Статистические методы решения инженерных задач

Размещено на http:www.allbest.ru/

В. И. Губин, В. Н. Осташков

Статистические методы решения инженерных задач

Учебное пособие

Тюмень 2006

Министерство образования российской федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тюменский государственный нефтегазовый университет»

В. И. Губин, В. Н. Осташков

Статистические методы

решения инженерных задач

Учебное пособие

Рекомендовано

Учебно-Методическим Объединением высших

Учебных заведений Российской Федерации

В. И. Губин, В. Н. Осташков. Статистические методы решения инженерных задач. Учебн. Пособие для студентов всех форм обучения технических вузов. - Тюмень: ТюмГНГУ. - 2006. - стр.

Учебное пособие состоит из трех частей: теоретической, методической и практической. В первой части содержится теоретический материал справочного характера по разделу «Математическая статистика» курса математики. Во второй части приведены образцы примеров выполнения лабораторных работ по первичной обработке результатов экспериментальных данных из различных сфер производственной деятельности, проверке статистических гипотез, построению однофакторных и многофакторных моделей. Третья часть включает варианты заданий для выполнения шести лабораторных работ.

По содержанию данное пособие соответствует требованиям ГОС ВПО для специальностей технических вузов. Может быть использовано преподавателями при организации и проведении лабораторных занятий по математической статистике во всех формах обучения.

Рецензенты:

© В. И. Губин, В. Н. Осташков, 2006

© Тюменский государственный нефтегазовый университет, 2006

Предисловие

При составлении пособия «Статистические методы решения инженерных задач» приняты во внимание рекомендации, изложенные в документе «Стандарты и Процедуры аккредитации инженерных программ, разработанные в рамках проекта EUR - ACE», предусматривающие двухуровневую подготовку специалистов, формирование у студентов знаний инженерных дисциплин, математики, навыков анализа производственных процессов, выборке решений и способности применения их в практической деятельности. Целью проекта EUR - ACE является содействие созданию Европейской Зоны Высшего образования (Болонский процесс), в котором участвует и Россия.

Пособие составлено на основе:

а) реализации в учебном процессе межпредметных связей математики с инженерными дисциплинами;

б) применения математического моделирования для анализа производственных процессов и их прогнозирования;

в) формирования знаний основных сведений математической статистики и умение использовать статистические методы реальных процессов для решения инженерных задач различной степени сложности.

Пособие содержит практикум по следующим разделам математической статистики:

а) построение вариационных рядов статистических распределений и расчет числовых характеристик;

б) построение эмпирических, теоретических кривых распределений и проверка согласованности эмпирического распределения с нормальным теоретическим, применяя различные критерии согласия;

в) построение однофакторных математических моделей линейной и нелинейной регрессии;

г) построение многофакторных линейных регрессионных моделей.

Материал пособия изложен в доступной форме. Сущность доступности заключается в том, что по каждому разделу приводится описание теоретического материала, показывается его практическое применение в лабораторных работах и формируются навыки в самостоятельном решении приведенных в пособии задач.

Пособие рекомендуется для студентов всех форм обучения технических вузов.

§1. Первичная обработка результатов наблюдений

В первичной обработке результатов наблюдений при анализе показателей работы разных отраслей производственной сферы (добыча нефти и газа, ремонт скважин, машиностроение, строительная индустрия и т.д.) и их прогнозировании используют методы математической статистики, которые позволяют установить закономерности производственных результатов с требуемой точностью, надежностью и минимальных материальных, трудовых затратах и оценить их основные свойства.

Решение этих вопросов методами математической статистики осуществляют следующим образом.

Пусть Х -- некоторый производственный показатель (признак), а , , . . ., -- результаты независимых наблюдений над ними. Если количество наблюдений n невелико, наблюдения либо ранжируют, либо сводит в табл. 1, где каждому значению ставят в соответствие частоту появления этого значения в данной выборке.

Таблица 1

Варианты,			. . .
частоты,			. . .

Здесь , где n -- объем выборки.

Если количество наблюдений n достаточно большое (), то результаты наблюдений сводят в интервальный вариационный ряд, который формируется следующим образом.

Вычисляют размах варьирования R признака Х, как разность между наибольшим и наименьшим значениями признака, то есть . Размах R варьирования признака Х делится на k разных частей и таким образом определяется число столбцов (интервалов) в таблице. Величину k частичного интервала выбирают, пользуясь следующими правилами: математический статистика моделирование прогнозирование

, , .

При небольшом объеме n выборки число интервалов принимают равным от 6 до 10. Длина h каждого частичного интервала определяется по формуле

.

Величину h обычно округляют до некоторого значения d. Например, если результаты признака Х -- целые числа, то h округляют до целого значения, если содержат десятичные знаки, то h округляют до значения d, содержащего такое же число десятичных знаков. Затем подсчитывается частота , с которой попадают значения признака Х в i-ый интервал. Значение , которое попадает на границу интервала относятся к какому-либо определенному концу, например, к левому. За начало первого интервала рекомендуется брать величину . Конец последнего интервала находят по формуле . Сформированный интервальный вариационный ряд записывают в виде табл. 2.

Таблица 2

Варианты-интервалы, (; )	(; )	(; )	. . .	(; )
частоты,			. . .

Интервальный вариационный ряд изображают геометрически в виде гистограммы частот или гистограммы относительных частот .

Гистограммой называется ступенчатая фигура, для построения которой по оси откладывают отрезки, изображающие частичные интервалы (; ) варьирования признака Х, и на этих отрезках, как на основаниях, строят прямоугольники с высотами, равными частотам или частостям соответствующих интервалов.

Для расчета статистик (выборочной средней, выборочной дисперсии, асимметрии и эксцесса) переходят от интервального вариационного ряда к дискретному. В качестве вариантов этого ряда берут середины интервалов (; ). Дискретный вариационный ряд записывается в виде табл. 3 или табл. 4.

Таблица 3

Варианты, хi	х1	х2	. . .	хk
частоты, mi	m1	m2	. . .	mk

Здесь , где n -- объем выборки.

Таблица 4

Варианты,			. . .
относительные частоты,			. . .

Здесь .

Графически дискретный вариационный ряд изображают в виде полигона частот или относительных частот. В системе координат 0ху строят точки с координатами (; ) или (; ), где -- значение i-го варианта, а () -- соответствующие частоты (частости). Ломаную линию, соединяющую построенные точки, называют полигоном.

Вариационные ряды графически можно изобразить в виде кумулятивной кривой (кривой сумм -- кумуляты). При построении кумуляты дискретного вариационного ряда на оси абсцисс откладывают варианты , а по оси ординат соответствующие им накопленные частоты . Соединяя точки с координатами (; ) отрезками прямых, получаем ломаную (кривую), которую называют кумулятой. Для получения накопительных частот и дальнейшего построения точек (; ) составляется расчетная табл. 5.

Таблица 5

Варианты,			. . .
относительные частоты,			. . .
накопительные относительные частоты,			. . .

