Моногенні функції в крайових задачах для рівнянь еліптичного типу з виродженням на осі

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

МОНОГЕННІ ФУНКЦІЇ В КРАЙОВИХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ РІВНЯНЬ ЕЛІПТИЧНОГО ТИПУ З ВИРОДЖЕННЯМ НА ОСІ

01.01.01 - математичний аналіз

ПЛАКСА СЕРГІЙ АНАТОЛІЙОВИЧ

Київ - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор ТАМРАЗОВ Промарз Мелікович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу комплексного аналізу і теорії потенціалу

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ГУТЛЯНСЬКИЙ Володимир Якович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк, головний науковий співробітник відділу рівнянь з частинними похідними;

доктор фізико-математичних наук, професор МИХАЙЛЕЦЬ Володимир Андрійович, Інститут математики НАН України, м. Київ, провідний науковий співробітник відділу нелінійного аналізу;

доктор фізико-математичних наук, професор ЗАБОЛОЦЬКИЙ Микола Васильович, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, завідувач кафедри математичного моделювання

Провідна установа: Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, МОН України, м. Харків

Захист відбудеться “ 28 ” березня 2006 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий 27 лютого 2006 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради А.С. РОМАНЮК

АНОТАЦІЇ

ПЛАКСА С.А. Моногенні функції в крайових задачах для рівнянь еліптичного типу з виродженням на осі. - Рукопис. - Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук зa спеціальнiстю 01.01.01 - математичний аналіз. Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

В дисертації розроблено алгебраїчно-аналітичний метод дослідження просторових потенціальних полів з осьовою симетрією за допомогою моногенних функцій, які приймають значення в деякій нескінченновимірній комутативній банаховій алгебрі, що дає часткове розв'язанням окресленої М.О. Лаврентьєвим проблеми про розробку методів дослідження просторових потенціальних полів, аналогічних до методів теорії аналітичних функцій комплексної змінної.

Розроблено функціонально-аналітичний метод розв'язання крайових задач в меридіанній площині просторового потенціального поля з осьовою симетрією, що дозволив редукувати задачі Діріхле для осесиметричного потенціалу та функції течії Стокса до інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. Узагальнено теорію Ф. Нетера сингулярних інтегральних рівнянь та встановлено загальні результати про стійкість властивостей нетеровості та індексу операторів у неповних топологічних векторних просторах.

Ключові слова: просторові потенціальні поля з осьовою симетрією, алгебраїчно-аналітичний метод дослідження, моногенні функції, осесиметричні потенціали, функція течії Стокса, задача Діріхле, функціонально-аналітичний метод розв'язання крайових задач.

ПЛАКСА С.А. Моногенные функции в краевых задачах для уравнений эллиптического типа с вырождением на оси. - Рукопись. - Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 2006.

В диссертации разработан алгебраически-аналитический метод исследования пространственных потенциальных полей с осевой симметрией с помощью моногенных функций, принимающих значения в некоторой бесконечномерной коммутативной банаховой алгебре, который дает частичное решение очерченной М.А. Лаврентьевым проблемы о разработке методов исследования пространственных потенциальных полей, аналогичных методам теории аналитических функций комплексной переменной. Разработан функционально-аналитический метод решения краевых задач в меридианной плоскости пространственного потенциального поля с осевой симметрией, который позволил редуцировать задачи Дирихле для осесимметричного потенциала и функции тока Стокса к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Обобщена теория Ф. Нетера сингулярных интегральных уравнений и установлены общие результаты об устойчивости свойств нетеровости и индекса операторов в неполных топологических векторных пространствах.

Ключевые слова: пространственные потенциальные поля с осевой симметрией, алгебраически-аналитический метод исследования, моногенные функции, осесимметричный потенциал, функция тока Стокса, задача Дирихле, функционально-аналитический метод решения краевых задач.

PLAKSA S.A. Monogenic functions in boundary problems for elliptic type equations with a degeneration on an axis. - Manuscript. - Thesis submitted for degree of Doctor of Physics and Mathematics; Specialization 01.01.01 - Mathematical Analysis. - Institute of Mathematics NAS of Ukraine, Kiev, 2006.

Problems considered in thesis belong to classical problems of the mathematical analysis and the mathematical physics. An effectiveness of analytic function methods in the complex plane for plane potential fields inspires searching analogous methods for spatial potential fields. The problem to construct such methods for spatial potential solenoid fields was posed by M.A. Lavrentyev.

The theory of monogenic functions in commutative associative Banach algebras presents a fruitful approach to equations with partial derivatives and gives effective methods for studying them. An idea of realization of such an algebraic-analytic approach to given equations with partial derivatives means to construct commutative Banach algebras such that monogenic functions taking values in these algebras have components satisfying the given equations.

In thesis, for investigating spatial axial-symmetric potential solenoid fields we have developed an algebraic-analytic method by means monogenic functions taking values in an infinite-dimensional commutative Banach algebra .

Fundamental algebraic-analytic properties of mentioned monogenic functions are studied:

- necessary and sufficient conditions (analogues of the Cauchy - Riemann conditions) for monogenety of functions are established;

- we constructed explicit -analytic functions of hypercomplex variable such as principal extensions of analytic functions of complex variable to functions defined in special two-dimensional vector spaces and taking values in the algebra ;

- it is established that the algebra of monogenic functions is decomposed into the direct sum of the algebra of -analytic functions and the algebra of monogenic functions taking values in a certain concrete maximal ideal of the algebra ;

- for -analytic functions of hypercomplex variable a form of Cauchy integral formula is established and analogues of Runge theorems are proved.

It is established that axial-symmetric potentials and Stokes flow functions and solutions of elliptic equations degenerating on an axis are constructed by means components of -analytic functions. The established relation between basic characteristics (the potential and the Stokes flow function) of spatial axial-symmetric potential field and analytic functions of hypercomplex variable is similar to relation between plane harmonic functions and Cauchy integrals. Thus, for investigating spatial axial-symmetric potential solenoid fields we have developed an algebraic-analytic method analogous to the analytic function method in the complex plane, and it can be considered as a partial solution of the mentioned Lavrentyev problem.

