Чисельне розв’язування лінійних прямих і нелінійних обернених еволюційних задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна Академія Наук України

Інститут математики

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНИХ ПРЯМИХ І НЕЛІНІЙНИХ ОБЕРНЕНИХ ЕВОЛЮЦІЙНИХ ЗАДАЧ

01.01.07 - обчислювальна математика

ХАПКО Роман Степанович

КИЇВ - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі обчислювальної математики Львівського національного університету імені Івана Франка

Науковий консультант:	д-р фіз.-мат. наук, проф., чл.-кор. НАНУ Макар Володимир Леонідович, Інститут математики НАН України, зав. відділу обчислюв. матем.
Офіційні опоненти:	доктор фіз.-мат. наук, професор Ільїнський Анатолій Серафімович, ф-т обчислюв. матем. і кібернетики, Московський державний університет ім. М. В. Ломоносова, зав. лабор. обчислювальної електродинаміки доктор фіз.-мат. наук, професор Лучка Антон Юрійович, Інститут математики НАН України, провід. наук. співроб. відділу диф. рівнянь та теорії коливань доктор фіз.-мат. наук, професор Сявавко Мар'ян Степанович, Львів. держ. аграрний університет, зав. кафедри інформ. систем і техн.
Провідна установа:	Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, відділ матем. модел. проблем екології та енергетики

Захист відбудеться “ 31 ” травня 2005 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.206.02 при Інституті математики НАН України за адресою: 01601, Київ 4, МСП, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ 4, МСП, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий “ 29 ” квітня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

Пелюх Г. П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ДИСЕРТАЦІЇ

Актуальність теми. Побудова та обгрунтування чисельних методів розв'язування прямих і обернених еволюційних задач складає значний інтерес як для подальшого розвитку обчислювальної математики, так і для широкого кола прикладних застосувань. Це викликано недостатньою повнотою теоретичних досліджень та необхідністю створення надійних і ефективних чисельних методів для прямих еволюційних задач в необмежених областях, еволюційних задач з вільною поверхнею та обернених еволюційних задач, пов'язаних з реконструкцією границі області. З цією метою можуть бути використані різні підходи, які грунтуються на відповідній техніці. Зокрема, як при теоретичних дослідженнях коректності граничних задач, так і при розробці методів їх наближеного розв'язування можуть бути використані інтегральні рівняння.

Використання методу граничних інтегральних рівнянь за останні десятиріччя набуло великого розмаху у прикладних та інженерних науках. Успішний розвиток цього методу визначається рядом його переваг у порівнянні з методом скінченних елементів і методом сіток, до основних з яких відноситься пониження розмірності задачі. Порівняно недавно в рамках цього напрямку все частіше використовуються інтегральні рівняння першого роду. Важливу роль у становленні цього підходу відіграли роботи В. Дмітрієва, В. Ільїна, Й. Людкевича та інших (задачі електростатики), Г. Кіта, В. Купрадзе, Н. Мусхелішвілі, В. Михаськіва, М. Саврука, М. Хая, І. Чудіновіча, C. Brebbia, C. Costanda, M. A. Jaswon, P. Martin, F.Rizzo, G. Symm, D. Shippi та інших (задачі теорії пружності), Є. Захарова, А. Ільїнського, В. Кравцова, D. Colton, E. Martensen, R. Kress та інших (задачі дифракції), С. Білоцерковського, І. Ліфанова та інших (задачі аеродинаміки). Теоретичне обгрунтування коректності отримуваних інтегральних рівнянь першого роду та аналіз збіжності методів їх розв'язування здійснено в роботах В. Вороніна, В. Іванова, М. Тихоненка, М. Хапаєва, В. Цецохо, K. Atkinson, M. Costabel, G. Hsiao, R. Kress, J. Nedelec, S. Prцssdorf, J. Saranen, I. Sloan, E. Stephan, G. Vainikko, W. Welndland та інших.

Протягом значного періоду метод граничних інтегральних рівнянь використовувався в основному для розв'язування стаціонарних граничних задач. Проте для багатьох важливих прикладних проблем саме зміна процесу в часі становить найбільший інтерес. Особливо актуальним є випадок необмежених просторових областей. Застосування методу граничних інтегральних рівнянь до прямих еволюційних задач у необмежених областях може відбуватись кількома шляхами в залежності від способу усунення часової змінної.

Метод Роте. Через безпосередню дискретизацію вихідної диференціальної задачі за допомогою апроксимації похідних за часом відповідними скінченними різницями отримується система стаціонарних задач для неоднорідних еліптичних рівнянь. Така система може бути розв'язана методом інтегральних рівнянь з використанням об'ємних потенціалів: C. Brebbia, J. Telles, L. Wrobel, W. Gerdes (рівняння теплопровідності), E. Martensen, G. Picard (хвильове рівняння).

Інтегральні перетворення. В роботах C. Brebbia, J. Telles, L. Wrobel; J. Brilla застосовано інтегральне перетворення Лапласа і метод граничних елементів до розв'язування початково-крайових задач теплопровідності. Комбінацію перетворення Лагерра і граничних інтегральних рівнянь для різних нестаціонарних задач використовували В. Галазюк, Й. Людкевич, А. Музичук та інші.

Підхід, що грунтується на поєднанні перетворення Келлі та граничних інтегральних рівнянь до внутрішніх задач нестаціонарної теплопровідності розвинено у працях І. Гаврилюка і В. Макарова.

Метод гранично-часових інтегральних рівнянь. За допомогою прямого (формула Гріна) або непрямого (теорія потенціалів) варіантів цього підходу початково-крайові задачі редукуються до гранично-часових інтегральних рівнянь, які розв'язуються проекційними методами (С. Бєлоносов, З. Бережанська, А. Гладков, Р. Пасічник, В. Турілов, Н. Хуторянський, D. Arnold, P. Noon, C. Brebbia, J. Telles, L. Wrobel; M. Hamina, J. Saranen; Ch. Lubich, R. Schneider та інші). Строге обгрунтування коректності отримуваних інтегральних рівнянь (для випадку задач теплопровідності) у відповідних анізотропних просторах Соболєва здійснили M. Costabel; G. Hsiao, J. Saranen і в анізотропних просторах Гьольдера - О. Бадерко.

