Основы статистики

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Теоретические основы стат. методов УК

Различают 2 вида случайных величин:

1) Непрерывная СВ принимает любое значение из некоторого множества. Характеризуется плотностью распределения вероятности:

что вероятность попадания СВ X в интервал [а;в]

2) Дискретная СВ принимает конечное множество значений х1,х2…хn, каждое с вероятностью p1,p2…pn. Задается законом распределения, устанавливающим однозначное соотношение между возможными значениями СВ и их вероятностями.

Другой способ это задание функции распределения, т.е.

Для непрерывной СВ закон распределения полностью определяется ее плотностью.

Мат-ое ожидание - это среднее значение, около которого группируются все значения СВ.

дискретная СВ

непрерывная СВ

Мода - наиболее вероятное значение СВ

Медиана - абсцисса кривой распределения, которой площадь под кривой делится пополам.

Квантиль порядка p называется число z_p, для которого функция распределения F(x) принимает значение p.

u_б- квантиль нормального распределения.

Для характеристики рассеивания СВ рассматривают дисперсию:

2. Выборочный метод контроля. Статическая оценка параметров распределения генеральной совокупности

Основная задача статистики: по результатам исследования выборки дать заключение о характеристиках генеральной совокупности.

Для получения достоверных данных выборка должна правильно отражать пропорции генеральной совокупности, т.е. быть репрезентативной (представительной).

Выборка репрезентативна, если она отображена из генеральной совокупности случайным образом.

Значение x_i СВ Х называется вариантой, а последовательность вариант записанных в возрастающем или убывающем порядке - вариационный ряд.

Различают основные виды выборочной хар-ки:

Выборочное среднее:

Выборочная мода - элемент выборки, встречающийся с наибольшей частотой µ₀.

Выборочная медиана () - число, которое делит вариационный ряд на две части, содержащее одинаковое количество элементов.

Если объем выборки:

нечетен

четен

Выборочная дисперсия:

Выборочное ско:

Статистические оценки параметров распределения:

1)Точечной оценкой неизвестного параметра называется приближенное значение этого параметра, найденное по выборочным данным.

Точечная оценка по возможности должна быть:

1. Состоятельной наз-ся оценка которая при увеличении объема выборки стремится к оцениваемому параметру; и-оценка параметра;

-оценка

2. Несмещенной наз-ся если мат.ожид. совпадает с оцениваемым параметром.

3. Эффективной называется оценка при заданном объеме выборке минимальная дисперсия. При обработке статистических данных наибольшее применение находят оценки МО и дисперсии.

За точечную оценку МО обычно принимают выборочное среднее.

состоятельная и несмещенная

Если выборка из нормально распределенной генеральной совокупности, то и эффективная.

Состоятельная оценка дисперсии определяется:

Состоятельная и несмещенная:

2)Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервалов.

Доверит интервалом параметра и называют интервал (и₁;и₂₎ содержащий истинные значения и с заданной вероятностью р =1-б .

Доверительная вероятность: p (0.95;0.99). Уровень значимости: (0,05;0,01)

Для доверительного интервала МО нормально распределенной генеральной совокупности при известной генеральной дисперсии ??² можно получить следующее соотношение:

квантиль нормального распределения порядка ().

При неизвестной генеральной дисперсии доверительные интервалы для МО определяются:

квантиль распределения Стьюдента с (n-1)степенью свободы порядка .

Доверительный интервал дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности определяется:

квантиль распределения с (n-1)степенью свободы порядка ().

3. Стандартизация стат. М-дов УК. Анализ действующих стандартов

Ст-ция стат м-дов обеспечивает единство подхода в области сопоставимости рез-тов анализа и оценки контроля и испытания продукции на различных уровнях управления.

Ст-ция стат м-дов УК предусматривает 2 формы внедрения.

1)введение в ст-ты, тех условия и др док-ты на конкретные виды продукции, соотв-х требов. в раделы «приемка».

2)прямое исп-ние стат м-дов при разработке технологий контр. операций.

4. Проверка статистических гипотез

Статистиками называются гипотезы, в которых проверяется предположение выдвинутые относительно каких-либо параметров закона распределения или вида закона распределения рассматриваемых СВ.

Но вид закона распределения предполагается одинаковым, различия заключаются в значениях параметров.

Н_о нулевая гипотеза.

Н₁ альтернативная гипотеза

Ошибка, состоящая в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза называется ошибкой первого рода б.

Ошибка второго рода состоит в том. Что будет принята неправильная нулевая гипотеза в.

1-в мощность критерия (вероятность отклонения неправильной Н_о).

Принятие или отклонение гипотезы осуществляется на основе определенного критерия, который выбирается в зависимости от решаемой задачи.

1) Проверка гипотезы на основе выборочного среднего при известной генеральной дисперсии.

Пусть Х - СВ подчиняющаяся норм-му з-ну распр-ия с известной генр.дисп-ей ??². Из генр-ой сов-ти Х извлечена выборка объемом n и вычислено выборочное среднее . а предполагаемое значение генеральной средней. Н_о М[x]=a Н₁М[x]?a

Вычисляются наблюдаемые значения критерия Фишера при заданном уровне значимости б.

И сравнивают с z_табл функции Лапласа, найденным из:

|z_набл|?z_табл, гипотеза Н_о принимается.

|z_набл|>z_табл, гипотеза Н_о отвергается.

2) Проверка гипотезы на основе выборочного среднего при неизвестной генеральной дисперсии

Для выборки n вычисляют выборочные средние и выборочную дисперсию S² .

Н_о: М[x]=a Н₁: М[x]?a

И сравнивают с t_табл, которое определяется из таблицы Стьюдента для уровня значимости би число степеней свободы k=n-1

|t_набл|?t_табл, гипотеза Н_о принимается.

|t_набл|>t_табл, гипотеза Н_о отвергается.

