Размещено на http://allbest.ru

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

УДК 517.521.8

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ТАУБЕРОВІ ТА МЕРСЕРОВІ ТЕОРЕМИ ДЛЯ ДЕЯКИХ МЕТОДІВ ПІДСУМОВУВАННЯ ФУНКЦІЙ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ

01.01.01 - математичний аналіз

Деканов Станіслав Якович

Дніпропетровськ - 2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Національному педагогічному університеті

імені М. П. Драгоманова, Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник:

кандидат фізико-математичних наук, доцент МиХАЛІН Геннадій Олександрович, Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова, доцент кафедри математичного аналізу

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ТІМАН Майор Пилипович, Дніпропетровський державний аграрний університет,завідувач кафедри вищої математики

доктор фізико-математичних наук, професор ЗАДЕРЕЙ Петро Васильович, Київський національний університет технологій та дизайну, завідувач кафедри вищої математики

Провідна установа:

Інститут математики НАН України, відділ теорії наближення, м. Київ

Захист відбудеться “12” листопада 2004 року о 14³⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 08.051.06 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 18, к. 405.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Дніпропетровського національного університету за адресою: м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 8.

Автореферат розісланий “01” жовтня 2004 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Вакарчук М. Б.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У середині XX ст. досить потужною галуззю математичного аналізу стала теорія підсумовування розбіжних рядів. На той час багато відомих математиків зробили свій внесок у цю теорію. Серед них Л. Ейлер, Н. Абель, С. Пуассон, Г. Харді, Дж. Літтлвуд, Ф. Борель, О. Гельдер, Е. Чезаро, А. Таубер, Р. Шмідт, Е. Ландау, О. Тепліц, К. Кнопп, М. Ріс, Р. Агнью, Н. Вінер, Г. Ф. Вороний, А. Г. Постніков, А. М. Колмогоров та багато інших. Монографія Г. Харді “Розбіжні ряди” (1951 р.) завершила класичний етап розвитку теорії підсумовування і дала поштовх новим дослідженням. На наступних етапах здійснювалося узагальнення класичних результатів у таких напрямах:

1) перехід від числових послідовностей та функцій до векторнозначних;

2) від однократних - до n-кратних;

3) вивчення нових видів збіжності;

4) урахування швидкості збіжності тощо.

Просування в цих напрямах було нелегким, вимагало нових ідей, підходів, методів досліджень і досить часто приводило до вельми цікавих, навіть несподіваних, результатів.

Значний вклад у теорію підсумовування, зокрема, у тауберову теорію, вніс М. О. Давидов. У 1956 р. він запропонував новий спосіб одержання тауберових теорем - “спосіб (с)-точок”.

Давидовим було знайдено так звану (с)-властивість методів підсумовування Чезаро, з якої випливали як прості наслідки майже всі відомі раніше тауберові теореми для методів Чезаро. Постало питання про застосування аналогічного підходу до інших методів підсумовування.

Це питання продовжував вивчати М. О. Давидов разом із своїми учнями. При кафедрі математичного аналізу Київського педінституту під керівництвом Миколи Олексійовича розроблялися також такі питання як регулярність, консервативність, сумісність, включення, ефективність різних методів підсумовування, включення ядер, тауберові теореми та інші, діяв постійний семінар з теорії підсумовування розбіжних рядів.

Представниками школи Давидова отримано багато важливих результатів, які є значно сильнішими за аналогічні результати інших математиків, у тому числі закордонних.

Разом з цим залишилося багато цікавих нерозв'язаних питань. Деякі з них знайшли розв'язання у даній роботі.

По-перше, у мерсерових теоремах (тісно пов'язаних з неефективністю певних матриць) наводяться, переважно, тільки достатні умови. Природно виникає питання про послаблення цих умов і пошук необхідних або необхідних і достатніх умов у таких теоремах. З іншого боку, у мерсерових теоремах фігурують, як правило, числові параметри, котрі визначають певні класи неефективних матриць. Щоб дістати ширші класи неефективних матриць, можна спробувати замінити параметри-числа на параметри-послідовності.

