Что такое фрактал

Размещено на http://www.allbest.ru/

Что такое фрактал

Термин «фрактал» был введен в 1975 г. Бенуа Мандельбротом в связи с фрактальной, т. е. дробной (сравните: фракция), размерностью, которую в 1919 г. ввел математик Феликс Хаусдорф. Фрактал, по определению Мандельброта, есть некая цельная структура любой природы, состоящая из частей (субструктур), которые в том или ином смысле подобны целому. Небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале; фрактал может включать в себя повторяющиеся субструктуры бесконечное число раз. Самоподобие является, пожалуй, одним из основных признаков фракталов, хотя и не единственным. В соответствии с этим определением эффективным инструментом для описания фрактальных процессов и структур является рекурсивная функция, имеющая своим аргументом саму себя:

f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), …

Рекурсию можно осуществить несколькими математическими средствами, в том числе и через прямое произведение матриц. В этом произведении, называемом также кронекеровским, каждый элемент результирующей матрицы содержит исходную матрицу. С помощью матриц, как мы знаем, фиксируется определенная, чаще всего, пространственная организация. Следовательно, многократно произведенное прямое умножение позволяет мультиплицировать исходную структуру. При этом матрица выступает в качестве паттерна, который способен генерировать иерархическую систему, каждый уровень который воспроизводит предыдущий в больших или меньших масштабах. Рекурсивный геометрический образ в виде древовидного графа также лежит в основе большинства фрактальных структур. Существуют итерационные алгоритмы, которые по своей сути схожи с матричным, графическим или функциональным способом задания рекурсии.

По-видимому, природа воспользовалась оптимальным алгоритмом организационного развития, когда взяла за основу фрактальный принцип подобия. Обламывая сначала маленькие ветки, затем все большие и большие, мы обнаруживаем некоторую неизменную форму дерева. Отношение числа отсеченных ветвей к числу оставшихся всегда остается примерно постоянным, хотя на первом этапе обламываются крохотные побеги длиной в несколько сантиметров, а на последнем - многометровые ветви. Еще Леонардо да Винчи предположил, что сумма площадей сечения всех ветвей дерева на определенном уровне дает площадь сечения его ствола. А ведь по древовидному принципу устроена нервная, дыхательная и кровеносная системы животных. Трахея разветвляется на два бронха, задавая, таким образом, образец для более мелких геометрических форм и т. д.

Биогенетический закон Мюллера и Геккеля тоже относится к фрактальным механизмам регулирования живой природы, поскольку он касается масштабной симметрии, проходящей через все уровни эволюционного развития организма. Этот биологический закон гласит: онтогенез повторяет филогенез. Согласно этой формуле организмы в процессе своего индивидуального развития обнаруживают тенденцию вновь проходить те же самые стадии развития, которые они прошли в ходе своей эволюции. Такая повторяемость процессов начального созревания организма сильно сокращена во времени, многие этапы развития филогенеза просто выпадают из последовательности онтогенетического развития, тем не менее это единственный биологический закон, который хоть как-то объясняет, почему у зародышей высших млекопитающих появляются жаберные щели и прочие атавистические признаки.

Однако многие авторы научно-популярных статей заходят слишком далеко, когда начинают фантазировать, будто в крохотной микрочастице (электроне, протоне или каком-нибудь экзотическом «фридмоне») может содержаться целая Вселенная. Подобные апологеты фрактального устройства всего и вся уверяют, будто электроны и протоны несут некий «генетический код» Вселенной, который содержит всю информацию о мире, и нужно уметь только расшифровать ее, чтобы начать «выводить» новые разновидности миров. Такое применение теории фракталов для конструирования новых вселенных не может быть воспринято серьезно, поскольку для столь глобальных и смелых предположений пока нет никаких эмпирических данных.

Теория фракталов, несмотря на свою широту, тем не менее эффективно обслуживает довольно узкую прикладную область, тесно связанную с компьютерами. Эта область касается фрактального или рекурсивного сжатия или расширения изображения. Первым примером здесь, конечно, служит известная задача графического моделирования изрезанной береговой линии. Проблема состоит в том, что когда повторяют береговую линию в бесчисленных ее деталях, вплоть до размеров прибрежной гальки, то ее длинна оказывается больше земного экватора. Таким образом, возникает задача следующего содержания: где тот разумный предел детализации при воспроизведении контуров береговой линии, горного ландшафта или любого другого географического объекта, чтобы решение не выглядело абсурдным и не было слишком неудобным с точки зрения его использования на практике. Следовательно, нужна математически обоснованная процедура сглаживания, которая будет зависеть от масштаба изображения. Кроме того, необходимо учитывать запросы потребителя. Очевидно, на небольшой карте, взятой из учебника географии, можно пренебречь некоторыми крохотными островами и бухтами Скандинавского полуострова. Другое дело - мореходная карта лоцмана, цель которого - уметь находить безопасные пути причаливания к берегам Норвегии.

Так возникает проблема соотношения локальной и глобальной геометрии. Раньше для решения подобной задачи использовали только измерительный циркуль, который перемещали вдоль некоторой ломаной кривой. С помощью этого нехитрого инструмента производили спрямление узких морщин береговой линии. В зависимости от масштаба ножки циркуля растворялись на определенный угол, этот угол фиксировался зажимом и далее при обходе береговой линии по карте малого масштаба эта линия спрямлялась так, что на новой карте большего масштаба контуры берега имели примерно ту же степень изрезанности, что и на исходной карте. Сегодня эту задачу с молниеносной скоростью, в режиме реального времени должен выполнять бортовой компьютер, установленный на каком-нибудь «Томагавке». На этой ракете существует эффективная система самонаведения на цель, которая может находиться за тысячу километров от пусковой установки. Подобие в различных масштабах - это, как уже было сказано, основная особенность фракталов. Изменение масштаба нередко служит единственным методом при нахождении правильного решения. Если у вас прогресс отсутствует в каких-то графических исследованиях, подумайте, не следует ли вам изменить масштаб изучаемого объекта.

Сегодня фрактальная методика широко применяется в компьютерной графике и дизайне. Именно компьютерные манипуляции с графическим образом положили начало серьезному математическому исследованию того, что раньше считалось баловством или, в лучшем случае, относилось к искусству. Фракталы определяются как геометрические процедуры, обладающие свойством воспроизводить исходный объект при его масштабном увеличении или уменьшении. Эта «бестолковая» процедура, порождающая множество симпатичных узоров в виде ковриков и деревьев, была и во многом остается скорее художественным приемом, чем источником истинного знания о реальном мире. Однако, помимо масштабной симметрии, существует еще одно важное понятие, которое тесно связывает теорию фракталов с действительностью. Этим понятием является аттрактор, который тесным образом связан со строго упорядоченными структурами. Можно сказать, что аттрактор и хаос находятся в отношении двойственности.