3) Проверка гипотезы на основе выборочной доли.

Для выборки объемом n вычисляется выборочная доля.

И сравнивают с генеральной долей p.

Необходимо проверить след.гипотезы: Н_о: Н₁: ?p

Для ур-ня значимости б вычисляют наблюдаемые зн-я



И сравнивают с z_табл функции Лапласа, найденным из:

|zнабл|?zтабл, гипотеза Н_о принимается.

|zнабл|>zтабл, гипотеза Н_о отвергается.

4) Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны.

Х1,Х2 - генеральные совокупности, из них извлечены выборки объемами n1 и n2, по которым вычислены выборочные средние ₁, ₂, известные генеральные дисперсии ??²₁??²₂

Н_о: М[x₁]=М[x₂]

а) Н₁: М[x₁]?М[x₂]

При уровне значимости вычисляются значения:

Сравнивают с z_табл функции Лапласа:

|z_набл|?z_табл, гипотеза Н_о принимается.

|z_набл|>z_табл, гипотеза Н_о отвергается.

б) Н₁: М[x1]>М[x2]; (М[x1]<М[x2]) z_набл вычисляют так же.

Сравнивают с z_табл функции Лапласа:

|z_набл|?z_табл, гипотеза Н_о принимается.

|z_набл|>z_табл, гипотеза Н_о отвергается.

5) Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий.

Гипотеза применяется при решении таких задач как сравнение точности или степени разброса какого-либо показателя качества продукции или ТП.

Х1,Х2 - генеральные совокупности, из них извлечены выборки объемами n1 и n2, по которым вычислены выборочные средние ₁, ₂ и выборочные дисперсии S²₁и S²₂

Неизвестные генеральные дисперсии ??²₁??²₂

Н_о: ??²₁=??²₂

Н₁: ??²₁???²₂

Вычисляют расчетное значение критерия Фишера

Причем S²₁>S²₂

И определяют табличное значение при уровне значимости б/2 и числа степеней свободы k1=n1-1 и k2=n2-1.

F_набл ?F_табл, гипотеза Н_о принимается.

F_набл >F_табл, гипотеза Н_о отвергается.

б) Н₁: ??²₁>??²₂; (??²₁<??²₂) Определяется аналогично, отличие состоит только в уровне значимости, которое для одностороннего случая равняется б

6) Проверка гипотезы о равенстве нескольких дисперсий по выборкам одинакового объема.

Х₁,Х₂…X_l - генеральные совокупности, из них извлечены выборки объемами n, по которым вычислены выборочные дисперсии S²₁, S²₂… S²_l

Неизвестные генеральные дисперсии ??²₁ ??²₂

Н_о: ??²₁ =??²₂=…=??²_l

Н₁: ??²₁???²₂?…? ??²_l

Вычисляют расчетное значение критерия Кохрена:

И определяют табличное значение при уровне значимости б и числа степеней свободы k=n-1и количеству выборок l.

G_набл ? G_табл, гипотеза Н_о принимается.

G_набл >G_табл, гипотеза Н_о отвергается.

5. Методы случайного отбора выборок штучной продукции

ГОСТ 18321-73 Статистический контроль качества. Методы случайного отбора выборок штучной продукции.

Продукция на контроль поступает партиями. Объем выборки устанавливается в зависимости от объема партии.

Методы случайного отбора выборок штучной продукции зависит от способа представления продукции на контроль.

Способы представления продукции на контроль: 1)Ряд 2)В упаковке 3)Россыпь 4)Поток.

Способ «ряд» характеризуется следующими особенностями: единицы продукции, поступившие на контроль, должны быть упорядочены, могут быть пронумерованы сплошной нумерацией и расположены таким образом, чтобы единицу продукции, отмеченную любым номером, можно было легко отыскать и достать.

n1-1	X
…			X
1		X
0
0	1	…	n-1

Способ «в упаковке» характеризуется теми же особенностями, что и «ряд», но продукция при этом находится в упаковке. Условный порядковый номер единицы продукции состоит из 2 (3, и т.д.) подгрупп: 1 упаковочная единица;

X	x	x	X	X

Способ «россыпь» характеризуется особенностями: единицы продукции не упорядочены, их невозможно нумеровать и практически невозможно отыскать и достать определенную единицу продукции. В партии большое количество единиц продукции.

Способ «поток» характеризуется особенностями: единицы продукции поступают непрерывным потоком одновременно с выпуском продукции. На контроль поступает большое количество единиц продукции. Единицы продукции упорядочены, можно легко отыскать и достать единицу продукции.

В зависимости от способа представления продукции на контроль применяют следующие методы отбора выборок штучной продукции:1Отбор с применением случайных чисел; 2Многоступенчатый отбор; 3Отбор вслепую;

Отбор с применением случайных чисел. Применяется для однородной продукции, представленной на контроль способом «ряд». Может использоваться и при других способах представления на контроль, если это не ведет к большим затратам. Метод предполагает предварительную сплошную нумерацию единиц продукции. Все номера должны иметь одинаковое количество цифр. При данном методе отбора выборку формируют с применением таблиц случайных чисел.

Многоступенчатый отбор. Применяется для однородной продукции. Представленной на контроль в упаковке. Выборку формируют по ступеням. Единица продукции в каждой ступени отбирается случайным образом из единиц, отобранных на предыдущей ступени. Кроме объема выборки следует указать количество упакованных единиц. Выборку составляют из примерно одинакового объема продукции, взятых из отобранных упакованных единиц.

Отбор вслепую. Применяется для продукции, представленной на контроль россыпью. Принимают и для других способов, если отбор с применением случ. чисел затрудняется. В выборку дб включены ед-цы продукции из разных частей партии.