We obtained integral expressions for axial-symmetric potentials and Stockes flow functions in an arbitrary simply connected domain symmetric with respect to an axis. We established sufficient conditions for continuous continuations of mentioned integral expressions on the boundary of a domain and obtained estimations for modules of continuity of boundary values of axial-symmetric potentials and Stockes flow functions.

We have developed a functional analytic method for effective solving boundary problems in a meridian plane of spatial axial-symmetric potential field. In such a way Dirichlet boundary problems for axial-symmetric potential and Stokes flow function are reduced to Cauchy singular integral equations on the real axis. In the case important for applications where the boundary is a smooth curve satisfying certain additional requirements, the mentioned singular integral equations are reduced to Fredholm integral equations of the second kind. In the case where the boundary is a circle, explicit solutions of Dirichlet boundary problems are obtained.

For a boundary problem about a streamline of the ideal incompressible fluid along an axial-symmetric body we obtained criteria of solvability by means distributions of sources and dipoles on the axis of symmetry and constructed unknown solutions using multipoles together with dipoles distributed on the axis.

For an operator operative into an arbitrary vector space, sufficient conditions for stability of the index of operator are established. For operators operative into incomplete topological vector spaces, sufficient conditions for stability of semi-Noetherian properties are obtained. Under minimal assumptions for given spaces, sufficient conditions are established for the composition BA of operators A and B to be Noetherian. Similar conditions on the operators B and BA are established under which the operator A is Noetherian. The obtained results are applied for proving generalized F. Noether theorems for singular integral Cauchy equations on a closed Jordan rectifiable curve in incomplete spaces of continuous and piecewise-continuous functions with discontinuities of an oscillating type.

Key words: spatial potential fields with axial symmetry, algebraic-analytic method of investigation, monogenic functions, axial-symmetric potential, Stokes flow function, Dirichlet boundary problem, functional analytic method for solving boundary problems.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вагомим надбанням математики є опис плоских потенціальних полів за допомогою аналітичних функцій комплексної змінної. Теорія просторових полів розвинута в значно меншій мірі. М.О. Лаврентьєв в загальних рисах окреслив проблему розробки методів дослідження просторових потенціальних полів, аналогічних до методів теорії аналітичних функцій комплексної змінної.

Просторове потенціальне соленоїдальне поле, симетричне відносно осі Ox, описується в меридіанній площині xOy в термінах потенціалу (x,y) та функції течії Стокса (x,y), які задовольняють систему рівнянь еліптичного типу з виродженням на осі:

(1)

з якої випливають рівняння

(2)

(3)

Важливий клас задач математичної фізики, що мають численні застосування, утворюють крайові задачі для розв'язків цих рівнянь. При цьому розв'язання крайових задач в меридіанній площині просторового потенціального поля з осьовою симетрією потребує розробки спеціальних методів, які враховували б природу та специфічні особливості осесиметричних задач, пов'язані з виродженням рівнянь на осі.

Дослідження з теорії диференціальних рівнянь еліптичного типу з виродженням та з теорії крайових задач для розв'язків цих рівнянь відображені в роботах і монографіях багатьох авторів, зокрема, Е.Т. Уіттекера і Д.Н. Ватсона, М.О. Лаврентьєва і Б.В. Шабата, М.В. Келдиша, Л.Г. Лойцянського, А. Вейнштейна, А. Маккі, П. Хенрікі, Ю.П. Кривенкова, Л.Г. Михайлова, Н. Раджабова, І.І. Данилюка, Г.М. Положія, О.О. Капшивого, Р.П. Гілберта, Дж. Бетчелора та інших.

Не зважаючи на значну кількість досліджень в теорії рівнянь еліптичного типу з виродженням на осі, актуальним залишається встановлення ефективних для застосувань інтегральних зображень розв'язків таких рівнянь (зокрема, до наших досліджень залишалось відкритим питання про зображення довільних осесиметричного потенціалу та функції течії Стокса у довільній однозв'язній області, симетричній відносно осі). Досить ефективними є зображення їх розв'язків через аналітичні функції, що дає можливість застосовувати до розв'язання крайових задач в меридіанній площині методи теорії крайових задач аналітичних функцій, сингулярних інтегральних рівнянь і нетерових операторів.

Класичні результати теорії сингулярних інтегральних рівнянь та нетерових операторів викладено в монографіях Ф.Д. Гахова, М.І. Мусхелішвілі, С.Г. Міхліна, Т. Като, А. Робертсона і В. Робертсона, Р. Едвардса, С. Гольдберга, Д. Пшеворської-Ролевич і С. Ролевича, М. Шехтера, С.Г. Крейна, І.Ц. Гохберга і Н.Я. Крупника, І.І. Данилюка, Г.С. Литвинчука, Б.В. Хведелідзе, З. Пресдорфа та в ряді інших робіт.

Переважну більшість результатів в теорії нетерових операторів одержано методами, які істотно використовують топологічні властивості заданих просторів і операторів (зокрема, спираються на властивість повноти просторів). У той же час при розширенні класів заданих кривих та функцій в теорії сингулярних інтегральних рівнянь з ядром Коші актуальною стала проблема встановлення загальних результатів про нетеровість операторів у неповних топологічних векторних просторах.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в Інституті математики НАН України в рамках наукових тем "Дослідження з комплексного аналізу, теорії потенціалу, диференціальних та топологічних властивостей відображень і множин" (номер держреєстрації 0101U000700), "Варіаційні та комплексно-аналітичні методи при моделюванні і дослідженні нелінійної динаміки сильно неоднорідних процесів гідро- та біомеханіки" (номер держреєстрації 0102U000917) та "Дослідження еволюційних та стохастичних процесів в математичних моделях природознавства" (номер держреєстрації 0105U000433).

Мета і завдання дослідження. Об'єктом дослідження є, насамперед, система рівнянь (1), яка описує просторове потенціальне поле з осьовою симетрією, а також задача Діріхле для розв'язків рівнянь (2), (3).

