Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Національний університет “Львівська політехніка”

УДК 519.876.5+519.711

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИФУЗІЙНИХ ПРОЦЕСІВ У СЕРЕДОВИЩАХ З ВИПАДКОВИМИ ТА РЕГУЛЯРНИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

ЧЕРНУХА Ольга Юріївна

Львів - 2007



Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Центрі математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, м. Львів

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Чапля Євген Ярославович, Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, м.Львів, директор Центру

Офіційні опоненти: член-кореспондент НАН України, доктор технічних наук, професор, Самойленко Юрій Іванович, Інститут математики НАН України, м.Київ, головний науковий співробітник; доктор технічних наук, професор

доктор технічних наук, професор Стахів Петро Григорович, Національний університет “Львівська політехніка”, м.Львів, завідувач кафедри теоретичної та загальної електротехніки;

Захист відбудеться 5 жовтня 2007 року о 13⁰⁰ год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.052.05 при Національному університеті “Львівська Політехніка” (79013, м. Львів, вул. С.Бандери, 12).

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Національного університету “Львівська політехніка” за адресою: 79013, Львів, вул. Професорська, 1

Автореферат розісланий 30 серпня 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради, д.т.н., проф. Бунь Р.А.



АНОТАЦІЇ

Чернуха О.Ю. Математичне моделювання дифузійних процесів у середовищах з випадковими та регулярними включеннями. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Національний університет “Львівська політехніка”, Львів, 2007.

Дисертація присвячена розробці підходів та методів математичного моделювання процесів масопереносу в багатофазних і багатокомпонентних тілах з урахуванням скінченних розмірів включень окремих фаз та їх випадкової природи. півпростір моделювання масоперенос математичний

Запропоновано підхід до опису процесів масопереносу в стохастично неоднорідних дво- та багатофазних тілах. Досліджено міграцію речовини в півпросторі та шарі з випадково розташованими включеннями, які мають форму тонких прошарків, волокон та куль. Розроблено метод аналітичного розв'язання контактно-крайових задач масопереносу в тілах з періодичною структурою. Знайдено зв'язок таких моделей із задачами гетеродифузії двома шляхами. Метод узагальнено на випадок моделей гетеродифузії та конвективної дифузії з урахуванням сорбції у двошаровій смузі. Розглянуто крайові задачі гетеродифузії та часткових модельних варіантів у двовимірних постановках. Розроблено відповідне програмне забезпечення.

Ключові слова: математичне моделювання, масоперенос, випадково неоднорідне тіло, горизонтально періодична структура, гетеродифузія.



Чернуха О.Ю. Математическое моделирование диффузионных процессов в средах со случайными и регулярными включениями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Национальный университет “Львовская политехника”, Львов, 2007.

Диссертация посвящена разработке подходов и методов математического моделирования процессов массопереноса в многофазных и многокомпонентных телах с учетом конечных размеров включений отдельных фаз и их случайной природы.

Разработан подход к описанию диффузионных процессов в случайно неоднородных многофазных телах, который базируется на формулировании интегродифференциального уравнения со случайным оператором, эквивалентного исходной краевой задаче математической физики, его решении методом последовательных приближений и усреднении полученного поля концентрации в виде бесконечного интегрального ряда Неймана по ансамблю конфигураций фаз. Предложенный подход применен к решению задач диффузии в двух- и многофазных стохастически неоднородных слоистых средах, постановка которых сделана на основании законов Фика для тела в целом. При этом неоднородность среды учитывается в коэффициентах уравнения, которые являются случайными функциями пространственных координат. Рассмотрены случаи равномерного и бета-распределения фаз в области тела. Числовой анализ усредненных полей концентрации примесного вещества показал необходимость учета отличий диффузионных свойств фаз и скачки коэффициента диффузии на межфазных границах. Отмечено характерное приграничное (в областях, близких к источнику массы) возрастание концентрации частиц. Определены области применимости гомогенизированных моделей диффузии в слоистых многофазных средах.

Данный подход к описанию массопереноса обобщен на случаи двух- и трехмерных постановок краевых задач. Исследована диффузия примеси в двух- и многофазном полупространстве со случайно расположенными включениями, которые имеют форму волокон и сфер. Получены формулы для определения усредненного по ансамблю реализаций структуры тела поля концентраци с равномерным распределением фаз, представленные через концентрацию в однородном полупространстве и функции Грина. При числовом исследовании также отмечено увеличение концентрации частиц в приграничных областях для волокнистых тел. Для тел со сферическими включениями характерно уменьшение концентрации около поверхности и ее последующее возрастание, причем максимум концентрации может на порядок превышать ее значение на границе тела.

Построена математическая модель взаимосвязанных диффузионных, тепловых и механических процессов в двухфазной двухкомпонентной среде на основе представлений, подходов и методов термодинамики неравновесных процессов и механики сплошной среды. На основе этой модели механотермодиффузии сделаны постановки контактно-краевых задач массопереноса в двухфазных случайно неоднородных средах. Рассмотрены случаи слоистых, волокнистых и тел со сферическими включениями. Для решения таких задач использовался предложенный подход, для чего с помощью аппарата теории обобщенных функций контактная задача сведена к уравнению массопереноса во всей области тела, учитывающего скачки функции концентрации и ее производной на границе контакта фаз. Доказана абсолютная и равномерная сходимость интегральных рядов Неймана как для ограниченных, так и полуограниченных областей. При этом не налагались ограничения на плотность функции распределения фаз, что означает справедливость разработанного подхода для произвольного распределения включений в теле.

Для нахождения точных аналитических решений контактно-краевых задач массопереноса в периодических структурах предложен новый метод, основывающийся на применении интегральных преобразований по пространственным переменным отдельно в каждой из контактирующих областей. Получены аналитические решения краевых задач диффузии в горизонтально периодических структурах при условиях идеального и неидеального контакта, записанных для функции концентрации, и исследованы основные закономерности процессов массопереноса в таких системах. Сделаны граничные переходы к континуальным моделям гетеродиффузии. Показана возможность применения предложенного метода для задач переноса другого типа - получено и исследовано точное решение контактно-краевой задачи гетеродиффузии двумя путями в двухслойной полосе.

