Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Сумський державний університет

ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ У МЕХАНІЦІ

Рекомендовано вченою радою Сумського державного університету як навчальний посібник

А.В. Загорулько

Суми - 2008

Вид-во СумДУ

УДК 517.9 (075.8)

З 14

Рекомендовано до друку вченою радою Сумського державного університету (протокол №5 від 13.12.2007 р.).

Рецензенти: д-р техн. наук, проф. В.А. Марцинковський (Сумський державний університет), д-р техн. наук, проф. В.І. Симоновський (Сумський державний університет).

Загорулько А.В. Чисельні методи у механіці: Навчальний посібник. - Суми: Вид-во СумДУ, 2008. - 186 с.

ISBN 978-966-657-166-6.

У навчальному посібнику викладені основи чисельних методів розв'язання задач алгебри, аналізу і звичайних диференціальних рівнянь. Розглянута теорія і описані алгоритми оптимізації диференціальних безперервних функцій за наявності обмежень і без них. На прикладі двовимірної і тривимірної задач теорії пружності викладено теорію одного з найпоширеніших методів розв'язання задач механіки твердого деформованого тіла - методу скінченних елементів.

Розрахований на студентів спеціальності "Динаміка і міцність".

А.В. Загорулько, 2008.

Вид-во СумДУ, 2008.

ISBN 978-966-657-166-6.

Зміст

Вступ

1. Основи чисельних методів

1.1 Моделювання

1.1.1 Математичне моделювання

1.1.2 Побудова обчислювальної моделі

1.1.3 Алгоритм методу

1.1.4 Реалізація методу обчислень

1.2 Чисельне розв'язання нелінійних рівнянь

1.2.1 Метод половинного поділу для аналітичного відділення кореня рівняння і пошуку його наближення

1.2.2 Метод простих ітерацій

1.2.3 Метод Ньютона

1.3 Розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

1.3.1 Метод простої ітерації

1.3.2 Метод Зейделя

1.4 Розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

1.4.1 Метод Крамера

1.4.2 Метод Гаусса та його модифікації

1.4.3 Схема єдиного ділення

1.4.4 Метод Гаусса з обранням роздільного елемента

1.4.5 Метод Гаусса-Жордана (метод повного виключення)

1.5 Розв'язання систем нелінійних рівнянь

1.5.1 Метод простої ітерації

1.5.2 Метод Ньютона для нелінійних систем

1.6 Інтерполяція функцій

1.6.1 Поставлення задачі інтерполяції

1.6.2 Інтерполяційний многочлен Лагранжа

1.6.3 Інтерполяційний поліном Ньютона

1.6.4 Многочлени Чебишева

1.6.5 Інтерполяція за допомогою сплайнів

1.7 Чисельне інтегрування функції одного аргументу

1.7.1 Формула прямокутників

1.7.2 Формула трапецій

1.7.3 Формула Сімпсона

1.8 Чисельні методи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь

1.8.1 Методи Рунге-Кутта

1.8.2 Обчислювальна схема (алгоритм) методу Рунге-Кутта

1.8.3 Метод прогнозу і корекції

1.8.4 Задача Коші для диференціальних рівнянь вищих порядків

1.8.5 Метод скінченних різниць для розв'язання лінійних крайових задач

1.8.6 Загальна характеристика явних методів

1.8.7 Жорсткі системи. Неявні методи

2. Методи оптимізації технічних систем

2.1 Оптимальний і раціональний розв'язок

2.2 Розрахункова модель

2.3 Поставлення задач параметричної оптимізації

2.4 Критерій ефективності. Цільова функція

2.5 Обмеження

2.6 Задачі оптимізації

2.7 Чисельний пошук екстремуму функції однієї змінної

2.7.1 Метод золотого перетину

2.7.2 Алгоритм мінімізації функції методом золотого перетину

2.7.3 Метод Ньютона

2.7.4 Апроксимація кривими. Кубічна апроксимація

2.8 Чисельні методи пошуку екстремуму функції декількох змінних

2.8.1 Метод найшвидшого спуску

2.8.2 Метод Давідона-Флетчера-Пауелла

2.9 Методи оптимізації за наявності обмежень

2.9.1 Поняття штрафної функції

2.9.2 Метод SUMT

3. Метод скінченних елементів у задачах механіки деформованого твердого тіла

3.1 Загальні поняття і класифікація задач обчислювальної механіки

3.2 Основні поняття і концепція МСЕ

3.3 Поняття про скінченні елементи

3.4 Поставлення плоскої задачі теорії пружності

3.5 Скінченно-елементне формулювання плоскої задачі теорії пружності: базові співвідношення

3.6 Скінченно-елементне формулювання плоскої задачі теорії пружності: виведення СЛАР МСЕ

3.7 Трикутний лінійний скінченний елемент: система координат і інтерполяція

3.8 Виведення рівнянь трикутного лінійного скінченного елемента

3.9 Ізопараметричний підхід у МСЕ

3.10 Алгоритм МСЕ для тривимірної задачі теорії пружності

Список літератури

Вступ

У даний час у зв'язку з бурхливим розвитком швидкодіючих ЕОМ створена величезна кількість універсальних програмних комплексів, які використовують чисельні методи для розв'язання складних задач механіки твердого деформованого тіла, гідродинаміки, теплопередачі і оптимізації технічних систем. У зв'язку з цим виникла необхідність написання навчального посібника, який вмістив би у собі мінімальний навчальний матеріал з чисельних методів, необхідний для студентів і випускників спеціальності "Динаміка і міцність" для більш кваліфікованого освоєння сучасних програм обчислювальної механіки. Необхідно підкреслити, що посібник є майже цілком компілятивним. Внеском автора є головним чином відбір матеріалу, що базується на особистому досвіді використання чисельних методів у механіці.

У запропонованому навчальному посібнику викладені основи чисельних методів розв'язання задач алгебри, аналізу і звичайних диференціальних рівнянь. Розглянута теорія і описані алгоритми оптимізації диференціальних безперервних функцій за наявності обмежень і без них, які дозволяють одержати глибоке уявлення про ідеї, що лежать в основі методів оптимізації практичних задач. Окрім цього, навчальний посібник висвітлює один з найпоширеніших методів розв'язання задач механіки твердого деформованого тіла - метод скінченних елементів, для ілюстрації можливостей якого вибрані двовимірна і тривимірна задачі теорії пружності, що мають важливе практичне і методологічне значення.

