реального часу та високу якість моделювання (стійкість та точність обчислень, усунення ефекту Гіббса).

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі.

1. Визначення особливостей сучасних електромеханічних систем, їх аналіз, систематизація та обґрунтування підходу до формування математичних моделей.

2. Розробка способів моделювання процесів в електромеханічних системах на основі застосування інтегральних операторів Вольтерри та інтегральних рівнянь Вольтерри ІІ роду, як непараметричних динамічних моделей з можливостями адекватного відображення ланок з розподіленими і зосередженими параметрами, які (моделі) можуть бути сформовані шляхом аналітичних перетворень або за експериментальними даними та забезпечують завадостійку алгоритмічну реалізацію.

3. Розвиток елементів якісної теорії динамічних систем, що описуються інтегральними рівняннями у напрямку аналізу їх керованості та стійкості, процесів термінального та оптимального керування.

4. Створення методів еквівалентних та апроксимаційних перетворень динамічних моделей з можливістю врахування особливостей різнорідних елементів електромеханічних систем шляхом вибору різних способів їх математичного опису. Отримання апроксимаційних математичних моделей ланок з розподіленими параметрами на основі декомпозиції та просторової дискретизації первинних моделей у вигляді диференціальних рівнянь в частинних похідних.

5. Створення структурно-алгоритмічних основ побудови засобів комп'ютерного моделювання динамічних процесів у електромеханічних системах з реалізацією динамічних моделей за заданими критеріями точності.

6. Розроблення структури і модулів програмної моделюючої системи та випробування її шляхом обчислювальних експериментів при розв'язуванні модельних і практичних задач.

Об'єктом дослідження є динамічні процеси у складних електромеханічних системах.

Предметом дослідження є методи і засоби математичного та комп'ютерного моделювання динамічних процесів у складних керованих електромеханічних системах.

Методи дослідження. Для розв'язування поставлених задач у дисертації використовуються: методи математичного моделювання динамічних систем; методи теорії автоматичного керування; методи обчислювальної математики; методи організації комп'ютерних систем моделювання складних динамічних об'єктів; методи обчислювального експерименту для числового дослідження різних форм моделей.

Наукова новизна одержаних результатів. У процесі вирішення поставлених задач в роботі отримано наступні наукові результати.

1. Обґрунтовано підхід до створення методів і засобів математичного і комп'ютерного моделювання динамічних процесів у сучасних електромеханічних системах на основі розширення набору форм математичних описів (динамічних моделей) та використання структурно-орієнтованого підходу до побудови алгоритмів числового моделювання та організації програмних моделюючих засобів.

2. Розвинуто методи математичного моделювання динамічних процесів у складних керованих електромеханічних системах у напрямку застосування динамічних моделей у вигляді інтегральних операторів і рівнянь типу Вольтерри, в тому числі при формуванні математичних залежностей за експериментальними даними; визначено ефективні шляхи комп'ютерної реалізації моделей, в тому числі, при забезпеченні функціонування систем у режимі реального часу.

3. Розвинуто елементи якісної теорії керованих електромеханічних систем, що представлені інтегральними рівняннями Вольтерри ІІ роду, зокрема запропоновано: спосіб аналізу керованості на основі введених понять частково керованої, повністю керованої, керованої на відрізку, керованої за виходом системи; метод дослідження стійкості на основі аналізу ядер інтегральних рівнянь; методи термінального та оптимального керування.

4. Запропоновано способи отримання інтегральних рівнянь шляхом еквівалентних перетворень звичайних диференціальних рівнянь та їх систем; на основі принципів декомпозиції та просторової дискретизації запропоновано способи апроксимації динамічних моделей у вигляді диференціальних рівнянь в частинних похідних наближеними моделями у вигляді систем диференціальних рівнянь як основи побудови структурних комп'ютерних оборотних моделей ланок з розподіленими параметрами; способи ланцюгово-дробової апроксимації ірраціональних та трансцендентних передатних функцій, що в цілому забезпечує ефективну комп'ютерну реалізацію процесів моделювання складних електромеханічних систем.

5. Створено алгоритмічні основи комп'ютерного моделювання динамічних процесів електромеханічних систем на основі структурно-орієнтованого підходу при реалізації динамічних моделей за заданими критеріями якості, в тому числі методику вибору методів і стандартних процедур числового розв'язування диференціальних рівнянь, а також швидкодіючі рекурентні та високоточні ітераційні алгоритми числової реалізації задіяних інтегральних динамічних моделей.

6. Створено програмний комплекс для комп'ютерного моделювання електромеханічних систем із структурою і набором модулів, що забезпечують оперативну побудову комп'ютерних моделей для конкретних задач з цілеспрямованим вибором видів моделей та обчислювальних алгоритмів при дотриманні програмної сумісності модулів.

Практичне значення одержаних результатів визначається тим, що запропоновані методи та засоби моделювання дозволяють користувачу оперативно вирішувати задачі дослідження, аналізу, керування, контролю та діагностики складних електромеханічних систем з можливістю раціонального вибору математичних описів ланок і систем в цілому та відповідних програмних модулів; застосування інтегральних моделей для математичного опису динамічних ланок дає змогу забезпечувати високі точність та стійкість обчислювального процесу при їх числовій реалізації; створений на основі запропонованих методів програмний комплекс дозволяє будувати структурні моделі складних систем з можливістю одночасного використання різних форм математичного опису та методів числової реалізації.

