Изучение различных видов текстовых задач, выявление их роли в процессе обучения математики

Решение

Из условия следует, что поскольку число мастеров-участников первого турнира меньше общего числа участников, то оно меньше числа гроссмейстеров - участников этого же турнира. Тем более, оно меньше числа всех гроссмейстеров, игравших в Кубке. Аналогично, число мастеров - участников третьего турнира также меньше четверти от числа всех гроссмейстеров. Так как каждый мастер сыграл хотя бы в одном турнире, то число всех мастеров меньше от числа всех гроссмейстеров, т.е. меньше половины числа всех участников Кубка.

4. Нестандартные задачи в школьном курсе математики

4.1 О роли задач в обучении математике

В обучении математике задачам всегда отводилась достаточно большая, если не решающая, роль.

Сейчас всё большее распространение получает прогрессивный метод обучения через задачи как реализация системы проблемного обучения. Основные идеи этого метода находят в какой-то мере отражение в новых учебниках. Задачи становятся не только и не столько целью, сколько средством обучения.

Исторически сложилось, что на ранних этапах развития математики решение задач было целью обучения. Ученик должен был заучить образцы и затем подводить под эти образцы решения задач. В основном решались типовые, стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмически разрешимых задач, т.е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения.

Многообразные ситуации, возникающие на математическом и нематематическом материале, приводят как к стандартным, так и нестандартным задачам, алгоритм решения которых либо неизвестен, либо не существует.

В последние десятилетия постепенное изменение целей обучения математике приводит к необходимости учить детей решению не только стандартных, но и нестандартных задач, которые нельзя отнести к классу алгоритмически разрешимых. Именно по отношению к нестандартной задаче возникает необходимость в вариативном поиске решения.

"Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно не доступной цели. Решение задач означает нахождение этого средства". [10]

Определённые группы задач, предназначенных для классных и внеклассных занятий, вполне пригодны для выработки "надлежащих навыков мысли", навыков, направленных на поиски решения задач.В статье [9] рассказывается

об исследовании, проведённом группой учёных, математиков и психологов с целью выявления закономерностей активизации познавательной деятельности учащихся. Вот что он пишет в книге:

"Теоретическое осмысление работ лучших учителей помогло обнаружить в учебном процессе общую закономерность активизации познавательной деятельности учащихся: напряжение интеллектуальных сил ученика вызывается главным образом постановкой проблемных вопросов, проблемных познавательных задач и учебных заданий исследовательского характера. Это напряжение рождается в столкновении с трудностью в понимании и осмыслении нового факта или понятия и характеризуется наличием проблемной ситуации, высокого интереса учащегося к теме, его эмоционального настроя и волевого усилия."

Роль задач в обучении математике невозможно переоценить. Через задачу естественно ввести проблемную ситуацию. Разрешив систему специально подобранных задач, ученик знакомится с существенными элементами новых алгоритмов, овладевает новыми техническими элементами. Применять математические знания в жизненных ситуациях учат соответствующие практические задачи. И так, задача является основным звеном внутри процесса обучения, а тем более такого, как проблемное и развивающее.

4.2 Как учит решать задачи современная школа

Однако использование задач в процессе обучения математике и в настоящее время ещё далеко от совершенства.

В психологии и педагогике обращается внимание преимущественно на то, как решаются уже кем-то найденные и вполне чётко сформулированные задачи, а не на то, как они обнаруживаются и ставятся. В результате получается, что человек, привыкший видеть перед собой чётко и корректно сформулированную задачу, просто теряется в незнакомой ситуации, будь то хоть обычная некорректная математическая задача или некая задача, возникшая как следствие из практики (прикладная).

Интерес к учебной деятельности, подкрепляемый постоянным активным участием в открытии новых истин, проверке гипотез, поиском способа действий в задаче, является основным психологическим условием успешности этой деятельности.

Школьные уроки математики по-прежнему нацелены на прохождение программы, а не на развитие мышления у детей. Учитель видит свою задачу в том, чтобы школьники с его помощью усвоили ещё одну порцию материала. Однако главная его задача - всемерно содействовать развитию познавательных возможностей у учащихся.