Систематический отбор. Применяется для продукции, представленной на контроль способом «поток». Единицы продукции следует отбирать через определенный интервал времени или количества единиц продукции.

При отборе выборок партия продукции, представленная на контроль должна быть однородной, чтобы внутри нее исключалась продукция изготовленная из различных партий, сырья, материалов, в различных производственных условиях. Выборка составленная из однородной партии продукции называется представительной.

6. Статистические методы анализа производства. Стратификация, графики

Статистические методы делятся на 3 раздела: 1) Анализ состояния технологических процессов; 2) Регулирование ТП; 3) Приемочный контроль.

Стат-ий анализ - это исследование условий и факторов влияющих на качество продукции.

Методы анализа состояния ТП делятся на:

1) классические: - корреляционный анализ

- регрессионный анализ

- дисперсионный анализ

- факторный анализ

- планирование эксперимента

- методы Тагути

- инженерное прогнозирование

2) простейшие: - расслоение (стратификация)

- графики

- диаграмма Парето

- причинно-следственная диаграмма (рыбий скелет)

- гистограмма

- диаграмма разброса

- контрольные карты.

Для сбора первичной инф-ции рекомендуется прим-ть контрольные листки.

Треб-ния контрольного листка:

1) способы заполнения д.б. предельно простыми

2) наглядность и простота полученных данных

3) число пунктов проверки д.б. оптимальным

4) форма контрольного листка д.б. простой

Расслоение (стратификация) - это инструмент позволяющий произвести селекцию данных в соответствии с различными факторами.

Расслоение производят по методу пяти «М»:человек (men), машины (machine), материал (material), метод (method),измерение (measurement)

Прим-ся при построении причинно-следственный диаграмм, диаграмм Парето, гистограмм и КК.

Графики - это инструмент, позв-щий наглядно представить, облегчить понимание смысла и выявить закономерности данных, к/ым подчиняется рассм-мая группа.

Виды графиков

График выраженный ломанной линией
столбчатый график
Круговой
Ленточный
z-образный
Радиационная диаграмма
Карта сравнения плановых и фактических показателей	Изделие Число изделий Дата А 8/2 9/2 10/2 11/2 понед. вторн. среда четв. 600 План 100 100 100 100 Факт 70 100 100 110

7. Диаграмма Парето

Диаграмма Парето - это инструмент, позволяющий объективно представить и выявить основные причины, влияющие на рассматриваемую проблему.Виды диаграммы Парето:

1) по рез-ам деятельности (неполадки, отказ, дефекты и т.д.)

2) по причинам (смена, квалификация, стаж и т.д.)

Этапы построения диаграммы Парето:

1) опр-ть проблему исследования и уст-ть метод и период сбора данных

2) разр-ть контрольный листок для регистрации данных, заполнить его и подсчитать итоги

3) разр-ть бланк таблицы предусмотрев в нем графу для накопленной суммы признаков процентов к общему итогу и накопленных процентов

4) по полученным данным построить столбчатую диаграмму

5) справа от столбчатой диаграммы провести вертикальную ось и нанести шкалу с интервалом от 0 до 100%

6) построить кумулятивную кривую

7) нанести все обозначения

Анализ диаграммы Парето: для выявления более существенных параметров влияющих на процесс прим-ют АВС-анализ, при к/ом рабочая зона абсцисс делиться на три зоны:Зона А - наибольшего влияния (?80%)

Зона В - промежуточная зона (10-20%)

Зона С - зона наименьшего влияния (5-10%)

В первую очередь д.б. устранены те причины находящиеся в зоне А.

8. Причинно-следственная диаграмма

Причинно-следственная диаграмма - это инструмент позволяющий выявить отношение м/у показателями качества и воздействиями на него факторами.

Причинно-следственная диаграмма с разделением причин по уровням (для пояснения «рыбьих костей»): 1 - система причинных факторов; 2 - следствие (формулировка проблемы); А, В, ... - главные причины (или причины 1-го уровня); Al, B1, ....... - причины 2-го уровня; А2, В2, ... - причины 3-го уровня и т. д.

9. Гистограмма

Гистограмма - инструмент предоставления данных сгруппированных по частоте попадания в определенный интервал. Применяется при анализе состояния ТП, при определении точности процессов, возможностей процессов.

Этапы построения гистограммы:

1) систематизируют данные собранные за определенный период. Число данных д.б. не менее 25…50 для достоверности результатов.

2) опр-ют наибольшее и наименьшее значения ряда и размах: Xmax, Xmin, R = Xmax - Xmin

3) определяют число интервалов k:

а) рекомендуется брать следующее число интервалов: 25…50 - 5…7 число участков, 50…100 - 6…10, 100…150 - 8…10, 200…300 и более - 10…20.

б) определяются по формуле k = .

в) формула Стреджеса k = 1 + 3,32 ln n, где n - число рассмот-ых объектов.

4) определяют ширину интервала (цена интервала) h = R / k.

5) определяют границы интервала [Xmin; Xmin + h) и т.д.

6) определяют число значений попадающих в каждый интервал - частота.

7) определяют значения середины каждого интервала.

8) строят гистограмму.

Модификации гистограммы:

1) симметричная; 2) вытянутая вправо;

3) вытянутая влево; 4) двугорбая;

5) в форме обрыва; 6) с отдельным островком;

7) не имеющая высокой центральной части.

Сравнение гистограммы с границами допуска:

1) поле рассеивания значительно меньше поля допуска <Т. Процесс протекает нормально, необходимо только поддерживать сущ-щее состояние. Наиболее желательно положение когда Т=8*S

2) поле рассеивания рано или немного меньше поля допуска =Т. ТП протекает стабильно, но нет запаса надежности. Можно уменьшить поле рассеивания если затраты на это не большие по сравнению с получением брака

3) поле рассеивания меньше поля допуска и смещено влево (или вправо) от границы поля допуска. Необходимо совместить центр поля рассеивания с центром поля допуска

4) поле рассеивания больше поля допуска >Т. процесс ненормальный, необходимо принять меры по уменьшению поля рассеивания

5) поле рассеивания дольше поля допуска и смещено относительно центра допуска. Наихудший вариант из всех возможных. Необходимо добиться симметричного расположения полей и применять меры по уменьшению поля рассеивания.