По-друге, останнім часом почали з'являтися узагальнення класичних тауберових теорем шляхом заміни звичайної збіжності середніх статистичною збіжністю. Ці дослідження можна продовжувати, розглядаючи інші методи підсумовування простих і кратних послідовностей.

При цьому, безумовно, доцільно застосовувати “спосіб (с)-точок” М. О. Давидова, який, до того ж, був удосконалений та узагальнений Г. О. Михаліним у 1989 р. і набув ширших можливостей застосування. Зрештою, і подальша розробка “способу (с)-точок” для різноманітних методів підсумовування є перспективною.

Прагнучи до якомога повніших результатів, бажано працювати у лінійному топологічному просторі, використовувати узагальнені види збіжності, а в тауберових теоремах досліджувати і залишки.

Все сказане обумовлює актуальність теми дослідження.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційне дослідження проводилося згідно з річними планами наукової роботи кафедри математичного аналізу НПУ імені М. П. Драгоманова.

Мета і завдання дослідження. Підсилення деяких мерсерових теорем, узагальнення (с)-властивості методу Чезаро на деякі методи підсумовування простих і подвійних послідовностей у формі, яка дає тауберові теореми із залишком, а також одночасне узагальнення цих теорем на випадок статистичної збіжності або обмеженості середніх, причому для послідовностей, що набувають значень з дійсного віддільного, локально опуклого лінійного топологічного простору L, - все це є метою даного дисертаційного дослідження. Для досягнення мети потрібно виконати наступні завдання:

застосовуючи нові методи доведення деяких мерсерових теорем, максимально послабити достатні умови, знайти необхідні та необхідні і достатні умови у цих теоремах;

в одній теоремі Рогозинських мерсерового типу замінити сталі коефіцієнти на функції;

сформулювати означення статистичної збіжності та обмеженості для простих і подвійних послідовностей, що набувають значень з простору L;

сформулювати якомога зручніше означення (p,м,у)-точок (аналогів (с)-точок) для простих і подвійних послідовностей з простору L;

знайти зв'язок між тауберовими умовами і (p,м,у)-точками, між статистичною збіжністю чи обмеженістю і (p,м,у)-точками, а також між статистичною і звичайною збіжністю чи обмеженістю;

довести статистичні (с)-властивості і тауберові теореми із залишком для деяких методів підсумовування простих і подвійних послідовностей, що набувають значень з простору L.

Об'єкт і предмет дослідження. Об'єктом даного дослідження виступають деякі матричні методи підсумовування простих і подвійних послідовностей і функцій кількох змінних, а предметом - теореми типу Мерсера або типу Таубера для цих методів підсумовування.

Методи досліджень. У процесі дослідження використовувалися загальні методи класичного і функціонального аналізу, теорії підсумовування розбіжних рядів і функцій, метод (с)-точок М. О. Давидова, удосконалений Г. О. Михаліним, метод оберненого перетворення (при доведенні мерсерових теорем), а також метод згорток і твірних функцій, вперше використаний М. М. Білоцьким для доведення (с)-властивості однократних методів підсумовування Вороного. При встановленні ознак (с)-точок для L-значних послідовностей важливу роль зіграла теорема Хана - Банаха про віддільність опуклих множин.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, що визначають наукову новизну і виносяться на захист, є такі:

знайдено необхідні й достатні умови у мерсерових теоремах для деяких методів підсумовування банаховозначних послідовностей та функцій;

узагальнено одну теорему Рогозинських мерсерового типу шляхом заміни сталих коефіцієнтів лінійного перетворення на функції;

перенесено (с)-властивість і тауберові теореми із залишком, доведені Г. О. Михаліним для методів (H,p,б) і (H,p,б), на випадок статистичної збіжності або обмеженості середніх;

перенесено в загальнішій формі на -значні послідовності (с)-властивість методів підсумовування Вороного класу W_Q, знайдену Л. Ф. Таргонським, і одержано статистично підсилені тауберові теореми із залишком для цих методів підсумовування;

перенесено на L-значні послідовності і статистично підсилено відомі (с)-властивості і тауберові теореми із залишком для подвійних методів Ріса;

знайдено (с)-властивість та доведено тауберові теореми із залишком для подвійних методів підсумовування Вороного класу W_Q², причому одразу для L-значних послідовностей та при умові статистичної збіжності або обмеженості середніх.

