Методи та алгоритми вирішення задач аналізу, проектування і управління розподілом потоків в гідравлічних розподільчих системах

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МОДЕЛЮВАННЯ В ЕНЕРГЕТИЦІ ІМ.Г.Є.ПУХОВА

АВТОРЕФЕРАТ

Методи та алгоритми вирішення задач аналізу, проектування і управління розподілом потоків в гідравлічних розподільчих системах

Спеціальність 01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

Винничук Степан Дмитрович

Київ - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є.Пухова НАН України

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор,

Кондращенко Володимир Якович,

Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є.Пухова НАН України, завідувач відділу

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор,

Міхайленко Віктор Мефодійович,

Київський національний університет будівництва та архітектури, професор кафедри прикладної математики;

доктор технічних наук, професор,

Коростіль Юрій Мирославович,

Інститут інформаційних діагностичних систем Національного авіаційного університету, професор кафедри комп'ютеризованих систем захисту інформації;

доктор технічних наук, професор,

заслужений діяч науки та техніки України,

Баранов Володимир Леонідович,

Відділення гібридних моделюючих та управляючих систем в енергетиці Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є.Пухова НАН України, провідний науковий співробітник.

Провідна установа Інститут кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України, відділи: інтелектуальних систем керування динамічними об'єктами (№115) та теорії цифрових математичних машин та систем (№ 245), м.Київ

Захист відбудеться “ 16 ” лютого 2006 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.185.01 Інституту проблем моделювання в енергетиці імені Г.Є.Пухова НАН України за адресою: 03164, м. Київ-164, вул. Генерала Наумова, 15

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці інституту.

Автореферат розісланий “ 6 ” січня 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д26.185.01 Семагіна Е.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Робота присвячена розробці методів та алгоритмів моделювання потокорозподілу в розподільчих системах стискуваної рідини і орієнтована на використання в якості інформаційного забезпечення процесу розробки систем кондиціювання повітря (СКВ) сучасних літаків, де результати моделювання систем підготовки повітря (СПВ), систем протиобледеніння (ПОС) та розподільчих мереж подачі повітря споживачам є джерелом отримання інформації про гідравлічні параметри (витрати G, тиск Р, температура Т) для довільних квазістаціонарних режимів функціювання систем, включаючи аварійні.

Актуальність теми. При розробці розподільних систем стискуваної рідини одним з етапів їх розробки є створення математичної моделі системи. Розробка моделей потокорозподілу полягає в формуванні систем нелінійних рівнянь і їх вирішенні. Такий підхід використовується для моделювання розподільних електричних і електроенергетичних систем, гідравлічних розподільних систем (ГРС) нестискуваної рідини, систем транспорту газу і т.д., де система нелінійних рівнянь формується згідно із законами Кирхгофа. Але використати закони Кірхгофа для формування системи рівнянь потокорозподілу в системах стискуваної рідини не завжди можливо, що пов'язано із особливостями таких систем:

С1. критичні режими течії в елементах системи (швидкість потоку рівна швидкості звуку в потоці і коректний розрахунок перепаду тиску на елементі можливий тільки в напрямі “проти потоку");

С2. математичні моделі процесів в елементах системи в більшості випадків мають складну структуру, де перепад тиску не можна описати явною залежністю;

С3. значимі величини перепадів тиску у вузлах злиття та розділення потоків.

Перша з властивостей С1 не завжди дозволяє коректно визначати перепад тиску на контурах, що формуються згідно з другим законом Кирхгофа. Якщо ж при обході контура в його напрямку є елемент із критичним режимом течії, перепад тиску на якому необхідно розраховувати “по потоку", то знайти такий перепад тиску неможливо. Не завжди вдається це зробити і у разі обходу контура з різних сторін. А без коректного визначення похибки на контурах системи неможливе формування системи рівнянь потокорозподілу і її вирішення.

Згідно з умовою С2 не завжди можливо записати в явному вигляді рівняння відносно перепаду тиску на елементі системи, тобто сформувати саму систему рівнянь. Перехід же до спрощених залежностей, вимагає обгрунтування, що для систем стискуваної рідини не було зроблено.

У розподільних підсистемах систем кондиціонування повітря сучасних літаків втрати тиску на елементах вузлів складають порядку 20-50% (умова С3) загальних втрат тиску в системі, а в окремих випадках можуть досягати і 75%. Тому при розрахунках потокорозподілу такі втрати необхідно враховувати з максимальною точністю. При цьому структура системи рівнянь, що описує процеси в трьох гілках трійника, залежить від напряму потоків, де у всі рівняння входять витрати в гілках, суміжних вузлу-трійнику, а витрати визначаються для пар елементів трійника. У цьому випадку невирішеними є питання “рознесення" опорів по гілках вузла і визначення перепаду тиску на гілці, а також поняття тиску у внутрішній точці вузла.

Актуальність наукової проблеми в теоретичному плані пов'язана з розвитком теорії моделювання потокорозподілу стосовно класу ГРС стискуваної рідини.

Актуальність розв'язання наукової проблеми в практичному плані для розробки СКВ сучасних літаків полягає в можливості їх дослідження на етапах до втілення в металі, де при врахуванні моделей елементів системи без їх спрощень для адекватності результатів моделювання в широкій області режимів функціонування ВКВ досить забезпечити таку адекватність в декількох, або навіть одному режимі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження по дисертаційній роботі виконувались у відповідності з планами наукових досліджень Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Е. Пухова НАН України у відділі автоматизації проектування енергетичних установок №8 в рамках нижчевказаних науково-дослідних тем: “Разработка методов и программных средств моделирования и проектного анализа газовых и жидкостных систем энергетического оборудования машиностроительных объектов для применения в программном обеспечении АРМов. (Циклод)”. РК № 0193U017082. 1991-1995рр.; “Адаптивні методи та засоби оптимізації і моделювання складних систем мережової топології.(Циклод-3)”. РК № 0199U000258. 1999-2001рр.; “Методи, моделі і програми для аналізу втрат потужності в стаціонарних режимах функціонування електроенергетичних систем. (Енергопотік)”. РК № 0102U000936. 2002-2004рр.; “Методи та засоби моделювання, логічного виведення та оптимізації для організаційно-технічних систем з складною сітьовою структурою внутрішньосистемних відношень та масоенергетичних потоків.(Циклод-4)”. РК № 0102U000902. 2002-2004рр.; “Методи і засоби моделювання при проектуванні малих теплоенергетичних систем.(Циклод-5)”. РК № 0102U000902. Початок 2005 р.