При построении кумуляты интервального вариационного ряда левому концу первого интервала соответствует частота, равная нулю, а правому -- вся частота этого интервала. Правому концу второго интервала соответствует накопительная частота первых двух интервалов, то есть сумма частот этих интервалов и т. д. Правая граница последнего интервала равна сумме всех частот, то есть объему n выборки.

Для характеристики свойств статистического распределения в математической статистике вводится понятие эмпирической функции распределения.

Эмпирической функцией распределения или функцией распределения называется функция , определяемая равенством

, (1)

где n -- объем выборки, -- число вариантов , меньших х. Аналогом этой функции в теории вероятностей является интегральная функция распределения . Функция отличается от функции тем, что вместо вероятности P() берется относительная частота

.

Чтобы найти значение функции приданном значении x, надо подсчитать число вариантов, которые принял признак Х меньше, чем х и разделить на объем выборки.

Эмпирическая функция служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности. При больших объемах n выборки согласно знака больших чисел функции сходится по вероятности к теоретической функции признака Х.

Значения эмпирической функции принадлежат промежутку . Графиком функции служит кусочно-постоянная кривая (рис. 1).

Эта кривая имеет скачки в точках, которые соответствуют вариантам . При обработке результатов эксперимента, например, результатов механических испытаний, целесообразно вместо ступенчатой кривой вычерчивать плавную кривую (на рис. 1 это штриховая линия), которая проходит через точки, расположенные посередине вертикальных частей ступенчатой кривой. Абсциссами этих точек служат значения механической характеристики , а ординатами -- эмпирическая функция , характеризующая оценку вероятности события .

§2. Расчет выборочных характеристик статистического распределения

Рассмотрим выборку объема n со значениями признака Х: , , . . ., . Для характеристики важнейших свойств статистического распределения используют средние показатели, называемые выборочными числовыми характеристиками. Если значения признака Х не сгруппированы в вариационные ряды (табл. 2, 3, 4) и объем выборки n небольшой, то несмещенные оценки для неизвестных математического ожидания а и дисперсии находят по формулам:

 (2)

для математического ожидания и

(3)

для дисперсии.

Если результаты наблюдений сгруппированы в дискретный вариационный ряд (табл. 3), то те же оценки находятся по формулам:

, , 4)

, (5)

По формуле (5) вычисляют в случае, если объем выборки . Если же , то вычисляют исправленную дисперсию по формуле:

(6)

для простой выборки или

(7)

для взвешенной выборки.

Выборочное среднее квадратичное отклонение находят по формулам

или (8)

при различных объемах выборки.

Для анализа вариационных рядов вычисляют такие статистики, как моду и медиану.

Модой называют варианту, которая имеет наибольшую частоту. Например, для вариационного ряда

xi	4	9	14	19
mi	3	7	2	5

=9.

Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на равные части.

При нечетном объеме выборки (нечетном числе столбцов в дискретном вариационном ряде) медиана равна серединному члену вариационного ряда. Например, для вариационного ряда

xi	3	5	8	12	15
mi	6	2	4	5	8

=8.

При четном объеме выборки (четном числе столбцов в дискретном вариационном ряде) медиана находится по формуле

(9)

Здесь -- варианта, которая находится слева от середины вариационного ряда, а -- слева от нее. Например, для вариационного ряда

xi	2	5	7	10	12	14
mi	3	4	8	2	3	6

.

Для вычисления выборочной средней (), выборочной дисперсии (), асимметрии () и эксцесса () при достаточно большом объеме выборки () применяют метод произведений. Вводят условные варианты u_i, которые вычисляют по формуле

, (*)

где , h -- шаг (длина интервала).

Составляется расчетная табл. 6.

Таблица 6

							контрольный столбец
строка сумм:

Контроль вычислений ведут по формуле

.(10)

Пользуясь табл. 6, вычисляют условные начальные моменты по формулам

(11)

(12)

(13)

(14)

Тогда выборочную среднюю находят по формуле

(15)

Выборочную дисперсию находят по формуле

(16)

Выборочное среднее квадратическое отклонение находят по формуле

(17)

Асимметрию и эксцесс находят по формулам

(18)

, где (19)

-- (20)

условный центральный момент третьего порядка, а

-- (21)

условный центральный момент четвертого порядка.

Для характеристики колеблемости признака Х используют относительный показатель -- коэффициент вариации V, который вычисляют по формуле

(22)

§3. Интервальные (доверительные) оценки параметров распределения

Выборочные характеристики и являюстя надежными количественными оценками генеральных характеристик и только при большом объеме выборки. При ограниченных объемах выборки возникает необходимость указать степень точности и надежности оценок генеральных характеристик.

При решении практических задач, связанных со статистическим анализом характеристик изучаемого признака Х, например, механических свойств конструкционных материалов, несущей способности элементов конструкций, пропускной способности нефтегазопроводов, себестоимости единицы производимой продукции и т. д., как правило, значения генеральной дисперсии и математического ожидания неизвестны.

Для оценки генеральной средней, то есть и генерального среднеквадратического отклонения у по выборочной средней и выборочному среднеквадратическому отклонению S находят доверительные интервалы по формулам

, (23)

где находят по таблице распределения Стьюдента по заданным n и г (г - уровень доверия или надежность, которая задается заранее).

Для генерального среднеквадратического отклонения доверительные интервалы находят по формулам

, при () (24)

или

, при ()(25)

величину q находят по таблице значений (приложение 4 учебника по теории вероятностей и математической статистике) по заданным n и г.

Контрольные вопросы.

1. Дать определение статистической совокупности.

2. Что понимается под генеральной совокупностью?

3. Дать определение выборочной совокупности.

4. Дать определение вариационного ряда.

5. Сформулировать алгоритм построения непрерывного вариационного ряда.

6. Рассказать о графическом изображении дискретного и непрерывного вариационных рядов.

7. Дать определение эмпирической функции распределения, сформулировать ее свойства и рассказать о ее назначении.

8. По каким формулам находятся выборочные средние статистического распределения?

9. Дать определение выборочной дисперсии и рассказать о ее назначении.

10. Записать формулы для вычисления дисперсии для простой и взвешенной выборки.

11. Записать формулы для вычисления исправленной дисперсии и рассказать для чего она вводится.

12. Что называется модой, медианой вариационного ряда?

13. Рассказать о нахождении медианы при различном объеме выборки.

14. Сформулировать алгоритм вычисления и по методу произведений.

15. Дать определения асимметрии и эксцесса статистического распределения и рассказать о их назначении.

16. Записать доверительные интервалы для оценки генеральных математического ожидания и среднего квадратического отклонения.

Лабораторная работа №1

Построение вариационных рядов.

Расчет числовых характеристик.

Цель работы: овладение студентом способами построения рядов распределения и методами расчета числовых характеристик.

Содержание работы: на основе совокупности данных опыта выполнить следующее:

1. Построить ряды распределения (интервальный и дискретный вариационные ряды). Изобразить их графики.