Шум шуму - рознь. Например, фоновый, или белый, шум, возникающий в канале телефонной связи, не совсем белый. «Случайные» флуктуации токов являются некоторым искажением речи; шум следует за первоначальным образцом, в чем-то повторяя его, а в чем-то отличаясь от него. В шумовом сигнале узнается какая-то закономерность, которую прежде следовало разгадать, чтобы потом можно было техническими средствами исключить. На любом уровне сглаживания случайных пиков обнаруживалась составляющая, которая присутствовала и в полезном сигнале, породившем этот шум. Эти первоначально полезные компоненты становились вредными благодаря многократному копированию на более низких амплитудах в виде частотной «ряби» или амплитудных «хвостов», которые цеплялись на основные гармоники полезного сигнала. Шумовая составляющая была явно вызвана к жизни полезным компонентом сигнала, но потом вышла из повиновения и стала развиваться по своим собственным внутренним законам. Шумовые флуктуации были вполне детерминированы, хотя они и относились к автономным, саморазвивающимся процессам, чувствительным к начальным условиям. Однако шумы компьютера, возникающие при вычислении амплитуды мод фракталов, которые мы рассмотрим здесь детально, имеют мало общего с только что описанными шумами в телефонной сети.

Переход от порядка к хаосу происходит скачкообразно; это последнее слово часто заменяют словами взрыв, буря, революция, ломка и т. д. Линейная и непрерывная математика здесь отказывается работать, и ей на смену приходит существенно нелинейная и дискретная математика. Быстрый переход от прежних законов функционирования системы к новым совершается в результате длительного, кумулятивного, скрытого, монотонного, количественного накопления, которое затем неожиданно сменяется на качественное изменение, со всеми своими противоположными эпитетами, приводящее нередко к разрушению самой системы. Здесь можно привести множество примеров из самых различных областей науки и техники.

Мир фракталов огромен и разнообразен. Фракталы находят в механике и акустике, в химии и биологии. Новые методы вычислений позволяют предупредить и избежать многих социальных катаклизмов. Для описания огромного числа объектов природы и общества, начиная от химических колебаний Белоусова и Жаботинского до развязывания локальных конфликтов, больше подходят приемы дискретной математики. Специалисты в области синергетики убедились, что не дифференцируемые и не гладкие кривые и поверхности, которые изучаются в курсе классического математического анализа, служат инструментом описания физических, биологических и социальных явлений, а ломаные, слоистые, дробленые, иначе говоря, фрактальные структуры.

За последние два десятка лет произошла подлинная революция в компьютерных технологиях. Ситуация радикально изменилась, делая нелинейную математику доступной для обработки на компьютерах в масштабе реального времени. Фракталы стали и новым направлением в изобразительном искусстве, демонстрируя собой картины необычайной красоты и привлекательности. Однако нас они будут интересовать только с точки зрения математических закономерностей.

Прямое произведение и фракталы

фрактал мюллер геккель

На рис. 4. 1 изображены: деление единичного отрезка на 3 части (а), единичной квадратной площадки на 9 частей (б), единичного куба на 27 частей (в) и на 64 части (г). Если число частей обозначить через n, коэффициент масштабирования или подобия - через k, а размерность пространства - через d, то в соответствии с приведенными рисунками имеем следующие соотношения: n = kd, где

если n = 3, k = 3, то d = 1; если n = 9, k = 3, то d = 2; если n = 27, k = 3, то d = 3.

а б в г

Рис. 4. 1

При уменьшении линейных размеров в 4 раза согласно приведенному соотношению, имеем: если n = 4, k = 4, то d = 1; если n = 16, k = 4, то d = 2; если n = 64, k = 4, то d = 3. Во всех случаях размерность пространства выражается целыми числами: d = 1, 2, 3; в самом деле, для n = 64 (рис. 4. 1г), величина d равна

На рис. 4. 2 показано пять шагов построения ломаной Коха: первоначально берется отрезок единичной длины (а), делится на три части (k = 3) и из четырех частей (n = 4) составляется ломаная (б) ; затем каждый прямой отрезок вновь делится на три части (k2 = 9) и из 16 частей (n2 = 16) составляется ломаная (в) ; процедура повторяется для k3 = 27 и n3 = 64, в результате получается ломаная (г) ; наконец, при k5 = 243 и n5 = 1024 получаем ломаную (д).

а б в г д

Рис. 4. 2

Если следовать вышеприведенному соотношению для размерности пространства, то получим следующий ряд отношений:

Таким образом, здесь мы можем говорить о дробной, или фрактальной размерности, пространства, которая на всех шагах оставалась одной и той же, как если бы мы разделили квадрат на 9 частей, затем каждый маленький квадрат снова разделили на 9 частей, получив общее число квадратиков, равным 81, и т. д. Такая процедура не влияет на размерность пространства. Число пройденных шагов или показатели степени, в которые возводятся числа k и n, обозначим через m (у нас показано m = 0, 1, 2, 3 и 5). Ломаная Коха, предложенная Гельгом фон Кохом в 1904 г., выступает сейчас в роли фрактала, который прекрасно подходит для моделирования изрезанности береговой линии. Мандельброт в алгоритм построения береговой линии внес элемент случайности, который, однако, не повлиял на основной вывод в отношении длины береговой линии. Поскольку предел

,

длина береговой линии за счет бесконечной изрезанности берега стремится к бесконечности. Процедура сглаживания береговой линии при переходе от более детального масштаба к менее детальному, т. е. согласно рис. 4. 2 переходы от (д) к (г), от (г) к (в), от (в) к (б), дает одну и ту же величину: на три части длины - одну «бухту», а длина стремится к единичному значению.

В качестве основы можно взять не отрезок единичной длины, а равносторонний треугольник, на каждую сторону которого распространить процедуру умножения изрезанности. В этом случае получим снежинку Коха (рис. 4. 3), причем трех видов: вновь образующиеся треугольники направлены только наружу от предыдущего треугольника (а) и (б) ; только внутрь (в) ; случайным образом либо наружу, либо внутрь (г) и (д). Сейчас наша ближайшая задача состоит в том, чтобы научиться задавать процедуру построения фрактала Коха.