У зазначених роботах автор брав участь як науковий керівник (тема “ Енергопотік ”), відповідальний виконавець (тема“ Циклод ”) та виконавець роботи (теми “ Циклод -3”, “ Циклод -4”, “ Циклод -5”).

Мета та задачі дослідження. Мета роботи полягає в розробці методів, моделей і алгоритмів для вирішення задач аналізу, проектування і управління потокорозподілом в розподільних системах стискуваної рідини, що пов'язано з вирішенням наступних питань:

Постановка задач розрахунку потокорозподілу для ГРС стискуваної рідини і задачі підбору параметрів дроселів, що забезпечують необхідний потокорозподіл, з урахуванням описів процесів на елементах гілок і у вузлах злиття і розділення потоків при можливих критичних режимах течії. Визначення поняття рішення і формування базових системних співвідношень для вирішення задачі.

Розробка методів і алгоритмів рішення задачі розрахунку потокорозподілу на основі представлення загальної задачі сукупністю вкладених підзадач і обгрунтування такого підходу, що включає:

визначення умов існування єдиного розв'язку задачі розрахунку потокорозподілу з довільними елементами гілок системи, а також його стійкості;

розробка методів і алгоритмів вирішення підзадач, включаючи розрахунок невідомих витрат для лінеаризованих по методу Ньютона співвідношень між перепадами тиску і витратами в гілках при довільних співвідношеннях позитивних коефіцієнтів опорів;

розробку алгоритмів формування систем рівнянь для задачі розрахунку невідомих перепадів тиску на дроселях і способу її вирішення;

структуризацію схем типових рішень для систем термостатування (СТ), формалізація завдання даних про СТ і розробку моделюючих алгоритмів;

гарантоване формування коректних початкових значень невідомих при повному або частковому їх завданні або їх автоматичному визначенні.

Предметом дослідження є математична модель квазістаціонарних гідравлічних процесів в розподільній системі стискуваної рідини і методи розрахунку невідомих параметрів потоку на її основі.

Об'єктом дослідження є розподільчі системи стискуваної рідини.

Методи дослідження: математичний аналіз, теорія графів, чисельні методи, методи математичного моделювання, гідравліки, ТОЕ.

Наукова новизна отриманих результатів.

1. Знайшла подальший розвиток теорія моделювання розподілу потоків стосовно гідравлічних розподільних систем (ГРС) стискуваної рідини, що полягає в наступному:

1.1. Визначено базові положення (аксіоми), на основі яких може бути побудована математична модель потокорозподілу в ГРС стискуваної рідини:

для елементів гілок і для вузлів виконуються умови закону збереження маси;

для всіх вузлів системи можливе визначення єдиного значення потенціалу у вузлі;

моделі елементів гілок і вузлів є неперервними функціями, які гарантовано дозволяють визначити перепад тиску на елементі хоча би в напрямку “проти потоку”, і задовольняють гідравлічним законам збереження.

Показано, що для досліджуваних математичних моделей ГРС в якості потенціалу у вузлах можна вибрати значення повного тиску у внутрішній точці вузла.

1.2. Доведено, що для задач аналізу в загальному випадку на основі визначених базових положень (аксіом) при довільних варіантах регулярних граничних умов з допомогою розробленого алгоритму досягнення границі формується повна система лінійно незалежних рівнянь для невідомих витрат, аналогічна системі рівнянь законів Кірхгофа.

1.3. Запропоновано спосіб розв'язку системи рівнянь потокорозподілу для ГРС стискуваної рідини як системи наступних вкладених підзадач: лінійна, “квадратична”, загальна підзадача визначення витрат при фіксованих значеннях тиску у вузлах, визначення тиску у вузлах при фіксованих витратах, приведення немонотонних характеристик елементів до монотонних, розрахунок температур. В рамках обгрунтування можливості такого розбиття доведено, що у випадку фіксованих температур та монотонно зростаю-чих неперервних залежностей перепаду тиску від витрат: існує єдиний розв'язок загаль-ної підзадачі визначення витрат і його можна гарантовано отримати, підзадача визначен-ня тиску у вузлах має ітераційний розв'язок при фізично обгрунтованих обмеженнях на значення тиску знизу, а також визначені умови існування та єдиності розв'язку загальної задачі розрахунку невідомих витрат у гілках і значень тиску у вузлах.

1.4. Доведено, що при неперервності та монотонному рості перепадів тиску, як функцій витрат в гілці, єдине рішення задачі розрахунку невідомих витрат є стійким. Такі умови визначені як умови автоматичної стійкості і на їх основі запропоновано новий підхід до оцінки стійкості рішень, що забезпечує зниження порядку матриці системи рівнянь незбуреного руху.

1.5. Сформульовано нові постановки для задач проектування потокорозподілу, в яких пошук невідомих коефіцієнтів опорів зведено до пошуку невідомих перепадів тиску на дроселях, а підзадача розрахунку невідомих перепадів тиску на дроселях є складовою підзадачі визначення тиску у вузлах. Розроблено алгоритми побудови окремих систем рівнянь відносно невідомих перепадів тиску та невідомих витрат у гілках, що грунтуються на розробленому алгоритмі досягнення границі. Описані умови, коли підзадача розрахунку невідомих перепадів тиску на дроселях буде задачею лінійного програмування. Розроблено метод гарантованого вирішення задачі визначення невідомих перепадів тиску на дроселях (метод спеціального перебору), де функція мети може бути як лінійною, так і суперпозицією лінійних.