Різні аспекти дослідження обернених задач математичної фізики розглянуто в працях В. Арсеніна, В. Іванова, В. Ісакова, М. Лаврентьєва, В. Морозова, А. Тихонова, H. Engl, J. Solowski та інших. Основи теорії обернених задач рекострукції границі області для випадку процесів розсіяння хвиль та методів їх наближеного розв'язування закладені в роботах D. Colton, P. Hдhner, F. Hettlich, A. Kirsch, R. Kress, L. Mцnch, R. Potthast та інших. Власне обернені нестаціонарні задачі, що пов'язані з реконструкцією границі області, складають новий напрям обчислювальної та прикладної математики. В роботах H. Banks, F. Kojima, W. Winfree; K. Bryan, L. Caudill (jr) розглянуто деякі часткові випадки таких задач, а S. Vessella проаналізовано стійкість оберненої задачі теплопровідності по реконструкції границі в . У зв'язку зі складністю, як прямих задач - необмеженість області, де шукається розв'язок, велика розмірність (наявність часу як незалежної змінної), так і обернених задач - нелінійність і некоректність, виникає потреба у створенні нових ефективних методів наближеного розв'язування вказаних класів задач та їх обгрунтування.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації відповідає напрямкам досліджень:

на кафедрі обчислювальної математики Львівського національного університету імені Івана Франка із застосування граничних інтегральних рівнянь для чисельного розв'язування прикладних та інженерних проблем (тема ПБ-1790Б, номер держреєстрації 0103U1933);

в Інституті математики НАН України з чисельно-аналітичних методів в задачах з вільними границями (тема ДФФД Ф7?405-2001);

в Інституті обчислювальної та прикладної математики Геттінгенського університету імені Георга Августа (ФРН) з чисельного розв'язування обернених граничних задач.

Дослідження були частково підтримані Німецькою Академічною Службою Обмінів (DAAD) в 1991 - 92 рр. і в 1995 - 96 рр., Католицькою Академічною Іноземною Службою (KAAD) в 1997 - 98 рр. та Німецьким Дослідницьким Товариством (DFG) в 1998 р. і в 2003 р.

Мета і задачі дослідження.

Предметом досліджень у даній роботі є такі еволюційні задачі:

прямі лінійні задачі: 1) початково-крайові задачі для рівнянь параболічного та гіперболічного типів, включаючи векторний випадок (рівняння Нав'є - Стокса); 2) нестаціонарні задачі для рівнянь з першими або другими похідними за часом для областей з вільною границею;

обернені нелінійні задачі: 1) задачі реконструкції включення в обмеженому тілі за відомими даними Коші на границі тіла; 2) задачі реконструкції включення в частково необмеженій області за відомими даними Коші на її границі.

У дисертації для чисельного розв'язування перелічених прямих і обернених еволюційних задач пропонується ряд обчислювальних схем, які грунтуються на методі граничних інтегральних рівнянь.

Метою досліджень у даній роботі є:

Ш створення нових ефективних чисельних методів для наближеного розв'язування прямих еволюційних задач у необмежених просторових областях і задач з вільною границею;

Ш обгрунтування збіжності та оцінка похибки пропонованих методів;

Ш розробка чисельних методів для обернених граничних задач нестаціонарної теплопровідності;

Ш апробація створених методів на тестових прикладах та підтвердження отриманих теоретичних оцінок, шляхом виконання належних обчислювальних експериментів.

Наукова новизна одержаних результатів включає:

· Створення методу квадратур (дискретної колокації) на основі тригонометричної інтерполяції для чисельного розв'язування систем періодичних інтегральних рівнянь першого й другого роду з логарифмічною та гіперсингулярною особливостями. Розглянуто випадки гладкої замкненої кривої, гладкої розімкненої кривої та замкненої кривої з кутовими точками. Обгрунтовано збіжність і оцінено похибку методу.

· Розробку комбінації методу Роте, перетворення Лагерра з методом граничних інтегральних рівнянь для наближеного розв'язування прямих еволюційних задач у необмежених областях. Обгрунтовано збіжність і знайдено оцінку похибки для методу Роте.

· Поширення створених методів на випадок осесиметричних задач нестаціонарної теплопровідності з тороїдальними замкненими і розімкненими поверхнями.

· Розробку поєднання методів Роте й інтегральних рівнянь для початково-крайових задач гідродинаміки.

· Застосування методу граничних інтегральних рівнянь до задачі дифракції гармонійних хвиль у пружному середовищі з криволінійною тріщиною. Досліджено коректність отриманих рівнянь і розроблено метод дискретної колокації для їх наближеного розв'язування.

· Застосування методу граничних інтегральних рівнянь для плоскої граничної задачі теорії пружності у двозв'язній області. Встановлено коректність отриманих інтегральних рівнянь і розроблено метод дискретної колокації для їх чисельного розв'язування.

· Розробку методу перетворення Келлі й інтегральних рівнянь для еволюційних задач для рівняння з першою похідною за часом на многовиді.

· Розробку методу перетворення Лагерра й інтегральних рівнянь для еволюційної задачі, що описує поширення гравітаційних хвиль у каналі з вільною поверхнею. Розглянуто випадки поздовжнього перерізу (обмежена двовимірна область з кутовими точками) та поперечного перерізу (частково необмежена двовимірна область типу смуги).

· Дослідження єдиності розв'язків обернених граничних задач теплопровідності, доведення існування похідних за границею області для відповідних нелінійних операторів, конструктивний спосіб обчислення цих похідних.

· Розробку методу Ньютона з регуляризацією і регуляризуючого методу типу Ландвебера для наближеного розв'язування розглядуваних обернених задач. Шляхом обчислювального експерименту показано переваги методу Ньютона для випадку неопуклих областей, а методу Ландвебера для опуклих.

· Розробку гібридного методу для чисельного розв'язування обернених граничних задач стаціонарної теплопровідності.

Практичне значення одержаних результатів полягає у систематичній розробці методів граничних інтегральних рівнянь для наближеного розв'язування прямих і обернених еволюційних задач на площині. Отримані результати ввійшли у звіти НДЧ Львівського національного університету імені Івана Франка (1992 - 2003 рр.) та у звіт за програмою "Метод Ньютона розв'язування обернених задач" Інституту обчислювальної та прикладної математики Гьоттінгенського університету (1998 р.). Вони також використовуються при читанні дисциплін спеціалізації для студентів факультету прикладної математики та інформатики Львівського національного університету імені Івана Франка, які спеціалізуються з обчислювальної математики. Запропоновані підходи можуть бути використані при подальших дослідженнях, присвячених розробці нових чисельних методів та їх застосування до конкретних прикладних задач.