а б в г

д

Рис. 4. 3

На рис. 4. 4 показаны две векторные диаграммы; числа, стоящие над стрелками, видимо, вызовут вопрос: что бы они значили? Вектор 0 совпадает с положительным направлением оси абсцисс, так как его фазовый множитель exp (i2рl/6) при l = 0 сохраняет его направление. Вектор 1 повернут относительно вектора 0 на угол 2р/6, когда l = 1. Вектор 5 имеет фазовый множитель exp (i2р5/6), l = 5. Последний вектор имеет тот же фазовый множитель, что и первый (l = 0). Таким образом, целые числа l характеризуют угол фазового множителя единичного вектора.

Рис. 4. 4

Итак, мы рассмотрели первый шаг (рис. 4. 4а), который задает рекурсивную процедуру для всех последующих шагов и, в частности, для второго шага (рис. 4. 4б). Ставится вопрос, как перейти от набора чисел ц1 = {0 1 5 0} к ц2 = {0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0}? Ответ: через прямое перемножение матриц, когда каждый элемент одной матрицы умножается на исходную матрицу. Поскольку в данном случае мы имеем дело с одномерным массивом, т. е. матрицы представляют собой векторы, то здесь производится умножение каждого элемента одной матрицы-вектора на все элементы другой матрицы-вектора. Кроме того, элементы матрицы-вектора ц1 состоят из показательных функций exp (i2рl/6), следовательно, при перемножении числа h нужно будет складывать по mod (6), а не умножать. После этих разъяснений становится понятна следующая запись:

ц2 = ц1 Ч ц1 = {0 1 5 0} Ч {0 1 5 0} =

= {[ (0 1 5 0) + 0] [ (0 1 5 0) + 1] [ (0 1 5 0) + 5] [ (0 1 5 0) + 0]} =

= {[0 1 5 0] [1 2 0 1] [5 0 4 5] [0 1 5 0]} = {0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0};

ц3 = ц2 Ч ц1,..., цm = цm - 1 Ч ц1.

Итак, для задания фрактала Коха нам требуется три числа и один вектор, а именно: k = 3 - коэффициент подобия; n = 4 - число частей, образующих паттерн; h = 6 - число, определяющее фазовый множитель exp (i2рl/h) и фигурирующее в основании mod (h), по которому производится сложение показателей экспоненты, и базовый вектор или, собственно, сам паттерн ц1 = {0 1 5 0}. Заметим, слово паттерн часто заменяют словосочетанием затравочная схема, структура, матрица или генератор фрактала. Однако вряд ли есть смысл искать другие русские эквиваленты этому английскому слову, уже прочно вошедшему в русский лексикон. Если факт заимствования термина налицо, то и нужно его принимать со всеми теми семантическими оттенками, которые существуют в английском языке. Прямой перевод слова pattern означает пример для подражания, образец, образцовая модель, система, стиль, выкройка, орнамент, узор, рисунок. Невозможно подыскать такой же емкий и точный термин в русском языке, передающий этот же самый смысл.

Приведем еще четыре фрактала и их краткое описание через векторную диаграмму. Читателю не составит большого труда самому придумать сотни аналогичных фракталов. Затем можно заставить компьютер производить прямое перемножение векторов, а результат отображать на экране дисплея, как на рис. 4. 5.

Приведем еще четыре фрактала и их краткое описание через векторную диаграмму. Читателю не составит большого труда самому придумать сотни аналогичных фракталов. Затем можно заставить компьютер производить прямое перемножение векторов, а результат отображать на экране дисплея, как на рис. 4. 5.

а)

k = 3, n = 8, h = 5, ц = {0 0 1 2 3 4 0 0};

б)

k = 3, n = 8, h = 5, ц = {0 0 2 4 1 3 0 0};

в)

k = 3, n = 5, h = 4, ц = {0 1 0 3 0};

г)

k = 3, n = 7, h = 6, ц = {0 1 5 3 5 1 0}.

Рис. 4. 5

Эта необыкновенная легкость, с которой можно получить красивейшие узоры с помощью самой незатейливой математики и элементарного программирования, привлекла к теме фракталов огромное число любителей. Однако все приведенные фракталы одномерные, т. е. их графические изображения представляют собой линии, а в прямом умножении участвуют векторы. А нет ли таких фракталов, когда бы в прямом произведении участвовали полноценные матрицы? Да, есть; на рис. 4. 6 в трехмерном пространстве изображена губка Менгера (а), и двумерный эквивалент (б). Она также является фракталом, для которого процедуру рекурсии можно отразить с помощью матриц. Для трехмерной губки пришлось бы иметь дело с трехмерными матрицами - такие существуют, действия с ними хорошо известны, но они слишком громоздки, чтобы использовать их сейчас для анализа. Пусть ими занимаются компьютеры, мы же обратимся к двумерному случаю. Поставим темным участкам квадрата в соответствие 1, а светлым - 0 (рис. 4. 6б). В этом случае паттерн плоской губки ц1 с единственной дыркой внутри выглядит в виде матрицы 3 Ч 3. Перемножая ее прямым образом саму на себя или возводя ее последовательно в степень 2, 3 и т. д., мы получим фракталы ц2, ц3 и т. д. В частности, ц2 = ц1 Ч ц1 равно прямому произведению двух матриц:

а б

Рис. 4. 6

Фрактальной структуре подчинены коэффициенты бинома:

(1 + x) n = 1 + nx + n (n - 1) x2/2! + n (n - 1) (n - 2) x3/3! +... + n! xk/ (n - k)! k! +...

Если коэффициенты бинома выстроить рядами, как это показано в табл. 4. 1 (в центре), то получим так называемый треугольник Паскаля. Беря все числа в треугольнике Паскаля последовательно по mod (2), mod (3), mod (4), mod (5) и т. д., мы будем получать треугольные матрицы, верхняя часть которых состоит из нулей. Эти треугольные матрицы можно уже перемножать прямым образом. Например, прямое перемножение двух треугольных матриц 3 Ч 3 по mod (3) дает в результате треугольную матрицу 9 Ч 9, которая в точности совпадает с треугольником Паскаля, записанным по mod (3) этого же размера: ц2 = ц1 Ч ц1 равно прямому произведению двух матриц следующего вида:

Таблица 4. 1 ?

1								1
1	1							1	1
1		1						1	2	1
1	1	1	1					1	3	3	1
1				1				1	4	6	4	1
1	1			1	1			1	5	10	10	5	1
1		1		1		1		1	6	15	20	15	6	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1	7	21	35	35	21	7	1
1								1
1	1							1	1
1		1						1		1
1	1	1	1					1	1	1	1
1				1				1				1
1	1			1	1			1	1			1	1
1		1		1		1		1		1		1		1
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

Такое перемножение справедливо для случая mod (4), mod (5) и т. д. В случае же, когда треугольник Паскаля составляется по mod (2), его внешний вид напоминает губку Менгера, но только треугольной формы (рис. 4. 7).