2. Построить график накопительных частот -- кумуляту.

3. Составить эмпирическую функцию распределения и изобразить ее графически.

4. Вычислить моду, медиану, выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, асимметрию, эксцесс.

5. Построить доверительные интервалы для истинного значения измеряемой величины и среднего квадратического отклонения генеральной совокупности.

6. Раскрыть смысловую сторону каждой характеристики.

Методические указания по выполнению работы.

1. Построить интервальный вариационный ряд. Для этого найти:

а) Размах варьирования признака по формуле , где -- наименьшая варианта, -- наибольшая варианта в данной выборочной совокупности;

б) число интервалов вариационного ряда, пользуясь одним из приведенных ниже соотношений:

, , , где n -- объем выборки;

в) длину частичных интервалов по формуле и по необходимости округлить это значение до некоторого числа.

Записать полученный вариационный ряд, заполнив табл. 1:

Варианты-интервалы, (; )	(; )	(; )	. . .	(; )
частоты,			. . .

2. Построить дискретный вариационный ряд, взяв в качестве вариантов середины вариантов-интервалов непрерывного вариационного ряда, а в качестве частот частоты непрерывного вариационного ряда.

3. Изобразить графически интервальный и дискретный вариационные ряды (построить гистограмму и полигон частот).

4. Построить график накопленных частот -- кумуляту. Кумулята -- это ломаная линия, проходящая через точки с координатами и соответствующими накопленными частотами. Предварительно составить табл. 2:

Таблица 2

Варианты,			. . .
относительные частоты,			. . .
накопительные относительные частоты,			. . .

5. Найти эмпирическую функцию распределения и изобразить ее графически.

6. Найти моду и медиану .

7. Для вычисления остальных статистик воспользоваться методом произведений. Ввести условные варианты , где , h -- шаг (длина интервала). Составить расчетную табл. 3:

Таблица 3

							контрольный столбец
строка сумм:

Контроль вычислений произвести по формуле

.

8. Пользуясь табл. 3, вычислить начальные моменты по формулам:

, , , .

9. Найти выборочную среднюю по формуле .

10. Найти выборочную дисперсию по формуле

.

11. Найти выборочное среднее квадратическое отклонение по формуле

.

12. Найти коэффициент вариации по формуле

.

13. Вычислить асимметрию эксцесс по формулам

, .

Предварительно найти центральные моменты по формулам

,

.

14. Доверительные интервалы для «а» и «у» найти по формулам

, где .

найти по приложению № 3 учебника по теории вероятностей и математической статистике.

, где и

, при .

q найти по приложению № 4 учебника.

15. Раскрыть смысловую сторону каждой характеристики.

Выполнение лабораторной работы № 1 рассмотрено на задаче, в основу которой положен компетентностный подход по формированию общих и профессиональных навыков у студентов.

Задача.

Имеются данные об обводненности нефти из насосных скважин (в ):

61,2	61,4	60,2	61,2	61,3	60,4	61,4	60,8	61,2	60,6
61,6	60,2	61,3	60,3	60,7	60,9	61,2	60,5	61,0	61,4
61,1	60,9	61,5	61,4	60,6	61,2	60,1	61,3	61,1	61,3
60,3	61,3	60,6	61,7	60,6	61,2	60,8	61,3	61,0	61,2
60,5	61,4	60,7	61,3	60,9	61,2	61,1	61,3	60,9	61,4
60,7	61,2	60,3	61,1	61,0	61,5	61,3	61,9	61,4	61,3
61,6	61,0	61,7	61,1	60,9	61,5	61,6	61,4	61,5	61,2
61,6	61,3	61,8	61,1	61,7	60,9	62,2	61,1	62,1	61,0
61,5	61,7	62,3	62,3	61,7	62,9	62,5	62,8	62,6	61,5
62,1	62,6	61,6	62,5	62,4	62,3	62,1	62,3	62,2	62,1

Выполнение работы

Обозначим через Х обводненность нефти из рассматриваемых насосных скважин.

1. По данным выборки строим интервальный вариационный ряд. Находим размах варьирования признака Х по формуле . Просматривая исходные данные, находим , . Тогда . Определяем число интервалов (число столбцов в таблице) вариационного ряда. Пусть . Длину каждого частичного интервала определяем по формуле . Так как исходные данные мало отличаются друг от друга и содержат один десятичный знак, то величину h округляем до одного десятичного знака, то есть берем .

Подсчитываем число вариантов, попадающих в каждый интервал, по данным выборки. Значение , попадающее на границу интервала, относим к левому концу. За начало первого интервала берем величину . Конец последнего интервала находим по формуле . Сформированный интервальный вариационный ряд записываем в виде табл. 1.

Таблица 7

Варианты- интервалы	60- 60,3	60,3- 60,6	60,6- 60,9	60,9- 61,2	61,2- 61,5	61,5- 61,8	61,8- 62,1	62,1- 62,4	62,4- 62,7	62,7- 63,0
Частоты,	3	6	9	18	29	16	2	11	5	1

Контроль: и объем выборки .

Записываем дискретный вариационный ряд (табл. 2). В качестве вариантов берем середины интервалов интервального вариационного ряда.

Таблица 8

варианты,	60,15	60,45	60,75	61,05	61,35	61,65	61,95	62,25	62,55	62,85
частоты,	3	6	9	18	29	16	2	11	5	1

Изображаем интервальный и дискретный вариационные ряды графически (строим гистограмму и полигон частот в одной системе координат).

Размещено на http:www.allbest.ru/

Строим график накопленных частот -- кумуляту (рис. 3). Предварительно составляем расчетную табл. 3.

Таблица 9

Варианты,	60,15	60,45	60,75	61,05	61,35	61,65	61,95	62,25	62,55	62,85
относительные частоты, (тут буден	0,602	0,604	0,608	0,611	0,614	0,617	0,620	0,623	0,626	0,629
накопительные относительные частоты,	0,6	1,204	1,812	2,423	3,037	3,654	4,274	4,897	5,523	6,152

Находим эмпирическую функцию распределения. Воспользуемся формулой

, где n -- объем выборки, -- накопленные частоты.

При -- по свойству эмпирической функции распределения.

При .

При .

При .

При .

При .

При .

При .

При .

При .

При -- по свойству эмпирической функции распределения.

Записываем полученную эмпирическую функцию в виде:

График функции имеет вид (рис.4):



Соединив середины вертикальных частей ступенчатой кусочно-постоянной кривой, являющейся графиком функции , получаем плавную кривую (на рис. 4 это штриховая линия). Абсциссами точек этой кривой служат значения обводненности нефти, добываемой насосным способом из скважин, а ординатами -- значения эмпирической функции распределения, характеризующей оценку вероятности события , то есть вероятности попадания возможных значений обводненности нефти на промежуток .

Для нахождения числовых характеристик признака Х -- обводненности нефти (несмещенных оценок для , , а также , , , ) воспользуемся табл. 8.