10. Диаграмма разброса

Диаграмма разброса - инструмент, позволяет определить вид и тесноту связи между парами соответствующих переменных.

Этапы построения:

1) Собрать парные данные (x, y) между которыми исследуется зависимость. Не менее 20…35 пар данных и расположить их в таблицу.

2) На координатной плоскости выбрать шкалу для x,y и каждую пару отметить точкой.

3) Сделать все необходимые обозначения.

Метод медиан

Сначала строят диаграмму разброса.

Проводят горизонтальные и вертикальные линии параллельные осям коор-т так чтобы снизу и сверху, слева и справа от линии было одинаковое кол-во точек.

	I, III - положительные квадранты; II, IV - отрицательные квадранты.

Если кол-во точек нечетно, то линию проводят через центральную точку, затем подсчитывают кол-во точек в положительных и отрицательных квадрантах:

Те точки, к/ые лежат на прямой при подсчете положительных и отриц-ных квадрантов не учитывается. k = n₍₊₎ + n_(-)

По найденному значению k и уровню значимости опред-ют табличные значения и наименьшее из значений n₍₊₎, n_(-) сравнивают с табличным значением.

Если меньшее из чисел n₍₊₎ и n_(-) окажется ? табличного значения, то корреляционная зависимость имеет место. Если n₍₊₎ > n_(-) - прямая зависимость, n₍₊₎ < n_(-) - обратная зависимость.

11. Контрольные карты при анализе и контроле технологических процессов по количественному признаку

Контрольная карта - инструмент позволяющий отслеживать ход протекания процесса и воздействовать на него предупреждая его отклонение от предъявляемых к процессу требований.

Цель КК - проверка стабильности процессов, поддержка под контрольным значением определенной характеристики, своевременное принятие корректирующих мер, применяется для оценки эффективности принятых мер.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Типы КК по количественному признаку:1) карты расположения: Х-карта индивид значений;-карта сред. Зн-ий;-карта медиан.

2) карты разброса: - R-карта размаха; - S-карта размаха;

3) сoвмещенные карты: Х-MR-карта; -R - карта; -R-карта; -S - карта.

Приведем границы регулир-ия:

Карта инд.занч (Х-карта):

КК сред.значений (-карта):

Карта медиан (-карта):

Карта размахов(-карта):

Карта СКО (S-карта):

Рекомендации по применению КК по количественному признаку

1) -S-карта применяется для контроля количественных показателей, является наиболее точной по сравнению с остальными контрольными картами, но является более сложной для построения. Для каждого контролируемого параметра строится отдельно -карта и отдельно R-карта.

2) -R-карта прим-ся в тех же случаях, но является более простым для построения(менее точная)

3) -R-карта прим-ся в тех же случаях, но является наименее точной по сравнению с остальными

4) X-MR-карта строят в тех случаях когда невозможно снять несколько показаний в определенный период времени.

12. Контрольные карты при анализе и контроле технологических процессов по альтернативному признаку

Контрольная карта - инструмент позволяющий отслеживать ход протекания процесса и воздействовать на него предупреждая его отклонение от предъявляемых к процессу требований.

Цель КК - проверка стабильности процессов, поддержка под контрольным значением определенной характеристики, своевременное принятие корректирующих мер, применяется для оценки эффективности принятых мер.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Типы КК по альтернативному признаку

1) доли несоответствия: - р-карта - доля дефектных изделий

- u-карта - число дефектов на единицу продукции

2) числа несоответствия: np-карта - числа дефектных изделий

- с-карта - КК суммарного числа дефектов

Приведем границы регулир-ия:

Карта доли деф.прод-ции (р-карта):

Карта числа деф.изд-ий (np-карта):

Карта числа дефектов (с-карта):

Карта числа дефектов на ед.продукции (u-карта):

Рекомендации по применению кК по альтернативному признаку:

- КК доли дефектов изделий р-карта применяется при контроле, анализе и регулирование ТП путем проверки изделий и разделения на годные и брак, кол-во дефектов в каждом изделии не учит-ся, непостоянный объем выборки (n=var);

- КК числа дефектных изделий nр-карта применяется в тех случаях что и p-карта, но для пост-ого объема выборки, постоянный объем выборки (n=const);

- КК суммарного числа дефектов с-карта применяется в тех случаях когда необходимо определить кол-во дефектов в каждом изделии, постоянный объем выборки (n=const);

- КК числа дефектов на единицу продукции u-карта применяется в тех же случаях, что и c-карта, но является более инф-ой и не треб-ет пост-ого объема выборок (n=var).

13. Предварительный анализ стояния ТП

Статистическое регулирование процессов состоит в выявлении неслучайных нарушении процесса. При этом управляющие действия применяются тогда, когда выпускаемая продукция ещё удовлетворяет заданным требованиям, но некоторые статистические показатели дают основание предполагать о наличии неслучайных причин, которые могут привести к нарушению процесса. Процесс считается статически управляемым, если он стабилен.

Основная задача статистического регулирования технологическими процессами состоит в том, чтобы на основе результатов выборочного контроля принять решение «ТП налажен» или «ТП разлажен».

Опр-ся это на основе проверки гипотез:

-ТП налажен; -ТП разлажен.

Гипотеза принимается а основе опр-го критерия по результатам выборочных данных. При регулированни ТП прим-ют КК и их различные модификации:

1) КК ШУхарта (простые)

2) КК кумулятивных сумм (КУСУМ карта)

3) КК экспоненциального сглаживания.

