В геометрії важливу роль відіграють різні перетворення фігур. Інверсія являє собою більш складне перетворення геометричних фігур ніж симетрія, рух і гомотетія. Тут прямі вже можуть переходити в кола, і навпаки. Термін "інверсія" походить від латинського слова inversio, що означає перетворення або обертання. При інверсії кожна фігура в певному розумінні перетворюється відносно довільно заданого кола так, що змінюються форма фігури, її лінійні розміри і залишаються незмінними тільки кути Метод інверсії став особливо популярним після досить успішного розв'язання з допомогою цього методу задач картографії, фізики, техніки і теорії функцій комплексної змінної. До того ж інверсія є одним з видів конформного перетворення, яке широко застосовується при розв'язуванні задач сучасної техніки.

Тому цікаво було б дізнатися поняття, властивості інверсії і навчитися застосовувати ці знання на практиці. Зі сказаного випливає актуальність теми курсової роботи.

Тема моєї курсової - інверсія та інверсори. Метод інверсії.

Мета роботи - познайомитись з поняттям інверсії на площині та інверсорами, вивчити властивості інверсії, навчитися будувати образи фігур при інверсії і застосовувати ці знання при розв'язанні задач на побудову і на доведення.

Інверсія являє собою більш складне перетворення геометричних фігур ніж симетрія, рух і гомотетія. Тут прямі вже можуть переходити в кола, і навпаки. Термін "інверсія" походить від латинського слова inversio, що означає перетворення або обертання. При інверсії кожна фігура в певному розумінні перетворюється відносно довільно заданого кола так, що змінюються форма фігури, її лінійні розміри і залишаються незмінними тільки кути Метод інверсії став особливо популярним після досить успішного розв'язання з допомогою цього методу задач картографії, фізики, техніки і теорії функцій комплексної змінної. До того ж інверсія є одним з видів конформного перетворення, яке широко застосовується при розв'язуванні задач сучасної техніки.

Тому цікаво було б дізнатися поняття, властивості інверсії і навчитися застосовувати ці знання на практиці. Зі сказаного випливає актуальність теми курсової роботи.

Тому в процесі виконання курсової роботи необхідно буде вирішити наступні завдання:

Інверсією відносно даного кола К з центром в точці О і радіусом R називається така відповідність між точками площини, при якій всякій точці А, відмінній від О, відповідає точка А₁ така, що:

1) обидві точки А і А₁ лежать на тому самому промені, який виходить з точки О, і 2) відстані ОА і ОА₁ зв'язані співвідношенням: ОА · ОА = R².

Рис. 1

Точки А і А₁ називаються інверсними відносно кола К, яке називається колом інверсії: величина R² називається степенем інверсії; точка О - центром, або полюсом інверсії (рис. 1).

З означення інверсії безпосередньо випливають такі її властивості:

1. Якщо точка А інверсна точці A₁ то точка А₁ інверсна точці А (в тому самому перетворенні).

2. Якщо фігура F інверсна фігурі F', то й, навпаки, фігура F' інверсна фігурі F.

3. Точки, які лежать всередині кола інверсії, відповідають точкам, які лежать поза колом інверсії, і навпаки.

4. Точки, які лежать на колі інверсії, зливаються із своїми інверсними точками. Полюс інверсії не має інверсної собі точки.

5. При інверсії промінь, що виходить з центра інверсії, перетворюється сам в себе.

Зауваження! Якщо на прямій ОА взяти точку A₂ (рис.1), симетричну A₂ відносно центра симетрії О, то абсолютна величина добутку ОА · ОA₂ дорівнює добутку ОА · ОА₁ = R², але оскільки точки А і A₂ розміщені по різні сторони від полюса О, то перед добутком ОА · ОA₂ ставлять знак мінус, тобто ОА · ОA₂ = - R².

У першому випадку кажуть, що точки А і А₁ гіперболічно інверсні, а в другому - еліптично інверсні.

Побудуємо тепер точку А₁, інверсну даній точці А відносно даного кола К.

