Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Функция, ОДЗ

Пусть заданы 2 множества Х,У функцией или отображением из Х в У называется правило, по которому каждому значению их Х ставится в соотвествие значение из У.

Числовые функции характеризуются тем, что оба множества Х и У являются подмножествами множества действительных чисел (или совпадают с ними). Область определения функции - множество возможных значений, которые может принимать аргумент.

Графиком функции с областью определения называется множетсво точек Г={(x,f(x)|xX}.

2. Свойства функции

1. Чётность. Если облать определения функции симметричня относительно нуля и f(-x)=f(x) xD(f), то функция у=f(x) называется чётной. Если

f(-x)= - f(x) xD(f), то функция у=f(x) называется нечётной. Если не выполняется ни первое, ни второе условие, то функция обшего вида.

2. Монотонность. функция у=f(x) - возрастающая , если для любого х1 и х2 из области определения функции (х1<х2) выполняется неравенство f(x1)<f(x2)

Функция у=f(x) - убывающая, если для любого х1 и х2 из области определения функции (х1>х2) выполняется неравенство f(x1)>f(x2).

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

3. Ограниченность. Функция у=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке , если существует М>0, MR|xданному промежутку |f(x)|M.

Функция у=f(x) называется ограниченной снизу, если существует mR |xданному промежутку mf(x). Функция у=f(x) называется ограниченной сверху, если существует mR |xданному промежутку mf(x).

4. Периодичность. Функция у=f(x) называется периодической с периодом Т не равным нулю, если выволняется условие f(x+ - T)=f(x).

3. Обратная функция

Пусть Функция у=f(x) задана на множестве Х=D(f) и Y=E(f). Предположим, что различным значениям х1 и х2 соответствуют различные значения функции f(x1) и f(x2). Тогда для любого уУ мы сможем поставить в соответсвие хХ| y=f(x). Получает отображение f-1: УХ. Это отображение называется обратным. График прямой и обратной функции симметричен относительно биссектрисы первой и третьей координатной четверти.

4. Сложная функция

Пусть заданы две функции t=h(x), [xD(h), T=E(h)] и y=g(t), [tT=D(g), Y=E(g)] (область определения одной функции совпадает с областью значений другой функции и наоборот) Тогда справедливо следующее правило: из любого хХ по правилу ставится в соответствие y=g(h(x)). Это правило называется сложной функцией.

5. Основные элементарные функции

1. Степенная. y=x, =const, R. D(f)=(0;+). Если ND(f)=R.

2. Показательная. y=ax, a>0,a не равно 1. D(f)=R/ E(f)=(0;+). Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если а(0;1), функция убывает.

3. Логарифмическая. y=logax, a>0, a не равно 1. D(f)=(0;+), E(f)=R. Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если а(0;1), функция убывает.

4. Тригонометрические.

5. Обратные тригонометрические.

6. Предел функции

Опр. Пределом функции у=f(x) в точке х0 (или при х >х0 )называют число а, если для любой последовательности { хn} значений аргумента , сходящейся к (при этом все хn? х0) последовательность значений функции сходится к пределу а. Это записывают в виде:

Аналогично определяеся предел при х >? (случаи когда х0 есть +? или -?). А именно, равенство (*) во всех случаях означает следующее: для любой последовательности { хn}, сходящейся к х0 , соответствующая последовательность {f(хn)} сходится к а.

7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Опр. Функция f(x) наз.бесконечно малой при х >х0, если и бесконечно большой при х >х0 , если

Справедливы теоремы. 1.Сумма и произведение двух бесконечно малых функций (при х >х0) снова являются бесконечно малыми функциями (при х >х0).

2.Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть снова бесконечно малая функция.

8. Свойства предела функции

1. Функция f(x) в точке х0 может иметь только один предел.

Доказательство: Пусть

и одновременно

где a?b.

Тогда для любой последовательности { хn} сходящейся к х0 (где все хn? х0), мы должны иметь два предела

что невозможно, т.к. последовательность {f(хn)} может иметь только один предел.

2.Если f(x) имеет предел в точке, то в некоторой окрестности этой точки функция ограничена.

Доказательство. Предположим, что это не так. U1=( х0-е ; х0+е), е>0 . Ввиду неограниченности f(x) в этой окрестности должна найтись точка х1 U1 , такая что ¦f(х1)¦>1. Уменьшим вдвое эту окрестность и рассмотрим U2=( х0-е/2 ; х0+е/2), е>0 окрестность, в ней снова найдется такая точка х2 U2 , такая что ¦f(х2)¦>2. Продолжив это рассуждение, получим Un=( х0-е/n ; х0+е/n) , f(хn) > n, хn > х0 ; f(хn)>?. мы пришли к противоречию.

3.Если для всех точек х некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x) ?b , то и если такой предел существует. (доказывается по соответствующему свойству предела числовой последовательности).

4.Если в некоторой окрестности точки х0 имеем f(x)?g(x) , то и если пределы существуют.



5. Если в некоторой окрестности точки х0 имеем f(x)?g(x)?h(x) причем пределы f(x) и h(x) при х> х0 существуют и равны между собой

Арифметические свойства пределов

9. Односторонние пределы

Опр.Число а называют пределом функции f(x)в точке х0 справа, если для любой сходящейся к х0 последовательности {хn}, в которой все хn>х0, соответствующая последовательность {f(хn)} сходится к а.

Аналогично определяют предел функции слева:

10. Асимптоты функций

Прямая у=а называется вертикальной асимптотой графика у=f(x) , если хотя бы один из пределов

Прямая у=кх+b является наклонной асимптотой графика у=f(x) при х>+?, если f(x) представима в виде f(x)= кх+b+б(х), где

Теорема. Для того чтобы график функции у=f(x) имел х>+? наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

Аналогично определяется наклонная асимптота для случая х>-?.