2. Розроблено метод топологічної згортки розв'язку системи лінійних рівнянь відносно невідомих витрат у гілках, що грунтується на розробленому алгоритмі еквівалентування “висячого” вузла гілкою, і для деревовидних графів ГРС при довільних співвідношеннях додатніх коефіцієнтів опорів гілок системи забезпечує гарантоване її вирішення.

3. Показано, що задача управління при її вирішенні може співпадати із задачею аналізу, або ж задача аналізу - внутрішня підзадача при моделюванні управлінь. Для описаних характерних варіантів управлінь визначено формалізовані правила задання даних. Для систем термостатування розроблені алгоритми, що дозволяють реалізувати загальне моделювання потокорозподілу з урахуванням роботи систем управління термостатуванням, в тому числі таких, що містять більше однієї керуючої заслонки.

4. Побудовано нові математичні моделі двох типових елементів системи, а саме: модель трійників ГРС стискуваної рідини (F_CP=F_ПП, =90, гострі кромки), що забезпечує визначення перепадів тиску на кожному з елементів вузла, виділення внутрішньої точки вузла і обчислення значення потенціалу у вузлі, та модель теплових і гідравлічних процесів в одноходовому перехресноточному теплообміннику, що грунтується на подібності таких процесів та настроюється на параметри реального теплообмінника по кількох (не менше двох) точках експериментальних даних.

Практичне використання результатів дисертації. Розроблені в дисертаційній роботі підходи, методи і алгоритми до досліджень гідравлічних режимів роботи розподільних частин систем стискуваної рідини стали основою для створення моделей систем підготовки повітря літаків і систем протиобледеніння для літаків Ан-70, Ан-74ТК300, Ан-140, Ан-148, а також для створення універсальних програмних комплексів з розрахунку розподільних мереж стискуваної і нестискуваної рідини “СЕТЬВЭ", “SETR" “G-сеть" з метою параметричного дослідження таких об'єктів в широкому діапазоні режимів їх функціонування. Практичне застосування знайшли також моделі окремих елементів системи: трійників і одноходових перехрестноточних теплообмінників. Практичні розробки впроваджені в конструкторських організаціях АНТК ім. Антонова (Україна, Київ) і ОАО “ОКБ Сухого" (Росія, Москва).

Особистий внесок. У роботах, написаних в співавторстві автору належить: в [1] - алгоритм розв'язку рівнянь на основі поліноміальній апроксимації функцій; в [24] - розроблена структура системи підзадач для задачі потокорозподілу; в [26] - розроблена математична модель об'єкта.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідалися і обговорювалися на щорічних наукових конференціях Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. м. Е.Пухова НАН України в 1995-2004 рр, а також на міжнародній конференції АВІА-2004. Публікації відображають зміст виступів на щорічних конференціях Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. м. Е.Пухова НАН України в січні 1995, 1996, 1997, 2000, 2003 і 2004 рр. і Міжнародної конференції “АВІА-2004" (відбулася 26-28.04.2004р. в Національному авіаційному університеті (м. Київ)).

Публікації. Результати дисертаційної роботи викладені у 25 наукових статтях (написаних особисто здобувачем - 22, у співавторстві - 3), 7 матеріалах конференцій та тезах доповідей, а також 1 препринті. Із наукових статей 24 опубліковані у наукових фахових виданнях за переліком, затвердженим ВАК України.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, 9 розділів, висновків, списку використаних джерел і 4 додатків. Основний зміст роботи викладений на 305 стор. Дисертація містить 55 мал. і 3 таблиці. Список використаних джерел включає 114 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність проблеми, сформульовано мету досліджень і завдання роботи, визначено методи досліджень, викладена наукова новизна, відзначено достовірність, практичну цінність і реалізацію отриманих результатів, наведено відомості з апробації роботи та про публікації.

У першому розділі виконано аналіз досліджень в області моделювання потокорозподілу. Відображено способи отримання систем рівнянь потокорозподілу (формуються у відповідності із законами Кірхгофа) та їх розв'язку. Встановлено, що відомі підходи не завжди можуть бути використані для формування системи рівнянь потокорозподілу в розподільчих системах стискуваної рідини, а саме для випадків критичних режимів течії. Приклади найпростіших таких випадків наведені на мал.1, де у варіанті а) в точці рішення ненульова нев'язка, а для варіанту б) неможливо знайти нев'язку для контурного рівняння.

В зв'язку із чим наведені основні закони гідравліки та виділені характерні співвідношення між параметрами потоку (тиск Р, температура Т, масові G і об'ємні витрати), а також описані моделі процесів зміни тиску на елементі гідравлічних розподільчих систем (ГРС), на основі яких визначаються перепади тиску на елементах системи. Описані типові моделі елементів ГРС стискуваної рідини. Дана характеристика різних варіантів постановок задач розрахунку потокорозподілу в ГРС стискуваної та нестискуваної рідини, поняття рішення та умов його існування. На основі проведеного огляду визначені завдання дослідження.

Другий розділ присвячений постановці задачі аналізу (визначення невідомих значень тисків та витрат), означенню понять її рішення та алгоритмам формування системи рівнянь потокорозподілу при врахуванні тієї обставини, що така система рівнянь не завжди може бути сформована на основі законів Кірхгофа.