Якщо точка А лежить поза колом К, то проводимо з неї дві дотичні до К (рис. 1) і сполучаємо точки В і С їх дотику з колом відрізком ВС. Точка перетину ВС з променем ОА і є шуканою точкою А₁, інверсною А. Справді, з прямокутного трикутника ОВА маємо: ОА · ОА₁ = R². Якщо ж точка А лежить всередині К, то через неї проводимо пряму ВС, перпендикулярну до променя ОА, і проводимо дотичну до кола К в одній з точок перетину його з прямою ВС. Точка перетину цієї дотичної з променем ОА є шуканою точкою А₁.

Розглянемо тепер, як за допомогою інверсії перетворюються прямі і кола.

Зрозуміло, що пряма, яка проходить через полюс інверсії, перетворюється сама в себе. Покажемо, що пряма, яка не проходить через полюс інверсії, перетворюється в коло, яке проходить через полюс інверсії.

Для цього з полюса інверсії О (рис. 2) опустимо перпендикуляр ОА на пряму l і побудуємо точку А₁, інверсну А відносно кола К. Нехай також точка В₁ буде інверсною (відносно кола К) точці В, яка лежить на прямій l. Тоді трикутники ОАВ і ОА₁В₁ подібні, бо вони мають спільний кут АОВ, і за означенням інверсії ОА₁ · ОА = ОВ · ОВ₁. З подібності трикутників випливає, що OВ₁А₁ = 90°. Якщо точка В рухатиметься по прямій l, то їй інверсна точка рухатиметься по кривій так, що відрізок ОА₁ буде видно з точки В₁ під прямим кутом. Отже, точка В₁ лежить на колі діаметра ОA₁ яке й відповідатиме в інверсії прямій l, тобто коло діаметра ОА₁ і пряма l будуть інверсними відносно кола інверсії К. Розглянуте твердження можна довести ще й так, як показано на рис. 3.

Нехай дано коло інверсії К, полюс О і пряму l. Побудуємо точку А, симетричну О відносно прямої l, і точку A₁, інверсну А відносно кола К. Проведемо довільний промінь ОВ і побудуємо точку В₁ інверсну В. Тоді трикутники ОАВ і ОВ₁A₁ подібні; до того ж трикутник ОАВ рівнобедрений, бо ОВ = АВ, отже, трикутник ОA₁В₁ буде також рівнобедреним, тобто ОА₁ = А₁В₁. Якщо точку A₁ зафіксувати, то множиною точок В₁ буде коло з центром в точці A₁ і радіусом ОA₁.

Висновок. Центр кола, інверсного прямій, лежить на перпендикулярі, опущеному з полюса інверсії на цю пряму.

Побудуємо коло інверсне даній прямій.

Припустимо, що дано коло інверсії К з радіусом R, полюс інверсії О і пряму l яка не проходить через полюс інверсії.

Розглянемо два випадки:

1) R менше за відстань від полюса інверсії до даної прямої l, тобто R < ОВ (рис.4) і, отже, R > ОВ₁ бо ОВ · ОВ₁ = R². Опускаємо з полюса О перпендикуляр ОВ на l. Потім на діаметрі ОВ будуємо півколо і проводимо хорду ОР = R. Перпендикуляр, опущений з точки Р на діаметр ОВ, перетинає його в точці В₁, інверсній В. На діаметрі ОВ₁ будуємо коло з центром в O₁, яке буде інверсним прямій l;

2) R більше за відстань від полюса інверсії до даної прямої l тобто R > ОВ (рис.5), але R < ОВ₁. Опускаємо з полюса інверсії О перпендикуляр ОВ на пряму l.

Будуємо на прямій l таку точку Р, щоб ОР = R, і, беручи точку Р за вершину, будуємо кут ОРВ₁ = 90°; потім знаходимо точку В₁ інверсну В (ОВ · ОВ₁ = R²).

Коло, побудоване на діаметрі ОВ₁ і є шуканим. Воно буде інверсним прямій l за даним степенем інверсії R². Зазначимо, що точки дуги РВ₁Q інверсні точкам хорди QР; точки дуги QC₁O інверсні точкам променя QМ; точки дуги РО інверсні точкам променя РN; точки Р і Q зливаються із своїми інверсними точками.

З попереднього випливає:

1. При нескінченному віддаленні прямої l від полюса інверсії О інверсна їй фігура (коло) зменшується і стягується в точку О.