Предметом дослідження є встановлення зв'язку між моногенними (тобто диференційовними) функціями, що приймають значення в деякій нескінченновимірній комутативній банаховій алгебрі, та розв'язками системи рівнянь (1) і вивчення граничних властивостей осесиметричного потенціалу та функції течії Стокса.

Метою дисертаційної роботи є розробка нових алгебраїчно-аналітичного методу дослідження просторового потенціального поля з осьовою симетрією та ефективного функціонально-аналітичного методу розв'язання крайових задач в меридіанній площині вказаного поля.

Для досягнення цієї мети в роботі розв'язуються такі задачі:

- будується комутативна банахова алгебра така, що моногенні функції зі значеннями в ній, які, в свою чергу, будуються як головні продовження аналітичних функцій комплексної змінної, дають

ефективний спосіб побудови осесиметричних потенціалів та функцій течії Стокса;

- встановлюються ефективні з точки зору застосувань до розв'язання крайових задач інтегральні зображення осесиметричного потенціалу та функції течії Стокса;

- розробляється схема редукції задач Діріхле для осесиметричного потенціалу та функції течії Стокса до інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду;

- узагальнюється класичний метод Карлемана - Векуа регуляризації сингулярних інтегральних рівнянь, за допомогою якого встановлюються загальні результати про стійкість відносно збурень ряду важливих операторних властивостей;

- здійснюється дослідження диференціальних та операторних властивостей сингулярних інтегралів.

Зазначимо, що розв'язання цих задач мотивується також численними їх застосуваннями у різних прикладних дисциплінах.

Наукова новизна одержаних результатів. Наукову новизну мають такі результати дисертації.

1. Розроблено новий алгебраїчно-аналітичний метод дослідження просторових потенціальних полів з осьовою симетрією за допомогою моногенних функцій, які приймають значення в деякій нескінченновимірній комутативній банаховій алгебрі, що дає часткове розв'язанням окресленої М.О. Лаврентьєвим проблеми про розробку методів дослідження просторових потенціальних полів, аналогічних до методів теорії аналітичних функцій комплексної змінної.

2. Встановлено інтегральні зображення осесиметричного потенціалу та функції течії Стокса у довільній симетричній відносно осі симетрії однозв'язній області. Встановлено достатні умови неперервного продовження цих інтегральних зображень на границю області та одержано оцінки модулів неперервності їх граничних значень.

3. Встановлено умови з мінімальними обмеженнями щодо заданих просторів, достатні для стійкості відносно лінійного збурення напівнетеровості, нетеровості та індексу лінійного оператора, та побудовано узагальнену теорію Ф. Нетера сингулярного інтегрального рівняння з ядром Коші у неповних просторах як неперервних, так і осцилюючих на замкненій жордановій спрямлюваній кривій функцій.

4. Розроблено новий функціонально-аналітичний метод розв'язання крайових задач в меридіанній площині просторового потенціального поля з осьовою симетрією, що дозволив редукувати задачі Діріхле для осесиметричного потенціалу та функції течії Стокса до сингулярних інтегральних рівнянь з ядром Коші та до інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду на дійсній осі.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Одержані результати та розвинені в ній методи можуть бути використані в теорії сингулярних інтегральних рівнянь і операторів, в теорії узагальнених аналітичних функцій, в теорії моногенних функцій на банахових алгебрах, в теорії диференціальних рівнянь еліптичного типу з виродженням. Практичне значення результатів роботи полягає в тому, що розвинені в ній методи можуть знайти застосування при розв'язанні крайових задач для рівнянь математичної фізики, які, в свою чергу, знаходять застосування в гідродинаміці, газодинаміці, теплофізиці, механіці та інших прикладних дисциплінах.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що виносяться на захист, одержано здобувачем самостійно. В роботах, які опубліковано разом з І.П. Мельниченком і включено до автореферату,

внесок авторів такий:

- у роботах [5 - 7] І.П. Мельниченку належать загальна постановка задач, побудова нескінченновимірної комутативної банахової алгебри над полем дійсних чисел і встановлення зв'язку її з осесиметричним потенціалом та функцією течії Стокса, а також встановлення необхідних умов моногенності функцій, дисертанту - ідея комплексифікації вказаної алгебри та побудови головних продовжень аналітичних функцій комплексної змінної, уточнення деяких формулювань та спрощення доведення деяких результатів співавтора, встановлення зв'язку моногенних функцій з осесиметричним потенціалом та функцією течії Стокса в зовнішніх областях, доведення формул обернення інтегральних зображень осесиметричного потенціалу та функції течії Стокса;

- авторами роботи [19], незалежно один від одного, причому різними способами, встановлено зв'язок між розв'язками сімейства рівнянь еліптичного типу з виродженням на осі та гіперкомплексними аналітичними функціями. Доведення цього результату, яке викладене в роботі [19] з використанням головних продовженнях аналітичних функцій комплексної змінної, а також узагальнення інтегральних зображень розв'язків рівнянь на однозв'язні області належать дисертанту;

- у роботах [17, 24] І.П. Мельниченку належать постановка задачі про взаємодію потоку ідеальної нестисливої рідини з диполем і квадруполем, розташованими на осі, формулювання деяких робочих гіпотез, обговорення як методів дослідження, так і отриманих результатів, дисертанту - розробка методів дослідження, розв'язання задач та побудова прикладів невідомих раніше розв'язків задачі обтікання, одержаних із залученням квадруполів разом з розподіленими на осі диполями.