11. Монотонные функции

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором множестве Х принадл. R1, если она определена на этом множестве и если для любых значений х1, х2, принадлежащим Х, из условия х1<х2 следует нер-во:

f(x1)<f(x2) (f(x1) >f(x2))

Функция y=f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на некотором множестве Х принадл. R1, если она определена на этом множестве и если для любых значений х1, х2 принадлежащим Х из условия х1<х2 следует нер-во:

f(x1)?f(x2) (f(x1) ?f(x2))

Невозрастающие, неубывающие, возрастающие и убывающие ф-и наз. Монотонными.

Любая ограниченная монотонная функция имеет предел.

12. Замечательные пределы

lim f(x)sinx/x =1(при х>0) - первый замечательный предел.

Док-во. Т.к. ф-я y= sinx - четная, то достаточно показать, что предел при х>0 справа равен 1.

MK= sinx Видно, что sinx<x<tgx,

1<x/ sinx<1/cosx

1>sinx/x>cosx

при х>0 справа имеем lim cosx=1, lim 1=1. Значит получили требуемое равенство.

2) lim (1+1/x)x =e(х>+ (-)?)

- второй замечательный предел.

Док-во.

Докажем

1)при +?. Пусть х - любое число. Найдем такое целое n, чтобы выполнялось нер-во:

n ? x< n+1

Будем считать, что х>1,n>0. Сделав необходимые преобразования, получим:

1+1/ n ? 1+1/x> 1+1/(n+1)

Зная условие (1), можем получить:

(1+1/ n)n+1? (1+1/x)x> (1+1/(n+1))n

Или

f(x) ?(1+1/x)x>g(x).

При х>+? ,n >+?, f(x) и g(x)>е. По св- ву предела ф-и lim (1+1/x)x >е(при х>+?), что и т.д.

2) при -?. Пусть х=-t, где t>0.

(1+1/x)x=(1-1/t)-t =((t-1)/t)-t =(t/(t-1))t =(1+1/(t-1))t =(1+1/(t-1))t-1 (1+1/(t-1))x

Выражение в правой части >е*1=е при х>-?, т.е. t >+?, что и т.д.

13. Формула непрерывных процентов

К0-исходный капитал.

Р- номинальная процентная ставка.

к- число периодов начисления .

Пусть к=1, тогда

К=К0*(1+р/100)

к=2, К=К0(1+р/2*100)2

к=360, К=К0(1+р/360*100)360,т.е. К=К0(1+р/к*100)к>К0*ер/100

при к >?(это случай, если начисление процентов производится в течение одного года). Когда начисление процентов производится на протяжении нескольких лет - t, то, разделив промежуток [0;t] на к равных периодов начисления процентов, получим (к>?):

К0lim (1+рt/100*к)к= К0*ерt/100

К=К0*ерt/100

формула непрерывных процентов.

14. Непрерывность функции в точке

y = f(x), x0 D(f)

Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки х0, называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке x0 существует и равен значению в этой точке: lim f(x) = f(x0)

Размещено на http://www.allbest.ru/

X Xo

y y = f(x) x x0; f(x) f(x0)

F(x0) y

x0 x Дy

x - x0 = Дx

f(x) - f(x0) = Дy

x x0

Дx x

f(x) непрерывна в точке x0 lim Дy = 0

ДX O

Свойства функций непрерывных в точке

1)Если f(x), g(x) - непрерывны в точке x0, то f(x) ± g(x); f(x)* g(x); f(x)/g(x) (g(x) ? 0) - также непрерывны в точке x0.

Докажем, что F(x) = f(x)*g(x) непрерывна в точке x0

Дано: f(x) и g(x) - непрерывны в x0 lim f(x) = f(x0); lim g(x) = g(x0)

X Xo X Xo

lim (f(x)*g(x)) = limf(x)*lim g(x) (по свойству предела функции) = f(x0)*g(x0) (по

X Xo X Xo X Xo

определению непрерывности) F(x) = f(x)*g(x) непрерывна в x0.

2) f(x) - непрерывна в точке x0, существует такая окрестность точки

f(x0) > 0 x0 , во всех точках которой f(x) > 0.

15. Основные элементарные функции

Степенные функции: y = xa,

где а - любое постоянное число. Областью определения считается промежуток x > 0, но если, например, а-натуральное число, функция определена для всех х.

Показательная функция: y = ax,

где a > 0, a ?1. Область определения - множество всех действительных чисел.

Логарифмическая функция: y = logax,

где a > 0, a ?1. Область определения: x > 0.

Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

Область определения для sin x и cos x - множество действительных чисел.

Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctgx.

Область определения x -1; 1 для arcsin x и arccos x, множество действительных чисел для arctg x.

Действия над функциями, которые считаются допустимыми:

все арифметические действия (f + g, f - g, f*g, f/g);

построение сложной функции.

Элементарными функциями называются такие, которые получаются из основных с помощью допустимых действий.

Элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

16. Теорема о непрерывности сложной функции

Пусть даны две функции x = ц(t) с областью определения Т и множеством значений Х, и y = f(x) с областью определения Х и множеством значений Y.

Тогда «цепное правило: ц f

t x y

определяет новую функцию с областью определения Т. Эта новая функция обозначается y = f ( ц(t) ) и называется сложной функцией.

Если x = ц(t) - непрерывна в t0 y = f ( ц(t) ) - непрерывна в t0

y = f(x) - непрерывна в x0 = ц(t0)

Доказательство:

x = ц(t) - непрерывна в t0 Дt 0 Дц 0 (Дx 0)

y = f(x) - непрерывна в x0 Дx 0 Дf 0

Дt 0 Дx 0 Дf 0 (Дt 0 Дf 0)

y = f(ц(t)) - непрерывна в t0

17. Теорема о непрерывности обратной функции

Пусть y = f(x) - функция с областью определения X (D(f) = X) и областью значений Y (E(f) = Y). При этом разным значениям х отвечают разные значения y. Тогда для каждого значения y Y существует только одно x Х, такое , что f(x) = y. Если мы сопоставим каждому y Y именно такое x, то получим отображение множества Y в множество X. Это отображение называется обратным к данному отображению f и обозначается f -1 , т. е. обратная функция для y = f(x) есть x = f -1(y).