В рамках континуальных моделей для многокомпонентных сред сформулированы краевые задачи гетеродиффузии и найдены решения краевых задач в двухмерных постановках, проведен сравнительный анализ для частных модельных вариантов и определены области применимости математических моделей диффузии примеси в средах с ловушками и диффузии в средах с эффективными характеристиками.

Ключевые слова: математическое моделирование, массоперенос, случайно неоднородное тело, горизонтально периодическая структура, гетеродиффузия.



Chernukha O.Y. Mathematical modelling diffusive processes in media with random and regular inclusions. - Manuscript.

The thesis for a Technical Sciences Doctor's Degree on speciality 01.05.02 - mathematical modelling and computational methods. - Lviv Polytechniс National University, Lviv, 2007.

The thesis is devoted to development of approaches and methods for mathematical modelling mass transfer in multiphase and multicomponent bodies allowing for finite sizes of inclusions of certain phases and their random nature.

The approach was proposed for describing mass transfer processes in stochastically nonhomogeneous two- and multiphase bodies. Substance migration was investigated in a semispace and layer with randomly disposed inclusions being the shape of thin sublayers, fibres and spheres. The method was developed for analytical solving contact initial-boundary value problems of mass transfer in bodies with periodical structure. The relation between such models and problems of heterodiffusion by two ways was found. The method has been generalized on the model cases of heterodiffusion and convective diffusion with allowance for sorption in a two-layered strip. Initial-boundary value problems of both heterodiffusion and partial model variants were studied in two-dimensional statements. The corresponding software was disigned.

Key words: mathematical modelling, mass transfer process, randomly nonhomogeneous body, horizontally periodical structure, heterodiffusion.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Ефективне розв'язування ряду важливих науково-технічних проблем, пов'язаних з охороною довкілля від техногенної діяльності людини, зокрема, забезпеченням якості питної води та очищення використаних вод, оцінка надійності інженерно-технічних розв'язків локалізації агресивних забруднень та інших, базуються на конкретних макроскопічних фізико-математичних моделях переносу. Такі моделі, як правило, будуються на основі загальних положень механіки суцільного середовища та термодинаміки нерівноважних процесів і повинні з достатною повнотою враховувати структурні властивості середовища.

Середовища, в яких відбуваються процеси масопереносу, як правило, є багатофазними і неоднорідними. При цьому неоднорідності структури тіла можуть бути як мікроскопічними, так і макроскопічними.

У першому випадку вважається, що існує фізично мала репрезентативна область, в якій представлені всі складові елементи структури тіла, і для опису процесів перерозподілу їхніх частинок можуть бути використані підходи теорії сумішей або методи механіки багатофазних систем. У такому наближенні, зокрема, вивчаються процеси гетеродифузного масопереносу в дрібнодисперсних тілах, у т.ч. пористих середовищах.

Якщо ж розміри неоднорідностей (включень) співвимірні з розмірами тіла, то закономірності процесів переносу вивчають на основі розв'язків відповідних крайових задач математичної фізики. У випадку значного числа таких включень часто використовують методи гомогенізації неоднорідної структури, отримуючи відповідні фізичні співвідношення для тіла в цілому на базі певних припущень про характер просторової та часової зміни досліджуваних полів. Як правило, приймається, що зміна цих полів на віддалях, що значно перевищують розміри неоднорідностей, повинна бути незначною. З використанням такого підходу вивчаються закономірності теплових і механічних процесів у композитних матеріалах.

При цьому використання ефективних характеристик, зокрема, ефективних коефіцієнтів дифузії, в певних часових інтервалах кількісно, а в деяких випадках і якісно не дає можливості описувати розподіли концентрацій та потоків у таких тілах.

Крім цього, як правило, відома інформація тільки про дольовий вміст окремих типів включень, їхні фізико-хімічні властивості і окремі геометричні параметри, проте конкретне розташування - невідоме, тобто такі структури можемо вважати випадковими.

Подібні проблеми також виникають при оцінці надійності та стабільності напівпровідникових просторово впорядкованих мікроструктур, де процеси дифузії зумовлюють зміну функціональних властивостей та їхню деградацію. Крім цього цими ж процесами часто визначаються властивості нових композитних матеріалів, надійність вузлів та елементів різного виду технічних макроконструкцій, обумовлюються особливості протікання ряду фізико-технологічних процесів, тощо.

Тому розробка нових підходів до математичного моделювання процесів масопереносу у багатофазних, у тому числі випадково-неоднорідних тілах, коли розміри областей окремих фаз є макроскопічними, методів розв'язання відповідних контактно-крайових задач дифузії та побудова алгоритмів аналітико-числового дослідження характеристик процесів переносу в об'єктах природного середовища відносяться до актуальних проблем математичного моделювання.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в рамках планів наукових досліджень Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім.Я.С.Підстригача НАН України, отримані результати увійшли до наукових звітів Центру за темами: “Розробка і дослідження нелінійних математичних моделей механотермодифузійних процесів у багатофазних системах при локальних змінах стану компонент” (№ ДР 0199U000133), “Математичні моделі та методи термодинамічного опису локально неоднорідних гетерогенних багатокомпонентних систем та об'єктів природного середовища” (№ ДР 0199U000626), “Розробка підходу до опису процесів масопереносу у багатофазних стохастично неоднорідних тілах з суттєво різними фізичними характеристиками фаз” (№ ДР 0102U003712), “Фізико-математичне моделювання та дослідження механічних і фільтраційно-дифузійних процесів у дрібнодисперсних середовищах з врахуванням хімічних перетворень і електромагнітних процесів” (№ ДР 0104U000202), “Математичне моделювання та прогнозування міграції забруднень у об'єктах природного середовища з врахуванням локальної їх трансформації” (№ ДР 0105U000230), “Кінетика переносу радіонуклідів у склоподібних ЛПВМ за наявності швидкого шляху міграції” (Договір № 06/2002) та проекту Державного фонду фундаментальних досліджень “Фізико-математичне моделювання та дослідження фізико-механічних процесів у деформівних локально-неоднорідних багатокомпонентних твердих тілах” (Реєстраційний номер проекту 01.07/128). У цих роботах здобувач була співкерівником та відповідальним виконавцем і розробила методи математичного моделювання процесів дифузійного типу в тілах з випадковими та регулярними включеннями.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розробка підходів та методів математичного моделювання процесів переносу в тілах з випадково і регулярно розташованими включеннями для кількісної оцінки їхнього впливу на основні дифузійні характеристики промислових фільтрів, захисних шарів технічних конструкцій і сховищ агресивних забруднень, поверхневих природних об'єктів, тощо; побудова розрахункових схем для встановлення закономірностей дифузії домішок в елементах такого типу об'єктів.