Апробацiя результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на 2-му Європейському конгресі математики (Будапешт, Угорщина, 1996), на конгресах Міжнародного товариства з аналізу, його застосувань та обчислень ISAAC (Фукуока, Японія, 1999; Берлін, Німеччина, 2001; Катанія, Італія, 2005), на Українському математичному конгресі (Київ, Україна, 2001), на міжнародних конференціях "XII Conference on Analytic Functions" (Люблін, Польща, 1998), "International Conference on Complex Analysis and Potential Theory" (Київ, Україна, 2001), "International Conference on Factorization, Singular Operators and Related Problems in Honour of Professor Georgui Litvinchuk" (Фуншал, Португалія, 2002), "Complex Analysis and its Applications" (Львів, Україна, 2003), "Analytic Methods of Analysis and Differential Equations" (Мінськ, Білорусь, 2003), на Міжнародній конференції, присвяченій 100-річчю з дня народження академіка М.А. Лаврентьєва (Київ, Україна, 2000), на Десятій міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, Україна, 2004), на міжнародному колоквіумі "Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis" (Фукуока, Японія, 1999) та ряді інших міжнародних математичних форумів в Україні і за кордоном.

Крім цього, результати дисертації були предметом доповідей в Інституті математики НАН України на семінарах відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу (керівники - професор П.М. Тамразов, Ю.Б. Зелінський, 1990 - 2005), на семінарі відділу динаміки та стійкості багатовимірних систем (керівник - академік НАН України, професор І.О. Луковський, 2002), на семінарі з нелінійного аналізу (керівник - член-кореспондент НАН України, професор М.Л. Горбачук, 2005), на семінарі відділу звичайних диференціальних рівнянь та теорії нелінійних коливань і відділу теорії функцій (керівники - академік НАН України, професор А.М. Самойленко і член-кореспондент НАН України, професор О.І. Степанець, 2005), на семінарі з математичної фізики відділу математичних методів в статистичній механіці і відділу прикладних досліджень (керівники - член-кореспондент НАН України, професор Д.Я. Петрина і професор А.Г. Нікітін, 2006), на Київських міських семінарах з теорії функцій (керівники - академік НАН України, професор М.П. Корнійчук і член-кореспондент НАН України, професор О.І. Степанець, 1997) і функціонального аналізу (керівники - академік НАН України, професор Ю.М. Березанський і член-кореспондент НАН України, професор М.Л. Горбачук, 2005, 2006), в Київському національному університеті імені Т.Г. Шевченка на семінарі кафедри математичного аналізу (керівник - професор І.О. Шевчук, 2005), в Інституті прикладної математики і механіки НАН України (м. Донецьк) на семінарі відділу рівнянь з частинними похідними і відділу нелінійного аналізу (керівники - професор А.Є. Шишков і професор О.А. Ковалевський, 2005), на Харківському семінарі теорії функцій (керівники - професор А.П. Грішин і професор С.Ю. Фаворов, 2006), на Львівському міському семінарі з математичного аналізу (керівники - професор А.А. Кондратюк і професор О.Б. Скаськів, 2006), на семінарі з аналізу та його застосувань в університеті (Vrije Universiteit) Амстердама (керівник - професор М.А. Каасхук (M.A. Kaashoek), 2002), в лабораторії динаміки рідини Технічного університету (Technische Universiteit) Ейндховена (керівник - професор Г.Я. ван Хейст (G.J. van Heijst), 2002).

Публiкацiї. Основні результати дисертації опубліковано у статтях [1 - 20] у наукових фахових виданнях. Частково вони також висвітлені в роботах [21 - 24] в інших виданнях, в матеріалах міжнародних конференцій [25 - 34] та деяких інших публікаціях.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається зі змісту, вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, в який включено 158 найменувань. Повний обсяг дисертації 313 сторінок, з них список використаних джерел займає 17 сторінок.

Подяки. З великим сумом згадую свого колегу І.П. Мельниченка, який залучив мене до дослідження моногенних функцій в комутативних алгебрах, асоційованих з рівняннями математичної фізики, та раптово пішов з життя. Я дуже вдячний йому за довголітню плідну співпрацю, доброзичливість, спілкування і дружбу. Висловлюю щиру подяку моєму учителю та науковому консультанту професору П.М. Тамразову за постановку задачі про стійкість нетеровості операторів у неповних просторах, постійний інтерес до роботи, корисні поради та зауваження.

моногенний функція алгебраїчний осьовий

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету досліджень, коротко викладено зміст основної частини роботи та показано наукову новизну одержаних результатів.

В розділі 1 зроблено огляд літератури за темою, обгрунтовано напрямки досліджень і показано місце результатів автора серед результатів попередників.

В розділі 2 без припущення про повноту заданих просторів встановлено умови, достатні для стійкості відносно збурення лінійним оператором таких властивостей оператора як індекс, скінченновимірність ядра, скінченність дефекту, напівнетеровість та нетеровість.

Нехай X, Y - векторні простори і A : XY - лінійний оператор, що діє з X в Y. Через Ker A:= {xX : Ax=0}позначимо ядро оператора A, а через Im A:={y=Ax : xX} - його образ. Позначимо також через dim Ker A розмірність ядра Ker A, а через def A - дефект оператора A, який визначається як розмірність фактор-простору Y / Im A. Якщо хоча б одне з чисел dim Ker A чи def A є скінченним, то індекс оператора A визначається рівністю Ind A:= dim Ker A - def A. Узагальнено оберненим до оператора A називають оператор : YX, що задовольняє рівність A A=A.

У випадку, коли Y - топологічний векторний простір, а образ оператора A замкнений в Y і при цьому хоча б одне з чисел dim Ker A чи def A є скінченним, оператор A називають напівнетеровим. Окрім того, напівнетерів оператор зі скінченним індексом називають нетеровим.

В підрозділі 2.1 встановлено достатні умови стійкості напівнетеровості операторів в неповних топологічних векторних просторах. При цьому доведення теорем про стійкість напівнетеровості операторів здійснюється за класичною схемою Ріса - Шаудера, в якій застосовуються методи, топологічні за своєю природою. Відмова від припущення про повноту просторів при збуренні напівнетерового оператора A передкомпактним оператором V потребує для встановлення напівнетеровості суми A+V додаткових припущень про оператори A та A+V. Зокрема, при доведенні теорем про стійкість напівнетеровості операторів, що діють в неповних просторах, використовується введене автором поняття оператора замкненого типу.