Пусть y = f(x) (x D (f)) непрерывна и возрастает на отрезке a; b, тогда обратная функция x = f--1(y) также непрерывна и возрастает на f(a); f(b). (аналогично для непрерывной убывающей функции).

18. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация

Функция , определённая в некоторой окрестности точки х0, называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке х0 существует и равен значению в этой точке.

Функция f(x), определённая на отрезке [a,b], называется непрерывной в точке а справа, если lim f(x)=f(a) (аналогично слева)

xa+0

Функция y=f(x) непрерывна на Х, если эта функция непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Если lim f(x) не равен lim f(x0)

XXo

то х0 - точка разрыва непрерывности этой функции.

Классификация точек разрыва.

1. х0 - точка разрыва первого рода, если одосторонние пределы существуют, но они не равны между собой.

1.1 Точка устранимого разрыва, если односторонние пределы равны между собой, но их значение не совпадает со значением функции в этой точке.

Lim f(x)=lim f(x) не равен f(x0)

XXo-0 XXo+0

1.2 Точка разрыва с «конечным скачком». Правый и левый пределы не совпадают.

1.3 Точка разрыва с «бесконечным скачком». Хотя бы один односторонних пределов бесконечен.

2. х0 - точка разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует.

19. Производная функции и ее геометрический смысл

Приращением функции y =f(x) в точке x0 называется разность

Ду=f(x)-f(x0)= f(x+Дx)-f(x0)

Производной от функции y=f(x) в точке х0 наз. Предел отношения Ду/Дх, когда Дх>0 (при усл., что этот предел существует)

Написать обозначение производной.

Геометрический смысл производной.

Пусть Г- график функции y=f(x). Рассмотрим на Г т. А(x0,f(x0)) и т. В (x0+Дx,f(x0+Дx))

Размещено на http://www.allbest.ru/

В

С y=f(x) А

Прямая АВ называется секущей. Будем считать, что y=f(x)-непрерывная функция, тогда если Дх>0, то f(x0+Дx)>f(x0), т.е. В>А при Дх>0.

Пусть г - угол наклона секущей относительно оси ОХ. Если существует предел lim г=г0 при Дх>0, то прямая, проходящая через А и образующая с осью ОХ угол г0, называется касательной к Г в точке А.

Пусть С(f(x0+Дх), f(x0)) - точка, дополняющая отрезок АВ до прямоуг. треугольника АВС. Т.к. АС//ОХ, то tgг =Ду/Дх. Переходя к пределу, получим: tgг0=f?(x0)

Т.е. геометрический смысл производной состоит в том, что f?(x0) - это тангенс угла наклона касательной к графику y=f(x) в точке (x0,f(x0)).

20. Уравнение касательной

Найдем ур-е касательной к графику Г ф-и y=f(x) в точке А(х0, f(x0)): т.к. т. А принадлежит Г и ур-ю касательной, то f(x0)=kx0+b, откуда b= f(x0)-kx0, значит, касательная задается след. Ур-м:

y= kx+ f(x0)-kx0= f(x0)+k(х-x0)

Т.к. k= f?(x0), то

y=f(x0)+ f?(x0)(х-х0).

21. Односторонние производные

Правой(левой) производной от y=f(x) в точке x0 называется предел f?(x0)=lim (f(x+Дx)-f(x0))/Дх при Дх>0+0(Дх>0-0).

Если левая и правая производные функции в точке x0 сущ-т, и они равны, то производная f?(x0) сущ-т и равна им. Если же левая и правая производные функции в точке x0 не равны, то y=f(x) не имеет производной в точке x0.

Правила дифференцирования

Теорема. Если функции u=f(x), v=g(x) дифференцируемы в точке х0, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке ч0 и выполняются следующие формулы:

(U+(-)v)?=u'+(-)v'

(uv)'= u'v + uv'

(u/v)'= (u'v - uv')/v2

22. Производная сложной и обратной функций

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке t0, g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в точке t0 и выполняется след. Формула:

f'(g(x))=f'(x0)*g'(t0)

Теорема. Если y=f(x) имеет обратную ф-ю x=g(y) и в точке х0 производная f?(x) не равна 0, то обратная функция g(y) диф-ма в точке y0=f(x0) и

g'(y)=1/f(x0)

23. Производная элементарных функций

Обл. определения производной f'(x) явл. множество всех точек x0, в которых y=f(x) имеет конечную производную.

Производная каждой элементарной ф-и явл. элементарной ф-ей.

Производная логарифмической ф-и: (logax)'=1/xlna

Производная показательной ф-и: ax= ax lna

Производная степенной ф-и: (xa)' = axa-1

Производная тригонометрической функции:

(Sinx)'=cosx

(cosx)'=-sinx

(tgx)'=1/cos2x

Производные обратных тригонометрических функций:

(Arcsinx)'=1/(1-x2)1/2

(Arccosx)'=-1/(1-x2)1/2

(arctgx)'=1/(1+ x2)

24. Понятие функции, дифференцируемой в точке

Опр. Функция у=f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение в х0 можно представить в виде ?у=А?х+б(?х)?х (*), где А - некоторое число, б(?х) - функция от ?х, являющаяся бесконечно малой при ?х>0. Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в этой же точке устанавливает Теорема.

Теорема. Для того чтобы f(x) была дифференцируема в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. 1.Необходимость. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в х0. Тогда ее приращение можно представить в виде (*). Следовательно

Следовательно производная существует и равна А. 2.Достаточность. пусть существует конечная производная f ? (х0)=А. Тогда по определению производной, lim?х>0(?у/?х)=А. положим, что б(0)=0 и б(?х)= (?у/?х) - А, если ?х?0. Определеннная так функция б(?х) является бесконечно малой при ?х>0. Действительно lim?х>0б (?х)= lim?х>0((?у/?х) - А)=А - А=0. Кроме того , ?у=А?х+б(?х)?х. Тем самым доказано, что функция дифференцируема в х0.