Особистий внесок здобувача. У працях, виконаних у співавторстві, автор дисертації брав участь в отриманні всіх результатів і особисто одержав такі: в [1] - розробка алгоритму, доведення теорем і проведення обчислень; в [2, 12] - постановка задачі та ідея методу розв'язування; в [23] - виведення квадратурної формули, обґрунтування збіжності методу та обчислювальні експерименти; в [24] - ідея методу, доведення його збіжності й оцінка похибки, чисельні експерименти; в [25] - застосування перетворення Лагерра, знаходження фундаментальних розв'язків системи стаціонарних задач і чисельне розв'язування інтегральних рівнянь; в [26] - розробка алгоритму і проведення чисельних експериментів; в [27] - параграфи 3, 4, 5 і 6; в [28] - параграфи 3, 4 і 5; в [29] - параграф 3; в [30] - доведення теореми 2.3, розробка алгоритму і проведення чисельних експериментів; в [31] - алгоритм розв'язування задачі, доведення теореми 3.1 і параграфи 4 і 5.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на наукових семінарах: кафедри обчислювальної математики (Львівський національний університет імені Івана Франка, 1989 - 2004 рр.), кафедри чисельних методів математичної фізики (Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кер. проф. В. Макаров, 1989 - 99 рр.), кафедри прикладної математики (Університет м. Штутгарт, ФРН, кер. проф. W. Wendland, 1992 р.), Інституту обчислювальної та прикладної математики (Університет м. Гьоттінген, ФРН, кер. проф. R. Kress, 1991 - 2003 рр.), відділу методів розв'язування складних задач оптимізації Інституту кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України (кер. академік НАН України Н. Шор, 1999 р.), відділу оптимізації чисельних методів Інституту кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України (кер. проф. В. К. Задірака, 1999 р.), на Львівському регіональному семінарі з математичного аналізу (кер. проф. М. Шеремета, 1999 р.), Інституту індустріальної математики (Університет м. Лінц, Австрія, кер. проф. H. Engl, 2002 р.), на загальноміському семінарі з нелінійного аналізу (кер. академік НАН України І. В. Скрипник, 2004 р.), на спільному семінарі відділів диференціальних рівнянь та теорії коливань; динаміки стійкості багатовимірних систем; обчислювальної математики Інституту математики НАН України (кер.: академік НАН України А. М. Самойленко, академік НАН України І. О. Луковський, чл.-кор. НАН України В. Л. Макаров, 2004 р.), а також на міжнародних конференціях товариства прикладних математиків і механіків GAMM-2000 (м. Гьоттінген, ФРН, 2000 р.), GAMM-2001 (м. Цюріх, Швейцарія, 2001р.), на Всеукраїнських конференціях "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики" (м. Львів, 1995 - 2004 рр.). задача рівняння векторний

Публікації. Всі результати, винесені на захист, опубліковані у статтях [1-3, 5-10, 12-14, 17-31] та в матеріалах конференцій [4, 11, 15, 16].

Структура та об'єм дисертації. Робота складається з вступу, п'яти розділів та висновків; містить 309 сторінок тексту, підготовленого в системі LaTeX; включає 38 таблиць і 38 рисунків. Бібліографія нараховує 263 найменування.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

1. У першому розділі праці зроблено огляд стану проблем за тематикою дисертації. Спершу в підрозділі 1.1 здійснено постановки початково-крайових задач в необмеженій просторовій області. Нехай - така необмежена область, що її доповнення - обмежене і однозв'язне з границею . Позначимо і , де . Розглядається задача відшукання обмеженої, відповідну кількість разів неперервно-диференційованої функції , яка задовольняє рівняння

(1.1)

з постійними коефіцієнтами і ,

однорідні початкові умови

(1.2)

та граничну умову

(1.3)

де або , - одиничний вектор зовнішньої нормалі до і - задана функція, для якої виконується умова узгодженості. Відомо, що при належній гладкості функції та границі початково-крайова задача (1.1) - (1.3) має єдиний класичний розв'язок . Зауважимо, що постановка (1.1) - (1.3) включає в себе, як окремі випадки, першу і другу початково-крайові задачі для рівнянь теплопровідності, хвильового та телеграфного.

Далі, в цьому підрозділі проаналізовано існуючі способи чисельного розв'язування сформульованих задач, які грунтуються на методі граничних інтегральних рівнянь. При цьому основну увагу зосереджено на застосуванні методу інтегральних перетворень (зокрема, перетворення Лапласа) та методу Роте по часовій змінній з метою часткової дискретизації початково-крайової задачі і на подальшому використанні інтегральних рівнянь. Показано головні недоліки цих підходів:

· у випадку поєднання перетворення Лапласа та інтегральних рівнянь виникають проблеми знаходження оригіналу за наближено обчисленим зображенням;

· для класичного методу Роте та інтегральних рівнянь з'являється потреба у використанні об'ємних інтегралів для інтегрального представлення розв'язків стаціонарних задач.

Як методи, що позбавлені таких вад, розглядаються комбінації перетворення Лагерра або методу Роте з граничними інтегральними рівняннями.

У підрозділі 1.2 здійснено короткий огляд проблем, пов'язаних із використанням методу граничних інтегральних рівнянь, зокрема, приділено увагу дослідженню їх коректності та чисельному розв'язуванню. Основний акцент звернено на інтегральні рівняння першого роду. Далі в цьому ж підрозділі обговорюються такі методи наближеного розв'язування інтегральних рівнянь як Гальоркіна, колокації, квадратур і регуляризації Тихонова та мотивується подальше використання методу квадратур.

У підрозділі 1.3 розглянуто існуючий стан в напрямі чисельного розв'язування обернених граничних задач нестаціонарної теплопровідності. Задачі такого типу полягають у реконструкції частини границі області, де відбувається процес теплопровідності, по заданих даних Коші на відомій частині границі. Відмічається, що чисельні методи розв'язування цих задач розроблено лише для областей і граничних функцій спеціального виду.

