Рациональное возмущение линейных дифференциальных систем, не изменяющих отражающую функцию
Общие сведения об отражающей функции. Эквивалентность совпадения отражающих функций, вспомогательные утверждения и их доказательства. Решение задачи возмущения дифференциальных систем, не меняющего отражающей функции, справедливость теоремы.
Рубрика | Математика |
Вид | курсовая работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 13.04.2014 |
Размер файла | 221,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования «Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Рациональное возмущение линейных дифференциальных систем, не изменяющих отражающую функцию
Курсовая работа
Исполнитель:
студентка группы М-42
Борисенко Инга Александровна
Научный руководитель:
к.ф-м.н., доцент
Мироненко Владимир Владимирович
Гомель 2013
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
§1. Общие сведения об отражающей функции
§2. Возмущения дифференциальных систем, не меняющие отражающей функции
Практическая часть
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Рациональные возмущения линейных дифференциальных систем, не изменяющие отражающую функцию.
Дана дифференциальная система (*)
Выяснить, когда возмущение вида ,
где - нечётная функция, не изменяет отражающую функцию этой системы (**).отражающий функция возмущение дифференциальный
§1. Общие сведения об отражающей функции
Рассмотрим систему
cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по. Общее решение в форме Коши обозначим через. Через обозначим интервал существования решения .
Пусть
Отражающей функцией системы (1.1) назовём дифференцируемую функцию, определяемую формулой
(1.2)
Для отражающей функции справедливы свойства:
для любого решения системы (1.1) верно тождество
для отражающей функции любой системы выполнены тождества
(1.4)
дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы (1.1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных
(1.5)
и начальному условию
Совокупность условия (1.5) и начального условия назовём основным соотношением для отражающей функции.
§2. Возмущения дифференциальных систем, не меняющие отражающей функции
Наряду с дифференциальной системой
(2.1)
будем рассматривать множество систем
(2.2)
где непрерывная скалярная нечётная функция, а произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Систему (2.2) назовём возмущённой, а добавку возмущением. Выясним вопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем (2.1) и (2.2).
Как известно, отражающая функция системы (2.1) обязана удовлетворять следующему соотношению
(2.3)
Для решения поставленной задачи нам потребуются некоторые вспомогательные утверждения.
Лемма 2.1. Для любых трёх вектор-функций
имеет место тождество
(2.4)
Доказательство.
Будем преобразовывать левую часть тождества (2.4)
Лемма доказана.
Лемма 2.2. Пусть есть отражающая функция системы (2.1) с непрерывно дифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемой вектор-функции функция
(2.5)
удовлетворяет тождеству
(2.6)
Доказательство.
Подставив функцию (2.5) в выражение , придем к следующим тождествам:
Выразим из соотношения (2.5) частную производную , подставим в последнее тождество и будем преобразовывать получившееся выражение:
Применив к первым двум слагаемым последней части этой цепочки тождеств тождество (2.4) придем к следующим соотношениям:
Выразим из соотношения (2.2) выражение, находящееся в скобках последнего тождества и подставим в последнее из получившихся тождеств:
Учитывая определение функции , полученное тождество можно переписать в виде
Мы пришли к соотношению
Прибавив к левой и правой частям этого соотношения выражение , придем к нужному нам тождеству (2.5) и тем самым докажем лемму.
Лемма доказана.
Теорема 2.1. Пусть вектор-функция является решением диф- ференциального уравнения в частных производных
(2.7)
Тогда возмущенная дифференциальная система (2.2) где произвольная непрерывная скалярная нечетная функция, эквивалентна дифференциальной системе (2.1) в смысле совпадения отражающих функций.
Доказательство. Пусть отражающая функция системы (2.1) Следовательно, эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению(2.3). Покажем, что помимо этого уравнения при условиях теоремы она удовлетворяет тождеству
(2.8)
С этой целью введем функцию по формуле (2.5). Согласно предыдущей лемме, эта функция удовлетворяет тождеству (2.6). При условиях доказываемой теоремы, с учетом соотношения (2.6) это тождество переписывается в виде
Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции верно тождество , имеют место соотношения
Поставим следующую задачу Коши для функции :
Решение этой задачи существует и единственно [5, с.66]. Таким образом, имеет место тождество влекущее за собой тождество(2.8).
Теперь покажем, что отражающая функция дифференциальной системы (2.1) является также и отражающей функцией дифференциальной системы (2.2). Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения (2.3), которое в данном случае должно быть переписано в виде
(2.9)
Последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитывая нечетность функции , приходим к следующей цепочке тождеств:
Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое - потому, что для отражающей функции системы (2.1) верно тождество(2.3), второе - потому, что при условиях теоремы верно тождество(2.8). Следовательно, тождество (2.9) выполняется, и функция является отражающей функцией системы(2.2).
Теорема доказана.
