Інверсія та інверсори. Метод інверсії
Поняття інверсії на площині та її властивості. Аналітичне задання інверсії. Характеристика видів інверсора як механізму, який здійснює побудову інверсних фігур. Застосування методу інверсії до розв'язування геометричних задач на побудову та доведення.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 20.03.2015 |
| Размер файла | 1,1 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
1.2 Аналітичне задання інверсії
Задамо прямокутну декартову систему координат з початком в центрі O інверсії. Якщо М (х, у) > М '(x', y'), то = л при л > 0.
За умови =, отримаємо л =
Ці рівності в координатах запишуться так:
x'= лx,
y' =лy, де л > 0; (2)
xx '+ yy' = (3)
Підставивши значення x' і y' з рівності (2) в рівність (3), отримуємо:
л (x І + y І) = .
Так як точка М не збігається з точкою О, то xІ + yІ ? 0, тому
л =
Підставивши значення л в рівність (2), остаточно одержуємо аналітичний вираз інверсії:
(4)
Так як М '(х', у ') > М (х, у) при цій інверсії, то
(5)
Як бачимо, ці формули не лінійні. Тому образом довільної прямої
Ax + By + C = 0
при C ? 0 не буде пряма лінія, тобто інверсія не є афінним перетворенням.
Приклад 1
Визначити пропущені координати точок А '(5, ...) і
A (..., 2), якщо відомо, що точка А' є образом точки А при інверсії з центром на початку координат і радіусом інверсії R = 5.
Розв'язання:
Використовуємо формули, отримані раніше. Враховуючи, що О (0, 0) і R=5 можна записати:
Підставивши відомі координати, легко отримати:
Отже, ця задача має два розв'язки:
1) А'(5, 10), А (1, 2);
2) А'(5, 2,5), А (4, 2).
Розділ 2. Інверсори
Механізм, який здійснює побудову інверсних фігур, називається у інверсором.
Розглянемо геометричну побудову деяких інверсорів у такому вигляді, в якому вони вийшли з рук своїх винахідників.
2.1 Інверсор Посельє
Лише в 1864 р. французький генерал Посельє винайшов таки механізм, за допомогою якого можна було здійснювати випрямлення, а також і різноманітні інші операції; механізм було названо інверсором пізніше, як часто трапляється в історії відкриттів, вдалося знайти ще цілу низку інших розв'язків проблеми, причому пряма лінія одержується в них лише як окремий різновид великого класу кривих, побудова яких можлива з допомогою шарнірних механізмів.
Розглянемо спочатку шарнірний механізм Посельє. Він названий інверсором на тій підставі, що з його допомогою можна виконати інверсію. Іверсор Посельє складається із шарнірного ромба PQP'R зі стороною c, у протилежних вершинах Q і R якого закріплені за допомогою шарнірів два рівних стержні завдовжки b. ці стержні іншими своїми кінцями закріплені у нерухомій точці O, навколо якої вони можуть обертатися. При цьому b > c. Весь механізм складається таким чином, із 6 стержнів: OQ, OR, PQ, P'Q, P'R. Внаслідок симетрії приладу, точки O, P і P' завжди лежать на одній прямій - осі симетрії приладу.
Опишемо тепер з Q як із центра коло з радіусом c; воно пройде через P і P'; стержень OQ і його продовження перетнуть коло в точках S і T. Тоді OPP' і OST будуть січними, до яких можна застосувати відому теорему, яка дає:
OP · OP' = OS · OT = (b - c) (b+c) = - .
Отже добуток OP · OP' є величиною сталою. Позначимо - = , тоді буде катетом прямокутного трикутника з гіпотенузою b та іншим катетом c. Але в такому разі співвідношення OP · OP' = показує нам, що точка P' одержана з P за допомогою інверсії з центром O та радіусом a.
