Изучение различных видов текстовых задач, выявление их роли в процессе обучения математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

27

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1Введение понятия текстовых задач

2Решение текстовых задач методом составления уравнений

3Основные виды текстовых задач

3.1Задачи на проценты

3.2Задачи на работу

3.3Задачи на движение

3.4Логико-комбинаторные задачи

4Нестандартные задачи в школьном курсе математики

4.1О роли задач в обучении математике

4.2Как учит решать задачи современная школа?

4.3«Аномальные» задачи

4.4Методика обучения решению «аномальных» задач

Заключение

Список использованных источников



Введение

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. Текстовые задачи - традиционно трудный для значительной части школьников материал. Однако, в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи и других качеств продуктивной деятельности обучающихся.

Как обучать детей нахождению способа решения текстовой задачи? Этот вопрос - центральный в методике обучению решения задач. Для ответа на него в литературе предложено немало практических приемов, облегчающих поиск способа решения задачи. Однако теоретические положения относительного нахождения пути решения задачи остаются мало разработанными. Особенности текста задачи могут определить ход мыслительного процесса при ее решении. Как сориентировать детей на эти особенности? Знание ответов на них составляют теоретико-методические положения, на основе которых можно строить конкретную методику обучения; они помогут определить методические приемы поиска способов решения задачи, в том числе решения различными способами.

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач.

Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть, развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

Текстовые задачи позволяют развивать умение анализировать, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть, формировать и развивать важные математические умения.

Решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащают опыт мыслительной деятельности учащихся, но и позволяют им осваивать важное культурно-историческое наследие человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний (связанный с предметом), а не внешний (связанный с отметками, поощрениями и т.п.) стимул к поиску решений задач и изучению математики.

Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определенной, приспособленной к их пониманию системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в доступном для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает математическое мышление учащихся. Овладение мыслительными операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые знания.

Поэтому, объектом моего исследования является текстовые задачи в школьном курсе математики. Предметом исследования является методика решения текстовых задач. Целью данной дипломной работы является изучение различных видов текстовых задач, выявление их роли в процессе обучения математики, изложение различных методик работы над текстовой задачей, изучение нестандартных текстовых задач в школьном курсе математике.



1. Введение понятия текстовых задач

Решение текстовых задач способствует развитию мышления учащихся, более глубокому усвоению идеи функциональной зависимости, повышает вычислительную культуру. В процессе решения текстовых задач у учащихся формируются умения и навыки моделирования реальных объектов и явлений.

В курсе математики IV--VIII классов рассматриваются два основных способа решения текстовых задач: арифметический и алгебраический. Арифметический способ состоит в нахождении значений неизвестной величины посредством составления числового выражения (числовой формулы) и подсчета результата. Алгебраический способ основан на использовании уравнений и систем уравнений, составляемых при решении задач.

Основная пропедевтическая работа по составлению уравнений при решении текстовых задач осуществляется в IV--V классах, хотя простейшие задачи уже решаются этим методом в I--III классах.

Здесь можно выделить два основных этапа. На первом задача учителя состоит в том, чтобы систематически и целенаправленно формировать у учащихся некоторые важные математические навыки. На втором этапе основное внимание должно быть уделено выявлению зависимостей между величинами, входящими в текст задачи, и обучению переводу этих зависимостей на математический язык. Остановимся на каждом этапе подробнее.

Первый этап пропедевтики. К наиболее важным умениям, которые необходимо сформировать у учащихся на этом этапе изучения текстовых задач, относятся следующие: умение внимательно читать текст задачи; умение проводить первичный анализ текста задачи -- выделять условие и вопрос задачи; умение оформлять краткую запись текста задачи; умение выполнять чертежи (рисунки) по тексту задачи.

В методике обучения математике разработаны соответствующие приемы работы учителя по формированию выделенных умений .

Приемы, формирующие умение читать текст задачи:

-показ образцов правильного чтения задачи;

-проведение специальной работы над текстом задачи по усвоению ее содержания. Здесь имеются в виду различные формы предъявления задачи: текстом, краткой записью текста, рисунком. Сюда включаются также приемы работы над усвоением содержания задачи: изменение числовых данных задачи; изменение сюжета задачи; изменение сюжета и числовых данных задачи. математика уравнение текстовая задача

Приемы, формирующие умения выделять условие и вопрос задачи:

-выявление роли вопроса в нахождении способа решения задачи; обращение внимания на точность, ясность формулировки вопроса задачи; переформулировка вопроса задачи. Этот прием направлен на воспитание у учащихся потребности выделять условие и вопрос задачи;

-формулирование одного или нескольких вопросов к условию задачи;

-нахождение необходимых данных для ответа на вопрос задачи;

-составление задачи по вопросу;

- формулирование одной или нескольких задач по данному вопросу.

Приемы обучения оформлению краткой записи текста задачи:

-оформление краткой записи в виде таблицы, схемы;

-оформление краткой записи в строку (столбец);

-чтение краткой записи задачи;

-составление задачи по ее краткой записи.

Приемы обучения выполнению чертежей (рисунков) по тексту задачи:

-предъявление заданий, требующих только выполнения соответствующего рисунка;

-чтение рисунка, выполненного по тексту задачи;

-составление задачи по рисунку или чертежу.

