Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

УДК 517.5

ПИТАННЯ ЄДИНОСТІ ЕЛЕМЕНТІВ НАЙКРАЩОГО НАБЛИЖЕННЯВ ІНТЕГРАЛЬНІЙ МЕТРИЦІ

01.01.01- математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Ткаченко Марина Євгенівна

Дніпропетровськ, 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Дніпропетровського національного університету

Науковий керівник:доктор фізико-математичних наук, професор Бабенко Владислав Федорович, Дніпропетровський національний університет, завідувач кафедри математичного аналізу.

Офіційні опоненти:доктор фізико-математичних наук, професор Тіман Майор Пилипович, Дніпропетровський державний аграрний університет, завідувач кафедри вищої математики;

доктор фізико-математичних наук Романюк Анатолій Сергійович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник.

Провідна установа:Київський національний університет імені Тараса Шевченка.

Захист відбудеться “8” січня 2004 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 08. 051. 06 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ 50, вул. Козакова, 18, к. 405.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Дніпропетровського національного університету за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ 50, вул. Козакова, 8.

Автореферат розісланий “3” грудня 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Вакарчук М.Б.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дана робота присвячена дослідженню задачі єдиності елемента найкращого наближення у метриці простору L₁ інтегровних за Лебегом функцій. Питання єдиності елемента найкращого наближення є однією із класичних задач теорії наближення. Відомо, що у строго нормованих просторах, якими, зокрема, є простори L_p (1<p<+) інтегровних за Лебегом у степені р функцій, елемент найкращого наближення скінченномірними підпросторами існує і тільки один для кожної функції із L_p, чого не можна сказати про простір L₁. У просторах С неперервних на своїй області визначення функцій і L₁ інтегровних за Лебегом функцій єдиності елемента найкращого наближення, взагалі кажучи, немає. Разом з тим відомо, що у скінченномірному підпросторі Н простору C[a,b] довільна функція f C[a,b] має єдиний елемент найкращого наближення тоді і тільки тоді, коли підпростір Н є чебишевським. Для простору L₁[a,b] ситуація більш складна. Якщо функція має точки розриву, то навіть підпростір констант не є для неї , взагалі кажучи, підпростором єдиності елемента найкращого наближення. Разом з тим, Д. Джексон довів, що для неперервних на відрізку [a,b] функцій підпростори алгебраїчних і тригонометричних поліномів є підпросторами єдиності для найкращого L₁-наближення. М.Г. Крейн узагальнив цей результат на довільні чебишевські підпростори. Подальші дослідження питань єдиності елемента найкращого наближення неперервних функцій в інтегральній метриці розвивалися у двох напрямках. Перший напрямок був пов'язаний зi встановленням єдиності елемента найкращого наближення у важливих конкретних підпросторах, таких, як підпростори сплайнів, слабко чебишевські підпростори і т.д. Дослідженнями у цьому напрямку, крім вищеназваних вчених, займалися П.В.Галкін, Г.Штраус, М.П.Керрол, Д.Браєс, М.Зомер та ін. Другий напрямок був пов'язаний зі знаходженням необхідних і достатніх умов, які б характеризували підпростори єдиності для неперервних функцій.

У 1980 році Г.Штраус вказав клас функцій, за допомогою якого скінченномірні підпростори простору неперервних на відрізку функцій легко досліджувати на єдиність елемента найкращого наближення у метриці простору L₁. Тобто, розглядаючи задачу, чи буде для кожної функції f простору C₁[a,b] неперервних на відрізку [a,b] функцій елемент найкращого L₁-наближення деяким скінченномірним підпростором G простору C₁[a,b] єдиний, досить розв'язати вказану задачу для класу, так званих, “тестових” функцій

H={hC₁[a,b] | g_hG : |h(x)|=|g_h(x)|, x[a,b]},

який є суттєво вужчим, ніж увесь досліджуваний простір неперервних на відрізку функцій. Такі класи функцій для неперервних на компактній підмножині простору R_n дійснозначних функцій, а також векторнозначних та банаховозначних функцій розглядалися А.Пінкусом, М.Зумером, А.Кроо.