Цим і пояснюється назва "інверсор". Прилад, отже виконує операцію інверсії у тій частині площини, яка досяжна для точок P і P'. Аби скористатися ним для проведення прямої, достатньо лише змусити точку P рухатися по колу, яке проходить через O, тоді, унаслідок відомих властивостей інверсії, P' здійснюватиме прямолінійний рух. А забезпечити у шарнірному механізмі круговий рух точки P дуже легко. Для цього потрібно лише за допомогою шарніра приєднати в Р новий стержень ZP, який би обертався навколо нерухомого центра Z. Для того ж, аби кругова траєкторія точки P проходила через О, довжину стержня ZP потрібно взяти рівною незмінній відстані OZ. Внаслідок приєднання сьомого стержня PZ з нерухомим кінцем Z, точка P рухатиметься лише по дузі кола, яке проходить через О, а у зв'язку з цим точка Р' змушена буде рухатися по прямій (між іншим, перпендикулярній до OZ, див рис)
2.2 Інверсор Л. Ліпкіна
Інверсор Л. Ліпкіна (винайдений у 1868 р.). Незалежно від Посельє російський математик Ліпкін сконструював механізм для точного перетворення прямолінійного руху в коловий. Міркування над геометричною теорією механізмів П.Л. Чебишова привели його до оригінального розв'язання цієї задачі. Зберігаючи особливості цих міркувань, подамо описання інверсора. Візьмемо на деякій прямій три точки А, В і С (рис.18) і сполучимо їх шарнірними стержнями з довільними точками D і d, рівновіддаленими від точок А і В. Утворена комбінація стержнів матиме цікаву властивість, яка полягає в тому, що як би ми не змінювали відстань між точками А, В і С, точки залишатимуться на одній прямій. Аналогічне явище спостерігатимемо і над довільними точками а, b, с, якщо тільки аb || АВ. Друга важлива властивість цієї комбінації стержнів полягає в тому, шо при кожній допустимій відстані між точками А і В залишається справедливим таке співвідношення: СA CB = DC2 - DА2 = dС2 - dА2, а оскільки стержні DС і DА незмінні, то цей добуток відстаней точок А і В від точки С є величиною сталою. У цьому легко впевнитися на основі таких міркувань. Побудуємо коло радіуса DA = DВ з центром у точці D; тоді пряма СВА буде січною і, за відомою теоремою з планіметрії, матимемо:
СА СВ = СТ2 = DС2 - DТ2 = DС2 - DА2,
де Т - точка дотику прямої СТ з колом. Сполучивши А і В з Т, дістанемо два подібних трикутники СТА і СВТ, бо ТСА = ВСТ і СТВ = САТ; з подібності трикутників випливає пропорційність їх сторін, тобто СА: СТ = СТ: СВ або СА · СВ = СТ2. Якщо закріпити точку С (або с), а точка В (або b) буде описувати деяку криву, то точка А (або a) опише інверсну криву відносно полюса інверсії С (або с). Інверсною кривою для кола, яке проходить через полюс, як відомо, буде пряма, перпендикулярна до прямої, що проходить через полюс інверсії і центр кола. Тому для одержання прямої досить у цій комбінації стержнів закріпити точку С (або с) шарніром, а точку В (або b) сполучити шарнірним стержнем з нерухомою точкою М так, щоб МВ = МС (рис. 19). Тоді точка А описуватиме пряму, перпендикулярну до СМ. Якщо ж Мс = Мb, то А опише дугу деякого кола.