В ГРС розрізняють поняття повного Р^* та статичного Р тисків. При постановці задачі аналізу в якості паралельної змінної на основі принципу вимірювань слід було б вибрати статичний тиск. В той же час для статичного тиску на границі між елементами можливий розрив і він є лише однією із складових в рівнянні Бернуллі. Тому в задачі аналізу невідомими можуть бути значення повного тиску, для яких характерна неперервна зміна від елементу до елементу, а на границі і-го та і+1-го елементів має місце співвідношення

Р^*_вих,і = Р^*_вх,і+1, (1)

яке може бути прийняте в якості основного співвідношення при розрахунку потокорозподілу в одній гілці. Друге таке співвідношення випливає із можливості розрахунку перепаду тиску на елементі ГРС стискуваної рідини, яке при фіксованих конструктивних, граничних і режимних даних в загальному випадку може бути записане у вигляді

Р^*_{вх,е,розрах} = f_e(G_e, p_вих,e), (2)

де Р^*_{вх,е,розрах} - розрахункове значення повного тиску на вході елементу, а р_вих,е - значення повного чи статичного тиску на виході елементу, дивлячись по потоку.

При виконанні умов (1) та (2) можлива постановка задачі аналізу для ГРС з однієї гілки

Постановка задачі аналізу для автономної гілки . Під розрахунком потокорозподілу (задача аналізу) в ГРС з однієї гілки при відомих температурному полі, конструктивних і режимних параметрах всіх елементів, а також граничних тисках будемо розуміти визначення витрат в гілці та значень повного тиску на границях між елементами. Рішенням задачі аналізу будуть значення повного тиску на границях між елементами та витрати в гілці такі, що з точністю > 0 для кожного елемента має місце співвідношення

| Р^*_вх,е - p_вих,e - f_e(G_e, p_вих,e) | = | Р^*_вх,е - Р^*_{вх,е,розрах} | < (3)

Таке поняття рішення не може бути розширене на ГРС стискуваної рідини довільної топології, для яких опори вузлових елементів є значимими. В останньому випадку виникає проблема означення поняття тиску у вузлі (у внутрішній точці вузла), оскільки в іншому разі неможливо буде говорити про перепад тиску на гілці ГРС.

Третій спосіб врахування опорів вузлових елементів рекомендований І.Є.Ідельчиком та використовується в ряді розробок з розрахунку мереж нестискуваної рідини. Він не може бути використаний для розрахунків потокорозподілу в досліджуваних мережах стискуваної рідини через значну методичну похибку в розрахунках, пов”язану з перерахунком коефіціентів опору на площу збірного рукава, та розриві величини повного тиску при зміні типу трійника.

П'ятий спосіб - гіпотетичний, а четвертий спосіб запропонований автором і є результатом даного дослідження. Можливість розбиття перепадів тисків на парах елементів трійника випливає із наступних положень:

По відомих значеннях повного тиску в точках розмежування вузла і гілок, в яких витрати направлені до вузла, можна визначити максимальне значення повного тиску Р^*_u,, що відповідає сумарній енергії потоків при їх злитті без втрат;

По відомих значеннях повного тиску в точках розмежування вузла і гілок, в яких витрати направлені від вузла, можна визначити максимальне значення повного тиску Р^*_u,max, при якому додатніми будуть перепади тисків на елементах виділених гілок, що визначаються як різниця Р^*_u,max та тисків в точках розмежування вузла і гілок, де із закону збереження енергії випливає, що Р^*_u,max < Р^*_u, ;

в якості повного тиску у внутрішній точці вузла можна взяти довільне його значення Р^*_u, із відрізка [ Р^*_u,max, Р^*_u,].

Із співвідношень (1)-(2) та припущення про існування значення тиску у внутрішній точці вузла доведене твердження 2.1. про те, для довільної гілки ГРС тиск у вузлі її початку завжди може бути визначений при обході елементів в напрямку “проти потоку”, починаючи з кінця гілки (дивлячись по потоку). При цьому для довільної гілки системи однозначно розраховуються всі значення тисків на границях елементів гілки та на границі елементів гілки і вузла, а по перепаду тиску на гілці можна оцінити точність збігу заданого і розрахункового тисків у вузлі початку гілки (дивлячись по потоку). Їх точний збіг - є однією з умов точного рішення задачі розрахунку невідомих витрат в гілках і тиску у вузлах і це використовується для постановки задачі аналізу.

При постановці задачі аналізу слід врахувати закони гідравліки, на основі яких будуються всі моделі елементів в системі. Це закон збереження маси як для елементів гілок, так і потоків у вузлах. Закон збереження енергії, згідно з яким при фіксованих температурах в системі будуть виконуватися умови (1) та монотонне зниження повного тиску вздовж потоку для елементів гілки. Рівняння енергії лежить в основі рівняння Бернуллі, яке у випадку стискуваної рідини породжує систему газодинамічних функцій, а перепад тиску розраховується на основі методу приведеної довжини. У моделях вузлових елементів враховані умови закон збереження кількості руху.

Для ГРС стискуваної рідини можлива наступна постановка задачі аналізу

Загальна постановка задачі аналізу. Під розрахунком потокорозподілу в ГРС довільної топології при відомих температурному полі, конструктивних і режимних параметрах всіх елементів гілок і вузлів, а також граничних умовах, будемо розуміти визначення невідомих витрат в гілках і тиску у вузлах при умовах, що перепад тиску на довільному елементі гілки або вузла може бути гарантовано визначений проти потоку, для всіх внутрішніх вузлів можливе визначення тиску в їх внутрішній точці, для масових витрат в суміжних вузлам гілок виконані умови закону збереження маси, а залежність втрат тиску на елементах задовольняє гідравлічним законам збереження і гіпотезі нерозривності. Рішенням задачі аналізу будуть невідомі витрати в гілках , повний тиск у внутрішніх вузлах та невідомі значення тиску в граничних вузлах системи такі, що з необхідною точністю будуть виконані наступні умови:

- для довільної гілки i (i=1V), що описується вузлами u1i, u2i при напрямі витрати від вузла u1i до u2i різниця тиску в таких вузлах Pu1,i Рu2,i відрізняються не більш ніж на мале число ( > 0 (точність розрахунку)

| Pi - (Pu1,i - Pu2,i) | < (i V), (4)