1. Основи чисельних методів

1.1 Моделювання

Моделювання є основою пізнання людиною навколишнього світу. Проводячи експерименти, теоретичні дослідження, навіть при обговоренні власних дій, намірів, висновків, ми практично займаємося моделюванням. Цілі, задачі, засоби й методи моделювання у цих випадках значно відрізняються один від одного, але загальна спрямованість залишається єдиною - одержання нових знань шляхом випробування (дослідження), деякого замінника реального об'єкта дослідження - моделі. У випадку експериментальних досліджень моделлю є реальний об'єкт, який має ту саму фізичну природу, що й досліджуваний об'єкт. При теоретичних дослідженнях модель має знакову форму - математичних формул, співвідношень, рівнянь, а задачею моделювання є встановлення нових знань про об'єкти, що описуються цими співвідношеннями. Обговорення встановлює правомірність тих припущень і висновків, які були зроблені шляхом моделювання.

Взагалі, спрощено моделювання можна розглядати як певний експеримент, об'єктом якого у першому випадку є матеріальний аналог досліджуваного об'єкта, у другому випадку об'єктом досліджень є знакова (математична) модель.

Результатом розв'язування інженерних (прикладних) задач будь-якого рівня є, як правило, чисельні оцінки (параметрів пристроїв, процесів, технічних характеристик тощо), які є наслідком розрахунків, що здійснюються з наближеними первісними даними. Більшість прикладних задач зводяться до математичних задач, які розв'язуються різноманітними обчислювальними методами.

Послідовність розв'язування таких задач можна подати у вигляді наступних етапів: чисельний метод диференціальне скінченний

поставлення задачі;

створення математичної моделі (формулювання задачі); перевірка моделі на адекватність;

побудова розрахункової (обчислювальної) моделі, яка відповідає прийнятій математичній моделі;

проведення розрахунків за обраною обчислювальною моделлю при заданих (відомих) значеннях первісних даних;

аналіз одержаних результатів.

У цілому процес розв'язування інженерної задачі може бути поданий у вигляді схеми, наведеної на рис. 1.1.

Розглянемо докладніше кожний із цих етапів.

Рисунок 1.1 - Схема розв'язання інженерної задачі

1.1.1 Математичне моделювання

Модель утворюється для подальшого її дослідження з метою одержання нових знань про відповідний реальний об'єкт. Таке дослідження вже готової моделі називають моделюванням. Дослідження математичної моделі називатимемо математичним моделюванням [1].

Математична задача є абстрагованою від конкретної сутності задачі. Для її розв'язання створюються спеціальні обчислювальні методи, причому до тієї самої математичної моделі можуть зводитися зовсім різні прикладні задачі.

У загальному значенні під адекватністю математичної моделі розуміють правильний якісний, повний і достатньо точний кількісний опис саме тих характеристик реального технічного об'єкта, які важливі в даному конкретному випадку.

Економічність математичної моделі оцінюють витратами на обчислювальні ресурси (машинний час і пам'ять), необхідні для реалізації математичної моделі на ЕОМ. Ці витрати залежать від числа арифметичних операцій при використанні моделі, від розмірності простору фазових змінних, від особливостей використовуваної ЕОМ та інших чинників. Очевидно, що вимоги економічності, високої точності і досить широкої області адекватності математичної моделі суперечливі і на практиці можуть бути задоволені лише на основі розумного компромісу. Властивість економічності математичної моделі часто пов'язують з її простотою. Більш того, кількісний аналіз деяких спрощених варіантів математичної моделі може бути здійснений і без залучення сучасної обчислювальної техніки.

Робастність математичної моделі (від англійського слова robust - міцний, стійкий) характеризує її стійкість щодо похибок початкових даних, здатність нівелювати ці похибки і не допускати їх надмірного впливу на результат обчислювального експерименту. Причинами низької робастності математичної моделі може бути необхідність при її кількісному аналізі віднімання близьких один до одного наближених значень величин або ділення на малу за модулем величину, а також використання в математичній моделі функцій, що швидко змінюються у проміжку, де значення аргументу відоме з невисокою точністю. Іноді прагнення збільшити повноту математичної моделі призводить до зниження її робастності внаслідок введення додаткових параметрів, які відомі з невисокою точністю або входять в дуже наближені співвідношення.

Продуктивність математичної моделі пов'язана з можливістю мати у своєму розпорядженні достатньо достовірні початкові дані. Якщо вони є результатом вимірювань, то точність їх вимірювання повинна бути вищою, ніж для тих параметрів, які одержані при використанні математичної моделі.

Наочність математичної моделі є її бажаною, але необов'язковою властивістю. Проте використання математичної моделі і її класифікація спрощуються, якщо її складові (наприклад, члени рівнянь) мають зрозумілий змістовний сенс. Це звичайно дозволяє орієнтовно передбачати результати обчислювального експерименту і полегшує контроль їх правильності.

1.1.2 Побудова обчислювальної моделі

Побудова обчислювальної моделі може здійснюватися різними методами, які можна поділити на точні й наближені. Точні методи - це такі, які після скінченної кількості дій (обчислень) приводять до точного результату за умови, що обчислення здійснюються без похибок. Наближеними називають такі методи, які за тих же умов дозволяють одержати результат лише з деякою похибкою.

При використанні точних методів етап дослідження математичної моделі поділяється на такі підетапи:

відшукання точного розв'язку математичної моделі;

підставлення вихідних даних у знайдений точний розв'язок і реалізація передбачених ним обчислень.

Дослідження математичної моделі наближеними методами поділяється на такі етапи:

обрання обчислювального методу (як правило, наближених чисельних методів буває декілька);

вивчення або складання алгоритму методу;

реалізація алгоритму за допомогою обчислювальних засобів.

При виборі чисельного методу суттєвими є об'єм обчислень, швидкість збіжності обчислень (як швидко одержується результат) та інші чинники. Зокрема, обрання методу залежить і від вхідних даних.