В.Ф.Бабенко та В.М.Глушко розповсюдили результат Г.Штрауса на випадок найкращого несиметричного L₁-наближення, а також вказали інший клас, який має таку ж характеризаційну властивість:

H={hC₁[a,b] | g_hG : |h(x)|=(E(x,Zg_h)), x[a,b]},

де, якщо e₁,e₂,…,e_n базис скінченномірного підпростору G простору C₁[a,b], то (t)=max{(e_i,t) : i=1,2,…,n}, а E(x,Zg_h)=inf{|x-y| : yZg_h} - відстань між точкою x[a,b] і множиною нулів Zg_h функції g_h на відрізку [a,b].

Вказані класи H на відміну від класів Г.Штрауса будуються незалежно від вигляду функцій наближуючого підпростору. Для досить великого кола підпросторів клас, вказаний В.Ф.Бабенком та В.М.Глушко, будується однозначно.

В основному подальший розвиток дістали дослідження на основі класів H, описаних Г.Штраусом. Деякою мірою менше вивчалися множини функцій H, знайдені у роботах В.Ф.Бабенка та В.М.Глушко; залишилося широке коло невирішених питань стосовно характеризації підпросторів єдиності елемента найкращого L₁-наближення у більш загальних випадках. Тому обраний напрямок досліджень є актуальним і обгрунтованим.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилася відповідно до загального плану досліджень кафедри математичного аналізу Дніпропетровського національного університету згідно науково-дослідних тем 09-95-98 “Екстремальні задачі аналізу та їх застосування”, номер держаної реєстрації № 0198U003742; 09-207-01 “Нерівності для похідних і екстремальні задачі аналізу”, номер державної реєстрації № 0101V001526; а також згідно науково-дослідної роботи, що виконується за рахунок другої половини робочого дня за темами: “Теорія апроксимації та підсумовування рядів і інтегралів” і “Апроксимація функцій та підсумовування рядів і інтегралів”.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є характеризація підпросторів єдиності елемента найкращого наближення та несиметричного наближення для неперервних функцій у метриці L₁. Об'єктом дослідження є наближення та несиметричне наближення неперервних функцій у метриці простору L₁. Предметом дослідження є питання єдиності елемента найкращого наближення та несиметричного наближення неперервних функцій у інтегральній метриці.

Для реалізації поставленої мети в дисертаційній роботі розв'язуються такі задачі.

1. Побудова класів “тестових” функцій, які характеризують підпростори єдиності елемента найкращого L₁-наближення для неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями у банаховому просторі і є суттєво вужчими всього простору.

2. Побудова аналогічних класів “тестових” функцій для найкращого несиметричного наближення неперервних функцій зі значеннями в упорядкованих банахових просторах.

3. Дослідження питань єдиності елемента найкращого наближення дійснозначних неперервних функцій лінійними комбінаціями фіксованих базисних функцій при наявності обмежень на коефіцієнти.

При розв'язанні поставлених задач в дисертаційній роботі використовуються методи теорії функцій, математичного та функціонального аналізу, теорії наближень, зокрема, методи дослідження, що розвинені у роботах М.П.Корнейчука, Г.Штрауса, В.Ф.Бабенка, В.Ф.Бабенкa та В.М.Глушко, А.Пінкуса, А.Кроо, В.Ф.Бабенка та С.О.Пічугова.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі дістали подальший розвиток дослідження, які були розпочаті в роботах Г.Штрауса, В.Ф.Бабенка і В.М.Глушко, А.Пінкуса і Г.Штрауса. Основні результати роботи є новими і полягають у наступному.

1. Побудовані класи “тестових” функцій, які характеризують підпростори єдиності елемента найкращого L₁-наближення для неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями у банаховому просторі.

2. Доведене існування елемента найкращого L₁-наближення у підпросторі скінченної слабкої вимірності для неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями в сепарабельному банаховому просторі.

3. Досліджена задача найкращого несиметричного та однобічного наближення у загальних напіввпорядкованих просторах (КВ-просторах). Зокрема, доведені теореми двоїстості для найкращого несиметричного і найкращого однобічного наближень, знайдені критерії елемента найкращого несиметричного і однобічного наближення. Для найкращого несиметричного L₁-наближення неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями в КВ-просторі в термінах “тестових” функцій охарактеризовані підпростори єдиності елемента найкращого наближення.

