ВИСНОВКИ

Дисертація є теоретичним дослідженням, яке присвячене теоремам типу Мерсера і типу Таубера. Основні її наукові результати полягають у наступному.

1. Підсилено мерсерові теореми М. О. Давидова для послідовностей і для функцій шляхом з'ясування необхідних та необхідних і достатніх умов; усі результати доведені для банаховозначних послідовностей і функцій.

2. Узагальнено одну мерсерову теорему Рогозинських шляхом розгляду більш загального, ніж Rⁿ, - а саме довільного скінченновимірного нормованого простору L_n, шляхом заміни числового ряду функціональним, а звичайного поняття границі функції - поняттям границі за системою множин U_r.

3. Введено поняття (p,,)-статистичної збіжності та обмеженості простих і подвійних послідовностей, що набувають значень з лінійного топологічного простору L. Для однократних послідовностей ці поняття узагальнюють поняття статистичної збіжності, яку розглядали Х. Фаст, Дж. Фрайді і М. Хан, а для подвійних вони вводяться вперше.

4. Сформульовано означення D(p,,)-точок у більш зручній формі, ніж у Г. О. Михаліна, і узагальнено (p,,)-властивість і тауберові теореми із залишком для методів підсумовування (H,p,) і (C,p,), знайдені Г. О. Михаліним, на випадок статистичної збіжності та обмеженості середніх.

5. Доведено статистичну D-властивість методів підсумовування Вороного класу W_Q, з якої випливають: класична (с)-властивість методів Чезаро, доведена М. О. Давидовим, (с)-властивість додатних поліноміальних методів Вороного, доведена Л. Ф. Таргонським, а також багато статистично підсилених тауберових теорем із залишком.

6. Доведено статистичну D-властивість і тауберові теореми із залишком для факторизованих методів Ріса підсумовування послідовностей з лінійного топологічного простору L. Цим самим узагальнено результати М. О. Давидова, М. Ф. Бурляя та В. М. Алданова.

7. Доведено статистичну D-властивість і тауберові теореми із залишком для методів підсумовування Вороного класу W²_Q у лінійному топологічному просторі L. Цим узагальнено результати М. О. Калаталової.

Використані методи досліджень дозволяють стверджувати, що результати, отримані для подвійних послідовностей, можуть бути поширені на m-кратні послідовності і відповідні факторизовані методи підсумовування.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО В НАСТУПНИХ РОБОТАХ

Білоцький М. М., Деканов С. Я., Михалін Г. О. Тауберові теореми із залишком для методів підсумовування Вороного з раціональною твірною функцією // Фрактальний аналіз і суміжні питання: Зб. наук. праць. - К.: ІМ НАНУ - НПУ ім. Драгоманова, 1998. - 2. - С. 178 - 189.

Деканов С. Я., Михалін Г. О. Узагальнення однієї теореми Рогозинських // Укр. матем. журн. - 2000. - Т. 52. - № 2. - С. 220 - 227.

Деканов С. Я. Статистична D-властивість методів підсумовування Вороного класу // Укр. мат. журн. - 2003. - Т. 55. - № 3. - С. 360 - 372.

Деканов С. Я. Статистична збіжність і тауберові теореми із залишком для методів підсумовування типу методів Гельдера і Чезаро // Вісник. Математика. Механіка: К.: Вид-во Київ. ун-ту, 2003. - №№ 9 - 10. - С. 91 - 97.

Деканов С. Я., Михалін Г. О. Про деякі мерсерові теореми М. О. Давидова // Тези міжнар. конф. “Асимпт. методи в теорії диф. рівнянь”. - К.: Вид-во НПУ ім. Драгоманова, 2002. - С. 12.

Dekanov Stanislav. Statistical D-property of Voronoi Summation Methods of the Class // Voronoi Conference on Analytic Number Theory and Spatial Tessellations: Abstracts. - Kyiv: Institute of Mathematics of the National Academy of Science of Ukraine, 2003. - P. 21.

АНОТАЦІЯ

Деканов С. Я. Тауберові та мерсерові теореми для деяких методів підсумовування функцій кількох змінних. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2004.