Крім того, на вибір методу впливають засоби його реалізації (ручний розрахунок, наявність обчислювальної машини, наявність готової програми тощо). Так, якщо будуть використані швидкодіюча ЕОМ і готова програма, то об'єм обчислень не повинен бути визначальним фактором при обранні методу. При ручному ж розрахунку необхідно віддати перевагу методу, який, можливо, потребує деяких певних попередніх досліджень і перетворень математичної моделі, але завдяки цьому потребує й значно меншої кількості обчислень.

1.1.3 Алгоритм методу

Алгоритмом методу називається система правил, яка задає точно визначену послідовність операцій, що приводить до необхідного результату (точного або наближеного).

Алгоритм - одне із ґрунтовних понять математики. Хід розв'язання обчислювальної (і взагалі будь-якої) задачі має бути поданий через алгоритм.

Алгоритм можна записати словесно-формульно, або у вигляді схеми.

При виконанні алгоритму перехід від однієї дії до іншої здійснюється строго у порядку їхнього запису. Якщо ж потрібно перервати природний хід дій за деякої умови, необхідно вказувати на це (див. п. 3 наведеного алгоритму).

Структурною схемою алгоритму називають графічне зображення послідовності дій обчислювального процесу.

У схемі кожна дія розміщується у певному геометричному символі (фігурі). Послідовність дій зазначається на схемі напрямком стрілок на лініях, якими з'єднують ці символи. Як правило, прийнято початок і кінець обчислень зображувати овалами, введення даних і виведення результатів - у вигляді паралелограма. Обчислювальні операції розміщуються у прямокутниках, а операція перевірки деякої умови зображується у вигляді ромба. Усередині кожної фігури розміщується стислий формульний опис відповідної операції.

Символи операцій перевірки умови мають два виходи: "так" і "ні". Стрілка на лінії, що виходить із виходу "так" вказує на операцію, до виконання якої потрібно перейти, якщо умову, яка перевіряється, виконано. Стрілка з написом "ні" вказує на операцію, до виконання якої необхідно перейти у випадку, коли умову не виконано.

На рис. 1.2. подані елементи блок-схеми алгоритму обчислень. Фігури з'єднуються лініями зі стрілками, які вказують на операцію, до виконання якої необхідно перейти.

Рисунок 1.2 - Елементи блок-схеми алгоритму

1.1.4 Реалізація методу обчислень

Обчислення за алгоритмами відбувається за допомогою різних обчислювальних засобів.

Суттєвим є контроль обчислень, який проводять за так званим контрольним прикладом (тестом). Результат контрольного прикладу має бути заздалегідь відомим, тобто він або є очевидним, або його відшукують яким-небудь іншим способом. При ручному рахунку контроль рекомендується проводити поетапно. При розрахунках на ЕОМ за складеною програмою контрольний приклад заздалегідь прораховують вручну, а потім звіряють поетапно результати розрахунків із здійснюваними машиною.

1.2 Чисельне розв'язання нелінійних рівнянь

Будь-яке рівняння з одним невідомим можна записати у вигляді Його розв'язком називається таке значення (корінь рівняння), для якого Алгоритми знаходження точного значення коренів відомі тільки для вузького класу рівнянь. Тому більшість їх можливо розв'язати лише наближеними чисельними методами.

Задача знаходження наближеного значення кореня передбачає два етапи:

1) відділення коренів - визначення відрізка з області визначення функції , де знаходиться тільки один корінь;

2) уточнення наближених коренів, тобто обчислення їх із заданою точністю.

Для кожного з цих етапів розроблені свої чисельні методи [2-4].

1.2.1 Метод половинного поділу для аналітичного відділення кореня рівняння і пошуку його наближення

Нехай функція - неперервна на відрізку на кінцях його набуває значень різних знаків, тобто, похідна зберігає на цьому відрізку знак (рис. 1.3). Отже, усередині цього відрізка міститься один корінь. Ділимо відрізок навпіл, знаходимо його середину Якщо то корінь Інакше, позначимо через ту половину відрізка , на кінцях якої функція набуває значень різних знаків. Процес послідовного поділу продовжуємо до того часу, поки на кроці не буде виконуватися одна з умов:

1), тоді

- шуканий корінь;

2) довжина відрізка, що містить корінь, стане менше де -задана точність обчислень, тобто

,

.

Рисунок 1.3 - Ілюстрація методу половинного поділу

1.2.2 Метод простих ітерацій

Для використання методу простих ітерацій (послідовних наближень) замінимо рівняння еквівалентним йому рівнянням

. (1.1)

Виберемо деяке наближення кореня і підставимо його у праву частину рівняння (1.1). Одержимо . Далі обчислюємо за формулою:

(1.2)

Отримуємо послідовність наближень {} до кореня, що у випадку її збіжності до кореня може дати наближене його значення із заданою точністю . Необхідною і достатньою умовою існування границі послідовності є вимога: такий, що . З цієї причини шукаємо наближення (ітерації), які б задовольняли вищезазначену умову.

Рисунок 1.4 - Ілюстрація методу простих ітерацій

Перейти від рівняння до еквівалентного йому можна багатьма способами. Але оптимальним є той, що задовольнить достатню умову збіжності методу простої ітерації .

При виконанні умови збіжності за початкове наближення можна взяти довільне значення з інтервалу

1.2.3 Метод Ньютона

Метод Ньютона (метод дотичних), який використовується для наближеного розв'язку рівняння , полягає в побудові ітераційної послідовності , що збігається до кореня рівняння на відрізку його локалізації.

На рисунку 1.5 зображено спосіб отримання першого наближення за методом дотичних: x₁ є точка перетину дотичної, проведеної до кривої в точці з координатами . З прямокутного трикутника, гострий кут якого , маємо

Рисунок 1.5 - Ілюстрація методу дотичних

звідки .

Достатні умови збіжності такі. Нехай - визначена і двічі диференційована на , причому похідні зберігають знак на Тоді, виходячи з початкового наближення що задовольняє нерівність ітераційна послідовність

(1.3)

збігається до єдиного на розв'язку рівняння

Для оцінки похибки n-го наближення кореня можна скористатися нерівністю

(1.4)

де найбільше значення модуля другої похідної на ; m - найменше значення модуля першої похідної на .

За необхідності обчислити корінь рівняння з точністю ітераційну послідовність переривають за умови

(1.5)

і беруть за наближене значення кореня

Метод Ньютона ефективний, якщо вибрано вдале початкове наближення для кореня і навколо кореня графік функції має велику кривину.