4. Для задачі найкращого наближення при наявності обмежень на коефіцієнти апроксимуючих елементів в термінах “тестових” функцій одержана нова характеризація підпросторів єдиності елемента найкращого L₁-наближення.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані у подальших теоретичних дослідженнях питань єдиності елемента найкращого L₁-наближення неперервних функцій, а також у тих практичних питаннях (наприклад, при створенні алгоритмів знаходження елементів найкращого наближення), у яких важливою є інформація про його єдиність. Зокрема, за допомогою описаних у дисертації класів “тестових” функцій можна досить легко досліджувати на предмет єдиності елемента найкращого L₁-наближення та найкращого несиметричного наближення у метриці L₁ підпростори простору неперервних функцій зі значеннями у банаховому просторі та деякі замкнені опуклі підмножини скінченномірного підпростору простору неперервних на компакті функцій. Побудовані в дисертаційній роботі класи “тестових” функцій є досить зручним інструментом такого роду досліджень. У підрозділі 2.3 дисертаційної роботи приводяться приклади таких досліджень для функцій зі значеннями у просторах R^m_p, l_p, L_p[a,b], де 1<p<+.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку досліджень і постановка задач належить науковому керівникові професору В.Ф.Бабенку.

У дисертаційній роботі використовуються ідеї та дослідження, які містяться у наукових працях [1,3,5,6] опублікованих здобувачем одноосібно та у наукових працях [2, 4] і тезах доповідей [7, 8] опублікованих у співавторстві з В.Ф.Бабенком. В.Ф.Бабенку належить постановка задач та вказівки на можливі методи їх розв'язання. Докладне доведення теорем належить здобувачеві.

Апробація результатів дисертації. За результатами роботи були зроблені доповіді на:

- міжнародній конференції з теорії наближення функцій та її застосувань, присвяченій пам'яті В.К.Дзядика (Київ, 1999р.);

- міждержавних науково-методичних конференціях “Комп'ютерне моделювання” (Дніпродзержинськ, 1999, 2000, 2001, 2003 рр.);

- міжнародній конференції “Теорія функцій і математична фізика”, присвяченій 100-річчю Н.І.Ахієзера (Харків, 2001р.);

- Українському математичному конгресі, присвяченому 200-річчю з дня народження М.В.Остроградського (Київ, 2001р.);

- міжнародній науковій конференції “Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь” (Дрогобич, 2001р.);

- міжнародній конференції “Функціональний аналіз та його застосування”, присвяченій 110-річчю з дня народження С.Банаха (Львів, 2002р.);

- підсумкових конференціях Дніпропетровського національного університету (Дніпропетровськ, 1998, 2000, 2001, 2002 рр.);

- наукових семінарах з теорії функцій (Дніпропетровський національний університет, керівники семінару: член-кор. НАН України, проф. В.П.Моторний, проф. В.Ф.Бабенко).

Публікації. Основні результати, висвітлені у дисертаційній роботі, опубліковані в роботах [1-6], а також опубліковано 9 тез доповідей, що були представлені на різні наукові конференції.

Структура і обсяг роботи. Дисертація обсягом 147 сторінок машинописного тексту складається із вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел, який містить 59 найменувань.

метриця неперервна функція наближення

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми, сформульовані мета і задачі дослідження, визначені об'єкт і предмет дослідження, вказаний зв'язок роботи з науковими програмами, планами та темами, охарактеризована наукова новизна результатів, їх теоретичне і практичне значення, прокоментований особистий внесок здобувача у наукові праці та ступінь апробації результатів дисертації, описані основні результати роботи.

У першому розділі дисертаційної роботи проводиться огляд літератури за її темою та обгрунтування вибору напрямків дослідження. Наводяться основні відомі результати з питань характеризації скінченномірних підпросторів єдиності елемента найкращого L₁-наближення за допомогою “тестових” класів та висвітлюються питання, які залишилися невирішеними.

Другий розділ роботи присвячено вивченню задачі єдиності елемента найкращого L₁-наближення для неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями у банаховому просторі.

У підрозділі 2.1 описуються класи “тестових” функцій, які характеризують підпростори єдиності елемента найкращого L₁-наближення для неперервних на метричному компакті банаховозначних функцій.

Нехай Q метричний компакт із метрикою , -поле борелевських підмножин метричного компакту Q і невід'ємна, скінченна безатомна міра, додатна на кожній непорожній відкритій підмножині у-поля .

Нехай також X строго нормований банаховий простір із нормою || ||_X.

Позначимо через C₁(Q,X) простір неперервних відображень f : QX, норма в якому визначається співвідношенням

|| f ||₁=f(x) ||_X d(x).

Для довільного підпростору HC₁(Q,X) означимо множину

H={hC₁(Q,X) : g_hH xQ h(x) = g_h(x)}.