В кінці кожного із розділів дисертації наведено висновки, які містять перелік отриманих у них результатів.

2. У другому розділі дисертації основна увага зосереджена на чисельному розв'язуванні початково-крайових задач у необмежених областях за допомогою методу граничних інтегральних рівнянь. Застосування перетворення Лагерра і методу Роте за часовою змінною приводять до необхідності знаходження розв'язків послідовності граничних задач для еліптичних рівнянь.

Зауважимо, що параметри , та приймають конкретні значення в залежності від способу отримання системи (2.1) - (2.3). У підрозділі 2.1 розвивається метод граничних інтегральних рівнянь для задач (2.1) - (2.3). Спершу вводиться поняття фундаментальних розв'язків для послідовності рівнянь (2.1) і встановлюється їх вигляд.

Означення 2.1.2. Функції, які задовольняють співвідношення будемо називати фундаментальними розв'язками рівнянь (2.1).

Для знаходження фундаментальних розв'язків розглянемо модифіковані функцiї Бесселя виду порядку 0 та 1, відповідно, з відомими аналітичними функціями,,, і введемо поліноми та таким чином: з коефіцієнтами, що визначаються за рекурентними. Має місце

Теорема 2.1.3. Послідовність функцій є фундаментальними розв'язками рівнянь системи (2.1).

За допомогою функцій для розв'язків системи (2.1) побудовано інтегральні представлення типу потенцiалів простого та подвiйного шару відповідно, з густинами для, і встановлено їх поведінку при переході через та зв'язок між ними.

За допомогою потенціалів (2.5) та (2.6) систему стаціонарних граничних задач (2.1) - (2.3) зведено до систем відповідних граничних інтегральних рівнянь.

Теорема 2.1.7. Потенціал простого шару, заданий як (2.5), є розв'язком системи граничних задач Дiрiхле (2.1) - (2.3), якщо його густини визначаються з інтегральних рiвнянь першого роду. Потенцiал подвійного шару, заданий як (2.6), є розв'язком системи граничних задач Дiрiхле (2.1) - (2.3), якщо його густини визначаються з iнтегральних рiвнянь другого роду.

Теорема 2.1.8. Потенціал простого шару, заданий як (2.5), є розв'язком системи граничних задач Неймана (2.1) - (2.3), якщо його густини визначаються з інтегральних рівнянь другого роду. Потенцiал подвiйного шару, заданий як (2.6), є розв'язком системи граничних задач Неймана (2.1) - (2.3), якщо його густини визначаються з iнтегральних рiвнянь першого роду.

За припущення, що гранична крива має регулярне параметричне представлення, після ряду еквівалентних перетворень отримано відповідні системи періодичних інтегральних рівнянь. Зокрема для задач Діріхле:

а) інтегральні рівняння першого роду (відповідно до (2.7))

б) інтегральні рівняння другого роду (відповідно до (2.8))

Встановлено коректність виписаних інтегральних рівнянь у просторах Соболєва - періодичних функцій.

Теорема 2.1.10. Для кожних система iнтегральних рiвнянь першого роду задачі Дiрiхле (2.11) має єдиний розв'язок.

Для кожних система iнтегральних рiвнянь другого роду задачi Дiрiхле (2.12) має єдиний розв'язок. В обох випадках розв'язок неперервно залежить від.

Аналогічні дослідження проведено для інтегральних рівнянь задач Неймана. В цьому випадку для системи (2.10) одержано періодичні гіперсингулярні інтегральні рівняння першого роду, а для (2.9) - періодичні інтегральні рівняння другого роду, структура ядер яких така ж, як і в (2.12). Далі у цьому ж підрозділі розглянуто процедуру параметризації інтегральних рівнянь першого роду задач Діріхле та Неймана у випадку гладкої розімкненої кривої. У випадку достатньо гладких граничних функцій для шуканих густин є відомою їх асимптотична поведінка на кінцях кривої. Наприклад, для випадку задач Діріхле густини мають кореневу особливість. За допомогою -підстановки у процесі параметризації і ряду еквівалентних перетворень вдалось отримати інтегральні рівняння, ядра яких мають структуру, аналогічну до випадку замкненої граничної кривої. Показано коректність цих інтегральних рівнянь у просторах Соболєва парних функцій (для умов Діріхле) і непарних функцій (для умов Неймана).

У підрозділі 2.2 розроблено методи квадратур для чисельного розв'язування отриманих інтегральних рівнянь. З цією метою спершу на рівномірному розбитті, , розглядаються квадратурні формули, що будуються шляхом тригонометричної інтерполяції неперервної частини підінтегрального виразу і подальшого точного інтегрування з відомими ваговими функціями. Показано адаптованість цих квадратурних правил до властивостей гладкості підінтегральної функції. Для чисельного розв'язування інтегральних рівнянь другого роду розроблено метод Нистрьома. Застосовуючи квадратурні формули (2.13) і (2.14) до інтегралів системи (2.12), отримано апроксимаційні рівняння, повна дискретизація яких здійснена методом колокації з використанням в якості точок колокації вузлів квадратурних формул. В результаті одержано послідовність систем лінійних рівнянь з однаковою матрицею і рекурентними правими частинами.

Тут, і. Зауважимо, що, визначивши із системи лінійних рівнянь (2.15) значення, для обчислення маємо з (2.15) таку природну апроксимацію.

В цьому ж підрозділі за допомогою методу квадратур здійснено чисельне розв'язування систем інтегральних рівнянь першого роду (2.11). Для обчислення інтегралів використано квадратурні формули (2.13), (2.14) і з відомими вагами. Ця формула також отримана шляхом тригонометричної інтерполяції гладкої частини підінтегрального виразу. Після колокації у вузлах інтегрування отримаємо послідовність систем лінійних рівнянь.

За відомими розв'язками системи наближення будується шляхом інтерполяції у просторі тригонометричних поліномів.

Подібним чином у цьому ж підрозділі розроблено методи чисельного розв'язування інтегральних рівнянь задач Неймана та інтегральних рівнянь для випадку розімкненого контура.

Далі здійснено аналіз збіжності і оцінку похибки цих методів у банахових і гільбертових просторах. Зокрема, доведено такі твердження.