де тиски P_u1,i і P_u2,i є повними для внутрішніх і статичними для граничних вузлів системи та

P_u* > P_min > 0 (u = 1U+HU), (5)

де P_min - мінімально допустиме значення повного тиску у вузлі ГРС; P_u^* (u = 1U+HU) - значення повного тиску у вузлі ГРС;

для всіх внутрішніх вузлів ГРС з необхідною точністю виконані вимоги закону збереження маси, тобто мають місце умови

(u=1U). (6)

З аналізу положень, що використовуються при постановці задачі аналізу і визначення поняття рішення виділяються найбільш істотні з них (аксіоми):

закон збереження маси

єдине значення повного тиску у вузлі

моделі елементів гілок і вузлів є неперервними функціями, які гарантовано дозволяють визначити перепад тиску на елементі хоч би в напрямі проти потоку, і задовольняють гідравлічним законам збереження.

Із положень аксіом випливають умови твердження 2.1 та загальна постановка задачі аналізу. Тому на їх основі для задачі аналізу при переході до точної рівності у співвідношеннях (4) і (6) можна сформувати V співвідношень між витратами в гілках і тиском в описуючих гілки вузлах, U співвідношень для витрат у внутрішніх вузлах, що при V+U+HU невідомих і V+U рівняннях та HU граничних умовах виду P=const чи G=const забезпечує формування повної системи рівнянь

, (7)

де - вектор витрат у гілках, а при розрахунках перепадів тиску в i-й гілці враховується як витрати в ній, так і суміжних з нею гілок по описуючих її вузлах.

Для вирішення системи рівнянь (7) не може бути використано метод вузлових потенціалів на кроках ітерацій, оскільки перепад тиску є функцією тиску і перше з рівнянь в (7) не може бути приведене до вигляду Pu1,i - Pu2,i = kiGi (при критичних режимах течії вироджується до вигляду Pu1,i = kiGi). Якщо в методах вузлових потенціалів значення тиску у вузлах є початковим наближенням, на основі якого можна обчислити перепад тиску на гілках, то у разі контурних методів, як показано в розділі 1, не завжди можливе коректне визначення перепаду тиску на контурі. Отже, пряме використання підходів, заснованих на виключенні невідомого тиску у вузлах шляхом формування контурної системи рівнянь не завжди можливо. Якщо врахувати, що систему контурних рівнянь можна скласти при можливості розрахунку перепадів тиску на гілках, а при відомих початкових значеннях тиску у вузлах це можна зробити завжди, то єдиний спосіб гарантованого формування системи рівнянь меншої розмірності чим повна система рівнянь (7) відносно невідомих витрат в гілках і тиску у вузлах - це декомпозиція задачі по типах змінних (тиск у вузлах і витрати в гілках) при їх ітераційній ув'язці. В той же час для формування системи контурних рівнянь при довільних граничних умовах без перебудови графа системи не може бути використаний матричний метод. Це дозволяє зробити розроблений алгоритм досягнення границі (АДГ).

Суть алгоритму в виконанні наступних кроків:

Крок 1. Допустимо, що є деякий розподіл витрат в гілках, для яких має місце закон збереження маси. Крім того відомі деяке початкове наближення для тиску у вузлах. Тоді відповідно до першого з рівнянь з (6) визначаємо перепади тиску на довільній гілці.

Спеціальну перевірку: чи є витрати в гілках і тиск у вузлах рішенням задачі, що використовуються для визначення перепадів тиску на гілках проводимо за допомогою АДГ.

Крок 2. Визначення нев'язок тиску у вузлах при спеціальному обході вузлів згідно АДГ, що реалізовується відповідно до приведеного нижче алгоритму.

А1). Виберемо серед вузлів однозв'язної ГРС один з граничних вузлів з відомим на границі тиском. Хоч би один такий вузол повинен існувати, а інакше в системі буде невідомим рівень тиску. Це перший вузол для алгоритму спеціальної нумерації вузлів.

А2). Для пронумерованого з номером 1 граничного вузла існує пов'язана з ним гранична гілка. По найденому раніше перепаду тиску на гілці і тиску в пронумерованому вузлі можна знайти тиск в іншому вузлі, що описує гілку. Позначаємо її як гілку нумерації, тобто таку, що на ній вже можна визначити тиск в одному з її вузлів по тиску в іншому вузлі і перепаду тиску.

А3) Для гілки нумерації по перепаду тиску на ній і тиску в одному з її вузлів знаходимо тиск в іншому вузлі. Можливі чотири варіанти:

А31) другий вузол внутрішній і в ньому тиск не визначалося. Тоді він нумерується в порядковій нумерації вузлів і позначається як новий пронумерований, тиск вважаємо тиском у вузлі, а гілка - пронумерованою.

А32) другий вузол є граничним і в якості ГУ використовується значення фіксованої масової витрати в граничній гілці. Тоді другий вузол гілки нумерується в порядковій нумерації вузлів, знайдене значення тиску вважаємо тиском в цьому вузлі, а гілка - пронумерованою.

А33) другий вузол є граничним і в якості ГУ задається тиск в такому вузлі. Вузол тоді нумеруємо, а гілку нумеруємо і позначаємо як гілка повторного визначення тиску (перше значення тиску у вузлі гранична умова, а другий знайдений тиск).

А34) другий вузол є внутрішнім і в ньому тиск вже визначено. Тоді він гілки не нумерується, знайдене раніше значення тиску вважаємо тиском в цьому вузлі, а гілку нумеруємо і позначаємо як гілка повторного визначення тиску.

А4) Аналізуємо множину гілок: якщо серед них є гілки нумерації, то повертаємося до п.А3, а інакше переходимо до п.А5.