Основную часть времени на уроке ученик проводит, решая задачи, и во многом от их особенностей (сложности, многогранности, сюжетной формы, последовательности и др.) и зависит, насколько успешным будет процесс обучения математике. На практике получается, что чаще всего процесс решения задач на уроке обладает некоторой рутинностью и оставляет ученику мало возможностей для творчества. Со временем такая специфика задач вырабатывает у ученика некоторый неправильный стереотип мышления, относящийся к решению задач. Ученик просто ищет стандартную ситуацию, к которой можно было бы применить известные формулы и теоремы, и теряется, когда предложенная задача требует даже несложного нестандартного подхода.

По мнению Д.Пойа, одной из основных в обучении математике функций задач является функция формирования и развития у учащихся общих умений решений любых математических (в том числе и прикладных) задач. Учащиеся же в настоящее время не получают никаких специальных знаний, на базе которых возможно такое формирование. Более того, в настоящее время эти общие умения формируются чисто стихийно, а не в результате целенаправленного, систематического обучения. Считается, что эти умения могут возникнуть лишь благодаря решению большого числа задач.

Анализ школьных учебников математики показывает, что они содержат вроде бы достаточное (или даже избыточное) количество текстовых задач, из которых учитель может составлять наборы задач, ориентированные на разные классы и на разных учащихся. Однако учебный эффект получается, по мнению многих педагогов-исследователей, невысоким.

Большинство учащихся, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, не знают, как к ней подступиться, с чего начать решение, и при этом обычно произносят печально известные слова: "А мы такие не решали".

Каковы же причины этого широко распространённого явления?

Автор статьи [9] видит основную причину в неудовлетворительной постановке задач в обучении математике. Сейчас, когда учащиеся не имеют систематических знаний о задачах и сущности их решения, главное внимание учащихся (и учителей) направлено на то, чтобы найти решение задачи и притом как можно быстрей. На заключительный анализ, на установление того, какие выводы можно сделать из выполненного решения, - на всё это уже не остаётся ни сил, ни времени, ни желания, а ведь это едва ли не главные аспекты решения задач.

В школе невозможно, да и не нужно, рассматривать все виды текстовых задач. Сколько бы задач ни решали в школе, всё равно учащиеся в своей будущей работе встретятся с новыми видами задач. Поэтому школа должна вооружать учащихся общим подходом к решению любых задач.

Одной из особенностей математики является алгоритмичность решения многих её задач. Алгоритмом, как известно, называется определённое указание относительно того, какие операции и в какой последовательности надо выполнить, чтобы решить любую задачу определённого типа. Конечно, очень большое количество задач не алгоритмизируется и решается с помощью специальных, особых приёмов. Поэтому способность находить пути решения, не подходящие под стандартное правило, является одной из существенных особенностей математического мышления, как об этом говорил академик Колмогоров.

Необходимость специальных способностей для изучения и понимания математики часто преувеличивают. Впечатление исключительной трудности математики иногда создаётся её плохим, чрезмерно формальным изложением на уроке.

Умение последовательно, логически рассуждать в незнакомой обстановке приобретается с трудом. На математических олимпиадах самые неожиданные трудности возникают именно при решении текстовых задач, в которых не предполагается никаких предварительных знаний из школьного курса, но требуется правильно уловить смысл вопроса и рассуждать последовательно.

Многие нарекания вызывает и подготовка школьников как абитуриентов, поступающих в ВУЗы на физико-математические специальности. Многолетняя практика показывает, что воспитанные в традиционной школе абитуриенты обладают знаниями, достаточными для поступления в ВУЗ, однако интеллектуальное развитие большинства из них и, прежде всего, уровень абстрактного и логического мышления недостаточен для эффективного обучения по выбранной специальности.

Итак, как показывает вышеизложенный анализ литературы, наборы текстовых задач имеющихся школьных учебников пока ещё не удовлетворяют требованиям, предъявляемым к результативности математического образования. Чаще всего, эти задачи относятся к алгоритмически разрешимым, не развивают у учеников вариативного мышления, не учат множеству навыков, столь необходимых для решения задач, как школьных, так и бытовых, производственных, научных и т. д.

Рассмотрим более детально, как обстоит дело с задачами, представленными в действующих учебниках математики. Анализ школьных учебников математики показывает, что с 5-го по 11-й класс ученики решают более 7000 текстовых задач.

Если взглянуть на задачи, представленные в школьных учебниках математики, то все задачи, содержащиеся в них, внутри одной темы классифицированы по степени сложности и расположены, как правило, в порядке её возрастания.