Замечание. Если функция дифференцируема в х0, то из (*) следует, что ?у>0, когда ?х>0, т.е. функция непрерывна в данной точке. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной, но не дифференцируемой в данной точке.

Пусть f(x) дифференцируема в х0 ,следовательно, существует производная и коэффициент А из (*) совпадает с производной, как следует из доказательства теоремы. Тогда формулу (*) можно представить

f(x)=f(х0)+ f ? (х0) ?х +б(?х)?х. б(?х) б.м. функция (?х>0)

?f(х0)~ f ? (х0) ?х (приращение функции эквивалентно произведению производной на приращение аргумента)

Дифференциал функции в точке

Опр. Диф-м функции в х0 наз. линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции в этой точке, эквивалентная всему приращению.

d f(х0)= f ? (х0) ?х; ?х=dх; df(х0)= f ? (х0) dх

Геометрический смысл. Уравнение касательной в х0 эквивалентно уравнению

у=f(х0)+ f ? (х0) ?х (***)

сравнивая (**) и (***) видим, что расстояние от точки Р(х, f(x)) на графике до точки Q (x, f(х0)+ f ? (х0) ?х) на касательной равно б(?х)?х, т.е. является бесконечно малой более высокого порядка, чем ?х, когда ?х>0.

Вывод: геометрический смысл дифференцируемости f(x) в точке х0 состоит в том, что расстояние от точки на ее графике до соответствующей на касательной стремится к нулю "быстрее", чем ?х.

25. Приближенные вычисления

f(x0)f '(x0) x

f(x0+x)- f(x0) f '(x0) x x

f(x0+x) = f(x0)+ f '(x0) x

26. Эластичность функции и ее свойства

Эластичностью функции y = f(x) в точке х0 называется следующий предел

Eyx(x0) = lim ((Дy/y): (Дx/x)).

Дx 0

Говорят также, что Еxy(x0) - это коэффициент эластичности y по x.

(При достаточно малых Дx выполняется приближенное равенство

(Дy/y): (Дx/x) Еy Дy/y Еy Дx/x.

Эластичность Ey - это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x.)

Еyx(x0) = lim ( (f(x0 + Дx) - f(x0))/f(x0) : Дx/x0 ) = (x0/f(x0))f'(x0)

Дx0

Ey = (x/y)y'.

Если y'/y представить как логарифмическую производную, то получается

Ey = x(lny)'

x = 1/(1/x) = 1/(lnx)' Ey = (lny)'/(lnx)'

Свойства эластичности (эластичность во всех последующих примерах будет браться по x)

Eky = Ey

Eky = x (ln (ky))' = x (ln k + ln y)' = x(ln y)' = Ey

Euv = Eu + Ev

Euv = x (ln uv)' = x (ln u + ln v)' = x(ln u)' + x(ln v)' = Eu + Ev

E u/v = E u - Ev

y = y1 + y2; y1, y2 > 0

Emin Ey Emax

Emin = min {E(y1), E(y2)}

Emax = max {E(y1), E(y2)}

(Лемма a/b, c/d - дроби; a/b c/d a/b (a+c)/(b+d) c/d)

E(y) = y'x/y

E (y1 + y2) =( (y1 + y2)'/ (y1 + y2))*x = ( (y1' + y2')/ (y1 + y2))*x

E(y1) = (y1'/y1)x; E(y2) = (y2'/y2)x

Из леммы получаем:

(y1'/y1)x ( (y1' + y2')/ (y1 + y2))*x (y2'/y2)x

Emin Ey Emax

Для функций y = f(x) и x = g(t) эластичность y по tв точке t0 удовлетворяет следующему равенству:

Eyx(t0) = Eyx(g(t0))Ext(t0).

Eyt(t0) = (ln y)'t = (ln y)'t (ln x)'t = (ln y)'x xt' Ext(t0) = Eyx(g(t0))Ext(t0)

(ln t)'t (ln x)'t (ln t)'t (ln x)'x xt'

Для функции y = f(x) эластичность обратной функции x = g(y) в точке x0 удовлетворяет соотношению:

Exy(y0) = E -1yx(g(y0)).

Поскольку g (y) - обратная функция, то выполняется тождество

f(g(y)) = y

По свойству 5) получается Eyx(g(y0))Exy(y0) = Eyy(y0) = lim((Дy/y):(Дy/y)) = 1 Eyx(g(y0))Exy(y0) = 1 Exy(y0) = E -1yx(g(y0))

27. Производная сложной и обратной функции

Теорема.Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х0 производная f(x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у0=f(x0) и g(y0)=1/f(x0) или xy=1/yx.

Доказательство.

Пусть а=f(x0). Тогда из дифференцируемости f(x) в х0 следует, что приращение у= f(x0+х) - f(x0) можно представить в виде у=ах+ах=(а+а) х, где а=а(х)0 при х0. Так как а не равно нулю, то отсюда следует, что х0, когда у0. Имеем

g(y0)= lim g(y+y)-g(y0) = lim x =lim y-1 = 1 .

y0 y y0 y y0 x f(x0)

Теорема.Если функция у=f(x) дифференцируема в точке t0 и g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в t0 и выполняется следующая формула: d f(g(t))/dt|t=to=f(x0)*g(t0) или yt=yx*xt.

Доказательство.

Функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, поэтому её приращение можно представить как y=f(x0)+a(x)*x. Где x0 при t0 поскольку функция g(t) непрерывна (следствие дифференцируемости) в точке t0. Так как а(x)0 при x 0 и при t0. Поэтому

d f(g(t))|t=to=lim (f(x0)) x +a(x) x =

dt t0 t t

=f(x0)g(t0)+0*g(t0)= f(x0)g(t0).