На стадии предварительного анализа опр-ся оценки МО () и СКО ()

1) Оценка параметра :

2) Оценка параметра

а) наиболее точный

б) менее точен, но более прост



С₄ - поправочный коэффициент, опр-ся по табл., зависит от объема выборки

в) наиболее простой, наименее точный

Определение доли дефектных изделий:

На практике наиболее часто встречается нормальный закон распределения показателей, ф-ция распределения имеет вид:

, то нормальное распределение называется стандартным нормальным распределение (нормированным). В этом случае ф-ция распределения имеет вид:



Ф(-х) = 1 - Ф(х)

Функция Лапласа:

Ф(-х) = - Ф (х)

Функция норм-ого распределения и ф-ция станд-ого норм-ого рапределения связаны зависимостью

доля годной продукции

q = 1 - p - доля дефектной продукции

Чем больше , тем больше доля деф-ой пр-ции, чем меньше - тем меньше доля деф.пр.

При постоянном поле допуска для уменьшения доли деф.изделий необходимо:

1) значение не отклонялось от значения ₀, которое обычно принимает значение равным середине поля допуска

2) значение не увеличивалось

14. Показатели возможностей процессов

Для определения того способен ли ТП выпускать изделия, имеющие показатели качества в пределах допуска используют показатели возможности процесса.

Для применения этих показателей необходимо выполнение след. условий:

1) индивидуальные значения показателей качества должны подчиняться нормальному закону распределения

2) предварительно должна быть проверена стабильность процесса

3) изменчивость результатов измерений должна быть мала по сравнению с техническим допуском.

Для определения стабильности процесса строят КК Шухарта

После построения КК возможны следующие состояния:

1) состояние А - стабилен по разбросу и по положению среднего арифметического

2) состояние Б - стабилен по разбросу, нестабилен по положению среднего арифметического

3) состояние В - нестабилен по разбросу

Если процесс нестабилен по разбросу, то не рассматривают.

Показатели, применяемые для оценки возможностей стабильного процесса, называют индексами воспроизводимости.

Показатели, применяемые для оценки возможностей процессов, стабильность которых не подтверждена, называют индексами пригодности.

1. Индекс воспроизводимости

С_р (разброс) - характеризует соответствие изменчивости статистически устойчивого процесса ширине поля допуска, т.е. сколько из предполагаемых данных вошли в поле допуска.



Рис. С_р =1

При С_р = 1 вероятность брака составляет 0,27%. При этом уровень несоот-ия 2700 изд-ий на миллион (в стандарте 2700 ppm(parts per million))

Рис. C_p>1

Рис. С_р<1

Стандарт рекомендует С_р = 1,33. В этом случае дефектность составит 63 ppm. Если С_р=2, то дефектность составит 2 изделия на миллиард.

Общепринятые оценки процесса по С_р:

1) С_р<1 - неудовлетворительный

2) 1?С_р<1,33 - удовлетворительный

3) С_р?1,33 - хорошо

Иногда вместо Ср используют коэффициент точности:

Данный коэффициент вычисляется в % и показывает часть поля допуска, покрываемую рассеиванием данных.

Для С_р=1,33 k_p=75%/.

При одностороннем допуске используют след. формулы:

2. Индекс воспроизводимости С_рk (центрованность) - характеризует настроенность процесса на центр поля допуска.



Для улучшения качества процесса следует добиваться

1) С_pk>1 - удовлетворительно

2) С_pk?0,76 - плохая настройка процесса

Для нестабильного процесса определяют индексы пригодности:

При одностороннем допуске:

При нахождении процесса в состоянии А вычисляют С_р и С_рk

В состоянии Б: С_р, Р_р,Р_pk, В состоянии В: Р_р,Р_pk

Ни один индекс в отдельности не применим ко всем процессам и ни один конкретный процесс нельзя описать одним индексом.

Выводы, сделанные на основе индексов должны быть согласованы с результатами других исследований, в том числе КК.

15. Статистическое регулирование ТП

Статистическое регулирование процессов состоит в выявлении неслучайных нарушений процесса, при этом управляющее воздействие применяется тогда когда выпускаемая продукция или услуга еще удовлетворяет заданным требованиям, но некоторые статистические показатели дают основание предполагать о наличие неслучайных причин, которые могут привести к нарушению процесса.

Процесс называется статистически управляемым, если обеспечена его стабильность. Основная задача статистического регулирования состоит в том, чтобы на основании выборочного контроля решить технологический процесс налажен или разлажен.

Определяется это с помощью проверки гипотезы:

Гипотеза принимается на основе определения критерия по результатам выборочных данных.

При регулировании ТП применяют контрольные карты (КК) и их различные модификации:

1. КК Шухарта - простые КК

2. КК кумулятивных сумм - КУСУМ карты

3. Экспоненциальное сглаживание

Статистическое регулирование с помощью КК

Статистическое регулирование ТП - это корректировка параметров ТП в ходе производства с помощью выборочного контроля изготавливаемой продукции для технологического обеспечения требуемого качества и предупреждения брака.

При статистическом регулировании существует 2 вида ошибок:

1) б (I рода) - риск излишней наладки

2) в (II рода) - риск незамеченной разладки.

Рис. Схема простой КК

Для определения критических границ задаются уровнем значимости б и исходя из выражения определяют К_кр.

Сопоставляя конкретные значения с К_кр, принимается решение о налаженности или разлаженности процесса.

Одновременно уменьшить б и в для постоянного объема контроля невозможно, поэтому б и в выбирают исходя из тяжести последствий или увеличивают объем выборки.