Дисертація присвячена, по-перше, з'ясуванню необхідних і достатніх умов у деяких мерсерових теоремах, пов'язаних з перетворенням t_n=_nS_n+(1-_n) ?_k=0ⁿ p_kS_k/ ?_k=0ⁿ p_k, узагальненню цих теорем на банаховозначні послідовності (S_n) і функції S(x) та узагальненню однієї теореми Рогозинських шляхом заміни сталих коефіцієнтів _j у перетворенні t_k=?_{j=1 j}f_k^(j) на функції _k^(j).

По-друге, поняття статистичної збіжності числової послідовності (S_n) до числа A, яке визначається рівністю lim_n ---1n+1 ?_k?n:|Sk-_A| 1=0 >0, узагальнено на прості та подвійні послідовності з дійсного, віддільного, локально опуклого лінійного топологічного простору L. Після цього знайдено статистичні (у яких замість звичайної збіжності середніх береться статистична збіжність) D-властивості (так би мовити, джерела тауберових теорем) і доведено статистично підсилені тауберові теореми із залишком для однократних методів підсумовування типу методів Гельдера і Чезаро, Вороного класу W_Q та для подвійних методів Ріса і Вороного класу W²_Q, заданих над простором L.

Ключові слова: мерсерова теорема, тауберова теорема із залишком, статистична збіжність, D-властивість.

АННОТАЦИЯ

Деканов С. Я. Тауберовы и мерсеровы теоремы для некоторых методов суммирования функций нескольких переменных. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Днепропетровский национальный университет, Днепропетровск, 2004.

В диссертации, во-первых, выясняются необходимые и достаточные условия для того, чтобы из равенства

lim_n (_nS_n+(1-_n) ?_k=0ⁿ p_kS_k/ ?_k=0ⁿ p_k)=S (с комплексными _n и p_n)

вытекало равенство lim_n S_n=S для любой банаховозначной последовательности (S_n). Из доказанных общих теорем получены в качестве следствий все известные ранее утверждения такого типа, причём снято условие _n=O(1). Аналогичная задача решена также для банаховозначных непрерывных функций и соответствующего интегрального преобразования.

Кроме того, обобщена одна теорема Рогозинских путём замены постоянных коэффициентов _j в преобразовании t_k=?_{j=1 j}f_k^(j) на функции _k^(j).

Во-вторых, понятие статистической сходимости числовой последовательности (S_n) к числу A, которое определяется равенством

lim_n ---1n+1 ?_k?n:|Sk-_A| 1=0 >0,

обобщено на простые и двойные последовательности из действительного отделимого, локально выпуклого линейного топологического пространства L.

После этого найдены статистические (в которых вместо обычной сходимости средних берется статистическая сходимость) D-свойства (так сказать, источники тауберовых теорем) и доказаны статистически усиленные тауберовы теоремы с остатком для однократных методов суммирования типа методов Гельдера и Чезаро, Вороного класса W_Q и для двойных методов Риса и Вороного класса W²_Q, заданных над пространством L.

Приведем основные результаты для методов Вороного.

Пусть L - действительное отделимое, локально выпуклое линейное топологическое пространство с нулем , L^* - сопряженное с L пространство, а (S_n) - L-значная последовательность.

Положительные регулярные методы Вороного (W,p) определяются средними

W_n^(p)=--1P_n ?ⁿ_k=0 p_n-_kS_k, nN₀,

где p_n0, P_n=?ⁿ_k=0 p_k>0 nN₀, причем p_n/P_n0 (n). К классу W_Q отнесем те методы, образующая функция которых имеет вид

p(z)= ?_n=0 p_nzⁿ=----p_l(z)p(z) z: |z|<1,

где p_l(z) и p(z) - многочлены с действительными коэффициентами степеней l и соответственно, причем p_l(0)>0, p_l(z) не имеет положительных нулей, а p_l(z) и p(z) не имеют общих нулей.

Зафиксируем положительные последовательности (_n) и (_n), удовлетворяющие условиям

_mn и _mn, когда mn,

_n>0 nN₀ и _n=o(n) (n).

