Статистические методы решения инженерных задач

Таблица 37

	1,1	1,4	1,7	2,1	2,6	4,7	6,1	7,0	10	12,8
	25	22,7	22,1	19,8	17	12,3	10,7	10	8,2	6,7
	0,04	0,044	0,045	0,05	0,059	0,081	0,093	0,1	0,12	0,15
	0,004	0,001	0,005	0,009	0,022	0,012	0,007	0,02	0,03
	0,3	0,3	0,4	0,5	2,1	1,4	0,9	3	2,8
	0,013	0,003	0,012	0,018	0,01	0,008	0,008	0,007	0,011

Отношения , полученные для формулы мало отличаются друг от друга, чем для формулы . Поэтому по методу конечных разностей в качестве лучшей выбираем формулу . К такому же выводу мы пришли, применяя метод необходимых условий. Итак, зависимость скорости резания от площади поперечного сечения стружки при обработке хромоникелевой стали выражается формулой . Оценки и неизвестных параметров истинного уравнения регрессии находим, решая систему нормальных уравнений (78):

Для начисления сумм, входящих в систему, составляем расчетную табл. 38.

Таблица 38

1,1	25	0,04	0,044	1,21
1,4	22,7	0,044053	0,061674	1,96
1,7	22,1	0,045549	0,076923	2,89
2,1	19,8	0,050505	0,106061	4,41
2,6	17	0,058824	0,152941	6,76
4,7	12,3	0,081301	0,382114	22,09
6,1	10,7	0,093458	0,570093	37,21
7,0	10	0,1	0,7	49
10	8,2	0,121951	1,21951	100
12,8	6,7	0,149254	1,910448	163,84
39,6		0,784595	5,223764	389,37

Решаем систему уравнений:

, , .

Уравнение регрессии примет вид:

.

Оценим силу корреляционной связи между скоростью резания и площадью поперечного сечения стружки хромоникелевой стали. Вычислим индекс корреляции по формуле (84):

, где ,

(так как ). Для нахождения и составляем расчетную табл. 39.

Таблица 39

1,1	25	19	36	91,2025
1,4	22,7	18	22,09	52,5625
1,7	22,1	17,2	24,01	44,2225
2,1	19,8	16,2	12,96	18,9225
2,6	17	15,1	3,61	2,4025
4,7	12,3	11,7	0,36	9,9225
6,1	10,7	10,2	0,25	22,5625
7,0	10	9,4	0,36	29,7025
10	8,2	7,5	0,49	52,5625
12,8	6,7	6,3	0,16	76,5625
			100,29	400,625

Тогда .

Связь между скоростью резания и площадью поперечного сечения стружки хромоникелевой стали сильная.

Проверяем адекватность полученного уравнения регрессии по критерию Фишера-Снедекора. Находим статистику

.

При уровне значимости и числах степеней свободы , по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора находим . Так как , то модель адекватна. Следовательно, зависимость скорости резания от площади поперечного сечения стружки при обработке хромоникелевой стали по данным выборки описывается уравнением .

Варианты заданий по лабораторной работе №5

Вариант №1

При исследовании зависимости между средней заработной платой на одного работника (тыс. руб.) и выпуском продукции на одного работника (тыс. руб.) по заводу Пластмасс получены следующие данные:

	21,07	23,07	28,69	22,42	21,41	18,49	21,64	39,19	51,96	42,36	51,80	50,45
	30,2	47,0	29,6	39,5	43,9	47,6	46,6	28,7	10,8	16,97	20,10	23,80

Вариант №2

Данные о производстве дизтоплива (тыс. руб.) и себестоимости единицы продукции (тыс. руб.) по ПО «Уренгойгазпром» приведены в таблице:

	5	6	8	13	34	72	95	113	127	90
	143	125	87	45	33	27	16	25	24	27

Вариант №3

При обработке металлов резанием устанавливается зависимость скорости резания металла от различных характеристик резца и стружки. Зависимость скорости резания (м/мин.) и площади поперечного сечения стружки (мм²) пр обработке хромоникелевой стали заданы таблицей:

	1,1	1,4	1,7	2,1	2,6	4,7	6,1	7	10	12,8
	25	22,7	22,1	19,8	17	12,3	10,7	10	8,2	6,7

Вариант №4

Данные зависимости мощности на долоте (кВт) от осевой статистической нагрузки на забой (тс) при бурении пород Подольского горизонта Туймазинского месторождения приведены в таблице:

	1	3	5	7	9	11	13	15	17
	12,5	17,8	37	41,9	45	47	39	32	23

Вариант №5

Зависимость скорости отскока инструмента (м/с) при ударно-вращательном бурении от коэффициента пластичности долот задана таблицей:

	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5
	1,2	0,6	0,21	0,9	0,8	0,75

Вариант №6

Данные о количестве выпускаемых деталей (тыс. руб.) и полных затратах на их изготовление (сотни руб.) на однотипных предприятиях приведены в таблице:

	1	2	4	9	13	18	20
	26	22	19	12	9	8	6

Вариант №7

При исследовании зависимости времени на обработку одной детали (мин.) от стажа работы (в годах) на Тюменском моторостроительном объединении в цехе резиново-технических и пластмассовых изделий на слесарном участке получены следующие данные:

	1	2	3	4	5	6	7
	5	3,33	2,9	2,2	2,1	2	2

Вариант №8

Зависимость удельного момента на долоте (кгс·м/тс) от осевой статистической нагрузки на забой (тс) при бурении пород задана таблицей:

	1	3	5	7	9	11	13	15
	22,5	11,5	6	5,5	2,6	2,4	2,1	2

Вариант №9

Результаты измерений зависимости фазовой проницаемости воды от нефтенасыщенности породы приведены в таблице:

	0,25	0,35	0,45	0,55	0,65	0,75	0,85
	0,65	0,45	0,25	0,15	0,10	0,05	0,07

Вариант №10

В результате исследований установлено, что между овальностью колец после их обработки и термической обработки , существует связь, которая задана таблицей:

	5	10	15	20	25
	21	29,3	36	38	39,2

Вариант №11

При исследовании зависимости между выпуском готовой продукции (тыс. руб.) и коэффициентом использования техники (%) получены следующие данные:

	73	75	79	82	83	86	80	85	95	93	97	77
	14	21	29	30	315	35	34	41	38	39	46	27

Вариант №12

Давление (кг) воздуха парашют возрастает при увеличении скорости (м/сек.) падения следующим образом:

	2,23	3,28	4,65	6,5	8,1
	0,3	0,6	1,2	2,4	4,2

Вариант №13

Прочность бетона (кг/см²) при испытании цилиндрических образцов в зависимости от отношения высоты к диаметру оказалась равной:

	0,5	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0
	290	250	216	206	200	195	190

Вариант №14

Зависимость между размером предприятия по стоимости основных средств (млн. руб.) и себестоимостью единицы продукции (руб.) характеризуется следующими данными:

	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	7,5
	15	11	12	10,8	10	9	8

Вариант №15

Зависимость между ростом производительности труда на одного работающего (тыс. руб.) и выпуском товарной продукции (тыс. руб.) ремонтного цеха машиностроительного завода характеризуется следующими данными:

	1,5	2,9	3,0	3,1	3,2	3,4	3,5	3,6	4,2
	580	618	658	670	662	699	717	775	786

Вариант №16

Зависимость себестоимости продукции (тыс. руб.) от затрат на единицу продукции (тыс. руб.) по объединению «Сибкомплектмонтаж» характеризуется следующими данными:

	0,1	0,4	1	4	6	10	20	25
	2248	1950	1500	1020	906	290	175	121

Вариант №17

Компрессорную скважину исследовали на приток нефти (т/сут.) при различных режимах работы с замером забойных давлений (атм) глубинным манометром. Результаты исследований приведены в таблице:

	5	15	25	35	45	55
	1,25	1,3	5,25	11,25	17,25	21,25

Вариант №18

Зависимость между стоимостью основных средств предприятия (млн. руб.) и выработкой продукции (тыс. руб.) на одного работника характеризуется следующими данными:

	1	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5
	4	6	6,8	7,9	8,7	9	9,5

Вариант №19

Ниже приводятся данные удельного момента на долото (кг·м/тс) и осевой статистической нагрузки на забой (тс) при бурении пород на одном из месторождений Тюменской области:

	1	3	5	7	9	11	13	15	17
	25	15	12	8	10	5	4,5	3	2,8

Вариант №20

Зависимость между мощностью предприятия (млн. ед. продукции в год) и фактическими капитальными вложениями (млн. руб.) характеризуется следующими данными:

	1	2	3	4	5	6
	1,2	2,6	3,8	4,6	4,9	5,4

Вариант №21

Результаты изучения зависимости между среднемесячной производительностью труда рабочего (руб.) и себестоимостью одной тонны продукции (руб.) приведены в следующей таблице:

	21	24	30	34	35	36	39	40
	20	13	12	13	11	10	11	10

Вариант №22

Энерговооруженность труда на одного рабочего (тыс. кВт-час) и производительность труда одного рабочего (тыс. штук) изделий на ряде предприятий характеризуется следующими данными:

	3	3,05	3,6	4,25	4,45	4,55
	1	1,5	1,8	2,5	3	4

Вариант №23

Зависимость между стоимостью основных средств предприятий и месячным выпуском продукции характеризуется следующими данными:

Стоимость основных средств, (млн. руб.)	1	2	3	4	5	6	7
Месячный выпуск продукции, , (тыс. руб)	10	12	28	40	42	52	54

Вариант №24

Зависимость между капитальными вложениями (млн. руб.) и мощностью предприятий данного типа (млн. тонн) продукции задана таблицей:

	1	2	3	4	5	6
	0,9	2,59	3,67	4,45	4,95	5,20

Вариант №25

Распределение однотипных предприятий по объему произведенной за день продукции и себестоимости единицы продукции в условных единицах приведено в таблице:

	50	100	150	200	250	300
	140	120	118	110	115	100

Вариант №26

Результаты исследования зависимости объема зоны разрушения (см³) от предела текучести (кг/мм²) известняков приведены в таблице в таблице:

	12,5	37,5	62,5	87,5	112,5	137,5	187,5
	0,19	0,13	0,11	0,10	0,08	0,07	0,06

Вариант №27

Зависимость перепада давления (кг/см²) (разность между гидростатическим и пластовым давлением) от времени сек. при бурении в песчанике задана таблицей:

	0,025	0,074	0,125	0,175	0,225	0,275	0,325
	95	73	52	45	35	33	31

Вариант №28

Зависимость среднемесячной заработной платы рабочих (тыс. руб.) нефтеперерабатывающего завода от их квалификации (разряд) характеризуется следующими данными:

	1	2	3	4	5	6	7
	0,8	1,2	1,8	2,9	4,2	5,9	12,5

Вариант №29

Зависимость между размером предприятия по стоимости основных средств (млн. руб.) и себестоимостью единицы продукции (тыс. руб.) характеризуется следующими данными:

	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	6,0	9	10
	14	11	10	8	605	5	4,5	4

Вариант №30

Зависимость между фазовой проницаемостью нефти и насыщенностью породы нефтью характеризуется следующими данными:

	0,35	0,45	0,55	0,65	0,75	0,85
	0,05	0,1	0,15	0,45	0,55	0,75

§21. Множественная регрессия

Производственные взаимосвязи, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. Например, овальность после чистового шлифования зависит от припуска на чистовое шлифование и от овальности после предварительного шлифования. Себестоимость продукции зависит от стоимости материала, основной зарплаты рабочих, премиальных, расходов на содержание оборудования, отчислений на соцстрахование. В связи с этим возникает задача исследования зависимости между факторными признаками (называемыми также регрессорами или предикторами) , , . . ., и результативным признаком . Для этого используется множественный регрессионный анализ.

Построение многофакторной регрессионной модели начинается с установления формы связи, используя графический метод для пространства и метод перебора различных уравнений. От правильности выбора вида уравнения зависит, насколько построенная модель будет адекватна не только имеющимся экспериментальным данным, но и истинной зависимости между изучаемыми показателями. При прочих равных условиях предпочтение отдается модели, зависящей от меньшего числа параметров, так как для их оценки требуется меньшее количество эмпирических данных.

После выбора формы многофакторной регрессионной модели проводят отбор факторных признаков и включение их в модель. Принято считать, что в уравнение множественной регрессии можно включать только независимые друг от друга факторные признаки . Практически факторные признаки зависят либо слабо, либо сильно. Поэтому вопрос о включении факторных признаков в уравнение регрессии решает следующим образом. Пусть, например, имеется три факторных признака , , , влияющих на результативный признак и модель является линейной. Чтобы выяснить, какие факторные признаки включить в модель, находят коэффициенты парной корреляции , , . Если их значения меньше , то их можно включить в модель. Если же их значение больше , то следует какие-то из этих факторов исключить из модели. Пусть, например, . Ясно, что какой-то из признаков или надо исключить из модели. Для этого находят парные коэффициенты корреляции между каждым из факторов и и результативным признаком , то есть вычисляют и . Затем сравнивают и . Пусть оказалось, что . Это означает, что факторный признак сильнее связан с результативным признаком , чем признак . Поэтому фактор следует включить в модель, а исключить из нее. Этот вывод подтверждаем путем вычисления коэффициентов частной корреляции и . При исключении факторов из модели можно руководствоваться правилом. Если , где

,(89)

то один из факторов, либо , либо следует исключить.

Рассмотрим случай построения многофакторной модели, когда результативный признак зависит от двух факторных признаков и . Если зависимость между ними носит линейный характер, то уравнение регрессии записывают в виде

. (90)

Коэффициенты уравнения регрессии (90) , , находят по методу наименьших квадратов, решая систему нормальных уравнений

. (91)

Коэффициенты , , можно находить по формулам

, (92)

, (93)

. (94)

Здесь , , -- коэффициенты парной корреляции между признаками и , и , и ; , , -- средние квадратические отклонения; , , -- средние признаков , , .

Если уравнение линейной регрессии имеет вид

(95)

то коэффициенты , , , . . ., находят решая систему нормальных уравнений

 (96)

В матричной форме система (96) примет вид

(97)

где -- матрица значений факторных признаков или матрица плана размерности ; -- транспортированная матрица ; -- матрица коэффициентов системы нормальных уравнений (96) размерности ; -- матрица-столбец значений результативного признака размерности ; -- матрица-столбец свободных членов системы (97) размерности . Для оценки надежности коэффициентов , , , . . ., находят средние квадратические ошибки этих коэффициентов, то есть находят . Пусть -- матрица коэффициентов при переменных системы (97), обратная матрице . Тогда средние квадрвтические ошибки коэффициентов вычисляют по формуле

(98)

где

, -- диагональный элемент матрицы , соответствующий факторному признаку .

Пример.

По опытным данным найдены

,

и уравнение регрессии . Вычислить средние квадратические ошибки коэффициентов уравнения регрессии.

Воспользуемся формулой (98). Учитывая условие задачи, находим

, , , . Тогда

, ,

, .

Записываем уравнение регрессии и под коэффициентами их полученные ошибки:

(25,826) (0,871) (0,436) (0,533)

§22. Измерение тесноты связи множественной линейной регрессии

За меру тесноты линейной связи между факторными и результативным признаками в совокупности принимают множественный или совокупный коэффициент корреляции , который вычисляют по формуле:

(99)

где

-- остаточная дисперсия;

-- общая дисперсия результативного признака.