Так как варианта в табл. 8 встречается с наибольшей частотой , то , то есть это значение обводнености нефти, встречающееся в данной выборке с наибольшей частотой.

Находим . Так как табл. 8 содержит четное число столбцов, то . Это значение обводненности нефти, которое делит данные выборки признака Х на равные части.

Для нахождения остальных статистик, характеризующих обводненность нефти, воспользуемся методом произведений. Введем условные варианты .

У нас , .

Составим расчетную табл. 10.

Таблица 10

							контрольный столбец
60,15	3	-4	-12	48	-192	768	27
60,45	6	-3	-18	54	-162	486	24
60,75	9	-2	-18	36	-72	144	9
61,05	18	-1	-18	18	-18	18	0
61,35	29	0	0	0	0	0	29
61,65	16	1	16	16	16	16	64
61,95	2	2	4	8	16	32	18
62,25	11	3	33	99	297	891	176
62,55	5	4	20	80	320	1280	125
62,85	1	5	5	25	125	625	36
	100		12	384	330	4260	508

Контроль вычислений проводим по формуле

.

У нас , .

Следовательно, вычисления проведены верно.

Пользуясь результатами последней строки табл. 10, находим условные начальные моменты.

.

.

.

.

Находим выборочную среднюю

.

характеризует среднюю обводненность нефти из насосных скважин в данной выборке, составляющую 61,38%.

Находим выборочную дисперсию

.

Выборочное среднее квадратическое отклонение

.

Величина характеризует степень рассеяния значений обводненности нефти относительно средней обводненности. Для определения колеблемости значений обводненности нефти в процентном отношении вычисляем коэффициент вариации:

.

Величина коэффициента вариации мала (составляет 1%), что означает тесную сгруппированность значений обводненности нефти около центра рассеяния, то есть около средней обводненности нефти.

Для предварительной оценки отклонения значений обводненности нефти от нормального распределения вычисляем асимметрию и эксцесс. Сначала находим центральные моменты третьего и четвертого порядков по формулам:

.

.

Тогда

.

.

Значения и мало отличаются от нуля. Поэтому можно предположить близость данной выборки, характеризующей обводненность нефти, к нормальному распределению. Эта гипотеза будет проверяться в лабораторной работе №2.

Произведем оценку генеральной средней и генерального среднеквадратического отклонения по выборочным статистикам и , используя теорию доверительных интервалов для нормального распределения.

Доверительный интервал для истинного значения обводненности нефти находим с надежностью по формуле

.

По таблице приложения № при и находим . Записываем доверительный интервал

или .

Таким образом, средняя обводненность нефти из насосных станций (в %) по данным выборки должна находиться в промежутке .

Запишем доверительный интервал для генерального среднеквадратического отклонения . При заданных и по таблице приложения № находим . Так как , то доверительный интервал записываем в виде

или

или

следовательно, отклонения истинных значений обводненности нефти из насосных станций не должны выходить за пределы промежутка .

Варианты заданий по лабораторной работе № 1

Вариант №1

Имеются данные о производительности труда (количество деталей в смену):

73	77	78	88	76	78	86	76	77	75	90	89	84
79	87	83	78	73	84	86	85	74	78	74	87	82
88	86	75	79	71	88	83	76	76	80	73	89	79
90	75	75	91	83	82	81	77	91	93	92	85	84
87	81	83	80	82	76	81	90	78	91	95	77

Вариант №2

Имеются данные о пропускной способности 50 участков нефтепровода (м³/сут.):

19,5	19,5	19,6	18,8	20,0	20,0	20,4	19,6	19,9	19,9	20,0	20,3	20,2
19,6	20,1	20,3	20,5	20,4	19,8	19,7	19,8	20,0	20,1	19,7	20,3	20,2
20,1	20,3	20,1	20,2	20,4	20,5	20,3	20,5	20,2	20,5	20,7	21,0	20,4
20,3	20,2	20,4	20,6	21,0	20,6	20,7	20,8	20,7	20,8	21,1

Вариант №3

Имеются данные о суточной добыче нефти в одном из районов страны (в тоннах):

85	76	80	84	88	89	91	88	84	85	75	82	86
89	88	84	90	89	85	91	87	81	78	85	91	89
87	74	81	87	90	88	86	76	84	88	77	82	83
84	74	80	84	91	93	90	88	87	77	83	89	89
91	92	88	94	90	88	81	83	89	94	96	88	95
99	86	78	81	86	90	92	93	90	83	79	86	90
79	82	87	85	91	97	88	85	87	90	89	95	89
90	98	93	84	88	96	92	88	95

Вариант №4

Имеются данные о вводе в эксплуатацию новых газовых скважин за год по различным газодобывающим районам страны:

52	33	10	22	28	34	39	29	21	27	31	12	28
40	46	51	44	32	16	11	29	31	38	44	31	24
9	17	32	41	47	31	42	15	21	29	50	55	37
19	57	32	7	28	23	20	45	18	29	25

Вариант №5

Имеются энергетические затраты на 1 метр проходки при эксплуатационном бурении нефтяных скважин в различных нефтеносных районах страны (руб.):

14	13	18	15	12	13	14	12	13	16	16	15	12
13	13	14	16	18	13	15	14	15	14	13	15	12
13	12	14	16	12	13	15	15	15	13	14	15	18
15	12	15	13	13	15	15	15	17	17

Вариант №6

Имеются данные о суточном дебите газа в наблюдаемой скважине (м³/сут.):

30	19	21	28	27	29	31	24	25	28	28	32	34
26	24	19	23	27	30	29	25	18	18	24	28	31
33	18	21	26	30	32	34	29	26	23	25	27	32
23	20	21	26	22	20	27

Вариант №7

Имеются данные о себестоимости 1 тонны нефти и нефтяного попутного газа (тыс. руб.):

0,3	0,4	0,8	1,2	1,4	1,9	0,7	1,3	1,0	0,5	0,9	1,2	1,0
1,3	0,6	1,0	1,0	1,1	0,5	1,2	1,0	1,4	1,6	0,5	1,1	1,1
1,8	0,3	0,6	1,1	0,8	1,2	0,9	1,4	1,3	1,6	2,7	1,5	0,8
0,7	0,9	1,5	1,3	1,1	1,2	1,8	1,1	1,0	1,2	0,9	1,5	1,3
1,1	1,2	1,3

Вариант №8

Имеются данные о числе рабочих дней без простоя для пятидесяти буровых бригад одного из районов страны:

261	260	258	263	257	260	259	264	261	260	264	261	265
261	260	263	260	260	259	260	258	265	259	265	261	258
259	259	258	262	264	258	259	263	266	259	261	266	262
259	262	261	266	262	259	262	261	259	262	262	261	266
259	262

Вариант №9

Приведено количество деталей, выработанных за смену различными рабочими:

78	90	76	81	77	83	85	75	81	73	75	83	73
84	85	83	88	76	79	85	81	89	83	76	77	84
83	88	87	77	82	85	74	79	82	87	71	78	85
84	81	83	88	82	83	88	80	79	82	86	74	75
78	76	84	81	76	74	81	93	84	92	75	82	77

Вариант №10

Имеются данные о рабочих дебитах газовой скважины (тыс. м³/сут.):

550	550	551	550	551	562	550	562	561	530	542	535	542
539	537	543	540	556	546	556	556	534	548	533	558	560
558	548	540	541	551	549	551	550	552	568	538	551	547
552	559	557	546	552	550	557	547	552	554	547	554	567
558	563	562	569	552	554	549	545	560	539	549	539

Вариант №11

Имеются данные о коэффициенте эксплуатации насосных скважин в различных нефтеносных районах страны:

0,90	0,79	0,84	0,86	0,88	0,90	0,89	0,85	0,91	0,98	0,91	0,80	0,87
0,89	0,88	0,78	0,81	0,85	0,88	0,94	0,86	0,80	0,86	0,91	0,78	0,86
0,91	0,95	0,97	0,88	0,79	0,82	0,84	0,90	0,81	0,87	0,91	0,90	0,82
0,85	0,90	0,82	0,85	0,90	0,96	0,98	0,89	0,87	0,99	0,85

Вариант №12

50 сверл были подвергнуты испытанию на твердость. При этом фиксировалась твердость лапки. Результаты испытания следующие:

14,5	14,6	15,1	15,5	16,3	16,8	17,9	16,3	14,5	14,9	13,6	15,4	16,9
15,4	14,3	15,5	11,3	15,5	17,1	16,8	12,2	15,2	15,7	11,6	16,9	15,7
17,7	16,6	16,2	15,5	12,8	14,2	15,5	16,1	14,3	16,5	14,5	17,9	17,8
16,9	11,7	13,2	14,9	19,8	16,6	17,9	14,9	15,2	17,3	16,9

Вариант №13

Даны значения обследуемого признака Х -- себестоимости единицы продукции (в руб.):

73	77	78	88	76	78	86	77	75	90	88	84	79
87	83	79	73	84	86	85	74	77	74	88	81	87
85	76	79	71	88	83	76	76	82	73	89	79	90
76	75	91	83	82	84	85	78	85	85	79	92	86
84	77	92	93	91	85	84	87	81	83	80	82	76
81	90	78	81	95	77	91	84	96	84	79	79	83
88	84	83	93	73	79	92	89	75	83	87	89	71
75	83	87	92	80	88	91	95	82

Вариант №14

Имеются данные о суточном дебите газа в наблюдаемой скважине:

39	19	21	28	26	27	29	28	28	27	23	26	32
34	26	24	22	19	23	27	30	29	25	18	18,5	20
22	24	28	31	33	25	18	21	26	30	32	34	29
26	21	20	23	25	27	30	32	29	27	23

Вариант №15

Даны замеры толщины резца (в мм):

24,5	26,8	23,6	25,5	22,2	26,9	25,3	24,1	28,5	25,3	24,1	28,5	25,3
24,6	27,9	25,4	21,3	25,2	27,7	23,6	25,2	26,8	25,9	25,1	26,3	25,4
21,3	25,2	25,5	25,7	26,6	28,2	25,4	23,2	26,6	25,7	24,3	26,8	25,8
27,1	26,2	25,9	21,6	25,3	25,1	24,8	26,3	24,9	24,3	26,8

Вариант №16

Имеются данные о расходах, связанных с монтажом и демонтажом оборудования на предприятии (в тыс. руб.)

4,7	7,2	6,2	6,7	7,2	5,7	7,7	8,2	6,2	5,2	7,2	5,7	6,2
5,7	8,2	5,7	6,7	6,2	5,7	6,2	6,7	5,2	7,7	6,2	7,2	7,7
6,7	7,2	8,2	6,2	5,7	6,2	7,7	6,7	7,2	5,7	6,7	8,2	7,7
8,2	4,7	8,7	4,2	8,7	6,2	6,7	6,2	7,2	4,9	5,5

Вариант №17

Даны значения обследуемого признака Х -- себестоимости одной детали (в руб.):

82	83	73	76	79	89	95	92	93	84	88	76	88
81	78	86	84	84	86	85	87	84	74	83	87	73
76	73	78	76	76	74	88	82	73	85	79	77	79
97	84	80	75	81	73	78	83	75	90	83	77	84
85	90	92	91	85	71	85	87	82	94	92	76	93
90	73	92	84	93	88	84	81	93	81	91	78	85
84	95	79	79	83	96	89	82	79	77	83	88	81
88	82	77	92	76	84	83	87	89

Вариант №18

Даны значения диаметров шестерен, обрабатываемых на станке:

21	29	27	29	27	29	31	29	31	29	29	23	39
31	29	31	29	31	29	31	33	31	31	31	27	23
27	33	29	25	29	19	29	31	23	31	29	27	33
29	31	29	31	23	35	27	29	29	27	29	29	21
29	27	29	29	29	33	29	25	25	27	31	29	29
27	33	29	31	29	29	29	35	27	29	35	29	33
29	27	31	31	27	29	35	27	33	29	27	29	25
27	31	37	25	31	27	27	29	25

Вариант №19

Даны значения израсходованных долот на 100 скважин при механической скорости проходки 18 м/сек.:

28	30	28	27	28	29	29	29	31	28	26	25	33
35	27	31	31	30	28	33	23	30	31	33	31	27
30	28	30	29	30	26	25	31	33	26	27	33	29
30	30	36	26	25	28	30	29	27	32	29	31	30
31	26	25	29	31	33	27	32	30	31	34	28	26
38	29	31	29	27	31	30	28	34	30	26	30	32
30	29	30	28	32	30	29	34	32	35	29	27	28
30	30	29	32	29	34	30	32	24

Вариант №20

Даны значения внутреннего диаметра гайки (в мм):

4,25	4,38	4,48	4,53	4,54	4,41	4,52	4,39	4,16	4,27	4,59	4,48	4,56
4,13	4,51	4,31	4,27	4,87	4,32	4,49	4,74	4,17	4,66	4,92	4,48	4,68
4,45	4,12	4,69	4,28	4,74	4,55	4,28	4,54	4,51	4,77	4,71	4,78	4,13
4,51	4,42	4,36	4,45	4,32	4,17	4,79	4,13	4,52	4,73	4,95

Вариант №21

Даны значения ширины пера круглой плашки (в мм):

3,59	3,47	3,50	3,66	3,59	3,53	3,49	3,52	3,31	3,68	3,86	3,57	3,69
3,77	3,13	3,59	3,52	3,43	3,46	3,61	3,33	3,66	3,52	3,96	3,92	3,49
3,60	3,65	3,47	3,75	3,74	3,52	3,49	3,78	3,65	3,48	3,49	3,32	3,27
3,63	3,43	3,78	3,45	3,64	3,43	3,62	3,55	3,42	3,73	3,48