Нехай X та Y - топологічні векторні простори. Лінійний оператор A : Y з областю визначення X назвемо оператором замкненого типу, якщо з того, що F -фільтр Коші в і його образ A(F) збігається до елемента yY, випливає, що F збігається до x і Ax = y.

У випадку, коли X - повний хаусдорфів простір, поняття оператора замкненого типу і замкненого оператора збігаються, однак, у випадку довільного топологічного векторного простору ці поняття різні.

Теорема 2.1.2. Нехай X та Y - топологічні векторні простори, X і A : Y - лінійний напівнетерів оператор зі скінченновимірним ядром такий, що замикання в просторі X нульового елемента простору належить Ker A і звуження на Im A деякого узагальнено оберненого до A оператора є неперервним. Якщо V : Y - лінійний передкомпактний оператор і при цьому A+V є оператором замкненого типу, то оператор A+V є напівнетеровим і ядро Ker (A+V) скінченновимірне.

Відзначимо, що припущення теореми 2.1.2. за певних умов можуть виявитися жорсткішими, ніж притаманне для класичних результатів припущення про замкненість оператора A, але у раніше досліджених випадках рівносильні замкненості оператора A.

В підрозділі 2.2 розроблено модифікацію відомого з класичної теорії сингулярних інтегральних рівнянь методу Карлемана - Векуа на випадок збурення довільного оператора зі скінченним дефектом, що діє в довільних векторних просторах. Розроблений метод є алгебраїчним за своєю природою, тобто абсолютно нейтральним до топологічних властивостей просторів і операторів. Цим методом для довільних векторних просторів встановлено, зокрема, наступний результат про стійкість скінченності дефекту та індексу оператора.

Теорема 2.2.1. Нехай X і Y - векторні простори і дефект лінійного оператора A : XY скінченний, а лінійний оператор V : XY такий, що Ind (I+V)=0 при деякому узагальнено оберненому до A операторі . Тоді дефект оператора A+V скінченний і

Ind (A+V) = Ind A . (4)

Для векторного простору X через позначимо алгебраїчно спряжений до X простір, тобто множину усіх лінійних функціоналів на X. У випадку, коли X - топологічний векторний простір, через X* позначимо топологічно спряжений до X простір, тобто множину усіх неперервних лінійних функціоналів на X. Алгебраїчно спряжений до лінійного оператора A : XY оператор : задається рівністю g(x) : = g(Ax) при всіх g і всіх xX.

Наступна теорема доповнює теорему 2.2.1 у випадку, коли Y є топологічним векторним простором, а оператор A напівнетерів.

Теорема 2.2.2. Нехай A : XY - лінійний напівнетерів оператор зі скінченним дефектом, що діє з векторного простору X у топологічний векторний простір Y, а лінійний оператор V : XY такий, що Ind (I+V)=0 при деякому узагальнено оберненому до A операторі і, окрім того, виконується умова

(Ker (I+V) + ГV(Ker A)) Y*,

де Г - деякий узагальнено обернений до I+V оператор. Тоді A+V - напівнетерів оператор зі скінченним дефектом і при цьому виконується рівність (4).

В підрозділі 2.3 встановлено умови з мінімальними припущеннями про задані простори, достатні для нетеровості композиції BA операторів A та B, і такого ж типу умови на оператори B та BA, які забезпечують нетеровість оператора A. Зокрема, доведено наступну теорему.

Теорема 2.3.1. Нехай X - векторний простір, а Y і Z - топологічні векторні простори, лінійні оператори A : XY та B :Z - нетерові, при цьому множина є щільною в Y і (Ker A) Z* при деякому узагальнено оберненому до B операторі . Тоді оператор BA : Z (тут : = {x X : Ax}) нетерів і

Ind (BA) = Ind A + Ind B .

В підрозділі 2.4 показано, що умови теореми 2.2.2 конструктивно перевіряються для сингулярного інтегрального рівняння з ядром Коші

a(t)g(t)+b(t) (Sg)(t) + \int_{\gam}k(t,\tau)d\tau= f(t). (5)

на довільній замкненій жордановій спрямлюваній кривій \gam комплексної площини C у випадку, коли для характеристичного (при k(t,\tau)=0) оператора A існує неперервний узагальнено обернений оператор . У випадку, коли оператор не є неперервним, модифікованим методом Карлемана - Векуа доведено узагальнені теореми Ф. Нетера для рівняння (5) і як їх наслідок встановлено нетеровість оператора, який визначається лівою частиною рівності (5) і діє в неповні нормовані підпростори простору неперервних функцій.

Нехай D_z^{+} і D_z^{-} відповідно внутрішня і зовнішня області, обмежені кривою \gamma. Позначимо через множину функцій F, голоморфних в області (включаючи точку z =\infty для D_z^{-}, де вимагається виконання рівності F(\infty) = 0) і неперервних у її замиканні. Позначимо також H:=H^{+}+H^{-}.

Узагальнені теореми Ф. Нетера для рівняння (5) доведено за умов, що g,fH і

\teta(\eps)=O(\eps}, \eps\to 0, (6)

де mes означає лінійну міру Лебега на \gam, а функції a, b належать класу D_{\gam} функцій g, для кожної з яких модуль неперервності задовольняє умову Діні, при цьому функція k(t,\tau) допускає як більший, ніж слабкостепеневий, ріст при | t -| 0, так і осцилюючі розриви по "діагоналі" t =.

В підрозділі 2.5 для сингулярного інтегрального рівняння (5) в неповних нормованих просторах кусково-неперервних функцій встановлено результати, аналогічні до результатів підрозділу 2.4. При цьому припускається, що a, b \in D_{\gam} за умови (6) на криву \gam, функції f і g в точках скінченного набору T, взагалі кажучи, не мають ні скінченних, ні нескінченних односторонніх границь, а функція k(t,\tau) окрім особливостей такого ж типу, як і в підрозділі 2.4, допускає також і осцилюючі розриви по "вертикалям" t \in T.

