Чисельне розв’язування лінійних прямих і нелінійних обернених еволюційних задач

16. Chapko R. On the combination of some semi-discretization methods and boundary integral equations for the numerical solution of initial boundary value problems // Proceedings of the Annual GAMM meeting in Zьrich: GAMM 2001, Proc. Appl. Math. Mech.-2002.- 1.-P.424-425.

17. Chapko R. On an integral equation method for the numerical solution of an evolution problem in a channel with free boundary // Український математичний конгрес - 2001. Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки. Секція 8. - Київ, 2002. - С. 24-35.

18. Chapko R. On the numerical solution of the first initial boundary value problems for heat equation in the torus case // Journal of Engineering Mathematics.- 2002.- 43.- P.75-87.

19. Chapko R. The numerical solution of the evolution problem of the second order in time on the closed smooth boundary // Journal of Computational and Applied Mathematics.- 2002.- 145.-P.493-503.

20. Chapko R. On the numerical solution of a boundary value problem in the plane elasticity for a double-connected domain // Mathematics and Computers in Simulation.- 2004.- 66.- P.425-438.

21. Chapko R. An integral equation method for the numerical analysis of gravity waves in a channel with free boundary // Applied Mathematics and Computation.- 2004.- 159.- P. 247-266.

22. Chapko R., Ivanyshyn O. On the numerical methods based on integral equations for inverse parabolic problems // Журнал обчислювальної і прикладної математики.- 2003.- 1 (88).- С.4-16.

23. Chapko R., Kress R. On a quadrature method for a logarithmic integral equation of the first kind // In Agarwal, ed.: World Scientific Series in Applicable Analysis.- Vol. 2. Contributions in Numerical Mathematics.-World Scientific, Singapore, 1993.- P.127-140.

24. Chapko R., Kress R. Rothe's method for the heat equation and boundary integral equations // Journal of Integral Equations and Applications.- 1997.- 9.- P.47-69.

25. Chapko R., Kress R. On the numerical solution of initial boundary value problems by the Laguerre transformation and boundary integral equations // In Agarwal, O'Regan, eds. Integral and Integrodifferential Equations: Theory, Methods and Applications. Series in Mathematical Analysis and Applications.- Vol.2, Cordon and Breach Science Publishers, Amsterdam.- 2000.- P. 55-69.

26. Chapko R., Kress R. A hybrid method for inverse boundary value problems in potential theory // J. of Ill-Posed and Inverse Problems.- 2005.- 13.- P.27-40.

27. Chapko R., Kress R., Mцnch L. On the numerical solution of a hypersingular integral equation for elastic scattering from a planar crack // IMA Journal of Numerical Analysis.- 2000.- 20.- P.601-619.

28. Chapko R., Kress R., Yoon J.-R. On the numerical solution of an inverse boundary value problem for the heat equation // Inverse Problems.- 1998.- 14.- P.853-867.

29. Chapko R., Kress R., Yoon J.-R. An inverse boundary value problem for the heat equation: the Neumann condition // Inverse Problems. - 1999.- 15.- P.1033-1046.

30. Chapko R., Kьgler Ph. A comparison of the Landweber method and the Gauss-Newton method for an inverse parabolic boundary value problem // Journal of Computational and Applied Mathematics.- 2004.- 169.- P.183-196.

31. Gavrilyuk I, Makarov V, Chapko R. On the numerical solution of linear evolution problems with an integral operator coefficient // Journal of Integral Equations and Applications.- 1999.- 11.- P.37-56.

АНОТАЦІЇ

Хапко Р.С. Чисельне розв'язування лінійних прямих і нелінійних обернених еволюційних задач. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 - обчислювальна математика.

Дисертація присвячена побудові та обгрунтуванню чисельних методів для прямих і обернених еволюційних задач за допомогою інтегральних рівнянь. Для наближеного розв'язування початково-крайових задач у необмежених областях спочатку здійснюється їх часткова дискретизація методом Роте або через перетворення Лагерра. Далі стаціонарні граничні задачі редукуються до граничних інтегральних рівнянь. Повна дискретизація здійснюється методом квадратур з використанням тригонометричних квадратурних формул. Цей підхід застосовано для практично важливих задач гідромеханіки, механіки суцільного середовища і дифракції пружних хвиль. Еволюційні задачі для рівнянь з першою і другою похідними за часом на многовиді розв'язуються шляхом комбінації перетворення Келлі (або перетворення Лагерра) і методу інтегральних рівнянь. Окремо розглядається задача поширення гравітаційних хвиль у каналі з вільною поверхнею. Досліджено єдиність розв'язків обернених еволюційних задач реконструкції та диференційованість відповідних нелінійних операторів за границею області. Для наближеного розв'язування розвинуто регуляризуючі методи Ньютона і Ландвебера у поєднанні з методом граничних інтегральних рівнянь.

Ключові слова: еволюційні задачі в необмежених областях, еволюційні задачі з вільною поверхнею, рівняння Стокса, дифракція в пружному середовищі, метод Роте, перетворення Лагерра, системи інтегральних рівнянь, логарифмічні і гіперсингулярні ядра, метод квадратур, обернені граничні задачі теплопровідності, регуляризуючі методи Ньютона і Ландвебера.

Хапко Р.С. Численное решение линейных прямых и нелинейных обратных эволюционных задач. - Рукопись. (Укр.)

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.07 - вычислительная математика.