Справедлива така теорема.

Теорема 2.2. Нехай Х - строго нормований банаховий простір. Кожна функція fC₁(Q,X) має не більше одного елемента найкращого L₁-наближення у підпросторі H тоді і тільки тоді, коли кожна функція hH має не більше одного елемента найкращого L₁-наближення у підпросторі H.

Ця теорема узагальнює теореми, отримані Г.Штраусом.

Як наслідок із теореми 2.2 отримане твердження, яке для скінченномірних підпросторів простору C₁(Q,X), де Q є компакт простору R^m, було доведене А.Кроо.

Наслідок 2.1. Нехай Х - строго нормований банаховий простір, H підпростір простору C₁(Q,X). Кожна функція fC₁(Q,X) буде мати не більше одного елемента найкращого L₁-наближення в підпросторі H тоді і тільки тоді, коли для кожної функції hH\{0} нульовий елемент не буде елементом найкращого L₁-наближення в підпросторі H.

Далі, як апроксимуючий підпростір, розглядається підпростір такого виду

H_n={p(x)=_iu_i(x) : a_iX, і=1,2,…,n},

де {u_i(x)}ⁿ_i=1 система линійно незалежних функцій простору C₁(Q)=C₁(Q,R). Зазначимо, що такі підпростори є підпросторами слабкої вимірності n (підпростори скінченної слабкої вимірності були введені до розгляду В.Ф.Бабенком та С.О.Пічуговим).

У дисертаційній роботі доведено, що, якщо Х - сепарабельний банаховий простір, то підпростір H_n на зразок скінченномірного підпростору є множиною існування елемента найкращого L₁-наближення для функцій простору C₁(Q,X).

Наступні дві теореми узагальнюють результати В.Ф.Бабенка та В.М.Глушко, отримані для найкращого наближення неперервних на відрізку дійснозначних функцій скінченномірними підпросторами, на випадок наближення функцій простору C₁(Q,X) у метриці L₁ елементами підпростору H_n.

Якщо Q - метрично опуклий метричний компакт, Х - строго нормований сепарабельний банаховий простір, (x)=max{(u_i,x) : i=1,2,…,n}, де (u,x) - модуль неперервності функції uC₁(Q),

H={hC₁(Q,X) : p_hH_n xQ h(x) = _h(x)(E(x,Zp_h))},

де для gC₁(Q,X)

то справедливі наступні теореми.

Теорема 2.4. Кожна функція fC₁(Q,X) має єдиний елемент найкращого L₁-наближення у підпросторі H_n тоді і тільки тоді, коли кожна функція hH має єдиний елемент найкращого L₁-наближення у підпросторі H_n.

Теорема 2.5. Кожна функція hH має єдиний елемент найкращого L₁-наближення у підпросторі H_n тоді і тільки тоді, коли для кожної функції hH нульовий елемент не буде елементом найкращого L₁-наближення у підпросторі H_n.

Іноді зручно доводити єдиність або неєдиність елемента найкращого наближення, користуючись таким наслідком.

Позначимо через _(f,g) ліву похідну норми || ||_X у точці f за напрямком g, тобто xQ

_(f(x),g(x))=lim_s-0(|| f(x)+sg(x) ||_X|| f(x) ||_X)/s

де f : QX, g : QX, g0.

Наслідок 2.2. Нехай Х сепарабельний строго нормований банаховий простір. Кожна функція fC₁(Q,X) має єдиний елемент найкращого L₁-наближення у підпросторі H_n тоді і тільки тоді, коли для кожної функції hH (h0) існує функція pH_n така, що

_(h(x),p(x)) d(x)>p(x) ||_X d(x).

У підрозділі 2.2 знайдена умова, якій повинен задовольняти n-зв'язний метричний компакт Q, щоб елемент найкращого наближення підпростором сталих відображень H₀={f : QX | f(x)=a, xQ, aX} був єдиним для кожної функції fC₁(Q,X), де Х - строго нормований банаховий простір; а також знайдені достатні умови єдиності елемента найкращого L₁-наближення для функцій простору C₁(Q,X) підпросторами скінченної слабкої вимірності та довільними підпросторами.