2. Якщо пряма l дотикається до кола інверсії, то інверсне їй коло внутрішньо дотикається до кола інверсії (точка дотику не може бути полюсом інверсії).

Рис. 7

3. При наближенні прямої l до полюса інверсії інверсне їй коло збільшується і збігається з прямою, якщо вона проходить через полюс інверсії.

4. Довільно розміщені в площині коло і пряма (за винятком випадку п.2) завжди інверсні, тобто можна побудувати кoло інверсії, відносно якого дані коло і пряма будуть інверсні. Доведемо це.

Нехай ОА - діаметр кола К (рис.6), перпендикулярний до прямої l, і A₁ - точка перетину продовження ОА з l. Проведемо з полюса О довільний промінь ОМ, який перетинає К в точці М, а пряму l - в точці М₁, Чотирикутник АММ₁A₁ може бути вписаний в коло, оскільки кути АММ₁ і АA₁М₁ прямі. Тоді за теоремою про січні, проведені до цього кола з точки О, взятої поза ним, маємо: ОМ · ОМ₁ = ОА · ОA₁, тобто, М і М₁ інверсні відносно кола інверсії з радіусом R і полюсом інверсії О.

Твердження 4 можна довести й так (рис.6): проведемо через точку А довільну пряму, яка перетне коло К в точці N, пряму l - в точці N₁ Легко побачити, що чотири точки О, N, А₁ і N₁ лежать на колі, хордами якого будуть відрізки ОА₁ і NN₁ Користуючись відомою теоремою про відрізки хорд, проведених через взяту всередині кола точку, прийдемо до потрібного висновку.

Доведемо тепер, що й, навпаки, колу, яке проходить через полюс інверсії, відповідає в інверсії пряма l.

Справді, нехай точка А (рис.7) буде центром кола, яке проходить через полюс О, а точки А₁ і В₁ інверсні точкам А і В відносно кола інверсії K. Два трикутники ОАВ і ОВ₁A₁ подібні. Оскільки ОА = АВ, то ОВ₁ = А₁В₁ причому точка В₁ і рівновіддалена від нерухомих точок О і A₁. Отже, множиною точок В₁, інверсних точкам В, є пряма l, яка проходить через середину ОА₁ і перпендикулярна до неї.

Зауваження! Якщо А, A₁ і В, В₁ - дві пари інверсних точок, то справджується таке співвідношення: ОА · ОA₁ = ОВ · ОВ₁, звідки = і = .

Звідси випливає подібність трикутників ОАВ і ОA₁В₁ та ОA₁В і ОАВ₁ (рис. 8).

Легко побачити, що А, В і A₁, В₁ є інверсні точки відносно полюса O₁ (рис. 8), який лежить на перетині прямих АВ і A₁В₁. При цьому утворюються подібні трикутники O₁AA₁ і O₁ВВ₁ та O₁ВA₁ і O₁ В₁A.

Зазначимо ще, що відрізки A₁В і АВ₁ перетинаючись, визначать третій полюс інверсії для тих самих пар точок А, В і А₁ В₁ з від'ємним степенем інверсії.

З подібності розглянутих трикутників дістаємо такі рівності:

1=2; 3 = 2; 4 = 6;

5=7; 6+7=8+2=2d.

Означення. Дві пари прямих АВ і A₁В₁ та АА₁ і ВВ₁ (рис.8), які перетинаються і утворюють при перетині рівні кути 1 = 2, називаються парами антипаралельних прямих.

Якщо пара антипаралельних прямих АВ і А₁В₁ перетинає сторони А₁OВ₁ то маємо (рис.9):

Рис. 10.

Отже, пара антипаралельних прямих, перетинаючи сторони кута, відтинає на них обернено пропорційні відрізки ОА, ОВ, ОА₁ і ОВ₁ а чотири точки перетину А, В, А₁ і В₁ лежать на одному колі (конциклічні точки). Якщо антипаралельні прямі АВ і А₁В₁ (рис.10), перетинаючи сторони кута АОВ, утворюють рівні кути: 1 = 2 і 3 = 4 і, отже, рівні відрізки АО = ОВ і ОА₁ = ОВ₁ то ці антипаралельні прямі паралельні, тобто відрізки ОА, ОВ, ОА₁ і ОВ₁ прямо і обернено пропорційні.