16. Статистическое регулирование ТП. Выбор плана контроля для статистического регулирования методом средних арифметических и медиан

Статистическое регулирование процессов состоит в выявлении неслучайных нарушений процесса, при этом управляющее воздействие применяется тогда когда выпускаемая продукция или услуга еще удовлетворяет заданным требованиям, но некоторые статистические показатели дают основание предполагать о наличие неслучайных причин, которые могут привести к нарушению процесса.

Процесс называется статистически управляемым, если обеспечена его стабильность. Основная задача статистического регулирования состоит в том, чтобы на основании выборочного контроля решить технологический процесс налажен или разлажен.

Определяется это с помощью проверки гипотезы:

Гипотеза принимается на основе определения критерия по результатам выборочных данных.

При регулировании ТП применяют контрольные карты (КК) и их различные модификации:

1. КК Шухарта - простые КК

2. КК кумулятивных сумм - КУСУМ карты

3. Экспоненциальное сглаживание

Построение КК средних арифметических

Данные контрольные карты обнаруживают разладку процесса.

Генеральное среднее м изменяется от м₀ до м₁(или м_-1 ).

Значения м₁ ,м_-1 - предельно допустимые значения, которым соответствует предельно допустимый уровень дефектности.

м₀- наименьшее значение или середина поля допуска.

Случайная величина Х подчиняется нормальному закону распределения.

Необходимо рассмотреть гипотезы:

Исходя из доверительной вероятности мат. ожидание границы будут определяться в выражении

На практике чаще всего применяют правило 3у, при котором б=0,0027. Соответствующий квантиль равен 3.

Иногда вместо у берут размах, тогда границы запишутся:



При регулировании ТП для принятия решений по КК используется следующее правило: процесс считается статистически управляемым тогда, когда определяемый по результатам измерений показатель лежит внутри контрольных границ. Планом определяется и объем выборки.

Иногда планы контроля определяют исходя из средних длин серий выборок, которые для простых КК соответственно равны

План контроля для КК средних арифметических значений определяется следующими исходными величинами:

Построение КК медиан

Данная КК является альтернативой КК средних значений. Выборочная медиана как оценка мат.ожидания при больших объемах выборки распределена нормально с мат.ожиданием = м и генеральной дисперсией



Тогда границы регулирования будут вычисляться по формуле:

Если СКО определяется через размах, тогда:

Исходными данными для определения плана контроля является:

17. Статистическое регулирование ТП. Выбор плана контроля для статистического регулирования методом средних квадратичных отклонений (СКО)

Стат-кое регулирование процессов состоит в выявлении неслучайных нарушений процесса, при этом управляющее воздействие применяется тогда когда выпускаемая продукция или услуга еще удовлетворяет заданным требованиям, но некоторые статистические показатели дают основание предполагать о наличие неслучайных причин, которые могут привести к нарушению процесса. Процесс называется статистически управляемым, если обеспечена его стабильность. Основная задача стат-ого регулирования состоит в том, чтобы на основании выб-ого контроля решить тп налажен или разлажен. контроль статистический генеральный количественный

Определяется это с помощью проверки гипотезы:

Гипотеза принимается на основе определения критерия по результатам выборочных данных.

При регулировании ТП применяют контрольные карты (КК) и их различные модификации:

1. КК Шухарта - простые КК

2. КК кумулятивных сумм - КУСУМ карты

3. Экспоненциальное сглаживание

Правила построения КК СКО.

Рассмотрим гипотезы

Для проверки данной гипотезы рассматривают статистический критерий, где случайная величина имеет вид:

Данная случ.вел. подчиняется закону распределения ч² с n-1 степенью свободы.

Критическое значения ч²_кр определяют по табл. распределений ч² , тогда условием принятия гипотезы Н₀ будет выполнение неравенства:

При рассмотрении одностороннего доверительного интервала вероятность того, что

Тогда вероятность:

Тогда границы S-карты будут определяться выражением:

- это квантиль распределения ч² порядка 1-б с n-1 степенью свободы.

Нижняя граница определяется аналогично:

По правилу 3у формулы запишутся:

18. Статистическое регулирование ТП с помощью КК индивидуальных значений

Стат-кое регулирование процессов состоит в выявлении неслучайных нарушений процесса, при этом управляющее воздействие применяется тогда когда выпускаемая продукция или услуга еще удовлетворяет заданным требованиям, но некоторые статистические показатели дают основание предполагать о наличие неслучайных причин, которые могут привести к нарушению процесса. Процесс называется статистически управляемым, если обеспечена его стабильность. Основная задача стат-ого регулирования состоит в том, чтобы на основании выб-ого контроля решить тп налажен или разлажен.

Определяется это с помощью проверки гипотезы:

Гипотеза принимается на основе определения критерия по результатам выборочных данных.

При регулировании ТП применяют контрольные карты (КК) и их различные модификации:

1. КК Шухарта - простые КК

2. КК кумулятивных сумм - КУСУМ карты

Экспоненциальное сглаживание

КК индивидуальных значений

Объем мгновенной выборки для КК индивидуальных значений является 1. Тогда границы регулирования по правилу 3у будут определяться выражением:

у может быть оценено через скользящий размах по формуле:

19. Статистическое регулирование ТП методом кумулятивных сумм. КК кум.сумм для сред значения

Рассмотрим 2 гипотезы:

Для проверки гипотезы через определенные промежутки времени берут выборки, для которых определяются статистики. В отличие от обычных КК по оси ординат откладывают не сами статистики у_m,а их кумулятивные суммы:

Статистиками, значения которых накапливаются, могут быть:

1) индивидуальные значения показателей качества

2) разность между измеренным значением переменной и мат.ожиданием (x_i-м)

3) разность между измеренной величиной переменной и ее целевым значением

4) выборочное среднее

5) выборочный размах

Граница регулирования у КК кумулятивных сумм имеют наклон и необходимо указать их расположения относительно начала координат.