Среди предлагаемых учащимся текстовых задач представлены задачи разных классификаций: по их назначению, по наличию алгоритма решения, по характеру требования.

Но одна из классификаций почти не находит отражения в действующих учебниках за редкими исключениями. Речь идёт о классификации по характеру условия задачи - определённые, неопределённые и переопределённые. Школьникам преимущественно предлагаются задачи определённые, т.е. задачи, содержащие в условии ровно столько данных, сколько их требуется для получения ответа, не больше и не меньше. Но почему не больше и не меньше?

Если учитель ставит целью научить своих учеников решать задачи из жизни, а не из учебников, то он должен научить их:

1) математизировать ситуацию (т.е. переводить задачу бытовую, производственную и др. на язык математики);

2) выбирать необходимые для решения величины из их чрезмерного множества или осуществлять вариативный поиск данных, недостающих для решения задачи;

3) решать полученную математическую задачу;

4) анализировать найденные решения, сравнивать их, выбирать наиболее экономичные;

5) разматематизировать ситуацию (т.е. переводить полученный ответ на язык бытовой, производственной и прочей практики).

Из перечисленных видов деятельности школа учит разве что третьему. Остальные затрагиваются в такой ничтожной мере, что говорить даже о частичном обучении здесь вряд ли следует. Например, если вспомнить о задачах неопределённых и переопределённых, то таких в современных учебниках насчитывается не более полупроцента, да и тех учителя чаще всего не замечают.

Однако, многие известные педагоги-исследователи считают использование таких задач полезным и необходимым.

Например, М.Крутецкий в своей книге "Психология математических способностей школьников" приводит такую классификацию:

1. Задачи с несформированным условием - задачи, в которых имеются все данные, но вопрос задачи лишь подразумевается.

2. Задачи с избыточным условием - задачи, в которых имеются лишние данные, не нужные для решения, а лишь маскирующие необходимые для решения задачи данные.

3. Задачи с неполным составом условия - задачи, в которых отсутствуют некоторые данные, необходимые для решения задачи, вследствие чего дать конкретный ответ на вопрос задачи не всегда представляется возможным.

4. Задачи с противоречивым условием - задачи, содержащие в условии противоречие между данными.

В.А. Крутецкий описывает исследование, которое он с группой исследователей проводил во многих школах СССР в течение 12 лет с 1955 по 1966 годы. Исследователи использовали задачи различных типов, среди которых были и приведённые в этой классификации, в качестве тестовых заданий для выявления психологических аспектов математических способностей школьников. По результатам этого исследования получилось, что сильные ученики справляются с задачами указанных типов практически самостоятельно, быстро, практически без помощи испытателя. Ученики средних способностей также неплохо справляются с подобными заданиями, однако для их решения им требуется больше времени и иногда наводящий вопрос, наталкивающий на решение. Слабые ученики практически не могли самостоятельно провести решение этих задач, не видели связи между объектами задачи, и даже с подсказкой испытателя не могли справиться с заданием.

Следует отметить, что именно с указанными типами задач исследователи связывали наибольшие надежды .В книге Д.Пойа "Как решать задачу" приводится похожая классификация, отличающаяся лишь тем, что в ней отсутствуют задачи с несформированным составом условия. Более того, в своей таблице, направленной в помощь решателю, Д.Пойа первыми пунктами поставил вопросы: Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного? или недостаточно? или чрезмерно? или противоречиво? [11]

Вроде бы Пойа предполагает решение самых обычных, школьных задач, однако он не исключает возможности наличия некоторых "аномалий" в условии задачи, к существованию которых ученики должны быть готовы.