Сделаем некоторые пояснения к приемам оформления чертежей по тексту задачи. Выполненный чертеж (рисунок) по тексту задачи позволяет фиксировать ход рассуждений при ее решении, что способствует формированию общих подходов к решению задач. Поэтому к выполнению чертежей предъявляются требования: они должны быть наглядными, четкими, соответствовать тексту задачи; на них должны быть отражены по возможности все данные, входящие в условие задачи; выделенные на них данные и искомые должны соответствовать условию задачи и общепринятым обозначениям.

Формирование умения выполнять чертеж задачи будет успешным, если учащиеся будут уметь читать соответствующий чертеж. В связи с этим важным моментом является составление текста задачи по чертежу, рисунку. В результате выполнения таких упражнений формируются навыки перевода графических данных на словесный текст.

Второй этап пропедевтики. Важным моментом здесь является обучение пониманию учащимися способов словесного выражения изменения величин и фиксация их в виде математических выражений или уравнений. Достигается это с помощью соответствующих упражнений. Например, при изучении действий умножения натуральных чисел в III классе учащиеся рассматривают одно из применений умножения -- увеличение числа в несколько раз.

Здесь для достижения указанной цели возможны следующие упражнения:

1)Отец старше сына в 4 раза. Сколько лет отцу, если сыну m лет? (4т.)

2)На первых двух полках стоит по п книг на каждой, а на третьей -- т книг. Сколько книг на трех полках? (2 п + т)

3)Сравните а и с, если а = 5с. (а больше с в 5 раз или с меньше а в 5 раз.)

4)Составьте равенство, исходя из условия: х больше у в п раз.(х = пу.)

5)Составьте задачу по уравнению 2 х = 28. (Например: «В корзине было несколько грибов. После того как в нее добавили столько же, в ней стало 28 грибов. Сколько грибов было в корзине?»)

Аналогичные упражнения могут быть предложены учащимся также при изучении других арифметических действий.

Сложность подобных упражнений должна быть посильной для учащихся, а число их -- достаточным для формирования соответствующих умений и навыков.

В методике обучения решению задач предлагаются также другие системы упражнений для достижения поставленной цели. Например, рассматриваются конкретные текстовые задачи и после их прочтения учащимися, предлагается ответить на ряд вопросов. Раскроем содержание этого приема на нескольких задачах.

Задача 1. Теплоход «Метеор» за час проходит расстояние в 5 раз большее, чем катер. Сколько километров в час проходит каждый из них, если сумма их скоростей равна 90 км/ч?

Задания:

1) Назовите величины, которые связаны зависимостями: а) одна больше другой в 5 раз; б) одна меньше другой в 5 раз.

2) Если катер проходит х км/ч, то как можно истолковать выражения: 5х; 5х + х? Значение какой из представленных здесь величин известно по условию задачи?

Задача 2. Футбольная команда школьников выиграла на ... состязаний..., чем проиграла. Число проигранных состязаний в ... числа состязаний, проведенных вничью. Сколько проведено состязаний, если ничьих было на .... чем проигрышей?

Задание. Используя справочный материал, заполните пропуски в тексте задачи. Справочный материал: команда школьников выиграла 16 состязаний, проиграла 6 и свела вничью 2.

Задача 3. На школьной математической олимпиаде было предложено 8 задач. За каждую решенную задачу засчитывалось 5 очков, а за каждую нерешенную задачу списывалось 3 очка. Сколько задач правильно решил ученик, если он получил 24 очка?

Задание. Установите, к решению каких из приведенных ниже уравнений сводится решение предложенной задачи:

а)5х -- 3(8 -- х) = 24; в) 5 (8 -- х) -- 3 х = 24; д) 3у = 24;

б)5 х = 24;г) 5 х -3(8 + х) = 24; е) 5 х + 3 (8 -- х) = 24.

Задача 4. С противоположных концов катка длиной 180 м бегут навстречу друг другу два мальчика. Через сколько секунд они встретятся, если начнут бег одновременно и если один пробегает 9 м/с, а другой 6 м/с?

Задание. Дополните приведенные ниже выражения до уравнения, к которому сводится решение задачи: а) 9 х + ... = 180; б) 180 ... = 6 х; в) ...9 х =

Заметим, что задания к задачам не требуют решения исходных задач. Причем четко выделяются две группы заданий: первая группа (задачи 1 и 2) направлена на формирование умения видеть всевозможные зависимости между величинами, входящими в задачу; вторая группа (задачи 3 и 4) формируют умение видеть в математическом выражении или формуле определенное содержание, т. е. математическую модель.

Изложенная система пропедевтической работы учителя по обучению решению текстовых задач показывает, что эти задачи выступают не только как цель и средство, но и как предмет изучения. Это соответствует той важной роли, которая отводится им в курсе математики.

В IV--V классах учащиеся решают также текстовые задачи на все действия с натуральными и дробными числами, на зависимость между компонентами и результатами действий. Эти задачи и методы их решения имеют важное методическое значение. Прочное усвоение методов решения «чисто арифметических» задач позволяет подготовить учащихся к осознанному решению задач методом составления уравнений. Тем самым, этот вид задач можно рассмотреть в связи с прикладной направленностью курса школьной математики.

2. Решение текстовых задач методом составления уравнений

В каждой текстовой задаче отражается одна или несколько связанных между собой ситуаций, формализуемых некоторым основным отношением. Типичным примером такого отношения является формула а·b=с, имеющая большое число разнообразных проявлений (связь пройденного пути, времени и скорости равномерного движения; связь цены, стоимости и количества изделий и т.д.). Действия по распознаванию таких ситуаций, их сопоставлению и преобразованию выражающих их формул -- основная часть работы по составлению математических моделей текстовых задач.

