Классический метод вариационного исчисления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Классический метод вариационного исчисления

Задачи синтеза алгоритмов оптимального управления объектами в динамике при выбранном функционале критерия качества имеют дополнительные (условные) ограничения в виде уравнений математической модели динамики объекта. Экстремум функционала, определяемый при дополнительных условиях (функциональных ограничениях), называют условным экстремумом. Задачи на условный экстремум при определении оптимальных управлений объектом в динамике обусловлены тем, что функции xi(t) и ul(t), входящие в функционал J, не могут варьироваться независимо, так как они связаны уравнением динамики объекта. Траектория выхода у(t) является следствием изменения координаты управления и зависит от вида дифференциального уравнения объекта.

Задача об оптимизации объекта управления в динамике, решаемая классическим вариационным исчислением, имеет следующую формулировку. Задана математическая модель объекта в форме уравнений состояния, представленная при одной координате управления векторным уравнением

.

Требуется определить оптимальное управлением0 (/), обеспечивающее минимум функционала

,

задача лагранж вариационный исчисление

в котором X и u связаны уравнениями состояния , а функция F(...) является непрерывной по всем переменным и имеет непрерывные частные производные первых двух порядков. Функции xi(t) и u(t) должны быть непрерывными и иметь непрерывные первые производные (i = 1, 2, ..., n). Векторы X0 и Хк фиксированы.

Первые задачи на условный экстремум были поставлены и решены основоположниками классического вариационного исчисления Бернулли, Эйлером и Лагранжем. Задачу, определяемую дифференциальными связями типа и функционалом, называют общей задачей Лагранжа. Если функционал характеризует конечное состояние J = G[X(tк), u(tк), tк], то имеем задачу Майера, а если

задачу Больца. Для решения общей задачи Лагранжа используют метод множителей Лагранжа.

При решении задачи на условный экстремум рассматривают вспомогательный функционал

,

где т = [1, 2,..., n] - строка множителей Лагранжа;

.

Функцию называют функцией Лагранжа, а функцию - функцией связей, которая определяется исходными уравнениями:

,

Задачу на безусловный экстремум решают для вспомогательного функционала. Уравнения Эйлера при этом составляют для функции Лагранжа (i = 1, 2, ..., n):

Эти уравнения называют уравнениями Эйлера - Лагранжа; они характеризуют условие стационарности функционала. В результате решения уравнений с учетом уравнений получим оптимальное управление u0(t) объектом в динамике.

Уравнения и являются уравнениями вариационной задачи, порядок которых после исключения координаты управления равен 2n. При решении этих уравнений относительно векторов X и для заданных X(t0) и X(tк) рассматривается двухточечная краевая задача. Сложность решения ее обусловлена тем, что начальные значения множителей Лагранжа i(t0) неизвестны. Чтобы удовлетворить заданным значениям векторов состояния X(t0) и X(tк), приходится многократно решать уравнения вариационной задачи, задаваясь различными начальными значениями i(t0).

При определении оптимального управления классическим методом вариационного исчисления уравнения вариационной задачи могут быть записаны в гамильтоновой или канонической форме. Пусть функционал в частном случае зависит от переменных х1(t) и х2(t), а также их производных и :

.

Запишем для него уравнения Эйлера типа :

От переменных х1 и х2 перейдем к новым переменным р1 и р2 согласно выражениям

,

а от функции F - к новой функции

,

В общем случае, при n переменных выражение для функции Н запишем в векторной форме:

,

где функцию Н называют функцией Гамильтона, а переменные pi - каноническими переменными.

Дифференцируя , получаем

.

На основании уравнений Эйлера и запишем

,

При этом вместо получим новую систему дифференциальных уравнений, которые называют каноническими уравнениями Гамильтона:

Размещено на Allbest.ru