Створені методи і засоби математичного та комп'ютерного моделювання використано при розв'язуванні ряду практичних задач. Методика дослідження динамічних процесів, що відбуваються в бурильній колоні при спуско-підйомних роботах та при бурінні пройшла промислову апробацію на бурових №201 Північно Долинського та №47 Лопушнянського родовищ.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи, що винесені на захист, отримані автором самостійно. Роботи [12, 17, 19, 21, 24, 29, 37, 39, 45, 46, 47, 48] написані самостійно. В опублікованих роботах у співавторстві особисто дисертанту належать наступний особистий внесок: монографія [1] -- розділи 1, 2 та підрозділи 4.1, 5.1--5.3, 5.5; у посібнику [2] -- розділ 2; у посібнику [3] -- розділ 3; [4, 6, 13] -- методика спрощення обчислювальної процедури конструювання регуляторів для електромеханічних систем високої розмірності; [5] -- спосіб ранжування методів для різних рівнів допустимої похибки на основі оцінки значення критерію оптимальності; [7] -- спосіб вибору порядку апроксимаційної моделі електроприводу з розподіленими параметрами; [8] -- метод побудови структурних оборотних моделей для об'єктів з розподіленими параметрами; [9] -- алгоритм реалізації ітераційного процесу в середовищі MatLab; [10] -- адаптивний алгоритм розв'язування систем лінійних інтегральних рівнянь Вольтерри II роду з ядрами загального виду на основі методу коллокацій; [11, 28, 33, 34, 38] -- методи та алгоритми апроксимації ірраціональних та трансцендентних передатних функцій з використанням властивостей ланцюгових дробів; [14] -- застосування ланцюгово-дробової апроксимації для побудови моделі електропривода, що має кінематичну ланку з розподіленими параметрами; [15] -- ланцюгово-дробовий алгоритм інтерполяції передатних функцій; [16] -- спосіб спрощення (пониження складності) математичних моделей динамічних систем зі змінними коефіцієнтами; [18] -- спосіб покращення збіжності ітераційного процесу на основі застосування методу Ньютона-Канторовича; [20] -- структурна математична модель приводної частини бурової установки; [22, 25] -- спосіб та засоби представлення непараметричних динамічних моделей у пакеті MatLab; [23] -- способи побудови математичних моделей автоколивальних систем; [26, 27, 36] -- метод взаємного перетворення диференціальної моделі в інтегральну та спосіб спрощення математичних моделей, поданих рівняннями стану на основі М- та Д-методу; [30] -- алгоритм відображення режимів динаміки базового об'єкта і об'єкта, що моделюється із врахуванням інерційності каналів керування; [31] -- комп'ютерна модель синхронного електродвигуна, побудована на основі структурно-орієнтованого підходу; [32] -- аналіз результатів моделювання в середовищі MatLab типових блоків мехатронних систем, що використовуються в нафтогазовому обладнанні; [35] -- структурна модель на основі зведення ядра інтегрального рівняння Вольтерри ІІ роду до виродженого; [40] -- simulink-модель електроприводу ножиців заготовочного стану; [41, 43] -- спосіб побудови математичної моделі розподіленого багатомасового об'єкта на прикладі моделі залізничного потягу; [42] -- спосіб апроксимації трансцендентних передатних функцій; [44] -- структурна модель бурильної колони.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційних досліджень доповідалися на конференціях: Міжнародній конференції “Информационные технологии в управлении энергетическими системами” (Київ, ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2005 р.); ХХІІІ міжнародній науково-технічній конференції "Проблеми автоматизованого електроприводу. Теорія і практика" (Одеса, Одеський національний політехнічний університет, 2006); Міжнарод. наук.-метод. конф. "Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації" (Кам'янець-Подільський, КПДУ, 2006 р.); Міжнарод. наук. конф. "Моделирование-2006" (Київ, ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2006 р.); ХІІІ Всеукр. наук. конф., присвяченої 150-річчю з дня народж. Івана Франка "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики" (Львів, ЛНУ ім. І. Франка, 2006 р.); Міжнародн. конф. "Компьютерная математика в образовании и научных исследованиях" (Херсон, 2007 р.); Всеукр. наук.-техн. конф. "Комп'ютерна математика в інженерії, науці та освіті" (Полтава, ПолтНТУ, 2007 р.); Міжнарод. наук. конф. "Моделирование -- 2008" (Київ, ІПМЕ ім. Г.Є. Пухова НАН України, 2008 р.); Міжнарод. наук. конф. "Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації" (Кам'янець-Подільський, КПНУ, 2008 р.); Міжнарод. наук. конф. "Интегральные уравнения -- 2009" (Київ, ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України, м. Київ); Міжнарод. наук. конф. "Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації" (Кам'янець-Подільський, КПНУ, 2010 р.); П'ятій науковій конференції з міжнародною участю "Математичне та імітаційне моделювання систем. МОДС '2010", (Київ, ІПММС НАН України, 2010 р.); Третій міжнародній науково-технічній конференції "Моделювання в електротехніці, електроніці і світлотехніці. МЕЕС'10", (Київ, НАУ, ІПМЕ ім. Г.Є.Пухова НАН України, 2010 р.).