Вариант №22

Имеются данные об энергетических затратах на 1 м проходки при разведочном бурении нефтяных скважин в различных нефтяных районах страны (в тыс. руб.):

48	29	6	18	24	30	35	25	17	24	36	42	47
40	28	12	7	25	23	33	28	19	14	8	40	27
20	27	15	6	16	25	34	17	25	46	6	51	13
28	37	43	27	38	53	24	41	21	11	26

Вариант №23

Имеются данные о пластовом давлении (в атм) при насосном способе эксплуатации 100 скважин:

95	57	15	26	35	46	52	55	59	47	42	48	58
55	102	96	45	54	56	60	10	16	20	49	48	43
12	19	51	103	62	61	38	29	10	39	40	18	14
41	58	63	59	60	63	68	70	71	75	82	87	92
99	65	68	78	91	94	77	65	79	67	74	80	89
69	81	83	100	90	36	64	97	50	76	72	31	55
28	57	85	69	13	53	11	61	90	76	17	37

Вариант №24

Имеются данные о продолжительности (в мес.) 50 фонтанирующих скважин:

19,2	18,1	18,4	18,2	18,6	18,9	19,0	18,4	18,5	19,3	18,3	18,7	18,8
19,1	18,9	19,3	18,4	19,2	18,2	18,7	19,5	18,7	19,1	18,7	19,1	19,6
18,6	18,8	19,3	18,8	19,0	19,5	18,9	19,0	19,8	19,7	19,4	19,3	19,1
19,8	18,9	19,7	18,5	19,0	19,9	19,2	19,1	18,6	19,5	19,6

Вариант №25

Имеются данные замеров температуры масла двигателя автомобиля ГАЗ-53А:

21	30	26	29	27	28	31	28	29	24	38	32	32
30	31	29	30	28	28	24	27	33	29	26	29	26
34	28	31	29	30	23	36	27	28	29	36	30	28
33	30	25	26	27	31	29	30	28	29	27	28	36
29	34	28	28	31	32	34	29	29	28	27	33	36
31	20	30	29	26	29	29	29	32	34	30	31	21
28	29	34	24	28	29	28	31	32	27	28	29

Вариант №26

Результаты измерения температуры раздела фракции бензин-авиакеросин на установке первичной переработке нефти (в ).

133	133	142	135	145	144	145	147	146	134	130	134	138
144	141	141	134	141	136	140	143	139	141	137	140	145
145	141	144	138	139	143	141	141	146	143	140	139	143
143	139	140	139	138	138	135	141	141	140	138	145	135
148	136	139	142	143	143	137	138	138	139	138	144	143
138	142	138	140	140	137	139	140	139	137	136	136	135
135	141	142	136	140	136	137	138	138	137	139	139	140
139	140	140	139	139	139	140	140	146

Вариант №27

Имеются данные о суточном дебите нефти наблюдаемой скважины (в т/сут.):

16	13	11	15	18	19	21	18	17	15	13	16	18
17	19	15	13	12	14	16	17	20	17	17	20	19
18	22	24	1	15	14	10	12	16	18	18	19	21
23	20	22	24	17	16	14	15	18	15	11	16	17
15	13	16	17	18	14	15	19	17	18	16	13	15
17	21	23	26	19	22	24	25	20	21	24	19	22
23	20	25	21	20	22	26	19	22	25	28	23	20
21	27	19	15	22	23	18	22	22

Вариант №28

Имеются результаты испытания -- твердости лапки сверла:

36,8	32,0	39,4	36,3	35,4	37,3	34,7	39,0	28,3	41,3	36,1	37,3	32,2
38,5	34,2	37,2	30,6	37,3	35,2	36,9	34,3	35,2	30,8	36,0	39,3	32,7
34,6	36,8	39,1	29,5	30,4	35,2	36,5	38,2	40,2	36,8	39,3	32,7	37,1
29,3	28,4	40,2	34,8	37,2	32,6	41,0	40,4	28,3	34,8	39,2

Вариант №29

Имеются данные о расходах, связанных с подготовительными работами, на 1 м проходки при разведочном бурении нефтяных скважин в различных нефтеносных районах страны (в тыс. руб.):

11	15	20	25	29	34	19	25	16	21	29	20	21
22	23	26	28	30	18	13	17	22	29	26	39	14
16	24	27	25	31	32	23	37	23	27	37	36	42
32	34	39	38	44	28	33	23	35	36	34

Вариант №30

Даны значения овальности валика (в мк):

25	29	33	21	29	25	29	28	31	23	31	27	29
27	27	29	31	27	29	29	29	31	25	29	29	27
29	31	29	27	25	28	27	31	31	29	27	27	33
29	33	31	33	25	27	35	37	35	27	27	29	27
29	31	29	27	29	31	29	21	23	29	37	29	31
29	31	29	31	29	39	29	39	39	27	31	37	29
31	29	27	23	29	27	31	29	29	31	29	35	29
19	29	27	29	29	31	33	29	25

§4. Построение кривой нормального распределения по опытным данным

Проверку соответствия опытных данных предполагаемому закону распределения в первом приближении можно осуществить графическим методом. Опытные данные наносят на вероятностную бумагу и сравнивают с графиком принятой функции распределения, которая на вероятностной сетке изображается прямой линией. Если экспериментальные точки ложатся вблизи прямой со случайными отклонениями вправо или влево, то опытные данные соответствуют рассматриваемому закону распределения. Систематическое и значительное отклонения экспериментальных точек от аппроксимирующей прямой свидетельствует о несоответствии данной выборки предполагаемому закону распределения.

Возможен другой вариант применения графического метода для проверки соответствия опытных данных предполагаемому закону распределения. Пусть требуется определить соответствие опытных данных нормальному закону распределения. С этой целью за основу берут дискретный вариационный ряд и в системе координат строят эмпирическую кривую распределения -- полигон частот. Затем в этой же системе координат строят точки с координатами (; ), через которые проводят теоретическую кривую нормального распределения. Для нахождения теоретических частот составляется табл. 11.

Таблица 11

В табл. 11 обозначено:

-- варианты дискретного вариационного ряда,

-- частоты вариантов ,

-- выборочная средняя,

-- выборочное среднее квадратическое отклонение,

-- шаг (разность между соседними вариантами),

-- функция, значения которой находят по приложению 1,

-- выровненные частоты (ординаты) теоретической кривой,

-- округленные до ближайшего целого числа ординаты .

§5. Проверка статистических гипотез

При изучении той или иной генеральной совокупности нам неизвестен либо закон ее распределения, либо параметры распределения. В таких случаях в математической статистике выдвигается некоторое предположение относительно свойств генеральной совокупности. Такое предположение носит название статистической гипотезы.

Статистическая гипотеза может быть проверена на основании результатов случайной выборки.

Правило, устанавливающее условия, при которых проверяемая гипотеза принимается или отвергается, называется статистическим критерием.