Для досягнення даної мети розв'язано такі завдання:

· побудова методу знаходження полів концентрації в тілах випадкової структури з використанням апарату узагальнених функцій, функцій Гріна модельних (однорідних) задач, теорії інтегральних рівнянь і теорії ймовірності;

· дослідження на основі запропонованого підходу закономірностей розподілів концентрації домішкової речовини у дво- та багатофазних стохастично неоднорідних шаруватих, волокнистих тілах та тілах зі сферичними включеннями;

· формулювання основних співвідношень математичної моделі механотермодифузії для двофазних двокомпонентних систем з урахуванням випадкової природи структури середовища;

· постановка на основі побудованої моделі нових контактно-крайових задач математичної фізики, що описують дифузію домішки у випадково неоднорідних шарах та встановлення умов існування їх розв'язку;

· розробка методу знаходження аналітичних розв'язків крайових задач масопереносу в тілах двофазної періодичної структури та аналіз граничного переходу до задач континуальної гетеродифузії;

· формулювання та розв'язання крайових задач гетеродифузного масопереносу домішок двома шляхами у двовимірних постановках;

· побудова розрахункових схем та розробка програмного комплексу для кількісного дослідження поширення домішкових речовин у тілах складної внутрішньої структури, що моделюють промислові фільтри, захисні шари технічних конструкцій і сховищ агресивних забруднень, тощо.

Об'єкт дослідження _ процеси переносу в багатофазних тілах з окремими фазами, розміри яких є співвимірними з розмірами тіла.

Предмет дослідження - математичні моделі процесів масопереносу в багатофазних випадково неоднорідних тілах з окремими неоднорідностями, розміри яких є співвимірними з розмірами тіла, середовищах з регулярною структурою матеріалу і тілах з локальною мікроструктурою.

Методи дослідження. Для досягнення сформульованої мети запропоновано підхід до опису дифузії у стохастично неоднорідних тілах, що базується на формулюванні інтегродиференціального рівняння, еквівалентного вихідній крайовій задачі математичної фізики, його розв'язанні методом послідовних наближень та усередненні отриманого поля концентрації за ансамблем реалізацій структури тіла. Для побудови математичної моделі взаємозв'язаних дифузійних, теплових і механічних процесів у двофазному двокомпонентному середовищі застосовуються уявлення, підходи та методи термодинаміки нерівноважних процесів та механіки суцільного середовища. Для отримання аналітичних розв'язків контактно-крайових задач масопереносу в періодичних структурах запропоновано метод, що грунтується на застосуванні інтегральних перетворень у кожній з контактуючих областей окремо. При розв'язанні крайових задач механогетеродифузії використано класичні методи математичної фізики та числові методи.

Наукова новизна одержаних результатів:

· вперше розроблено підхід до опису дифузійних процесів у багатофазних випадково неоднорідних тілах, що базується на використанні узагальнених функцій, інтегральних рівнянь, теорії ймовірності та методі функцій Гріна, для математичних моделей масопереносу, в яких неоднорідність структури матеріалу врахована в коефіцієнтах рівнянь, що є випадковими стрибкоподібними функціями просторових координат; розвинений підхід дає можливість знаходити усереднені поля концентрації за ансамблем конфігурацій фаз з урахуванням суттєво різних дифузійних властивостей фаз і стрибків коефіцієнта дифузії на міжфазних границях;

· вперше в аксіоматизованому вигляді побудовано вихідні співвідношення математичної моделі механотермодифузії у двофазному двокомпонентному середовищі за континуально-термодинамічним підходом, яка враховує взаємовплив теплових, механічних і дифузійних процесів;

· вперше отримано функціональні залежності усереднених за ансамблем конфігурацій фаз полів концентрації від дольового вмісту фаз, їхніх фізичних характеристик та величини стрибків коефіцієнта дифузії на міжфазних границях;

· вперше обгрунтовано узагальнення розвиненого підходу для математичних моделей дифузії та термодифузії в бінарних системах; для ефективної числової реалізації моделей встановлено умови існування розв'язків та збіжності відповідних інтегральних рядів для задач, поставлених за континуально-термодинамічним підходом;

· розроблено новий метод побудови точних розв'язків контактно-крайових задач масопереносу в тілах періодичної структури та створено алгоритми, які дають можливість кількісно досліджувати процеси дифузії в тілах з горизонтально періодичною структурою, а також здійснювати відповідні граничні переходи до континуальних моделей гетеродифузії.

Розроблені методи та підходи до формування математичних моделей масопереносу в тілах зі складною внутрішньою структурою можна використовувати для аналізу інших процесів, що протікають у багатофазних тілах з випадковими та регулярними включеннями, математичний опис яких можна подати у вигляді параболічних диференціальних рівнянь в часткових похідних.

Практичне значення одержаних результатів. У роботі запропоновано підхід до опису дифузійних процесів у стохастично неоднорідних тілах, який дає можливість кількісно досліджувати особливості усередненого за ансамблем конфігурацій фаз поля концентрації на основі відомих фізико-хімічних властивостей окремих фаз та їхнього дольового вмісту.

Запропоновано та обгрунтовано також метод знаходження точних розв'язків задач дифузії в періодичних стуктурах та гетеродифузії в шаруватих тілах. Оскільки цей метод не використовує умови на розміри контактуючих областей, то він може застосовуватися до аналізу дифузії в елементах сучасних напівпровідникових мікроструктур та композитних матеріалів шаруватої структури.