Задача 1. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух поселков, расстояние между которыми 76 км. Через 2 ч они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного из них на 3 км/ч меньше скорости другого?

В данной задаче описывается равномерное движение велосипедистов. Значит, задача (явно или неявно) содержит три физические величины: скорость движения v, время движения t и пройденный путь s.

Существенным для задачи является то, что зависимость между этими величинами выражается формулой v·t.=s

Если отвлечься от конкретного содержания задачи, то, обозначив первую величину буквой а, вторую -- буквой b и третью -- с, получим зависимость между ними, выражаемую равенством ab = c. Это есть основное отношение, реализованное в задаче, где а -- первый, b -- второй и с -- третий его компоненты.

В предложенной задаче описываются две ситуации: равномерное движение первого велосипедиста и равномерное движение второго велосипедиста до момента встречи. При этом каждая из двух ситуаций формализуется основным отношением ab -- c, определенным на предметной области задачи. Ситуация, формализуемая в задаче основным отношением, является элементом структуры задачи, при этом она минимальный компонент, обладающий свойствами целого (т. е. задачи).

Приведенные соображения позволяют сделать вывод о том, что при поиске решения данной задачи нужно учесть обе ситуации, которые в ней описаны. Опыт преподавания математики в школе показывает, что эффективной наглядной моделью поиска решения текстовых задач алгебраическим методом является табличная форма записи тех отношений, которые включают данные, искомые, условия и требования задачи.

Пусть в данной задаче а -- скорость движения (км/ч), b -- время движения (ч), с -- пройденное расстояние (км); величины а, b, и с связаны отношением ab = c.

Обозначим через х (км/ч) скорость первого велосипедиста.

Тогда модель поиска решения задачи можно представить следующей таблицей:

Таблица 1

Величины	Велосипедист
	I	II
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км	х < х+3 2 | 2 2 х + 2(х+3)

Исходя из табличной записи, получаем уравнение 2 х + 2 (х + 3) =76.

Анализ задачи, ее мысленное расчленение на составные части, выполняется путем вычленения данных и искомых с учетом отношений между ними, указанных в тексте. С другой стороны, основное отношение, реализованное в таблице, направляет ученика на то, чтобы выделенные в ходе анализа выражения мысленно объединить в единое целое. В данном случае искомое уравнение получено путем синтеза двух выражений одной и той же величины (расстояния), являющейся третьим компонентом основного отношения ab=c, реализованного в задаче.

Если через х (км) обозначить расстояние, пройденное первым велосипедистом до момента встречи со вторым, то модель поиска решения задачи будет следующей:

Таблица 2

Величины	Велосипедист
	I	II
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км	х /2 < х /2+3 2 | 2 х < 76- х

Уравнение: (х/2+ 3)2 = 76 -х.

В данном случае уравнение получено другим способом: в составлении уравнения приняли участие все три компонента основного отношения ab = c. Однако это не означает, что в задаче обе ситуации изолированы друг от друга. Действительно, выражение величины скорости первого велосипедиста (х/2) необходимо для получения выражения скорости второго (х/2+3). Поэтому можно сказать, что между задачными ситуациями имеет место неявная связь -- связь порождения.

Покажем, что рассматриваемая модель поиска решения задачи работает также и в случае, когда в задаче реализовано основное отношение другого вида, например a₁+a₂ = a₃. Рассмотрим задачу.

Задача 2. В первом элеваторе было зерна в 2 раза больше, чем во втором. Когда из первого элеватора вывезли 600 т зерна, а во второй привезли 400 т, зерна в обоих элеваторах стало поровну. Сколько тонн зерна было первоначально в каждом элеваторе?

Обозначим через х (тонн) первоначальное количество зерна во втором элеваторе. Тогда модель поиска решения задачи будет следующей:

Таблица 3

Количество зерна	Элеватор
	I	II
Первоначально, т Перевезли, т Осталось, т	2х > х 600 | 400 2х-600 = х+400

Уравнение: 2х -- 600 = х + 400.

Выше были раскрыты возможности модели поиска решения задач на составление уравнений первой степени.

Задачи на составление уравнений второй степени, в которых реализовано отношение ab = c, обладают той особенностью, что при одном и том же выбранном неизвестном они допускают не менее двух различных путей поиска решения. Этой особенностью не всегда обладают задачи на составление уравнений первой степени.

Этапы решения задач на составление уравнений

В методике математики общепринято следующее деление процесса решения задач:

1) анализ текста задачи;

2) поиск способа решения задачи и составление плана решения;

3) осуществление найденного плана;

4) изучение (анализ) найденного решения.

Выделенные этапы представляют норму деятельности человека по решению задач. Однако в реальном процессе решения необязательно явным образом проходить через все указанные этапы. Это зависит от того, насколько решающему известен способ решения задачи. Все же следует иметь в виду, что выделенные этапы процесса решения задачи служат той ориентировочной основой, опираясь на которую учитель управляет действиями учащихся по формированию способов решения задач. Каждый этап имеет свои признаки (ориентиры), руководствуясь которыми учитель формирует у учащихся компоненты общего умения решать задачи.