Практичне значення отриманих результатів. Дана робота є теоретичним дослідженням і може мати практичний інтерес у теорії підсумовування кратних послідовностей і функцій багатьох змінних, а також у тих галузях математики, де ця теорія використовується, наприклад, у теорії чисел, теорії ймовірностей і математичній статистиці, гармонічному аналізі, спектральній теорії операторів, теорії функцій, математичній фізиці тощо.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку дослідження і загальна постановка задач належить науковому керівникові - Г. О. Михаліну. Розв'язання поставлених задач здійснено здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися на

VII, VIII і IX Міжнародних наукових конференціях імені академіка М. П. Кравчука (1998, 2000, 2002);

ІІ і ІІІ Міжнародних наукових конференціях пам'яті Г. Ф. Вороного (Київ, 1998, 2003);

семінарі відділу теорії функцій Інституту математики НАН України (керівник семінару - член-кор. НАН України О. І. Степанець);

міжвузівському семінарі з теорії наближень при Дніпропетровському національному університеті (керівники - член-кор. НАН України В. П. Моторний і професор В. Ф. Бабенко);

звітних наукових конференціях кафедр НПУ імені М. П. Драгоманова (1998 - 2004).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у статтях [1] - [4]. У статті [1] частинний випадок, коли л_n?у_n?1, на основі поняття (с)-точки М. О. Давидова першим отримав М. М. Білоцький, постановка загальної задачі належить Г. О. Михаліну, а розв'язання її здійснено С. Я. Декановим. У статті [2] Г. О. Михаліну належить постановка задач, а С. Я. Деканову - розв'язання цих задач. За результатами дисертаційного дослідження опубліковано сім тез доповідей на міжнародних наукових конференціях.

Структура та об'єм дисертації. Робота складається із вступу, двох розділів, що об'єднують 9 підрозділів, загальних висновків, списку використаних джерел (90 найменування) і 4 додатків. Усього в ній доведено 26 лем, 21 теорему і 22 наслідки. Повний обсяг роботи складає 147 сторінок. Основний зміст викладено на 131 сторінці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дослідження, визначено його об'єкт і предмет, мету і завдання, методи дослідження, наукову новизну та практичне значення, а також наведено відомості щодо апробації результатів.

Розділ 1 - “Мерсерові теореми для деяких методів підсумовування послідовностей та функцій” - складається з трьох підрозділів.

У підрозділі 1.1 наведено означення абстрактних понять границі і ядра функції та методу підсумовування, визначено всі конкретні класи методів підсумовування, які вивчатимуться у дисертації.

На початку підрозділу 1.2 зроблено огляд публікацій, присвячених мерсеровим теоремам і поставлено завдання узагальнити деякі мерсерові теореми М. О. Давидова, З. Сімсона, В. І. Мельника та Рогозинських.

Далі ми доводимо теореми 1 і 2 про неефективність одного перетворення відносно обмеженості та відносно збіжності, відповідно. Наведемо теорему 2.

Теорема 2. Нехай (_n) і (p_n) - фіксовані числові послідовності такі, що p_n?0,

P_n=?ⁿ_k=0 p_k?0 і a_n=_nP_n-₁/p_n?-1 nN₀ (P-₁=0).

Тоді для того щоб з рівності lim_n(_nS_n+(1-_n)?ⁿ_k=0p_kS_k/ /P_n)=S випливала рівність lim_nS_n=S, де (S_n) - довільна банаховозначна послідовність,

І) достатньо, щоб одночасно виконувалися умови:

lim_n|_n|>0, ?ⁿ_k=0 | ----1a_k+1 ?ⁿ_j=k+1 ----a_ja_j+1| ? H nN₀ і ?^?_n=k ----a_na_n+1 kN;

ІІ) якщо ?ⁿ_k=0|p_k|=O(P_n) і P_n>? (n>?), то необхідно, щоб виконувалися дві останні умови з І);

ІІІ) якщо (|p_n|?K n і 1-_n=o(P_n)) або (|p_n|?K|p_m| n?m і (1-_n)p_n=o(P_n)), то необхідно, щоб lim_n|_n|>0.