Публікації. Основні положення й результати дисертаційного дослідження опубліковані автором самостійно та у співавторстві загалом у 48 наукових працях. Серед них -- 1 монографія, 29 наукових статей у фахових виданнях, затверджених ВАК України (5 -- у науково-фахових журналах та 24 -- у науково-фахових збірниках); решта -- у наукових збірниках та матеріалах міжнародних та всеукраїнських конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, семи розділів, списку використаних джерел (243 найменування) та 3 додатків. Загальний обсяг дисертації -- 323 сторінки, в тому числі -- 287 сторінок основного тексту (13 авт. арк.). Робота містить 12 таблиць, 85 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність напрямку досліджень, сформульовані мета і задачі дослідження, показана наукова новизна отриманих результатів та практична цінність роботи, відображений зв'язок дисертаційної роботи з науковими програмами, наведені відомості про апробацію, публікації та використання результатів дослідження.

Перший розділ присвячений аналізу існуючих підходів до математичного опису динамічних систем, структурним та динамічним властивостям сучасних електромеханічних систем, характерним моделям їх основних ланок, формуванню підходу до створення ефективних методів і засобів дослідження об'єктів моделювання, що розглядаються.

Традиційно динамічні властивості електромеханічних систем описуються диференціальними рівняннями та їх системами, рівняннями в просторі станів та передатними функціями. Практичний досвід свідчить про те, що застосуванню таких математичних описів притаманні певні обмеження, що стосуються кола задач, що моделюються, точності і стійкості обчислювальних процесів при наявності у вхідних сигналах значних рівнів високочастотних спектрів завад; у багатьох випадках числова реалізація моделей об'єктів з розподіленими параметрами у вигляді диференціальних рівнянь в частинних похідних супроводжується виникненням ефекту Гіббса. Близькі до адекватних моделі у вигляді передатних функцій повинні мати високий порядок і велику складність, якщо мають дробово-раціональну структуру, або подаються у вигляді ірраціональних чи трансцендентних залежностей, які чисельно безпосередньо не реалізуються.

Складність задач математичного опису електромеханічних систем визначається як їх складною структурою, так і великим різноманіттям динамічних властивостей ланок. Наприклад, в системах присутні складні механічні елементи (довгі кінематичні передачі, просторові рамні конструкції і механізми), які, в свою чергу, складаються з балок, стержнів, пластин, оболонок тощо при наявності різних типів зв'язків (з'єднання через пружні і демпферні елементи, жорсткі та рухомо-шарнірні з'єднання тощо) і типів руху -- поздовжній, поперечний, обертальний. Суттєво розширився набір електротехнічних ланок, що також ускладнює задачі моделювання.

Складність електромеханічних систем значною мірою визначається також різноманіттям виконавчих механізмів, які діляться на дві великі групи: просторово одномірні та багатомірні. До просторово багатомірних елементів відносяться виконавчі механізми промислових маніпуляторів зі складними рамними просторовими конструкціями, бурові вишки та ін. Просторово одномірні елементи діляться на стержневі та кільцеві. До елементів кільцевої природи відносяться приводи транспортерів та ескалаторів, приводи подачі платформ маніпуляторів для армування та намотки, приводи позиціонування головок друкуючих пристроїв тощо. Стержневі елементи поділяються з урахуванням характеру їх деформації: з поздовжньою, кручення та згину. Представниками елементів з поздовжньою деформацією є троси підйомних установок, ліфтів, систем буксирування, довгі кінематичні передачі, колони бурильних труб. До елементів з деформацією кручення відносяться протяжні вали та колони бурильних труб. Деформації згину зазнають маніпулятори промислових роботів, колони бурильних труб, стріли підйомних кранів.

Отже, аналіз властивостей виконавчих механізмів, як і властивостей електротехнічних та електронних ланок і електромеханічних систем в цілому, дозволяє зробити висновок, що для комплексного моделювання об'єктів, які розглядаються в роботі, доцільно розширювати базу математичних описів з залученням макромоделей, кожна з яких відображає групу ланок системи, що моделюється, та застосовувати структурно-орієнтований підхід до побудови комп'ютерних засобів.

У другому розділі приведені основні відомості про інтегральні динамічні моделі у вигляді інтегральних операторів і рівнянь типу Вольтерри, а також їх властивості, використання яких дозволяє покращити якість процесів моделювання електромеханічних систем. Найбільш доцільне призначення інтегральних динамічних моделей полягає в тому, щоб врахувати такі особливості електромеханічних систем як необхідність побудови математичних моделей, в тому числі непараметричних за експериментальними даними, застосування макромоделей для окремих фрагментів систем, що моделюються, наявність високочастотних завад у вихідних даних, які використовуються для формування математичних описів. При цьому повинна забезпечуватись можливість організації обчислювальних процесів з необхідною точністю.