На первом этапе (анализ текста задачи) учитель должен добиться того, чтобы учащиеся «приняли» задачу, т. е. поняли ее смысл, сделав целью своей деятельности. В этом случае задача становится объектом мышления.

Поэтому усвоение текста задачи учащимися будет первой важной целью учителя. Исходным здесь является выделение в задаче условия, т. е. данных и отношений между ними, и требования задачи, т. е. искомого (искомых) и отношений между ними. Дальнейшее соотнесение условия и требования позволяет выявить в задаче основное отношение, направляющее процесс поиска ее решения. Как правило, это отношение имеет вид функциональной зависимости рассмотренных в 1.2 типов. Важное значение имеют краткая запись текста задачи, составление схем, рисунков. Схемы и рисунки выступают в роли наглядного представления содержания задачи и зависимостей величин, входящих в нее. Еще большее значение приобретает схема в роли модели, выявляющей скрытые зависимости между величинами. Поэтому составлению кратких записей и схем по тексту задачи необходимо специально обучать.

Сопоставление условия и требования задачи позволяет выяснить, достаточно ли данных для ответа на вопрос задачи, нет ли среди них противоречивых или лишних данных.

На первом этапе решения необходимо также актуализировать «базис» решения задачи, т. е. теоретическую и практическую основу, необходимую для обоснования решения. Здесь выясняется также, не принадлежит ли задача к известному типу задач.

На втором этапе процесса решения задачи важным моментом является выяснение стратегии решения задачи:

-устанавливается, будет ли неизвестным, относительно которого составляется уравнение, искомая величина или же промежуточная величина. Если принято решение найти сначала промежуточную величину, то искомая величина выражается через нее;

-по какому компоненту основного отношения будет составлено уравнение или оно будет составлено с использованием всех его компонентов (другими словами, для каких величин соответствующие выражения будут приравниваться).

Далее осуществляется поиск способа решения задачи на основе построения модели поиска. Аналитико-синтетический поиск решения заканчивается получением уравнения. Соответствующий план решения обсуждается с учащимися, при этом используется табличная запись поиска решения задачи. В случае необходимости план как способ решения задачи оформляется письменно. Он выполняет роль ориентировочной основы деятельности учащегося.

На третьем этапе процесса решения задачи осуществляется найденный план решения, выполняется проверка решения и записывается полученный ответ.

Четвертый этап -- изучение (анализ) найденного решения задачи. Здесь анализ имеет своей целью выделение главной идеи решения, существенных его моментов, обобщение решения задач данного типа. Выясняются недостатки решения и производится поиск другого, более рационального решения, выявляются и закрепляются в памяти учащихся приемы, которые были использованы в процессе решения задачи.

В. психолого-дидактических исследованиях высказывается мнение, что осуществление этого этапа будет способствовать переносу знаний и служить средством более эффективного обучения решению задач.

Раскроем методику обучения решению текстовых задач на конкретном примере.



Задача3. По плану бригада должна была выполнить заказ за 10 дней. Но фактически она перевыполняла норму на 27 деталей в день и за 7 дней работы не только выполнила предусмотренное планом задание, но и изготовила сверх плана 54 детали. Сколько деталей в день должна была изготовить бригада по плану?

Анализ текста задачи. После прочтения текста задачи анализ может быть проведен посредством рассмотрения следующих вопросов (самими учащимися или с помощью учителя):

1)За сколько дней бригада должна выполнить заказ по плану?

2)За сколько дней бригада фактически выполнила заказ?

3)Почему бригада выполнила заказ раньше намеченного срока?

4)Сколько деталей изготовила бригада сверх плана?

5)Какие величины содержатся в задаче?

6)Как связаны между собой производительность труда, время и объем выполненной работы? (Учитель может конкретизировать этот вопрос, исходя из возможностей учащихся.)

7)Сколько различных ситуаций можно выделить в задаче?

8)Какие величины, входящие в условие и вопрос задачи, неизвестны?

9)Какая величина в задаче является искомой?

10)Решалась ли раньше задача, похожая на эту?

В итоге первого этапа работы над задачей с учетом основного отношения выполняется запись текста задачи. Табличная форма записи на первых этапах обучения решению текстовых задач наиболее эффективна, потому что умение учащегося оформить соответствующую таблицу говорит о том, принял он задачу или нет.

Таблица 4

Величины	Ситуация
	По плану	Фактически
Производительность бригады, дет. в день Время работы, дн. Объем выполненных работ, дет.	? < ? | 10 | 7 ? < ?

Для выяснения связи между значениями одной и той же величины перед учащимися ставятся соответствующие вопросы, например: в каком случае производительность труда бригады была выше? На сколько деталей в день бригада перевыполняла норму?

Правильный ответ на первый вопрос позволяет поставить в таблице соответствующий знак неравенства между неизвестными значениями одноименной величины. Ответ на второй вопрос позволяет записать: «На 27» (в указанном в таблице месте). Полученная запись позволяет учащимся актуализировать часть условия задачи: производительность бригады, предусмотренная планом, на 27 деталей в день меньше фактической. Аналогично поступают при выяснении связи между неизвестными значениями другой величины. В данном случае сравнивается плановый и фактический объем выполненной работы.