Частина I) теореми 2 повністю включає у себе твердження М. О. Давидова, З. Сімсона та В. І. Мельника, переносить їх на банаховозначні послідовності (S_n) і при цьому не вимагає обмеженості послідовності (_n). Суть привнесеної теоремою 2 новизни добре помітна у найпростішому її наслідку 3.

Наслідок 3. Нехай (S_n) - довільна банаховозначна послідовність, _n>0 і _n=o(n). Тоді для того щоб з рівності lim_n(_nS_n+(1-_n)---1n+1 ?ⁿ_k=0 S_k)=S випливала рівність lim_nS_n=S, необхідно й досить, щоб lim_{n n}>0 і ?_n=1 ---1n_n =, причому умова _n=o(n) потрібна лише для необхідності умови lim_{n n}>0.

В аналогічному твердженні М. О. Давидова 0<a?_n?b<+ n>n₀, а тут послідовність (_n) може бути і необмеженою.

Далі доведено загальну мерсерову теорему 3 для функцій.

Теорема 3. Нехай (x) і p(x) - фіксовані неперервні функції на проміжку [0;+), причому (x)>0, p(x)>0, P(x)=?^x₀ p(y)dy x0, а функція S(x) довільна банаховозначна і неперервна на [0;+). Тоді для того щоб з рівності lim_x+ ((x)S(x)+(1-(x))---1P(x) ?^x₀ p(y)S(y)dy)=S випливала рівність lim_x+ S(x)=S,

І) достатньо, щоб lim_x+(x)>0 і ?⁺₁ ------p(x)dx(x)P(x)=+;

ІІ) якщо lim_x+ P(x)=+, то необхідно, щоб мала місце умова ?⁺₁ ------p(x)dx(x)P(x)=+;

ІІІ) якщо (P(x)+, (x)=O(1), p(x)=O(P(x)) (x+)) або (p(x)=O(1) і 1-(x)=o(P(x)) (x+)), то необхідно, щоб lim_x+(x)>0.

Характер узагальнення цією теоремою та її наслідками 7 - 9 результатів попередніх авторів (М. О. Давидова і Л. Ф. Таргонського) такий самий, як і в теореми 2 з її наслідками.

Основним результатом підрозділу 1.3 є теорема 4, що узагальнює одну мерсерову теорему Рогозинських. Тут використовуються поняття границі, часткової границі і ядра функції f : XL за системою U_r, де X - довільна множина, на якій задано систему {U_r: r?0} її непорожніх підмножин, таких, що U_r1U_r2 при r₁<r₂ і ?_r?0U_r=, а L - нормований простір.

А саме: 1) елемент aL називають границею функції f за системою U_r і позначають limU_r f=a, якщо для будь-якого околу G цього елемента існує r₀0 таке, що f(U_r0)G; 2) якщо a= lim_nf(x_n) для деякої послідовності x_nU_rn, де 0r_n+, то елемент aL називають частковою границею функції f за системою U_r; 3) якщо f обмежена на множині X, то її ядром (за системою U_r) називають замкнену опуклу оболонку множини E_f її часткових границь за системою U_r, тобто K(f)=Co-- E_f.

Теорема 4. Нехай _j(x), jN, xX, - задана послідовність числових функцій така, що ряд ?_j=1j(x) збігається на множині X і limU_r ?_j=1j(x)=1, а функції f_j(x), jN, xX, набувають значень з обмежено компактного нормованого простору L. Тоді для того щоб для всіх функціональних послідовностей (f_j(x)), рівномірно обмежених на X і таких, що K(f_j)K(f₁) j?2, з умови limU_r ?_j=1j(x)f_j(x)=a випливала умова limU_r f₁(x)=a, необхідно і достатньо, щоб c>1, r₀?0: ?_j=2|_j(x)|=(x)?1/c|₁(x)| xU_r0 і щоб ряд ?_j=2|_j(x)| збігався рівномірно на кожній множині E={x_n: x_nU_rn , r₀?r_n+}.