28. Производная основных элементарных функций

Производная логарифмической функции. y=logax

y=loga(x+x)-logax=loga(1+x/x)=1 loga(1+x/x)= 1loga(1+t)=1 loga(1+t)1/t

x x x x x/x x t x

где t=x/x Используя непрерывность функции logax в точке х=е и первый замечательный предел, найдём производную логарифмической функции: (logах)= 1(logа(lim(1+t)1/t) = 1logae= 1.

x t0 x x lna

Производная показательной функции.

У=ах является обратной для функции х=logау. По теореме

ух= 1= 1 =ylna

xy 1/ylna

Поскольку у=ах, получаем (ах)=ахlna.

Производная степенной функции.

Функция у=ха при х>0 может быть представлена в виде ха=еalnx. Найдём (ха)=( еalnx)= еalnx(alnx)=ха*а/х=аха-1 Аналогично доказывается для x<0.

Производные тригонометрических функций.

С помощью формулы sinа-sinb=2sin[(a-b)/2]*cos[(a+b)/2] , первого замечательного предела и непрерывности функции cos x найдём

(sinх)=lim sin (х+х) - sinх= lim 2sin(х/2) cos(х+х/2) = lim sin(х/2) cos(х+х/2) = cos x

x0 x x0 x

x0 x/2

Для нахождения производных функций cos x и tg x можно использовать тождество cos x=sin(x-/2) , правило дифференцирования сложной функции.

Итак, (sin х)=cos x, (cos x)= - sin x, (tg x)=1/cos2 x.

Производные обратных тригонометрических функций.

Функция у=arcsinx является обратной для функции х=sinу. Следовательно, (arcsinx)x= 1 = 1= 1= 1

(siny)y cosy 1-sin2x 1-x2

Аналогично находятся остальные обратные тригонометрические функции. (arcsinx)=1/1-x2, (arccosx)= - 1/1-x2, (arctgx)=-1/(x2+1).

29. Правило Лопиталя

Теорема (правило Лопиталя). Пусть А - число, символ одностороннего предела (А=а±0) или символ бесконечности (А=±?). Пусть функции ѓ(х) и g(х) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при х>А. Тогда, если существует предел (конечный или бесконечный), то существует и предел при этом выполняется равенство:



Доказательство:

Доказательство теоремы дадим в случае, когда ѓ(х) и g(х) - бесконечно малые функции и А=а - число. Изменим, если это необходимо, определение функций ѓ(х) и g(х) в точке а так, чтобы значения этих функций в точке а были бы равны нулю: ѓ(х) = g(х)=0. Так как

то ѓ(х) и g(х) непрерывны в точке а, и к этим функциям можно применить теорему Коши. Учитывая, что ѓ(а) = ѓ(b)=0, получим

для некоторой точки с, расположенной между точками а и х. При х>а имеем с>а и, следовательно если ѓ(х)>0 и g(х)>0 (соответственно, |ѓ(х)|>+?, |g(х)|>+?), когда а>А. Правило Лопиталя позволяет во многих случаях найти предел вида или, иными словами, раскрыть неопределенность.

В ряде случаев по правилу Лопиталя удается раскрыть неопределенности вида



Для этого следует воспользоваться тождеством которое приводит указанные неопределенности к виду 0*х.

30. Производные и дифференциалы высших порядкров

Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))? . В частности, у''=(y')'- производная второго порядка, y'''=(y'')' - третьего и т.д.

При вычислении производных высших порядков используют те же правила, что и для вычисления у'.

Табл. Произ-х высшего порядка:

f(x)	fn(x)
Xa Ex Ekx Akx Lnx Logax Sinkx Cos kx	A(a-1)*(a-2)*…*(а-n+1)*х a-n Ех Kn*ekx (K* Lna)n*akx (-1)n-1*(n-1)!/xn (-1)n-1*(n-1)!/(xn*lna) kn*sin(kx+n*р/2) kn*cos (kx+n*р/2)

Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:

d2y=d(dy) - диф-л 2-го порядка

d3y=d(d2y)…

dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка

Если ф-я y=f(v), где v - независимая переменная или линейная ф-я v=кх+в переменной х, то d2y=y''(dv)2, d3y=y'''(dv)3,…, dny=y(n)(dv)n.

Если же y=f(v), где v=g(x)?кх+в, то d2y=f''(v)*(dv)2+ f'(v)d2v и т.д. (т.е. св-во инвариантности не выполняется).

31. Формула Тейлора

Пусть функция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен

T(x) = f(x0) + ( (f'(x0))/1! )(x - x0)1 + (f ”(x0))/2!(x - x0)2 +…+ (f (n)(x0))/n!(x - x0)n

Называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке x0.

Пусть функция f(x) имеет в е - окрестности точки x0 (n + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х0, для которой выполняется следующая формула

F(x) = T(x) + ( f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x - x0)n+1 - формула Тейлора,

где Т(x) - n-й многочлен Тейлора функции f(x) в точке х0,

rn(x) = ( f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x - x0)n+1

остаточный член в формуле Лагранжа.

Предположим, что (n+1)-я производная функция f(x) ограничена в окрестности точки х0. Тогда rn(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х-х0)n при х х0. (lim (rn(x)/(х-х0)n) = lim [((f(n+1)(c))/(n+1)!)(x-x0)] = 0 - в силу

ХХо ХХо

Ограниченности f(n+1) (c) в окрестности х0.) Следовательно ошибка в приближенном равенстве f(x) Tn(x) (*) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х - х0)n, когда х х0.

Формула (*) применяется для приближенных вычислений.