Розповсюдженою, а в багатьох випадках і єдино можливою, моделлю скалярного лінійного динамічного об'єкта є інтегральний оператор виду

,

(1)

(відомий як оператор Вольтерри), де y(t) та x(t) вхідна та вихідна змінні, K(t, ф) -- ядро оператора, що представляє вагову (апаратну, імпульсну перехідну) функцію об'єкта, t₀, t -- початковий та поточний час. Динамічні властивості об'єкта визначаються видом ядра. Якщо K(t, ф) -- функція двох змінних довільного вигляду, то (1) описує нестаціонарний об'єкт. Якщо K(t, ф) = K(t - ф), то об'єкт стаціонарний. Для об'єкта із зосередженими параметрами K(t - ф) є степеневим рядом. Для об'єкта з розподіленими параметрами ядро K(t - ф) має довільний вигляд. Модель (1) фрагменту динамічної системи, для якої ядро може бути отримано аналітично (шляхом переходу від передатної функції або диференціального рівняння) або чисельно (шляхом обробки експериментальних даних), і є відповідною макромоделлю.

Керована багатоканальна електромеханічна система може описуватись у вигляді багатовимірного лінійного інтегрального рівняння Вольтерри ІІ роду

,

(2)

де -- n-вимірний вектор вихідних сигналів системи; -- m-вимірний вектор вхідних (керуючих) впливів;

;

;

K(t,ф), L(t,ф) -- ядра інтегральних операторів Вольтерри, що відображають динамічні характеристики ланок системи;

; ;

k(t), l(t) -- у загальному випадку змінні матриці, причому, якщо не зазначено додатково, матриця k(t) вважається рівною одиничній матриці I; t₀ -- момент початку функціонування системи (подачі керуючого впливу); t -- поточний момент часу; -- вільний член, що містить всю інформацію, необхідну для однозначного знаходження y(t) для всіх t ? t₀.

Рівняння (2) описує лінійну систему і має властивість лінійної залежності розв'язку від правої частини рівняння і, отже, від вхідного впливу. Вираз (2) описує систему, що фізично реалізується, оскільки значення вихідного сигналу в момент t обумовлюється лише значеннями вхідного впливу в цей і в попередній моменти і не залежить від наступних змін x(t). Залежності, які описує рівняння (2), дають змогу будувати, відповідно до структурно-орієнтованого підходу, обчислювальні процедури, які схематично подаються у вигляді структури, зображеної на рис. 1. Типовим блоком моделі (2) є матриця nm модулів (рис. 2), кожен з яких реалізує інтегральний оператор Вольтерри (1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Блок-схема рівняння (2)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Структура інтегрального модуля моделі багатоканальної керованої електромеханічної системи

При порівнянні інтегральної моделі (2) із відомими методами математичного опису лінійних систем з'ясовано, що вигляд моделі (2) і конкретні алгоритми її аналізу не пов'язані з порядком досліджуваної системи. Більш того, вираз (2) може описувати і нескінченновимірні системи (наприклад, системи із аргументом, що запізнюється). Важливою особливістю є і те, що у рівнянні (2) відсутні похідні функцій x(t) і y(t).

Оскільки математичний опис електромеханічних систем, як правило, здійснюється у диференціальній формі

(3)

пропонується спосіб отримання еквівалентного інтегрального рівняння на основі перетворення Рімана-Ліувілля. В результаті рівняння (3) перетворюється у еквівалентне інтегральне рівняння Вольтерри ІІ роду

,

яке з точністю до позначень співпадає з (2).

Диференціальним рівнянням стану системи відповідає еквівалентна система інтегральних рівнянь, яку можна отримати з використанням перетворення Рімана-Ліувілля:

Размещено на http://www.allbest.ru/

де k_i(t), l_i(t), m(t), K_i(t, ф), L_i(t, ф), M(t, ф), f_i(t, t₀), i = 1, 2 -- матриці-функції відповідної розмірності.

Перше з рівнянь (4) описує динаміку системи у просторі станів, а друге характеризує пристрій вимірювання вектора стану y(t) з урахуванням можливої інерційності, запізнення тощо.

Застосування інтегральних рівнянь доповнює та розширює можливості методів моделювання динамічних систем, дозволяє одержати нові числові моделюючі алгоритми.

Приймаючи в (2) k(t) ? I, отримуємо канонічну форму рівняння Вольтерри ІІ роду

,

(5)

де . Рівняння (5) також є макромоделлю системи чи її фрагмента з безпосереднім відображенням зворотного зв'язку.

Для практичного використання рівняння (5) важливе значення має умова існування розв'язку: якщо ядро K(t, ф) обмежене в області визначення і K(t, ф)  0 при ф > t, а функція g(t) неперервна, тоді існує неперервний і єдиний розв'язок. Дуже важливо, при цьому, що ядро може мати скінченну кількість розривів першого роду, що свідчить про згладжувальні якості моделі. Крім того, ітераційний процес при розв'язуванні рівняння (5) має широку область збіжності.

Явний розв'язок інтегрального рівняння (5) визначається у вигляді

,

(6)

де R(t, ф) -- резольвента ядра K(t, ф) (рівняння (5)), яка задовольняє рівнянням

, .