Теорема 2.2.4. (Аналіз методу типу Нистрьома в просторах Соболєва). Для достатньо великих і для існують єдині розв'язки систем лінійних рівнянь (2.15) і для, обчисленого через (2.16).

Теорема 2.2.5. (Аналіз методу квадратур у просторах Соболєва). Для достатньо великих і для існують єдині розв'язки із (2.17).

У підрозділі 2.3 показано, як розроблені метод граничних інтегральних рівнянь і метод квадратур застосовуються у випадку осесиметричних задач.

У підрозділі 2.4 приведено алгоритми розроблених методів розв'язування еволюційних задач у необмежених просторових областях. Зокрема, наближений розв'язок задачі Діріхле (1.1) - (1.3) знаходиться, наприклад, за формулами:

Ш для поєднання методу Роте та інтегральних рівнянь першого роду

Ш для поєднання перетворення Лагерра та інтегральних рівнянь першого роду

Для двошарового варіанту методу Роте для рівняння теплопровідності знайдено наступну оцінку похибки.

Теорема 2.4.1. Припустимо, що гранична функція є двічі неперервно диференційована відносно часової змінної.

У підрозділі 2.5 наведено результати чисельних експериментів наближеного розв'язування прямих нестаціонарних задач для параболічних і гіперболічних рівнянь розробленими методами. Проведені обчислення показують застосовність цих методів і підтверджують отримані теоретичні оцінки похибок.

Результати, отримані у другому розділі, опубліковані в [1-6, 9, 10, 16, 18, 23-25].

3. У третьому розділі дисертації результати, отримані у попередніх розділах, переносяться на випадок векторних диференціальних рівнянь механіки суцільного середовища. У підрозділі 3.1 розглядається початково-крайова задача для системи рівнянь Стокса.

Тут - число Рейнольдса, і - невідома вектор-функція, - оператор набла, div позначає дівергенцію і - задана вектор-функція, яка задовольняє умову узгодженості. На рівномірній сітці апроксимуємо розв'язок послідовністю,, яка задовольняє систему граничних задач.

Означення 3.1.2. Пара, утворена матрицею зі стовпцями,, і вектором називається фундаментальними розв'язками системи (3.6), (3.7).

Тут - одинична матриця, - функція Дірака і диференціювання в (3.10) здійснюється відносно.

Введемо послідовність функцій, де і визначаються згідно (2.4). Всі функції і константи з від'ємним індексом вважаються рівними нулю. Має місце

Теорема 3.1.3. Пара з є фундаментальними розв'язками (3.6), (3.7). Для системи (3.6), (3.7) розглянемо потенціали простого шару для векторного поля і тиску.

Теорема 3.1.5. Потенціал простого шару розв'язує систему граничних задач (3.6) - (3.9), якщо густини задовольняють систему інтегральних рівнянь першого роду.

Далі у цьому підрозділі показано застосовність розробленого у другому розділі методу квадратур для системи інтегральних рівнянь (3.11).

У підрозділі 3.2 розглянуто дифракцію гармонійних за часом пружних хвиль на плоскій тріщині, де функція є ін'єктивною і нескінченно диференційованою. Припустимо, що тріщина знаходиться в ізотропному однорідному пружному середовищі з константами Ляме і, і. Тоді поле відбитої хвилі описується як розв'язок рівняння Нав'є, де - частота. Повне поле задається як суперпозиція відбитого поля і падаючого поля. На заданій тріщині повне поле повинно задовольняти граничну умову Неймана з оператором сліду. Крім того, для забезпечення єдиності відбите поле задовольняє радіальну умову Купрадзе рівномірно у всіх напрямках (). Тут поперечні і поздовжні хвилі і визначаються як, і асоційовані хвильові числа задані як,, відповідно.

Cтатичний потенціал подвійного шару з вектор-густиною на визначається наступним чином, де фундаментальний розв'язок має вигляд

Теорема 3.2.2. Нехай є такою, що і є диференційованою на так, що похідна є локально рівномірно неперервною за Гьольдером на і інтегрована на .

Далі розглядається динамічний потенціал з вектор-густиною на і фундаментальним розв'язком рівняння Нав'є (3.12).

Теорема 3.2.3. Потенціал подвійного шару (3.15) розв'язує задачу дифракції (3.12) - (3.14), якщо густина задовольняє умови теореми 3.2.2 і інтегральне рівняння..

Виходячи з того, що, і зважаючи на теорему 3.2.2 приходимо до висновку, і ядра,. Здійснюючи далі підстановки і, і домножуючи ліву і праву частини на, рівняння (3.17).

Для і позначимо через простори -разів рівномірно неперервно диференційованих за Гьольдером непарних -періодичних вектор-функцій.

Лема 3.2.5. Для і гіперсингулярне інтегральне рівняння (3.18) має єдиний розв'язок.

Метод квадратур з використанням квадратурних формул (2.13), (2.14), де відомі функції, приводить до системи лінійних рівнянь для і. Аналіз збіжності і оцінку похибки наведено у наступному твердженні.

Теорема 3.2.7. Для і достатньо великого система (3.19) має єдиний непарний розв'язок і для точного розв'язку з (3.18) справедлива оцінка похибки для, і, залежної від,,,.

Тепер можна знайти наближені розв'язки задачі дифракції (3.12) - (3.14) або інші характеристики процесу, наприклад, діаграми направленості.

У підрозділі 3.3 розглянуто застосування методу граничних інтегральних рівнянь до однієї граничної задачі статичної пружності у двозв'язній області на площині. За допомогою теорії потенціалів задачу зведено до системи інтегральних рівнянь першого роду з регулярним, логарифмічним і гіперсингулярним ядрами. Показано їх коректність і застосовано метод квадратур для наближеного розв'язування.

Підрозділ 3.4 містить результати чисельних експериментів для прямих задач, розглянутих у третьому розділі. На ряді модельних прикладів продемонстровано високу ефективність розроблених чисельних методів і підтверджено отримані теоретичні оцінки. Результати розділу опубліковано у статтях [14, 20, 27].