А5) Аналізуємо множину вузлів: якщо серед них є помічені як нові пронумеровані, то для кожного з таких вузлів позначаємо як гілки нумерації всі суміжні вузлу гілки, які раніше не були пронумеровані.

А6) Якщо в множині гілок є гілки нумерації, то повернення до п.А3, а інакше завершення нумерації вузлів і визначення тиску в них.

Крок 3. Аналіз всіх випадків повторного визначення тиску у вузлах. Кожний такий випадок для точного рішення задачі буде означати, що має місце рівність двох тисків, оскільки в кожному вузлі тиск повинен визначатися однозначно (умова аксіоми 2). В кожному такому випадку можна записати рівняння (доведено в роботі), що відповідає умові однозначності визначення тиску у вузлі при різних шляхах нумерації на графі.

Алгоритм АДГ складається в послідовній нумерації гілок і вузлів, починаючи від граничного вузла з тиском (ГУ-тиск), що задається як ГУ і визначенні місць можливої невязки по тиску (в гілках повторного визначення тиску), на основі чого будується система рівнянь відносно невідомих витрат в гілках.

Основні властивості алгоритму АДГ:

За результатами роботи алгоритму АДГ число гілок повторного визначення тиску може дорівнювати нулю тільки у разі деревовидної структури графа ГРС при єдиному ГУ-тиску і всіх відомих витратах в гілках. (твердження 2.2).

Для визначення витрат в гілках довільної ГРС досить знати їх значення у всіх граничних гілках з витратою, що фіксується і всіх гілках повторного визначення тиску. (твердження 2.3). При цьому розрахунок невідомих витрат можливий з умов закону збереження маси для внутрішніх вузлів графа системи в послідовності, зворотній їх нумерації алгоритмом АДГ.

Кожний випадок повторного визначення тиску породжує шлях (контур) на графі, у відповідність якому можна поставити контурне рівняння, що породжується відносно невідомих в гілках витрат, не містить невідомого тиску у вузлах, а гілка повторного визначення тиску входить тільки в рівняння, що породжується нею (твердження 2.4.)

Теорема 2.1. У ГРС довільної топології, при довільних регулярних граничних умовах при завданні в якості ГУ хоч би одного ГУ-тиску, і можливості розрахунку втрат тиску на довільній гілці як функції витрати в ній (хоч би на кроці ітерацій по тиску у вузлах), для невідомих витрат в гілках завжди можна сформувати систему породжуючих рівнянь, яка спільно з вузловими рівняннями балансу маси утворять повну систему лінійно незалежних рівнянь.

, (8)

На основі властивостей алгоритму АДГ встановлено зв'язок між прийнятими аксіомами потокорозподілу та законами Кірхгофа

Теорема 2.2. Умови другого закону Кирхгофа еквівалентні умовам однозначності визначення тиску у вузлах ГРС.

Наслідок. При заданих в якості ГУ в граничних вузлах ГРС всіх ГУ-тисків будь-які методи розрахунку витрат в гілках, що забезпечують виконання умов балансу масових витрат у вузлах і визначення єдиного тиску у вузлах еквівалентні рішенню системи рівнянь I і II законів Кірхгофа.

Додатково встановлено, що для розрахунку потокорозподілу в ГРС другий закон Кірхгофа може бути використаний тільки у разі однозначного визначення потенціалу у вузлах графа системи. (Твердження 2.6). В якості такого потенціалу може бути P^*, (P^*)² і т.д.

Для подальших досліджень актуальним виявилося поняття ітераційного розв'язку (значення невідомих на двох послідовних кроках ітерацій співпадають між собою з необхідною ступінню точності при гарантуванні виконання умови (5)), де при виконанні співвідношень (4) ітераційне рішення буде рішенням (Твердження 2.7).

В якості граничних умов, що доповнюють систему рівнянь (7) до повної, можуть бути задані і значення тиску і витрат. Наведено приклади, коли одночасне задання двох таких величин в одному вузлі призводить до кількох рішень чи його відсутності. Тому як умову коректності задачі потокорозподілу встановлено вимоги до граничних умов: регулярність задання ГУ (в кожному граничному вузлі одна гранична умова), серед ГУ буде хоч одне значення тиску.

Третій розділ присвячений загальним питанням зображення задачі аналізу як системи підзадач, а також визначенню умов існування, єдиності та гарантованого отримання розв'язку для системи рівнянь (8) при додатковому припущенні, що перепади тиску на парах елементів трійників можна зобразити через перепади тисків на елементах суміжних вузлу гілок.

При дослідженні умов існування розв'язку системи рівнянь (8) встановлено наступний основний результат

Теорема 3.1. Якщо для довільного графа мережі на будь-якій її i-й гілці (i=1V) перепад тиску на ній ?P_i є строго монотонно зростаючою функцією змінної G_i, причому ?P_i®Ґ при G_i®Ґ, то задача визначення невідомих витрат в мережі має і єдине рішення і таке рішення стійке.

При доведенні теореми показано, що у випадку, коли рішення існує, то воно єдине.

При доведенні існування рішення це зроблено для ГРС що складається: з однієї гілки; з декількох гілок, об'єднаних одним для всіх загальним вузлом; з деревовидною структурою графа; з довільною структурою графа.

Для доведення стійкості показано, що рішення неперервно залежить від граничних умов.

Використовуючи умову стійкості розв'язку та припущення, що сформована на основі (8) лінійна система рівнянь гарантовано може бути розв'язана при існуванні її єдиного розв'язку доведено (теореми 3.2 та 3.3), що при умовах теореми 3.1 розв'язок системи рівнянь (8) може бути гарантовано отриманий.