У підрозділі 2.3 наводяться приклади застосування отриманих у підрозділі 2.1 результатів для функцій зі значеннями у просторах R^m_p, l_p, L_p[a,b], (1<p<+). За допомогою отриманого класу H “тестових” функцій доведено, що підпростір H_n, у якому {u_i(x)}ⁿ_i=1 чебишевська система функцій і Х=R^m_p, l_p, або L_p[a,b], коли p(1;+), є простором єдиності елемента найкращого L₁-наближення для функцій із C₁(Q,R^m_p), C₁(Q,l_p), C₁(Q,L_p[a,b]), відповідно, а також такими просторами є простір H_n, натягнутий на функції 1, х, x², ... , x^n-1, (xx₁)₊^n-1, (xx₂)₊^n-1, ... , (xx_k)₊^n-1 з фіксованими вузлами a=x₀<x₁<…<x_k<x_k+1=b, та простір H₂, натягнутий на функції

g(x)1, (a2, b>0),

де b1. Доведено також, що якщо у останньому просторі b=1 і a4, то існують функції із простору C₁([0,a],R^m_p), які мають не менше, ніж два елемента найкращого L₁-наближення у підпросторі H₂. Аналогічні результати були раніше отримані для неперервних на відрізку дійснозначних функцій.

У третьому розділі розглядаються задачі найкращого несиметричного і, зокрема, однобічного наближення.

У підрозділі 3.1 ці задачі розглядаються у загальних КВ-просторах, які є досить природніми для задач такого типу. У пункті 3.1.1 наведені деякі необхідні у подальшому означення та відомості з теорії напіввпорядкованих множин.

Якщо Х KN-лінеал, тобто:

Х векторний простір,

Х частково упорядкована множина, в якій порядок узгоджений з алгебраїчними операціями, і для будь-яких двох елементів x,yX існує їхній супремум xy,

в Х визначена монотонна норма, тобто з нерівності |x||y| випливає нерівність ||x||_X||y||_X,

та будь-яка злічена непорожня обмежена зверху або знизу його множина має, відповідно, верхню або нижню межу, і норма в Х задовольняє дві додаткові умови:

(А)якщо x_n0, то ||x_n||_X0;

(В)якщо x_n+ (x_n0), то ||x_n||_X+,

то Х називається КВ-простором.

Для елемента xX і додатніх чисел , визначимо в Х несиметричну норму

||x||_X;,=||x₊+x||_X,

де x=(x)0.

Нехай елемент xX, Н опукла підмножина KN-лінеалу Х. Величину

E(x,H)_X;,=inf {||xu||_X;, : uH}

будемо називати найкращим (,)-наближенням елемента х множиною H у метриці X, а елемент із H, що реалізує точну нижню межу у правій частині даної рівності, - елементом найкращого (,)-наближення елемента х множиною H у метриці Х.

Нехай далі Y KN-лінеал, K₊ конус невід'ємних елементів KN-лінеалу Х, K конус недодатних елементів Х, множина HX.

Величину

E(x,H)_Y=inf {||xu||_Y : uH, xuK}

будемо називати найкращим наближенням знизу (+) або зверху () елемента xX множиною Н у метриці Y; а елемент u₀H, що реалізує точну нижню межу, - елементом найкращого наближення знизу або зверху, відповідно, елемента х множиною Н у метриці Y.

У пункті 3.1.2 доводяться теореми двоїстості для таких наближень та критерії елемента найкращого несиметричного та однобічного наближення.

Теорема 3.6. Нехай Х КВ-простір, Н опукла підмножина в Х; , додатні числа. Тоді xX має місце співвідношення

E(x,H)_X;,=sup {(f(x)-sup {f(u): uH}): fX*, ||f||_X*;,1}(1)

Зокрема, якщо Н підпростір Х, то

E(x,H)_X;,=sup {f(x) : fH, ||f||_X*;,1}.(2)

Причому, існує функціонал f₀X*, ||f₀|| _X*;,=1, що реалізує у правих частинах рівностей (1) та (2) точну верхню межу.

Теорема 3.7. Нехай нормований простір Х щільно вкладений у KN-лінеал Y і спряжений простір Y* щільно вкладений у спряжений простір Х*. Нехай далі Н підпростір простору Х, причому xX

E(x,H)_YC||x||_X,

де стала С не залежить від х.

Тоді xX

E(x,H)_Y=sup{f(x) : fY*, fH, ||f||_Y*1}.

Вказані теореми є узагальненням відомих теорем двоїстості для найкращого несиметричного та однобічного наближення функцій із простору L_p[a,b] на випадок елементів із КВ-простору та зручною конкретизацією загальних теорем двоїстості для несиметричних норм та несиметричних напівнорм.