Теорема Рогозинських є частинним випадком теореми 4, коли X=N, U_r={nN: n>r}, L=R^m, а _j(x)=_j xX, jN.

Досить цікавим є наслідок 10 з теореми 4, який узагальнює одну з теорем М. О. Давидова, доведену ним для однократних дійсних послідовностей.

Наслідок 10. Нехай L - простір з теореми 4, (x) - задана на множині X числова функція. Для того щоб з рівності limU_r ((x)f(x)+(1-(x)g(x))=a, де f і g - обмежені L-значні функції на X, для яких K(g)K(f), кожного разу випливала рівність limU_r f(x)=a, необхідно і достатньо, щоб c>1, r₀0: |1-(x)|1/c|(x)| xU_r0, а це у випадку (x)R xX рівносильно умові

1/2<limU_r (x) limU_r ---(x)<+.

Розділ 2 - “Статистична збіжність та обмеженість і тауберові теореми із залишком для деяких методів підсумовування простих і подвійних послідовностей” - складається з шести підрозділів.

На початку підрозділу 2.1 зроблено короткий огляд публікацій на тему тауберових теорем, який показав, що для деяких класів методів підсумовування найбільш ефективним способом одержання тауберових теорем є “спосіб (с)-точок” М. О. Давидова.

Проте маючи на меті одержати тауберову теорему для конкретного класу методів підсумовування, потрібно спочатку вдало ввести поняття (с)-точки для цих методів. Для методів (H,p,) і (C,p,), котрі підсумовують послідовності з дійсного віддільного, локально опуклого лінійного топологічного простору L, поняття (p,,)-точок z= і z= першим ввів Г. О. Михалін і з їхньою допомогою він одержав найзагальніші в своєму роді тауберові теореми із залишком. Він же поставив задачу підсилити свої результати, замінивши звичайну збіжність або обмеженість середніх на так звану статистичну збіжність або обмеженість.

Розв'язання цієї задачі пропонується у підрозділі 2.2 даної дисертації. Для цього введено нове означення (p,,)-точки, яке виявилося еквівалентним означенню Г. О. Михаліна, але простішим, компактнішим і зручнішим.

Нехай L^* - простір неперервних лінійних функціоналів на L, p_n0, P_n=?ⁿ_k=0 p_k>0 n, а додатні послідовності (_n) і (_n) задовольняють умови:

_mn і _mn, коли P_mP_n, (1)

_n>0 nN₀ і _np_n/P_n0 (n). (2)

Точку z= (точку z=) назвемо D(p,,)-точкою L-значної послідовності (S_n), якщо знайдуться послідовності (m_k), (n_k), _kL^* і a_k0: m_k+1n_k>m_k, lim_k ?^nk_=mk+1p/P>0, та абсолютно опуклий окіл нуля U такий, що для деякого >0 (для будь-якого >0) k₀: _k(_mkS_n)a_k>_k(U) nm_k,n_k----- k>k₀. (Літера “D” в цьому означенні - на честь М. О. Давидова).

Нехай (_n) і (_n) - додатні послідовності, що задовольняють умови (1) і (2), _n⁽⁾=_n/_n n, N₀. Казатимемо, що послідовність (S_n) (p,,)-статистично збігається до елемента aL, якщо кожен абсолютно опуклий окіл U нуля простору L є таким, що >0

lim_n --1P_n ?_k?n:k(Sk-_a)Ukp_k=0. (3)

Якщо в цьому означенні покласти a= і замінити “>0” на “>0”, то дістанемо означення (p,,)-статистичної обмеженості послідовності (S_n). Цю збіжність чи обмеженість позначатимемо S_na ((p,,)-st) або S_n=O(1) ((p,,)-st) відповідно. Якщо у наведених вище означеннях замінити рівність (3) рівністю

lim_n --_nP_n ?_k?n:k(Sk-_a)U p_k=0,

то дістанемо поняття (p,,)^*-статистичної збіжності та обмеженості послідовності (S_n), які є зручнішими для методів Вороного. При _nnp_n1 обидва наші означення дають так звану статистичну збіжність, вперше введену Х. Фастом у 1951 році для числових послідовностей. Статистичну збіжність розглядали також Дж. Фрайді і М. Хан. Саме їм належить ідея підсилення класичних тауберових теорем шляхом заміни звичайної збіжності середніх статистичною.