Поиск способа решения задачи. На этом этапе обсуждается стратегия решения задачи. Затем вводится обозначение искомой или другой неизвестной величины в зависимости от выбранной учителем совместно с учащимися стратегии. Далее, пользуясь установленными зависимостями между значениями одноименных величин и основным отношением, реализованным в задаче (т. е. зависимостью между величинами), на основе табличной записи текста задачи заполняется таблица поиска решения задачи:

Таблица 5

Величины	Ситуация
	По плану	Фактически
Производительность бригады, дет. в день Время работы, дн. Объем выполненных работ, дет.	х < х+27 | 10 | 7 10х < (х+27)·7

Исходя из модели поиска решения, выписывается неравенство 10х<(х + 27)·7 на 54, с помощью которого составляется уравнение

10х +54 = (х + 27)·7 или уравнение 10х = (х + 27) ·7-54.

Осуществление плана решения задачи. Отсюда естественно вытекает план решения задачи, который включает в себя поиск решения (способ получения уравнения) и решение полученного уравнения. Заметим, что табличная форма записи деятельности учащихся по составлению уравнения не требует повторного ее описания. Поэтому на третьем этапе процесса решения текстовой задачи остается решить полученное уравнение, выполнить проверку решения и записать ответ.

Имеем уравнение: 10x + 54 = (х + 27) ·7. Решим его:

10х + 54 = 7х+189, Зх=135, х = 45.

Данное уравнение имеет один корень -- число 45.

Однако решение задачи не может заканчиваться решением уравнения: необходимо проверить, удовлетворяет ли полученный корень уравнения условию и требованию задачи. В связи с этим необходимо сделать проверку корня уравнения по смыслу задачи. Здесь возможны два способа письменного оформления проверки корней уравнения.

Первый способ состоит в том, что по найденному значению х по порядку вычисляются значения входящих в задачу величин. При этом проверяется, удовлетворяют ли эти величины смысловым ограничениям. Если все найденные значения величин им удовлетворяют, то корень уравнения дает решение задачи.

С этой целью воспользуемся моделью поиска решения задачи. По смыслу данной задачи все входящие в нее величины должны принимать положительные значения. Проверим, выполняется ли это для найденного значения х = 45:

1) х = 45 - положительное число;

2) х +27 = 45+ 27 = 72 - положительное число;

3) (х + 27)·7= 72·7 = 504 - положительное число;

4) 10х= 10·45 = 450 - положительное число;

5) 504 - 450 = 54 - положительное число, являющееся данным.

Следовательно, значение х = 45 удовлетворяет условию задачи, т. е. является ее решением.

Ответ: бригада должна изготовить в день по плану 45 деталей.

Изучение (анализ) найденного решения. Перед учащимися в соответствии с содержанием этого этапа процесса решения задачи ставятся вопросы следующего типа: Какова главная идея решения данной задачи? Нельзя ли указать другие способы решения данной задачи? Почему рассмотренный способ решения является рациональным? Заметим, что для данной задачи все возможные пути поиска ее решения не выявляют другого способа, т. е. эта задача имеет постоянную структуру.

Если учащиеся решили ряд задач рассматриваемого в этой главе типа, то возможна постановка вопроса о том, какова сущность общего способа решения таких задач. Предложенная методика обучения решению текстовых задач эффективна также и в случае решения задач, приводящих к решению уравнений более сложного вида, чем линейные, например квадратных. Естественно, что при последовательном формировании умений решать текстовые задачи методика обучения претерпевает определенные изменения: отпадет необходимость применять табличную форму записи текста задачи и поиска ее решения, сократится число выявленных этапов процесса ее решения, сам этот процесс станет более свернутым.



3. Основные виды текстовых задач

3.1 Текстовые задачи на проценты

К текстовым задачам на проценты относятся задачи, в которых речь идет о вкладах в банк под тем или иным процентом, о прибыли, о выполнении плана, об изменении цены на товар; задачи, в которых происходит преобразование исходного вещества (при сушке, при выпаривании) и т. д. Задачи этого типа очень часто входят составной частью в решение других типовых задач.

Задачи на проценты являются традиционными для школы; обучение их решению всегда рассматривалось как необходимое условие подготовки учащихся к жизни.

Действительно, это одно из математических понятий, которое часто встречается в повседневной жизни. Не будучи подготовленными к пониманию, вряд ли учащиеся смогут осмысленно трактовать такие сообщения, как «Банк начисляет120 процентов годовых», «В выборах приняли участие 56,3 процента избирателей» и т. д., тем более отвечать на подобные вопросы: «Какой капитал, отданный в рост под 6 %, принесет в 6 лет 8 850 руб. процентных денег?», «Какой будет заработная плата после повышения ее на 35 %, если до повышения она составляла 7 500 руб.?», «Как изменятся расходы на оплату электроэнергии, если потребление возрастает на 15 %, а стоимость одного кВт / ч увеличится на 20 %?» и т. д. Заметим, что задачи на проценты сегодня становятся еще более актуальны, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется (повышение цен; объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях; сведения о повышении процента банковского кредита; сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов и т. д.).

Дадим некоторые рекомендации, которые помогут обучающимся в решении задач на проценты.

1) Если учащийся не достаточно уверенно владеет процентами, то ему следует свести задачу на проценты к задаче на части, для чего следует помнить только одно: один процент есть сотая часть числа.

2) Когда в задачах «сухое вещество» сохраняет неизменную массу, то общая схема решения этой группы задач такова:

S - 100 % S₁ - q %

S₁ - p % x - 100 %

где S - общая масса, S₁ - масса сухого вещества, p и q - процентное содержание сухого вещества в различных продуктах.