Буловацкий М.П. предлагает использовать в обучении математике задачи с неполным составом условия ещё с младших классов, причём он считает, что использование таких задач (деформированных примеров, как он их называет) позволяет проводить обучение опережающими темпами, с их помощью можно коренным образом изменить мыслительные процессы решающего, превратив их в более сложные, более содержательные и потому лучше развивающие способности ученика.[9]

У Н. Маковецкого встречается такая классификация задач. Между условием задачи (А) и её требованием (Х) может быть различное соотношение, определяющее число решений. Обычно школьная задача имеет одно или несколько определённых решений и потому называется определённой. Этот тип задачи условно можно изобразить формулой импликации А=>Х, которую будем понимать так, что условие А содержит достаточно и только достаточно данных для выполнения требования Х. Если из условия А какое-либо данное опустить, то получим неопределённую задачу. Она имеет бесконечное множество решений, зависящих от бесконечного множества значений той величины (параметра), которой принадлежало значение, выброшенное из условия. Наконец, условие может содержать, кроме А, некоторое дополнительное данное, и тогда задача называется переопределённой. В частном случае это "лишнее" данное может вытекать из тех, что уже имеются в задаче, и тогда задача оказывается определённой задачей. В остальных случаях переопределённая задача не имеет решения, поскольку её данные противоречат друг другу, несовместимы. Основные функции задач в обучении выполняют определённые задачи, однако известную пользу, по мнению Н. Маковецкого, приносит учащимся знакомство с неопределёнными и переопределёнными задачами. [10]

Текстовые задачи из рассматриваемой классификации полезны тем, что: они не обладают алгоритмичностью решения, они активизируют умственную деятельность учащихся, заставляют их искать нестандартные подходы к решению задач, а также допускают как несколько способов решения, так и несколько решений вообще .Отсутствие указанных задач в школьных учебниках приводит к тому, что и учителя не ориентируют свои умения на такие задачи, в результате чего их педагогическая подготовка содержит изъяны.

Как пишет М.Буловацкий в своей статье [9], школьник, как правило, игнорирует важные вопросы о переизбыточности, недостаточности или противоречивости задач, так как задачи из школьных учебников не требуют размышления над такими вопросами, потому что в них практически всегда имеется столько данных, сколько необходимо для решения. И это является, по мнению М. Буловацкого, серьёзным недостатком математического образования школьников.

Переопределённые (с избыточным составом условия) или неопределённые (с недостатком данных) задачи ставят большинство школьников в тупик, из которого они зачастую не в состоянии выбраться. И это затруднение возникает в связи с тем, что у школьников не отработан навык отбора и предварительной оценки данных задачи., отработке этого навыка нужно уделять специальное учебное время. [9]

Итак, анализ литературных источников выявляет важную для математического образования проблему: многие педагоги-исследователи указывают на целесообразность использования в обучении задач с «аномальными» условиями, а авторы учебников на это указание почти не реагируют.

Во-первых, насколько полезно включение таких задач в школьный курс математики? Во-вторых, нужно ли специальное обучение учащихся решению таких задач? И если нужно, то каковы методические особенности такого обучения?

4.3. «Аномальные» задачи

Многие известные в педагогике учёные считают полезным включение неопределённых и переопределённых задач в процесс обучения. Почему же большинство учебников уделяет такое слабое внимание этим задачам? Может быть, учащиеся и без специального обучения в состоянии решать такие задачи? Но имеются и другие мнения.

В 10 классе 8 школы г.Гомеля, где на момент эксперимента было 23 учащихся. Им была предложена для решения следующая текстовая задача: в одной мензурке имеется некоторое количество кислоты, в другой мензурке - такое же количество воды. Для приготовления раствора сначала вылили из первой мензурки во вторую 30 граммов кислоты. Затем 2/3 раствора, получившегося во второй мензурке перелили в первую. После этого в первой мензурке оказалось в 1,4 раза меньше жидкости, чем во второй мензурке. Сколько кислоты и воды было взято первоначально?

Все 23 ученика смогли верно составить уравнение, провести его решение и записать ответ: 12 граммов воды и кислоты было первоначально. На этом все прекратили решение задачи. Далее им было предложено вернуться к условию задачи, и попробовать подставить полученный результат в условие. Здесь сразу же возникли трудности, поскольку из мензурки, содержащей 12 г жидкости, требовалось вылить 30 г. Ученики отказывались понимать, как могло так получиться, что задача красиво решилась, но то, что получили в качестве ответа, не подходило по тексту задачи. Непонятным было также и то, как можно записать в ответе, что нет решения, когда на самом деле оно есть.

Задача вызвала резко негативное отношение десятиклассников, которые считали бесполезным решение таких задач для своего образования. Они требовали от учителя предлагать им для решения "нормальные" задачи, какие им и придётся решать при поступлении в ВУЗы.