На основі розроблених методів, моделей та алгоритмів створено програмні засоби для:

- розрахунку параметрів елементів фільтраційних систем для очищення питної та використаної води (впроваджено на спорудах попередньої очистки виробничих стічних вод потужністю 100 м³/добу на Христинівському молокозаводі);

- оцінки часу праці та ефективності роботи насипних фільтрів (впроваджено на комплексі очисних споруд потужністю 10 тис.м³/міс., зблокованих з каналізаційною насосною станцією в м. Ківерці Волинської обл.);

- визначення кількості вимитої радіоактивної речовини з паливовмісних утворень, які виникли в результаті аварії на ЧАЕС (використано на об'єкті МНТЦ “Укриття” ЧАЕС);

- розрахунку напружено-деформованого стану при гетеродифузії двома шляхами і дії точкового джерела маси (використано в Інституті фізики напівпровідників ім.В.Є.Лашкарьова НАН України).

Частина результатів теоретичного і практичного характеру використано при розробці спецкурсу “Комп'ютерне моделювання” для студентів Львівського національного університету ім.І.Франка.

Особистий внесок здобувача. Усі теоретичні та практичні результати, що складають зміст дисертаційної роботи, отримані автором самостійно. У роботах, опублікованих у співавторстві, здобувачеві належать: підхід до опису дифузійних процесів в багатофазних стохастично неоднорідних тілах [4, 5, 8, 23, 25], побудова рядів Неймана [51, 53, 54], усереднення поля концентрації за ансамблем конфігурацій фаз, числовий аналіз отриманих розв'язків [28, 29, 44, 49] і доведення теорем про збіжність рядів Неймана та існування розв'язку крайової задачі [20, 31, 45]; метод знаходження аналітичних розв'язків задач масопереносу в регулярних структурах [2, 17, 47], побудова розв'язків та числовий аналіз результатів [33, 42], математичне моделювання процесів гетеродифузії [16, 30] та конвективної дифузії з урахуванням сорбції [27, 52] у двошаровій смузі; розробка математичних моделей гетеродифузії домішкової речовини двома шляхами [1, 24, 26, 32, 48], розв'язання задач гетеродифузії [40, 41, 50] та механогетеродифузії домішки при дії точкового [9, 35] та кругового [6, 37, 55] джерел; методика побудови розв'язку задачі гетеродифузії з урахуванням конвективної складової [19], постановка задачі та формулювання і доведення теорем існування та єдиності розв'язків [15, 17, 38, 39]. У всіх опублікованих у співавторстві працях автору належать постановки задач.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались й обговорювались на міжнародних конференціях: XXXVIII Sympozjon "Modelowanie w mechanice" (Gliwice, 1999); 5-й, 6-й та 7-й Міжнародних наукових конференціях “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (м.Луцьк, 2000; м.Львів, 2003 i 2006); 5-му, 6-му та 7-му міжнародних симпозіумах українських інженерів-механіків у Львові (м.Львів, 2001, 2003, 2005); Україно-польському науковому семінарі “Актуальні проблеми фізико-математичного моделювання явищ та процесів у пористих середовищах” (м.Львів, 2001); Міжнародній науковій конференції “Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки” (м.Дрогобич, 2001); Міжнародній конференції “Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь” (м.Дрогобич, 2001); Наукових читаннях до 75 річниці від дня народження Засл. Діяча науки України проф. В.Скоробагатька (м.Львів, 2002); II-nd and V-th Polish-Ukrainian Symposiums INTERPOR “Coupled Physical Fields in Porous Materials” (Lubostron/Bydgoszcz, Poland, 2002 and 2006); 2-й та 3-й науково-практичних конференцій “Техногенно-екологічна безпека регіонів як умова сталого розвитку України” (м.Львів, 2002; м.Дніпропетровськ, 2005); Чотирнадцатій науковій сесії Наукового товариства ім.Т.Шевченка (м.Львів, 2003); 4-й Українсько-Польській конференції “Механіка середовища, методи комп'ютерних наук та моделювання” (м.Львів, 2004), Міжнародній конференції “Проблеми чисельного аналізу і прикладної математики” (Львів, 2004); International workshop on free boundary flows and related problems of analysis (Kiev, 2005); Першій міжнародній науково-практичній конференції “Безпека життєдіяльності людини як умова сталого розвитку сучасного суспільства” (м.Львів, 2005); XIII Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (м.Львів, 2006); Міжнародній науково-практичній конференції “1-й Всеукраїнський з'їзд екологів” (м.Вінниця, 2006).

В повному обсязі робота доповідалася на семінарі Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім.Я.С.Підстригача НАН України, на семінарі відділу математичних методів механіки руйнування та контактних явищ Інституту прикладних проблем механіки і математики ім.Я.С.Підстригача НАН України, на семінарі кафедри прикладної математики Львівського національного університету ім.І.Франка, на розширеному семінарі відділу математичних систем моделювання проблем екології та енергетики Інституту кібернетики ім.В.М.Глушкова НАН України, на розширеному семінарі відділу динаміки та стійкості багатовимірних систем Інституту математики НАН України, на науковому семінарі кафедри моделювання складних систем Київського національного університета ім.Т.Шевченка.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 55 наукових праць, у тому числі: 2 монографії, 25 статтей у наукових фахових виданнях з технічних наук, 7 статтей у наукових фахових виданнях з фізико-математичних наук, 21 публікація в матеріалах міжнародних та національних конференцій, 14 праць опубліковано без співавторів.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, восьми розділів, висновків, списку використаних джерел із 250 найменувань на 23 сторінках, додатків на 32 сторінках. Обсяг роботи становить 366 сторінок, в тому числі основного тексту 298 сторінок.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дано загальну характеристику роботи, обгрунтовано актуальність теми та неодхідність проведення дослідження, сформульовано мету роботи та задачі дослідження, наукову новизну та практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі викладено огляд та проведено аналіз літератури за темою дисертації, визначено місце досліджень, наведених у роботі, у розв'язанні проблеми розробки підходів і методів математичного моделювання процесів переносу в тілах з випадковими та регулярними включеннями.