Наступна теорема узагальнює відомі граничні співвідношення між несиметричним та однобічним наближеннями функцій із простору L_p[a,b] на випадок елементів із КВ-простору.

Теорема 3.8. Нехай Y КВ-простір, Н локально-компактна підмножина в Y. Тоді для будь-якого елемента xY

E(x,H)_Y;1,=E⁺(x,H)_Y;

E(x,H)_Y;,1=E(x,H)_Y.

Решта третього розділу присвячена питанням єдиності елемента найкращого несиметричного наближення у просторах C₁(Q,X), де Х - КВ-простір.

В підрозділі 3.2 робиться перший крок у цьому напрямку. В ньому результати підрозділу 2.1 переносяться на випадок найкращого несиметричного наближення для дійсних функцій, неперервних на метричному компакті.

В підрозділі 3.3 розглядається задача єдиності елемента найкращого несиметричного L₁-наближення для функцій зі значеннями у КВ-просторі. Таким чином, тут узагальнюються результати підрозділу 3.2, а також певною мірою результати підрозділу 2.1. Зауважимо, однак, що результати підрозділу 2.1 не є окремим випадком результатів підрозділу 3.3, оскільки не кожний банаховий простір є КВ-простором.

Якщо Х - КВ-простір, f C₁(Q,X), H C₁(Q,X), б і в додатні числа, то величину

E(f,H) _1;,=inf{||fg||_1;, : gH}=inf{(fg)(x)||_X;,d(x) : gH}

будемо називати найкращим (,)-наближенням функції f множиною H у метриці L₁; елемент із H, що реалізує точну нижню межу у правій частині даної рівності, - елементом найкращого (,)-наближення функції f множиною H у метриці простору L₁.

Визначимо у КВ-просторі Х строго монотонну норму таким чином: |x|<|y| спричиняє ||x||_X<||y||_X. Так, наприклад, у КВ-просторах L_p[a,b], R^m_p (1p<+) визначені саме строго монотонні норми. Тому дослідження таких КВ-просторів є змістовним.

Нехай H підпростір простору C₁(Q,X). Покладемо, як і раніше

H={hC₁(Q,X) : g_hH xQ h(x)= g_h(x)}.

Підрозділ 3.3 складають такі теореми

Теорема 3.10. Нехай Х строго нормований КВ-простір зі строго монотонною нормою. Кожна функція fC₁(Q,X) має не більше одного елемента найкращого (,)-наближення підпростором H у метриці L₁ тоді і тільки тоді, коли кожна функція hH має не більше одного елемента найкращого (,)-наближення підпростором H у метриці L₁.

Теорема 3.12. Нехай X КВ-простір. Тоді підпростір H_n простору C₁(Q,X) є множиною існування елемента найкращого (,)-наближення у метриці L₁.

Нехай, як і вище

H={hC₁(Q,X) : p_hH_n xQ h(x) = _h(x)(E(x,Zp_h))}.

Теорема 3.13. Нехай X строго нормований КВ-простір зі строго монотонною нормою. Кожна функція fC₁(Q,X) має єдиний елемент найкращого (,)-наближення підпростором H_n у метриці L₁ тоді і тільки тоді, коли кожна функція hH має єдиний елемент найкращого (,)-наближення підпростором H_n у метриці L₁.

Результати підрозділу 3.3 були отримані для функцій зі значеннями у банаховому просторі, який є строго нормованим. Такими просторами є, наприклад, простори , (1<p<+), але простори і не є строго нормованими. Як виявилося, результат, подібний до результатів, одержаних у підрозділі 3.3, можна отримати і для функцій зі значеннями у . Тому у підрозділі 3.4 розглядається задача несиметричного L₁-наближення для неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями у просторі .

Через позначимо простір векторів f = (f¹,…,f^m) із нормою

||f || = f ^j |,

а через C₁(Q, ) простір векторнозначних функцій f : Q із нормою

||f ||_1;, = f ^j (x) |_,d(x) = f ^j₊(x) + f ^j(x) ) d(x),

де = (¹,…,^m), = (¹,…,^m) ,

= {x = (x¹,…,x^m) : x ^j > 0, j = 1,…,m}.

Нехай H підпростір простору C₁(Q, ). Покладемо

H={h=(h¹,…,h^m)C₁(Q,): g_h=(g,…,g)H xQ |h ^j(x)|= |g(x)|, j=1,…,m}.