Множественный коэффициент корреляции можно рассчитать, используя парные коэффициенты корреляции. Так, например, для линейной множественной регрессии между , , коэффициент вычисляют по формуле

.(100)

Множественный коэффициент корреляции можно получить на основе вычисления определителей, составленных из парных коэффициентов корреляции:

, , (101)

Множественный коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

1. Коэффициент множественной корреляции заключен в пределах .

2. Если , то линейная корреляционная связь между признаками и отсутствует, но другая зависимость (функциональная или нелинейная корреляционная) между ними может существовать.

3. Если , то между факторами и существует функциональная линейная зависимость.

Величину множественного коэффициента корреляции корректируют, т.к. при малом числе наблюдений значение получается завышенным. Корректировку осуществляют по формуле

, (102)

где -- скорректированное значение , -- число наблюдений, -- число факторных признаков. Корректировка не производится при условии, если . Для коэффициента множественной корреляции определяют среднеквадратическую ошибку по формуле:

(103)

Если выполняется неравенство , то с вероятностью можно считать значимым

Наряду с определением показателя, отражающего тесноту связи результативного признака с факторными, вместе взятыми, определяют степень влияния каждого фактора в отдельности на изменение результативного фактора с помощью коэффициентов частной корреляции. Если уравнение множественной линейной регрессии между факторами , и имеет вид (90), то коэффициенты частной корреляции рассчитывают по формулам:

, (104)

, (105)

Если линейная регрессия имеет вид

, (106)

то частные коэффициенты корреляции находят по формуле:

, (107)

где . Для общего случая

(108)

Если в корреляционную модель включено факторных признаков, воздействующих на результативный признак , то коэффициент частной корреляции, например, для первого фактора можно определить по формуле

, (190)

где

-- средний квадрат отклонений фактических значений признака от значений, по формуле с учетом всех факторных признаков;

-- средний квадрат отклонений фактических значений признака от значений, вычисленных по формуле, включающей все факторы кроме первого.

Коэффициенты частной корреляции изменяются от 0 до 1 и обладают всеми свойствами парного коэффициента корреляции. Коэффициенту частной корреляции приписывается тот же знак, который имеет в уравнении множественной линейной регрессии коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке

§23. Проверка адекватности модели множественной регрессии

Адекватность модели означает не только количественное, но, прежде всего, качественное соответствие описания объекта. Для проверки соответствия полученного уравнения множественной линейной регрессии опытным данным используют коэффициент множественной регрессии . Если , то модель полностью не адекватна. Если , то модель в общем и в целом воспроизводит свойства моделируемого объекта. Количественным показателем адекватности модели служит коэффициент детерминации , который показывает долю дисперсии, объясняемой данной моделью в общей дисперсии. Адекватность построенной модели может быть проверена по критерию Фишера-Снедекора. Для этого вычисляют статистику по формуле

(110)

где -- объем выборки; -- число факторных признаков, включенных в модель. Затем находят при заданном уровне значимости и числах степеней свободы , по таблице критических точек распределения Фишера . Если , то модель регрессии согласуется с опытными данными, если же , то модель регрессии не согласуется с данными эксперимента.

Адекватность модели множественной регрессии можно определять по средней ошибке аппроксимации

(111)

§24. Экономическая интерпретация уравнения регрессии

Заключительным этапом, завершающим построение регрессионной модели, является интерпретация полученного уравнения регрессии, то есть перевод его с языка статики и математики на язык экономиста. Интерпретация начинается с выяснения, как каждый факторный признак, входящий в модель, влияет на величину результативного признака. Чем больше величина коэффициента регрессии, тем сильнее фактор влияет на результативный признак . Знаки коэффициентов регрессии говорят о характере влияния на результативный признак. Если коэффициент имеет знак (+), то с увеличением данного фактора результативный фактор возрастает. Если коэффициент имеет знак (-), то с увеличением данного фактора результативный признак уменьшается. Интерпретация знаков зависит от экономической сущности результативного признака. Если величина результативного признака должна изменяться в сторону увеличения (объем реализованной продукции, фондоотдача, производительность труда и т.д.), то плюсовые знаки коэффициентов свидетельствуют о положительном влиянии соответствующих факторов. Если величина результативного признака изменяется в сторону снижения (себестоимость продукции, материалоемкость, простои оборудования и т.д.), то в этом случае положительное влияние на результативный признак будут оказывать факторы, коэффициенты, которых отрицательны.

Если экономический анализ подсказывает, что факторный признак должен влиять положительно, а коэффициент при нем имеет знак (-), то необходимо проверить расчеты. Так получается за счет допущенных ошибок при решении и в силу наличия взаимосвязей между факторными признаками, включенными в модель, влияющих в совокупности на результативный признак.

При построении регрессионной модели можно рекомендовать следующий алгоритм выполнения операций (рис.12):

Контрольные вопросы.

1. Рассказать о механизме включения факторных признаков в модель множественной линейной регрессии.

2. Как найти коэффициенты , , уравнения регрессии ?

3. Записать модельное уравнение множественной линейной регрессии для случая, когда в модель включено четыре фактора.

4. Записать систему нормальных уравнений для уравнения .

5. Как определяется надежность коэффициентов уравнения множественной линейной регрессии?

6. Как решается вопрос об измерении тесноты связи между факторными и результативными признаками в случае множественной линейной регрессии?

7. Как осуществляется корректировка множественного коэффициента корреляции?

8. Как определить степень влияния каждого факторного признака в отдельности, включенного в модельное уравнение множественной линейной регрессии, на изменение результативного признака?

9. Рассказать, как осуществляется проверка адекватности модели множественной линейной регрессии.

10. Рассказать об экономической интерпретации уравнения множественной линейной регрессии.

Лабораторная работа №6.

Построение модели множественной линейной регрессии.

Цель работы: овладение способами построения модели множественной линейной регрессии, выработка умений и навыков нахождения параметров уравнения, оценки надежности уравнения регрессии и его параметров, проведения экономической интерпретации полученных результатов.

Содержание работы: на основании опытных данных требуется:

1. Определить форму связи между факторными и результативными признаками, построив корреляционные поля на плоскости для каждой пары факторов. Записать уравнение модели множественной регрессии.

2. Произвести отбор факторов, включаемых в модель.

3. Определить тесноту связи между факторами, включенными в модель множественной линейной регрессии.

4. Найти оценки уравнения регрессии по методу наименьших квадратов.

5. Проверить адекватность полученного модельного уравнения регрессии тремя способами:

- с помощью коэффициента детерминации ;

- по критерию Фишера;

- с помощью средней ошибки аппроксимации.

6. Определить воздействие неучтенных в модели факторов.

7. Дать экономическую интерпретацию найденных оценок уравнения регрессии.

Задачи. Исходные данные для признаков , , , приведены в табл. 40:

Таблица 40

Признаки	Значение признаков на различных НГДУ
	0,92	0,93	0,89	0,90	0,90	0,89	0,92	0,91	0,93	0,89
	45	47	42	46	43	45	48	46	48	44
	69	71	64	66	65	63	68	66	69	65
	35	36	31	33	34	32	38	34	37	33

В таблице обозначено: -- коэффициент эксплуатации скважин; -- дебит скважин (тн/сут.); -- уровень автоматизации труда (%); -- производительность труда (тн/чел.).

Определим форму связи. Для чего строим корреляционные поля (рис. 13-18).