4. У четвертому розділі розглянуто чисельне розв'язування еволюційних задач на границі двовимірної області. Тут певне диференціально-операторне рівняння є вже заданим на границі області й інтегральні рівняння використовуються для явного подання заданого операторного рівняння. У підрозділі 4.1 вивчаються питання наближеного розв'язування еволюційних задач на гладкій замкненій кривій. Спочатку розглядається випадок рівняння з першою похідною за часом. Нехай у задана обмежена однозв'язна область з границею. Нехай функція є розв'язком граничної задачі

Визначимо відображення Діріхле - Неймана як оператор, де - одиничний вектор зовнішньої нормалі до границі.Для фіксованого оператор є самоспряженим і додатно визначеним в. Еволюційна задача полягає у наступному: необхідно знайти таку функцiю.

. Часткову дискретизацію задачі (4.1) здійснено за допомогою перетворення Келлі. В результаті розв'язок задачі (4.1) подається у вигляді, де - поліноми Лагерра і,. Тут - перетворення Келлі оператора. Нескладні перетворення показують, що функції визначаються з рекурентної послідовності операторних рівнянь.

Далі, в залежності від способу визначення вигляду оператора, отримано різні інтегральні рівняння з системи (4.2). Наприклад, для випадку, коли - одиничне коло послідовність (4.2) за допомогою інтеграла Пуассона редукується до гіперсингулярних інтегральних рівнянь другого роду. Встановлено коректність цих інтегральних рівнянь у відповідних просторах Соболєва і здійснено їх чисельне розв'язування методом Нистрьома. В результаті чисельний розв'язок вихідної задачі обчислюється як наближений розв'язок рівнянь (4.3), (4.4) з використанням квадратурних вузлів. Показано, що для достатньо великих і має місце оцінка похибки.

Для випадку довільної гладкої замкненої кривої через використання потенціалів простого або подвійного шару операторні рівняння (4.2) зведено до інтегральних рівнянь другого роду з логарифмічними або гіперсингулярними ядрами відповідно. Повна дискретизація здійснена методом Нистрьома.

Для чисельного розв'язування еволюційної задачі з другою похідною за часом використано поєднання перетворення Лагерра і граничних інтегральних рівнянь другого роду.

У підрозділі 4.3 розглянуто еволюційну задачу, що виникає при поширенні гравітаційних хвиль у каналі з вільною поверхнею. Сформулюємо її.

Необхідно знайти функцію, яка задовольняє еволюційне рівняння другого порядку і початкові умови, де - задана константа,, і - задані функції на .

Тут фіксована двовимірна область з границею. У випадку поперечного перерізу каналу область є обмежена з кутовими точками і (див. Рис.1), які мають внутрішні кути і, відповідно. Область є частково необмеженою (смуга) у випадку поздовжнього перерізу і (див. Рис.2).

У випадку обмеженої області розв'язок граничної задачі (4.7), (4.8) подамо у формі потенціалу простого шару.

В результаті отримуємо таке інтегральне подання оператора .

Зауважимо, що густина в (4.9) має асимптотичну поведінку в околі. Після застосування до еволюційної задачі (4.5), (4.6) перетворення Лагерра і після цього інтегрального подання для оператора приходимо до системи інтегральних рівнянь другого роду

Чисельне розв'язування рівнянь (4.10) здійснено методом Нистрьома, причому для усунення особливостей в густинах під час параметризації використано спеціальну нелінійну заміну змінних.

Очевидно, що тоді,,.Для випадку частково-необмеженої області використано функцію Гріна рівняння Лапласа для нижньої півплощини

В результаті отримано системи інтегральних рівнянь, які після параметризації мають вигляд, де - шукані функції, - відомі достатньо гладкі ядра.

Метод Нистрьома для інтегральних рівнянь (4.11) грунтується на -квадратурах, де і - відомі вагові функції. Обидві квадратурні формули отримані шляхом заміни функцій і на їх -апроксимації і подальшого точного інтегрування.

У підрозділі 4.3 приведено результати чисельних експериментів для наближеного розв'язування еволюційних задач на кривих пропонованими методами. Результати цього розділу опубліковані в [15, 17, 19, 21, 31].

5. П'ятий розділ дисертації присвячений дослідженню і чисельному розв'язуванню обернених задач нестаціонарної теплопровідності. При цьому використовуються методи граничних інтегральних рівнянь, розроблені у попередніх розділах. У підрозділі 5.1 спочатку зроблено постановки різних обернених задач реконструкції у випадку обмежених областей. Нехай і - дві обмежені однозв'язні області в такі, що. Припустимо, що границі областей і є з класу, позначимо їх як і, відповідно. Нехай, і- задана функція на. Нехай,, - непуста відкрита підмножина і - зовнішня нормаль до . Функція задовольняє рівняння теплопровідності та нульовій початковій умові.

Обернена гранична задача Iа. Припускаючи, що за відомим потоком на визначити криву . Обернена гранична задача Iб. Припускаючи, що за відомою температурою на визначити криву .

Обернена гранична задача IIа. Припускаючи, що за відомою температурою на визначити криву .

Обернена гранична задача IIб. Припускаючи, що за відомим потоком на визначити криву.

Встановлено єдиність розв'язків сформульованих обернених задач. Наприклад, для задачі Iа має місце твердження.

Теорема 5.1.3. Нехай і - дві обмежені області з спільною зовнішньою границею і внутрішніми границями і відповідно. Позначимо через і класичні розв'язки початково-крайової задачі (5.1) - (5.2) в областях і, відповідно, для. Припустимо, що теплові потоки обох розв'язків співпадають: на.Тоді.

Далі, досліджено диференційованість розв'язків початково-крайових задач відносно внутрішньої границі. Нехай - одиничне коло в.

Очевидно, є допустимою множиною внутрішніх граничних кривих з, де відображення. Узагальнені формулювання початково-крайових задач (5.1), (5.2) і (5.1), (5.4) визначають нелінійні оператори з в анізотропний простір Соболєва і з в простір і сформульовані обернені задачі Iа і IIа полягають у знаходженні розв'язків нелінійних рівнянь. Зафіксуємо і - деяке дійсне векторне поле. Тоді для достатньо малого існує обмежена область з границею, яка належить до. Розглянемо функцію як узагальнений розв'язок задачі (5.1) - (5.3) в області і визначимо похідну по області (граничній кривій) від нелінійного оператора по в напрямі .