На рис. 19 і 20 нерухома точка С знаходиться поза відрізком АВ, а на рис.21 - між точками А і В. На рис.20 чотирикутник АDВd - ромб, в якому сторона Аd переходить в паралельну їй А'd'. Справді, нехай (див. рис. 19, 21) К і N будуть точками перетину прямої СМ з перпендикуляром АК (або аК) і колом радіуса ВМ = СМ з центром у точці М. З подібних прямокутних трикутників СBN і СКА дістанемо: СК: СВ = СА: CN, а звідси СК = (СА СВ): СN = ± (DС2 - DA2): 2МВ, причому знак плюс відповідає конструкції рис. 19, а мінус - рис.21. Отже, CK = соnst. Це означає, що при будь-якому положенні конструкції перпендикуляр, опущений з точки А на пряму СК, перетинає її в тій самій точці К. Отже, точка А, рухаючись обов'язково опише перпендикуляр АК, що й треба було довести
2.3 Інверсор Гарта
Інверсор Гарта (винайдений у 1874 р.). Новий вид напрямного механізму був сконструйований Гартом. Цей інверсор має форму рівнобічної трапеції, що складається з чотирьох стержнів АВ = СD = b і ВD = АС = а, скріплених шарнірами в точках A, В, С і D (рис.22). Нехай точки О, Р і Q лежать на відрізку, паралельному основам трапеції. Якщо закріпимо нерухомо точку О, а в точках Р і Q помістимо олівці (рис.22) і пересуватимемо їх, то вони опишуть інверсні фігури. Це випливає з таких міркувань. Оскільки трикутники ОВQ і ABD ОРА і ВАС подібні, то OQ: АD = ОВ: АВ і ОР: ВС = ОА: АВ. Перемноживши відповідно ці дві пропорції, дістанемо:
(OQ · ОР): (АD · ВС) = (ОА · ОВ): АВ2.
За умовою дана трапеція рівнобічна, тому навколо неї можна описати коло; отже, на неї поширюється відома теорема Птоломея (грецький астроном II ст.): "Добуток діагоналей вписаного в коло чотирикутника дорівнює сумі добутків його протилежних сторін". Отже, в нашому випадку матимемо: АD · ВС + b2 = а2.
Таким чином, ОQ · ОР = (а2 - b2) (ОА - ОВ): АВ2 = const. Звідси випливає також і те, що точки О, Р, і Q. лежать на одній прямій. Більше того, можна закріпити не тільки одну точку О відрізка АВ, а й весь відрізок АВ. Тоді,; рухаючись, точки Р і Q опишуть кола (дуги кіл) з центрами відповідно в точках А і В і радіусами РА і ВQ = РС. Оскільки відношення цих радіусів дорівнює відношенню ОА до ОВ, то точка О буде центром подібності цих кіл. Радіуси кіл, проведені в точки Р і Q, будуть між собою антипаралельні, отже, точки Р і Q інверсні. Таким чином, добуток ОQ · ОР залишається сталим при всіх допустимих деформаціях нашої конструкції (при нерухомих точках А і В). Нарешті, інверсору можна надати трохи іншого вигляду, сполучивши точку Р з точкою S твердим стержнем (рис.23), довжина якого дорівнює SO. При русі точки Р по колу радіуса SP з центром в S, точка Q опише пряму лінію, інверсну цьому колу.
Зауваження! Незважаючи на помітну відмінність у конструкціях інверсорів Посельє-Ліпкіна і Гарта, між ними можна встановити геометричний зв'язок (рис.24).
Справді, нехай точку О закріплено нерухомо, а точка Р рухатиметься по колу з центром в S, при цьому точка Q рухатиметься по прямій QQ1, інверсній цьому колу, і навпаки. Отже, ОР · ОQ = ОМ2 - МQ2 - ОL2 - LQ = R2. Якщо точка Р переміститься в положення Р1 то Q перейде в положення Q1, Звідси матимемо:
OP1 · OQ = const. У даному випадку степінь інверсії дорівнює ОL2 - LQ2. для того щоб його можна було змінювати, стержні ОL і ОК роблять розсувними і добирають довжину ОL так, щоб OL2 = QL2 + R2
Інверсор Гарта, як відомо, складається з чотирьох стержнів АВ = DС і ВD = АС, закріплених шарнірами в точках А, В, C і D. Олівці знаходяться в точках Р і Q (точках перетину діагоналей з середньою лінією OO1 трапеції АВСD), а точка О закріплена нерухомо.
Нехай L і К - середини сторін АD і ВС. Тоді матимемо шарнірний ромб РLQК і, отже, конструкція інверсора Гарта зведена до конструкції інверсора Посельє_Ліпкіна. Степінь інверсора дорівнює
ОР · ОQ = ОМ2 - MQ2 = ОL2 _ РL2 = (ВС2 - АВ2).