(7)

Поняття резольвенти дозволяє пояснити зв'язок інтегральної математичної моделі з фізичною суттю об'єкта, що моделюється, за допомогою його імпульсної перехідної функції, яка дорівнює

.

(8)

Для числової та структурно-алгоритмічної реалізації інтегральних динамічних моделей суттєве значення має випадок, коли ядра інтегральних операторів у (5) є виродженими, тобто



(9)

де кожен із наборів складається з лінійно незалежних функцій {б_i(t)}, {в_i(ф)}, {г_i(t)} і {щ_i(ф)}. Властивістю виродженості (9) володіють, наприклад, інтегральні моделі, еквівалентні лінійним диференціальним рівнянням із змінними коефіцієнтами без запізнювання.

Зведенням рівняння (2) до вигляду

(10)

можна підкреслити роль функції K(t, ф) та висновок, що у загальному випадку при моделюванні інтегральних операторів потрібно реалізовувати функції двох змінних -- ядра цих операторів. Тому на практиці для спрощення схеми моделі варто використовувати апроксимації типу (9) для функцій K(t, ф) і L(t, ф). Тоді, підставляючи вираз (9) в (10), після еквівалентних перетворень маємо

,

(11)

де , , .

Прикладом програмної реалізації рівняння (11) є приведена на рис. 3 Simulink-модель, яка містить лише підсумовуючі та інтегруючі блоки, а також блоки множення на змінні коефіцієнти та принципово дозволяє відтворення режимів реального часу.



Рис.

3. Схема для розв'язування інтегрального рівняння Вольтерри ІІ роду

Застосування інтегральних моделей дає змогу запропонувати метод ідентифікації динамічних систем, безпосередньо не зв'язаний з використанням оптимізаційних алгоритмів та статистичних методів. Для ідентифікації нестаціонарних динамічних об'єктів із зосередженими параметрами за експериментальними даними інтегральна модель подається у вигляді

,

(12)

де a₁(t), a₂(t), K₁(t, ф), K₂(t, ф), L₁(t), L₂(t) -- параметри, що підлягають визначенню, і -- відповідно, вихідний і вхідний сигнали динамічного об'єкта. Алгоритм визначення невідомих параметрів у (12) одержується із застосуванням квадратурних формул виду

, ,

(13)

де -- ваги, -- вузли сітки дискретизації часу, -- залишковий член.

Шляхом дискретизації моделі (12) у точках t_i (), одержано систему з лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих параметрів:

(14)

На основі припущення, що невідомі параметри у (12) мають поліноміальний вигляд, тобто

(15)

де -- невідомі постійні коефіцієнти, а , , , -- деякі системи лінійно незалежних функцій, , здійснюється формування системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів на основі перетворення рівняння (14), з урахуванням (15), до виду



(16)

Звідси для точок вимірів t_i , вважаючи m = n, одержано систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів q_j

,

(17)

де ,

(18)

Застосувавши для обчислення інтегралів в (18) квадратурні формули виду (13) та враховуючи той факт, що значення вхідного та вихідного сигналів задані експериментально з деякими похибками, від системи рівнянь (17) приходимо до наступної системи рівнянь відносно наближених значень компонентів вектора :

(19)

де, ,

, .

Таким чином, отримано кінцеву систему для розрахунку параметрів . Аналіз операцій, що входять у даний алгоритм, та результати багатьох обчислювальних експериментів дозволяють засвідчити, що метод має високу швидкодію та стійкість.

Третій розділ присвячений питанням керування та аналізу стійкості динамічних систем, що описуються інтегральними рівняннями.

При дослідженні керованості системи необхідно розв'язати наступні задачі: 1) виявити умови існування керування із необхідними властивостями (керованість системи); 2) побудувати хоча б одне допустиме керування; 3) віднайти у класі допустимих сигналів керування один або декілька елементів, які з деяких міркувань мають переваги перед іншими (побудова оптимального керування).

Для дослідження керованості динамічної системи за її інтегральною моделлю (4) доцільно використати такі поняття:

1) система (4) називається частково керованою за станом, якщо із довільного початкового положення, яке характеризується функцією f₁(t, t₀), вона може бути переведена обмеженим вхідним впливом x(t) у будь-який кінцевий стан y(T) = y_T за кінцевий час T - t₀;

2) система (4) називається повністю керованою, якщо із довільного початкового стану, який характеризується функцією f₁(t, t₀), вона може бути переведена обмеженим вхідним впливом x(t) у будь-який кінцевий стан, що відповідає заданій функції g₁(t, T) за кінцевий час T - t₀;

3) система називається керованою на відрізку [t₀, T], якщо у визначенні керованості цей відрізок заздалегідь фіксований;

4) система називається абсолютно керованою, якщо вона керована на будь-якому кінцевому відрізку;

5) система (4) називається частково (повністю) керованою за виходом, якщо у визначенні 1 величини f₁(t, t₀), y(T) та y_T замінені на f₂(t, t₀), z(T) та z_T (відповідно у визначенні 2 f₁ (t, t₀) та g₁(t, T) -- на f₂(t, t₀) та g₂(t, T)).