Вообще, губки Менгера треугольной, квадратной, кубической, пирамидальной и любой другой формы приковали к себе внимание ученых потому, что они обладают одним замечательным свойством: чем шире их габаритные границы (рис. 4. 6), тем больший внутренний объем в них образуется. Иначе говоря, при разрастании губки отношение ее внешнего объема к внутреннему стремится к единице. Это свойство является самым важным для губок, живых и искусственных, например, тех, которыми мы моемся. За счет множественных внутренних пустот губка способна удерживать большое количество влаги, т. е. она работает в качестве своеобразного сосуда, который состоит не из одной открытой камеры, а из огромного числа соединенных друг с другом полостей. Губку можно рассматривать как древовидную структуру. В природе встречаются такие виды растений и животных, в частности, обитающие в морских глубинах, у которых густые ветви, расположенные ближе к корневому телу, срастаются так, что образуют одну губчатую поверхность, хотя внешние ветви могут сильно вытягиваться в виде усов, щупальцев или палпусов для захвата пищи. Более того, если на биологическое вещество смотреть с точки зрения его структурно-пространственной организации, то окажется, что оно сплошь выстроено по губчатому принципу. Это касается в большей мере, скажем, дыхательной системы, хотя аналогично устроены и системы кровообращения, пищеварения и прочие системы жизнеобеспечения.

К вопросу о размерности

Фрактальное строение живой и неживой природы - все это, конечно, очень любопытно, но нас сейчас интересуют математические аспекты. В частности, у читателя наверняка созрел вопрос относительно пространственной размерности. В каком смысле говорилось о дробной размерности в начале этого подраздела и в каком смысле эта дробная размерность касается трехмерных и двухмерных губок, изображенных на рис. 4. 6 и 4. 7?

Чтобы не вводить читателя в заблуждение, ему с самого начало необходимо объяснить, что фрактальная размерность - понятие искусственное, которое ничего общего не имеет с реальной размерностью физического мира. Не нужно путать также размерность пространства с его связанностью. Топологическая связанность, как мы знаем (п. 3. 6), выражается целыми числами, причем связанность плоскости и шара одна и та же, хотя шар - математический объект трехмерного пространства, а плоскость - двухмерного. Тор и «кренделя» существуют в трехмерном мире, их высокая целочисленная величина связанности позволяет планарным образом уложить на их поверхности непланарные на шаре графы. Размерность пространства, как и связанность, может быть только целочисленной величиной. Фрактальная размерность тоже может оказаться целочисленной, однако некоторые авторы, следуя традиции, целочисленную размерность за фракталами не признают. Этот факт делает прекрасную ломаную Пеано, удовлетворяющую свойствам фрактала, нефрактальной. Познакомимся с ней поближе.

В 1890 г. итальянский математик Джузеппе Пеано (1858-1932), исследуя вопросы теории континуальных множеств, решил построить линию, которая отвечала бы точкам плоскости. Если взять единичный квадрат, разделить его на девять частей и затем обойти все эти части по маршруту, указанному на рис. 4. 8а, то будем иметь настоящий паттерн с размерностью d = 2, т. е. той же, что и у плоскости. В том, что это действительно паттерн, убеждают два рисунка (рис. 4. 8б и 4. 8в), на которых показана диаграмма, отвечающая следующему набору величин:

k = 3, n = 9, h = 4 и ц = {0 1 0 3 2 3 0 1 0}.

Для удобства записи векторов единичная площадка, изображенная на рис. 4. 8а, на двух следующих рисунках (рис. 4. 8б и 4. 8в) повернута так, чтобы направление начала обхода совпало с горизонтальным направлением оси абсцисс.

Исходный квадрат можно разбивать не на 9 квадратиков, а на 4. В этом случае размерность не изменится (d = 2), но обход квадратиков и, следовательно, правила рекурсии поменяются в соответствии с новой конфигурацией, развитие которой можно проследить на рис. 4. 9 (а, б, в и д). Вся плоскость может быть разделена не на квадраты, а на треугольники, как это показано на рис. 4. 9г. Тогда внешний вид фрактала замет но изменится (рис. 4. 9е). Обход разбитой на части плоскости можно организовать совершенно иначе (рис. 4. 9ж), но размерность фрактала не изменится. Если существует фрактал с целочисленной размерностью d = 2, то аналогичным путем можно получить объемный фрактал с целочисленной размерностью d = 3. Отказываться зачислять кривые, наподобие ломаной Пеано, в разряд фракталов только потому, что у них целочисленная размерность, было бы не совсем разумно. Поэтому вполне понятно, что ломаная Пеано, так или иначе, рассматривается практически всеми авторами, пишущими о фракталах

а б в

Рис. 4. 8

а б в г

д е ж

Рис. 4. 9

На рис. 4. 10а показан линейный фрактал, заданный параметрами: k = 2, n = 5, h = 3 и ц = {0 0 1 2 0}. Размерность этого фрактала равна

второй вектор равен

ц2 = {0 0 1 2 0} Ч {0 0 1 2 0} = {00120 00120 11201 22012 00120};

В соответствии с ц2 можно построить первые две пирамиды, причем некоторые отрезки ломаной придется проходить по два раза. Вся целиком ломаная, изображенная на рис. 4. 10а, соответствует пятому шагу (m = 5), т. е. вектору ц5.

а б

в г д

Рис. 4. 10

Однако похожую структуру, изображенную на рис. 4. 10а, дают многие фракталы, в основе которых лежат самые различные паттерны. На рис. 4. 10б изображено троичное дерево при m = 5; его граф-паттерн легко вычленить из дерева с m = 2, показанного на рис. 4. 10в. Несложно с помощью компьютерной программы этот граф-паттерн заставить расти подобно живому папоротнику или ледяному узору на оконном стекле в морозную погоду - именно такие ассоциации приходят в голову, когда смотришь на рис. 4. 10б. С каждым шагом сторона равностороннего треугольника или его высота удваиваются, т. е. k = 2, но число элементов, из которого состоит данный паттерн, равно трем (n = 3). На последних двух рис. 4. 10 показаны схемы выстраивания аналогичных пирамид из равносторонних треугольников (г) и квадратов (д), для которых масштабный коэффициент и число элементов паттерна определяется теми же числами - k = 2, n = 3. Треугольники, изображенные на рис. 4. 10г, мало чем отличаются от треугольника, показанного на рис. 4. 7. Мы знаем, что любой плоский треугольник, с точки зрения геометрии, имеет пространственную размерность, равную двум; ломаная кривая, какая бы она ни была, имеет геометрическую размерность, равную единице; а объемные фигуры, вроде губки Менгера, изображенной на рис. 4. 6а, имеют размерность, равную трем. Но что у нас получается, когда мы начинаем подсчитывать размерность по формуле Хаусдорфа? Для явно плоских объектов, какими являются фигуры, изображенные на рис. 4. 7 или 4. 10 (г) и (д), формула дает следующее дробное число:

Числа d = 2, 32193 (подсчитанное в общем-то для одномерной геометрической фигуры, показанной на рис. 4. 10а) и d = 1, 58496 различаются заметно. Чтобы не создавать путаницы в размерности, нужно разделить геометрическую и фрактальную размерность. Пирамида, выстроенная наподобие карточного домика, была предложена польским математиком Вацловом Серпинским (1882 - 1969) в 1915 г. в связи с его исследованиями в области теории множеств. Сейчас эту конструкцию часто называют ковром или салфеткой Серпинского. В дальнейшем при построении ковра Серпинского мы применим преобразование подобия или аффинное преобразование, размерность которого определяется числом переменных. Это преобразование может увеличивать или уменьшать площадь геометрического объекта, поворачивать или переносить его с места на место, но оно никак не влияет на пространственную размерность этого объекта.

Главным идеологом теории множеств был Георг Кантор (1845 - 1918). Он в 1883 г. предложил алгоритм построения бесконечного множества отрезков, которые до этого, в 1875 г. рисовал еще Генри Смит. Сейчас это множество называется пылью Кантора; алгоритм получения канторовской пыли показан на рис. 4. 11а. Нам ничего не стоит слегка изменить этот алгоритм, а именно, делить каждый отрезок не на три части, а на пять и выбрасывать не одну долю, а две, как это показано на рис. 4. 11б. Для канторовской пыли имеем k = 3, n = 2, для вновь полученной - k = 5, n = 3; значит, существует и две различные размерности:

И вновь зададимся тем же самым вопросом, какая принципиальная разница заключена в этих двух рисунках? Очевидно, никакой, значит, ее нет и для порождающих векторов и для фракталов, изображенных на рис. 4. 11а -

ц1 = {101}, ц2 = {101 000 101}, ц3 = {101 000 101 000 000 000 101 101 101}...

и на рис. 4. 11б - ц'1 = {10101}, ц'2 = {10101 00000 10101 00000 10101},...

а б

Рис. 4. 11

Итак, мы в состоянии изменить размерность, если слегка изменим правила порождения паттерна. Размерность изменяется вместе с правилами, но сама по себе она ровным счетом ни о чем не говорит.

Чтобы убедиться в этом, вернемся к фракталу, который изображен на рис. 4. 10а. Ломаная кривая, в соответствии с вектором ц1 = {0 0 1 2 0}, дважды проходит основание треугольника. Теперь заставим ее совершить еще один полный оборот по периметру треугольника, т. е. пусть она обовьет все стороны треугольника дважды, а его основание трижды. Такая процедура описывается следующим набором:

k = 2, n = 8, h = 3 и ц = {0 0 1 2 0 1 2 0}.

Несложно проверить, что при этих условиях фрактал не изменит своего внешнего облика, ломаная кривая будет проходить по тем же узловым точкам, что и в первом случае. Несмотря на то, что в новой ситуации рис. 4. 10а нисколько не изменится, его прежняя размерность d = 2, 32193 поменяется на новую, причем целочисленную - d = 3. В самом деле,

И что же, теперь наша ломаная перестала быть фракталом? Конечно же, нет. Поэтому не следует придерживаться того формального признака, будто фракталы имеют только исключительно дробную размерность. Очевидно, можно смоделировать и обратную ситуацию, когда два разных фрактала будут иметь абсолютно одинаковые размерности.

Таким образом, не столь уж и важно, какими первоначальными идеями руководствовались Кантор, Серпинский или Пеана, когда изобретали алгоритмы получения своих математических объектов. Точно так же, не имеет большого значения, о чем думал Хаусдорф, когда говорил о дробной размерности, или какую первоначальную задачу ставил перед собой Мандельброт, когда воспользовался его дробной размерностью при изложении своей книги. Сегодня актуальным является совершенно другое, а именно, реализация рекурсивного механизма роста фрактала на компьютере. Пусть термин «фрактал», изобретенный Мандельбротом, происходит от понятия дробной размерности, пусть эта идея привела в действие мощное интеллектуальное движение, однако при нынешнем состоянии дел понятие дробной размерности нельзя более считать чем-то основополагающим для вычерчивания тех симпатичных картинок, эстетика которых заставляет нас задуматься над их компьютерной реализацией. Ниже, при изучении динамических фракталов от функций ax (1 - x), axcos (x) и axexp (x), мы убедимся, что фрактал может состоять из бесконечного количества частей, испытавших на себе самые различные масштабные изменения.

Для понимания природы размерности фракталов типа губки Менгера или ее плоского аналога, ковра Серпинского, более продуктивным понятием, чем размерность, является мера внутренней емкости губки, которую условно обозначим через m. Если речь идет о плоском варианте, который изображен на рис. 4. 7, то площадь самого тела губки (темные области) можно было бы измерять числом единиц m1, а площадь ее пустого пространства (светлые треугольники) - числом нулей m0. Если очередной шаг итерации обозначить через m, общее число символов в треугольнике со стороной катета в n единиц обозначить через N, то справедливы следующие простые выражения:

N = n (n + 1) /2, n = 2m + 1,

N = m0 + m1, m1 (m) = 3m1 (m - 1), мД = m0/m1.

По табл. 4. 2 можно проследить, как увеличивается внутренний объем плоско-треугольной губки с увеличением числа итераций: через семь шагов относительный объем пустого пространства внутри губки, вначале составлявший 11%, через семь шагов достиг 400%, т. е. объем пустого пространства внутри губки стал в 4 раза больше объема самого тела губки

Таблица 4. 2 ?

m	n	N	m0	m1	мД
1	4	10	1	9	0, 1111
2	8	35	9	27	0, 3333
3	16	136	55	81	0, 6790
4	32	528	285	243	1, 1728
5	64	2078	1350	729	1, 8518
6	128	8256	6069	2187	2, 7750
7	256	32896	26335	6561	4, 0139
...	...	...	...	...	...