Обработка экспериментальных данных с помощью любого критерия осуществляется по следующей схеме:

1. Берется один или два ряда наблюдений (одна или две выборки) и по элементам этих рядов по определенным формулам (для каждого критерия свои формулы) вычисляют статистики. Получают определенное число.

2. По заданному условию значимости и числу степеней свободы находят по таблицам (для каждого критерия свои таблицы), приводимым в приложении учебника по теории вероятностей и математической статистике, граничные значения для чисел, полученных в п.1. Если полученное в п.1 число не выходит за пределы найденных границ, то принимается следующее утверждение: нет достаточных оснований отвергнуть выдвинутую гипотезу.

В математической статистике наиболее употребительными являются следующие критерии (или распределения): Стьюдента, Фишера (эти критерии исходят из предположения о нормальном законе распределения обследуемых признаков), Пирсона, Колмогорова, Смирнова, Романовского, Ястремского и другие (эти критерии применяют для проверки наличия нормального и других распределений признака Х и когда не используются конкретные значения параметров этих распределений).

Критерий согласия Пирсона ()

Критерий согласия Пирсона () применяют для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения предполагаемому теоретическому распределению при большом объеме выборки () и больших частотах () вариантов .

За меру расхождения эмпирического и теоретического распределений английский математик Пирсон принял величину (хи квадрат)

, (26)

где -- эмпирические частоты, -- теоретические частоты.

Применение критерия к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности значений признака Х осуществляется по следующему правилу.

Правило применения критерия .

1. По имеющейся выборке сделать предположение о нормальном законе распределения признака Х генеральной совокупности. Затем найти оценки параметров этого закона, т.е. найти и .

2. Вычислить теоретические частоты по формуле

, (27)

где n -- объем выборки, h -- шаг, S - выборочное среднее квадратическое отклонение, , находится по таблице приложения №1.

Для вычисления теоретических частот составить табл. 12.

Таблица 12

Полученные частоты округлить до целых.

3. Вычислить величину по формуле (26) и обозначить ее через . Расчет вести, пользуясь табл. 13.

Таблица 13

4. Найти число степеней свободы k (параметр распределения Пирсона) по формуле

, (27)

где S -- число интервалов вариационного ряда, r -- сумма числа параметров теоретического закона распределения. Для нормального распределения признака Х (учитываются параметры нормального распределения a и , а также объем выборки n).

5. Выбрать уровень значимости .

6. По найденному числу степеней свободы k и уровню значимости по таблице № распределения Пирсона определить критическое значение .

Если , то гипотеза о нормальном распределении признака Х принимается. Если , то гипотеза о нормальном распределении признака Х отвергается.

Критерий Пирсона можно применять для проверки гипотезы о том, что данная выборка взята из генеральной совокупности, распределенной по биномиальному закону, по закону Пуассона, по экспоненциальному закону.

Рассмотрим гипотезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона:

: , (28)

где -- параметр распределения Пуассона. Для применения критерия надо рассчитать теоретические частоты , а также получить по значениям выборки оценку параметра . Методом максимального правдоподобия доказывается, что выборочная средняя является пригодной оценкой для , то есть . Теоретические частоты вычисляются по формуле

(29)

Вероятности вычисляются по формуле

(30)

Так как при расчете теоретических частот используется один параметр , то число степеней свободы k находят по формуле

(31)

Затем вычисляют величину по формуле 26, обозначают ее через .По заданному уровню значимости и найденному числу степеней свободы по таблице распределения Пирсона находят . Если , то гипотеза принимается, то есть делаем вывод, что признак Х распределен по закону Пуассона. Если , то гипотеза отвергается.

Критерий Романовского.

Для оценки близости эмпирического распределения признака Х к нормальному теоретическому Романовский предложил вычислять отношение:

, (32)

где -- статистика критерия Пирсона, вычисленная по формуле (26), используя опытные данные, k -- число степеней свободы, найденное по формуле (27). Если указанное отношение по модулю меньше трех, то расхождение между теоретическим и эмпирическим распределениями считается несущественным, то есть можно принять за закон данного эмпирического распределения нормальное распределение. Если отношение (32) больше трех, то делаем вывод о том, что эмпирическое распределение признака Х не подчиняется нормальному закону распределения.

Критерий Колмогорова.

Критерий Колмогорова в своем классическом виде является более мощным, чем критерий Пирсона и может быть использован для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения любому теоретическому непрерывному распределению с заранее известными параметрами. Однако параметры функции распределения , как правило, нам неизвестны и их оценка производится по данным самой выборки. Это обстоятельство накладывает ограничения на возможность широкого практического применения критерия, а может быть использовано только для проверки соответствия опытных данных лишь некоторым конкретным функциям распределения.

Для проверки соответствия эмпирического распределения теоретическому нормальному распределению критерий Колмогорова применяют следующим образом

Вычисляется статистика критерия Колмогорова по формуле

, (33)

где -- максимум абсолютного значения разности между накопленными эмпирическими частотами М и накопленными теоретическими частотами , n -- объем выборки.

По вычисленному находят вероятность -- вероятность того, что достигает данной величины. Вероятность находят, пользуясь табл. 14.

Таблица 14

0,30	1,0000	1,10	0,1777
0,35	0,9997	1,20	1122
0,40	9972	1,30	0681
0,45	9874	1,40	0,397
0,50	9639	1,50	0,222
0,55	9228	1,60	0,120
0,60	8643	1,70	0,052
0,70	7112	1,90	0,015
0,75	6272	2,00	0007
0,80	5441	2,10	0003
0,85	4653	2,20	0001
0,90	3927	2,30	0001
0,95	3275	2,40	0000
1,00	2700	2,50	0000

Если найденному значению соответствует очень малая вероятность, то есть , то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями нельзя считать случайным. Следовательно, рассматриваемая выборка не подчиняется нормальному закону распределения. Если вероятность , то расхождение между частотами может быть случайным и распределения хорошо соответствуют одно другому.

Если проверяют гипотезу по критерию Колмогорова о соответствии выборки экспоненциальному распределению, параметры которого оценивают по опытным данным, то сначала вычисляют статистики [ ]

(34)

(35)

(36)

Затем составляют неравенство

(37)

Критические значения для этого случая: , и . Если неравенство (37) при выбранном выполняется, то это означает, что опытные данные не противоречат предположению о соответствии их экспоненциальному распределению.

Критерий Б.С. Ястремского.

Для проверки соответствия данной нормальному распределению составляется неравенство

,(38)

где

;

;

-- эмпирические частоты;

-- теоретические частоты;

-- число вариантов дискретного вариационного ряда;

; ; n -- объем выборки. Если , то .

Если вычисленное значение меньше , то за закон эмпирического распределения признака Х можно принять теоретический закон нормального распределения. При значениях больших расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями существенно. В этом случае данные выборки не будут подчиняться нормальному закону распределения.

Для вычисления величины составляется табл. 15.