Справедлива наступна теорема.

Теорема 3.16. Нехай Н підпростір простору C₁(Q,). Кожна функція fC₁(Q,) має не більше одного елемента найкращого (,)-наближення підпростором H в метриці L₁ тоді і тільки тоді, коли кожна функція hH має не більше одного елемента найкращого (,)-наближення підпростором H в метриці L₁.

Ця теорема розповсюджує результат Г.Штрауса, а також А.Кроо, який вказав аналогічний клас “тестових” функцій для векторнозначних функцій, на випадок найкращого несиметричного наближення.

Далі як апроксимуючі підпростори розглядаються підпростори скінченної слабкої вимірності виду

H_n = {_iu_i(x) : a_iR^m, і = 1,…,n},

де {u_i(x)}ⁿ_i=1 лінійно незалежні функції із простору C₁(Q).

Нехай

H={h = (h¹,…,h^m)C₁(Q,): g = (g¹,…,g^m)H_n xQ |h ^j(x)| = (E(x,Zg^j), j=1,…,m}.

У підрозділі 3.4 доведені такі теореми

Теорема 3.17. Кожна функція fC₁(Q,) має єдиний елемент найкращого (,)-наближення підпростором H_n у метриці L₁ тоді і тільки тоді, коли кожна функція hH має єдиний елемент найкращого (,)-наближення підпростором H_n у метриці L₁.

Теорема 3.18. Кожна функція hH має єдиний елемент найкращого (,)-наближення підпростором H_n у метриці L₁ тоді і тільки тоді, коли для кожної функції hH нульовий вектор не буде елементом найкращого (,)-наближення підпростором H_n у метриці L₁.

Відзначимо, що у випадку найкращого несиметричного наближення неперервних на відрізку дійснозначних функцій подібні класи “тестових функцій” були вказані В.Ф.Бабенком та В.М.Глушко.

У вищезазначених розділах були знайдені необхідні та достатні умови того, що підпростір простору неперервних функцій є множиною єдиності елемента найкращого L₁-наближення. Для замкнених опуклих множин задача дослідження питань єдиності елемента найкращого наближення є більш складною. В четвертому розділі розглядається найкраща апроксимація елементами деякої замкненої опуклої підмножини M(,) скінченномірного підпростору U простору неперервних на компакті KR^m дійсних функцій , де для даних = (₁,…,_n) і = (₁,…,_n), таких що _i < _i +, i=1,…,n, та деякого базису u₁,…,u_n n-мірного підпростору U

M(,) = {_iu_i : _i a_{i i}, i = 1,…,n}.

Така задача, так звана задача найкращого наближення з обмеженнями на коефіцієнти, розглядалася багатьма авторами. Зокрема, А.Пінкус та Г.Штраус знайшли необхідну та достатню умови того, що вказана множина є множиною єдиності елемента найкращого L₁-наближення, за допомогою яких можна зняти обмеження, які накладені на коефіцієнти, і тим самим звести вихідну задачу до декількох задач єдиності елемента найкращого L₁-наближення скінченномірними підпросторами. Але необхідність розв'язку при цьому взагалі кажучи великої кількості допоміжних задач призводить до певної незручності.

У четвертому розділі дається інший напрямок вирішення цієї проблеми, а саме описуються класи “тестових” функцій, які значно звужують множину функцій, для яких потрібно перевіряти єдиність елемента найкращого L₁-наближення. Дані класи описуються у наступних теоремах.

Нехай К компактна підмножина Rⁿ така, що K=, невід'ємна, скінченна, безатомна міра на К.

Позначимо через C₁(K,) простір усіх -вимірних неперервних функцій f : K R із L₁-нормою

|| f ||₁=f(x) | d(x),

де міра м задовольняє умову: якщо f(x) | d(x) = 0 для функцій f C₁(K,), то f(x)=0, xK.

Нехай

H={hC₁(K,) : g_hM(,) xK |h(x)| = |g_h(x)|},

H={hC₁(K,) : g_hM(,) xK |h(x)| = (E(x,Zg_h))},

де (t) = max {(u_i,t) : i = 1,2,…,n}.

Справедливі такі теореми.

Теорема 4.2. Нехай N = {i : _i= , _i= + }.. Для того, щоб кожна функція f C₁(K,) мала єдиний елемент найкращого L₁-наближення у множині M(,) достатньо, а у випадку, коли iN <_i < _i < +, і необхідно, щоб кожна функція hH мала єдиний елемент найкращого L₁-наближення у множині M(,).