Для дослідження керованості динамічної системи, що описується рівнянням (4), отримано умову повної керованості, яка полягає у тому, що шуканий керуючий сигнал повинен задовольняти інтегральне рівняння Фредгольма першого роду

,

(20)

де.

Задача побудови термінального керування з використанням інтегральної моделі (2) при k(t)  I розв'язується, виходячи із введеного відповідного поняття для інтегральних моделей. Вважається термінальним такий керуючий сигнал x(t), який викликає реакцію системи, що задовольняє умові y(t) = y_d(t) для усіх t ? T. Тут y_d(t) -- бажаний вихідний сигнал, а момент Т може бути або заданим, або довільним (але скінченним). Отримано спосіб побудови термінального керування, що полягає у знаходженні такого вхідного впливу, який задовольняє при t  T рівняння (2), а для t ? T -- рівняння

(21)

Якщо матриця l(t) квадратна та невироджена для усіх t ?T, то рівняння (21) має єдиний розв'язок x(t). В результаті цього процедура знаходження термінального керування зводиться до довільного вибору x(t) на інтервалі [t_0,T) і розв'язування рівняння (21) для t ? T.

Для багатьох задач побудови керування додатково доводиться вибирати ще певну стратегію керування (мінімізація енергетичних затрат, запізнень, обмежень на керуючі сигнали тощо), тобто виникає необхідність розв'язування задачі оптимального керування. Для керованої динамічної системи, що описується рівнянням (2) при , задача оптимального керування розв'язується шляхом використання квадратичного критерію оптимальності

,

(22)

де R₁, R₂(t), R₃(t) -- відомі симетричні матриці відповідної розмірності, причому передбачається, що матриці R₁ та R₂(t) невід'ємно визначені, а матриця R₃(t) додатньо визначена. Крім того, для простоти запису вважається, що моменти початку t₀ та кінця Т процесу керування і функція f(t,t₀) є фіксованими, а значення у(Т) -- довільним.

Для мінімізації функціонала (22), враховуючи (2), введено n_вимірний вектор множників Лагранжа л(t) і побудовано допоміжний функціонал

Розглядається варіація дJ_л критерію J_л, яка відповідає варіації дх(t) вектора керування. З урахуванням зроблених вище припущень після тотожних перетворень отримано, що умова мінімуму квадратичного функціонала виконується, якщо справедливі наступні рівності:

(23)

Розв'язуючи одночасно рівняння (2) та (23), знаходиться шукане оптимальне керування х(t), що відповідає траєкторії у(t).

Дослідження стійкості системи за рівнянням (2) при k(t)  I проводиться з урахуванням, що його розв'язок можна подати у вигляді двох складових

y(t) = y₁(t) + y₂(t),

де y₁(t) -- вимушені коливання на виході системи, які викликані вхідним впливом; y₂(t) -- вільні коливання, що залежать лише від початкового запасу енергії та властивостей системи. Поширюючи відомі формулювання на розглянутий випадок, назвемо систему (2) стійкою (асимптотично), якщо

(24)

для довільної припустимої функції f (t, t₀), яка визначається початковим запасом енергії у системі.

Встановлено, що стійкість системи, визначається властивостями ядра K (t, ф), що значною мірою аналогічно стаціонарному випадку, коли стійкість взаємно однозначно пов'язана з розташуванням полюсів передатної функції. Крім того, справедливе твердження: якщо знайдеться такий момент часу t₁?, що для всіх ф  [t₁, t] функція K (t, ф) задовольняє умовам

(25)

а функція f (t, t₁) може бути вибрана від'ємною на відрізку [t₁, ?) і додатною на деякій множині ненульової міри, то система (2) нестійка.

Припустивши для визначеності, що f (t₁, t₁) 0, f (t, t₁) ? 0 і неперервна, а ядро K(t, ф) сумовне по ф на відрізку [t₁, t], тоді, приймаючи у рівнянні (2) відповідно принципу суперпозиції x(t)  0, знаходимо

для всіх t ? t₁, оскільки - K(t, ф) ? 0. Крім того, з виразів (25) випливає, що, що суперечить вимозі (24). Отже, умови (25) є достатніми умовами нестійкості і у загальному випадку не можуть бути ослаблені. Встановлено, що для стійкості системи необхідно, щоб порушувалась, принаймні, одна з нерівностей (25).

Четвертий розділ присвячений методам еквівалентних та апроксимаційних перетворень динамічних моделей. Неоднорідність складу електромеханічних систем робить необхідними не тільки використання при їх дослідженні різних видів динамічних моделей, але наявності ефективних методів взаємного перетворення цих моделей. Загальний метод еквівалентного перетворення лінійних диференціальних моделей

(26)

або в операторній формі , в інтегральні базується на розщепленні. Записуючи D = D₁ + D₂, отримаємо диференціальне рівняння

,

(27)

де . Вибираючи такий спосіб розщеплення, щоб допустимим був аналітичний розв'язок рівняння (27), отримаємо розв'язок , тобто інтегральне або інтегро-диференціальне рівняння.

Записавши рівняння (26), у вигляді

,

і використавши заміну змінних , ,..., =, отримуємо рівняння -го порядку

.