Размещено на http:www.allbest.ru/

Рис. 13



Рис. 14

Рис. 15

Размещено на http:www.allbest.ru/

Рис. 16

Рис. 17



Рис. 18

По построенным корреляционным полям можно предположить, что зависимость между факторными признаками , , и результативным признаком может носить прямолинейный характер. Решим вопрос о включении факторных признаков , , в уравнение линейной регрессии. Найдем коэффициенты парной корреляции по формуле (53). Предварительно составим расчетную таблицу 41. Пользуясь таблицей 41 и формулами (49) -- (50), находим:

, .

, .

, .

, .

.

По найденным коэффициентам парной корреляции видно, что сильно коррелируют между собой факторы или .Для решения вопроса о том, какой из факторов или следует исключить из модели множественной линейной регрессии, вычислим коэффициенты парной корреляции и :

Так как _,то между признаками и связь сильнее, чем между и .Этот факт подтверждается путем вычисления коэффициентов частной корреляции и по формуле (104):

Поэтому из модели множественной линейной регрессии исключаем фактор . Тогда в модель будут включены факторы и и уравнение регрессии запишется в виде

.

Включение фактора в модель обосновано значимостью коэффициента парной корреляции :

Для выяснения вопроса о силе линейной связи между факторами, включенными в модель, вычисляем множественный коэффициент корреляции R по формуле (100):

Так как в нашем примере объем выборки небольшой (), то произведем корректировку R по формуле (102):

Проверяем значимость по критерию Стьюдента. Вычисляем среднеквадратическую ошибку по формуле (103):

Вычисляем статику



По таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне значимости с числом степеней свободы находим Так как , то делаем вывод, что значим.

Для нахождения оценок , , уравнения регрессии решаем систему нормальных уравнений по формуле (91):

(112)

Решив эту систему, получаем ,,.

Тогда уравнение регрессии, устанавливающее зависимость производительности труда от коэффициента эксплуатации и дебита скважин запишется в виде .

Проверяем адекватность уравнения регрессии. Используем коэффициент детерминации , полагая . Для полученной модели . Это означает, что полученная модель приблизительно на 66% объясняет изменение производительности труда в зависимости от изменения включенных в модель факторов и , что является не плохим показателем.

Проведем проверку модели на адекватность по критерию Фишера-Снедекора. Найдем статистику по формуле (110), полагая в ней :

.

По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора при уровне значимости и числах степеней свободы , (p -- число факторов , включенных в модель, n -- объем выборки) находим . Так как , то найденное уравнение регрессии, устанавливающее зависимость производительности труда на десяти нефтегазодобывающих управлениях (НГДУ) от коэффициента эксплуатации скважин и дебита скважин , значимо описывает опытные данные и может быть принято для руководства.

Оценим адекватность уравнения регрессии по средней ошибке аппроксимации , которую вычислим по формуле (111):

.

Для нахождения суммы, входящей в формулу, составляем расчетную табл. 42.

Таблица 42

35	35,2	0,2	0,000114
36	36,8	0,8	0,017778
31	31,5	0,5	0,005952
33	33,8	0,8	0,019394
34	32,7	1,3	0,049706
32	32,6	0,6	0,008
38	36,3	1,7	0,076053
34	34,7	0,7	0,014412
37	37,1	0,1	0,00027
33	32,2	0,8	0,019394
			0,211073

По табл. 42 находим:

.

Среднеквадратическая ошибка небольшая, что дает основание считать, что построенная модель адекватно описывает опытные данные.

Итак, все три метода проверки модели на адекватность подтвердили гипотезу о том, что уравнение регрессии в целом статистически значимо и хорошо соответствует данным наблюдений.

Дадим экономическую интерпретацию найденных коэффициентов уравнения регрессии. Значение свободного члена характеризует влияние неучтенных в модели факторов, в частности фактора (уровень автоматизации труда ). Знак минус говорит о том, что отсутствие этого фактора в модели отрицательно сказывается на повышении производительности труда. Величина коэффициента показывает, что при увеличении коэффициента эксплуатации на 0,01 производительность труда увеличивается в среднем на 86,3271 тн/чел. Коэффициент показывает, что при увеличении дебита скважин на одну тонну производительность труда увеличивается в среднем на 0,360611 тн/чел.

Варианты заданий к лабораторной работе № 6.

Варианты №1-№10

Данные экспериментального определения производительности труда () в зависимости от коэффициента эксплуатации скважин (), дебита скважин (), уровня автоматизации труда () приведены в табл. 43. Пользуясь данными табл. 43, выполнить задание (по образцу приведенного выше примера) по вариантам, номера предприятий (НГДУ) для которых указаны в табл. 44.

Таблица 43

Факторы	Значения факторов на различных НГДУ
	Номера НГДУ
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
	0,93	0,95	0,94	0,89	0,91	0,90	0,92	0,93	0,89	0,90	0,90	0,89	0,92	0,91	0,9	0,89
	51	40	46	40	49	43	45	44	42	46	40	49	50	46	48	51
	71	74	72	65	68	67	69	72	65	68	65	66	71	67	70	65
	35	32	30	31	33	30	34	35	31	33	32	32	31	34	35	30

Здесь: - коэффициент эксплуатации скважин (в долях),

- дебит скважин (тн/сут.),

- уровень автоматизации труда (%),

- производительность труда (тн/чел.).

Таблица 44

Варианты	Номера предприятий	Варианты	Номера предприятий
1	1-3, 7-12, 16	6	4-6, 10-16
2	1-3, 7-9, 13-16	7	1-6, 13-16
3	1-6, 10-12, 16	8	7-16
4	1-3, 10-16	9	4-9, 13-16
5	4-12, 16	10	1-9, 16

Вариант №11.

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость среднего дебита действующих скважин по нефти (), от фонда действующих нагнетательных скважин на конец года (), средней приемистости нагнетательных скважин () и фонда механизированных скважин на конец года () приведены в табл. 45.

Таблица 45

(т/сут.)	(шт.)	(м3/сут.)	(шт.)
3,5	3	31	26
3,5	5	30	27
3,6	6	29	26
3,6	6	24	26
3,5	7	23	25
3,5	7	20	25
3,4	7	20	25
3,3	8	20	24
3,4	8	17	24
3,3	8	17	24
3,2	8	17	23
3,2	8	17	23
3,1	7	16	22
3,2	7	19	22
3,1	8	18	21
3,1	8	16	21
3,0	8	16	20
3,1	8	16	20
3,0	8	15	19
3,0	8	15	19

Вариант №12.

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость добычи жидкости с начала разработки (), от годовой добычи жидкости из перешедших скважин (), среднегодовой обводненности () и от среднего дебита действующих скважин по жидкости () приведены в табл. 46.

Таблица 46

(тыс. т)	(тыс. т)	(%)	(т/сут.)
107	34,5	2,8	3,9
142	34,4	2,8	4
176	34,3	2,7	4
210	34,2	2,6	4,1
244	34,1	2,5	4,1
278	34	2,4	4,1
312	33,8	2,4	4,3
346	33,7	2,3	4,3
379	33,6	2,2	4,2
413	33,4	2,2	4,4
446	33,2	2,1	4,4
479	33,1	2,0	4,6
512	32,9	2,0	4,5
545	32,7	1,9	4,7
577	32,5	1,8	4,7

Вариант №13

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость добычи нефти с начала разработки (), от суммарной добычи нефти из скважин предыдущего года (), падение добычи нефти () и фонда добывающих скважин на конец года () приведены в табл. 47.

Таблица 47

(тыс.т)	(тыс.т)	(тыс.т)	(шт.)
100,5	30,4	-0,5	27
102	33	-0,9	26
133,1	32,1	-1	26
163,1	31,1	-0,9	25
192,6	30,2	-0,9	25
220,9	29,3	-0,9	25
248,5	28,4	-0,9	24
275,1	27,5	-0,8	24
301	26,7	-0,8	23
326,1	25,9	-0,8	23
350,4	25,1	-0,7	22
374	24,3	-0,7	21
379,5	23,6	-0,6	20

Вариант №14

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость добычи нефти с начала разработки (), от суммарной добычи нефти из скважин предыдущего года (), падение добычи нефти () и коэффициента нефтеизвлечения () приведены в табл. 48.