Диссертация посвящена построению и обоснованию численных методов для прямых и обратных эволюционных задач с помощью интегральных уравнений. Для приближенного решения начально-краевых задач в неограниченных областях сначала осуществляется их частичная дискретизация методом Роте или посредством преобразования Лагерра. Далее стационарные граничные задачи редуцируются к граничным интегральным уравнениям. Полная дискретизация осуществляется методом квадратур с использованием тригонометрических квадратурных формул. Показано применимость этого подхода для практически важных задач гидромеханики, механики сплошной среды и дифракции упругих волн. Эволюционные задачи для уравнений с первой и второй производными по времени на многообразиях решаются путем комбинации преобразования Келли (или преобразования Лагерра) и метода интегральных уравнений. Отдельно рассматривается задача распространения гравитационных волн в канале со свободной поверхностью. Исследовано единственность решений обратных эволюционных задач реконструкции и дифференцированность соответствующих нелинейных операторов по границе области. Для приближенного решения развито регуляризирующие методы Ньютона и Ландвебера в сочетании с методом граничных интегральных уравнений.

Ключевые слова: эволюционные задачи в неограниченных областях, эволюционные задачи со свободной поверхностью, уравнение Стокса, дифракция в упругой среде, метод Роте, преобразование Лагерра, системы интегральных уравнений, логарифмические и гиперсингулярные ядра, метод квадратур, обратные граничные задачи теплопроводности, регуляризирующие методы Ньютона и Ландвебера.

R.S. Chapko (Khapko). A numerical solution of the linear direct and non-linear inverse evolution problems. - A manuscript (in Ukrainian).

A thesis presented for the Degree of Doctor of Physics and Mathematics in speciality 01.01.07 - computational mathematics.

The dissertation is concerned with the numerical solution of the following evolution problems: a) the exterior linear planar initial boundary value problems for the homogeneous heat, wave and telegraph equations with the homogeneous initial conditions and the Dirichlet or Neumann boundary condition; b) initial boundary value problem for Stokes equation; c) linear evolution problems with an integral operator coefficient; d) inverse boundary problems for the heat equation to determine the shape of an inclusion within the heat conducting medium from the overdetermined Cauchy data.

In the Chapter 1 a review of the papers and monographs on the considered problems is presented. For semi-discretization of the direct evolution problems we suggest to use in Chapter 2 the Rothe method and the Laguerre transformation. Each of these ways gives a possibility to reduce the formulated problems to the system of boundary value problems for the nonhomogeneous elliptic equations. By special integral representations we obtain for the stationary problems a system of boundary integral equations of the first or second kind. We show the existence of their solutions in the Banach and Hilbert spaces. The full discretization of the boundary integral equations is realized by the quadrature method using trigonometric interpolation. We show the convergence and find the error estimates for this method.

In the Chapter 3 we consider the numerical solution of evolution problems in various applications. Using Rothe's method, the exterior initial boundary value problem for the Stokes equation with Dirichlet boundary condition in is reduced to a system of boundary value problems for the Stokes resolvent equations. By a special approach we obtain a system of boundary integral equations and use a trigonometric quadrature method for the numerical solution. Also we describe here a fully discrete quadrature method for the numerical solution of a hypersingular integral equation of the first kind for the scattering of time-harmonic elastic waves by a cavity crack and an algorithm for numerical solution of some type of the inclusion problem in planar linear elastostatics.

In the Chapter 4 we present a method for the numerical solution of first order nonstationary problems with a pseudodifferential operator coefficient on a manifold. Using the Cayley transform we get an explicit representation of the exact solution and reduce the problem to a sequence of stationary equations which then are transformed into hypersingular integral equations of the second kind. We consider also in this Chapter the numerical solution of an evolution equation of second order on a boundary in that arises in the theory of gravity waves in fluids. First, by Laguerre transformation with respect to time we reduce the non-stationary problem to a sequence of operator equations. Then we different cross-section and longitudinal section cases of the channel. The potential theory for Laplace equation in a bounded domain with corners and the Green's function technique in a semi-infinite domain lead to systems of boundary integral equations of the second kind. For a full discretization we use a Nystrцm method. In the case of cross-section the trigonometrical quadrature rules in combination with special mesh grading transformation for the accounting of densities singularities in corners are applied. In the longitudinal section case the quadratures are based on -approximation.

For the considered in the Chapter 5 evolution inverse boundary problems the uniqueness of the solution and the differentiability of the solutions to the initial boundary value problems for heat equation with respect to the interior boundary curve in the cases Dirichlet and Neumann conditions have been established. The numerical solution of the inverse problems is realized by the regularized Newton and Landweber methods. These iteration schemes are based on a boundary integral equation approach to the corresponding initial boundary value problems for the heat equation. In the case of the semi-infinite region we use for the integral representation of the solution the heat single-layer potential with the Green's function. The numerical solution of the obtained integral equations is based on the quadrature method with the use of the sinc-quadrature rules. For the numerical solution of an inverse potential problem the hybrid method is developed.

The numerical examples of the solution of the nonstationary direct and inverse problems are presented.

Keywords: evolution problems in unbounded domains, evolution problems with free boundary, Stokes equation, elastic scattering, Rote method, Laguerre transformation, system of boundary integral equations, logarithmic and hypersingular kernels, quadrature method, inverse boundary value problems for heat equation, regularized Newton and Landweber methods, hybrid method.

Размещено на Allbest.ru