Середні (H_n⁽⁾) і (C_n⁽⁾) методів підсумовування (H,p,) і (C,p,) визначаються так. Нехай p₀>0, p_n0, P_n⁽⁰⁾=1, P_n⁽⁾= ?ⁿ_i=0p_iP_i⁽-¹⁾ nN₀, причому P_n⁽¹⁾=P_n. Для довільної послідовності (S_n) покладемо S_n⁽⁰⁾=H_n⁽⁰⁾=S_n, S_n⁽⁾= ?ⁿ_i=0p_iS_i⁽-¹⁾, H_n⁽⁾= ?ⁿ_i=0p_iH_i⁽-¹⁾/P_n, C_n⁽⁾=S_n⁽⁾/P_n⁽⁾ nN₀, N.

Основним результатом підрозділу 2.2 є наступна теорема 7.

Теорема 7. Якщо z= (z=) є D(p,⁽⁾,)-точкою послідовності (S_n), то послідовності (H_n⁽⁾) і (C_n⁽⁾) не можуть (p,,)-статистично збігатися до нуля (бути (p,,)-статистично обмеженими).

Ця теорема є наслідком з одного результату Г. О. Михаліна і показує, що всі відомі раніше тауберові теореми для вказаних методів підсумовування переносяться на випадок статистичної збіжності та обмеженості середніх.

Надалі твердження, аналогічні теоремі 7, називатимемо статистичними D-властивостями відповідних методів підсумовування (оскільки вони узагальнюють (с)-властивість М. О. Давидова).

Однією із статистично підсилених тауберових теорем із залишком для методів (H,p,) і (C,p,), котрі випливають з теореми 7, є такий наслідок.

Наслідок 12. Нехай додатна послідовність (_n) задовольняє умови (1) і (2), а послідовність (S_n) точок нормованого простору L задовольняє умову

lim_n>nk ||S_n-S_nk||=r<+, коли ?ⁿ_=nk+1^1/p/P0.

мерсеровий статистичний послідовність топологічний

Тоді якщо якась із послідовностей (H_n⁽⁾) або (C_n⁽⁾) (p,,^1/)-статистично обмежена, то S_nk=O(1), а якщо r=0 і якась із послідовностей (H_n⁽⁾) або (C_n⁽⁾) (p,,^1/)-статистично збігається до aL, то S_nk=a+o(1).

У підрозділі 2.3 доведено ряд тауберових теорем для методів Вороного класу W_Q. Додатні регулярні методи Вороного (W,p) визначаються середніми

W_n^(p)=--1P_n ?ⁿ_k=0 p_n-_kS_k, nN₀,

де p_n0, P_n=?ⁿ_k=0 p_k>0 nN₀, причому p_n/P_n0 (n). До класу W_Q віднесемо ті методи, твірна функція яких має вигляд

p(z)= ?_n=0 p_nzⁿ=----p_l(z)p(z) z: |z|<1, (4)

де p_l(z) і p(z) - многочлени з дійсними коефіцієнтами степенів l і відповідно, причому p_l(0)>0, p_l(z) не має додатних нулів, а p_l(z) і p(z) не мають спільних нулів.

До класу W_Q належать методи Чезаро (C,k), kN, додатні поліноміальні методи Вороного, котрі розглядав Л. Ф. Таргонський, а також деякі інші методи підсумовування.

Зафіксуємо додатні послідовності (_n) і (_n), що задовольняють умови

_mn і _mn, коли mn,

_n>0 nN₀ і _n=o(n) (n).

Позначимо _n⁽⁾=_n/_n n, N₀.

Основним результатом підрозділу 2.3 є наступна D-властивість методів підсумовування класу W_Q.

Теорема 11. Нехай (W,p)W_Q і має твірну функцію (4). Якщо точка z= (точка z=) є D(1,⁽¹⁾,)-точкою послідовності (S_n), де ₁N₀ - кратність кореня z=1 многочлена p(z), то W_n^(p)o(1) (O(1)) ((1,,)^*-st).