Обозначим _n⁽⁾=_n/_n n, N₀.

Точку z= (точку z=) назовем D(⁽⁾,)-точкой последовательности (S_n), если существуют последовательности (m_k), (n_k), _kL^* и a_k0: m_k+1n_k>m_k, lim_{k mk}(1-m_k/n_k)>0, и существует абсолютно выпуклая окрестность нуля U такая, что для некоторого >0 (для любого >0) _k(⁽⁾_mkS_n)a_k>_k(U) nm_k,n_k----- k>k₀.

Будем говорить, что последовательность (S_n) (,)-статистически сходится к нулю ((,)-статистически ограничена), если каждая абсолютно выпуклая окрестность U нуля пространства L такова, что >0 (>0)

lim_n -----_nn+1 ?_k?n:kSkU 1=0.

Эту сходимость или ограниченность будем обозначать соответственно S_n=o(1) (=O(1)) ((,)-st).

Имеет место следующее статистическое D-свойство методов суммирования Вороного класса W_Q.

Теорема 1. Пусть (W,p)W_Q - метод Вороного, имеющий образующую функцию, указанную выше, причем число z=1 есть корнем многочлена p(z) кратности ₁N₀. Если точка z= (точка z=) есть D(⁽¹⁾,)-точкой последовательности (S_n), то W_n^(p)o(1) (O(1)) ((,)-st).

Из теоремы 1 легко вытекают (с)-свойство методов Чезаро, открытое Н. А. Давыдовым, и (с)-свойство полиномиальных методов Вороного, найденное Л. Ф. Таргонским. Следствиями из теоремы 1 являются многие статистически усиленные тауберовы теоремы с остатком. Приведем одну из них.

Следствие 1. Пусть (W,p) - метод Вороного из теоремы 1, S_nR nN, n_k и имеет место одно из условий

_n⁽¹⁾(S_n-S_n-₁)=O_L(_n/n), если l_k?n?m_k, k>k₀,

где l_k<n_k<m_k, lim_{k lk}(1-l_k/n_k)>0 и lim_{k nk}(1-n_k/m_k)>0,

или

_n⁽¹⁾(S_n-S_n-₁)=O(_n/n), если n_k?n?_k или _k?n?n_k, k>k₀,

причем соответственно lim_{k nk}(1-n_k/_k)>0 или lim_{k k}(1-_k/n_k)>0.

Тогда W_n^(p)=o(1) (=O(1)) ((,)-st) _nk⁽¹⁾S_nk=o(1) (=O(1)) (k).

Ключевые слова: мерсерова теорема, тауберова теорема с остатком, статистическая сходимость, D-свойство.

ANNITATION

Dekanov S. Ya. Tauberian and Mercerian theorems for some methods of summation of functions of several variables. - Manuscript.

The thesis for a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - Dnipropetrovsk National University, Dnipropetrovsk, 2004.

The thesis is dedicated, on the one hand, to elucidation of necessary and sufficient conditions in some Mercerian theorems connected with the transformation t_n=_nS_n+(1-_n) ?_k=0ⁿ p_kS_k/ ?_k=0ⁿ p_k, to generalization of this theorems on Banakh sequences (S_n) and functions S(x) and to generalization of one theorem of Rogosinski'es by means of changing of the constant coefficients _j in the transformation t_k=?_k=0ⁿ _jf_k^(j) by functions _k^(j).

On the other hand, the concept of statistical convergence of the numerical sequence (S_n) to the number A, which is defined by the equality lim_n ---1n+1 ?_k?n:|Sk-_A| 1=0 >0, was generalized on simple and double sequences from the real Hausdorff locally convex linear topological space L. After that the statistical (in which statistical convergence of the means instead of plain convergence is taken) D-properties (so to say, the sources of Tauberian theorems) were found and the statistically forced Tauberian theorems with a remainder for simple summation methods of type of Holder and Cesaro methods, of Voronoї of the class W_Q and for the double summation methods of Riesz and Voronoї of the class W²_Q, defined over the space L, were proved.

Key words: Mercerian theorem, Tauberian theorem with a remainder, statistical convergence, D-property.

Размещено на Allbest.ru