Теорема 4.3. Кожна функція hH має єдиний елемент найкращого L₁-наближення у множині M(,) тоді і тільки тоді, коли для будь-якої ненульової функції hH нуль не є елементом найкращого L₁-наближення у множині M(,).

Теорема 4.4. Нехай N = {i : _i= , _i= + }. Для того, щоб кожна функція f C₁(K,) мала єдиний елемент найкращого L₁-наближення у множині M(,) достатньо, а у випадку, коли iN <_i < _i < +, і необхідно, щоб кожна функція hH мала єдиний елемент найкращого L₁-наближення у множині M(,).

Теорема 4.5. Кожна функція hH має єдиний елемент найкращого L₁-наближення у множині M(,) тоді і тільки тоді, коли для будь-якої ненульової функції hH нуль не є елементом найкращого L₁-наближення у множині M(,).

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена задачам характеризації підпросторів єдиності елементів найкращого наближення в інтегральній метриці. Основні наукові результати дисертаційної роботи полягають у наступному.

1. Досліджена задача єдиності елемента найкращого L1-наближення неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями у строго нормованому банаховому просторі. В термінах єдиності елемента найкращого наближення для “тестових” функцій охарактеризовані підпростори, у яких для довільної неперервної функції існує єдиний елемент найкращого наближення. Ці результати складають суттєве узагальнення відомих результатів Г.Штрауса, а також В.Ф.Бабенка і В.М.Глушко. Отримані також достатні умови єдиності елемента найкращого L1-наближення для довільного підпростору і підпростору скінченної слабкої вимірності.

2. Для задач найкращого несиметричного і найкращого однобічного наближення у КВ-просторах опуклою підмножиною або підпростором доведені теореми двоїстості, одержані критерії елемента найкращого наближення, а також встановлені граничні співвідношення між несиметричними та однобічними наближеннями. Ці результати узагальнюють факти відомі для несиметричних та однобічних наближень у просторах Lp[a,b] у формі зручній для застосувань.

3. В термінах єдиності елемента найкращого наближення для “тестових” функцій охарактеризовані підпростори єдиності елемента найкращого несиметричного L1-наближення для неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями у КВ-просторах.

4. Для неперервних на компактній підмножині простору Rⁿ дійснозначних функцій одержані необхідна та достатня умови єдиності елемента найкращого L1-наближення множиною лінійних комбінацій скінченного набору базисних функцій при наявності обмежень типу нерівностей на коефіцієнти лінійних комбінацій. Відомі необхідна і достатня умови А.Пінкуса та Г.Штрауса дозволяють звести дослідження питання єдиності елемента найкращого наближення при наявності обмежень на коефіцієнти до дослідження питань єдиності елемента найкращого наближення без обмежень лінійними оболонками усіляких наборів базисних функцій, що містять у собі ті, на коефіцієнти при яких обмеження відсутні. Кількість таких лінійних оболонок може бути, взагалі кажучи, дуже великою. Отримані у дисертаційній роботі результати дають інший підхід до дослідження задачі єдиності елемента найкращого L1-наближення при наявності обмежень на коефіцієнти.

Користуючись нагодою, висловлюю щиру подяку моєму науковому керівникові Бабенку Владиславу Федоровичу за постановку задач, корисні поради та всіляку підтримку та допомогу у роботі.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ У РОБОТАХ

1. Горбенко М.Е. О единственности элемента наилучшего несимметричного приближения векторнозначных функций в метрике L₁ // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Математика. - 1998. - С.33-41.

2. Babenko V.F., Gorbenko M.E. On the uniqueness of the best non-symmetric approximants for continuous functions on a metric compact // East J. Approx. - 1999. - 5, № 3. - P.317-328.

3. Горбенко М.Е. О единственности элемента наилучшего L₁-приближения для функций, непрерывных на метрическом компакте со значениями в банаховом пространстве // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Математика. - 1999. - С.34-39.

4. Бабенко В.Ф., Горбенко М.Е. О единственности элемента наилучшего L₁-приближения для функций со значениями в банаховом пространстве // Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С.30-34.

5. Горбенко М.Е. О единственности элемента наилучшего L₁-приближения с ограничениями на коэффициенты // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Математика. - 2000. - С.47-55.