1.3 Розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

Розглянемо системи вигляду

(1.6)

Її матричний вигляд

АХ=С. (1.7)

Тут А - { [],(i,j=)} - матриця коефіцієнтів системи,

С=, X= - вектори-стовпці.

Методи чисельного розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) поділяються на точні і наближені. Метод вважають точним, якщо, нехтуючи похибками округлення, він дає точний результат після виконання певної кількості обчислювальних операцій. Математичні пакети прикладних програм для ПЕОМ містять стандартні процедури розв'язання СЛАР такими поширеними точними методами, як метод Гаусса. До наближених методів розв'язання СЛАР відносять метод простої ітерації та метод Зейделя. Вони дозволяють отримати послідовність наближень до розв'язку , таку, що .

Ітераційні методи прості, легко програмуються і мають малу похибку округлення, але вони дають збіжну послідовність наближень тільки при виконанні певної умови. Це достатня умова збіжності ітераційного процесу: модулі діагональних коефіцієнтів для кожного рівняння системи не повинні бути менше, ніж сума модулів усіх інших коефіцієнтів при невідомих

. (1.8)

1.3.1 Метод простої ітерації

Розглянемо СЛАР у матричному вигляді (1.7) (діагональні коефіцієнти a_ii не дорівнюють нулю для всіх i). Приведемо її до вигляду X=BX+D, де B= [b_ij]- квадратна матриця порядку n:

.

При цьому СЛАР (3.1) набуде вигляду

(1.9)

Взявши довільне початкове наближення

,

будуємо ітераційний процес за формулою:

(k=1,2,…).

1.3.2 Метод Зейделя

Ітераційний процес Зейделя відрізняється від методу простої ітерації тим, що при розв'язуванні систем вигляду X=BX+D обчислення наступного наближеного значення x_i при 1<i<n використовується при обчисленні раніше невідомих наближених значень x₁,x₂,…,x_i-1.

Розглянемо тепер систему AX=C (1.7) з n рівнянь із n невідомими, як і раніше припускаючи, що діагональні коефіцієнти a_ii не дорівнюють нулю для всіх i. Перетворимо вихідну систему вигляду AX=C до вигляду X=BX+D, де B= [b_ij]- квадратна матриця порядку n:

.

У цьому випадку ітераційний процес методу Зейделя має вигляд

(1.10)

Часто в практичних обчисленнях ітераційний процес припиняють, якщо два послідовних наближення відрізняються менше від наперед заданого числа ? у змісті обраної норми:

тобто коли наближені розв'язки і стануть досить близькими і

Величина ? пов'язана з точністю е розв'язання системи таким співвідношенням:

,

де - норма матриці з коефіцієнтів при невідомих у правих частинах рівнянь перетвореної системи: X=BX+D. Норма матриці може бути визначена по-різному, наприклад, як

або

1.4 Розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) -го порядку має вигляд

(1.11)

Тут позначено () - деякі змінні; - коефіцієнти при змінних; - так звані "вільні" члени.

Під розв'язуванням СЛАР розуміємо відшукання таких значень змінних , підстановка яких у кожне з рівнянь перетворює їх одночасно у тотожності.

Якщо використати матричні позначення

; ; , (1.12)

то система рівнянь (1.11) може бути поданою у матричній формі у такий спосіб:

. (1.13)

1.4.1 Метод Крамера

Найбільш відомий у математиці метод розв'язання СЛАР - метод Крамера - дозволяє побудувати повне аналітичне розв'язання. Це розв'язання має вигляд

; , (1.14)

де - позначення визначника матриці , а - визначник матриці

, (1.15)

яка виходить з матриці коефіцієнтів шляхом заміни в ній -го стовпця на стовпець з вільних членів.

Як бачимо, розв'язування тісно пов'язане з обчисленням визначників. Усього для відшукання повного розв'язання потрібно обчислити визначників -го порядку і додатково здійснити ще ділень відшуканих значень визначників. Обчислення визначника за відомим правилом розкладання на суму алгебраїчних доповнень є вельми марнотратним у розумінні кількості операцій, оскільки потребує операцій множення. Усього ж для відшукання розв'язку потрібно, таким чином, операцій множення-ділення.

1.4.2 Метод Гаусса та його модифікації

Усі чисельні методи розв'язування СЛАР спираються на деякі перетворення вихідної системи рівнянь, які, з одного боку, не змінюють шуканого розв'язання, а, з іншого - значно спрощують подальше його відшукування. Звичайно, при цьому домагаються, щоб загальна кількість операцій разом із попередніми перетвореннями була якомога меншою у порівнянні з методом Крамера.

Розглянемо, які ж саме перетворення рівнянь (1.11) не змінюють розв'язків цієї системи. Неважко зрозуміти, що до таких перетворень належать:

ділення будь-якого з рівнянь на будь-яке число , що не дорівнює нулю; така операція не змінює розв'язків СЛАР, але змінює визначник матриці, який зменшується у стільки ж разів, тобто визначник початкової матриці дорівнюватиме значенню визначника нової матриці коефіцієнтів, помноженому на ;

додавання до будь-якого рівняння системи (1.11) будь-якого іншого рівняння тієї ж системи, помноженого на будь-яке число, що не дорівнює нулю;

переставлення місцями двох яких-небудь рівнянь; ця операція призводить до зміни знака визначника системи.

Якщо ввести у розгляд так звану "розширену матрицю" коефіцієнтів рівнянь системи

, (1.16)

яка матиме розміри , то вищезгадані перетворення можна інтерпретувати як перетворення саме розширеної матриці коефіцієнтів СЛАР. До таких допустимих перетворень цієї матриці можна, як це було зазначено, віднести:

множення будь-якого рядка матриці на число, що не дорівнює нулю;

підсумовування будь-якого рядка матриці з іншим рядком цієї матриці, помноженим на число, що не дорівнює нулю;

переставлення місцями двох будь-яких рядків розширеної матриці; при цьому знак головного визначника матриці змінюється на протилежний;

переставляння місцями двох будь-яких стовпців матриці ; ця операція є еквівалентною лише змінюванню позначень шуканих змінних; при цьому також змінюється знак визначника матриці .

1.4.3 Схема єдиного ділення

Найпростіший варіант методу Гаусса називається схемою єдиного ділення. Розглянемо його докладніше.