З теореми 11 легко випливають (с)-властивість методів Чезаро, знайдена М. О. Давидовим, (с)-властивість додатних поліноміальних методів Вороного, знайдена Л. Ф. Таргонським, а також багато статистично підсилених тауберових теорем із залишком. Наведемо одну з них.

Наслідок 16. Нехай (W,p)W_Q, з твірною функцією (4), число z=1 є нулем кратності ₁N₀ многочлена p(z), S_n= ?ⁿ_k=0a_kR nN₀, n_k і має місце одна з умов (_n⁽¹⁾a_n=O_L(_n/n), коли l_k?n?m_k k>k₀, де l_k<n_k<m_k і lim_{k lk}(1-l_k/n_k)>0 та lim_{k nk}(1-n_k/m_k)>0) або (_n⁽¹⁾a_n=O(_n/n), коли n_k?n?_k або _k?n?n_k, k>k₀, причому відповідно lim_{k nk}(1-n_k/_k)>0 або lim_{k k}(1-_k/n_k)>0).

Тоді з рівності W_n^(p)=o(1) (=O(1)) ((1,,)^*-st) випливає рівність _nk⁽¹⁾S_nk=o(1) (=O(1)) (k).

В останніх трьох підрозділах 2.4 - 2.6 здійснено перенесення здобутих результатів з простих послідовностей на подвійні. Як і раніше, L є дійсним віддільним, локально опуклим лінійним топологічним простором, L^* - спряженим з ним простором, а послідовність (S_m,n) є L-значною.

На початку підрозділу 2.4 дається означення D(p,,)-точок подвійної послідовності (S_m,n).

Нехай p_n0, p_n0, P_n= ?ⁿ_k=0 p_k>0, P_n= ?ⁿ_k=0 p_k>0 nN₀, причому P_n і P_n при n. Зафіксуємо також додатні послідовності (_n), (_n), (_n) і (_n), які задовольняють умови (1) і (2). Позначимо p_m,n=p_mp_n, P_m,n=P_mP_n, _m,n=_mn, _m,n=_mn m,nN₀.

Точку z= (точку z=) назвемо D(p,,)-точкою послідовності (S_m,n), якщо існують послідовності номерів (m_k), (m^*_k), (n_k), (n^*_k): m_k+1m^*_k>m_k, n_k+1n^*_k>n_k, lim_k ?^m*k_=mk+1p/P>0, lim_k ?^n*k_=nk+1p/P>0, послідовність функціоналів _kL^*, чисел a_k0 і абсолютно опуклий окіл нуля U такий, що для деякого >0 (для будь-якого >0) k₀: _k(U)<a_k?_k(_mk,nkS_m,n) nm_k,m^*_k----- n_k,n^*_k----- k>k₀.

У пункті 2.4.2 наводяться тауберові умови для подвійної послідовності (S_m,n). Критерієм добору цих умов була найбільша аналогія з наведеними в пункті 2.1.4 тауберовими умовами для простої послідовності. Підкреслимо, що для L-значних подвійних послідовностей всі ці умови формулюються вперше. Для числових послідовностей схожі умови розглядали М. О. Калаталова, М. Ф. Бурляй, Г. О. Михалін, В. М. Алданов та інші автори.

У підрозділі 2.5 перш за все вводяться поняття (p,,)-статистичної збіжності та обмеженості подвійної послідовності. Послідовність (S_m,n) назвемо (p,,)-статистично збіжною до елемента aL, якщо кожен абсолютно опуклий окіл U нуля простору L є таким, що >0

lim_m,n ---1P_m,n ?_{(i,j)?(m,n):i,j(Si,j}-_{a)U i,j}p_i,j=0. (5)

Якщо покласти a= і замість “>0” написати “>0”, то дістанемо означення (p,,)-статистичної обмеженості послідовності (S_m,n). Цю збіжність чи обмеженість позначатимемо, відповідно, як S_m,na ((p,,)-st) або S_m,n=O(1) ((p,,)-st). Вимагаючи замість рівності (5) рівність

lim_m,n ---_m,nP_m,n ?_{(i,j)?(m,n):i,j(Si,j}-_a)U p_i,j=0,

дістанемо ще два означення - (p,,)^*-статистичної збіжності до елемента aL та обмеженості. Всі ці поняття для подвійної послідовності вводяться вперше і вже одразу в такій загальній формі.