Используя равенство (*) можно подучить, например следующие формулы (при х0):

(1+x) 1 + (/1!)x + ((-1)/2!)x2 +…+ ((-1)…(-n+1)/n!)xn,

ex 1 + x/1! + x2/2! +…+ xn/n!,

ln(1+x) x - x2/2 + x3/3 - x4/4 +…+(-1)n+1xn/n

sin x x - x3/3! + x5/5! - x7/7! +…+(-1)kx2k+1/(2k+1)!,

cos x 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! +…+(-1)kx2k/(2k)!,

где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно хn.

32. Условия монотонности функции

Если у=f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на этом отрезке, то у=f(x)-const, тогда и только тогда, когда f(x)=0 при х[a,b]. Следствие у=f(x), y=g(x) непрерывна и диффиренцируема на (a,b) и f(x)=g(x), то f(x)=g(x)+C.

y=f(x) возрастает на Х, если для любых х1,х2Х, таких что х1<x2 f(x1)<f(x2), убывает если x1<x2 f(x1)>f(x2).

Достаточное условие монотонности. Если функция непрерывна, дифференцируема на (a,b) и внутри (a,b) сохраняет знак, то функция у=f(x) монотонна.

Докажем для f(x)>0 y=f(x) - возрастает на (a,b) (для убывающей функции доказательство аналогичное)

Доказательство.

Возьмём точки из отрезка (a,b) х1 и х2, такие что х1<х2. По теореме Лагранжа найдётся тоска с, приналежащая отрезку, для которой f(x2)-f(x1)= f(c)(x2-x1). Так как х1<c<x2, то точка с является внутренней точкой промежутка Х. Поэтому f(c)0 и f(x2)f(x1). Таким образом, мы доказали, что функция f(x) не убывает на промежутке Х.

33. Условия сущ. экстремула

Необходимое условие существования экстремума. Для того, чтобы дифференцируемая функция f(x) имела в точке х0 локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство f(x0)=0.

Доказательство.

Поскольку х0 - точка экстремума, то существует такой интервал (х0-, х0+), на котором f(x0) - наибольшее или наименьшее значение. Тогда по теореме Ферма f(x0)=0.

Точки, в которых производная функция обращается в нуль, называются стационарными.

Достаточное условие существование экстремума. Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 - точка локального максимума функции f(x), а если с минуса на плюс, то х0 - точка локального минимума.

Доказательство.(для максимума, для минимума - аналогично, то бишь самостоятельно)

Пусть f(x) - непрерывная дифференцируемая функция. f(x) меняет знак с «+» на «-». Пусть для любого х (х0 -, х0 f(x)>0 по достаточному условию монотонности производная возрастает на данном интервале

f(x0)f(x) x0-, x0

Пусть для х0,х0+ f(x)<0, следовательно, функция убывает на хх0,х0+ f(x0)f(x) для любого хх0,х0+).

Вывод: для любого х (х0-, х0+) х0 - точка максимума для функции у=f(x). Ч.т.д.

34. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке

Наибольшее значение достигается в некоторой точке х0 [a,b]. При этом возможны лишь следущие 3 случая: 1) х0=а, 2) х0=b, 3)х0(a,b). Пусть х0(a,b). Тогда х0 - точка локального экструмума и, если существует f(x0), f(x0)=0. Однако производная f(x0) может и не существовать.

Критической точкой функции f(x) называется точка, в которой производная f(x) либо не существует, либо равна нулю.

Из определения вытекает, что точка локалького экстремума x0 является критической точкой функции f(x) . Предположим, что критические точки функции f(x) на интервале (a; b) образуют конечное множество {x1,x2, …,xn}. Из сказанного выше следует, что точка x0 , в которой функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение, совпадает с одной из точек: a,b,x1,…xn. Поэтому для максимального значения функции f(x) на отрезке [a,b] имеем равенство fmax=max{f(a),f(b),f(x1),…f(xn)}. Аналогично для минимального значения fmin=min { f(a),f(b),f(x1),…f(xn)}.

35. Общая схема исследования функции и построения ее графика

1.Область определения функции, поведение функции на границе области определения. Асимптоты. Точки пересечения с осями.

(Справка: для нахождения асимптот рассматриваем односторонние пределы (вертикальная асимптота), и пределы при х>? для выражений f(x)/х (предел равен к) и f(x)-кх (b) (наклонная асимптота у=кх+b). Подробнее вопр.1.3.

2.Четность, нечетность. Периодичность.

(справка: четная f(-x)=f(x); нечетная f(-x)=-f(x). Периодичность

f(x+Т)=f(x)=f(x-Т))

3.Монотонность и экстремумы. (Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными. Находим производную, критические точки. промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума).

4.Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. (Для этого находим вторую производную, точки перегиба, распределяем знаки второй производной: -вогнутая, +выпуклая)

5.График функции с обозначением всех найденных точек и асимптот.

36. Теорема Ферма

Пусть ф-я у = f(x) определена в некотором промежутке [a;b] и во внутренней точке этого промежутка с принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке существует конечная производная, то она = 0.

С a, с b, f(c) - max. Докажем, что f'(c) = 0.

Т.к. f(c) - max, то для всех точек f(x) f(c) при x[a;b]

f(x) f(c) 0

Т.к. по условию теоремы в точке с ф-я f имеет производную, то можно рассмотреть производную

f'(c) = lim (f(x)f(c))/(x-c)

1) xc 0 f'(c) 0 f'(c) = 0

2) xc 0 f'(c) 0

37. Теорема Ролля

Эта теорема позволяет отыскать критические точки, а затем с помощью достаточных условий исследовать ф-ю на экстремумы.

Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на некотором замкнутом промежутке [a;b]; 2) существует конечная производная, по крайней мере, в открытом промежутке (a;b); 3) на концах промежутка ф-я принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда между точками a и b найдется такая точка с, что производная в этой точке будет = 0.