Схема єдиного ділення складається із двох етапів. На першому з них (його називають прямим ходом) вихідні рівняння (1.11) перетворюються таким чином, що з наступних рівнянь вилучаються усі попередні змінні, тобто із другого і подальших рівнянь вилучається змінна , з третього і подальших - змінна і так далі. У результаті таких дій випливає, що останнє рівняння міститиме лише одну змінну -, передостаннє - дві змінні - і і так далі у порядку зростання кількості змінних.

На другому етапі (який називається зворотним ходом) визначаються шукані розв'язки СЛАР. Значення змінної визначається безпосередньо з останнього одержаного рівняння, значення - з передостаннього (із урахуванням відшуканого значення ) і так далі.

Розглянемо докладніше прямий хід.

Припускаючи, що не дорівнює нулю, поділимо на нього перше рівняння (1.11). Одержимо перше рівняння у вигляді

,

де використане позначення

, (); ,

а індекс угорі позначає номер кроку прямого ходу.

Тепер виключимо із другого рівняння (1.11) змінну . Для цього помножимо перетворене перше рівняння (1.11) на коефіцієнт і віднімемо його від другого рівняння (1.11). Одержимо друге рівняння у вигляді

,

де позначено

, ();

.

Так само перетворюються усі подальші рівняння. Після цього вони набудуть вигляду ( -номер рівняння):

,

причому

, (); .(1.17)

У результаті першого кроку прямого ходу система рівнянь (1.11) набуває вигляду (1.18). При цьому усі рівняння системи, починаючи із другого, матимуть на одну змінну менше за вихідну систему (1.11), тобто у сукупності утворюють СЛАР ()-го порядку.

(1.18)

Другий крок прямого ходу методу Гаусса полягає у аналогічному перетворенні СЛАР ()-го порядку, яку складають одержані рівняння (1.18) з другого по останнє. У результаті виходить така система рівнянь:

(1.19)

Коефіцієнти визначаються аналогічно:

, ,

,

; (). (1.20)

У такий само спосіб здійснюються подальші кроки прямого ходу. Формули перетворення на -му кроці визначаються співвідношеннями:

, , ,

; (). (1.21)

У підсумку за -м кроком утворюється така система рівнянь:

(1.22)

Матриця коефіцієнтів цієї системи є верхньою трикутною матрицею з одиничними елементами вдовж головної діагоналі:

. (1.23)

Відповідна до цієї системи розширена матриця коефіцієнтів має вигляд

. (1.24)

Підсумовуючи, можна сказати, що основною метою прямого ходу методу Гаусса є перетворення розширеної матриці системи до трикутної форми (14), після чого відшукання розв'язків СЛАР легко здійснюється зворотним ходом за співвідношеннями:

;, ().(1.25)

Таким чином, прямий хід методу Гаусса зводиться до побудови розширеної матриці системи (1.16) і подальшого її перетворення до верхньої трикутної форми за допомогою таких операцій:

1) ділення елементів першого рядка матриці на перший елемент цього рядка (який міститься на головній діагоналі); цей елемент називається роздільним;

2) віднімання з подальших рядків матриці першого рядка, помноженого на елемент відповідного рядка, що знаходиться у тому зі стовпців, що й роздільний елемент; обнуління елементів, які містяться у стовпці роздільного елемента;

3) повторення цих дій щодо другого рядка, а потім і для усіх подальших рядків нових одержаних матриць.

1.4.4 Метод Гаусса з обранням роздільного елемента

Неважко помітити суттєвий недолік розглянутого методу єдиного ділення, який випливає з того, що однією з необхідних операцій є ділення на роздільний елемент. Якщо на головній діагоналі перед цим виявиться, що роздільний елемент дорівнює нулю, відповідна операція стає неможливою. Якщо ж роздільний елемент виявиться досить малою за абсолютним значенням величиною, то хоч операція ділення при цьому є здійсненною, але вона приводить до значної похибки у визначенні подальших коефіцієнтів - членів розширеної матриці. Тому необхідно здійснювати заходи з уникнення цього явища.

У методі Гаусса з обранням роздільного елемента цього досягають у такий спосіб. Перед діленням рядка на роздільний елемент порівнюють за модулем усі елементи відповідного стовпця матриці, відшукують той рядок (із подальших), де міститься елемент, найбільший за модулем, і змінюють місцями поточний рядок із знайденим рядком із максимальним елементом. Таким чином домагаються, щоб роздільний елемент був якомога більшим за модулем.

При обміні місцями рядків визначник матриці коефіцієнтів змінює свій знак на протилежний. Тому якщо завданням є обчислення у подальшому визначника цієї матриці, необхідно лічити кількість таких обмінів рядків місцями. Тоді визначник початкової матриці може бути обчислений як значення визначника перетвореної матриці , помножене на .

1.4.5 Метод Гаусса-Жордана (метод повного виключення)

Недоліком методу Гаусса є наявність зворотного ходу. Виникає питання, чи не можна позбутися цього етапу, і на першому ж етапі виключення змінних визначити шукані розв'язки СЛАР.

Виявляється, це є можливим завдяки поширенню виключення змінних не тільки на подальші рівняння, а й на попередні. Цей процес і називають повним виключенням, або методом Гаусса-Жордана.

Перший крок цього методу є таким само, як у методі Гаусса. На другому кроці необхідно ту саму операцію виключення розповсюдити і на перше рівняння, тобто з першого рівняння (1.19) відняти друге, помножене на . Це є рівносильним до того, що обчислення за формулами (1.20) поширюються й на :

, ,

, ;

(; ). (1.26)

Внаслідок цього після другого кроку матимемо замість системи (1.19) іншу:

(1.27)

Аналогічно, на -му кроці треба здійснювати обчислення за формулами (11), поширюючи їх на усі попередні рівняння:

, ,

, ;

(;

). (1.28)

У підсумку випливає "рівняння" вигляду

(1.29)

які вже, очевидно, є просто розв'язками початкової СЛАР.

Неважко зрозуміти, що виграш у вигляді зникнення операцій зворотного ходу у цьому методі відбувається за рахунок збільшення кількості операцій у прямому ході.