Теорема 5.1.5. Нехай,, - слабкий розв'язок початково-крайової задачі (5.1) - (5.2). Тоді похідна по границі існує і задається як, де є розв'язком рівняння теплопровідності в слабкому сенсі і задовольняє нульову початкову і граничні умови.

Теорема 5.1.7. Нехай,, - слабкий розв'язок початково-крайової задачі (5.1), (5.4). Тоді похідна по границі існує і задається як, де є розв'язком рівняння теплопровідності в слабкому сенсі і задовольняє нульову початкову і граничні умови.

Як бачимо, теореми 5.1.5 і 5.1.7 не лише встановлюють факт диференційованості операторів і по, а й дають конструктивні представлення їх похідних. В цьому ж підрозділі показано, що ядра лінійних операторів і мають вигляд. Для уникнення такої неєдиності розглядаються зіркові області, тобто такі, що параметричне представлення кривої задається як, де є додатна - періодична функція. Відповідно поле змін між такими двома кривими має вигляд. Чисельне розв'язування поставлених нелінійних обернених задач здійснено у підрозділах 5.1.3 та 5.1.4 за допомогою методу Ньютона і методу Ландвебера, відповідно. Для цього обернена задача записується у вигляді нелінійного операторного рівняння відносно внутрішньої границі, де або і - виміряний потік або температура на. Враховуючи вибране зіркове параметричне представлення для і припускаючи, що, оператор інтерпретується як відображення з в і далі використовується позначення замість. Після лінеаризації (5.7) отримуємо рівняння, яке необхідно розв'язати відносно функції при фіксованому . Тоді нове наближення радіальної функції , яка визначає криву , обчислюється як. Апроксимація функції здійснюється в скінченновимірному підпросторі розмірності простору, тобто, де - базис цього підпростору. В результаті з лінеаризованого рівняння (5.8) методом колокації отримуємо лінійну систему рівнянь для визначення коефіцієнтів. Оскільки в загальному випадку, то система (5.9) є перевизначеною і для її розв'язування необхідно використовувати метод найменших квадратів. Крім того, оскільки лінеаризоване рівняння (5.8) зберігає некоректність початкового рівняння (5.7), то для забезпечення стійкості наближеного обчислення застосовується регуляризація Тихонова. Отже, у випадку системи (5.9) мінімізується така штрафна функція з деяким малим параметром регуляризації. Як критерій завершення ітераційного процесу Ньютона може використовуватись умова, де - задана точність, або можна порівнювати у тій чи іншій нормі задану додаткову інформацію на з обрахованою для чергового наближення кривої .

Для застосування методу Ландвебера до розв'язування нелінійного рівняння (5.6) у підрозділі 5.1.4 встановлено вигляд спряженого до оператора.

Теорема 5.1.9. Нехай. Тоді спряжений оператор має вигляд, де є розв'язком початково-крайової задачі.

Для наближеного розв'язування нелінійного рівняння (5.6) застосовано ітераційний метод Ландвебера.

Цей метод має регуляризуючі властивості лише тоді, коли ітерації будуть зупинені в "правильний момент", тобто лише до певного кроку зупинки , наближення дає стійку і надійну апроксимацію точного розв'язку. Критерієм зупинки ітераційного процесу (5.10) служить принцип нев'язки.

У підрозділі 5.2 отримані результати наближеного розв'язування обернених нестаціонарних задач методом Ньютона перенесено на випадок частково-необмеженої області - півплощини з обмеженим включенням.

Підрозділ 5.3 містить чисельне розв'язування оберненої граничної задачі стаціонарної теплопровідності за допомогою гібридного методу. Відповідна пряма задача полягає у наступному: нехай - двозв'язна область в з границею, яка складається з двох кривих з: і - таких, що міститься всередині. Для заданої функції на шукаємо гармонійну функціу, яка задовольняє граничні умови на і на.

Обернена задача: за відомими даними Діріхле на з і даними Неймана на, визначити вигляд внутрішньої кривої .

Розв'язок прямої задачі подається як, з і,, де - функція Гріна для області в середині, що приводить до інтегрального рівняння.

Теорема 5.3.1. Оператор є ін'єктивним і має щільний ранг.

Наступний підхід до розв'язування оберненої задачі базується на тому, що нормальна похідна розв'язку прямої задачі через потенціал простого шару може бути подана у вигляді, де - розв'язок рівняння (5.11). Для опису алгоритму зручно параметризувати внутрішню криву. Для простоти знову розглядаються зіркові області, тобто такі, що параметризація кривих, які їх обмежують, має вигляд, де є -періодична радіальна функція. Зауважимо, що концепція, описана нижче, в принципі не обмежується лише зірковими областями. Залежність від для кривої позначається як і відповідні оператори для позначимо як і. Тепер з огляду на (5.12), задані дані і біжучу апроксимацію з радіальною функцією для невідомої кривої, розв'язуємо некоректне лінійне інтегральне рівняння, наприклад, методом регуляризації Тихонова. Далі визначаємо функцію і розглядаємо її як апроксимацію розв'язку прямої задачі. Це приводить до процедури корекції границі шляхом обчислення нової радіальної функції через задоволення граничної умови на через лінеаризацію. За формулою Тейлора це відповідає рівнянню.

Для наближеного розв'язування це рівняння "колокується" в рівновіддалених точках і далі розв'язується в середньоквадратичному сенсі відносно скінченновимірного підпростору для отримання корекції . Для врахування некоректності рівняння (5.13) у методі найменших квадратів вводиться штрафний доданок для регуляризації, тобто мінімізується функція з певним параметром регуляризації і деяким індексом Соболєва через апроксимацію інтегралів методом трапецій.

Підрозділ 5.4 містить ряд чисельних експериментів реконструкції границь розробленими методами та їхнє порівняння. Результати, отримані у п'ятому розділі, опубліковані у працях [7, 8, 11-13, 22, 26, 29-30].



ВИСНОВКИ

У дисертаційній праці для наближеного розв'язування різних прямих і обернених еволюційних задач запропоновано ряд чисельних методів, що грунтуються на граничних інтегральних рівняннях.