3) Для решения текстовых задач на проценты полезно составлять пропорции, а также записывать условие задачи и анализ процесса ее решения в виде схем.

4) Если некоторая величина A за время t увеличивается от значения A₀ до A₁ так, что A₁= k, A₀= (1 + a) A₀, то a - это относительный прирост A за время t; p = a · 100%-ный прирост A; a ·A - прибыль A за время t.

Если за время t величина A убывает от A₀ до A₁ так, что A₁ = k, A₀ = (1 - a) A₀, то a - это относительный убыток A за время t; a · 100%-ный убыток A; a · A - убыток A за время t.

5) Если величина A изменяется на p процентов, то ее новое значение A1 находится по формуле: . При повторном изменении полученной величины на q процентов, получаем значение и т. д. Знаки чисел p и q зависят от условия задачи: плюс - при увеличении, минус - при уменьшении исходной величины.

6) Заметим, что учащиеся не всегда быстро выучиваются хорошо различать высказывания «выполнил на 2 %» и «перевыполнил на 2 %». Их можно потренировать вопросами типа: «Бригада перевыполнила задание на 10 %. Насколько процентов она выполнила задание?»; «Магазин выполнил план товарооборота на 105 %. На сколько процентов магазин перевыполнил план товарооборота?»

Практика показывает, что в задачах типа «Цена товара снизилась с 4 000 руб. до 3 000 руб. На сколько рублей снизилась цена? На сколько процентов снизилась цена по сравнению с первоначальной ценой?» учащиеся испытывают затруднения в определении того, какое число принимать за

100 %. Нужно обратить их внимание на число, с которым сравнивают другое число. В этом помогает переформулировка условия задачи: «На сколько процентов 3 000 р. меньше, чем 4 000 руб.?» Сравнивают с суммой 4 000 руб., значит, 4 000 руб. - это 100 %. Тогда решение будет таким:

1)

2) 100 % - 75 % = 25 %.

Или так: 4 000 - 3 000 = 1 000 (руб.) Разность 1 000 руб. составляет от 4 000 руб. . Заметим, что первое решение учащиеся обычно усваивают лучше.

8) При участии во всевозможных контрольных испытаниях, а особенно если это касается тестирования, большое значение имеет умение испытуемого экономить время, что позволяет ему отвести больший резерв времени для решения более сложных задач. Покажем один прием экономии времени на примере решения текстовой задачи на проценты.

Задача 1. Сколько чистой воды нужно добавить к 100 граммам 60%-го раствора кислоты, чтобы получить 30%-ный раствор?

Составим таблицу.

Таблица 6

Величины	Дано	Добавлено	Всего
Общая масса в граммах	100	х	100+х
Процент кислоты	60%=0,6	0%=0	20%=0,2
Кислота в граммах	0,6100=60	0	0,2(100+х)

Задача 2. Ваш нынешний оклад 60 000 рублей в год. Ваш начальник предлагает вам на выбор два варианта, по которым может рассчитываться ваша зарплата. Зарплата будет выдаваться каждые 6 месяцев.

1) Первоначальный годовой оклад будет увеличиваться через каждые 12 месяцев на 1 000 рублей.

2) Ваша зарплата будет увеличиваться каждые 6 месяцев на 250 рублей. Какой вариант вам выгоднее?

Решение.

Может показаться, что первый вариант выгоднее. Однако, как показывает таблица, это не так.

Таблица 7

Полугодие	1 вариант	2 вариант
1-е	30000	30000
2-е	30000	30250
3-е	30500	30500
4-е	30500	30750
5-е	31000	31000
6-е	31000	31250
7-е	31500	31500

Видно, что второй вариант предпочтительней.

Задача 3. Первый сплав состоит из цинка и меди, входящих в него в отношении 1 : 2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2 : 3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17 : 27?

Решение.

Запишем условие задачи в виде таблицы.

Таблица 8

Сплавы	Вес цинка, кг	Вес меди, кг	Возьмем для нового сплава, кг
1 сплав	х	2х	А
2 сплав	2у	3у	В
Новый	х+2у	2х+3у

Заметим, что или 27х + 54у=34х + 51у откуда 3у=7х.

Так как

3x = А,

5y = В, то .

Ответ: сплав следует взять в соотношении 9:35.

Задача 4-1 Ученик прочитал 138 страниц, что составило 23% всех страниц книги. Сколько страниц в книге?

Рис. 1

Объяснение: Число страниц в Кинге неизвестно. Ставим знак вопроса. Но число страниц составляет 100%. Показываем это на отрезке, выполняя деление на условные 100 равных частей (для слабоуспевающих детей внизу отрезка можно ставить еще и число 100). Затем отмечаем число 138 и показываем, что оно составляет 23%.

При решении задач предыдущего раздела и задач на проценты следует объяснить учащимся, что прежде всего нужно выяснить, сколько составляет 1 часть или 1%.

Так как 138 страниц составляют 23%, то находим, сколько приходится на 1%.

138 / 23 = 6 (стр.) - составляет 1%.

Так как число страниц в книге составляет 100%, то

6100% = 600 (стр.) - в книге.

Ответ: В книге 600 страниц.

Задача4-2. Для приготовления уксуса определенной крепости в сосуд, содержащий 12 л уксусной эссенции, долили 20 л воды. В другом сосуде содержалось 13 л более крепкого уксуса: на 9 л уксусной эссенции приходилось только 4 л воды. Сколько литров уксуса надо перелить из первого сосуда во второй, чтобы уравнять во втором сосуде содержание уксусной эссенции и воды.