1.5 Розв'язання систем нелінійних рівнянь

Розглянемо систему нелінійних рівнянь:

(1.30)

Для її розв'язання можна застосувати ітераційні методи. Вони дозволяють отримати послідовність наближень . Якщо ітераційний процес збігається, то граничне значення є розв'язком заданої системи рівнянь. Обов'язковою умовою збігу є виконання певних вимог до системи, що розглядається.

1.5.1 Метод простої ітерації

Систему (1.30) наведемо у вигляді

(1.31)

або у векторному вигляді . Причому перехід від системи (1.30) до (1.31) має відбутися тільки за умови, щоб

виявилося стискуючим відображенням. Необхідно зазначити, що загального способу для переходу від (1.30) до (1.31) не існує.

Ітераційна послідовність будується за формулою

, (1.32)

де - початкове наближення, яке має бути задано.

Достатньою умовою збіжності ітераційного процесу є виконання умови

, (1.33)

де - матриця з елементами

(=

- норма матриці ) для довільного із області визначення розв'язку. Відображення називають стискуючим, якщо для двох довільних елементів тасправедливе

,

де коефіцієнт стискання задовольняє нерівність

1.5.2 Метод Ньютона для нелінійних систем

При його використанні для нелінійних систем припускається, що в деякій області яка містить розв'язок системи (1.30), функції мають неперервні похідні першого порядку, і в деякому околі точки матриця Якобі невироджена:

. (1.34)

Ітераційний процес будується за формулою

, (1.35)

де , а - обернена матриця до матриці Якобі. За початкове наближення необхідно брати вектор розв'язку , достатньо близький до шуканого розв'язку системи.

Через потребу на кожному кроці розраховувати обернену матрицю обчислювальна формула (1.35) виявляється досить громіздкою. Замість неї зручніше скористатися такою схемою:

(1.36)

При її реалізації для кожного наближення розв'язується система лінійних рівнянь з матрицею , а потім за знайденим приростом відшукується наступне наближення . Недоліком методу Ньютона є те, що при невдалому виборі наближення ітераційна послідовність не має границі.

1.6 Інтерполяція функцій

1.6.1 Поставлення задачі інтерполяції

На відрізку задано N точок , що називаються вузлами інтерполяції, і значення деякої функції в цих точках: . Потрібно побудувати функцію (функцію, що інтерполює), яка б збігалася з у вузлах інтерполяції і наближала її між ними, тобто таку, що . Геометрична інтерпретація задачі інтерполяції полягає в тому, що потрібно знайти таку криву певного типу, що проходить через задану систему точок За допомогою цієї кривої можна знайти наближене значення , де Задача інтерполяції стає однозначною, якщо замість довільної функції шукати многочлен степеня не вище , що задовольняє умови .

Інтерполяційний многочлен завжди однозначний, оскільки існує тільки один многочлен степеня , що в даних точках набуває заданих значень. Існує декілька способів побудови інтерполяційного многочлена.

1.6.2 Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Інтерполяційний многочлен Лагранжа, що набуває у вузлах інтерполяції відповідно значень , має вигляд

(1.37)

З формули безпосередньо випливає, що ступінь многочлена дорівнює і многочлен Лагранжа задовольняє всі умови задачі інтерполяції.

Якщо відстань між всіма сусідніми вузлами інтерполювання є однаковою, тобто , формула (1.37) суттєво спрощується. Введемо нову змінну

,

Інтерполяційний поліном Лагранжа набуде такого вигляду:

. (1.38)

.

Коефіцієнти, що стоять перед величинами у формулі (1.38), не залежать ні від функції ні від кроку , а лише від величин Тому таблицями, що складені для різних значень , можна скористатися при розв'язуванні різноманітних задач інтерполювання для рівновіддалених вузлів.

Виникає питання, наскільки близько многочлен Лагранжа наближається до функції в інших точках (не вузлових), тобто наскільки великий залишковий член. На функцію накладають додаткові обмеження. А саме: припускають, що в розглянутій області зміни , що містить вузли інтерполяції, функція має усі похідні до -го порядку включно. Тоді оцінка для абсолютної похибки інтерполяційної формули Лагранжа має вигляд

,(1.39)

.

1.6.3 Інтерполяційний поліном Ньютона

Поділеними різницями називають співвідношення вигляду:

- першого порядку

- другого порядку

(1.40)

- n- го порядку

З їх допомогою можна побудувати многочлен

(1.41)

Він називається інтерполяційним поліномом Ньютона для заданої функції. Ця форма запису більш зручна для застосування, оскільки при додаванні до вузлів x₀, x₁, …, x_n нового x_n+1 всі обчислені раніше члени залишаються без зміни, а у формулу додається тільки один доданок. При застосуванні ж формули Лагранжа треба робити всі обчислення знову.

Якщо значення функції задані для рівновіддалених значень аргументу

Постійну величину , i=0,1,…,n називають кроком інтерполяції), то інтерполяційний поліном буде мати вигляд

(1.42)

Тут - скінченні різниці к-го порядку. Вони визначаються за формулою

де -біноміальні коефіцієнти.

Порівнюючи цю формулу з попередньою, легко встановити, що при скінченні і поділені різниці пов'язані співвідношенням вигляду

(1.43)

Для практичного використання формулу (1.42) записують у перетвореному вигляді. Для цього введемо нову змінну величину , припустивши, що

- кількість кроків , необхідних для досягнення точки із точки . Після внесення вказаних величин у вираз для отримаємо першу інтерполяційну формулу Ньютона для інтерполювання вперед, тобто поблизу початку таблиці:

(1.44)

Припустимо, що точка інтерполяції розташована поблизу кінцевої точки таблиці. У цьому випадку вузли інтерполяції необхідно брати у порядку Формула Ньютона для інтерполювання назад тоді матиме вигляд

(1.45)

Поділені різниці можна виразити через скінченні різниці, якщо скористатися можливістю переставляти в них аргументи, та співвідношенням (1.43), із яких випливає:

;

Введемо змінну , припустивши, що отримаємо для другу інтерполяційну формулу Ньютона для інтерполювання в кінці таблиці:

.

Як перша, так і друга інтерполяційні формули Ньютона можуть бути використані для екстраполяції функції, тобто для знаходження значень функції , значення аргументів якої лежать поза таблицею. Якщо і значення близьке до , то вигідно використовувати перший інтерполяційний поліном Ньютона, тоді

і Таким чином, перша інтерполяційна формула Ньютона застосовується для інтерполювання вперед та екстраполювання назад, а друга - навпаки, для інтерполювання назад та екстраполювання вперед.