У цьому окремому випадку дві паралельні прямі АВ і А₁В₁, перетинаючи сторони кута АОВ, дають конциклічні точки (А, В, А₁, В₁); в загальному випадку пара паралельних прямих цієї властивості не має.

На підставі розглянутих випадків можна зробити висновок: якщо точки А і В інверсні точкам A₁ і В₁, то відрізки АВ і А₁В₁ антипаралельні відносно полюса О.

Доведемо тепер, що колу, яке не проходить через полюс інверсії, відповідає коло, яке також не проходить через полюс інверсії.

Справді, нехай дано коло діаметром АВ і полюс інверсії О. Побудуємо точки А₁ і В₁ інверсні кінцям діаметра АВ, продовження якого проходить через полюс інверсії О (рис.11). Візьмемо на цьому колі довільну точку С і побудуємо інверсну їй точку С₁. Тоді СА - антипаралельна С₁A₁ отже, САВ = А₁С₁ D і СВ - антипаралельна С₁В₁, отже, ОС₁В₁ = ОВС, причому САВ + ОВС = 90°, оскільки ACB = 90°, бо він вписаний і спирається на діаметр АВ.

Таким чином, ОС₁В₁ + А₁С₁В = 90°, але тоді і кут В₁С₁A₁ повинен бути прямим. Отже, точка С₁ лежить на колі з діаметром А₁В₁ і центром O₂.

Зазначимо, що центри О₁ і O₂ не є інверсними точками. Це випливає з того, що, провівши спільну дотичну ОМ₁ ми дістаємо два прямокутних трикутники ОО₁М і OO₂М₁ і оскільки ОМ · ОМ₁ = R², то ОО₁ · OO₂ ? R₂, бо OO₁ > ОМ і OO₂ > ОМ₁ (з властивостей сторін прямокутних трикутників).

Висновок. Полюс інверсії О в наведеному випадку можна розглядати як зовнішній центр подібності кіл O₁ і O₂, причому інверсні точки кіл не будуть гомотетичними.

Користуючись тільки що розглянутим твердженням, подамо спосіб побудови кола, інверсного даному колу (рис.12). Нехай дано коло O₁, що лежить поза колом інверсії К, полюс інверсії О і степінь R²; побудуємо коло O₂, інверсне О₁. Знайдемо точки А₁ і В₁ інверсні точкам А і В (кінцям діаметра кола O₁). Коло, побудоване на діаметрі А₁ В₁, буде шуканим, тобто коло O₂ є інверсне колу O_1.

Доведемо тепер, що при інверсії зберігається величина кутів.

Лема. Дотичні в інверсних точках, проведені до двох інверсних кривих, утворюють рівні кути з променем, який сполучає ці точки з полюсом інверсії.

Візьмемо інверсні точки А і А₁ (рис.13), В і В₁ на даних двох інверсних фігурах L і L₁. Прямі АВ і А₁В₁ антипаралельні, а тому ОАВ = ОВ₁А₁. Якщо промінь ОВ₁ обертати навколо центра О, наприклад проти стрілки годинника, і наближати його до суміщення точок В з А і В₁ з А₁ то хорди АВ і А₁В₁ залишаючись антипаралельними, обертатимуться в протилежних напрямах і наближатимуться до суміщення з відповідними дотичними. В граничному положенні дістанемо:

ОАТ = ОА₁S₁ і ТАА₁ = Т₁А₁А,

що й треба було довести.

Теорема. Кут між двома лініями даної фігури дорівнює куту між двома відповідними лініями другої фігури, інверсної даній, якщо вершини кутів цих фігур інверсні точки (рис.14).

Нехай відрізки АВ і АС (на рисунку вони не подані) інверсні відповідно відрізкам А₁В₁ і А₁С₁ а точки А, В і С інверсні точкам А₁, В₁ і С₁. Проведемо в точках А і А₁ дотичні до ліній АВ, АС, А₁В₁, А₁С₁ тоді за лемою маємо: SАА₁ = S₁А₁А і ТАА₁ = Т₁А₁А, Віднімаючи відповідно по частинах другу рівність від першої, дістаємо:

SАА₁ - TАА₁ = S₁А₁А - Т₁А₁А,