Еще проще подсчитать число m для трехмерной губки Менгера кубической формы. Первый куб объемом 27 единиц содержит 7 единиц пустоты. Следовательно, для него мM = 7/20 = 0, 35. Для второй губки, которая изображена на рис. 4. 6 (а) и (б), общий объем равен 93 = 729, из них 329 единиц составляет пустоту, отсюда мM = 329/400 = 0, 8225. Эта тенденция сохраняется и в последующем: чтобы найти знаменатель m1, нужно предыдущее число умножить на 20, т. е.

m1 (m) = 20·m1 (m - 1), N = n3, m0 = N - m1, мM = m0/m1 = (N - m1) /m1.

Результаты расчета по этим формулам мM занесены в табл. 4. 3, из которой видно, что темп роста внутренних полостей губки Менгера несколько выше, чем у плоско-треугольной губки Серпинского, рассмотренной перед этим.

Рис. 4. 12

Теперь смоделируем губку, плоский вариант которой изображен на рис. 4. 12. В квадрат площадью a2 = 1 вписаны 4 круга с общей площадью р/4; темные круги - тело губки, т. е. величина m1, а разность между площадью квадрата и площадью четырех кругов образует внутреннюю полость губки, т. е. величину m0. Отсюда относительный объем пустого пространства для этой двухмерной губки равен

мє = m0/m1 = (1 - р/4) / (р/4) = 0, 2732.

В трехмерном пространстве эта губка будет состоять из 8 шаров, плотно упакованных в куб объемом a3 = 1. Используя формулу для объема шара, подсчитаем величину мє для этого случая:

мє = (1 - m1) /m1 = 0, 9098

В четырехмерном пространстве губка содержит уже 16 шаров, плотно упакованных в куб объемом a4 = 1. Общая формула для расчета объема шара, находящегося в многомерном пространстве, выглядит следующим образом: Vn = knrn, гдеr - радиус шара (у нас он равен 1/4), Г (x) - гамма-функция, для которой справедливы следующие соотношения: Г (1) = 1, Г (1 + n) = n!, а также

Г (x) = (x - 1) Г (x - 1) = (x - 1) (x - 2) Г (x - 2) =...,

Коэффициент kn определяется формулой:

.

Для n = 2 коэффициент k2 = р, так как Г2 (1/2) = р, Г (2) = 1.

Для n = 3 коэффициент k3 = 4р/3 = 4, 1889, так как

Г3 (1/2) = 5, 5683; Г (1 + 3/2) = 1, 5 Ч Г (3/2) = 1, 3293;

k3 = 5, 5683/1, 3293 = 4, 1889.

Теперь найдем k4, m1 и мє для губки, находящейся в четырехмерном пространстве:

Г4 (1/2) = 9, 8696; Г (1 + 2) = 2; k4 = 4, 9348;

m1 = 16 Ч V4 = k4/16 = 0, 3084; мє = 2, 2425.

Аналогичным образом рассчитывается относительная емкость губки в пространстве пяти, шести и любого другого числа измерений. Результаты расчета kn, m1, m0, мє, а также сравнения величин мД и мM занесены в табл. 4. 3. В этой таблице n означает размерность пространства, в котором находится губка, N - число шаров, плотно упакованных в кубе, сторона которого в четыре раза превышает радиус шара.

Таблица 4. 3 ?

n	N	kn	m1	m0	мє	мM	мД
2	4	3, 1416	0, 7854	0, 2146	0, 2732	0, 3500	0, 1111
3	8	4, 1889	0, 5236	0, 4764	0, 9098	0, 8225	0, 3333
4	16	4, 9348	0, 3084	0, 6916	2, 2425	1, 4604	0, 6790
5	32	5, 2639	0, 1645	0, 8355	5, 0790	2, 3215	1, 1728
6	64	5, 1677	0, 1645	0, 9193	11, 3916	3, 4840	1, 8518
7	128	4, 7249	0, 0369	0, 9631	26, 1003	5, 0534	2, 7750
8	256	4, 0587	0, 0159	0, 9841	61, 8931	7, 1721	4, 0139
...	...	...	...	...	...	...	...

Количественный анализ показывает, что в двумерном случае, который изображен на рис. 4. 12, четыре круга закрывают свыше 78% площади квадрата; в трехмерном пространстве объем четырех шаров и объем свободного пространства куба почти сравнялись; а в четырехмерном мире 16 шаров занимают уже в два с лишнем раза меньше пространства, чем остается пустого пространства в кубе. Таким образом, эффективность шаровой губки намного выше, чем двумерных или трехмерных ее аналогов. Однако размещение шаровой губки в пространствах с различным числом измерений ничем особенным не отличается от ряда губок, полученных путем прямого перемножения матриц плоской губки Серпинского или объемной губки Менгера. Во всех случаях получается, что с каждым следующим расширением исходного паттерна происходит перенос губки в новое пространство. Увеличение размерности результирующей матрицы при прямом перемножении как раз и свидетельствует об увеличении размерности пространства, в котором существует губка.

Итак, при росте губок фрактальная размерность плоской губки Серпинского (рис. 4. 7 или 4. 10г и д), обозначим ее как dД, или объемной губки Менгера (рис. 4. 6а), обозначим ее как dМ, остается величиной неизменной:

Но их геометрическая размерность увеличивается на единицу с каждым следующим расширением матрицы. Именно за счет расширения размерности пространства происходит добавление новых элементов фрактала. Но давайте подумаем вот над чем.

Рис. 4. 13

На рис. 4. 13 показана рекурсия куба в пространстве двух (а), трех (б), четырех (в) и пяти (г) измерений. Многомерные кубы образуют полноценный фрактал, хотя его рекурсия описывается не через прямое произведение матриц, а весьма простой геометрической процедурой проецирования. Шаровая губка, двумерный вариант которой изображен на рис. 4. 12, является элементарным дополнением к фракталу, четыре шага которого изображены на рис. 4. 13. В каждом из пространств число элементов куба - ребра, вершины и грани - будут увеличиваться, но различным образом. Число шаров или число вершин куба с увеличением размерности пространства на единицу удваивается, т. е. фрактальная размерность здесь, кажется, равна d = 2 и эта величина не изменяется. Но исходный паттерн (а) можно определить не через 4 вершины, а через 4 одинаковых и взаимно перпендикулярных ребра. Тогда переход к трехмерному пространству (б) дает не 8, а 12 ребер, т. е. d = 3. На следующем шаге их количество возрастет только до 32, а не 36 (в), как можно было бы ожидать, т. е. d = 32/12 = 2, 667. Далее «фрактальная размерность» будет уменьшаться; так, для пятимерного пространства (г) число ребер становится равным 80, а d = 80/32 = 2, 5 и т. д.