Одним із сучасних наукових методів дослідження мікроелектронних структур, інженерних конструкцій, явищ та процесів, які протікають у елементах та об'єктах природного середовища, є математичне моделювання. Основи математичного моделювання були закладені в роботах О.А.Самарського та Г.І.Марчука. Як правило виділяють такі основні етапи дослідження: побудова математичних моделей, які з достатньою повнотою описують процеси, що розглядаються; постановка крайових задач математичної фізики; розробка методів знаходження і побудова розв'язків сформульованих задач; створення програмного забезпечення та аналіз отриманих результатів.

До побудови математичних моделей існують різні підходи. Зокрема, використовуючи інтегральні та диференціальні форми законів збереження маси, імпульсу та енергії, а також відомі експериментальні залежності, були побудовані: рівняння масопереносу речовини на основі законів Фіка; рівняння теплопровідності, виходячи із закону Фур'є; рівняння фільтрації на базі закону Дарсі і т.п. Фізико-хімічні властивості середовища в таких моделях враховуються в коефіцієнтах відповідних рівнянь.

Проте в рамках такого феноменологічного підходу практично неможливо обгрунтовано врахувати існуючі взаємозв'язки і взаємовпливи процесів різної фізичної природи. Сьогодні для вирішення цієї фундаментальної проблеми, як правило, використовуються результати термодинаміки нерівноважних процесів, яка розроблена в працях С.П. де Гроота, П.Мазура, І.Пригожина, Л.Г.Сатторпа та інших. Застосування цих методів для математичного моделювання твердих деформівних тіл знайшло свій розвиток у працях О.О.Ільюшина, О.Д.Коваленка, В.Новацького, Я.С.Підстригача, Л.І.Седова та інших. На цій же основі у роботах Я.Й.Бурака, В.Г.Карнаухова, І.Т.Селезова, А.Ф.Улітка та інших розвинуто теорію зв'язаних фізико-механічних полів у твердих деформівних системах. Моделі механіки твердих розчинів, в яких враховуються локальні зміни стану складових компонент, розроблені в роботах Е.С.Айфантіса, Я.Й.Бурака, В.В.Гафійчука, Дж.М.Хілла, Є.Я.Чаплі та інших вчених.

Значний розвиток математичного моделювання процесів переносу, зокрема фільтрації, в тілах неоднорідної структури відображений в роботах А.Я.Бомби, А.П.Власюка, В.С.Дейнеки, Л.І.Демченка, В.І.Лаврика, І.І.Ляшка, С.І.Ляшка, Г.Є.Мистецького, Я.Г.Савули, І.В.Сергієнка, В.В.Скопецького та інших.

Опис процесів масопереносу, фільтрації, конвективної дифузії, тощо, які описують поширення забруднення (такого як радіонукліди, нітрати, нітрити та інші небезпечні хімічні сполуки) в грунті, їхній перенос підземними водами є надзвичайно актуальною проблемою, а математичному моделюванню таких процесів присвячено дослідження таких вчених як В.А.Борзілов, В.С.Дейнека, А.В.Конопльов, В.І.Лаврик, В.І.Лялько, І.І.Ляшко, С.І.Ляшко, Г.І.Марчук, В.М.Прохоров, Я.Д.П'янило, І.В.Сергієнко, В.В.Скопецький, Е.В.Соботович, Ж.Фрід, Є.Я.Чапля, В.М.Шестопалов, та багатьох інших.

Стосовно задач механіки суцільного середовища конкретні математичні моделі, в яких використовуються багатоконтинуумні уявлення з відображенням структури тіла, наведені у працях О.Р.Гачкевича, Ю.З.Повстенка, Я.Я.Рущицького, В.Ф.Чекуріна та інших. Розгляду неоднорідностей у вигляді тріщин та їх впливу на процеси теплопровідності присвячені роботи Г.С.Кіта, В.В.Михаськіва, Р.М.Мартиняка, М.М.Николишина, В.А.Осадчука, Г.Т.Сулима та інших. Підхід механіки багатофазних середовищ, розвинутий у працях Р.Бера, Р.Н.Нігматуліна, В.М.Ніколаєвського та інш., стосовно опису зв'язаних процесів у дрібнодисперсних тілах розвивається В.Ф.Кондратом, Ю.Кубіком, Н.С.Солтановим, Л.П.Хорошуном та іншими.

Для опису теплових, механічних або дифузійних процесів у двофазних середовищах широке застосування знайшов метод “гомогенізації” неоднорідної структури тіла. Дослідженням у цьому напрямі присвячені роботи Р.Войнара, А.Галки, Б.Гамбина, С.М.Козлова, Д.Ліджби, С.Й.Матисяка, Р.Мешковскі, Л.В.Назаренко, О.А.Олейника, Н.С.Солтанова, Е.Телеги, Г.А.Франкфорта, Л.П.Хорошуна, Дж.Ф.Шао.

Для моделей теплопровідності і термопружності, коефіцієнти рівнянь яких визначаються як функції теплофізичних властивостей фаз і геометричної структури, Я.С.Підстригач та Ю.М.Коляно запропонували, а їхні учні розвинули метод узагальнених асиметричних одиничних -функцій для отримання розв'язку відповідних крайових задач термомеханіки неоднорідних структур, єдиного для всієї області визначення.

Крайові задачі переносу тепла і маси в системі тіл з різними типами контактних умов розглядалися багатьма вченими, зокрема, М.М.Бєляєвим, Я.Й.Бураком, Г.С.Кітом, Л.А.Коздобою, Р.М.Кушніром, А.В.Ликовим, Б.Я.Любовим, Я.С.Підстригачем, В.С.Поповичем, А.І.Райченком, А.А.Рядном, П.Р.Шевчуком.

Проте в практиці часто виникає необхідність досліджувати процеси дифузії у багатофазних багатокомпонентних середовищах у випадку, коли певні елементи фаз мають розміри співвимірні з розмірами тіла. При цьому, як правило, відома інформація про фізико-хімічні властивості таких включень, їхній дольовий вміст у середовищі, однак невідома точна геометрична конфігурація та місце розташування включень. Тому не можуть бути безпосередньо використані підходи та методи, розвинуті для опису процесів у сумішах та дрібнодисперсних тілах, а також розв'язки відповідних крайових задач. Отже актуальною є розробка підходів та методів математичного моделювання процесів масопереносу в багатофазних і багатокомпонентних тілах з урахуванням скінченних розмірів включень окремих фаз та їх випадкової природи.