Таблица 15

Приближенные критерии нормальности распределения.

Для приближенной проверки гипотезы о нормальном распределении выборочной совокупности используют выборочные статистики: асимметрию и эксцесс. В этом случае названные статистики вычисляют по формулам (18) и (19). Затем вычисляют их средние квадратические отклонения по формулам

(39)

(40)

Если и , то выборочная совокупность подчиняется нормальному закону распределения. Если и заметно больше своих средних квадратических отклонений, то выборочная совокупность не будет распределена по нормальному закону.

Проверку выборочной совокупности на нормальное распределение можно производить, используя статистики , и . Сначала вычисляют статистику по формуле

(41)

Затем при заданном уровне значимости и числе степеней свободы (используют в расчетах две статистики и ) по табл. № приложения для распределения Пирсона находят . Если выполняется неравенство , то гипотезу о нормальном распределении выборочной совокупности принимают. В противном случае, то есть когда , гипотезу о нормальном распределении выборки отвергают.

Покажем применение рассмотренной теории на примере выполнения лабораторной работы №2, являющейся продолжением лабораторной работы №1.

Контрольные вопросы.

1. Рассказать о возможных вариантах построения кривой нормального распределения по опытным данным.

2. Дать определение статистической гипотезы.

3. Что называется статистическим критерием?

4. Сформулировать алгоритм применения любого статистического критерия для обработки экспериментальных данных.

5. Сформулировать правило применения критерия согласия Пирсона () для проверки гипотезы согласованности эмпирического распределения с теоретическим нормальным.

6. Рассказать о применении критерия согласия Романовского для оценки близости эмпирического распределения к теоретическому нормальному.

7. Сформулировать алгоритм применения критерия Колмогорова для проверки соответствия эмпирического распределения нормальному теоретическому распределению.

8. Рассказать о применении критерия Б.С. Ястремского для проверки соответствия данной выборочной совокупности нормальному распределению.

9. Рассказать о приближенных критериях, применяемых для проверки гипотезы о нормальном распределении выборочной совокупности.

Лабораторная работа №2

Построение кривой нормального распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о нормальном распределении выборки.

Цель работы: овладение студентом способами построения эмпирической и теоретической (нормальной) кривой распределения; выработка умения и навыков применения критериев согласия для проверки выдвинутой статистической гипотезы.

Содержание работы: на основе дискретного вариационного ряда, полученного в лабораторной работе №1, выполнить следующее:

1. Построить эмпирическую (полигон) и теоретическую (нормальную) кривую распределения.

2. Проверить согласованность эмпирического распределения с теоретическим нормальным, применяя три критерия:

а) критерий Пирсона;

б) один из критериев: Колмагорова, Романовского или Ястремского;

в) приближенный критерий.

Методика выполнения работы.

Продолжим вероятностно-статистическую обработку результатов эксперимента, предложенных в лабораторной работе №1, то есть обводненности нефти из насосных скважин. За основу берем дискретный вариационный ряд (табл. 8):

варианты,	60,15	60,45	60,75	61,05	61,35	61,65	61,95	62,25	62,55	62,85
частоты,	3	6	9	18	29	16	2	11	5	1

а так же значения и .

Эмпирическая кривая распределения представляет собой полигон частот (смотри лабораторную работу №1). Для построения теоретической (нормальной) кривой найдем координаты точек , для чего рассчитаем теоретические частоты (табл. 16).

Таблица 16

60,15	3	-1,23	-2,08	0,0459	2,3	2
60,45	6	-0,93	-1,58	0,1145	5,8	6
60,75	9	-0,63	-1,07	0,2251	11,4	11
61,05	18	-0,33	-0,56	0,3410	17,3	17
61,35	29	-0,03	-0,05	0,3984	20,3	20
61,65	16	0,27	0,46	0,3589	18,2	18
61,95	2	0,57	0,97	0,2492	12,7	13
62,25	11	0,87	1,47	0,1354	6,9	7
62,55	5	1,17	1,98	0,0562	2,9	3
62,85	1	1,47	2,49	0,0180	0,9	1

Строим эмпирическую и теоретическую кривые (рис. 5).

Размещено на http:www.allbest.ru/

Проверим согласованность эмпирического распределения (обводненности нефти из насосных скважин) с теоретическим нормальным по критерию Пирсона. Вычислим величину по формуле (26):

.

Для нахождения суммы составляем расчетную табл. 17.

Таблица 17

3	2	1	1	0,5
6	6	0	0	0
9	11	-2	4	0,363636
18	17	1	1	0,058824
29	20	9	81	4,05
16	18	-2	4	0,222222
2	13	-11	121	9,307692
11	7	4	16	2,285714
5	3	2	4	1,333333
1	1	0	0	0

Находим число степеней свободы . Выбираем уровень значимости . По таблице критических точек распределения (приложение ) находим . Так как , то делаем вывод, что данные выборки, характеризующие обводненность нефти из насосных скважин не подчиняются нормальному закону распределения.

Проведём проверку близости эмпирического распределения k нормальному по критерию Романовского. Вычислим величину

.

У нас, , . Тогда , то есть расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением несущественно, что позволяет утверждать, что данные выборки, характеризующие обводненность нефти из насосных скважин по критерию Романовского подчиняются нормальному закону распределения. К такому же выводу мы приходим, применяя критерий Колмогорова (проверить самостоятельно).

И, наконец, проведём проверку близости рассматриваемой выборки к нормальному распределению по приближенному критерию, используя выборочные статистики асимметрию, эксцесс и их средние квадратические отклонения. В лабораторной работе №1 были найдены . Средние квадратические отклонения для асимметрии и эксцесса находим по формуле (39) и (40):

Так как и , то делаем вывод, что данные выборки, характеризующие обводненность нефти из насосных скважин подчиняются нормальному закону распределения.

Итак, для проверки согласованности эмпирического распределения с теоретическим нормальным применили 4 критерия, три из них подтвердили близость выборочной совокупности к нормальному распределению. Поэтому окончательно заключаем, что за закон распределения признака Х -- обводненности нефти из насосных скважин можно принять нормальное распределение.

Замечание.

В качестве вариантов заданий для выполнения лабораторной работы №2 следует брать дискретные вариационные ряды из лабораторной работы №1, а так же значения статистик , , , .

§8. Понятие корреляционной зависимости. Задачи теории корреляции

В новых условиях хозяйственной деятельности предприятий возрастает роль экономико-математических методов для управления производством. Управление производством -- это сложный динамический процесс. Поэтому при выработке оптимального решения по управлению производственно-хозяйственной деятельностью предприятия необходимо не только учитывать изменения параметров и характеристик, описывающих эту деятельность, но и уметь их прогнозировать, основываясь на экономических законах, которые наиболее полно отражают взаимосвязи основных показателей предприятия и его подразделений. Математическая формализация этих связей создает условия для экономического обоснования целесообразных объемов производимой продукции, определения ее качественных показателей и условий эффективного использования ресурсов.