В підрозділі 2.6 встановлено достатні умови диференційовності сингулярного інтеграла Коші з неперервною щільністю, контурна похідна якої допускає розриви в двох точках. Крім того, встановлено достатні умови диференційовності сингулярного інтеграла Коші з кусково-неперервною щільністю, при цьому одержано формули для похідних порядку n сингулярного інтеграла Коші з різним числом розривів у щільності інтеграла.

В розділі 3 описано основні алгебраїчно-аналітичні властивості моногенних функцій, які приймають значення в деякій нескінченновимірній комутативній банаховій алгебрі, та встановлено зв'язок цих функцій з просторовими потенціальними полями з осьовою симетрією.

Нехай H:={a=\sum a_k e_k: a_k \in R, \sum |a_k|<\infty} - комутативна асоціативна банахова алгебра над полем дійсних чисел R з нормою \sum |a_k| та базисом {e_k}, при цьому таблиця множення для елементів базиса запропонована І.П. Мельниченком і має вигляд

e_{n} e_{1} = e_{n}, e_{m}e_{n} = 1/2 (e_{m+n-1}+ (-1)^{n-1}e_{m-n+1}).

Через := H + i H позначимо комплексифікацію алгебри H таку, що норма в задається співвідношенням.

Алгебра ізоморфна алгебрі абсолютно збіжних тригонометричних рядів Фур'є з комплексними коефіцієнтами, при цьому має місце ізоморфізм між базисними елементами. Ізоморфізм між вказаними алгебрами дозволяє описати максимальні ідеали алгебри та встановити, що базисні елементи e_k при k=2,3,… не мають обернених елементів в алгебрі .

Один з максимальних ідеалів алгебри утворює множина I_0. Ідеалу I_0 відповідає лінійний функціонал, ядром якого є I_0.

В підрозділі 3.1 побудовано основи теорії функцій, моногенних в областях декартової площини \mu, яка є лінійною оболонкою векторів e_1, e_2 над полем R.

Розглянемо правильну в напрямку осі Oy область D декартової площини xOy. Це означає, що область D разом з кожною своєю точкою (x,y) містить також відрізок, що з'єднує точки (x,y) та (x, -y). Області D поставимо у відповідність конгруентні їй області D_z:={z=x+iy : (x,y) D} в C та D_{\zeta}:={\zeta=xe_1+ye_2 : (x,y) D } в \mu.

Функцію Ф назвемо моногенною функцією в області D_{\zeta}, якщо Ф є диференційовною за Гато в кожній точці області D_{\zeta}. Встановлено необхідні і достатні умови моногенності функцій (аналоги умов Коші - Рімана).

Функцію Ф назвемо C-аналітичною в області D_{\zeta}, якщо в деякому околі кожної точки \zeta_0 вона подається у вигляді суми збіжного степеневого ряду, при цьому для кожної точки \zeta_0=x_0 e_1, де x_0\in R, коефіцієнти є комплексними числами. C-аналітична функція є головним продовженням деякої голоморфної функції комплексної змінної. Для C-аналітичних функцій встановлено вид формули Коші та доведено аналог теореми Рунге.

Введемо лінійний оператор A, який кожній функції Ф ставить у відповідність функцію F за формулою F(z):=f_{I_0}(Ф(\zeta)), де z=x+iy i \zeta=xe_1+ye_2 - відповідні точки областей D_z і D_{\zeta}. Легко встановлюється, що якщо функція Ф є моногенною в області D_{\zeta}, то функція F=AФ є аналітичною в області D_z.

Наступна теорема показує, що C-аналітичні функції є у певному сенсі компонентами функцій, моногенних в області D_{\zeta}.

Теорема 3.1.4. Кожна моногенна в області D_{\zeta} функція Ф подається у вигляді

Ф(\zeta) = \int _{\gamma}(te_1-\zeta)^{-1} (A \Phi)(t) \ dt +Ф_0(\zeta), (7)

де \gamma - довільна замкненена жорданова спрямлювана крива в D_z, що охоплює відрізок, який сполучає точки та є спектром елемента \zeta, а Ф_0 - деяка моногенна в області D_{\zeta} функція, що приймає значення в ідеалі I_0.

З теореми 3.1.4 випливає, що алгебра моногенних в області функцій розкладається в пряму суму алгебри C-аналітичних функцій та алгебри моногенних функцій зі значеннями в ідеалі I_0. При цьому інтеграл в рівності (7) є головним продовженням аналітичної функції F(z)=(AФ)(z) комплексної змінної z в область D_{\zeta}.

Наступна теорема, в якій встановлено зв'язок між моногенними функціями змінної \zeta та розв'язками системи (1), розкриває прикладне значення цих моногенних функцій.

Теорема 3.1.6. Якщо функція Ф є моногенною в області D_{\zeta}, то

\int_{\gamma}(te_1-\zeta)^{-1} \ (A\Phi)(t) \ dt =:\sum_{k=1}^{\infty} U_{k}(x,y) \ e_k (8)

де z=x+iy, крива \gamma має такі ж властивості, як i в теоремі 3.1.3, а розуміється як неперервна вітка функції H(t), аналітичної поза розрізом вздовж відрізка, така, що H(t)>0 для всіх t>x. При цьому перша та друга компоненти інтегралу (8) породжують пару розв'язків системи (1) в області D за формулами

\varphi(x,y)= U_1(x,y), (9)

\psi(x,y)= y/2 U_2(x,y). (10)

Окрім того, функції (9), (10) є відповідно розв'язками рівнянь (2), (3) в області D.

Одержано також вирази розв'язків деяких сімейств рівнянь еліптичного типу з виродженням на осі через решту компонент інтегралу (8).

Наслідком співвідношень (8) - (10) є інтегральні вирази

\varphi(x,y)=\int_{\gamma}\frac{F(t)}{\sqrt{(t-z)(t-\bar z)}} dt, (11)

\psi(x,y)=-\int{\gamma} \frac{F(t)(t-x)}{\sqrt{(t-z)(t-\bar z)}} dt, z=x+iy (12)

які задають розв'язки системи (1) в області D (тут і надалі вважаємо, що в точках осі Ox функції (11), (12) доозначено за неперервністю) за умови, що функція F(z) є голоморфною в області D_z.