Таблица 48

(тыс.т)	(тыс. т)	(тыс.т)	(%)
286	22	-0,7	0,9
360	22,7	-0,9	1,2
86,9	31,7	-0,9	1,9
117,3	31,2	-0,8	2,5
147,1	30,5	-0,8	3,2
176,1	29,7	-0,8	3,8
204,5	29	-0,7	4,4
232,2	28,4	-0,7	5,0
259,2	27,7	-0,6	5,6
285,6	26,4	-0,6	6,2
311,4	25,8	-0,6	6,7
336,6	25,2	-0,5	7,3
361,2	24,6	-0,5	7,8
385,3	24	-0,5	8,3
408,7	23,5	-0,5	8,8

Вариант №15

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость добычи жидкости с начала разработки (), от годовой добычи жидкости из перешедших скважин (), среднегодовой обводненности () и от среднего дебита действующих скважин по жидкости () приведены в табл. 49.

Таблица 49

(тыс.т)	(тыс. т)	(%)	(т/сут.)
90	32,7	4,8	2,7
123	32,7	6,8	2,8
155	32,6	8,8	2,8
188	32,5	10,7	2,8
220	32,4	12,6	2,9
253	32,5	14,4	2,9
285	32,3	16,2	3,0
317	32,2	17,9	3,0
349	32,1	19,5	2,9
381	32	21,2	3,0
413	31,8	22,8	3,0
445	31,7	24,3	3,1
476	31,6	25,8	3,1
508	31,5	27,2	3,2
539	31,4	28,7	3,2

Вариант №16.

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость среднего дебита действующих скважин по нефти (), от фонда действующих нагнетательных скважин на конец года (), средней приемистости нагнетательных скважин () и темпа отбора от начальных извлекаемых запасов () приведены в табл. 50.

Таблица 50

(т/сут.)	(шт.)	(м3/сут.)	(%)
3	1	50	2,5
2,7	2	43	2
2,6	3	31	2,3
2,7	5	27	2,2
2,6	6	22	2,1
2,6	6	22	2,2
2,5	6	22	2,1
2,5	7	19	2
2,5	7	19	2,1
2,5	8	16	1,9
2,4	8	16	1,9
2,4	8	16	1,8
2,4	7	15	1,8
2,3	8	15	1,7
2,3	7	18	1,7
2,3	7	18	1,9
2,2	8	16	2,3
2,3	7	15	1,9
2,3	8	15	2,1
2,2	8	15	2

Вариант №17

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость добычи нефти с начала разработки (), от коэффициента нефтеизвлечения (), темпа отбора от начальных извлекаемых запасов () и среднего дебита действующих скважин по нефти () приведены в табл. 51.

Таблица 51

(тыс.т)	(%)	(%)	(т/сут.)
102	1,5	2,8	3,6
133,1	1,9	2,8	3,6
163,3	2,4	2,7	3,5
192,6	2,8	2,6	3,5
220,9	3,2	2,5	3,4
275,1	4	2,4	3,4
301	4,4	2,4	3,3
326,1	4,8	2,3	3,2
350,4	5,1	2,2	3,2
374	5,5	2,2	3,1
396,9	5,8	2,1	3,2
419,9	6,1	2	3,1
440,6	6,4	2	3,1
461,5	6,7	1,9	3
481,7	7	1,8	3,1

Вариант №18

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость добычи жидкости сначала разработки (), от закачки агента за год (), закачки агента с начала разработки () и среднего дебита действующих скважин по жидкости () приведены в табл. 52.

Таблица 52

(тыс. т)	(тыс. т/год)	(тыс. т)	(т/сут.)
123	44,5	161	2,8
155	44,3	205	2,8
188	44	249	2,8
220	43,7	293	2,9
253	43,4	336	2,9
285	43,1	380	3
317	42,8	422	3
349	42,5	465	2,9
381	42,3	507	3
413	42	549	3
445	41,7	591	3,1
476	41,4	632	3,1
508	41,4	673	3,2
539	40,8	714	3,2
570	40,5	755	3,3

Вариант №19

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость суммарной добычи нефти из скважин предыдущего года (), от падения добычи нефти (), процента падения добычи нефти () и фонда добывающих скважин на конец года () приведены в табл. 53.

Таблица 53

(тыс. т)	(тыс. т)	(%)	(шт.)
35	-1,1	-2,4	27
33	-0,9	-2,6	26
32,1	-1	-2,6	26
31,1	-0,9	-2,6	25
29,3	-0,9	-2,7	25
28,4	-0,9	-2,7	24
27,5	-0,8	-2,7	24
25,9	-0,8	-2,8	23
24,3	-0,7	-2,8	22
22,9	-0,7	-2,8	21
21,5	-0,7	-2,9	20
20,2	-0,6	-2,9	19
20	-0,5	-3,1	18

Вариант №20

Исходные данные по цеху акционерного объединения машиностроительного профиля за 10 месяцев, характеризующие зависимость между себестоимостью произведенной продукции (), стоимостью материалов (), основной зарплатой () и расходами по содержанию и эксплуатации оборудования () представлены в табл. 54.

Таблица 54

(тыс. руб.)	(тыс. руб.)	(тыс. руб.)	(тыс. руб.)
82,3	36,4	11,5	14,2
83,8	36,6	11,5	13,9
81,5	37,9	11,6	15,2
83,1	38,2	11,8	16,5
84,3	39,4	12	16,7
82,6	39,8	12,2	17,2
85,4	40,1	12,5	18,3
84,6	41,5	12,6	18,6
86,8	42,6	12,8	19,4
88,3	45,7	13,2	20,7

Вариант №21

Исходные данные по цеху акционерного объединения машиностроительного профиля за 10 месяцев, характеризующие зависимость между себестоимостью произведённой продукции (), стоимостью материалов , основной зарплатой () и цеховыми расходами () предоставлены в табл. 55.

Таблица 55

(тыс. руб.)	(тыс. руб.)	(тыс. руб.)	(тыс. руб.)
81,5	37,9	11,6	9,5
82,3	36,5	11,5	10,6
83,8	36,6	11,5	7,8
83,1	38,2	11,8	9,1
84,3	39,4	12	13,6
82,6	39,8	12,2	14,1
85,4	40,1	12,5	14,6
84,6	41,5	12,6	15,1
86,8	42,6	12,8	16
88,3	45,7	13,2	17,2

Вариант №22

Имеются данные, характеризующие зависимость нормы расхода моторного масла () на угар и замену марки от максимальной мощности двигателя (), максимального крутящего момента (), линейной нормы расхода топлива (), и скорости автомобиля () (табл. 56).

Таблица 56

(л/100 л. т)	(л. с)	( )	(л)	(км/ч)
1,3	39	7,4	12	40
1,3	42	7,6	8	75
0,8	53	8,2	8	90
1,3	53	8,2	11	70
2,2	70	20,5	21,5	40
2,2	72	17	17	80
1,8	73,5	10,8	10	90
2,2	75	17	16	30
2	75	21	22,8	60
2,1	75	17	15	40
2,2	90	17,5	16	70
2,3	90	17	17	60
1,8	98	18,4	15	60
2,8	110	35	39	35
2,2	115	29	27	70
2,1	115	29	29	60
2,1	120	29	35	50
2	150	41	36	45
2	180	47,3	44	40
1,8	175	48	54	40

Вариант №23

Имеются данные, характеризующие зависимость нормы расхода моторного масла () на угар и замену марки от максимальной мощности двигателя (), линейной нормы расхода топлива (), скорости двигателя () и контрольного расхода топлива при данной скорости () (табл. 57).