Основні результати:

1. Створено метод квадратур (дискретної колокації) на основі тригонометричної інтерполяції для чисельного розв'язування систем періодичних інтегральних рівнянь першого й другого роду з логарифмічною та гіперсингулярною особливостями. Розглянуто випадки гладкої замкненої кривої, гладкої розімкненої кривої і замкненої кривої з кутовими точками. Обгрунтовано збіжність і оцінено похибку методу.

2. Розроблено комбінації методу Роте, перетворення Лагерра з методом граничних інтегральних рівнянь для наближеного розв'язування прямих еволюційних задач у необмежених областях. Обгрунтовано збіжність і знайдено оцінку похибки для методу Роте.

3. Поширено створені методи на випадок осесиметричних задач нестаціонарної теплопровідності з тороїдальними замкненими і розімкненими поверхнями.

4. Розроблено поєднання методів Роте і інтегральних рівнянь для початково-крайових задач гідродинаміки.

5. Застосовано метод граничних інтегральних рівнянь до задачі дифракції гармонійних хвиль у пружному середовищі з криволінійною тріщиною. Досліджено коректність отриманих рівнянь і розроблено метод дискретної колокації для їх наближеного розв'язування.

6. Застосовано метод граничних інтегральних рівнянь для плоскої граничної задачі теорії пружності у двозв'язній області. Встановлено коректність отриманих інтегральних рівнянь і розроблено метод дискретної колокації для їх чисельного розв'язування.

7. Розроблено метод перетворення Келлі й інтегральних рівнянь для еволюційних задач для рівняння з першою похідною за часом на многовиді.

8. Розроблено метод перетворення Лагерра й інтегральних рівнянь для еволюційної задачі, що описує поширення гравітаційних хвиль у каналі з вільною поверхнею. Розглянуто випадки поздовжнього перерізу (обмежена двовимірна область з кутовими точками) та поперечного перерізу (частково необмежена двовимірна область типу смуги).

9. Досліджено єдиність розв'язків обернених граничних задач теплопровідності, доведено існування похідних за границею області для відповідних нелінійних операторів, запропоновано конструктивний спосіб обчислення цих похідних.

10. Розроблено метод Ньютона з регуляризацією і регуляризуючий метод типу Ландвебера для наближеного розв'язування розглядуваних обернених задач. Шляхом обчислювального експерименту показано переваги методу Ньютона для випадку неопуклих областей, а методу Ланд вебера для опуклих.

11. Розроблено гібридний метод для чисельного розв'язування обернених граничних задач стаціонарної теплопровідності.

Частина результатів, отриманих в даній дисертації, були використані і отримали подальший розвиток у працях інших авторів (див., наприклад, посилання [95, 96, 158, 162, 186, 199, 200, 226, 237] дисертації). Все це дозволяє зробити висновок, що дисертація є подальшим кроком у розвитку методу граничних інтегральних рівнянь для прямих і обернених еволюційних задач і її результати можуть бути використанні при наближеному розв'язуванні різноманітних прикладних задач.



ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ У ПРАЦЯХ

1. Галазюк В.А., Хапко Р.С. Методи інтегрального перетворення Чебишева-Лагерра та інтегральних рівнянь у початково-крайових задачах для телеграфного рівняння // Доп. АН УРСР. Сер.А.- 1990.- 8.- С.11-14.

2. Іванишин О., Хапко Р. Про чисельне розв'язування однієї задачі нестаціонарної теплопровідності у двозв'язній області // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ.- 2002.- Вип. 6.- С. 46-56.

3. Хапко Р.С. Метод квадратур для iнтегральних рiвнянь першого роду iз логарифмiчною особливiстю в ядрi // Доп. АН України.- 1993.- 5.- С.36-40.

4. Хапко Р.С. О численном решении начально-краевых задач в неограниченных двумерных областях // Тезисы докладов международной конференции "Информатика, вычислительная и прикладная математика: теория, приложения, перспективы". 4-6 октября 1996г. Киев, 1996. С. 62-63.

5. Хапко Р.С. О численном решении внешних задач нестационарной теплопроводности методом интегральных уравнений // Журнал обчислювальної та прикладної математики.- 1997.- 82.- С.90-96.

6. Хапко Р.С. Про методи Роте та інтегральних рівнянь для чисельного розв'язування другої початково-крайової задачі для телеграфного рівняння // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат.- 1998.- Вип.50.- С.203-209.

7. Хапко Р.С. Про чисельне розв'язування однієї оберненої задачі нестаціонарної теплопровідності в частково-необмеженій області // Вісник державного ун-ту "Львів. політехніка". Прикл. матем.- 1998.- Вип.337.- С.404-407.

8. Хапко Р.С. Про чисельне розв'язування обернених граничних задач нестаціонарної теплопровідності на площині // Вісник державного ун-ту "Львів. політехніка". Прикл. матем.- 1999.- Вип.364.- С.135-141.

9. Хапко Р.С. О численном решении первой начально-краевой задачи для телеграфного уравнения в случае разомкнутой границы // Журнал обчислювальної та прикладної математики.- 2000.- 85.- С.76-88.

10. Хапко Р. Про чисельне розв'язування граничної задачі Діріхле для рівняння Гельмгольца у випадку замкнених і розімкнених тороїдальних поверхонь // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ.- 2002.- Вип. 4.- С.67-75.

11. Хапко Р.С. Про метод інтегральних рівнянь для чисельного розв'язування обернених граничних задач нестаціонарної теплопровідності // Тези доповідей міжнародної конференції "Проблеми чисельного аналізу і прикладної математики". 13-16 вересня 2004р. Львів, 2004.- С.55-56.

12. Хапко Р., Вінтоняк Н. Про методи Ландвебера та інтегральних рівнянь для оберненої граничної задачі нестаціонарної теплопровідності в частково необмеженій області // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ.- 2004.- Вип.8.- С.77-90.

13. Chapko R. On the numerical solution of direct and inverse problems for the heat equation in a semi-infinite region // Journal of Computational and Applied Mathematics.- 1999.- 108.- P.41-55.

14. Chapko R. On the combination of Rothe's method and boundary integral equations for the nonstationary Stokes equation // Journal of Integral Equations and Applications.- 2001.- 13.- P.99- 116.

15. Chapko R. On the numerical solution of the hyperbolic evolution problem on closed curve // Proceedings of the Annual GAMM meeting in Gцttingen GAMM: 2000, Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik.-2001.- 81 (Suppl.3).- P.757-758.