Другий розділ присвячений розробці підходу до математичного моделювання дифузійних процесів у багатофазних стохастично неоднорідних шаруватих тілах, який враховує суттєво різні характеристики фаз та ефекти міжфазних границь.

Розглянуто двофазний шаруватий півпростір, в якому об'ємна частка однієї з фаз (матриці) є набагато більшою за іншу (включень). На основі законів Фіка записано рівняння дифузії домішкової речовини, коефіцієнти якого є випадковими функціями просторової координати з рівномірними функціями розподілу де _ випадкове поле концентрації; _ густина скелету; _ кінетичний коефіцієнт дифузії. При цьому вважаємо, що густина скелету і кінетичний коефіцієнт є сталими в об'ємі кожної фази, _ оператор Гамільтона, _ скалярний добуток, _ просторова координата, _ час.

На функцію накладаються такі крайові умови

Якщо використати випадковий оператор типу оператора Хевісайда то відповідні кінетичні коефіцієнти дифузії і густини фаз можна записати де область з об'ємом займає і-й шар j-ої фази; і - номер шару, _ кількість шарів сорту j. Тобто , де _ об'єм, який займає фаза, - об'єм тіла. Надалі будемо вважати, що задача (1), (2) розв'язується для довільної вертикальної необмеженої знизу області тіла .

Підставляємо подання (4) в рівняння (1) і враховуємо, що тут _ стрибок кінетичного коефіцієнта на границях шару _ дельта-функція Дірака; _ точки границі. Тоді отримуємо

Додамо і віднімемо в рівнянні (5) оператор, означений на всьому проміжку. Враховуючи умову суцільності тіла, маємо

Вважаємо праву частину рівняння (6) джерелом, тобто неоднорідність середовища розглядаємо як внутрішні джерела. Тоді отримуємо еквівалентне вихідній крайовій задачі інтегродиференціальне рівняння

Ітеруючи рівняння (7) для визначення концентрації одержуємо нескінченний інтегральний ряд Неймана де _ концентрація домішки в однорідному середовищі з фізичними характеристиками основної фази, _ функція Гріна задачі (6), (2).

Для розрахунку усередненого за ансамблем конфігурацій фаз поля концентрації обмежуємся першими двома членами ряду (8). Враховуючи властивості функції (3), означення невласного інтеграла, вигляд функції Гріна, після усереднення з рівномірною функцією розподілу отримуємо

Підставляючи у (9) вирази для поля концентрації в однорідному тілі та функції Гріна, отримуємо розрахункову формулу для визначення усередненого за ансамблем конфігурацій фаз поля концентрації у двофазному півпросторі.

Такий підхід до опису дифузійних процесів поширено на дифузію в -фазному шаруватому півпросторі та на випадок співвимірних об'ємних часток фаз.

Крім цього аналогічні задачі розглянуто для шару. Побудовано ряд Неймана для поля концентрації домішок та проведено його усереднення для рівномірного та бета-розподілу фаз у тілі.

Показано, що при описі дифузійних процесів у випадково неоднорідних тілах необхідно враховувати відмінність дифузійних властивостей фаз, з яких складене тіло, і стрибки коефіцієнта дифузії на границях розділу фаз. Відзначено приповерхневе (в областях, близьких до джерела маси) зростання концентрації частинок, що особливо характерно для шаруватого півпростору, і зростання цієї функції в середині тіла, яке простежується для дифузії в шарі.

У третьому розділі узагальнено підхід, запропонований для математичного моделювання дифузії в шаруватих тілах, на дво- та тривимірні постановки крайових задач. Зокрема розглянуто дво- та багатофазні середовища зі включеннями, які мають форму волокон та куль.

Рівняння дифузії в -фазному волокнистому півпросторі де _ випадкова нормована густина,

_ коефіцієнт дифузії; _ радіус-вектор біжучої точки. При цьому на випадкове поле концентрації накладені крайові умови (2).

Подаємо коефіцієнти рівняння (10) через оператор (3), поширюючи його на двовимірний випадок.

Виділяючи вплив неоднорідності та враховуючи подання коефіцієнтів (11), рівняння (10) представляємо таким чином де _ стрибок коефіцієнта дифузії на границі однозв'язної області _ радіус-вектор точок границі.

Як і в попередньому розділі крайову задачу (12), (11) зводимо до інтегродиференціального рівняння, яке розв'язуємо методом послідовних наближень. Обмежуючись двома першими членами інтегрального ряду Неймана, усереднюємо поле концентрації за ансамблем конфігурацій фаз із рівномірною функцією розподілу. Маємо

Тут _ радіус волокна сорту; _ об'ємна частка фази. Остаточну формулу для усередненого поля концентрації отримуємо, підставляючи в (13) вирази для поля концентрації домішки в однорідному півпросторі та відповідної функції Гріна.

Ілюстрація впливу неоднорідності структури матеріалу на розподіл концентрації домішок у випадково неоднорідному двофазному волокнистому півпросторі при дії постійного джерела маси на його поверхні. Числові розрахунки поведені для безрозмірних величин . При цьому приймалось. По осі абсцис відкладена безрозмірна координата, а по осі ординат - відношення середнього за ансамблем конфігурацій фаз поля концентрації домішки до його значення на поверхні тіла. Криві a наведені для випадку, коли коефіцієнт дифузії домішки у включеннях є більшим ніж в матриці, а саме, криві b ілюструють зворотний варіант - якщо коефіцієнт дифузії волокон є меншим ніж у базовій фазі _. Показана залежність усередненої концентрації частинок домішки від безрозмірного радіуса волокон (криві 1_4). Рис.5 ілюструє поведінку поля концентрації в залежності від величини об'ємної частки включень. Тут криві 1_3 відповідають значенням

Числовий аналіз отриманих результатів ілюструє характерне збільшення концентрації домішкової речовини у приповерхневій області тіла волокнистої структури. Області тіла, де спостерігається зростання концентрації, і в цьому випадку виникають за рахунок наявності включень з іншими дифузійними властивостями. Максимум концентрації домішки у волокнистому півпросторі значно більший ніж у шаруватому тілі. При цьому з часом максимум усередненої концентрації зростає і зсувається в глибину тіла.