Таким образом, эксперимент показал не только недостаточное развитие мышления старшеклассников, но и то, что у них уже отсутствует стремление к такому развитию. Они сами (полагаем, не без участия учителей) определили себе "потолок" своего развития, своей образованности, что в принципе для человека ненормально.

Как видим, результаты эксперимента показывают, что школьники не в состоянии самостоятельно справиться с задачами указанных типов. Они не ставят перед собой вопросов о переизбыточности, недостаточности или противоречивости условий задач, не анализируют условие задачи, прежде чем начать её решение, не возвращаются с полученным решением к началу задачи, чтобы проверить его. Из чего можно заключить, что сформированность навыков решения текстовых задач у учащихся средних школ является далеко не полной.

При целенаправленном использовании переопределённых задач ученики довольно быстро приучаются анализировать условие задачи, но в первое время всё же делают довольно грубые ошибки в решении, объясняющиеся прежде всего их неумением проводить такой анализ. При решении задач переопределённых, но имеющих в условии противоречие, ученики после небольшой тренировки находят очевидные или слабо скрытые противоречия, но, если противоречие хоть сколько-ни будь завуалировано, не замечают его и просто игнорируют вместо того, чтобы вернуться к условию задачи и проверить решение. Т.е. необходимость работы над задачей после получения ответа, необходимость анализа этого ответа, выявление его соответствия тексту задачи формируются у учащихся за более длительный срок и затратой больших усилий как самих учащихся, так и учителя. Потому желательно начинать этот процесс на много раньше, чем в десятом классе.

При решении задач неопределённых учащиеся не умеют перебирать всевозможные случаи, которые возникают из-за этой неопределённости, и часто либо находят одно решение, либо пишут, что задача не решается.

Итак, ответ на поставленный вопрос очевиден: сами учащиеся не готовы к решению неопределённых и переопределённых задач, этому нужно их целенаправленно учить. Как? Чтобы ответить на этот вопрос, сначала задумаемся о том, чему могут научить задачи с «аномальным» условием?

Для ответа на последний вопрос рассмотрим исследуемые типы задач более подробно, чтобы определить, что конкретно требуется от ученика при решении каждого из них.

1. Неопределённые задачи - задачи с неполным условием, в котором для получения конкретного ответа не хватает одной или нескольких величин или каких-то указаний на свойства объекта или его связи с другими объектами.

Примеры:

1. Поезд состоит из цистерн, товарных вагонов и платформ. Цистерн на 4 меньше, чем платформ, и на 8 меньше, чем вагонов. Какой длины поезд, если каждая цистерна, вагон и платформа имеют длину 25 м?

2. Заасфальтировали на 30 км больше, чем осталось. Сколько процентов дороги покрыто асфальтом?

В первой задаче напрашивается вывод, что никакой ответ там невозможен, поскольку данных не хватает. Но при более внимательном анализе условия выявляется, что не любое число может получиться в ответе. Например, невозможны ответы 333 м и 250 м, хотя и по разным причинам. Первое невозможно, потому что ответ должен быть кратным 25 м. А второе невозможно, т.к. общее количество тяговых единиц не может быть равным десяти. Сколько же этих единиц там может быть?

Если в поезде цистерн, то платформ , а вагонов . Вместе: . Таким образом, всех тяговых единиц не меньше пятнадцати, а возможный ответ: м, где - натуральное число. Над "дизайном" ответа можно поработать, если переписать его так: .А теперь, обозначив буквой (или другой) количество платформ, получим самый короткий вариант ответа: 75 м, где - натуральное число, не меньшее пяти.

Что ни говори, а такое решение требует более высокого уровня умственной деятельности, чем примитивное "Задача не имеет решения, потому что данных не хватает". И, разумеется, что указанного решения от школьников сразу не получишь, что и подтвердили первые пробы со стoпроцентным результатом.

Вторая задача предлагалась девятиклассникам этой же школы. Результат тот же: "Задача не решается...". Только дополнительная просьба назвать несколько возможных ответов подтолкнула их к анализу и в конце концов вывела на ответ, близкий к правильному: , где (50;100].

Вывод: решение неопределённой задачи обычно заканчивается неопределённым ответом, в котором искомая величина может принимать значения из некоего числового множества. Выявление этого множества и должно стать целью решения такой задачи, что достигается вдумчивым анализом текста задачи и взаимосвязей между данными величинами. Этому полезному для умственного развития учащихся процессу нужно специально обучать.