Зазначимо, що операція екстраполювання, взагалі кажучи, менш точна, ніж операція інтерполювання.

Інтерполяційні формули Ньютона вигідні, оскільки при додаванні нових вузлів інтерполяції потрібні додаткові обчислення тільки для нових членів, без зміни старих.

1.6.4 Многочлени Чебишева

Як видно з формули (1.39), похибка заміни функції інтерполяційним многочленом залежить від вибору вузлів інтерполяції . Перш ніж перейти до питання про раціональний вибір вузлів інтерполяції, розглянемо деякі властивості одного з найважливіших й добре вивчених зараз класів спеціальних функцій - многочленів Чебишева першого роду, що часто використовуються для наближення функцій. Многочлен Чебишева го ступеня визначається за формулою

(1.46)

При з (1.40) отримаємо перші п'ять многочленів першого роду:

Для визначення многочленів Чебишева часто користуються тригонометричною формою запису

, (1.47)

що приводить до таких же виразів для , як і формула (1.40).

Із тотожності

при маємо рекурентну формулу

.

Многочлен має коренів, які можна отримати, розв'язавши рівняння

або ;

(1.48)

Як видно з (1.42), всі коренів, що відповідають значенням знаходяться на відрізку [-1,1], причому ці точки не рівновіддалені, а згущуються ближче до кінця даного відрізка. З формули (1.41) також очевидно, що на відрізку [-1,1]

(1.49)

Доведено, що серед усіх можливих значень на відрізку корені многочлена мають ту "чудову" властивість, що для них величина

(1.50)

має найменше за абсолютною величиною максимальне значення.

Беручи до уваги (1.43), запишемо

. (1.50)

Виходячи із властивостей коренів многочленів Чебишева першого роду і визначення многочлена Лагранжа -го степеня на відрізку можна стверджувати, що якщо за вузлів інтерполювання взяти корені многочлена то максимальне значення похибки на цьому відрізку буде найменшим для всіх можливих варіантів вибору вузлів інтерполювання. Інтерполяційний многочлен, що має таку властивість, називається многочленом найкращого наближення. Оцінка (6.3) при цьому набуває вигляду

.

Якщо інтерполювання проводиться на довільному відрізку , то заміною змінної

цей відрізок можна звести до відрізка При цьому корені многочлена будуть знаходитися в точках

Оцінка похибки має вигляд

.

1.6.5 Інтерполяція за допомогою сплайнів

Підвищення точності інтерполювання вимагає збільшення вузлів інтерполяції. Це призведе до зростання ступеня інтерполяційних многочленів. Але в умовах відсутності додаткової інформації про задану таблично функцію останні дають досить значну похибку. В цьому випадку більш ефективним є використання сплайнів, що на проміжку між вузлами інтерполювання є поліномом невисокого ступеня. На всьому проміжку інтерполяції сплайн - це функція, що складена з різних частин поліномів. Отже, розглянемо на відрізку систему вузлів . Сплайном називається функція, що визначена на , має на ньому неперервні похідні -го порядку і на кожному частковому відрізку збігається з деяким многочленом ступеня не вище . При цьому хоча б на одному з відрізків ступінь многочлена дорівнює . Якщо , то це інтерполюючий сплайн.

Лінійний сплайн - це ламана, що проходить через вузли інтерполювання. Рівняння ламаної для

. (1.51)

Рисунок 1.6 - Лінійний сплайн

На практиці широкого застосування набули кубічні сплайни. Доведено, що такий інтерполюючий сплайн - єдина функція з мінімальною кривиною серед усіх функцій, які інтерполюють задану функцію і мають квадратично інтегровану другу похідну. В цьому розумінні кубічний сплайн з крайовими умовами є найкращою з функцій, що інтерполюють задану функцію.

Отже, якщо

(), ,

то кубічний сплайн на цьому відрізку:

Тут . Для їх визначення накладають умови неперервності другої похідної в точці та обмеження на значення сплайна і його похідних на кінцях проміжка - крайові умови. Тобто потрібна додаткова інформація про функцію, для якої є потреба в інтерполюванні.

Випадки використання кубічного сплайна:

Якщо відомо, що , то для визначення маємо систему рівнянь

(1.52)

Якщо відомо , то відповідна система рівнянь

(1.53)

Якщо - періодична функція, тобто

,

і система рівнянь має вигляд

(1.54)

1.7 Чисельне інтегрування функції одного аргументу

Необхідно обчислити визначений інтеграл:

I=

за умови, що а і b - певні числа, а є неперервною функцією на інтервалі інтегрування Для цього розіб'ємо відрізок на часткових інтервалів точками з кроком , у кожному з яких виберемо довільні точки .

Рисунок 1.7 - Геометричний зміст визначеного інтеграла

Геометричний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що він чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої прямими y=0, x=a, x=b та функцією . У самому визначенні його фактично вже закладена основна ідея чисельного інтегрування. Адже шукана площа може бути показана як границя інтегральної суми (рис. 1.7), тобто

(1.55)

де (1.56)

Обчислення суми , якщо не визначати границю, дає найпростіший приклад чисельного інтегрування. А сам інтеграл можна подати як . Тут називають квадратурною формулою, а - похибкою квадратурної формули.

Для деяких класів функцій можна записати квадратурні формули з похибкою . Такі квадратурні формули називають точними. Наприклад, для поліномів

квадратурна формула

(1.57)

де вибрано довільні точки ) і

є точною.

Очевидно, що застосування формули (1.57) для інтегрування поліномів не має сенсу, адже він легко обчислюється безпосередньо. Практичний зміст точних квадратурних формул проявляється при інтегруванні таких класів функцій , які можуть бути вдало апроксимовані поліномами на інтервалі . Замінивши ними підінтегральну функцію та скориставшись (1.57), можна сподіватись на малу похибку .

Розглянемо деякі найбільш вживані формули наближеного обчислення інтегралів.

1.7.1 Формула прямокутників

Шукану площу замінимо сумою площ прямокутників, побудованих заміною на кожному відрізку ) функції відрізком прямої , .