2.4 Інверсор, який перетворює коловий рух в коловий
Якщо доповнити інверсор Посельє-Ліпкіна двома стержнями АG і СН так, як це показано на рис.25, то з допомогою такого механізму можна перетворювати коловий рух в інверсний теж коловий рух. Справді, нехай EВ = ЕD = а, АD = DС = СВ = ВА = b, а точку А сполучено з точкою G, причому АG = с. Покладемо також, що ЕА = т і АF = п, тоді АЕ · СЕ = т (т + 2п) = т2 + 2тп. Але ВF2 = а2 - (т + п) 2 = b2 - п2. Отже, т2 + 2тп = а2 - b2 і ЕА · АG = соnst. Звідси випливає, що точки А і G інверсні відносно полюса Е, а тому, якщо точка А описує коло, то точка С також описує коло, інверсне першому. Проте за умовою точка А може рухатися по колу радіуса с = АG з центром у точці G, отже центр Н кола, яке описується точкою С, лежить на прямій ЕG, причому EH =, де EG = d.
Легко побачити, що коли d = с, тобто ЕG = АG, то коло, яке описує точка С, перетворюється в пряму, перпендикулярну до ЕG.
Розділ 3. Метод інверсії
3.1 Застосування методу інверсії до розв'язування геометричних задач на побудову
Властивостями інверсії користуються при розв'язуванні багатьох геометричних задач на побудову, зокрема задач на побудову кіл, дотичних до даних прямих і кіл, а також кіл, які перетинають дані прямі і кола під даними кутами, та ін.
У дальшому користуватимемося поняттями ортогональності та ізогональності кіл. Наведемо означення їх. Два кола, які перетинаються під прямим кутом, називаються ортогональними одне до одного.
Коло, яке перетинає два кола під однаковими кутами, називається ізогональним відносно них.
З цих означень випливає твердження:
Якщо коло O1 ортогональне колу інверсії О (рис.26), то радіуси ОА і ОВ будуть дотичними до кола O1.
Справді, провівши довільну січну ОМ1М до кола О1 матимемо: АО2 = ОВ2 = ОМ · ОМ1 = соnst. З цієї рівності бачимо, що М і М1 інверсні точки відносно кола О. Очевидно, що кожна точка зовнішньої дуги АМВ кола O1 матиме лише одну інверсну точку на внутрішній дузі АМ1В, а точки А і В будуть подвійними або інверсними самі собі. Отже, будь-яке коло, ортогональне до кола інверсії, залишається в інверсії незмінним, або інваріантним.
Незмінним в інверсії буде коло O1 і тоді, коли воно діаметрально перетинає коло інверсії (рис.27), тобто коли точки перетину А і А1 будуть кінцями діаметра кола О. Справді, для відрізків будь-якої хорди ММ1 кола O1, яка проходить через точку О хорди АА1 кола О, виконується співвідношення: ОА · ОА1 = ОМ · ОМ1 = соnst. Звідси випливає, що точки М і М1 інверсні відносно кола О.
На основі розглянутих випадків можна зробити такі висновки:
1) Якщо точки М і М1 інверсні відносно кола інверсії О, то будь-яке коло O1, яке проходить через ці точки, буде інваріантним в цій інверсії.
2) Коло, дотичне одночасно до двох даних кіл, буде ізогональним до них, бо утворює з кожним з них кут, що дорівнює 0°.
3) Якщо дві точки симетричні відносно прямої, то будь-яке коло, що проходить через ці дві точки, ортогональне до неї.
Це твердження дає змогу розглядати симетрію відносно прямої як граничний випадок інверсії, якщо пряму розглядати як коло інверсії нескінченно великого радіуса.
3.2 Застосування інверсії при розв'язанні задач на доведення
Тут використовується той факт, що залежність даних і шуканих у відображеній фігурі часто набагато простіше, ніж в основній фігурі. Чудово, якщо в задачі фігурує коло: метод дає можливість замінювати фігури, що містять коло, більш простими фігурами.
Теорема Птолемея.
Для всякого чотирикутника ABCD, вписаного в коло, вірно:
Оберенена теорема.