Док-во:

По теореме о свойстве ф-ий, непрерывных на отрезке, ф-я f(x) принимает на этом отрезке свое max и min значение.

f(x1) = M - max , f(x2) = m - min ; x1;x2 [a;b]

1) Пусть M = m, т.е. m f(x) M

ф-я f(x) будет принимать на интервале от a до b постоянные значения, а ее производная будет равна нулю. f'(x)=0

2) Пусть Mm

Т.к. по условиям теоремы f(a) = f(b) свое наименьшее или наибольшее значение ф-я будет принимать не на концах отрезка, а будет принимать M или m во внутренней точке этого отрезка. Тогда по теореме Ферма f'(c)=0.

38. Теорема Лагранжа

Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на интервале [a;b]

2) Существует конечная производная, по крайней мере, в открытом интервале (a;b).

Тогда между a и b найдется такая точка с, что для нее выполняется следующее равенство:

(f(b)f(a))/(ba)=f'(c), a < c< b

Док-во:

Введем вспомогательную ф-ю F(x).

F(x) = f(x) f(a) [(f(b)f(a))/(ba)]*(xa)

Эта ф-я удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) она непрерывна как разность между непрерывной и линейной функциями;

2) в открытом интервале (a;b) существует конечная производная этой ф-ии.

F'(x) = f'(x) (f(b)f(a))/(ba)

3) на концах промежутка в точках a и b эта ф-я равна 0

F(a) = f(a) f(a) (f(b)f(a))/(ba)*(а - а) = 0

F(b) = f(b) f(a) (f(b)f(a))/(ba)*(ba) = 0

производная в какой-либо внутренней точке с равна 0. F'(с) = 0

f'(c) (f(b)f(a))/(ba) = 0, отсюда

f'(c) = (f(b)f(a))/(ba)

Геометрическое истолкование

CB/AC = (f(b)f(a))/(ba)

На дуге АВ найдется по крайней мере одна точка М, в которой касательная хорде АВ.

39. Теорема Коши (обобщенная теорем о конечных приращениях)

Пусть 1) существуют f(x) и g(x), которые непрерывны на [a;b]

2) существует f'(x), g'(x) в (a;b)

Между а и b найдется точка с, такая, что выполняется равенство:

(f(b)f(a))/(g(b)g(a)) = f'(c)/g'(c), a c b

Применив к обеим функциям теорему Лагранжа и разделив полученные равенства, получим требуемое.

40. Свойства выпуклости (вогнутости)

График ф-ии яв-ся выпуклым на некот промеж, если все его точки леж. ниже люб касат, провед к этой кривой. Вогнутый - наоборот.

f”(x)0 f”(x)0

Точка перегиба - точка, отделяющ выпук часть непрер прямой от вогнутой части.

Необходимое условие - чтобы f”(x1)=0

Достаточное условие - смена знака второй производной при переходе через эту точку.

3. Интегральное исчисление функций одной переменной.

Первообразная

Ф-я F(x) называется первообразной ф-и f(x) на множестве D, если для любого х из D:F'(x)=f(x).

Если F(x) первообрзная ф-и f(x) на мн-ве D, то любую другую первообразную этой ф-и можно получить по формуле: Ф(х)=F(x)+c при некотором значение с.

Док-во. Пусть F(x) - первообразная f(x), x принадлежит D: F'(x)=f(x).

Пусть Ф(х) - другая первообразная f(x), x принадл. D: Ф'(x)=f(x).

Составим ф-ю ц(х)=Ф(х)-F(х) - дифференцируема на мн-ве

D > ц'(х)= Ф'(х)-F'(х)=f(x)-f(x)=0.

По св-м ф-и, дифференцируемой на D > ц(х)=соnst.=c > Ф(х)-F(х)=с=const > Ф(х)=F(х)+с, что и т.д.

41. Неопределенный интеграл и его св-ва

Опр. Совокупность всех первообразных для ф-и f(x) на множестве наз. Неопределенным интегралом этой функции. ?f(x)dx=F(x)+c, f(x)-подинтегральная ф-я ,f(x)dx - подинтегральное выражение.

Свойства.

1)[f(x)dx]'=f(x)

док-во: ?f(x)dx=F(x)+c(по опр.), (?f(x)dx)'= (F(x)+c)'=F'(x)=f(x)

2) d[f(x)dx] = f(x)dx

док-во: по опр. дифференциала:

d[f(x)dx] = (f(x)dx)'dx=f(x)dx

3)?dF(x)=F(x) +c

док-во: ?dF(x)=?F'(x)dx=?f(x)dx=F(x)+c.

4)Постоянный множитель можно выносить за знак неопред. Интеграла:

?kf(x)dx=k?f(x)dx ,x є D, k є R.

док-во: покажем, что k?f(x)dx - совокупность первообразных для ф-и k*f(x):

По св-ву производной:

(k?f(x)dx)'=k*(?f(x)dx)'=k*f(x).

5)?[f(x)+(-)g(x)]dx = ?f(x)dx +(-)?g(x)dx/

Док-во: докажем, что ?f(x)dx +(-)?g(x)dx - первообразная для ф-и [f(x)+(-)g(x)]:

По св-ву производной:

[f(x)+(-)g(x)]'= [?f(x)dx]' +(-)[?g(x)dx]'= f(x)+(-)g(x), что и т.д.