За наведеним підходом досліджено масоперенос домішкової речовини у півпросторі з випадково розташованими включеннями, що мають форму куль. Розглянуто дво- та -фазний випадки. Отримано формули для визначення усередненого за ансамблем реалізацій структури тіла поля концентрації з рівномірним розподілом фаз, подані через концетрацію в однорідному півпросторі з фізичними характеристиками матриці і функції Гріна. Проведено числовий аналіз одержаних розв'язків, який відобразив закономірності поведінки функції усередненої концентрації. Зокрема на відміну від розподілів концентрації у волокнистиму півпросторі, для поведінки цієї функції в тілі зі сферичними включеннями характерне спочатку (в приповерхневій області) зменшення концентрації, а вже потім її зростання, причому максимум функції може на порядок перевищувати значення концентрації на границі тіла.

Для практичних потреб кількісної оцінки усередненої концентрації домішки в залежності від характерних параметрів середовища у всіх розглянутих випадках _ в шаруватих (розд. 2), волокнистих тілах і тілах з кульовими включеннями (розд. 3) розроблено програмне забезпечення з використанням Compaq Visual Fortran Professional Edition 6.1.0.

У четвертому розділі сформульовано математичну модель процесу переносу домішки на основі теорії бінарних систем. Розглянуто вихідні положення континуального опису двофазних двокомпонентних систем. У рамках фази довільно вибрана фізично мала частина (макрочастина) містить елементарні матеріальні частинки двох компонент - скелету фази та домішкової речовини.

Розглянуто двокомпонентну за хімічним складом двофазну сукупність, матеріальних частинок (_ фізично різні компоненти середовища). Ця дискретна сукупність (матеріальне середовище) в кожен момент часу відображається в деяку обмежену область скінченного об'єму евкдідового простору:. Компонентам матеріального середовища ставляться у відповідність матеріальні континууми. Тоді під фазою розуміється система двох взаємодіючих континуумів, а під тілом _ сукупність фаз, які взаємодіють як між собою, так і з зовнішнім середовищем.

Закони руху матеріальних точок континуумів є заданими, якщо відомі взаємооднозначні залежності де _ радіус-вектор матеріальних точок в момент часу; _ радіус-вектор у вихідній конфігурації. Диференціюванням (14) за часом одержано швидкість руху матеріальних точок континуумів, тобто

Враховуючи зв'язки, швидкості можна подати у вигляді.

За вихідні співвідношення прийнято закони збереження і балансові рівняння у кожній з фаз, які записані для фіксованої за точками евклідового простору довільної області цього простору.

Теорема 1. Якщо зміна маси компоненти фази відбувається тільки за рахунок масових потоків, то мають місце рівняння балансу мас компонент і фаз де _ густина компоненти фази, _ густина фази.

Постулат 1. Рівняння балансу імпульсу для фази в цілому має вигляд де _ діада, утворена векторами швидкості, _ тензор напружень Коші у фазі, _ густина масових сил, _ масова густина потенціальної і консервативної сили, _ потенціал сил (потенціальна енергія компоненти).

Лема 1. Якщо виконуються рівняння балансу мас компонент та імпульсу, то справедливі такі балансові співвідношення для: потенціальної енергії фази і кінетичної енергії

Тут _ масовий дифузійний потік компоненти; символ “:” означає подвійну внутрішню згортку.

Постулат 2. Повна енергія для кожної фази задається виразом і задовольняє закон збереження де _ питома внутрішня енергія фази з розрахунку на одиницю її маси; _ потік повної енергії, що має вигляд

_ потік енергії у формі тепла в фазі тіла, _ хімічний потенціал компоненти у фазі.

Теорема 2. Якщо повна енергія підпорядковується співвідношенням (15)-(17), тоді має місце рівняння балансу для внутрішньої енергії

Прийнято гіпотезу локальної термодинамічної рівноваги, за спряжені макроскопічні параметри стану вибрані де _ абсолютна температура фази, _ масова густина ентропії, _ контраваріантні компоненти тензора напружень Коші у рівновазі, _ концентрація компоненти у фазі , і отримано рівняння Гіббса тут _ концентрація домішкових частинок, _ відносний хімічний потенціал домішки.

Теорема 3. Якщо внутрішня енергія фази є функцією змінних, то рівняння стану мають вигляд

Рівняння балансу ентропії фаз тіла є де _ потік ентропії у фазі, _ потужність виробництва ентропії, _ термодинамічна сила спряжена до потоку тепла, _ термодинамічна сила спряжена до дифузійного потоку маси.

Прийнято, що термодинамічні потоки є функціями термодинамічних сил. Тоді при виконанні умов взаємності Онзагера, можна ввести кінетичний потенціал, диференціал якого.

Теорема 4. Якщо вільна енергія Гіббса є дійсною тричі диференційованою функцією змінних, тоді мають місце лінійні рівняння стану.

Тут нулем позначено макропараметри у початковому стані, коефіцієнти - матеріальні характеристики.

Теорема 5. Якщо кінетичний потенціал є дійсною тричі диференційованою функцією термодинамічних сил, тоді мають місце лінійні кінетичні співвідношення

Для отримання ключової системи рівнянь в якості розв'язуючих функцій вибрані де ? вектор переміщення точок континнумів фаз. Тоді ключова система набуває вигляду:

· рівняння дифузії де ? коефіцієнти дифузії.

· рівняння теплопровідності де, , ? коефіцієнти теплопровідності, ? нескомпенсоване тепло;

· рівняння нерозривності

До цих рівнянь потрібно також долучити рівняння для визначення переміщення.

У п'ятому розділі з використанням співвідношень математичної моделі масопереносу у двофазному двокомпонентному тілі математично описано та досліджено дифузійні процеси в стохастично неоднорідних шаруватих півпросторі та шарі.

Розглянуто масоперенос домішкової речовини в шарі товщини, який містить випадково розташований підшар іншої фази товщини (,_ випадкові координати границь підшару). При цьому прийнято умову превалюючої об'ємної частки матриці, тобто.