Якщо для чотирьох неколінеарних точок A, B, C, D вірно
, то вони лежать на одному колі.
Задача Паппа.
Нехай кола б, в і г з діаметрами АВ, ВС, АС утворюють арбелос, д0 - коло, вписане в арбелос, коло д1 дотикається до кіл б, в і д0, коло д2 дотикається до кіл б, в і д1,. коло дn +1 дотикається до кіл б, в і дn. Позначимо Rn - радіус кола дn, dn - відстань від центру кола дn до прямої АВ. (рис. 20).
Рис. 20
Виконаємо інверсію щодо будь-якого кола з центром в точці А. На малюнку це коло проходить через точку В.
При цій інверсії кола б і в перейдуть у дві паралельні прямі, а ланцюжок з кіл д0, д1, д2,. перейде в ланцюжок рівних кіл щ0, щ1, щ2,. укладених між паралельними прямими (рис.21). Центри кіл щn і дn лежать на одній прямій з точкою А. Для кола щn твердження задачі виконується очевидним чином. Але окружність дn переходить в коло щn при гомотетії з центром А, звідки і випливає твердження завдання.
Рис. 21
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Визначення поняття інверсії на площині, її властивості. Виведення формул аналітичного задання інверсії на площині. Побудова образу точок, прямих і кіл, властивості кутів і відстаней між точками при інверсії. Ортогональні і інваріантні окружності інверсії.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 27.09.2013Загальні відомості про комплексну площину, визначення інверсії. Формула інверсії в комплексно сполучених координатах. Нерухливі крапки, образи прямих і окружностей при узагальненій інверсії. Застосування інверсії при рішенні задач і доказі теорем.
дипломная работа [381,1 K], добавлен 14.02.2011Інверсія як перетворення площини. Побудова інверсних крапок. Інверсія і її застосування. Лема про антипаралельні прямі. Збереження кутів при інверсії. Ступінь крапки щодо окружності. Інверсія кола, розгляд особливих випадків геометричних побудувань.
дипломная работа [778,6 K], добавлен 14.02.2011Основні поняття поворотної симетрії. Означення, задання та властивості повороту площини. Формула повороту площини в координатах. Поворотна симетрія в природі. Розв'язання задач з геометрії за допомогою повороту (на обчислення, на побудову, на доведення).
курсовая работа [2,6 M], добавлен 02.11.2013Поняття про алгебраїчний метод у геометрії. Побудова коренів квадратного рівняння та формул. Побудова деяких однорідних виразів циркулем і лінійкою. Ознака можливості побудови відрізка. Розв’язування задач на побудову. Поняття про однорідні функції.
курсовая работа [920,5 K], добавлен 17.03.2011Проблема формування конструктивно-геометричних умінь та навичок учнів в старшій профільній школі. Поняття геометричних побудов; паралельне і центральне проектування та їх властивості. Основні типи задач в стереометрії та методи їх розв’язування.
дипломная работа [2,6 M], добавлен 11.02.2014Основні типи стереометричних задач на побудову та методи їх розв’язування. Методичні рекомендації до проведення уроків з навчання учнів розв’язуванню цих задач на побудову. Комп’ютерна підтримка навчання учнів розв’язуванню задач засобами пакету GRAN.
дипломная работа [2,1 M], добавлен 26.08.2014Поняття та методика визначення геометричного місця точки на площині. Правила та головні етапи процесу застосування даного математичного параметру до розв’язання задач на побудову. Вивчення прикладів задач на відшукання геометричного місця точки.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 12.06.2011Методика викладання теми, що стосується графічних методів розв’язування задач з параметрами. Обережне відношення до фіксованого, але невідомого числа при роботі з параметром. Побудова графічного образу на координатній площині, застосування похідної.
дипломная работа [7,5 M], добавлен 20.08.2010Дослідження історії виникнення та розвитку координатно-векторного методу навчання розв'язування задач. Розкриття змісту даного методу, розгляд основних формул. Розв'язання факультативних стереометричних задач з використанням координатно-векторного методу.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 10.04.2011