Згідно теореми 3.2 можна гарантовано отримати розв'язок системи рівнянь (8) для гладких монотонно зростаючих залежностей перепаду тиску в кожній з гілок від витрат в ній при їх апроксимації однією з аналітичних функцій вигляду

P_i p_i (G_i) = p_i + s_i G_i |G_i|^m-1 (9)

P_i(G_i) p_i (G_i) = p_i + s_i,1 G_i + s_i,2 G_i |G_i| (10)

де для коефіцієнтів в залежностях (9) і (10) виконані умови

, (11)

(означають виконання умов теореми 3.1) та

, (12)

де G_i,0 (i=1V) - точка початкового наближення. Збіжність ітераційного процесу при цьому досягається використанням методу по параметру.

Можливість гарантованого отримання розв'язку системи рівнянь (8) при довільних неперервних строго монотонно зростаючих функцій для перепадів тиску від витрат в гілці - результат теореми 3.3, яка доводиться з використанням результатів теорем 3.1 та 3.2, а також доведенням факту, що з довільною точністю функції для перепадів тиску можуть бути апроксимовані гладкими строго монотонно зростаючими функціями.

Результати теорем 3.1 - 3.3 - це наукове обгрунтування можливості розв'язку системи рівнянь потокорозподілу (8), а також способу її вирішення, що полягає в розшарування неліній-ностей функцій перепаду тиску на елементах гілок ГРС, де не накладуються умови на вид таких залежностей, а тільки визначаються загальні вимоги неперервності та строго монотонного зроста-ння. Тобто при розв'язанні системи рівнянь (8) доцільно формувати систему вкладених підзадач: загальна система рівнянь (8) з довільними неперервними строго монотонно зростаючими залежностями p_i(G_i); система рівнянь (8) із неперервними строго монотонно зростаючими залежностями p_i(G_i) виду (9) чи (10); система рівнянь (8) із лінійними неперервними строго монотонно зростаючими залежностями.

Окремою задачею для такого алгоритму вирішення системи рівнянь (8) є формування залежностей виду (9) чи (10). Такі дослідження проведені в пп.3.3 - 3.5, де також приведені розроблені автором математичні моделі трійників та теплообмінних апаратів. При формування залежностей виду (10) розглянути три групи моделей:

A. Перепад тиску на елементі залежить від витрат G в гілці, де знаходиться елемент, не залежить від витрат в інших гілках і є монотонно зростаючою функцією від G;

B. Перепад тиску на елементі залежить від витрат G в гілці, де знаходиться елемент, не залежить від витрат в інших гілках і монотонно спадає в деякому діапазоні зміни G;

C. Перепад тиску для елементів вузлів залежить від витрат в суміжних вузлу гілках і ці залежності такі, що задача розрахунку витрат в мережі з одним внутрішнім вузлом (в гілках вузла може бути довільна кількість елементів групи A має єдиний розв'язок для довільних ГУ.

Виходячи з того, що елементи групи В та С не відповідають умовам теореми 3.1, а також з особливостей моделей процесів при критичних режимах течії хоча б на одному з елементів гілки (лінійна залежність перепаду тиску на гілці від витрат в ній (твердження 3.1)), будуються еврістичні алгоритми формування коефіцієнтів в залежностях (10) для елементів гілок, що задовільняють умови (11) та першу з умов в (12).

При розгляді процесів в ГРС стискуваної рідини та моделей окремих елементів показано:

розроблений алгоритм розрахунку перепаду тиску на елементів при його розрахунку на основі газодинамічних функцій забезпечує точність, при якій відносна похибка не перевищує 10^-7;

перерахунок коефіцієнтів опору з однієї площі поперечного перерізу на іншу призводить до значної методичної похибки, особливо в діапазоні швидкостей потоку, близьких до критичної;

в лінійній частині залежності (10) доцільно враховувати втрати тиску, характерні для ламінарного режиму течії (елементи ГРС: труби, їх повороти, теплообмінні апарати).

Приведена в роботі модель одноходового перехресноточного теплообмінного апарату базується на відомих теоретичних рішеннях для нього (теоретична ефективність теплообміну), аналогії Чілтона-Колборна (St = fPr ^{- 2/3} , де St - безрозмірне число Стентона; f - питомий коефіцієнт тертя; Pr - безрозмірне число Прандля) та залежностях для питомих коефіцієнтів опо-ру. В математичній моделі запропоновано використовувати поняття ефективного коефіцієнту опору ліній, а також вперше запропоновано використовувати поняття ефективної довжини ліній (для врахування ефектів інтенсифіцації теплообміну), та областей перехідного гідравлічного режиму по лініях теплообмінника, що є параметрами моделі. Визначення таких параметрів моделі можливе всього по двох експериментальних замірах перепаду температур та тисків на лініях теплообмінника. Модель використовується як методика на АНТК ім. О.К.Антонова.

Математична модель трійників розроблена для випадку кута трійника 90 та гострих кромок, що найчастіше використовуються в розподільчій мережі СКВ. У відомій літературі перепади тисків на парах елементів трійника визначають через коефіцієнт опору, віднесений до швидкості в збірному рукаві, що згідно встановленого в роботі призводить до методичної похибки в розрахунках. В новій пропонованій моделі три сумарні коефіцієнти опору розбиваються на коефіцієнти опорів для кожного з трьох елементів трійника, що відповідають кожен `своїй' гілці, та визначається додатковий перепад тиску для бокового відгалуження трійника, який для приточних та витяжних трійників при близьких до нуля співвідношеннях витрат в боковому відгалуженні та збірному рукаві враховує різницю повного тиску в них. При цьому вдається уникнути перерахунків коефіцієнтів опору на іншу площу, формуються моделі елементів виду (10) та автоматично виділяється внутрішня точка вузла. Адекватність моделі підтверджена спеціальними експериментальними дослідженнями та численними розрахунками розподільчих мереж систем кондиціювання повітря (СКВ) на АНТК ім. О.К.Антонова та “ОКБ Сухого”.