Далі доводиться статистична D-властивість факторизованого методу Ріса (R,p_m,n), середні якого мають вигляд R_m,n=----1P_mP_n ?^m_i=0 ?ⁿ_j=0 p_ip_jS_i,j.

Теорема 16. Якщо точка z= (точка z=) є D(p,/,)-точкою послідовності (S_m,n), то послідовність (R_m,n) не може (p,,)-статистично збігатися до нуля (бути (p,,)-статистично обмеженою).

Простим наслідком з теореми 16 є (R,p,q)-властивість методів Ріса, доведена для подвійних числових послідовностей М. Ф. Бурляєм.

З D-властивості методів Ріса випливають тауберові теореми 17 і 18 що є узагальненнями усіх відомих раніше тауберових теорем для факторизованого методу Ріса на випадок L-значних послідовностей (S_m,n) і статистичної збіжності та обмеженості середніх.

У підрозділі 2.6 досліджено методи Вороного класу W²_Q. Нехай p_n0, p_n0, P_n= ?ⁿ_k=0 p_k>0, P_n= ?ⁿ_k=0 p_k>0 nN₀, причому P_n/p_n0 і P_n/p_n0 (n). Середні факторизованого методу Вороного (W,p_m,n) мають вигляд W_m,n^(p)=----1P_mP_n ?^m_i=0 ?ⁿ_j=0 p_m-_ip_n-_jS_i,j.

Віднесемо цей метод Вороного до класу W²_Q, якщо він має такі твірні функції:

p (x)= ?_m=0 p_mx^m=-----p_a(x)p(x) , |x|<1, (6)

p(y)= ?_n=0 p_nyⁿ=-----p_b(y)p(y) , |y|<1,

де p_a(x), p(x), p _b(y), p (y) - многочлени з дійсними коефіцієнтами, степенів a, , b та відповідно, p_a(0)>0, p _b(0)>0, p_a(x) і p _b(y) не мають додатних нулів і обидва дроби в правій частині рівностей нескоротні.

Додатні послідовності (_n), (_n), (_n) і (_n) у підрозділі 2.6 задовольняють умови

_mn, _mn, _mn, _mn при mn,

0<?_n=o(n) і ?_n=o(n) (n).

Позначимо _m⁽⁾=_m/_m, _n⁽⁾=_n/_n, _m,n^(,)=_m⁽⁾_n⁽⁾ m, n, , N₀.

Основним результатом останнього підрозділу 2.6 є наступна статистична D-властивість методів Вороного класу W²_Q.

Теорема 19. Нехай (W,p_m,n) - метод Вороного з твірними функціями (6), число z=1 є нулем кратності ₁N₀ многочлена p(x) і нулем кратності ₁N₀ многочлена p (y). Тоді якщо точка z= (точка z=) є D(1,^(1,1),)-точкою послідовності (S_m,n), то W_m,n^(p)o(1) (O(1)) ((1,,)^*-st).

З цієї теореми легко випливає (с)-властивість подвійних методів Чезаро (C,,), доведена М. О. Калаталовою.

На завершення підрозділу 2.6 доводиться декілька тауберових теорем із залишком для методів підсумовування Вороного класу W²_Q (теореми 20, 21 і наслідки 20 - 22). Уявлення про них дає наступна теорема, яка міститься в теоремі 21.

Теорема 21^*. Нехай (W,p_m,n) - метод Вороного з теореми 19, (S_m,n) - дійсна послідовність, яка задовольняє умову lim_m*mn*n (S_m*,n*-S_m,n)_m,n^(1,1)-r>-, коли _m(1-m/m^*)0 і _n(1- -n/n^*)0. Тоді якщо W_m,n^(p)=O(1) ((1,,)^*-st), то _m,n^(1,1)S_m,n=O(1) (m,n), а якщо r=0 і W_m,n^(p)=o(1) ((1,,)^*-st), то _m,n^(1,1)S_m,n=o(1) (m,n).