Задачи этого типа требуют от ученика мобилизации практически всего набора знаний, умения анализировать условие, строить математическую модель решения, находить данные к задаче "между строк" условия.

2. Задачи переопределённые - задачи с избыточным составом условия, с лишними данными, без которых ответ может быть получен, но которые в той или иной мере маскируют путь решения.

Как уже показано выше, данные в таких задачах могут быть противоречивыми и выявление этой противоречивости или непротиворечивости является обязательным элементом решения такой задачи.

Например, в задаче “Поезд состоит из цистерн, товарных вагонов и платформ. Цистерн на 4 меньше, чем платформ, и на 8 меньше, чем вагонов. Товарных вагонов на 4 больше, чем платформ, и на 8 больше, чем цистерн. Какой длины поезд, если каждая цистерна, вагон или платформа имеют длину 25 м?”

Задачи этого типа требуют от ученика умения анализировать условие, находить в нём нужные данные и отбрасывать ненужные. Причём, "ненужными" у разных учеников могут быть разные величины. Например, в этой задаче одни ученики будут искать ответ, используя в качестве переменной величины количество цистерн, а другие - товарных вагонов. Использование нескольких вариантов решения такой задачи полезно не только для их сравнения, но больше для самоконтроля: одинаковость ответов при разных решениях повышает уверенность в их правильности. Отсюда можно получить и один из надёжных способов самоконтроля в решении традиционных задач: после получения ответа вставить этот ответ в текст задачи как одно из данных, а одну из известных величин считать неизвестной и решить полученную новую задачу.

3. Нереальные (или противоречивые) задачи обычно относят к отдельному типу, хотя, как отмечено выше, они являются составной частью переопределённых (иногда определённых) задач.

Пример: Скорость течения реки 5 км/ч ,а скорость катера в стоячей воде - 4 км/ч. Сколько часов нужно катеру, чтобы спуститься по течению на 144 км, а потом вернуться обратно?

Вовсе необязательно решать приведенную задачу, чтобы понять, что она не имеет решения. Достаточно лишь проверить условие на противоречивость и убедиться, что задача не может иметь решения.

Для таких задач характерным является то, что они могут иметь достаточно красивое решение, как это было с приведённой выше задачей на переливание жидкости, но только это решение будет противоречить здравому смыслу. При решении таких задач необходимо всегда в конце возвращаться к условию и делать проверку полученного решения. А поскольку противоречивость задачи не всегда бросается в глаза, это приучит выполнять проверку полученного ответа в каждой задаче. Некоторые из задач этого типа позволяют выявить противоречие данных еще при анализе условия, в результате чего процесс решения становится излишним. Достаточно частое повторение таких ситуаций приведёт учащихся к необходимости анализировать условие перед началом решения, чтобы избавить себя от лишней работы.

Итак, мы выяснили, что каждый из указанных типов задач несёт в себе определённую развивающую функцию. Так, переопределённые задачи требуют умения анализировать условие и строить решение задачи при помощи минимального числа данных. Противоречивые задачи заставляют делать проверку решения, более внимательно анализировать данные задачи. Неопределённые задачи требуют достаточно обширных знаний об объекте задачи, о связях его с другими математическими объектами, которые могут оказаться полезными при получении пусть неопределённого, но всё же ограниченного некими рамками ответа.

Известно [10], что процесс решения математической задачи предусматривает реализацию четырёх этапов: изучение текста задачи, составление плана решения, его выполнение, изучение полученного решения ("взгляд назад"). Для успешного формирования у школьников умений, связанных с реализацией того или иного вида деятельности, необходимо обучать их самостоятельно выполнять каждый из указанных этапов процесса решения задач. Для этого целесообразно учить учащихся операциям, соответствующим определённому этапу работы с задачей. Указанные выше типы задач и позволяют ученику усовершенствовать свои умения в каждом из данных видов деятельности.

4.4 Методика обучения решению «аномальных» задач

Как же научить учащихся решать задачи указанных типов? Как приучить их к "нестандартному" подходу к решению задачи?

Основой для ответа на поставленный вопрос можно считать известную таблицу Д.Пойа "Как решать задачу" [11]. В числе основных вопросов, над которыми следует задумываться решателю, Д.Пойа выделяет следующие:

Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или противоречиво?..