Решение.

Концентрация уксуса в первом сосуде , концентрация уксуса в другом сосуде . Во втором сосуде после перелива x (л) уксуса из первого сосуда концентрация должна стать равной 1/2 (одинаковое содержание уксусной эссенции и воды).

.

Другой вариант решения (S₁=S₂), рис. 2. .

Рис.2

Ответ: 20 л.

Задача 5. По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируется, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет в 50000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течении 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

Решение.

В конце первого года сумма составляет 55000 р. Теперь начисляем

10 % от этой суммы и получаем сумму в конце второго года 60500 р. Чтобы узнать весь доход за три года находим 110% от 60500, а это число равно 66550. Итак, по истечении всего срока доход составляет 16550 рублей.

Ответ.16550 р.

Задача 6. Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Какова теперь масса арбуза?

Решение.

Масса “сухого вещества” арбуза составляла 100-99=1 (%) . Это 200,01=0,2 (кг). Т.е. те же самые 0,2 кг составляют 2% от новой массы арбуза. Найдем эту новую массу: 0,2:0,02=10 (кг)

Ответ. 10 кг.

Задача 7. Производительность труда повысили на 25%. На сколько процентов уменьшится время выполнения задания?

Решение.

Пусть раньше производили х деталей за смену, а стали производить х+0,25х=1025х=5/4х деталей за смену. С новой производительностью труда можно произвести прежнее число деталей за 4/5 смены, т.е. время выполнения задания уменьшится на 1/5, или на 20% .

Ответ. На 20%.

3.2 Текстовые задачи на работу

Основными компонентами этого типа задач являются работа (объем работы, которую надо выполнить), время (время, необходимое для выполнения всего объема работы) и производительность (работа, выполненная за единицу времени). Пусть х -- производительность станка, тогда, если известен весь объем выполненной работы, х -- это число деталей, выпускаемых в минуту, или в час, или вдень и т. д. Если весь объем работы неизвестен, то х -- это часть работы, выполненной за минуту, или час, или день и т. д.

Если в задаче не сказано, какой объем работы выполняется, то мы можем самостоятельно ввести единицу работы, равную всей работе.

На протяжении всей задачи необходимо пользоваться одними единицами измерения.

В задачах на работу за неизвестные, как правило, надо принимать производительность или время, за которое выполнит всю работу кто-то в одиночку.

Задача 1. Два токаря вместе изготовили 350 деталей. Первый токарь делал в день 40 деталей и работал 5 дней, второй работал на 2 дня меньше. Сколько деталей в день делал второй токарь?

Составим таблицу

Таблица 9 Условие задачи

	Производительность	Время	Количество
1т.	40 деталей	5 дней

Объяснение. Так как известны производительность и время работы первого токаря, найдем количество деталей, изготовленных первым токарем.

405 = 200 (дет.) - изготовил первый токарь.

Работая с таблицей, делаем вывод, что можно найти, сколько деталей изготовил второй токарь.

350 - 200 = 150 (дет.) - изготовил второй токарь.

Обратив внимание на опорные слова «на…меньше», делаем вывод, что можно найти, сколько дней работал второй.

5 - 2 = 3 (дня) - работал второй токарь.

Зная количество и время работы второго токаря, находим его производительность:

150 / 3 = 50 (дет.) - изготовлял второй токарь в день.

Задача2. Новая машина может выкопать канаву за 8 часов, а старая - за 12. Новая работала 3 часа, а старая - 5 часов. Какую часть канавы осталось выкопать?

Рис.3

Дадим наглядное представление этих задач(рис.3). Условимся, что объем выполненной работы неизвестен, поэтому принимаем его за 1 и изображаем в виде отрезка, но отрезков будет три, так как возможны три случая:

работает одна старая машина;

работает одна новая машина;

работают вместе обе машины.

Выясним, почему отрезки равной длины (обе машины выполняют одну и ту же работу).

Разбор задачи. На сколько равных частей делим первый отрезок? На 8, так как работа выполняется за 8 часов. Что показывает 1 часть? Какую часть работы выполняет новая машина за 1 час, т.е. какова ее производительность?

Так как новая машина работала 3 часа, то выполнила части все работы. Отмечаем на третьем отрезке - .

Аналогичные рассуждения проводим, рассматривая старую машину, и отмечаем на третьем отрезке - .

Далее рассматривается третий нижний отрезок, и по нему выясняется, как найти оставшуюся часть, т.е., отрезок, обозначенный знаком вопроса.

В связи с экономией времени деление отрезков производится «на глаз», хотя очень полезно показать, как можно разделить быстро на 4 равные части (отрезок делится пополам, а затем каждая часть еще пополам). Аналогично деление на 8 и т.д. На 6 частей - сначала пополам, а потом каждую часть - на три.

Задача 3. Два кузнеца, работая вместе, могут выполнить работу за 8 часов. За сколько часов может выполнить работу первый кузнец, если второй выполняет ее за 12 часов?

Изображая чертеж, мы проводим те же рассуждения, что и в предыдущей задаче(рис.4).

Рис.4

Разбор задачи. Первый отрезок делим на 8 равных частей, так как оба выполняют работу за 8 часов. Одна часть показывает, какую часть работы они выполняют вместе за 1 час, т.е., их совместную производительность. Аналогичные рассуждения проводим для расчета производительности второго кузнеца.