Для удобства вместо границ регулирования используют шаблон с V-образным вырезом.

Правило: ТП статистически управляем если все точки, нанесенные на карту, окажутся в вырезе.

КУСУМ - карты позволяют обнаружить разладку ТП; малые смещения процесса, т.к. вывод делается на основе предварительных данных.

КК кумулятивных сумм для среднего значения.

Проверяются гипотезы:

По результатам выборочных средних необходимо принять одну из гипотез.

Генеральное СКО выборочного среднего будет определяться из выражения:

Согласно критерию последовательного отношения вероятностей Вальда правила принятия решения формулируется следующим образом:

Рассмотрим 3-е соотношения и запишем его для кумулятивных сумм средних значений:



Прямая МР является границей регулирования

Для быстрого определения настроенности процесса применяют шаблон с V-образным вырезом (схема Барнарда).

Определение формы выреза шаблона сводится к следующему:

1)Установить допустимые изменения среднего

2) установить риск излишней наладки б (для двухстороннего допуска б/2) и риск незамеченной разладки в.

3) определить

Если в мало, то

Карта дает четкий ответ, если величины m и откладываются в одном масштабе.

Иногда для определения настроенности процесса используют шаблон с усеченным V-образным вырезом

Другим способом определения налаженности состояния ТП является использование интервалов принятия решений (схема Пейджа).

В этом случае рассмотрим статистики

Обработка карты с помощью V- маски и схемы Пейджа эквивалентны, если k_c=уд/2

Максимальное по модулю значение не должно превышать некоторого критического значения, поэтому если, то процесс статистически управляем.

Таким образом, процесс статистически управляем если

На КК откладывается максимальное по модулю из значений С1m и С2m.



Контрольные границы вычисляются по формулам:

20. Статистическое регулирование ТП методом кумулятивных сумм. КК кумулятивных сумм выборочных характеристик рассеивания

Рассмотрим 2 гипотезы:

Для проверки гипотезы через определенные промежутки времени берут выборки, для которых определяются статистики. В отличие от обычных КК по оси ординат откладывают не сами статистики у_m,а их кумулятивные суммы:

Статистиками, значения которых накапливаются, могут быть:

1) индивидуальные значения показателей качества

2) разность между измеренным значением переменной и мат.ожиданием (x_i-м)

3) разность между измеренной величиной переменной и ее целевым значением

4) выборочное среднее

5) выборочный размах

Граница регулирования у КК кумулятивных сумм имеют наклон и необходимо указать их расположения относительно начала координат.

Для удобства вместо границ регулирования используют шаблон с V-образным вырезом.

Правило: ТП статистически управляем если все точки, нанесенные на карту, окажутся в вырезе.

КУСУМ - карты позволяют обнаружить разладку ТП; малые смещения процесса, т.к. вывод делается на основе предварительных данных.

КК кумулятивных сумм выборочных характеристик рассеивания

Используют при статистическом регулировании ТП когда разладка вызвана рассеиванием значений конкретного показателя качества.

КУСУМ-карты дисперсии

Рассматривают след. гипотезы:

Параметры V-маски:

Для дисперсии в основном рассматривают только односторонний критерий:

КК кумулятивных сумм числа дефектных изделий

Пусть число дефектных изделий (число дефектов) в выборке объемом n подчиняются распределению Пуассона.

При этом рассматривают гипотезы:

При построении КУСУМ-карт масштабы по осям должны быть одинаковыми.

21. Статистический приемочный контроль

Выбранный кон-ль кач-ва прод-ии, при котором используют стат-кие методы для обоснования плана контроля и корректировки этого плана по накопленной информации. План контроля - это система правил по отбору изделий в выборку для проверки и принятия решения относительно всей партии. Оперативная характеристика - это функция Р(q), определяющая вероятность приемки партии в зависимости от доли дефектных изделий.

Одно-тый пл выб-ого к-ля по аль-ому при-ку при бин-ом расп-нии. При одноступенчатом контроле план контроля определяется двумя числами - объемом выборки n и приемочным числом С.

Пусть m - число дефектных изделий в выборке

Если m?C - партия принимается

m>C - партия бракуется

Оперативная характеристика имеет вид:

Пусть объем выборки невелик по сравнению с объемом партии, тогда число дефектных изделий подчиняется биномиальному закону распределения.

С помощью выражений (1) и (2) находят параметры плана контроля.

Задаваясь различными значениями из выражения (1) определим объем выборки n. Затем найденное n подставляем в (2) и для заданного в определяем q_m. При постоянном объеме выборки n, если значение приемочного числа С увеличивается, то вероятность приемки партии возрастает. Если при постоянном приемочном числе С увеличивается объем выборки, то вероятность приемки партии уменьшается.

22. Одн-тый план выб-ого к-ля по аль-ому пр-ку при распр-нии Пуассона. Оперативная характеристика плана

Одн-тый план вы-ого к-ля-решение о контроле партии принимается на основании проверки одной единственной партии из неё. При одноступенчатом контроле план контроля определяется двумя числами: объемом выборки n и приёмочным числом C. Пусть m-число дефектных изделий в выборке.

m?C то партия принимается

m>C то партия бракуется

Оперативная характеристика будет иметь вид:

P(q)=P(m?C)=P(X+0)+P(X=1)+…P(X=C)

Пусть число дефектных изделий менее 10% и объём выборки невелик <10%,тогда число дефектных изделий в партии подчиняется распределению Пуассона.

P_m,n=

Из выражений (1) и (2) можно определить параметры плана контроля. Для этого задаваясь различными значениями из выражения (1) определяем n и задаваясь различными значениями в определяем значения q_m. Выражение (3) показывает, что заданные риски б и в при С=0 можно обеспечить только при определенном значении е, который не зависит от объема выборки.