За моделлю бінарних систем з урахуванням лінійної залежності хімічного потенціалу від концентрації дифузію домішок у такому тілі описує контактно-крайова задача де і _ коефіцієнти концентраційної залежності хімічного потенціалу частинок у відповідних фазах.

Для застосування запропонованого вище підходу потрібно контактну задачу (18), (19), (21), (22) звести до рівняння масопереносу у всьому тілі. Використовуючи співвідношення теорії узагальнених функцій, одержуємо де _ одинична сходинкова функція Хевісайда, фігурні дужки позначають проміжки неперервності функції.

У рівнянні (23) додаємо і віднімаємо детермінований оператор. Маємо

Розглядаючи неоднорідність структури середовища як внутрішні джерела, задача (24), (20) зводиться до нелінійного інтегрального рівняння яке розв'язується методом послідовних наближень. За нульове наближення вибираємо розв'язок однорідної крайової задачі:. Тоді отримуємо наступні рекурентні формули для послідовних наближень:

У побудованій послідовності функцій загальний член можна подати так, де різниця між n-м та (n-1)-м членами послідовності має вигляд

Побудованій послідовності ставимо у відповідність такий ряд

Твердження 1. Якщо коефіцієнти дифузії є обмеженими і, то для функції Гріна та концентрації виконуються умови:

Теорема 6. При виконанні умов Твердження 1 ряд (26) є абсолютно та рівномірно збіжним.

Теорема 7. Функція є розв'язком інтегродиференціального рівняння (25).

Для залишкових членів ряду (26) має місце оцінка де _ додаткова неповна гама-функція.

Обмежуючись двома першими членами ряду (26), усереднюємо поле концентрації за ансамблем конфігурацій фаз із рівномірною функцією розподілу.

У цьому розділі також сформульовано та розв'язано контактно-крайові задачі дифузії домішкової речовини у випадково неоднорідній двофазній багатошаровій смузі та шаруватому півпросторі за неідеальних масових умов контакту. Доведено збіжність відповідних рядів Неймана як для обмежених, так і для напівобмежених областей. Запропонована схема дослідження вище розглянутого класу задач дифузії справедлива для довільної конфігурації фаз, оскільки не використовуються обмеження на густину функції розподілу фаз в області тіла.

Шостий розділ присвячено математичному моделюванню процесів масопереносу частинок домішкової речовини в тілах з випадково розташованими включеннями волокнистої та сферичної форм. Математичну модель таких дифузійних процесів сформульовано на основі теорії бінарних систем, а крайові задачі наведено у дво- та тривимірних постановках.

Розглянуто шар товщини, який складається з двох фаз - матриці та випадково розташованих включень, що мають форму волокон. З урахуванням лінійної залежності хімічного потенціалу від концентрації дифузія домішок у волокнистому шарі описується такою контактно-крайової задачею

Контактна задача дифузії (27), (28), (30), (31) зводиться до рівняння масопереносу для тіла в цілому.

Коефіцієнт дифузії домішки в тілі означений для відкритих областей. З урахуванням означення функції коефіцієнт дифузії можна подати

Тоді рівняння масопереносу для тіла в цілому сформульовано у вигляді

Додамо і віднімемо в рівнянні (32) невипадковий оператор з коефіцієнтом дифузії основної фази. Тоді одержимо

Права частина рівняння (33) трактується як джерело, і розв'язок крайової задачі (33), (29) подається у вигляді суми розв'язку однорідної крайової задачі та згортки функції Гріна з джерелом:

Нелінійне інтегродиференціальне рівняння, що є рівнянням Гаммерштейна за просторовими змінними та Вольтерра за часовою, розв'язано методом послідовних наближень, приймаючи за нульове - розв'язок задачі дифузії в однорідному шарі:. Тоді рекурентні співвідношення

Послідовності функцій ставимо у відповідність ряд де різниця між -м та ()-м членами послідовності.

Оскільки функції і є неперервно диференційованими функціями своїх змінних, то дія на них оператора.

Теорема 8. При виконанні умов Твердження 6.1 ряд (6.11) є абсолютно та рівномірно збіжним.

Теорема 9. Функція є розв'язком інтегродиференціального рівняння (35).

Для визначення усередненого поля концентрації прийнято наближення. Одержаний вираз усереднюється для рівномірного розподілу включень в області тіла з густиною функції розподілу. Формула для розрахунку усередненої за ансамблем конфігурації фаз.

Підставляючи у (37) вирази для функції Гріна та концентрації в однорідному середовищі з характеристиками матриці, одержуємо розрахункову формулу для визначення усередненого за ансамблем конфігурацій фаз поля концентрації домішкової речовини за рівномірного розподілу волокон.

Розв'язано також контактно-крайові задачі дифузії у тривимірній постановці. На основі моделі масопереносу домішок, побудованій у розд. 4, досліджено дифузійні процеси у двофазному випадково неоднорідному шарі, який складається з матриці та включень сферичної форми (рис.6).

Рис. 6. Одна з можливих реалізацій структури тіла з випадково розташованими

кульовими включеннями

При цьому розглянуто два варіанти крайових умов. У першому випадку приймаються умови (29), тобто на поверхні тіла підтримується постійне значення концентрації домішкової речовини за нульового початкового розподілу. У другому - початковий розподіл концентрації задається сталим, на границі шару реалізуються умови масоізоляції, а на границі в обох випадках концентрація дорівнює нулю.

Контактні задачі за запропонованою схемою зведено до рівняння масопереносу частинок в усьому тілі, де враховано стрибки концентрації та її градієнта на границях контакту фаз.

Для отриманих крайових задач записано еквівалентні інтегродиференціальні рівняння, розв'язки яких побудовано у вигляді ряду Неймана. Доведено абсолютну та рівномірну збіжність нескінченних інтегральних рядів та доведена теорема існування розв'язку розглянутих задач. Запропонований підхід справедливий для довільного розподілу включень у тілі, оскільки не накладено жодних обмежень на густину функції розподілу фаз.

Для визначення усередненої концентрації домішки в шаруватих (розд. 5), волокнистих тілах і тілах з кульовими включеннями (розд. 6) за моделлю бінарних систем розроблено програмне забезпечення з використанням Compaq Visual Fortran Professional Edition 6.1.0.