Результати 2-го розділу (декомпозиція задачі по типам змінних), розшарування нелінійностей, а також рекомендації по обробці моделей класу В (приведення немонотонних залежностей до монотонних) дозволили описати структуру вкладених підзадач, вирішення яких повинно вирішити і задачу розрахунку потокорозподілу і може бути представлена у вигляді системи підзадач:

розрахунку тиску у вузлах при фіксованих витратах в гілках;

розрахунку перепадів тиску на гілках та їх зображення на кроці ітерацій спрощеними аналітичними залежностями виду (9) чи (10);

розрахунку витрат в гілках для спрощених аналітичних залежностей (9) чи (10);

розрахунку витрат в гілках для лінійних залежностей перепаду тиску від витрат.

Методи та алгоритми розв'язку виділених підзадач розглядаються у наступних 4-у та 5-у розділах роботи.

В четвертому розділі роботи описаний новий метод - метод топологічної згортки - розрахунку невідомих витрат при лінійних залежностях перепадів тиску від витрат, тобто лінеаризованої системи рівнянь (8)

, (13)

де коефіцієнт c_i,k = 0 для всіх гілок, що не входять в контур k; c_i,k =1 для гілок, що входять в контур k, і напрям гілки співпадає з напрямом контуру; c_i,k = -1 для гілок, що входять в контур k, і напрям гілки протилежний напряму контура; р_k (k=1NK) - деяке дійсне число.

Основою методу - алгоритм заміни “висячого” вузла (мал.3) еквівалентною гілкою.

Якщо Р - Р_i = a_i + b_i G_i (i=0k), де a_i (i=0k) - деякий перепад тиску (дійсне число), а b_i (i=0k) - коефіцієнт опру гілки (дійсне додатне число), то при виключенні вузла згідно методу вузлових тисків (вузлових потенціалів) (МП) для тиску Р та витрати G₀ отримаємо:

МП: ; .

. (14)

Алгоритм методу топологічної згортки (ТпЗ) може бути описаний наступним чином. Задамося деяким значенням тиску Р=Р1 в висячому вузлі та значенням Р1+1. Тоді

i=1k); ;

(i=1k); ,

а для зміни витрат в гілках при зміні значень тиску у висячому вузлі на одиницю отримаємо:

;

(i=1k);

(i=1k). (15)

Нехай Р0 - значення тиску, при якому G₀(P0)=0. Тоді витрати в довільній з гілок системи можна визначити як лінійну функцію від тиску Р (розгортання в методі ТпЗ)

(i=1k), (16)

; . (17)

Із (17) тоді випливає, що для вирішення задачі розрахунку витрат достатньо знайти G₀, а тому достатньо залишити тільки одну гілку, по параметрах якої можна знайти G₀. Для такої еквівалентної гілки виберемо за граничне значення тиску Р0. Тоді Р₀ - Р0 дорівнюватиме:

,(18)

звідки просто визначити сумарний опір b_0,* еквівалентної гілки та G₀.

Формування залежності (18) в методі ТпЗ при згортці висячих вузлів є обов'язковим, оскільки коефіцієнти a0 та b0,* можуть використовуватися для згортки інших вузлів.

Отже у випадку методу топологічної згортки аналогічні (14) вирази будуть наступними:

; ;

(19).

Порівнюючи знаменники в виразах (14) та (19) легко помітити, що у випадку ТпЗ він більший і включає крім опору самої гілки також і еквівалентний опір інших гілок вузла. Тому для методу ТпЗ не є критичним близькі до нуля значення опору гілки b₀.

Порівняння методів МП та ТпЗ по числу операцій для випадку графів деревовидної структури показало, число операцій в методі ТпЗ не більш ніж вдвічі перевищує їх число методі МП. При порівнянні ж точності розрахунку виявилося, що оцінка максимальної відносної похибки для методу МП вища ніж для ТпЗ (твердження 4.1).

При порівняннях методу ТпЗ із методом контурних витрат встановлено випадки, коли їх точності співпадають, хоча зазвичай метод контурних витрат більш точний. В той же час точність методу контурних витрат залежить від вибору системи хорд та побудованої системи контурів та можливі випадки виродження системи рівнянь при значних величинах співвідношень опорів і невдалому виборі системи контурів. Це не характерно для методу ТпЗ і має місце результат

Твердження 4.2. Для мережі, що містить всього один внутрішній вузол метод ТпЗ гарантує визначення витрат в гілках незалежно від співвідношення коефіцієнтів опорів s_i > 0 в її гілках.

Аналогічний результат розповсюджується на ГРС з графом довільної деревовидної структури. При цьому важливо визначити послідовність згортання висячих вузлів. В роботі наве-дені два таких алгоритми, останній з яких дозволяє формувати послідовність для випадку довіль-них регулярних граничних умов, коли хоча б в одному з граничних вузлів задано значення тиску.

Запропонований метод ТпЗ у випадку графів ГРС деревовидної структури не потребує спеціального формування системи рівнянь (8), хоча забезпечує виконання таких рівнянь, оскільки в методі забезпечується однозначність визначення тиску у вузлах та баланс витрат у вузлах.

У випадку графів ГРС, що містять цикли, пропонується використовувати ряд методів, які грунтуються на розриві циклів:

по гілках повторного визначення тиску: розрив гілок та визначення значення тиску в місці розриву;

по гілках повторного визначення тиску: визначення значення витрат в виділених гілках;

розрив вузлів та визначення значення тиску в них.

Для першого з підходів доведено, що для невідомих значень тисків в точках розриву може бути сформована система лінійних рівнянь, яка при більш ніж одному значенню заданих в якості ГУ значень тиску буде мати діагональне переважання.

В другому випадку показано, що відносно невідомих витрат може бути сформована система лінійних рівнянь, аналогічна системі рівнянь методу контурних витрат, але тільки відносно частини контурів системи, тобто і частини гілок-хорд, а саме гілок, розрив яких трансформує граф системи в деревовидний, що суттєво менше порядку системи рівнянь методу контурних витрат.