Звідси формула прямокутників має вигляд:

. (1.58)

Рисунок 1.8 - Ілюстрація формули прямокутників

1.7.2 Формула трапецій

У цьому випадку підінтегральна функція для замінюється лінійним сплайном, для якого вузлами інтерполяції будуть точки розбиття ). Загальна площа буде розглядатися як сума площ трапецій, що утворилися ланками ламаної і прямими y=0, , на кожному з інтервалів розбиття.

Враховуючи формулу обчислення площі трапеції, маємо

(1.59)

Рисунок 1.9 - Ілюстрація формули трапецій

1.7.3 Формула Сімпсона

Розглянемо один із найбільш відомих і застосовуваних методів чисельного інтегрування - метод Сімпсона. Розіб'ємо інтервал інтегрування [a,b] на парне число однакових частин із кроком

h=(b-a)/(2n).

На кожному частковому відрізку []довжини h замінимо функцію f(x) квадратичним сплайном, що інтерполює f(x) у вузлах . Додаючи значення для інтегралів на усіх часткових відрізках (i=0,2,...,2(n-1)), одержимо квадратурну формулу Сімпсона (або формулу парабол)

.(1.60)

Наведемо без доведення похибку апроксимації (обмеження) квадратурної формули Сімпсона у припущенні, що функція f(x) має на відрізку [а,b]неперервні похідні до четвертого порядку:

, .

Рисунок 1.10 - Ілюстрація формули Сімпсона

Вона свідчить про те, що для будь-якої неперервної на [a,b] функції f(x) наближене значення інтеграла, отримане за формулою (1.60), наближається до точного значення при .

Зауважимо, однак, що похибка обмеження методу парабол (Сімпсона) пропорційна у той час як для методу прямокутників - Це означає, що формула (1.60) відповідає ряду Тейлора з точністю до членів третього порядку включно, а формула прямокутників відповідає цьому ряду тільки з точністю до членів першого порядку. Тому при інтегруванні полінома не вище третього степеня метод Сімпсона дає точні значення інтеграла, адже їхня четверта похідна дорівнює нулю на [a,b]. Методи прямокутників і трапецій, як було зазначено раніше, дають точні значення при інтегруванні поліномів першого степеня.

Формула Сімпсона (1.60) є лінійною комбінацією формул прямокутника і трапеції:

де I₁, I₂ і I_{3 -} наближені значення інтеграла отримані відповідно за формулами прямокутників, трапецій і Сімпсона.

Оцінка похибки квадратурних формул часто виявляється малоефективною через труднощі, пов'язані з оцінкою похідних підінтегральної функції f(x). У зв'язку з цим набуло поширення практичне правило Рунге оцінки похибки, суть якого полягає в тому, щоб, організувавши обчислення двох значень інтеграла за двома множинами вузлів, потім порівняти результати обчислень і одержати оцінку похибки. Найбільш популярне правило пов'язане з обчисленням інтеграла двічі з кроками h і h/2.

Позначимо через I точне значення інтеграла через - його наближене значення, обчислене за однією із квадратурних формул із кроком h, через наближене значення інтеграла, обчислене за тією ж формулою з кроком h/2. Похибку кожної квадратурної формули з кроком h і h/2 можна записати відповідно у вигляді

де R-порядок точності формул, а М-добуток сталої на похідну Для формул прямокутників і трапецій R=2, для формули Сімпсона R=4.

Обчислимо наближене значення інтеграла за однією і тією ж квадратурною формулою спочатку з кроком h, а потім із кроком h/2. Одержимо

Віднімемо ці рівності:

Одержимо оцінку похибки методом Рунге:

або (1.61)

Користуючись формулою, можна уточнити наближені значення інтеграла, вважаючи

(1.62)

Цю формулу називають формулою екстраполяції за Річардсоном.

З огляду на порядок точності квадратурних формул випишемо наближену оцінку похибки для формул прямокутників і трапецій за методом Рунге (R=2):

(1.63)

і за формулою Сімпсона (R=4):

(1.64)

1.8 Чисельні методи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь

Нехай потрібно чисельно розв'язати задачу Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку, тобто знайти наближений розв'язок диференціального рівняння y=F(x,y), що задовольняє початкову умову y(x)=y.Чисельне розв'язання задачі полягає в побудові таблиці наближених значень y,y,y,...,y - розв'язку рівняння y=(x) у точках x,x,x,...,x - вузлах сітки.

На рисунку 1.11 * позначені точки, що відповідають наближеному розв'язку задачі Коші. Треба зазначити, що частіше використовують систему рівновіддалених вузлів

x=x + ih (i=1,2,..,n),

де h - крок сітки (h > 0).

Рисунок 1.11 - Розв'язання задачі Коші

1.8.1 Методи Рунге-Кутта

Різні представники цієї категорії методів потребують більшого чи меншого об'єму обчислень і відповідно забезпечують більшу чи меншу точність. Ці методи мають ряд важливих переваг є явними, одноступінчастими, тобто значення обчислюється за раніше знайденими значеннями.

Допускають використання змінного кроку, що дає можливість зменшити його там, де функція швидко змінюється, і збільшити в протилежному випадку.

Є легко застосовними, оскільки що для початку розрахунку досить вибрати сітку і задати значення .

Узгоджуються з рядом Тейлора включно до членів порядку , де степінь не однаковий для різних методів і називається порядком методу.

Не потребують обчислення похідних від , а вимагають тільки обчислення самої функції.

При розв'язанні конкретної задачі виникають питання, якою із формул Рунге-Кутта доцільно скористатися і як вибрати крок сітки.

Якщо неперервна й обмежена разом із своїми четвертими похідними, то добрі результати дає метод четвертого порядку. Він описується системою таких п'яти співвідношень:

(); (1.65)

Якщо функція не має зазначених похідних, порядок точності вищенаведеного методу не може бути реалізований. Тоді необхідно користуватися методами меншого порядку точності, що відповідає порядку наявних похідних.

Одним із найбільш простих і досить ефективних методів оцінки похибки й уточнення отриманих результатів є правило Рунге. Для оцінки похибки за правилом Рунге порівнюють наближені розв'язки, отримані при різних кроках сітки. При цьому використовується таке припущення: глобальна похибка методу порядку p у точці х_i подається у вигляді

.

За формулою Рунге

. (1.66)

Таким чином, із точністю до (величина більш високого порядку малості) при h>0 похибка методу має вигляд