Таким образом, возникает неоднозначность: почему за исходный паттерн нужно брать четыре вершины квадрата или четыре вписанных в него окружностей, а, скажем, не четыре ребра или одну его грань? Этим вопросом мы хотим подчеркнуть, что определение «фрактальной размерности», как она дается в элементарных случаях, для объектов, геометрически устроенных более сложно, чем ломаная Коха, губка Серпинского или губка Менгера, вызывает неопределенность. В процессе рекурсии разные элементы сложно организованного паттерна не обязательно должны увеличиваться на одно и то же число, называемое « фрактальной размерностью».

И еще, если фрактал разворачивается по многомерным пространствам, означает ли это, что данным математическим структурам отвечает некая физическая реальность? Существуют ли на самом деле пространства четырех, пяти и большего числа измерений, где протекают фрактальные процессы? Ни в коем случае; будет большой ошибкой думать, что для тех или иных математических представлений в реальном мире обязательно найдется подходящий объект. Мы можем вообще отвлечься от понятия размерности пространства и прямого произведения матриц, и тогда вместе с ними исчезнет понятие о многомерном пространстве. Только догматически мыслящие люди могут настаивать, например, на том, что реально существует лишь псевдоевклидова геометрии, что кроме вероятностной интерпретации волновой функции других вариантов и быть не может, что модель сильной химической связи является единственно правильной. Это выглядит также абсурдно, как если бы кто-то считал десятичную систему счисления единственно верной, а двоичную - ложной. Те же самые фракталы, с еще большим успехом можно описать на языке порождающих грамматик или аффинных преобразований, где овсем иные представления о том, что может и что не может существовать в действительности. Конструктивный подход не исключает, а, наоборот, поощряет разномыслие в науке. Если кто-то думает иначе, пусть объявит аппарат порождающих грамматик лженаукой; ведь в его рамках не возникает понятий о дробной или целочисленной размерности.

Грамматика на службе у фракталов

В рамках теории порождающих грамматик удобно организовать рекурсию, следовательно, аппарат формализованных языков можно использовать для разворачивания фракталов. В этом подразделе мы расскажем, как это лучше всего организовать, для чего вернемся к рис. 4. 4, где изображена векторная диаграмма фрактала Коха. Припишем векторам другие символы, как показано на рис. 4. 14. Данные символы образуют алфавит одного из вариантов формализованного языка Хомского, который позволяет по начальному слову с использованием некоторой совокупности правил подстановок, являющиеся обязательными атрибутами порождающей грамматики, генерировать все новые и новые слова, длина которых с каждым шагом будет возрастать. Диаграмму, вычерченную на рис. 4. 14, называют татл-диаграммой. Английское слово turtle переводится как черепаха, а под черепахой понимается некий автомат для графической реализации так называемой L-системы. В 1968 г. ее ввел в обиход программистов Аристид Линденмайер, так что буква L одновременно является началом английского слова «язык» и началом фамилии разработчика.

Рис. 4. 14

При изложении формального языка Линденмайера мы будем следовать Кроноверу, который, как он сам утверждает, заимствовал весь формализм L-системы из работы Прузинкевича и Ханана «Линденмайерские системы, фракталы и графики. Записи лекций по биоматематике» (1989). Прузинкевич и Ханан разработали изящные языковые правила для построения фрактальных диаграмм, которые напоминают в основном различные растения, хотя там есть рисунок снежинки и другие узоры. Мы полностью сохраняем введенные названными авторами обозначения. Три буквы, фигурирующие в татл-диаграмме фрактала Коха означают следующее: F - продвижение черепашки по ломанной Коха вперед на единицу длины, « + « - поворот черепашки на 60є по часовой стрелке и « - « - поворот черепашки на 60є против часовой стрелки.

Первая диаграмма (рис. 4. 14а) задает единственное правило порождения новых слов, которое выглядит следующим образом: newf = F - F + + F - F. Всякая порождающая грамматика помимо алфавита и правил должна содержать начальное слово. В данном случае оно выглядит как axiom = F. Действуя на начальное слово axiom правилом подстановки newf, получаем первое слово S1, которое повторяет правило: S1 = F - F + + F - F. На втором шаге каждая буква F заменяется скобкой (F - F + + F - F). Так получается второе слово S2, которое и отражается диаграммой, показанной на рис. 4. 14б:

S2 = (F - F + + F - F) - (F - F + + F - F) + + (F - F + + F - F) - (F - F + + F - F) = F - F + + F - F - F - F + + F - F + + F - F + + F - F - F - F + + F - F.

Грамматическое правило обеспечивает рекурсивную функцию, когда в качестве аргумента для нахождения очередного значения функции подставляется предыдущее значение функции, что обеспечивается простой подстановкой F = newf. Так, с помощью L-системы порождающей грамматики Линденмайера мы получаем фракталы.

Чтобы задать снежинку Коха вида, который показан на рис. 4. 3 (а) и (б), нужно ввести соответствующее начальное слово:

axiom = F + + F + + F.

В этом случае первым словом будет следующее:

S1 = (F - F + + F - F) + + (F - F + + F - F) + + (F - F + + F - F) = F - F + + F - F + + F - F + + F - F + + F - F + + F - F.

Если каждую букву F слова S1 заменить скобкой (F - F + + F - F), мы получим второе слово S2. Продолжая эту рекурсию, можно получить снежинку Коха Sm для любого числа шагов m. Начальное слово и правила для ломаной Пеано такие:

axiom = F, newf = F - F + F + F + F - F - F - F + F,

где прибавляется и отнимается угол 90°. Несложно составить самим грамматические правила для всех кривых, изображенных на рис. 4. 5.

Для вычерчивания более сложных фракталов нам нужно расширить алфавит языка Линденмайера. Введем следующие новые буквы: b - переместиться на шаг вперед без прорисовки следа; [ - открыть ветвь; ] - закрыть ветвь. Алгоритм L-системы можно коротко описать следующим образом.

Вход:

axiom - начальное слово

newf - первое правило

newb - второе правило

l - число шагов

n - длина слова

T - массив

Выход: word - слово-результат

Инициализация:

W = axiom ?T = { } - пустая строка

Шаги: while l> 0

forj = 1 to n

ifW (j) = +, T = {T +}, end if

ifW (j) = -, T = {T -}, end if

ifW (j) = [, T = {T [}, end if

ifW (j) = ], T = {T ]}, end if

ifW (j) = F, T = {Tnewf}, end if

ifW (j) = b, T = {Tnewb}, end if,

end for

W = T, l = l - 1

end while

word = W

В данном алгоритме переменная W (j) означает j-ую букву в слове word, {T +} - строка T, к которой добавлен знак +. При вычерчивании татл-диаграммы L-система действует по следующему алгоритму.