(28)

Якщо від (28) перейти до еквівалентної канонічної системи диференціальних рівнянь, то її фундаментальний розв'язок і є еквівалентним інтегральним рівнянням

,

(29)

де , , , а матриця порядку має вид

.

Шукані змінні рівнянь (26) та (29) пов'язані залежністю

.

Перехід від одного варіанту моделі до іншого відбувається шляхом зміни значення . Якщо прийняти , то розчеплення оператора D зводиться до розв'язання вихідного рівняння відносно старшої похідної і отримання інтегрального рівняння виду

,

(30)

де .

Якщо використати заміни , і т.д.,

,

то у рівняння (30) матиме вигляд , де



У випадку, коли до моделі, поданої у просторі станів, ставляться вимоги щодо мінімальної обчислювальної складності, наприклад, для забезпечення її функціонування в режимі реального часу при обмежених обчислювальних потужностях, виникає задача спрощення вже існуючої моделі. При цьому основні властивості вихідної моделі системи вищої розмірності передаються спрощеною моделлю досить точно, але ряд другорядних характеристик при такому представленні втрачається. Такий підхід дозволяє понизити при моделюванні розмірність математичної моделі.

Основна ідея запропонованого методу полягає в тому, що пониження розмірності наближеної моделі здійснюється шляхом нехтування швидко спадаючими елементами при описі перехідного процесу вихідної системи. Сам метод базується на виділенні з вихідної моделі низькочастотних елементів, які несуть інформацію про найбільш суттєві властивості динамічного об'єкта.

Найбільш ефективним методом комп'ютерного моделювання динамічних об'єктів, що описуються складними передатними функціями виявився метод побудови та реалізації ланцюгово-дробових апроксимаційних моделей. Метод включає алгоритм спрощення складних дробово-раціональними передатних функцій, який дає змогу отримувати редукційні моделі динамічних об'єктів із зосередженими параметрами з можливістю досягнення необхідного показника "складність моделі -- точність моделювання". При цьому вихідна передатна функція розвивається в ланцюговий дріб з наступним зрізанням залишку та будується підхідний дріб, що і дає дробово-раціональну передатну функцію нижчого порядку ніж вихідна. Розвиток методу привів до створення низки алгоритмів апроксимації трансцендентних та ірраціональних передатних функцій, який дозволяє будувати дробово-раціональні апроксимаційні моделі об'єктів з розподіленими параметрами, що відповідають вимогам чисельної та комп'ютерної реалізації. Розроблені алгоритми покладені в основу створення прикладних програм в середовищі Matlab, які шляхом обчислювальних експериментів дозволили встановити, що при пониженні порядку моделей динамічних систем, які задаються дробово-раціональними передатними функціями, точність наближення ланцюгово-дробових апроксимаційних моделей вища у порівнянні з моделями, отриманими за допомогою реалізованих в Matlab методів, при умові значного зниження степеня дробово-раціональної передатної функції.

Особливе значення мають апроксимаційні перетворення моделей у випадку числової реалізації моделей ланок з розподіленими параметрами, які присутні в електромеханічних системах. Характерним прикладом математичного опису об'єкта з розподіленими параметрами є задане у прямокутній області G з границею Г{б < x < в; y₀ < y < y₀ + l} диференціальне рівняння

(31)

з граничними умовами

(32)

де ц₀(t), ц_l(t), ш₀(x), ш_T (x) -- відомі функції. Найбільш розповсюдженими ланками, що мають опис (31)--(32) є механічні вали.

Застосування методу прямих до рівнянь (31)--(32) з подальшим нехтуванням членами точності O(h²) дозволяє отримати систему n звичайних лінійних диференціальних рівнянь другого порядку:

,

(33)

де k = 0, 1, 2,..., n; x_k = x₀ + kh; ; x_k(t) = u(x_k, t); U_k(t) -- наближені значення розв'язку u(t, x) на прямій x = x_k.

Використовуючи граничні умови на Г, маємо:

(34)

Отже, отримана модель у вигляді системи диференціальних рівнянь (33) з граничними умовами (34) апроксимує з точністю до O(h²) диференціальне рівняння (31) з граничними умовами (32), що дає змогу на основі застосування перетворення Лапласа до (33) будувати simulink-моделі у вигляді блочної структури з відповідними зв'язками (рис. 4).

Рис.

4. Структурна реалізація апроксимаційної моделі (33)

Отримана таким чином simulink-модель володіє рядом властивостей, що виявились корисними при побудові моделей електромеханічних систем, зокрема: оборотністю (дає змогу моделювати вхідні впливи та отримувати відгуки для будь-яких перерізів лінійно протяжного об'єкта); можливістю оперативного уточнення моделі.

Слід враховувати, що заміна моделі з нескінченною кількістю степенів свободи скінченновимірною приводить до розходження отриманих з їх допомогою значень власних частот об'єкта, що моделюється. В роботі запропоновано спосіб оцінки точності апроксимаційної моделі на основі обчислення величини відхилення власних частот об'єкта, отриманих за допомогою моделі, від дійсних, що дає змогу, задаючись похибкою апроксимації або знаючи зону робочих частот усієї системи, визначати необхідну кількість диференціальних рівнянь апроксимаційної моделі.