Таблица 57

(л/100 л. т.)	(л. с.)	(л)	(км/ч)	(л)
1,3	39	12	40	10
1,3	42	8	75	8
0,8	53	8	90	9,45
1,3	53	11	70	8,85
2,2	70	21,5	40	21
2,2	72	17	80	13
1,8	73,5	10	90	9,3
2,2	75	16	30	10,6
2	75	22,8	60	22
2,1	75	15	40	12
2,2	90	16	70	13,1
2,3	90	17	60	10,6
1,8	98	15	60	11,8
2,8	110	39	35	38,5
2,2	115	27	70	23
2,1	115	29	60	20
2,1	120	35	50	35
2	150	36	45	35,9
2	180	44	40	41
1,8	175	54	40	39

Вариант №24

Имеются данные, характеризующие зависимость нормы расхода моторного масла на угар и замену марки от максимальной мощности двигателя (), диаметра цилиндра (), линейной нормы расхода топлива () и скорости () (табл. 58).

Таблица 58

(л/100 л. т.)	(л. с.)	(мм)	(л)	(км/ч)
1,3	39	76	12	40
1,3	42	76	8	75
0,8	53	72	8	90
1,3	53	76	11	70
2,2	70	82	21,5	40
2,2	72	92	17	80
1,8	73,5	82	10	90
2,2	75	92	16	30
2	75	82	22,8	60
2,1	75	92	15	40
2,2	90	92	16	70
2,3	90	92	17	60
1,8	98	92	15	60
2,8	110	101,6	39	35
2,2	115	92	27	70
2,1	115	92	29	60
2,1	120	92	35	50
2	150	100	36	45
2	180	108	44	40
1,8	175	108	54	40

Вариант №25

Имеются данные, характеризующие зависимость нормы расхода моторного масла на угар и замену марки от максимальной мощности двигателя (), оборотов при максимальной мощности (), линейной нормы расхода топлива () и скорости () (табл. 59).

Таблица 59

(л/100 л. т.)	(л. с.)	(об/мин)	(л)	(км/ч)
1,3	39	4200	12	40
1,3	42	4400	8	75
0,8	53	5400	8	90
1,3	53	5400	11	70
2,2	70	2800	21,5	40
2,2	72	4000	17	80
1,8	73,5	5800	10	90
2,2	75	2600	16	30
2	75	2600	22,8	60
2,1	75	2600	15	40
2,2	90	4000	16	70
2,3	90	4000	17	60
1,8	98	4500	15	60
2,8	110	2800	39	35
2,2	115	3200	27	70
2,1	115	3200	29	60
2,1	120	3300	35	50
2	150	3200	36	45
2	180	3200	44	40
1,8	175	3200	54	40

Приложение 1

Таблица значений функции

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	3989	3989	3988	39986	3984	3982	3980	3977	3973
0,1	0,3970	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0,2	0,3910	3902	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3825
0,3	0,3814	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3726	3712	3697
0,4	0,3683	3668	3653	3637	3621	3605	3589	3572	3555	3538
0,5	0,3521	3503	3485	3467	3448	3429	3410	3391	3372	3352
0,6	0,3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3187	3166	3144
0,7	0,3123	3101	3079	3056	3034	3011	2989	2966	2943	2920
0,8	0,2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0,9	0,2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	0,2420	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	0,2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	0,1942	1919	1895	1872	1849	1826	1804	1781	1758	1736
1,3	0,1714	1691	1669	1647	1626	1604	1582	1561	1539	1518
1,4	0,1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1,5	0,1295	1276	1257	1238	1219	1200	1182	1163	1145	1127
1,6	0,1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0,0940	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0,0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0,0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2,0	0,0540	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2,1	0,0440	0431	0422	0413	0404	0396	0387	0379	0371	0363
2,2	0,0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297	0290
2,3	0,0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2,4	0,0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180
2,5	0,0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0139
2,6	0,0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	0110	0107
2,7	0,0104	0101	0099	0096	0093	0091	0088	0086	0084	0081
2,8	0,0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063	0061
2,9	0,0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047	0046
3,0	0,0044	0043	0042	0040	0039	0038	0037	0036	0035	0034
3,1	0,0033	0032	0031	0030	0029	0028	0027	0026	0025	0025
3,2	0,0024	0023	0022	0022	0021	0020	0020	0019	0018	0018
3,3	0,0017	0017	0016	0016	0015	0015	0014	0014	0013	0013
3,4	0,0012	0012	0012	0011	0011	0010	0010	0010	0009	0009
3,5	0,0009	0008	0008	0008	0008	0007	0007	0007	0007	0006
3,6	0,0006	0006	0006	0005	0005	0005	0005	0005	0005	0004
3,7	0,0004	0004	0004	0004	0004	0004	0003	0003	0003	0003
3,8	0,0003	0003	0003	0003	0003	0002	0002	0002	0002	0002
3,9	0,0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0001	0001