Вход:

word - результат работы предыдущего алгоритма?? - начальное направление?? - приращение по углу

Выход:

графическое представление word

Инициализация:

W = word ?x0 = 0, y0 = 0, n = length (word) ?stack = { } - пустой стек

Шаги:

forj = 1 to n?if W (j) = +, ? = ? + ?, end if?if W (j) = -, ? = ? - ?, end if?if W (j) = - F, x = x0 + cos ?, y = y0 + sin ??paint (x0, y0; x, y) - провести линию из точки (x0, y0) в точку (x, y) ?x0 = x, y0 = y, end if?if W (j) = b, x = x0 + cos ?, y = y0 + sin ?, end if?if W (j) = [, l = length (stack), ?stack (l + 1, 1) = x0, ?stack (l +1, 2) = y0, ?stack (l +1, 3) = ?, end if?if W (j) = ], l = length (stack), ?stack (l, 1) = x0, stack (l, 2) = y0, stack (l, 3) = ??del (l) - удалить l-ую запись из стека, end if?end for

В данном алгоритме при открытии ветви сохраняется значение координат и угла (x, y, ?) в стеке, а затем система возвращается к этим значениям при закрытии ветви, при этом запись (x, y, ?) из стека удаляется. Данные алгоритмы позволяют написать компьютерную программу на одном из языков программирования, которая способна будет вычерчивать диаграммы-узоры, приведенные на рис. 4. 15.

а б в

г д

е ж

Рис. 4. 15

Начальное слово и правила для рис. 4. 15 будут такими:

а) Остров после двух итераций (? = ?/2)

axiom = F + F + F + F, newf = F + F - F - FFF + F + F - F;

б) Цепочка Ян-Си Ло после трех итераций (? = ?/2)

axiom = F + F + F + F, newf = F + b - F - FFF + F + b - F, newb = bbb;

в) Мозаика Патрика Хагерти после трех итераций (? = ?/2)

axiom = F - F - F - F, newf = F - b + FF - F - FF - Fb - FF + b - FF + F + FF + Fb + FFF, newb = bbbbbb;

г) Сорняк после четырех итераций (? = ?/7)

axiom = F, newf = F [ + F ] F [ - F ] F;

д) Куст после четырех итераций (? = ?/8)

axiom = F, newf = - F + F + [ + F - F - ] - [ - F + F + F ];

е) Цветок Брандона Нельсона после трех итераций (? = ?/2, ? = ?/2)

axiom = F [+ F + F ] [ - F - F ] [ + + F ] [ - - F ] F, newf = F F [+ + F ] [ + F ] [ F ] [ - F ] [ - - F ];

ж) Снежинка Джона Ву Кима после трех итераций (? = ?/3)

axiom = [ F ] + [ F ] + [ F ] + [ F ] + [ F ] + [ F ], newf = F [+ + F ] [ - F F ] F F [ + F ] [ - F ] F F.

Аффинные преобразования

В п. 2. 5 упоминались аффинные преобразования, которые образуют пространственные группы и в которых, в отличие от проективных преобразований, не действует принцип двойственности (он нам сейчас и не понадобится). Напомним, что аффинным называется такое линейное преобразование, которое помимо поворота, отражения, сжатия и растяжения (все это подгруппы аффинных преобразований) геометрических объектов, осуществляет еще сдвиг их в пространстве (иногда говорят, трансляцию). Таким образом, аффинное преобразование в состоянии выполнять все то, что не всегда доступно или удобно исполнять процедурами порождающей грамматики или прямого произведения Кронекера. Как именно с помощью аффинных преобразований достичь нужного результата, мы сейчас попытаемся разъяснить. При этом нас будет интересовать двумерный случай, поскольку фракталы чаще всего вычерчиваются в виде плоского изображения на экране монитора. В этом случае точка x = (x1, x2), испытавшая на себе аффинное преобразование, получит пространственную локализацию x' = (x'1, x'2), что в аналитической форме выражается как

x' = Ax + b,

где A - линейный оператор, b - оператор, осуществляющий сдвиг на плоскости.

Говорим «оператор», так как аффинное преобразование имеет, по крайней мере, две реализации: с помощью матриц -

и с помощью комплексных чисел. Впрочем, здесь имеется тесная взаимосвязь, так как комплексное число, как мы знаем (п. 2. 1. 6), можно представить матрицей. Аффинное преобразование в комплексной плоскости удобно записать в виде

x' = ax + bx* + c.

где a, b, c - комплексные постоянные аффинного преобразования, переносящие точку x в точку x' комплексной плоскости.

В качестве показательного примера возьмем ковер Серпинского, составленный из треугольников (рис. 4. 10г). На рис. 4. 16 показан первый шаг, когда один большой треугольник распадается на три маленьких: ?ABC ->?AED, ?EBF, ?DFC (все треугольники помещены в систему декартовых координат с указанием своих координат).

Рис. 4. 16

Наша задача состоит в том, чтобы найти такие преобразования, которые бы перевели все точки большого треугольника в точки трех маленьких треугольников и расставили бы три маленьких треугольника в пространстве большого треугольника нужным образом. Вот эти три аффинных преобразования -

ДABC > ДAED, C > D:

ДABC > ДEBF, C > F:

ДABC > ДDFC, C > C:

Эти же аффинные преобразования в комплексной форме выглядят так:

При работе с аффинными преобразованиями полезно иметь в виду следующие его свойства. Площадь большого треугольника относительно маленького уменьшилась в 4 раза. Это связано с тем, что D = det (A) = ј. В общем случае площадь преобразованных фигур будет уменьшаться или увеличиваться в D раз. Поворот изображения на произвольный угол ?, отражение его относительно оси 0x и оси 0y, а также инверсия относительно начала координат, осуществляется четырьмя матрицами:

Зная, как математически корректно реализовать уменьшение масштабов геометрического образа и перенос его в другое место плоского пространства, несложно на одном из языков программирования организовать рекурсию, которая бы позволила превратить этот единичный акт в непрерывный процесс. Очевидно, программу необходимо составить так, чтобы после выполнения одного или нескольких матричных умножений система вернулась в исходное состояние, но уже относительно результирующего геометрического образа. Лучше всего эту процедуру реализовать на одном из пакетов математических программ, снабженных удобными функциями вывода графического изображения, например, на популярном пакете MATLAB.

После того, как вы отладите программу по вычерчиванию ковра Серпинского можно сразу же переходить к художественному творчеству. На рис. 4. 17 показан принцип построения деревьев Пифагора, в основе которых лежат «пифагоровы штаны» с одинаковыми (а) и различными (б) штанинами. На следующих двух рисунках (в) и (г) показаны фракталы после того, как машина выполнила свыше десяти итераций.