Следствие2.1. Пусть функции являются решениями дифференциального уравнения в частных производных (2.6). Тогда все диф-ференциальные системы вида
(2.10)
где нечетные скалярные непрерывные функции, такие, что ряд сходится к непрерывно дифференцируемой функции, эквивалентны между собой в смысле совпадения отражающих функций и все они эквивалентны дифференциальной системе (2.1).
Доказательство следствия очевидно и сводится к последовательному применению теоремы 2.1
Замечание 2.1. В [1, с.24] доказано, что правая часть стационарной дифференциальной системы, эквивалентной дифференциальной системе (2.1) в смысле совпадения отражающих функций, если такая система существует, может быть найдена по формуле Учитывая этот факт и сформулированное выше следствие, для нас важно установить, когда вектор-функция может быть представлена в виде
(2.11)
где решения уравнения (2.7). Последующие рассмотрения направлены на решение этой задачи. Решив ее, мы сможем заменить изучение свойств решений нестационарных систем изучением свойств решений стационарных систем вида или, если угодно, использовать уже изученные стационарные системы для изучения нестационарных систем.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Дана дифференциальная система:
(1)
Выяснить при каких m и n возмущение вида:
A(t)= (2)
Где а(t) нечётная функция, не изменяющая отражающую функцию этой системы.
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой 2.1
Запишем данное выражение в развёрнутом виде:
(3)
В данном случае
функция (2)
система (1)
=
Далее мы найдём все частные производные
Имеем:
Теперь получившееся выражение подставим в уравнение (3)
Тогда имеем:
Теперь подставим всё в исходное уравнение
Имеем:
Выражать m и n из функции
=
Преобразовав выражение, придём к уравнению с двумя неизвестными. Запишем эти уравнения и получим искомые m и n. Но сначала мы сгруппируем все коэффициенты. Потом мы выразим одну переменную через другую. Рассмотрим первый строку всего равенства:
=0
Сгруппируем m и n
=
имеем уравнение вида:
=0
Соберём коэффициенты при степенях:
Теперь мы произведём такие же преобразования и со второй строчкой уравнения, имеем
Сгруппируем m и n,получим
=
Соберём коэффициенты при степенях:
Мы нашли решения данной дифференциальной системы
(*)
При m и n возмущениях вида , где - нечётная функция, не изменяет отражающую функцию этой системы (**).
Наши решения имеют одну и туже отражающую функцию следовательно они эквивалентны. А так как они эквивалентны и справедлива теорема:
Пусть система (*) с 2w-периодической по t правой частью и функцией (**) принадлежащему одному и тому же классу эквивалентности, а их решение определенны при t=0 существует при всех t принадлежащих [-w,w].Тогда между 2w периодическими решениями системы(*) и решениями двухточечной задачи y(-w)=y(w) для системы(**)можно установить взаимно однозначное соответствие.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. - Минск: Издательство БГУ имени В.И. Ленина. 1981 - 104 с.
2. Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. - Минск, издательство "Университетское". 1981 - 76 с.
3. Мироненко В.И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. - Гомель:. 2004. - 196 с.
4. Мироненко В.И. Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. - Дифференц. уравнения, Т.40, №10, 2004. С.1325-1332 с.
5. Богданов Ю.С. Лекции по дифференциальным уравнениям. Минск, 1977. - 191 с.
6. Мироненко В.В. Конспект лекций по спецкурсу.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Построение дифференциальных систем, эквивалентных в смысле совпадения отражающих функций, системам с известным первым интегралом. Отображение Пуанкаре, общие сведения об отражающих функциях. Возмущения дифференциальных систем, стационарный интеграл.
дипломная работа [502,7 K], добавлен 21.08.2009Понятие и свойства отражающей функции. Первый интеграл дифференциальной системы и условия существования. Условия возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. Определение связи между первым интегралом и эквивалентными системами.
курсовая работа [192,0 K], добавлен 21.08.2009Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013Вид уравнения Риккати при произвольном дробно-линейном преобразовании зависимой переменной. Свойства отражающей функции, ее построение для нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Формулировка и доказательства леммы для ОФ уравнения Риккати.
курсовая работа [709,5 K], добавлен 22.11.2014Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Описание колебательных систем дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных, асимптотическое поведение их решений. Методика регулярных возмущений и особенности ее применения при решении задачи Коши для дифференциальных уравнений.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 15.06.2009Оригиналы и изображения функций по Лапласу. Основные теоремы операционного исчисления. Изображения простейших функций. Отыскание оригинала по изображению. Задача Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
дипломная работа [162,3 K], добавлен 27.05.2008Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей боковое перемещение нестабильного самолета относительно заданного курса полета методом преобразования Лапласа. Стабилизация движения путем введения отрицательной обратной связи.
курсовая работа [335,8 K], добавлен 31.05.2016Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений. Основные примеры построения фундаментальных решений линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, метод преобразования Фурье. Преимущества использования методов спуска.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 10.04.2014