В підрозділі 3.2 встановлено справедливість обернених теорем про подання розв'язків рівнянь (2), (3) в правильній у напрямку осі Oy області D у вигляді (11), (12) при природнiх припущеннях про функції \varphi(x,y) та \psi(x,y). При цьому одержано в явному вигляді формули обернення інтегральних зображень (11), (12) осесиметричного потенціалу та функції течії Стокса.

В підрозділі 3.3 побудовано деяке розширення лінійного простору алгебри . Введемо в розгляд елемент e_0, який не належить алгебрi , та постулюємо виконання наступних правил множення: e_0e_1=e_0, e_0e_2=-e_1, e_0e_{2k+1}= e_0-2\sum_{m=1}^{k}e_{2m}, e_{0}e_{2k+2}= -e_{1}-2\sum_{m=1}^{k} e_{2m+1}

при k = 1, 2,... і при збереженні аксіом асоціативності, комутативності та дистрибутивності.

Помістимо алгебру в банахів простір з нормою. Зазначимо, що H_C не є алгеброю, оскільки добуток e_0e_0 не визначений, тобто здійснено розширення лише лінійного простору алгебри, а не самої алгебри.

Тепер виділимо в H_C декартову площину \mu: = {\w\zeta=xe_1+ye_0 : x,y\in R} і області D декартової площини xOy поставимо у відповідність конгруентну їй область D_{\w\zeta}:={\w\zeta=xe_1+ye_0 : (x,y)\in D} в \mu.

Встановлено необхідні і достатні умови моногенності функції Ф (аналоги умов Коші - Рімана) та основні алгебраїчно-аналітичні властивості моногенних на множині \mu\D_{\w\zeta} функцій у випадку, коли D - правильна в напрямку осі Oy обмежена область декартової площини xOy.

Нехай B - лінійний оператор, який кожній функції Ф ставить у відповідність функцію F за формулою F(z):=f_{I_0}(Ф(\w\zeta)), де z=x+iy i \w\zeta=xe_1+ye_0 - відповідні точки множин. Легко встановлюється, що якщо функція Ф є моногенною, то функція F=BФ є аналітичною.

Теорема 3.3.2. Якщо область D_{\w\zeta}} є обмеженою, то кожна моногенна в області функція Ф, що задовольняє умову

(B\Phi)(\infty)=0, (13)

подається у вигляді

\Phi(\w\zeta)=-\frac{1}{2\pi i}\int _{\gamma}(te_1-\w\zeta)^{-1} (B\Phi)(t) dt+\Phi_0(\w\zeta),

де \gamma - довільна замкнена жорданова спрямлювана крива в C, що обмежує правильну у напрямку уявної осі область D''_z таку, що z=x+iy, а Ф_0 - деяка моногенна в області функція, що приймає значення в ідеалі I_0. При цьому розуміється як неперервна вітка функції H(t), аналітичної поза розрізом, така, що H(t)>0 для всіх t>x.

Введено поняття C-аналітичних функцій змінної \w\zeta. Функцію Ф називаємо C-аналітичною функцією в області, якщо існує голоморфна функція F така, що F(\infty)=0 і

Ф(\w\zeta)=- \int_{\gamma}(te_1-\widetilde\zeta)^{-1} F(t) dt, (14)

де крива \gamma має такі ж властивості, як і в теоремі 3.3.2. C-аналітична функція (14) є продовженням функції F в область у такому сенсі: якщо x_0\in R і точка \w\zeta області прямує до точки x_0e_1, то функція (14) покоординатно збігається до F(x_0)e_1.

Для C-аналітичних функцій змінної \w\zeta доведено теорему єдиності, аналогічну до теореми єдиності аналітичних функцій комплексної змінної, встановлено вид інтегральної формули Коші, доведено аналог теореми Рунге та показано, що C-аналітичні в області функції утворюють алгебру. Отже, з теореми 3.3.2 випливає, що алгебра моногенних функцій розкладається в пряму суму алгебри C-аналітичних функцій та алгебри моногенних функцій зі значеннями в ідеалі I_0.

В наступній теоремі встановлено зв'язок між моногенними функціями змінної \w\zeta та розв'язками системи (1).

Теорема 3.3.6. Нехай область D_{\w\zeta} є обмеженою, а функція\break Ф є моногенною в області \mu та задовольняє умову (13). Тоді компоненти інтеграла

-e_0 \int _{\gamma}(te_1-\w\zeta)^{-1}(B\Phi)(t) \ dt =:\sum_{k=1}^{\infty} V_k(x,y) e_k, (15)

де крива \gamma має такі ж властивості, як і в теоремі 3.3.2, породжують пару розв'язків системи (1) за формулами

\varphi(x,y)= \pm V_1(x,y), (16)

\psi(x,y)= \pm y \sum _{k=1}^{\infty} V_{2k}(x,y). (17)

Окрім того, функції (16), (17) є відповідно розв'язками рівнянь (2), (3).

Із співвідношень (15) - (17) за умов теореми 3.3.6 випливають інтегральні вирази (11), (12), що задають розв'язки системи (1), при цьому F=BФ розуміється так, як в теоремі 3.3.2.

В підрозділі 3.4 встановлено справедливість обернених теорем про подання розв'язків рівнянь (2), (3) у вигляді (16), (17) при природнiх припущеннях про функції \varphi(x,y) та \psi(x,y). При цьому одержано в явному вигляді формули обернення інтегральних зображень (11), (12) осесиметричного потенціалу та функції течії Стокса.

В розділі 4 розроблено новий функціонально-аналітичний метод розв'язання просторових осесиметричних крайових задач. Цей метод базується на інтегральних зображеннях осесиметричного потенціалу \varphi(x,y) та функції течії Стокса \psi(x,y), які одержано для довільної симетричної відносно осі Ox області D меридіанної площини поля такої, що конгруентна їй область D_z комплексної площини є однозв'язною (всюди надалі область D має вказані властивості.

Позначимо через b_1 та b_2 точки перетину границі з дійсною віссю, при цьому умовимося, що b_1<b_2. Для кожної точки z\in D_z, для якої Im z \ne 0, зафіксуємо довільну жорданову спрямлювану криву \Gamma, що лежить в області D_z, є симетричною відносно дійсної осі R і з'єднує точки. Якщо при цьому область D_z необмежена, а її границя є обмеженою, то умовимося також, що всі криві \Gamma перетинають дійсну вісь на інтервалі (-\infty,b_1).

В підрозділі 4.1, узагальнюючи попередні результати стосовно інтегральних зображень осесиметричного потенціалу та функції течії Стокса, встановлено, що розв'язками системи (1) в області D, симетричній відносно осі Ox, є функції (11), (12) за умови, що область D_z є однозв'язною, функція F(z) є аналітичною в D_z, \gamma - довільна замкнена жорданова спрямлювана крива в D_z, що охоплює криву \Gamma, яка є лінією розгалуження функції.

Доведено обернені теореми про інтегральні зображення осесиметричних потенціалів та функцій течії Стокса в областях меридіанної площини. Сформулюємо їх у випадку обмеженої області D.

Теорема 4.1.4. Для кожної парної по змінній y функції \varphi(x,y), що є розв'язком рівняння (2) в обмеженій області D, існує єдина голоморфна в області D_z функція F, яка задовольняє умову

F(\bar z) = \overline{F(z)} \forall\,z\in D_z (18)

і така, що рівність (11) виконується для всіх (x,y)\in D.

Теорема 4.1.5. Для кожної парної по змінній y функції \psi(x,y), що є розв'язком рівняння (3) в обмеженій області D та задовольняє умову

\psi (x,0)= 0 (19)

в D, існує голоморфна в області D_z функція F_0 така, що рівність (3) при F=F_0 виконується для всіх (x,y)\in D. Окрім того, будь-яка голоморфна в D_z функція F, яка задовольняє рівність (3) і умову (18), подається у вигляді F(z)=F_0(z)+C, де C -- деяка дійсна стала.

Зауважимо, що умова (19) відповідає фізичному змісту функції течії Стокса: в моделі течії ідеальної рідини ця умова відображає той факт, що вісь Ox є лінією течії.

В підрозділі 4.2 встановлено умови, достатні для неперервного продовження інтегральних зображень осесиметричного потенціалу та функції течії Стокса на границю області, а також одержано оцінки модулів неперевності їх граничних значень.

Нехай тепер замкнена жорданова спрямлювана крива \gamma є симетричною відносно дійсної прямої. З двох дуг кривої \gamma, що з'єднують її точки z_1 і z_2, через \gamma_{z_1 z_2} позначимо дугу не більшої довжини, а через d(z_1,z_2) - діаметр цієї дуги.

Щоб описати граничні властивості осесиметричного потенціалу і функції течії Стокса, заданих в областях D_z^{+} і D_z^{-}, визначимо при z\in\gamma, \Im z \ne 0. У цьому випадку зробимо розріз площини C уздовж розімкненої кривої \Gamma^{\gamma}_{z\bar z} з кінцями z і \bar z такий, що b_1\in\Gamma^{\gamma}_{z\bar z}. При цьому будемо розуміти як неперервну вітку функції H(t), аналітичної поза розрізом вздовж кривої \Gamma^{\gamma}_{z\bar z}, таку, що H(t)>0 при всіх t >Re z. Через L_{p}(\gamma) позначимо банахів простір сумовних в степені p функцій f : \gamma\to C з нормою, а через L_{\infty}(\gamma) - банахів простір істотно обмежених на \gamma функцій h з нормою.

У наступній теоремі наведено умови, достатні для неперервного продовження функції

f_{pot}^{\pm}(z), яка є розв'язком рівняння (2) в області D_z^{\pm}, на границю.

Теорема 4.2.1. Нехай \gamma - замкнена жорданова спрямлювана крива, симетрична відносно дійсної прямої і така, що \theta(\varepsilon)=O(\varepsilon), \varepsilon\to 0. Якщо f\in L_p(\gamma), 2<p\le\infty, то функція f_{pot}^{\pm} неперервно продовжується з області D_z^{\pm} у точки множини і її граничні значення при z виражаються формулою

f_{pot}^{\pm}(z)= \int \frac{f(t)}{(\sqrt{(t-z)(t-\bar z)})^{\mp}} \ dt.

При цьому для кожної точки z_0 і будь-якої точки z_1, для якої |z_1-z_0|<1/2 |Im z_0|, виконується нерівність

|f_{pot}^{\pm}(z_1)-f_{pot}^{\pm}(z_0)|< c ||f||_{L_p} \Omega(z_0,z_1), (20)

де стала c залежить тільки від кривої \gamma.

Якщо, окрім того, функція f у точці b_j, де j=1 чи j=2, має границю по деякій множині E_f такій, що лінійна міра Лебега різниці \gamma\setminus E_f дорівнює нулю, та існує сингулярний інтеграл, а також виконується асимптотичне співвідношення}

\int_{|\Im z|}^{d(z,b_j)}\frac{\omega_{E_f,z}(f,\tau)}{\tau} \ d\tau\to 0, z\to b_j, (21)

то функція f_{pot}^{\pm} неперервно продовжується з області D_{z}^{\pm} також у точку b_j.

Очевидним наслідком оцінки (20) є відповідна оцінка для локального модуля неперервності. Вказано, за яких умов на криву \gamma оцінка (20) спрощується, а умова (21) знімається.

Аналогічні результати встановлено щодо неперервного продовження інтегральних зображень розв'язків рівняння (3) з області D_z^{\pm} на границю.

В підрозділі 4.3 розроблено схему редукції внутрішньої задачі Діріхле для осесиметричного потенціалу до сингулярного інтегрального рівняння з ядром Коші на дійсній осі, а у важливому для застосувань випадку гладкої границі області, яка задовольняє деяким додатковим умовам, одержане сингулярне інтегральне рівняння редуковано до інтегрального рівняння Фредгольма другого роду.