Приложение 2

Значения функции

х		х		х		х		х
0,00	00000	0,52	0,1985	1,04	0,3508	1,56	0,4406	2,16	0,4846
0,01	0,0040	0,53	0,2019	1,05	0,3531	1,57	0,4418	2,18	04854
0,02	0,0080	0,54	0,2054	1,06	0,3554	1,58	0,4429	2,20	0,4861
0,03	0,0120	0,55	0,2088	1,07	0,3577	1,59	0,4441	2,22	0,4868
0,04	0,0160	0,56	0,2123	1,08	0,3599	1,60	0,4452	2,24	0,4875
0,05	0,0199	0,57	0,2157	1,09	0,3621	1,61	0,4463	2,26	0,4881
0,06	0,0239	0,58	0,2190	1,10	0,3643	1,62	0,4474	2,28	0,4887
0,07	0,0279	0,59	0,2224	1,11	0,3665	1,63	0,4484	2,30	0,4893
0,08	0,0319	0,60	0,2257	1,12	0,3686	1,64	0,4495	2,32	0,4898
0,09	0,0359	0,61	0,2291	1,13	0,3708	1,65	0,4505	2,34	0,4904
0,10	0,0398	0,62	0,2324	1,14	0,3729	1,66	0,4515	2.36	0,4908
0,11	0,0438	0,63	0,2357	1,15	0,3749	1,67	0,4525	2,38	0,4913
0,12	0,0478	0,64	0,2389	1,16	0,3770	1,68	0,4535	2,40	0,4918
0,13	0,0517	0,65	0,2422	1,17	0,3790	1,69	0,4545	2,42	0,4922
0,14	0,0557	0,66	0,2454	1,18	0,3810	1,70	0,4554	2,44	0,4927
0,15	0,0596	0,67	0,2486	1,19	0,3830	1,71	0,4564	2,46	0,4931
0,16	0,0636	0,68	0,2517	1,20	0,3849	1,72	0,4573	2,48	0,4934
0,17	0,0675	0,69	0,2549	1,21	0,3869	1,73	0,4582	2,50	0,4938
0,18	0,0714	0,70	0,2580	1,22	0,3888	1,74	0,4591	2,52	0,4941
0,19	0,0753	0,71	0,2611	1,23	0,3907	1,75	0,4599	2,54	0,4945
0,20	0,0793	0,72	0,2642	1,24	0,3925	1,76	0,4608	2,56	0,4948
0,21	0,0832	0,73	0,2673	1,25	0,3914	1,77	0,4616	2,58	0,4951
0,22	0,0871	0,74	0.2703	1,26	0,3962	1,78	0,4625	2,60	0,4953
0,23	0,0910	0,75	0,2734	1,27	0,3980	1,79	0,4633	2,62	0,4956
0,24	0,0948	0,76	0,2764	1,28	0,3997	1,80	0,4641	2,64	0,4959
0,25	0,0987	0,77	0,2794	1,29	0,4015	1,81	0,4649	2,66	0,4961
0,26	0,1026	0,78	0,2823	1,30	0,4032	1,82	0,4656	2,68	0,4963
0,27	0,1064	0,79	0,2852	1,31	0,4049	1,83	0,4664	2,70	0,4965
0,28	0,1103	0,80	0,2881	1,32	0,4066	1,84	0,4671	2,72	0,4967
0,29	0,1141	0,81	0,2910	1,33	0,4082	1,85	0,4678	2,74	0,4969
0,30	0,1179	0,82	0,2939	1,34	0,4099	1,86	0,4686	2,76	0,4971
0,31	0,1217	0,83	0,2967	1,35	0,4115	1,87	0,4693	2,78	0,4973
0,32	0,1255	0.84	0,2995	1,36	0,4131	1,88	0,4699	2,80	0,4974
0,33	0,1293	0,85	0,3023	1,37	0,4147	1,89	0,4706	2,82	0,4976
0,34	0,1331	0,86	0,3051	1,38	0,4162	1,90	0,4713	2,84	0,4977
0,35	0,1368	0,87	0,3078	1,39	0,4177	1,91	0,4719	2,86	0,4979
0,36	0,1406	0,88	0,3106	1,40	0,4192	1,92	0,4726	2,88	0,4980
0,37	0,1443	0,89	0,3133	1,41	0,4207	1,93	0,4732	2,90	0,4981
0,38	0,1480	0,90	0,3159	1,42	0,4222	1,94	0,4738	2,92	0,4982
0,39	0,1517	0,91	0,3186	1,43	0,4236	1,95	0,4744	2,94	0,4984
0,40	0,1554	0,92	0,3112	1,44	0,4251	1,96	0,4750	2,96	0,4985
0,41	0,1591	0,93	0,3238	1,45	0,4265	1,97	0,4756	2,98	0,4986
0,42	0,1628	0,94	0,3264	1,46	0,4279	1,98	0,4761	3,00	0,49865
0,43	0,1664	0,95	0,3289	1,47	0,4292	1,99	0,4767	3,20	0,49931
0,44	0,1700	0,96	0,3315	1,48	0,4306	2,00	0,4772	3,40	0,49966
0,45	0,1736	0,97	0,3340	1,49	0,4319	2,02	0,4783	3,60	0,499841
0,46	0,1772	0,98	0,3365	1,50	0,4332	2,04	0,4793	3,80	0,499928
0,47	0,1808	0,99	0,3389	1,51	0,4345	2,06	0,4803	4,00	0,499968
0,48	0,1844	1,00	0,3413	1,52	0,4357	2,08	0,4812	4,50	0,499997
0,49	0,1879	1,01	0,3438	1,53	0,4370	2,10	0,4821	5,00	0,49999997
0,50	0,1915	1,02	0,3461	1,54	0,4382	2,12	0,4830
0,51	0,1950	1,03	0,3485	1,55	0,4394	2,14	0,4838

Приложение 3

Таблица значений

	0,95	0,99	0,999		0,95	0,99	0,999
5	2,78	4,60	8,61	20	2,093	2,361	3,883
6	2,57	4,03	6,86	25	2,064	2,797	3,745
7	2,45	3,71	5,96	30	2,045	2,756	3,659
8	2,37	3,50	5,41	35	2,032	2,720	3,600
9	2,31	3,36	5.04	40	2,023	2,708	3,558
10	2,26	3,25	4,78	45	2,016	2,692	3,527
11	2,23	3,17	4,59	50	2,009	2,679	3,502
12	2,20	3,11	4,44	60	2,001	2,662	3,464
13	2,18	3,06	4,32	70	1,996	2,649	3,439
14	2,16	3,01	4,22	80	1,001	2,640	3,418
15	2,15	2,98	4,14	90	1,987	2,633	3,403
16	2,13	2,95	4,07	100	1,984	2,627	3,392
17	2,12	2,92	4,02	120	1,980	2,617	3,374
18	2,11	2,90	3,97		1,960	2,576	3,291
19	2,10	2,88	3,92

Приложение 4

Таблица значений

	0,95	0,99	0,999		0,95	0,99	0,999
5	1,37	2,67	5,64	20	0,37	0,58	0,88
6	1,09	2,01	3,88	25	0,32	0,49	0,73
7	0,92	1,62	2,98	30	0,28	0,43	0,63
8	0,80	1,38	2,42	35	0,26	0,38	0,56
9	0,71	1,20	2,06	40	0,24	0,35	0,50
10	0,65	1,08	1,80	45	0,22	0,32	0,46
11	0,59	0,98	1,60	50	0,21	0,30	0,43
12	0,55	0,90	1,45	60	0,188	0,269	0,38
13	0,52	0,83	1,33	70	0,174	0,245	0,34
14	0,48	0,78	1,23	80	0,161	0,226	0,31
15	0,46	0,73	1,15	90	0,151	0,211	0,29
16	0,44	0,70	1,07	100	0,143	0,198	0,27
17	0,42	0,66	1,01	150	0,115	0,160	0,211
18	0,40	0,63	0,96	200	0,099	0,136	0,185
19	0,39	0,60	0,92	250	0,089	0,120	0,162

Приложение 5

Критические точки распределения

Число степеней свободы	Уровень значимости
	0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,98
1	6,6	5,024	3,841	0,0039	0,00098	0,00016
2	9,2	7,378	5,991	0,103	0,051	0,020
3	11,3	9,348	7,815	0,352	0,216	0,115
4	13,3	11,143	9,488	0,711	0,484	0,297
5	15,1	12,832	11,070	1,15	0,831	0,554
6	16,8	14,449	12,592	1,64	1,24	0,872
7	18,5	16,013	14,067	2,17	1,69	1,24
8	20,1	17,535	15,507	2,73	2,18	1,65
9	21,7	19,023	16,919	3,33	2,70	2,09
10	23,2	20,483	18,307	3,94	3,25	2,56
11	24,7	21,920	19,676	4,57	3,82	3,05
12	26,2	23,336	21,026	5,23	4,40	3,57
13	27,7	24,736	22,362	5,89	5,01	4,11
14	29,1	26,129	23,685	6,57	5,63	4,66
15	30,6	27,488	24,996	7,26	6,26	5,23
16	32,0	28,845	26,296	7,96	6,91	5,81
17	33,4	30,191	27,587	8,67	7,56	6,41
18	34,8	31,536	28,869	9,39	8,23	7,01
19	36,2	32,852	30,144	10,1	8,91	7,63
20	37,6	34,170	31,410	10,9	9,59	8,26
21	38,9	35,479	32,671	11,6	10,3	8,90
22	40,3	36,781	33,924	12,3	11,0	9,54
23	41,6	38,076	35,172	13,1	11,7	10,2
24	43,0	39,364	36,415	13,8	12,4	10,9
25	44,3	40,646	37,652	14,6	13,1	11,5
26	45,6	41,923	38,885	15,4	13,8	12,2
27	47,0	43,194	40,113	16,2	14,6	12,9
28	48,3	44,461	41,337	16,9	15,3	13,6
29	49,6	45,722	42,557	17,7	16,0	14,3
30	50,9	46,979	43,773	18,5	16,8	15,0