Сохраните только часть условия, отбросив остальную часть: насколько определённым окажется тогда неизвестное? Как оно сможет меняться?..

Все ли данные вами использованы? Все ли условия? Приняты ли во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?..

Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверить ход решения?..

Перечисленные выше вопросы и советы из таблицы Д.Пойа являются мало популярными или совсем непопулярными у школьных учителей. Хотя бы потому, что первая часть этих вопросов и не требуется в отношении традиционных школьных задач. Для того, чтобы таблица Д.Пойа заработала в полной мере, и возникает необходимость дополнить школьные наборы задач задачами неопределёнными и переопределёнными.

Попробуем осмыслить возможный методический подход к обучению учащихся решению таких задач.

Начнём с того, что осторожное включение таких задач возможно уже в 5-6 классах или даже раньше. Начинать следует с введения задач переопределённых, предупреждая на первых порах учащихся о наличии избыточных данных и предлагая им найти такие данные, постепенно переходя от задач простых к таким задачам, в которых избыточные данные не сразу бросаются в глаза. Когда учащиеся приобретут некоторые навыки решения таких задач, можно перейти к введению таких задач уже без предупреждения о наличии избыточных данных, чередуя эти задачи с традиционными определёнными задачами. Таким образом, не зная, имеется ли в условии задачи лишнее данное или нет, но подозревая, что оно может быть, учащиеся к каждой задаче будут подходить критически, что вызовет большую, чем в традиционных условиях, необходимость внимательного анализа условия задачи и различных подходов к её решению.

На некотором этапе переопределённые задачи, предлагаемые учащимся, могут стать противоречивыми. Использование таких задач постепенно приучит их к тому, что обнаруженное в условии лишнее данное не следует игнорировать, но следует проверять его на противоречивость (при этом, как нам представляется, чаще нужно ориентироваться на вычисления с приближёнными величинами, чем с точными). Кроме того, использование задач с противоречивыми данными позволит учащимся заметить (не без помощи учителя) полезность вдумчивого анализа условия, в результате которого можно выявить противоречивость и тем самым не искать решения, т.е. облегчить себе работу. А поскольку никогда не ясно, есть ли противоречие в условии задачи или нет, то вдумчивому анализу будут подвергаться условия всех задач, что следует считать чрезвычайно полезным качеством решателя задач.

Когда переопределённые задачи станут привычными и не будут вызывать у учащихся настороженности и протеста, можно перейти к решению неопределённых задач, снова же вначале предупреждая учащихся о том, что в условии задачи некоторых данных не хватает, и предлагая им указать, каких. При этом полезно сравнивать, как зависит ответ задачи от различных дополнений учащихся - с возможным, но пока не обязательным, выходом на диапазон этого ответа. Ибо целью решения таких задач, как уже отмечено выше, и является указание диапазона возможных состояний ответа.

Критерии создания такой системы задач рассматриваются в [9]. Автор пишет: "Последовательное, постепенно усложняющееся варьирование условия задач является основным принципом, определяющим построение упражнений при обучении решению типовых задач. Вначале - на первоначальных этапах самостоятельного решения новой для ученика типовой задачи (после того, как она разобрана в классе) - варьирование условия касается самых несущественных его сторон, непосредственно не влияющих на применение основного приёма решения, а именно сюжета задачи и числовых величин. Последующее варьирование условия задачи имеет целью не столько закрепление в памяти учащихся того или иного типового приёма (это тоже необходимо), сколько выработку умения распознавать за различной внешней формой задачи её одинаковую логическую структуру. На этом этапе большое значение приобретает решение задач данного типа аналогичных по логической структуре, но изменённых по словесной формулировке. При этом изменение формулировки должно касаться той части условия, которая является определяющей для выбора приёма решения.

Решая систему задач, построенную по этому принципу, учащиеся приучаются улавливать самое существенное в условии задач, правильно абстрагируясь от внешних сторон - своеобразия их формулировок.

На следующем этапе целесообразно вводить в условия задач дополнительные элементы, увеличивая количество числовых данных. Несмотря на то, что введение дополнительных данных никак не влияет на использование основного приёма решения, для учащихся всё же создаётся новая ситуация, требующая от них умения вычленить ту часть условия, которая определяет применение типового приёма и в ходе действий при решении задачи найти ему правильное место.