42. Табличные интегралы

Таблица интегралов

? 0 dx = C = const 11) ?dx/(v1-x2 )= arcsin x + C = - arccos x + C

?dx = x + C 12) ?dx/(1+x2) = arctg x + C = - arcctg x + C

?xdx = x+1/(+1) + C, 13) ?tgxdx = - ln |cosx| + C

?dx/x = ln|x| + C 15) ? dx/(va2- x2)=arcsinx/a +C=-arccos x/a + C

?exdx = ex + C 16) ?dx/(a2+x2) = (1/a)arctg x/a + C=-(1/a)arcctg x/a + C

?axdx = ax/lnx + C 17) ?dx/(x2-a2) = (1/2a) ln |(x-a)/(x+a)| + C

?cosx dx = sinx + C 18) ?dx/(a2-x2) = (1/2a) ln |(x+a)/(x-a)| + C

?sinxdx = - cosx + C 19) ?dx/(vx2+A) = ln |x + (vx2+A)| + C

?dx/cos2x = tgx + C

?dx/sin2x = - ctgx + C

? (va2- x2)dx = (a2/2) arcsin x/a + (x/2) (va2- x2) + C

?(vx2+A)dx = (x/2)(vx2+A) + (A/2) ln |x+(vx2+A)|+C

43. Метод замены переменной или метод подстановки

?f(x)dx, x D

Пусть x = ц(t), t T, ц(t) - дифференцируема на T и имеет обратную функцию

Докажем, что ? f(x)dx = ?f(ц(t)) * ц'(t)dt, т. е. докажем, что ?f(x)dx - первообразная f(ц(t))*ц'(t)

(?f(x)dx)t'(по правилу дифференцирования сложной функции)

(?f(x)dx)x' * x't = f(x)*ц'(t) = f(ц(t))*ц'(t)

? f(x)dx = ?f(ц(t)) * ц'(t)dt

формула замены переменной в неопределенном интеграле

Метод интегрирования по частям

Пусть u = u(x), v = v(x) - дифференцируемы на D

d(u*v) = du*v + u*dv ? d(u*v) = ?du*v + ?u*dv u*v = ?v*du + ?u*dv

?u*dv = u*v - ?v*du

формула интегрирования по частям

Применение данной формулы:

1. Pn (x)*ц(x)dx; Pn (x)

 - многочлен n-ой степени

а) ц(x) = sin ax u = Pn (x); dv = ц(x)dx

cos ax

eKx

b) ц(x) = обратные тригонометрические функции u = ц(x); dv = Pn (x)dx

logax

2. ekx*sin ax dx в этом случае любой из множителей можно принять ekx*cos ax dx за u

44. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций

(конкретные числовые примеры по данному вопросу см. в лекции за 21.03.00)

Рассмотрим интегал вида R(x)dx, где R(x) - рациональная функция, т.е функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов R(x)=P(x)/Q(x). Если эта дробь неправильная, то можно выполнить деление с остатком и представить R(x) в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби.

Теорема. Всякая правильная дробь может быть представлена как сумма простейших дробей вида

A ; A ; Mx+N ; Mx+N .

x-a (x-a)n x2+px+q (x2+px+q)n

где A,M,N,a,p,q - действительные числа.

Непростейшие дроби.

Лемма 1. Пусть F(x)/Q(x) - правильная дробь. Если х=а- корень Q(x) кратности К,т.е. Q(x)=(x-a)K*Q1(x), где Q1(a) не равно нулю, то

F(x)= AK+ F1(x)

Q(x) (x-a)K Q1(x)*(x-a)K-1

Лемма 2. Пусть F(x)/Q(x) - правильная дробь. Если

Q(x)=(x2+px+q)K*Q1(x)

F(x) =MKx+NK + F1(x) .

Q(x) (x2+px+q)K (x2+px+q)K-1*Q1(x)

Теорема разложения правилоной дроби на простейшие. Пусть F(x)/Q(x) - правильная дробь. Если

Q(x)=(x-a)(x-b)*…*(x-c)(x2+p1x+q1)K*…*(x2+p2x+q2)m

эта дробь разлагается в сумму простейших дробей следующего вида:

F(x) = A+ A-1+…+ A1+ B+ B-1+…+ B1+ C+ C-1+…+ C1+

Q(x) (x-a) (x-a) -1 x-a (x-b) (x-b) -1 x-b (x-c) (x-c) -1 x-c

+ MKx+NK + MK-1x+NK-1+…+ M1x+N1+ Cmx+Dm + Cm-1x+Dm-1+…+ C1x+D1

(x2+p1x+q1)K (x2+p1x+q1)K-1 x2+p1x+q1 (x2+p2x+q2)m (x2+p2x+q2)m-1 x2+p2x+q2

Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.

Трансцендентная функция - аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. (Например, показательная функция тригонометрической функции.)

R(x,xm1/n1,…xmk/nk)dx, где R - рациональная функция от х и её дробных степеней. Такой интеграл может быть решён с помощью замены степени с дробным показателем на степень функции с целым показателем. (подробнее см. в лекциях)

R(x,Ax2+Bx+C )dx

Под корнем выделяется полный квадрат и решается с помощью замены переменной.

dx/ Ax2+Bx+C , Ax2+Bx+C dx

45. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов

Теорема. Пусть функция у=f(х) непрерывна на отрезке [а, b] и F(х) - первообразная для f(х).Тогда

Доказательство: Поскольку функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на этом отрезке. Проверим справедливость формулы (*). Действительно, подставляя х=b, получим а подставляя х=а, получим поэтому

Если F(х) - другая первообразная для функции f(х), то выполняется равенство F(х)= Ф(х)+С. Имеем

F(b)-F(a)=(Ф(b)+C)-(Ф(а)+С)=Ф(b)-Ф(а)

что завершает доказательство формулы (*). Разность F(b)-F(a) часто записывают в виде и формула Ньютона-Лейбница в этом случае принимает следующий вид:

Мы доказали формулу для случая, когда f(х) непрерывная на [а, b] функция. В действительности эта формула справедлива для любой функции f(х), имеющей первообразную F(x)/

Формулу (**) обычно называют основной формулой интегрального исчисления. она позволяет сводить нахождение определенного интеграла к нахождению первообразной.

46. Несобственые интегралы с бесконечными пределами

Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке [a;+?], интегрируема на любом [a;b] (b>a). Сущ-т ?ab f(x)dx для любого b>a. Обозначим

?ab f(x)dx = Ф(b).

Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от ф-и y=f(x) мы назовем предел вида ?a? f(x)dx=lim Ф(b) при b>+?. Этот инт-л наз. Сходящимся, если предел ф-и lim Ф(b) при b>+? сущ-т и конечен. В противном случае он наз расходящимся.