23. Многоступенчатый план выборочного контроля по альтернативному признаку

Решение о контроле партии принимается на основе проверок ряда выборок,причем число выборок заранее известно и больше чем 2x.

Рассмотрим трехступенчатый контроль. Контрольными нормативами для него являются:

n₁, C₁, d₁>C₁+1 m₁

n₂, C₂, d₂>C₂+1 m₁+m₂

n₃, C₃, d₃=C₃+1 m₁+m₂

4х и 5ти и так далее ступенчатые контроли аналогичны.

Важной особенностью многоступенчатого контроля является тот факт, что объем контроля является случайным, иногда проверяется только одна выборка, иногда две и т.д.

24. Посл-ный план выб-ого кон-ля по аль-ому приз-ку при бин-ном расп-нии

Послед-ный контроль является предельным случаем многоступенчатого контроля, когда число последовательных выборок стремится к бесконечности, а мгновенный объем каждой выборки равен единице. При этом для каждого числа n_i начиная с некоторого минимум, устанавливается приемочное число С_i и браковочное число d _i,так что в зависимости от числа дефектных изделий m_i принимается одно из следующих решений. m_i?C_i партия принимается, m_i?d_i партия бракуется, C_i<m_i<d_i испытания продолжаются

Берется число следующих n изделий m_i+1 , C_{i+1 ,} d_i+1 и т.д.

Пусть число дефектных изделий m подчиняются биномиальному распределению: q₀- приемочный уровень качества_, q_m-браковочный уровень, б - риск изготовителя, в-риск потребителя. В этом случае формулы для определения приемочных и браковочных чисел выглядят так:

Где

A= и B=



После проверки каждого изделия результат можем обозначить координатами (n_i,m_i) и решение по результатам испытаний будет приниматься в зависимости от того в какую зону попадает точка. Наименьший объем испытаний, при котором возможна приёмка партий, определяется точкой µ₁ на графике, тогда С_i=0 подставляя в уравнение (1) получаем:

Наименьший объем испытаний, при котором партия может быть забракована определяется точкой М₂ пересечения прямой d_i с биссектрисой ОМ₂. При таком объеме испытаний все проверенные изделия оказываются дефектными. Полагая d_i=n_i из уравнения (2) получим и обозначим n_min^БР. Среднее число проверенных изделий до окончания контроля в случаях, когда на контроль подана партия с приемлемым уровнем качества определяется по фотрмуле:

При малых величинах q₀ и q_m по формуле:

25. . Посл-ный план выб-ого кон-ля по аль-ому признаку при распр-ении Пуассона

Посл-ный контроль является предельным случаем многоступенчатого контроля, когда число последовательных выборок стремится к бесконечности, а мгновенный объем каждой выборки равен единице. При этом для каждого числа n_i начиная с некоторого минимум, устанавливается приемочное число С_i и браковочное число d _i,так что в зависимости от числа дефектных изделий m_i принимается одно из следующих решений. m_i?C_i партия принимается

m_i?d_i партия бракуется C_i<m_i<d_i испытания продолжаются

Берется число следующих n изделий m_i+1 , C_{i+1 ,} d_i+1 и т.д.

Число дефектных изделий подчиняется закону распределения Пуассона. Формула для определения приёмочных и браковочных чисел определяется по формуле:

Где

A= и B=

Предположив, что C_i=0 из уравнения (1) получаем формулу для min объема испытаний, при котором возможна приёмка партии:

И предположив d_i=n_i из (2) найдем формулу для min объема испытаний при котором возможна браковка партии

Формулы для определения среднего объема

(3)

При малых величинах q₀ и q_m по формуле:

(4)

Если посл-ный кон-ль затягивается, то применяют усеченный посл-ный к-ль. При усеченном посл-ном к-ле проверяется предельное число n_max проверяемых изделий. При n_i<n_max применяют правила посл-ого к-ля. Если до n_i= n_max не было принято решение о приемке или браковке, то при n_i= n_max,то принимают решение по след-ему правилу: приёмка партии, если m_i?C и браковка если m_i>C, где С заранее установлено контрольным нормативом

1. Величина n_max должна быть в 3-4 раза больше величины n_ср (q₀), которое определяется по формуле (3) и (4)

2. Приёмочное число С выбирается в центре между приемочной и браковочной границами в точке

n_i= n_max C=

26. Сравнение одно, двух многоступенчатых и последовательных планов выборочного контроля

Если приемочное число одноступенчатого плана превышает ноль,то можно подобрать двух. Многоступенчатый и последовательный план выборочного контроля с оперативной характеристикой близкой к оперативной характеристике одноступенчатого плана. При выборе плана контроля должны учитываться следующие моменты:

1. Простота работы с планом. Самый простой одноступенчатый план по проведению и организации. Для двухступенчатого плана необходимо больше усилий в организации и проведении при необходимости контроля второй выборки. Многоступенчатый еще сложнее,чем двухступенчатый. Последовательный также считается сложным для организации и проведения

2. Изменчивость объема выборочного контроля. При одноступенчатом контроле объем выборки имеет фиксированное значение и продолжительность контроля известна заранее, при других видах контроля число проверяемых изделий может меняться в зависимости от результата предыдущих выборок.

3. Сложность извлечения выборочных единиц. В некоторых случаях сложно извлечь вторую выборку и две выборки не являются большей проблемой, чем одна объединенная выборка. В других случаях невозможно извлечь несколько выборок из одной партии.

4. Продолжительность проверки . Если проверка продолжительна, то её можно проводить проверяя все выборочные единицы одновременно, в этом случае предпочтителен одноступенчатый план. Если возможна одновременная проверка не более 2х изделий, то может быть предпочтительнее двухступенчатый или многоступенчатый план.

27. Принципы применения стандартов статистический приемочный контроль по альтернативному признаку