Зная их совместную производительность и производительность второго, можно найти производительность первого.

Результат показываем на чертеже.

Выясняем, сколько часов нужно первому кузнецу для выполнения работы (сколько раз в 1 содержится по ).

Ответ: 24 часа.

Задача 4: Две трубы при совместном действии могут наполнить бассейн за 4 часа. Если бы сначала первая труба наполнила половину бассейна, а затем её перекрыли и открыли вторую, то наполнение бассейна было бы закончено за 9 часов. За сколько часов может наполнить этот бассейн каждая труба в отдельности?

Рис.5

Ответ: 12 ч и 6 ч.

3.3 Текстовые задачи на движение

Решение любой текстовой задачи (не только на движение) складывается из трех основных моментов:

удачного выбора неизвестных: практически всегда в задачах на движение выбор в качестве неизвестных величин расстояний и скоростей приводит к успеху. Необходимо также обращать внимание на единицы измерения -- они в течение всего решения должны быть одинаковы;

составления уравнений и формулирования того, что требуется найти: важно обязательно правильно сформулировать при помощи выбранных переменных, что необходимо найти, поскольку переменных может быть больше, чем уравнений, так что все их найти будет просто невозможно;

решения полученной системы уравнений и неравенств: здесь нужно все время помнить о том, что ищется. Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным.

Всякие переходы на новый режим движения, на новое направление движения считаются происходящими мгновенно.

Если тело с собственной скоростью v движется по реке, скорость течения которой равна и, то скорость движения тела по течению считается равной (v+и), а против течения (v-и).

При движении тел навстречу друг другу время, через которое они встретятся, равно

где S -- расстояние между телами; v₁ и v₂ -- скорости тел.

При движении тел в одну сторону v₁ > v₂ время, через которое первое тело догонит второе, равно

При движении тел по окружности с постоянными скоростями v₁ и v₂ (v₁ > v₂) время между их встречами вычисляется по формулам:

а)если тела движутся в одном направлении, то:

б)если тела движутся в разных направлениях, то:

Задача 1. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 6 км позади них. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обогнал пешехода в момент, когда мотоциклист догнал пешехода?

Решение.

I способ - графический, используется подобие треугольников(рис.6).

Рис.6

II способ

Пусть х км - искомое расстояние.

По условию составим систему:

х=2 км.

Задача 2. По шоссе со скоростью 16 м/с движется автобус. Человек находится на расстоянии 50 м от шоссе и 400 м от автобуса. В каком направлении нужно бежать человеку со скоростью 4 м/c, чтобы выйти на шоссе и не опоздать на автобус?

Решение.

Пусть в момент, когда человек начинает бежать к шоссе, он находится в точке В, а автобус - в точке А. В точке D- кратчайшее расстояние от точки В до шоссе. Точка С - место выхода человека на шоссе. Обозначим АВС=б Угол б полностью определяет направление движения человека(рис.7). По теореме синусов из АВС имеем АDВ - прямоугольный, .

Рис.7

Обозначим через t₁ сек время движения человека по пути ВС; t₂ сек - время движения автобуса по пути АС. Тогда АС=16t₁ ВС=4t₂ и , так как по условию t₂ > t₁.

Ответ: 30⁰ б 150⁰.

3.4 Логико-комбинаторные текстовые задачи

Задача 1. Команда «Метеор» принимала участие в хоккейном турнире, в котором все команды сыграли одинаковое число матчей. За победу каждой команде начислялось 2 очка, за ничью -- 1 очко, за поражение -- 0 очков. Известно, что команда «Метеор» набрала ровно 90 %, а каждая из остальных команд турнира -- не менее 40 % максимально возможного для себя количества очков. Какое наименьшее число команд могло участвовать в турнире? (Система проведения турнира произвольная.)

Решение

Пусть в турнире участвовало команд, и каждая сыграла по n матчей. Тогда общее число сыгранных в турнире матчей равно , а общее число разыгранных очков равно 2. По условию, «Метеор» набрал 90%, от максимально возможного числа 2n очков, т.е. 092 n очков. Каждая из остальных (k -1) команд набрала не менее 0.42 n очков. Поэтому все команды вместе набрали не менее чем 0.92 n +(k -1)0.42 n= n (1.8+(k -1)0.8) k n очков. Поэтому откуда находим 5 k. И так число команд в турнире не могло быть меньше 5.

Ответ: 5 команд.

Задача 2. Семь разбойников нашли 55 золотых монет весом 306, 307, 308, ... 360 г(всего 55).Каждый из разбойников останется доволен, если при дележе ему достанется не мене 2,5кг золота Можно ли разделить монеты так, чтобы все разбойники остались довольны?

Решение

Поскольку разбойников семеро, а монет 55, то хотя бы одному из них достанется не более семи монет равен:

360г + 359г +… +354=2499г<2,5 кг.

Ответ: нет.

Задача 3. Некоторое число шахматистов - мастеров и гроссмейстеров выступили в трёх турнирах Кубка мира .В первом турнире мастеров участвовало меньше трети общего числа участников этого турнира, во втором - меньше пятой части общего числа в этом турнире, в третьем - также меньше пятой части. Каждый шахматист выпустил хотя бы в одном турнире. Доказать, что среди участников кубка мира мастеров меньше половины.