П'ятий розділ присвячений створенню алгоритмічних основ побудови ефективних програмних засобів для комп'ютерного моделювання динамічних процесів в електромеханічних системах з комплексним використанням динамічних моделей у вигляді диференціальних рівнянь, передатних функцій, інтегральних операторів і рівнянь, їх систем та інтегро-диференціальних рівнянь.

Обране моделююче середовище у вигляді системи MatLab дозволяє ефективно використовувати стандартні MatLab- та Simulink-програми для реалізації диференціальних моделей та дробово-раціональних передатних функцій. При цьому потребує розв'язку питання про вибір з багатьох доступних конкретного методу розв'язання диференціальних рівнянь, в першу чергу при необхідності забезпечення вимог точності та швидкодії, що насамперед стосується задач дослідження систем керування. Для цього випадку в роботі пропонується наступний спосіб вибору числового методу.

Для визначення методу, що потребує мінімальної швидкодії обчислювача, а похибка не перевищує заданої допустимої величини , використовується критерій вибору мінімального значення величини , де і -- індекс методу, N_i -- обсяг обчислень на кроці інтегрування i-м методом, -- залежність похибки розв'язку від величини кроку h. Якщо ж задано швидкодію обчислювача і потрібно знайти метод, який дає мінімальну похибку, то обирається метод з мінімальним значенням величини , де -- задана швидкодія.

Комп'ютерна реалізація моделей у вигляді складних передатних функцій ірраціонального та трансцендентного виду ґрунтується на алгоритмах ланцюгово-дробової апроксимації (розділ 4).

Для числової реалізації інтегральних динамічних моделей вимагається розробка розвинутого набору алгоритмів, які забезпечують обчислення інтегральних операторів, розв'язування інтегральних рівнянь Вольтерри ІІ роду та їх систем, розв'язування задач ідентифікації кожного виду динамічних моделей, що розглядаються, шляхом обробки експериментальних даних. Набір алгоритмів, що підлягає розробці, повинен задовольняти широкому діапазону вимог до точності результатів в залежності від класу задач моделювання -- аналіз та дослідження процесів, синтез, проектування та оптимізація систем, забезпечення процесів керування, еквівалентне та апроксимаційне перетворення динамічних моделей.

Основою числової реалізації інтегральних моделей є квадратурні алгоритми, що забезпечують широкий діапазон точності розрахунків шляхом використання квадратурних формул з різними показниками точності, або їх комбінацій. Розроблені квадратурні алгоритми дозволяють обчислювати найбільш розповсюджені на практиці інтегральні оператори Вольтерри, що відображають ланки без зворотного зв'язку: з довільним ядром, як макромоделі високої універсальності; з різницевим ядром, як моделі об'єктів з розподіленими параметрами; з виродженим ядром, які забезпечують високу швидкодію обчислень.

Для розв'язування інтегральних рівнянь Вольтерри ІІ роду, як моделей керованих динамічних об'єктів зі зворотними зв'язками, розроблено алгоритми для випадків рівнянь з ядрами загального та виродженого виду. Алгоритми передбачають можливість використання різних за точністю квадратурних формул та їх комбінації (трапецій, Сімпсона, Ньютона-Котеса 8-11 порядку точності).

При нелінійній постановці задач динаміки керованих прецизійних електромеханічних систем виникає необхідність розв'язування нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерри ІІ роду з підвищеною точністю. Для цього пропонуються два алгоритми порядку точності O(h⁶) та O(h⁸), які ґрунтуються на застосуванні п'яти- і семиточкових квадратурних формул Ньютона-Котеса замкнутого типу. Алгоритми передбачають відшукання початкових значень таблиці числового розв'язку. Після того, як початок таблиці визначено, для знаходження розв'язків у наступних вузлах розв'язується лише одне нелінійне рівняння. Для обчислення значень шуканого розв'язку на початку таблиці, а також у наступних вузлах використано метод диференціювання за параметром, що дало змогу звести обчислення до розв'язування задачі Коші для рівнянь першого порядку.

У випадку керованої багатозв'язної електромеханічної системи, динамічні процеси в якій описуються системою інтегральних рівнянь Вольтерри ІІ роду , (), пропонується зведення її до алгебраїчної системи рівнянь шляхом розбиття відрізка [t₀, T] точками з подальшою заміною інтегралів квадратурними сумами, де , y_j -- наближені значення розв'язку y_r(t) у вузлах t_i (), A_l -- коефіцієнти квадратурної формули. Оскільки значення змінних (тобто значення y_j в точці t_l) для l < i відомі, то є постійною величиною, обчислюючи яку з визначаємо вільний член r-го рівняння системи, де . Остаточно одержуємо систему , на основі якої будуємо алгоритм знаходження y_r(t_i).

Для забезпечення незмінної кількості операцій на кожному кроці обчислення значень y_r(t_i) пропонується алгоритм, який ґрунтується на можливості зведення моделі до системи інтегральних рівнянь з виродженими ядрами

,

що дає змогу шукати розв'язки за допомогою рекурентного співвідношення: