Моногенні функції в крайових задачах для рівнянь еліптичного типу з виродженням на осі

Нехай D - обмежена область меридіанної площини xOy з замкненою жордановою спрямлюваною границею. Внутрішня задача Діріхле для осесиметричного потенціалу полягає у відшуканні неперервної функції \varphi(x,y), яка в області D задовольняє рівняння (2), а на границі приймає задані значення \varphi_{\partial D}(x,y), тобто задовольняє рівність \varphi(x,y)=\varphi_{\partial D}(x,y) при всіх (x,y)\in\partial D.

Для розв'язання внутрішньої задачі Діріхле використовується внутрішня допоміжна задача для заданих граничних значень осесиметричного потенціалу \varphi_{\partial D}(x,y) про відшукання голоморфної в області D_z та неперервної функції F, яка задовольняє додаткову умову симетрії (18), а її граничні значення є розв'язком інтегрального рівняння.

Розв'язання допоміжної задачі для заданих граничних значень осесиметричного потенціалу здійснюється за умови, що функція \varphi_{\partial D}(x,y) є непарною по змінній y та належить класу функцій, для кожної з яких при фіксованому \alpha\in(1/2;1] існує \nu\in[0;\alpha) таке, що для функції g, яка визначається рівністю g(x+iy):=g_{\partial D}(x,y) при (x,y)\in\partial D, виконується оцінка

|g(z_1)-g(z_2)|< c ( max { |z_1-b_1||z_1-b_2|, |z_2-b_1||z_2-b_2| })^{-\nu} |z_1-z_2|^{\alpha},

де стала c не залежить від z_1, z_2.

При цьому використовується конформне відображення \sigma_{+}(Z) одиничного круга на область D^{+}_{z} таке, що \sigma_{+}(-1)=b_1, \sigma_{+}(1)=b_2 і образом півкруга Im Z>0 при відображенні \sigma_{+}(Z) є область {z\in D^{+}_{z} : Im z>0}.

Ввівши в розгляд функцію M_{+}(Z,T), яка при кожному фіксованому Z розуміється як неперервна вітка функції, аналітичної по змінній T в одиничному крузі, така, що M_{+}(Z,-1)>0, розглянемо також функцію m(\xi,\tau).

У наступній теоремі встановлено достатні умови редукції допоміжної задачі для заданих граничних значень осесиметричного потенціалу до сингулярного інтегрального рівняння на дійсній осі.

Теорема 4.3.1. Нехай функція \varphi_{\partial D} задовольняє умову

\varphi_{\partial D}(x,-y) = \varphi_{\partial D}(x,y). (22)

Нехай при цьому відображення \sigma_{+}(Z) диференційовне в точках множини |Z|=1, функція {\sigma}'_{+}(Z) у тих же точках неперервна і не дорівнює нулю, а в околі точок Z=\pm 1 задовольняє оцінку

|{\sigma}'_{+}(Z)| < c (|Z-1|^{-\beta}+|Z+1|^{-\beta})\,,

де \beta\in(0;1) і стала c не залежить від Z. Нехай, окрім того, функція M_{+}(Z,T) при будь-яких A_1, A_2\in (-1;1), A_1<A_2, задовольняє умову

|M_{+}(Z_1,T)-M_{+}(Z_2,T)|< c |Z_1-Z_2|^{{\alpha}'},

де 1/2<{\alpha}'\le 1 і стала c не залежить від Z_1 і Z_2.

Тоді справедливі твердження:

1) кожний розв'язок F внутрішньої допоміжної задачі для граничних значень потенціалу \varphi_{\partial D} породжує розв'язок сингулярного інтегрального рівняння

AU_{p}+B\int _{0}^{\infty} \frac{U_{p}(\tau)}{\tau^2-\xi^2}d\tau =f_{*}(\xi), \xi>0 , (23)

у якому

A(\xi,\tau):=2 Re m(\xi,\tau), B(\xi,\tau):=2 Im m(\xi,\tau) , (24)

f_{*}(\xi):= \varphi_{*}(\xi) (25)

і функція \varphi_{*} виражається через задану функцію \varphi_{\partial D} рівністю;

2) якщо в сингулярному інтегральному рівнянні (23) функції A, B, f_{*} визначені рівностями (24), (25) і функція U_{p} є таким його розв'язком, що функція

F_0(z) (26)

неперервно продовжується з області D^{+}_{z} на границю, то функція

F(z)=\varphi_{\partial D}(b_2,0)+F_0(z) (27)

є розв'язком внутрішньої допоміжної задачі для граничних значень потенціалу.

Через C_R позначимо банахів простір функцій g_{*}, неперервних на розширеній дійсній прямій, з нормою || g_{*}||_{C_R}:=sup |g_{*}(t)|, а через D_R -- клас неперервних на розширеній дійсній прямій функцій, модулі неперервності яких задовольняють умови Діні. Позначимо через C^e_{R} підпростір банахова простору C_ R, що складається з парних функцій, а через D^e_{R}- множину парних функцій класу D_ R.

Теорема 4.3.2. Нехай функція \varphi_{\partial D} задовольняє умову (22), а конформне відображення \sigma_{+}(Z) на одиничному колі має неперервну контурну похідну, яка не обертається в нуль і модуль неперервності якої задовольняє умову

\int _{0}^{1}\frac{\omega(\sigma_{+}',\eta)}{\eta} \ln^3\frac{1}{\eta} \ d\eta<\infty. (28)

Тоді кожний розв'язок сингулярного інтегрального рівняння (23) вигляду

U_{p}(\xi)= U_0(\xi)/\sqrt{\xi^2+1} , (29)

де U_0\in D^e_{R}, одержується в результаті розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма

U_0(\xi)+(R(k_p U_0))(\xi)=(R \w f_{*})(\xi) \forall\,\xi\in {\Bb R} , (30)

у якому оператор R k_p є компактним у просторі C^e_{R}. При цьому рівняння (30) має єдиний розв'язок у просторі C^e_{R}, який до того ж належить класу D^e_{R}.

Сформулюємо тепер результат про розв'язність внутрішньої задачі Діріхле для осесимметричного потенціалу.

Теорема 4.3.3. Нехай виконуються умови теореми 4.3.2. Тоді розв'язок внутрішньої задачі Діріхле для осесиметричного потенціалу задається формулою (11), у якій F є єдиним розв'язком внутрішньої допоміжної задачі для заданих граничних значень потенціалу \varphi_{\partial D} і має вигляд (27), де голоморфна функція F_0 виражається рівністю (26); при цьому функція U_{p} має вигляд (29), де U_0 є розв'язком рівняння Фредгольма (30) у просторі C^e_{R}.

Умова (28) виконується, зокрема, у випадку, коли границя області D є замкненою жордановою кривою Ляпунова, що є очевидним наслідком теореми Келлога. Умова (28) виконується також у більш загальному випадку замкненої гладкої жорданової границі, у якої кут \vartheta(s) нахилу дотичної до додатнього напрямку осі Ox як функція дугової координати s має модуль неперервності, що задовольняє умову

\int_{0}^{1}\frac{\omega_{\BbR}(\vartheta,\eta)}{\eta}\ln^4\frac{1}{\eta}d\eta<\infty.

Це випливає з оцінки Геронімуса - Варшавського для модуля неперервності похідної конформного відображення одиничного круга.

В підрозділі 4.4 розроблено схему редукції зовнішньої задачі Діріхле для осесиметричного потенціалу до інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду на дійсній осі.

Нехай тепер D - необмежена область меридіанної площини xOy, границя якої є замкненою жордановою спрямлюваною кривою, симетричною відносно осі Ox. Зовнішня задача Діріхле для осесиметричного потенціалу полягає у відшуканні неперервної функції \varphi(x,y), яка задовольняє рівняння (2) в області D і додаткову умову

\lim_{x^{2}+y^{2}\to\infty} \varphi (x,y)=0, (31)

а також приймає задані значення на границі області (умова (31) забезпечує єдиність розв'язку зовнішньої задачі Діріхле).

При побудові розв'язку зовнішньої задачі Діріхле використовується спеціальний випадок цієї задачі - характеристична задача області D, що полягає у відшуканні такого розв'язку \varphi_D(x,y) рівняння (2) в D, що задовольняє умову вигляду (31) і рівність \varphi_D (x,y)=1 на границі.

З використанням розв'язку характеристичної задачі області D розв'язок зовнішньої задачі Діріхле для осесимметричного потенціалу будується у вигляді

\varphi (x,y) = \varphi_{\partial D} (b_2,0) \varphi_D (x,y)+

\frac{1}{2 \pi і} \int_{\partial D_z} \frac{F(t)}{\sqrt{(t-z)(t-\bar z)}} dt

де функція F є розв'язком зовнішньої допоміжної задачі для заданих граничних значень, що полягає у відшуканні голоморфної в D_z та неперервної в \overline{D_z} функції, яка перетворюється в нуль у нескінченно віддаленій точці, задовольняє додаткову умову симетрії (18), а її граничні значення є розв'язком інтегрального рівняння.

До зовнішньої допоміжної задачі для граничних значень \varphi_{\partial D}(x,y) та до характеристичної задачі області D застосовано описану вище схему редукції до інтегрального рівняння Фредгольма другого роду на дійсній осі. У такий спосіб за припущень про область D та задані граничні значення \varphi_{\partial D}(x,y), аналогічних до припущень теореми 4.3.2, здійснено редукцію зовнішньої задачі Діріхле для осесиметричного потенціалу до двох інтегральних рівнянь Фредгольма вигляду (30).

У випадку, коли границя області є колом, розв'язки внутрішньої та зовнішньої допоміжних задач для граничних значень \varphi_{\partial D}(x,y) і характеристичної задачі необмеженої області D одержано в явному вигляді.

В підрозділі 4.5 розроблено схему редукції задачі Діріхле для функції течії Стокса до інтегрального рівняння Фредгольма другого роду на дійсній осі.

Задача Діріхле для функції течії Стокса полягає у відшуканні неперервної функції \psi(x,y), яка в області D задовольняє рівняння (3) і умову (19), а на границі приймає задані значення \psi_{\partial D}(x,y). Окрім того, у випадку необмеженої області D вимагається також виконання умови вигляду (31) для функції \psi(x,y). При цьому задачу для обмеженої області D називають внутрішньою задачею Діріхле, а задачу для необмеженої області D - зовнішньою задачею Діріхле.

Для розв'язання задачі Діріхле використовуються допоміжні задачі для заданих граничних значень функції течії Стокса \psi_{\partial D}(x,y) про відшукання голоморфної в області D_z та неперервної на множині \overline{D_z}\setminus\{b_1,b_2\} функції F, граничні значення якої на множині \partial D^{+}_{z}\setminus\{b_1,b_2\} у випадку D_z=D^{+}_{z} (внутрішня задача) або відповідно на множині \partial D^{-}_{z}\setminus\{b_1,b_2\} у випадку D_z=D^{-}_{z} (зовнішня задача) є розв'язком інтегрального рівняння. Окрім того, вимагається, щоб розв'язок допоміжної задачі задовольняв додаткову умову симетрії (18) і оцінку

|F(z)| < c (|z-b_1|^{-\beta_F}+|z-b_2|^{-\beta_F}),

де \beta_F\in [0;1) і стала c не залежить від z.

У такий же спосіб, як і для допоміжних задач для граничних значень осесиметричного потенціалу, за аналогічних припущень про область D та граничні значення функції течії Стокса \psi_{\partial D}(x,y) здійснено редукцію допоміжних задач для заданих граничних значень \psi_{\partial D}(x,y) до інтегрального рівняння Фредгольма другого роду в підпросторі C^u_{R} непарних функцій з C_{R}. Встановлено, що розв'язок задачі Діріхле для функції течії Стокса задається формулою (12), у якій функція F є розв'язком допоміжної задачі для заданих граничних значень \psi_{\partial D}(x,y).

У випадку, коли границя є колом, допоміжні задачі для заданих граничних значень \psi_{\partial D}(x,y) у дещо інший спосіб редуковано до характеристичного сингулярного інтегрального рівняння з ядром Коші і розв'язано в явному вигляді.

В підрозділі 4.6 для важливої у застосуваннях задачі обтікання осесиметричного тіла потоком ідеальної нестисливої рідини одержано ряд результатів, що мають природню фізичну інтерпретацію: встановлено критерії розв'язності задачі за допомогою джерел та диполів, розподілених на осі симетрії, та побудовано приклади невідомих раніше розв'язків, одержаних із залученням мультиполів поряд з розподіленими на осі диполями.

Задача обтікання, що формулюється в термінах функції течії Стокса для необмеженої області D з обмеженою спрямлюваною границею, полягає у відшуканні розв'язку \psi_1(x,y) рівняння (3), який задовольняє умову

\psi_1 (x,y)=0, (32)

і має таку асимптотику:

\psi_1(x,y)= Ѕ v_{\infty}y^2+o(1), x^2+y^2\to\infty, v_{\infty}>0. (33)

Умова (32) виражає той факт, що границя і вісь Ox є лініями течії, а в асимптотичному співвідношенні (33) v_{\infty} є швидкістю необмеженого потоку на нескінченності.

Функція течії Стокса \psi(x,y)=\psi_1(x,y)-v_{\infty}y^2/2 в D подається рівністю (12) і розв'язання задачі обтікання зводиться до розв'язання зовнішньої задачі для заданих її граничних значень \psi_{\partial D}(x,y)=-v_{\infty}y^2/2. При цьому доведено наступну теорему, в якій для функції F(z), що є голоморфною поза відрізком дійсної осі [a_1,a_2], через F^{+}(t), F^{-}(t) позначено її граничні значення на (a_1,a_2) при прямуванні z\to t відповідно з верхньої та нижньої відносно дійсної осі напівплощини.

Теорема 4.6.1. Нехай розв'язок F зовнішньої задачі для заданих граничних значень \psi_{\partial

D}(x,y)=-v_{\infty}y^2/2 продовжується до функції, голоморфної поза відрізком [a_1,a_2], і його граничні значення F^{+}(t), F^{-}(t) належать L_p ([a_1,a_2]), p>1. Тоді розв'язок задачі обтікання задається формулою

\psi_1(x,y)= v_{\infty}y^2/2+ \int_{a_1}^{a_2} \frac{q(t) (t-x)}{\sqrt{(t-x)^2+y^2}}dt, (34)

де q(t):= 1/(2\pi і) (F^{+}(t)-F^{-}(t)) - густина розподілу інтенсивності джерел на відрізку [a_1,a_2]. При цьому сумарна інтенсивність джерел

\int_{a_1}^{a_2} q(t) dt=0.

Подання розв'язку задачі обтікання через густину розподілу інтенсивності джерел q(t) формулою (34) - відомий класичний результат. Новизна теореми 4.6.1 в тому, що при цьому густина розподілу джерел виражається через граничні значення функції F на множині розподілу джерел.

Теорема 4.6.4. Нехай розв'язок F зовнішньої задачі для заданих граничних значень \psi_{\partial D}(x,y)=-v_{\infty}y^2/2 має в області D_z первісну \cal F, що продовжується до функції, голоморфної поза відрізком [a_1,a_2], і її граничні значення {\cal F}^{+}(t), {\cal F}^{-}(t) належать L_p ([a_1,a_2]), p>1. Тоді розв'язок задачі обтікання задається формулою

\psi_1(x,y)= v_{\infty}y^2/2- y^2 \int_{a_1}^{a_2} \frac{p(t)}{((t-x)^2+y^2)^{3/2}}dt, (35)

де p(t):= 1/(2\pi і) ({\cal F}^{+}(t)-{\cal F}^{-}(t) - густина розподілу інтенсивності диполів на відрізку [a_1,a_2].

Доведено теореми, обернені до теорем 4.6.1, 4.6.4, і встановлено в явному вигляді вирази густини розподілу інтенсивності джерел q(t) і густини розподілу інтенсивності диполів p(t) відповідно через значення функцій F і \cal F на множині (-\infty,b_1)\cup(b_2,\infty).

Показано, що кожний розв'язок задачі обтікання вигляду (34) подається також формулою (35), де p(t)=\int_{a_1}^{t} q(\tau) d\tau. Проте серед областей D, для яких розв'язок задачі обтікання задається формулою (35), існують області, для яких функція \psi_1 не може бути подана у вигляді (34). Останнє справедливо, наприклад, у випадку, коли функція p(t), що входить у формулу (35), задовольняє нерівність p(a_1)\ne p(a_2). Отже, формула (35) задає розв'язок задачі обтікання для більш широкого класу областей D, ніж формула (34). Встановлено також, що існують області, для яких при розв'язанні задачі обтікання необхідно використовувати мультиполі поряд з розподіленими джерелами і диполями, при цьому побудовано приклади невідомих раніше розв'язків, одержаних із залученням квадруполів поряд з розподіленими на осі диполями.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розглядаються задачі, що належать до класичних проблем математичного аналізу та математичної фізики.

Основні результати дисертації такі:

1. Розроблено алгебраїчно-аналітичний метод дослідження просторових потенціальних полів з осьовою симетрією за допомогою моногенних функцій, які приймають значення в деякій нескінченновимірній комутативній банаховій алгебрі , що дає часткове розв'язанням окресленої М.О. Лаврентьєвим проблеми про розробку методів дослідження просторових потенціальних полів, аналогічних до методів теорії аналітичних функцій комплексної змінної. При цьому вивчено основні алгебраїчно-аналітичні властивості згаданих моногенних функцій: встановлено необхідні і достатні умови моногенності функцій (аналоги умов Коші - Рімана); встановлено, що алгебра моногенних функцій розкладається в пряму суму алгебри -аналітичних функцій та алгебри моногенних функцій зі значеннями в максимальному ідеалі алгебри ; для -аналітичних функцій гіперкомплексної змінної встановлено вигляд інтегральних формул Коші та доведено аналоги теорем Рунге; побудовано в явному вигляді головні продовження аналітичних функцій комплексної змінної до функцій, які задані в спеціальних двовимірних векторних просторах та приймають значення в алгебрі , і показано, як за допомогою їх компонент в меридіанній площині будуються осесиметричні потенціали, функції течії Стокса та розв'язки сімейства рівнянь еліптичного типу з виродженням на осі. Встановлений зв'язок між основними характеристиками (потенціал та функція течії Стокса) просторового потенціального поля з осьовою симетрією та аналітичними функціями гіперкомплексної змінної є аналогічним до зв'язку плоских гармонічних функцій з інтегралами Коші.

2. Встановлено інтегральні зображення осесиметричного потенціалу та функції течії Стокса у довільній симетричній відносно осі симетрії однозв'язній області.

3. Встановлено умови, достатні для неперервного продовження інтегральних зображень осесиметричного потенціалу та функції течії Стокса на границю області, а також одержано оцінки модулів неперервності їх граничних значень.

4. Без припущення про повноту заданих просторів встановлено умови, достатні для стійкості відносно збурення лінійним оператором таких властивостей оператора як індекс, скінченновимірність ядра, скінченність дефекту, напівнетеровість та нетеровість.

5. Встановлено умови з мінімальними обмеженнями щодо заданих просторів, достатні для нетеровості композиції BA операторів A та B, і такого ж типу умови на оператори B та BA, які забезпечують нетеровість оператора A.

6. Побудовано узагальнену теорію Ф. Нетера сингулярного інтегрального рівняння з ядром Коші у неповних просторах як неперервних, так і осцилюючих на замкненій жордановій спрямлюваній кривій функцій.

7. Розроблено новий функціонально-аналітичний метод розв'язання крайових задач в меридіанній площині просторового потенціального поля з осьовою симетрією. При цьому задачі Діріхле для осесиметричного потенціалу та функції течії Стокса редуковано до сингулярних інтегральних рівнянь з ядром Коші на дійсній осі, а у важливому для застосувань випадку гладкої границі області, яка задовольняє деякі додаткові умови, одержані сингулярні інтегральні рівняння редуковано до інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. У випадку, коли границя області є колом, розв'язки задач Діріхле одержано в явному вигляді.

8. Для важливої у застосуваннях задачі обтікання осесиметричного тіла потоком ідеальної нестисливої рідини встановлено критерії розв'язності задачі шляхом розподілу джерел та диполів на осі симетрії та побудовано конкретні приклади невідомих раніше розв'язків, одержаних із залученням мультиполів разом з розподіленими на осі диполями.

В результаті застосування розвиненого алгебраїчно-аналітичного методу до просторових потенціальних полів з осьовою симетрією одержано ефективний спосіб побудови осесиметричних потенціалів та функцій течії Стокса за компонентами моногенних функцій гіперкомплексної змінної, які, в свою чергу, будуються в явному вигляді як головні продовження аналітичних функцій комплексної змінної. Встановлені інтегральні зображення осесиметричного потенціалу та функції течії Стокса дозволили розробити ефективні методи розв'язання крайових задач в меридіанній площині із застосуванням крайових задач теорії аналітичних функцій та методів теорії сингулярних інтегральних рівнянь.

Результати роботи та розвинені в ній методи мають знайти застосування в теорії функцій, комплексному аналізі, теорії потенціалу, в теорії крайових задач для рівнянь математичної фізики, які, в свою чергу, мають численні застосування в гідродинаміці, газодинаміці, теплофізиці, механіці та в інших прикладних дисциплінах.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Плакса С.А. О возмущении полунетеровых операторов в неполных пространствах. I // Укр. мат. журн. - 1993. - 45, № 2. - C. 270 - 278.

2. Плакса С.А. О возмущении полунетеровых операторов в неполных пространствах. II // Укр. мат. журн. - 1993. - 45, № 3. - C. 398 - 402.

3. Плакса С.А. О композиции и нетеровости операторов в векторных пространствах // Укр. мат. журн. - 1993. - 45, № 8. - C. 1177 - 1180.

4. Плакса С.А. О нетеровости сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши на спрямляемой кривой // Укр. мат. журн. - 1993. - 45, № 10. - C. 1379 - 1389.

5. Мельниченко И.П., Плакса С.А. Потенциальные поля с осевой симметрией и алгебры моногенных функций векторного аргумента. I // Укр. мат. журн. - 1996. - 48, № 11. - C. 1518 - 1529.

6. Мельниченко И.П., Плакса С.А. Потенциальные поля с осевой симметрией и алгебры моногенных функций векторного аргумента. II // Укр. мат. журн. - 1996. - 48, № 12. - C. 1695 -1703.

7. Мельниченко И.П., Плакса С.А. Потенциальные поля с осевой симметрией и алгебры моногенных функций векторного аргумента. III // Укр. мат. журн. - 1997. - 49, № 2. - C. 228 -243.

8. Плакса С.А. Задачи Дирихле для осесимметричных потенциальных полей в круге меридианной плоскости. I // Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 4. - С. 492 - 511.

9. Плакса С.А. Задачи Дирихле для осесимметричных потенциальных полей в круге меридианной плоскости. II // Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 6. - С. 748 - 757.

10. Плакса С.А. Об интегральных представлениях осесимметричного потенциала и функции тока Стокса в областях меридианной плоскости. I // Укр. мат. журн. - 2001. - 53, № 5. - С. 631 - 646.

11. Плакса С.А. Об интегральных представлениях осесимметричного потенциала и функции тока Стокса в областях меридианной плоскости. II // Укр. мат. журн. - 2001. - 53, № 6. - С. 800 - 809.

12. Плакса С.А. Задача Дирихле для осесимметричного потенциала в односвязной области меридианной плоскости // Укр. мат. журн. - 2001. - 53, № 12. - С. 1623 - 1640.

13. Плакса С.А. К решению внешней задачи Дирихле для осесимметричного потенциала // Укр. мат. журн. - 2002. - 54, № 12. - С. 1634 - 1641.

14. Плакса С.А. Задача Дирихле для функции тока Стокса в односвязной области меридианной плоскости // Укр. мат. журн. - 2003. - 55, № 2. - С. 197 - 231.

15. Плакса С.А. Сингулярные интегральные операторы в пространствах осциллирующих функций на спрямляемой кривой // Укр. мат. журн. - 2003. - 55, № 9. - С. 1206 - 1217.

16. Плакса С.А. Полунетеровы операторы в неполных пространствах и сингулярные интегральные уравнения // Доп. НАН України. - 2003. - № 12. - C. 27 - 34.

17. Мельниченко И.П., Плакса С.А. Приложение аналитических функций к задачам обтекания осесимметричных тел идеальной жидкостью // Доп. НАН України. - 2003. - № 10. - С. 22 - 29.

18. Плакса С.А. Дифференцирование сингулярных интегралов и аналитическое продолжение интеграла типа Коши // Доп. НАН України. - 2004. - № 6. - C. 18 - 26.

19. Mel'nichenko I.P., Plaksa S.A. Commutative algebra of hypercomplex analytic functions and solutions of elliptic equations degenerating on an axis // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2004. - 1, № 3. - С. 144 - 150.

20. Плакса С.А. Дифференцирование сингулярных интегралов с кусочно-непрерывной плотностью и граничные значения производных интеграла типа Коши // Укр. мат. журн. - 2005. - 57, № 2. - С. 222 - 229.

21. Plaksa S. Boundary properties of axial-symmetrical potential and Stokes flow function // Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis. - Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. - New York - Basel: Marcel Dekker Inc., 2000. - 214. - P. 443 - 455.

22. Plaksa S. Algebras of hypercomplex monogenic functions and axial-symmetrical potential fields // Proc. of the Second ISAAC Congress, Fukuoka, August 16 - 21, 1999. - Netherlands - U.S.A.: Kluwer Academic Publishers, 2000. - 1. - P. 613 - 622.

23. Plaksa S. Singular and Fredholm integral equations for Dirichlet boundary problems for axial-symmetric potential fields // Factorization, Singular Operators and Related Problems: Proc. Of Conf. in Honour of Prof. Georgui Litvinchuk, Funchal, January 28 - February 1, 2002. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003. - P. 219 - 235.

24. Mel'nichenko I.P., Plaksa S.A. Outer boundary problems for the Stokes flow function and steady streamline along axial-symmetric bodies // Комплексний аналіз і теорія потенціалу: Праці Українського математичного конгресу-2001. - Київ: Ін-т математики НАН України, 2003. - С. 82 - 91.

25. Mel'nichenko I.P., Plaksa S.A. Algebras of monogenic functions and axial-symmetrical potentials // Conf. on Diff. Equations and their Applications, Brno, August 25 - 29, 1997: Enlarged Abstracts. -Brno: Masaryk University, 1997. - P. 149, 150.

26. Plaksa S. Analytic functions and axial-symmetrical potential fields // XII Conf. on Analytic Functions, Lublin, August 30 - September 4, 1998: Programme and Abstracts. - Lublin: Maria Curie-Sklodowska University, 1998. - P. 32, 33.

27. Mel'nichenko I.P., Plaksa S.A. On the M.A. Lavrentyev's problem: description of axial-symmetric potential fields by means of analytic functions // Intern. Conf. dedicated to M.A. Lavrentyev on the occasion of his birthday centenary, Kiev, October 31 - November 3, 2000: Abstr. - Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2000. - P. 42 - 44.

28. Plaksa S.A. Dirichlet boundary problems in the meridianal plane of the spatial axial-symmetric potential fields // Intern. Conf. On Complex Analysis and Potential Theory, Kiev, August 7 - 12, 2001: Abstr. - Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2001. - P. 44 - 46.

29. Plaksa S. Dirichlet boundary problems for axial-symmetric potential fields // 3-rd Intern. ISAAC Congress, Berlin, August 20 - 25, 2001: Abstr. - Berlin: Freie Universitat Berlin, Germany, 2001. - P. 89 - 91.

30. Plaksa S. An application of analytic functions to boundary problems for spatial potential fields and a steady streamline of the ideal fluid along axial-symmetric bodies // Intern. Conf. "Complex Analysis and its Applications", Lviv, Ukraine, May 26 - 29, 2003: Abstr. - Lviv: Lviv Ivan Franko National University, 2003. - P. 51 - 53.

31. Plaksa S.A. Algebras of analytic functions and spatial potential fields with axial symmetry // Analytic Methods of Analysis and Differential Equations, Minsk, Belarus, September 4 - 9, 2003: Abstr. -Minsk: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, 2003. - P. 136.

32. Plaksa S.A. Algebras of hypercomplex analytic functions associated with elliptic equations degenerating on an axis // Десята міжнар. наук. конф. ім. академіка М. Кравчука, Київ, 13 - 15 трав. 2004: Матеріали конф. - Київ: Задруга, 2004. - С. 207.

33. Plaksa S. Commutative algebras of hypercomplex monogenic functions and solutions of elliptic type equations degenerating on an axis // 5-th ISAAC Congress, Catania, July 25 - 30, 2005: Abstr. - Catania: University of Catania, Italy, 2005. - P. 128, 129.

34. Plaksa S. A functional analytic method for solving boundary problems for the Stokes flow function // 5-th ISAAC Congress, Catania, July 25 - 30, 2005: Abstr. - Catania: University of Catania, Italy, 2005. - P. 151 - 153.

Размещено на Allbest.ru