То же самое следует отметить и о применении задач переопределённых, корректных, но вызывающих противоречие при решении. Эффект от введения этих задач не стоит недооценивать, их цель в системе задач - вызов ситуации, при которой задача не имеет решения при вроде бы существующем на самом деле математическом (записываемом посредством математического языка) решении.

В дальнейшем уже можно прибегать к такому варьированию условий задачи, которое требует видоизменения самого типового приёма. Такого рода варьирование способствует выработке более сложных умений, значение которых для формирования самостоятельного мышления учащихся очень велико. Речь идёт в этих случаях о выработке умений перестраивать известные способы решения в соответствии с изменением условий задачи. Успех этой перестройки непосредственно зависит от того, в какой мере учащиеся умеют анализировать задачи, улавливая одновременно и сходное и различное.

И, наконец, последнее видоизменение условия задачи - составлять условие таким образом, чтобы некоторых данных в них не хватало. С учётом предыдущего опыта учеников по решению задач, этот тип задач, во-первых, будет для них несколько сложным и новым, во-вторых, решая задачи такого типа, ученики более наглядно осознают скрытые свойства объекта задачи, уясняют более детально динамические соотношения между понятиями и определениями, применяемыми при решении данной задачи.

О целесообразности введения неопределённых и переопределённых задач в школьный курс обучения убедительно сказано авторитетными методистами, специалистами в области математического образования. Инерционная школа пока ещё не учитывает этой целесообразности, но сдвиги в указанном направлении уже есть.

Заключение

Целью данного исследования является подробное рассмотрение методики изучения текстовых задач в школьном курсе математики.

В дипломной работе были рассмотрены основные методы и этапы изучения раздела школьного курса математики «текстовые задачи».

Рассмотрены основные виды текстовых задач, а также рассмотрены наиболее наглядные и рациональные методы их решения.

В данной работе приведены примеры «аномальных» текстовых задач и рассмотрены методические возможности обучения решению таких задач. Осуществлена попытка аргументировать целесообразность введения нестандартных задач в школьный курс математики.

Очевидно, что дополнение традиционных текстовых задачами «аномальными» вызовет необходимость особых методических подходов к обучению решению таких задач, расширит мышление учащихся.

Данная работа может быть использована как пособие по курсу методика преподавания математики , а также для студентов математического факультета в качестве методических указаний для студентов практикантов.

Список использованных источников

1. Булынин , В. Применение графических методов при решении текстовых задач. - Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №14, 2005г.

2. Садовничий , Ю.В. Математика. Конкурсные задачи по алгебре с решениями. Часть 6. Решение текстовых задач. Учебное пособие.- 3-е изд., стер. - М.: Издательский отдел УНЦ ДО, 2003г. (серия «В помощь абитуриенту»).

3. Дорофеев , Г.В. Пособие по математике для поступающих в вузы (избранные вопросы элементарной математики)./ Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1976г.

4. Попов, Н.И. Задачи на составление уравнений. Учебное пособие./ Н.И. Попов, А.Н. Марасанов - Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2003г.

5. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1997. - 272 с.: ил.

6.Тавгень, О.И. Математика в задачах. Теория и методы решений. Планиметрия, стереометрия, текстовые задачи: пособие для учащихся учрежедений , обеспечивающих получение общ. сред. Образования/О.И. Тавгень , А.И. Тавгень.- Мн.:Аверсэв,2005 - 511 с.

7. Дорофеев, Г.В. Процентные вычисления: Пособие по математике для общеобразовательных классов и классов экономического профиля./ Дорофеев Г.В., Седова Е.А. - СПб.: Изд-во «Специальная литература», 1997. 111 с.

8. Кац , М. Проценты / Математика. Приложение к газете «Первое сентября». М.: Издат. Дом «Первое сентября», 2004. № 20, 22, 23, 25-26.

9. Буловацкий, М.П. Разнообразить виды задач / Математика в школе. - 1988. - № 5, с.

10. Булавацкі, М., Макавецкі, І. Аб задачах, якіх няма ў школьных падручніках / Матэматыка: праблемы выкладання. - 1999. - № 2, с. 59 - 64.

11.Пойа Д. Как решать задачу. - Львов, 1991.

Размещено на Allbest.ru