Приложение 6

Критические точки распределения Стьюдента

Число степеней свободы k	Уровень значимости (двусторонняя критическая область)
	0,10	0,05	0,02	0,01	0,002	0,001
1	6,3138	12,7062	31,82	63,7	318,3	637,0
2	2,9200	4,3037	6,97	9,92	22,33	31,6
3	2,3534	3,1824	4,54	5,84	10,22	12,9
4	2,1318	2,7764	3,75	4,60	7,17	8,61
5	2,0150	2,5706	3,37	4,03	5,89	6,86
6	1,9432	2,4469	3,14	3,71	5,21	5,96
7	1,8946	2,3646	3,00	3,50	4,79	5,40
8	1,8595	2,3060	2,90	3,36	4,50	5,04
9	1,8331	2,2622	2,82	3,25	4,30	4,78
10	1,8125	2,2281	2,76	3,17	4,14	4,59
11	1,7959	2,2010	2,72	3,11	4,03	4,44
12	1,7823	2,1788	2,68	3,05	3,93	4,32
13	1,7709	2,1604	2,65	3,01	3,85	4,22
14	1,7613	2,1448	2,62	2,98	3,79	4,14
15	1,7530	2,1314	2,60	2,95	3,73	4,07
16	1,7459	2,1190	2,58	2,92	3,69	4,01
17	1,7396	2,1098	2,57	2,90	3,65	3,96
18	1,7341	2,1009	2,55	2,88	3,61	3,92
19	1,7291	2,0930	2,54	2,86	3,58	3,88
20	1,7247	2,0860	2,53	2,85	3,55	3,85
21	1,7207	2,0796	2,52	2,83	3,53	3,82
22	1,7171	2,0739	2,51	2,82	3,51	3,79
23	1,7139	2,0687	2,50	2,81	3,49	3,77
24	1,7109	2,0639	2,49	2,80	3,47	3,74
25	1,7081	2,0595	2,49	2,79	3,45	3,72
26	1,7056	2,0555	2,48	2,78	3,44	3,71
27	1,7033	2,0518	2,47	2,77	3,42	3,69
28	1,7011	2,0484	2,46	2,76	3,40	3,66
29	1,6991	2,0452	2,46	2,76	3,40	3,66
30	1,6973	2,0423	2,46	2,75	3,39	3,65
40	1,6839	2,0211	2,42	2,70	3,31	3,55
60	1,6706	2,0003	2,39	2,66	3,23	3,46
120	1,6577	1,9840	2,36	2,62	3,17	3,37
?	1,6479	1,9647	2,33	2,58	3,09	3,29
	0,05	0,025	0,01	0,005	0,001	0,0005
	Уровень значимости (односторонняя критическая область)

Приложение 7

Критические точки распределения Фишера-Снедекора ( - число степеней свободы большей дисперсии, - число степеней свободы меньшей дисперсии)
Уровень значимости
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	4052	4999	5403	5625	5764	5889	5928	5981	6022	6056	6082	6106
2	98,49	99,01	90,17	99,25	99,33	99,30	99,34	99,36	99,36	99,40	99,41	99,42
3	34,12	30,81	29,46	28,71	28,24	27,91	27,67	27,49	27,34	27,23	27,13	27,05
4	21,20	18,00	16,69	15,98	15,52	15,21	14,98	14,80	14,66	14,54	14,45	14,37
5	16,26	13,27	12,06	11,39	10,97	10,67	10,45	10,27	10,15	10,05	9,96	9,89
6	13,74	10,92	9,78	9,15	8,75	8,47	8,26	8,10	7,98	7,87	7,79	7,72
7	12,25	9,55	8,45	7,85	7,46	7,19	7,00	6,84	6,71	6,62	6,54	6,47
8	11,26	8,65	7,59	7,01	6,63	6,37	6,19	6,03	5,91	5,82	5,74	5,67
9	10,56	8,02	6,99	6,42	6,06	5,80	5,62	5,47	5,35	5,26	5,18	5,11
10	10,04	7,56	6,55	5,99	5,64	5,39	5,21	5,06	4,95	4,85	4,78	4,71
11	9,86	7,20	6,22	5,67	5,32	5,07	4,88	4,74	4,63	4,54	4,46	4,40
12	9,33	6,93	5,95	5,41	5,06	4,82	4,65	4,50	4,39	4,30	4,22	4,16
13	9,07	6,70	5,74	5,20	4,86	4,62	4,44	4,30	4,19	4,10	4,02	3,96
14	8,86	6,51	5,56	5,03	4,69	4,46	4,28	4,14	4,03	3,94	3,86	3,80
15	8,68	6,36	5,42	4,89	4,56	4,32	4,14	4,00	3,89	3,80	3,73	3,67
16	8,53	6,23	5,29	4,77	4,44	4,20	4,03	3,89	3,78	3,69	3,61	3,55
17	8,40	6,11	5,18	4,67	4,34	4,10	3,93	3,79	3,68	3,59	3,52	3,45
Уровень значимости
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	161	200	216	225	230	234	237	239	241	242	243	244
2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,36	19,37	19,38	19,39	19,40	19,41
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,88	8,84	8,81	8,78	8,76	8,74
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96	5,93	5,91
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,78	4,74	4,70	4,68
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06	4,03	4,00
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,63	3,60	3,57
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,34	3,31	3,28
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,13	3,10	3,07
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,97	2,94	2,91
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,86	2,82	2,79
12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,92	2,85	2,80	2,76	2,72	2,69
13	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,84	2,77	2,72	2,67	2,63	2,60
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,77	2,70	2,65	2,60	2,56	2,53
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,70	2,64	2,59	2,55	2,51	2,48
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54	2,49	2,45	2,42
17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,62	2,55	2,50	2,45	2,41	2,38

Оглавление

Введение

§1. Первичная обработка результатов наблюдений

§2. Расчет выборочных характеристик статистического распределения

§3. Интервальные (доверительные) оценки параметров распределения

§4. Лабораторная работа №1

§5. Построение кривой нормального распределения по опытным данным

§6. Проверка статистических гипотез

§7. Лабораторная работа №2

§8. Понятие корреляционной зависимости. Задачи теории корреляции

§9. Парная линейная корреляция

§10. Коэффициент корреляции, его свойство и значимость

§11. Определение надежности (доверительного интервала) коэффициента корреляции

§12. Коэффициент корреляции

§13. Проверка адекватности модели

§14. Оценка величины погрешности линейного однофакторного уравнения

§15. Лабораторная работа №3

§16. Лабораторная работа №4

§17. Нелинейная корреляционная зависимость

§18. Определение силы криволинейной связи

§19. Проверка адекватности модели

§20. Лабораторная работа №5

§21. Множественная прогрессия

§22. Измерение тесноты связи множественной линейной регрессии

§23. Проверка адекватности модели множественной линейной регрессии

§24. Экономическая интерпретация уравнения регрессии

§25. Лабораторная работа №6

Литература

Приложения

Литература

1. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1997.

2. В.Н. Калинина, В.Ф. Панкин. Математическая статистика: Учебник для студ. сред. спец. учеб. заведений.- М. - Высш. шк., 2001.

3. В.А. Колемаев, В.Н. Калинина. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: “ Инфра - М “,1997.

4. Ферстер Э., Рёнц Б. Методы корреляционного и регрессивного анализа. - М.: «Статистика», 1987.

5. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч.2: учеб. пособие для студентов вузов.- М.: Высшая школа, 1982.

6. В.И. Губин. Лекции по высшей математике Ч.2: Учебное пособие для студентов дневной и заочной форм обучения.- Тюмень, 1996.

7. М.Н. Степнов. Статистические методы обработки результатов механических испытаний: Справочник.- М.: Машиностроения, 1985.

8. А.Р. Янпольский. Лабораторный вычислительный практикум.- М.: Издание ВИА, 1968.

9. Е.З. Климова, А.П. Миллионщикова, Н.О. Фастовец. Задачи по математической статистике. Москва, МИНХ И ГП им. И.М. Губкина, 1976.

10. Л.Г. Орлова. Задания для лабораторных работ по математической статистике и методические указания по их выполнению. Тюмень, ТИИ, 1983.

Размещено на Allbest.ru